二次根式和

二次根式和（精选11篇）

二次根式和 篇1

在高中阶段, 求解二次根式和的最大值是一个较难的知识点, 其中会考查到数学中常用的换元法、数形结合法等基本数学方法, 并且也涉及到不等式的知识, 因此寻找多种方法解决此类问题非常有必要。爱因斯坦曾经说过:“解决一个问题好比在草堆中寻针, 别人往往寻找到一根针即停止不再费力去做了, 但我却会遍寻草堆中所有藏针, 不达目的绝不罢手。”因此, 这道二次根式和的最大值恰恰是值得我们去研究的题目。

点评:此题的解法是先将根式进行第一次的换元, 然后第二次进行三角换元, 不过要特别注意的是在换元过程中要注意换元过后新元的范围, 这个地方是最容易出错的, 很多同学容易忽略。

点评:此题是在换元法的基础上再利用高中求值域的一种常用方法——判别式法, 此方法主要是运用方程思想, 依据二次函数有实根的条件, 从而求出f (x) 的范围, 综合性较强。

点评:此题是高中阶段求解极值点和在区间上求最值得常用方法, 主要是考察导数的应用、函数的单调区间和极值等知识。考察运用数学知识解决问题及推理的能力, 此方法很容易想到。

点评:在高中课程中, 平面向量的数量积及其坐标运算是高考的重点, 在此题中考察了平面向量的数量积运算及运算律, 考察了分析问题、解决问题的能力。

点评:此题也运用到了换元法, 但与第一种方法不同的是第一种方法是通过根式换元过渡, 而这道题所用方法是直接三角换元, 使得题的计算量减少很多, 但是此方法需要较强的观察能力, 对学生的能力要求较高。

点评:此题利用了直角三角形及其三角恒等变换中的辅助角公式, 主要是考察学生的函数和图形的结合思想, 难度中等。

二次根式和 篇2

2.学生观察下面的例子，并计算：

由学生总结上面两个式的关系得：

类似地，请每个同学再举一个例子，然后由这些特殊的例子，得出：

（≥0,b0）

使学生回忆起二次根式乘法的运算方法的推导过程.

类似地，请每个同学再举一个例子，

请学生们思考为什么b的取值范围变小了？

与学生一起写清解题过程,提醒他们被开方式一定要开尽.

对比二次根式的乘法推导出除法的运算方法

增强学生的自信心,并从一开始就使他们参与到推导过程中来.

对学生进一步强化被开方数的取值范围,以及分母不能为零.

强化学生的解题格式一定要标准.

教学过程设计

问题与情境师生行为设计意图

活动二自我检测

活动三挑战逆向思维

把反过来,就得到

（≥0,b0）

利用它就可以进行二次根式的化简.

例2化简:

（1）

（2）(b≥0).

解:（1）（2）练习2化简：

（1）（2）活动四谈谈你的收获

1．商的算术平方根的性质(注意公式成立的条件)．

2．会利用商的算术平方根的性质进行简单的二次根式的化简．

找四名学生上黑板板演,其余学生在练习本上计算,然后再找学生指出不足.

二次根式的乘法公式可以逆用,那除法公式可以逆用吗?

找学生口述解题过程，教师将过程写在黑板上.

请学生仿照例题自己解决这两道小题,组长检查本组的学习情况.

请学生自己谈收获,并总结本节课的主要内容.

为了更快地发现学生的错误之处,以便纠正.

此处进行简单处理是因为有二次根式的乘法公式的逆用作基础理解并不难.

让学困生在自己做题时有一个参照.

二次根式变形致错例析 篇3

化简：－a.

原式=a－a·=（a－1）.

造成上述错解的原因是对二次根式的概念理解不清，忽视了-a3>0这一隐含条件，即a<0，从而开方运算错误. 大家都知道，=a=a（a≥0），－a（a<0）， 由于与均为算术平方根，所以应有>0且>0，但错解中的a与·均小于0.

原式=a－a·=－a－a·=－a·+=（1－a）.

2. 忽视隐含条件

已知a+b=-2，ab=，求+的值.

原式=+==－2.

造成上述错解的原因在于忽视了隐含条件. 由a+b=-2，ab=可知a<0，b<0，因而上述中的+=+是不成立的.

原式=+=+=+=－=2.

3. 忽视了对字母的讨论

分母有理化.

原式==.

造成上述错解的原因在于忽视了对字母a的讨论. 当a=0时，1-=0，此时的分母为0，并且结果中的分母也为0，此时分式无意义.

（1）当a=0时，原式=.

（2）当a≠0时，1-≠0，此时原式=.

4. 忽视特殊情况

分母有理化.

原式=

==－.

上述求解过程看似无懈可击，其实是错误的. 造成上述错解的原因是忽视了特殊情况x=y>0的情况，此时上述变形过程中的分式无意义.

原式=

==－.

5. 误用定义

已知与是同类二次根式，求m的值.

由条件知与是同类二次根式，所以2m=4m+4. 故m=-2.

若m=-2，则2m= -4<0，与二次根式的定义矛盾，因此上述答案是错误的. 其原因是忽视了并非最简形式，应将其化成2，然后利用同类二次根式的性质求m的值.

因为=2，且2与是同类二次根式，所以有=，两边平方得2m=m+1，解得m=1.

“二次根式”考点归纳 篇4

例1若式子在实数范围内有意义,则x的取值范围为( )

A. x = 1 B. x≥1 C. x > 1 D. x < 1

分析: 要式子在实数范围内有意义,必有x - 1是非负数,从而得出不等式,求出x的范围.

解: 因为式子在实数范围内有意义,所以x - 1是非负数,即x - 1≥0,

解得x≥1,故应选B.

说明: 求根号下字母取值范围时要注意: 一是二次方根的形式时,自变量取值范围是使被开方数为非负数的实数; 二是三次方根时,取值范围是全体实数.

考点2二次根式的性质

例2若实数a,b满足,则a2/b=__ .

分析: 由绝对值和二次根式的性质可知,| a + 2 |与都是非负数,而两个非负数之和等于零,必定每个数都等于零,由此可求出a和b的值,进而求得答案.

解: 因为| a + 2 |和都是非负数,所以由得 a + 2 = 0,b - 4 = 0,

解得a = - 2,b = 4,当a = - 2,b = 4时,a2/b= 1.

说明: 两个或多个非负数之和等于0,则每个非负数都等于0,从而可以求得各个字母的值,进而求得代数式的值. 非负数之和等于0的问题,本质上是解方程与代数式求值,这类问题解决并不困难,关键是要理解非负数的意义以及通解通法.

考点3最简二次根式

例3下列式子中,属于最简二次根式的是( )

分析: 利用最简二次根式的概念逐个辨析即可求解.

说明: 一个根式是否为最简二次根式,必须满足两个条件: ( 1) 根号内不含有开方开的尽的因数或因式; ( 2) 二次根式的根号内不含有分母.

考点4二次根式的乘除

例4计算:=__ .

分析: 利用二次根式乘法的法则直接计算.

说明: 本题是一道基础题,熟练掌握相关的运算法则是求解的关键,注意结果要化成最简二次根式.

考点5同类二次根式

例5下列根式中,与是同类二次根式的是( )

分析: 先化成最简二次根式,再根据同类二次根式的定义判断即可.

说明: 本题考查了同类二次根式的定义和二次根式的性质的应用,主要考查学生能否正确判断两个根式是否是同类二次根式.

考点6二次根式的加减

例6计算的结果是( )

分析: 先把各二次根式化成最简二次根式,然后再将被开方数相同的二次根式合并.

说明: 把二次根式被开方数中能开的尽方的因数分解并开出来,或把被开方数的分母开出来,化成最简二次根式后再进行加减运算,注意被开方数不相同的二次根式不能合并.

考点7估值

例7估计的值在( )

A. 2到3之间B. 3到4之间

C. 4到5之间D. 5到6之间

分析: 根据特殊有理数找出最接近的完全平方数,可确定的范围,从而求解.

即的值在3到4之间,故应选B.

说明: 实数的估算一般步骤是首先将原数平方,看其在哪两个相邻的平方数之间,运用这种方法可以估计一个带根号的数的整数部分,估计其大致范围.

考点8阅读理解

例8小明在学习二次根式后,发现一些含根号的式子可以写成另一个含根号的式子的平方,如,善于思考的小明进行了如下探索:

这样,小明找到了把部分的式子化为平方式的方法.

请你仿照小明的方法探索并解决问题:

( 1) 当a,b,m,n均为正整数时,若,用含m,n的式子分别表示a,b得,a =__ ,b =__ .

( 2) 利用所探索的结论,找一组正整数a,b,m,n填空:

( 3) 若且a,b,m,n均为正整数,求a的值.

分析( 1) 首先对所给材料认真阅读,分析探究小明解决问题的方法,然后进行归纳、迁移,从而可以求解. 与小明做法基本一致,把右边完全平方式展开,然后左右式子进行对比,用含m,n的代数式表示出a,b的值. ( 2) 此题可以采用与小明方法类似的解法,但也可以进行逆推,执果索因,即把m,n选定一组正整数,然后去括号,即可求解. 这就是填空题的巧做方法. 注意本题答案不唯一,只要符合题中正整数要求即可. ( 3) 认真分析此题,与( 1) 进行对比,不难发现a的值与( 1) 中的表示方法一样,而b = 4,即4 = 2mn,所以mn = 2,然后根据正整数的特点,然后进行分类讨论mn = 1×2或mn = 2×1,即可确定出m,n的值,最后a即可求解.

解( 1) 依题意,得a = m2+ 3n2,b = 2mn.

( 2) 答案不惟一. 如,a = 13,b = 4,m = 1,n = 2,等等.

( 3) 由b = 2mn,得4 = 2mn,即mn = 2,由于a,m,n均为正整数,所以mn = 1×2或mn = 2×1,即m = 1,n = 2或m = 2,n = 1,当m = 1,n =2时,a = m2+ 3n2= 13,

当 m = 2,n = 1 时,a = m2+ 3n2= 7.

二次根式教案 篇5

1．内容

二次根式的概念.

2．内容解析

本节课是在学生学习了平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根，知道开方与乘方互为逆运算的基础上，来学习二次根式的概念. 它不仅是对前面所学知识的综合应用，也为后面学习二次根式的性质和四则运算打基础.

教材先设置了三个实际问题，这些问题的结果都可以表示成二次根式的形式，它们都表示一些正数的算术平方根，由此引出二次根式的定义. 再通过例1讨论了二次根式中被开方数字母的取值范围的问题，加深学生对二次根式的定义的理解.

本节课的教学重点是：了解二次根式的概念；

二、目标和目标解析

1.教学目标

（1）体会研究二次根式是实际的需要．

（2）了解二次根式的概念．

2. 教学目标解析

（1）学生能用二次根式表示实际问题中的数量和数量关系，体会研究二次根式的`必要性．

（2）学生能根据算术平方根的意义了解二次根式的概念，知道被开方数必须是非负数的理由，知道二次根式本身是一个非负数，会求二次根式中被开方数字母的取值范围．

三、教学问题诊断分析

对于二次根式的定义，应侧重让学生理解 “ 的双重非负性，”即被开方数 ≥0是非负数， 的算术平方根 ≥0也是非负数.教学时注意引导学生回忆在实数一章所学习的有关平方根的意义和特征，帮助学生理解这一要求，从而让学生得出二次根式成立的条件，并运用被开方数是非负数这一条件进行二次根式有意义的判断.

本节课的教学难点为：理解二次根式的双重非负性.

四、教学过程设计

1．创设情境，提出问题

问题1你能用带有根号的的式子填空吗？

（1）面积为3 的正方形的边长为_______，面积为S 的正方形的边长为_______．

（2）一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为130?，则它的宽为______．

（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：）满足关系 h =5t?，如果用含有h 的式子表示 t ，则t= _____．

师生活动：学生独立完成上述问题，用算术平方根表示结果，教师进行适当引导和评价.

【设计意图】让学生在填空过程中初步感知二次根式与实际生活的紧密联系，体会研究二次根式的必要性．

问题2 上面得到的式子 ， ， 分别表示什么意义？它们有什么共同特征？

师生活动：教师引导学生说出各式的意义，概括它们的共同特征：都表示一个非负数（包括字母或式子表示的非负数）的算术平方根．

【设计意图】为概括二次根式的概念作铺垫．

2．抽象概括，形成概念

问题3 你能用一个式子表示一个非负数的算术平方根吗？

师生活动：学生小组讨论，全班交流．教师由此给出二次根式的定义：一般地，我们把形如 （a≥0）的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号．

【设计意图】让学生体会由特殊到一般的过程，培养学生的概括能力．

追问：在二次根式的概念中，为什么要强调“a≥0”？

师生活动：教师引导学生讨论，知道二次根式被开方数必须是非负数的理由．

【设计意图】进一步加深学生对二次根式被开方数必须是非负数的理解．

3．辨析概念，应用巩固

例1 当 时怎样的实数时， 在实数范围内有意义？

师生活动:引导学生从概念出发进行思考，巩固学生对二次根式的被开方数为非负数的理解．

例2 当 是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？ 呢？

师生活动:先让学生独立思考，再追问．

【设计意图】在辨析中，加深学生对二次根式被开方数为非负数的理解．

问题4 你能比较 与0的大小吗？

师生活动：通过分 和 这两种情况的讨论，比较 与0的大小，引导学生得出 ≥0的结论，强化学生对二次根式本身为非负数的理解，

【设计意图】通过这一活动的设计，提高学生对所学知识的迁移能力和应用意识；培养学生分类讨论和归纳概括的能力.

4．综合运用，巩固提高

练习1 完成教科书第3页的练习.

练习2 当x 是什么实数时，下列各式有意义.

（1） ；（2） ；（3） ；（4） .

【设计意图】 辨析二次根式的概念，确定二次根式有意义的条件.

【设计意图】设计有一定综合性的题目，考查学生的灵活运用的能力，开阔学生的视野，训练学生的思维.

5．总结反思

教师和学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题.

（1）本节课你学到了哪一类新的式子？

（2）二次根式有意义的条件是什么？二次根式的值的范围是什么？

（3）二次根式与算术平方根有什么关系？

师生活动：教师引导，学生小结.

【设计意图】：学生共同总结，互相取长补短，再一次突出本节课的学习重点，掌握解题方法.

6．布置作业：

教科书习题16.1第1，3，5， 7，10题．

五、目标检测设计

1. 下列各式中，一定是二次根式的是（ ）

A. B. C. D.

【设计意图】考查对二次根式概念的了解，要特别注意被开方数为非负数．

2. 当 时，二次根式 无意义．

【设计意图】考查二次根式无意义的条件，即被开方数小于0，要注意审题．

3.当 时，二次根式 有最小值，其最小值是 ．

【设计意图】本题主要考查二次根式被开方数是非负数的灵活运用．

4.对于 ，小红根据被开方数是非负数，得 出的取值范围是 ≥ ．小慧认为还应考虑分母不为0的情况．你认为小慧的想法正确吗？试求出 的取值范围．

二次根式和 篇6

一、 转化思想

转化不仅是一种解题思想，也是一种思维策略，更是一种有效的数学思维方式.所谓的转化思想方法，是把复杂的问题通过变换转化为简单问题；将难解的问题通过变换转化成容易求解的问题；将未知的问题通过变换转化为已知的问题，以达到解决问题的目的.

二次根式中常用以下两种转化方法：

1. 确定二次根式中字母的取值范围，可用方程或方程组解决问题. 如：已知在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______. 本题要考虑两个方面：一是对于二次根式来说被开方数要为非负数，二是作为分母来说要不等于零，所以，可列方程组

二、 整体思想

整体思想就是从问题的整体出发，突出对问题的整体结构的分析，发现问题的整体特征. 在本章的学习中常把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理，从而使得问题简单化、明晰化.

以上是以二次根式为例，总结的几种数学思想方法，在平时的学习过程中同学们还会遇到其他的思想方法，大家要充分掌握，这对提高思考能力、解题能力有事半功倍的作用.

（作者单位：江苏省盐城市城北中学）

“二次根式”易错题辨析 篇7

一、概念理解不清晰

例1仔细辨析下列式子, 指出其中是二次根式的是_______.

【解析】本题考查两个知识点, 一是二次根式成立的条件:被开方数是非负数, 二是任何不为零的数的零次幂都等于1, 同学们容易忽略第二个考点.在解题时注意整体把握题目, 不可有遗漏.

答案:x≥0且x≠12.

A.a=6B.a=2

C.a=3或a=2D.a=1

答案:B.

二、性质掌握不牢固

答案:6.

答案:B.

答案:B.

三、运算缺乏灵活性

【解析】这是一道二次根式乘除混合运算的题目, 正确的做法是先通过倒除为乘将除法转化为乘法, 然后根据负号的个数确定积的符号, 再将系数与系数相乘, 被开方数与被开方数相乘, 最后化为最简二次根式.有的同学喜欢将每个二次根式先化到最简, 然后再乘除, 这样会使计算极其繁琐, 容易出错.

答案:194.

二次根式的化简 篇8

什么是最简二次根式?最简二次根式必须满足两个条件:1.被开方数是整数, 或整式;2.被开方数中不含开得尽的因数或因式 (除1外) ;化简二次根式的目的在于使二次根式化为最简二次根式, 分母不含有二次根号, 鉴于此化简二次根式的步骤可分为以下三步:

第一步:把被开数是小数的化为分数, 分数 (式) 的化为整数 (式) 利用:姨a/b=姨a/姨b (a≥0, b>0) 如:姨20.25=2014姨=814姨=姨81姨4=92

第二步:把被开数是整数 (式) 的所有因数 (式) 开尽 (除1以外)

第三步:把分母的二次根号化简掉

例3化简下列各式:

解:略.

(参考练习) 化简下列各式

“二次根式”的错解例析 篇9

一、顾此失彼

只有被开方数a≥0时，式子才是二次根式.若a<0时，则式子就不能叫二次根式，即无意义.

例1(2014·南通）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）.

【错误解答】A.

【错解成因】只考虑了分母中被开方数2x-1≥0，没有考虑分母也要不为0.

【正确解答】C.

【总结提升】对于形如的二次根式，在利用二次根式有意义的条件求未知数的取值范围时，要注意A不仅仅是二次根式的被开方数，还在分式的分母上，因此有意义的条件为A>0.

二、性质运用不熟练

例2已知x<2，则化简的结果是（）.

【错误解答】A.

【错解成因】没有考虑到当x<2时x-2<0，而只有当a≥0时才成立.

【正确解答】D.

【总结提升】在运用进行二次根式的计算或化简时，要根据a的取值进行讨论，是二次根式化简的重要工具，运用此公式可以将二次根式的化简转化为绝对值的化简.

三、忽视隐含条件

例3化简：

【错误解答】.

【错解成因】在化简时，将a2从根号内开方出来时，未考虑a的符号.

【正确解答】.

【总结提升】运用性质进行化简，在化简的过程中要注意先判别字母取值范围，特别是注意“-”，防止出错.

例4已知x+y=-5,xy=4，求的值.

【错误解答】

【错解成因】没能发现题目中的隐含条件，忽略了x,y的符号.

【正确解答】由x+y=-5,xy=4可知x<0,y<0.

【总结提升】因为xy=4，所以x,y同号.又因为x+y=-5，所以x,y同为负数.因而化简为

四、运算顺序出错

例5计算

【错误解答】原式=.

【错解成因】二次根式的运算顺序错了.

【正确解答】

【总结提升】二次根式的乘除是同一级运算，按运算顺序的规定，应从左到右依次进行或先把除法统一成乘法后，再用乘法运算法则计算.本题错误率较高，颇具代表性，望同学们引起注意.特别是由化为的过程，看似简单，实则暗含玄机.

五、忽略同类二次根式的概念

例6若是同类二次根式，则a,b的值为（）.

A.a=0,b=2

B.a=1,b=1

C.a=0,b=2或a=1,b=1

D.a=2,b=0

【错误解答】由题意，得解得故选B.

【错解成因】未掌握同类二次根式的概念.不是最简二次根式，，所以b=3a+b，而不是4b=3a+b.

【正确解答】因为，由题意，得解得故选A.

【总结提升】两个根式是同类二次根式，必须满足以下两个条件：(1)是最简二次根式，(2)被开方数相同.如果题目中给出的二次根式不是最简二次根式，则要先把二次根式化成最简二次根式再对照同类二次根式的定义来理解.

六、忽视分类讨论

例7已知a是实数，求的值.

【错误解答】

【错解成因】条件中没有给出a的取值范围，解题时未对a的取值范围进行分类讨论造成错误.

【正确解答】

分三种情况讨论:

(1）当a≤-2时，原式=-（a+2)-[-(a-1)]=-a-2+a-1=-3;

(2）当-2<a≤1时，原式=（a+2)-[-(a-1)]=a+2+a-1=2a+1;

(3）当a>1时，原式=（a+2)-(a-1)=a+2-a+1=3.

【总结提升】在化简二次根式时，若题目中没有给出字母的取值范围，这时候就要对字母进行分类，在不同的范围中化简二次根式.

【试一试】

1. 要使式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）.

2.能使成立的x的取值范围是（）.

3.(2014·孝感）下列二次根式中，不能与合并的是（）.

4.(2014·青岛）

5. 已知3<x<4，化简：

6.(2014·德州）若2，则（x+y)y=____.

参考答案

1.B 2.C 3.C

二次根式易错题分析研究 篇10

1. 下列计算中正确的是 ( ) .

错解一: (A) .

错解二: (C) .

错解三: (D) .

错因分析: (A) 出错的原因是滥用、误用二次根式的乘法公式; (C) 出错的原因是未考虑二次根式有意义的条件是被开方数非负, 即忽略了公式 (a ≥ 0, b ≥0) 成立的条件; (D) 出错的原因是未能正确运用二次根式的性质, 即解题时忘记了-3<0这个条件.

正解: (B)

2.先化简, 再求值:, 其中.

错因分析:由于重视问题中的默认条件、忽略隐含条件而出错.

实际上, 在进行二次根式的化简时, 先要将写成|a|, 再根据a的性质去掉绝对值的符号.

3.已知x为实数, 化简.

错因分析:由于没有认真审题, 没有挖掘出题目中的隐含条件而出错.

4. 已知实数a, b, c为 △ABC的三条边, 试计算代数式的值.

错因分析:由于没有记清楚三角形三边之间的关系而出错.

正解:∵a, b, c为△ABC的三条边,

∴ a+b-c>0, b-c-a<0, b+c-a>0.

5. 下列根式中属于最简二次根式的是 ( ) .

错解一: (A) .

错解二: (C) .

错解三: (D) .

错因分析: (A) 中, 即被开方数中含有因数32; (C) 中的被开方数中含有分母; (D) 中的被开方数中含有没开尽方的因数a2. 即没有弄清楚最简二次根式的概念而出错.

正解: (B) .

实际上, 要判断一个二次根式是不是最简二次根式, 只要满足以下两点就可以: (1) 被开方数不含分母; (2) 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.

基于二次根式知识的拼图实验 篇11

将做好的素材剪下来

边动手边思考

同学们在拼图形

老师们在研讨实验素材

同学们在动手操作

一、实验主题

基于二次根式知识的拼图实验.

二、问题背景

几何图形的分割和剪拼与人们日常生活关系密切. 将一块或几块形状不合要求的材料通过巧妙的分割,拼成形状合适的成品,具有实用价值.而解决问题的过程,既动脑又动手,可以锻炼我们的思维,提高实践能力和逻辑思维,还会给我们带来成功的喜悦.

三、探究意义

之前,我们通过对“勾股定理”的学习认识了无理数,学会了在数轴上表示一个无理数,感受了人类认识世界、改变世界的历程.通过对“二次根式”的学习,我们又进一步加深了对“二次根式”性质的认识,而通过本次探究活动,我们将利用所学的知识解决实际问题,感受数学之趣.

四、课题介绍

本次活动分为四个层次. 层次一:将两个相同的正方形,剪、拼成一个大的正方形. 层次二:将几个常见图形剪、拼成一个大正方形. 层次三:画一个图形,并将之剪、拼成一个大正方形. 层次四:通过拼图寻找一般规律,并能解决简单的问题.

五、实验准备

剪刀、胶水、正方形纸板2张、网格纸若干张以及A4纸若干张.

六、实验方法

合作交流型学习、探究性学习、概括性学习等方法.

七、实验要求

1. 回顾八年级关于勾股定理的相关知识,回顾在数轴上画出表示的点的方法.(图1)

2. 体会“数形结合”的数学思想,逐步学会用数形结合的数学思想分析、解决问题.

3. 能够运用二次根式的相关知识解决几何分割、剪拼的相关问题.

4. 积极参与数学活动,能够提出自己的想法,参与对活动的评价过程,提高归纳和说理能力.

5. 培养不怕困难的品质,发展合作意识和科学求知的精神.

八、阶段性实验

1. 活动一:思考—操作

(1)如图2,两块边长为1的小正方形纸板,请你剪一剪,拼成一块大的正方形,贴在下边的方框中.

【活动说明】作为本次数学实验的第一个活动,该活动中出现的问题比较简单,主要是让学生积累初步的活动经验,为下面的活动打下基础. 运用二次根式的性质易知两个正方形的对角线长为,而的结果是2,这正是拼成的大正方形的面积,沿着对角线剪开,即可拼成所要的大正方形.

(2)在你所准备的网格纸中,分别按图3所示进行涂色,并将涂色部分的图形剪出来,再将它们逐一剪、拼成正方形.

【活动说明】活动(2)的内容建构在活动(1)的活动经验之上.本活动没有限定裁剪方法,故灵活性比较强,目的在于拓展同学们的思维.通过观察,不难发现上述4幅图片中,阴影部分的面积之和都等于5,所以,我们只需将图形拼成边长为的正方形即可.

(3)如图4,在5×5的正方形网格中,每个小正方形的边长都为1. 请在所给网格中按下列要求画图、裁剪、拼图.

1画出从点A出发的一条线段AB,使它的另一个端点落在格点(即小正方形的顶点)上,且长度为.

2画出以第1小题中的AB为边的一个等腰三角形ABC,使点C在格点上,且另两边的长都是无理数.

3从点A出发进行适当裁剪,拼出一个面积为8的正方形,并贴在下面的方框中.

【活动说明】上述问题是对二次根式知识的综合运用,通过前两个活动的操作,同学们已经积累了一定的切割和拼接经验,因此,上述问题的关键是能够综合运用二次根式的相关知识,初步形成的活动体会会进一步培养学习的兴趣,感受数学的魅力.

2. 活动二:操作———概括

(1)图5是由边长为1的n2(n为大于1的整数)个连续小正方形所组成的图形.

它们经过适当分割(指只用剪刀沿直线剪开,不借助其他任何工具)后都能拼成一个大正方形,其分割线(图5中实线)的最少条数与小正方形的个数之间关系见下表,请填写下表中的空白处:

(2)如图6,边长为1的5个连续小正方形所组成的图案按(1)中的要求经过4次分割后能拼成一个大正方形,其拼成后的图形见方格纸.

边长为1的10个连续小正方形组成的图形(如图7),是否也能按照(1)中的要求经过适当分割后拼成一个大正方形呢?如果能,请在图7中画出分割线,并将分割后拼成的大正方形拼出来,粘在图7中.

(3)你是否还能举出一种非n2(n为大于1的整数)个连续小正方形所组成的图形,按(1)中的要求经过适当分割后拼成一个大正方形呢?试试看!

【活动说明】活动二的三个问题分为三个层次. 层次一:通过观察和对比,明确n2个小正方形拼成大正方形需要分割线的最少条数.层次二:通过观察图7,让前面的活动经验和问题(2)的内容产生共鸣,思维得到碰撞,从而产生解决图7中问题的方法.层次三:通过概括和总结,结合活动经验,寻找富有个性的解决问题的方法,寻找一般规律,培养化归思想,形成数形结合的解题意识.活动中,同学们通过小组合作,采用比较和归纳的方法,通过逐步尝试,完成了对解决一般问题方法的总结,提高了概括能力,提升了符号意识.

【活动收获】

在本节课的探究过程中,你有哪些感受与收获?回顾你的探究心路历程,请将你的探究经验、感悟和发现写成数学小论文.

九、研究论文