从根号2谈起读后感

2024-09-09

从根号2谈起读后感(共1篇)

从根号2谈起读后感 篇1

怎样证明2是一个无理数

第一个发现并坚持这个结果的希帕索斯因此付出了生命的2是一个非常著名的无理数,代价——后世的数学史家所说的“第一次数学危机”盖源于此.风暴过去后,唤醒的却是数学家们对数的重新认识,实数的概念开始确立,在此意义上讲,2的发现是人们对真理的追求、探索以致明朗的一个极好例证.换一个角度来看这个数,我们可以把它看作一根“晾衣绳”,上面挂着许多有趣的方法,值得你仔细玩味.我们准备从不同的角度来证明2是一个无理数,从而体会这一点.证法1:尾数证明法.假设2是一个有理数,即2可以表示为一个分数的形式2=a.b其中(a,b)=1,且a与b都是正整数.则a22b2.由于完全平方数b2的尾数只能是0、1、4、5、6、9中的一个,因此2b2的尾数只能是0、2、8中的一个.因为a22b2,所以a2与2b2的尾数都是0,因此b2的尾数只能是0或5,因此a与b有公因数5,与(a,b)=1矛盾!因此2是无理数.这个证法可以证明被开方数的尾数是2、3、7、8的平方根都是无理数.a证法2:奇偶分析法.假设2=.其中(a,b)=1,且a与b都是正整数.则a22b2.可知ab

是偶数,设a=2c,则4c22b2,b22c2,可知b也是偶数,因此a、b都是偶数,这与(a,b)=1矛盾!因此2是无理数.希帕索斯就是用这种方法证明了2不是有理数,动摇了毕达哥拉斯学派的“万物皆数(任何数都可表示成整数之比)”的数学信仰,使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌,希帕索斯因此葬身海底.证法3:仿上,得到a22b2,易见b>1,否则b=1,则2=a是一个整数,这是不行

aaa.因为b>1,因此b有素因子p,因此p整除或a,总之,p整除2

2a,因此p同时整除a与b,这与(a,b)=1矛盾.的.a22b2改写成b2

证法4:仿上,得到a22b2,等式变形为b2a2b2(ab)(ab),因为b>1,因此存在素因子p,p整除a+b或a-b之一,则同时整除a+b与a-b,因此p整除a,因此p是a、b的公因数,与(a,b)=1矛盾.证法5:利用代数基本定理,如果不考虑素因子的顺序,任何一个正整数都可以唯一地写成素数幂的积的形式,因此ap11p22pmm,bq11q22qnn,其中p1,,pm与q1,,qn都是素数,r1,,rm与s1,sn都是正整数,因此p11p22r2r2rrrssspm2rm=2q11q22s2s2qn2sn,素数2在等式左边是偶数次幂,但在右边是奇数次幂,矛盾,因此2是无理数.aa证法6:假设2=,其中右边是最简分数,即在所有等于的分数中,a是最小的正bb

整数分子,在a22b2的两边减去ab有a2ab2b2ab,a(ab)b(2ba),即2a2ba,右边的分子2b-a

证法7:连分数法.因为(21)(21)=1,因此21

12112112,12

11221,将分母中的2用1代替,有21,不断重复这

个过程,得2=11

2

211

2,这是一个无限连分数.而任何有理数都可以表示为分子都是

1分母为正整数的有限连分数,因此2是无理数.证法8:构图法。以上诸多证法的关键之处在于,证明a22b2没有正整数解。若不然,可以b、a为边构造正方形(b

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