比较二次根式的大小

比较二次根式的大小（精选8篇）

比较二次根式的大小 篇1

二次函数值的比较大小类试题一直是中考热点问题.这类问题一方面凸显了对二次函数的图像性质的基本知识、核心知识的考查,另一方面体现了对数形结合、分类讨论等重要思想方法的考查.

【引例】

已知点A(2,y1),B(-1,y2)在抛物线y=(x-1)2+1上,则比较y1,y2的大小关系__________.

【常规思路】

从代数的角度,我们可以根据二次函数图像上点的坐标特征,将A(2,y1),B(-1,y2)代入二次函数分别计算出y1,y2的值,然后再比较它们的大小;从函数的角度,我们可以先利用二次函数的对称性,将对称轴异侧两点A(2,y1),B(-1,y2)转化到对称轴的同一侧两点A(2,y1),B′(3,y2),再根据二次函数的增减性比较大小.

【题后反思】

从解题中我们发现代数法的本质即利用图像上点的坐标特征把二次函数值的比较大小转化为代数式值的比较大小.而函数法的本质即结合二次函数的图像,利用函数增减性把二次函数值的比较大小转化为比较A、B两点到对称轴距离的远近.

代数法是顺其自然的解答,函数法是数形结合的方法,直观简单.这两种方法时刻贯穿于我们二次函数的值比较大小的问题中,如何准确熟练使用好这两种方法呢?下面我们一起看三个例题分析.

【应用实例】

例1二次函数y=mx2-2mx+m2+1(m<0)的图像经过点A(2,y1),B(-1,y2),则比较y1,y2的大小关系________.

【思路分析】顺其自然我们会想到代数法,利用代入法算出y1=m2+1,y2=m2+3m+1,然后利用作差法得出y1-y2=-3m>0即y1>y2.由于函数法取决于开口方向与对称轴,只有找出“隐形”对称轴x=1,进一步判断出A点到对称轴的距离比B点到对称轴距离要近,再根据开口向下,离对称轴越近函数值越大进而得出y1>y2.

【题后反思】

一般情况下,若点的横坐标已知,我们易用代数法解决问题;若对称轴以及开口方向显然可知,用函数法相对比较简单.

例2已知抛物线y=(x-3)2+2经过点A(m,y1),B(n,y2),且|m-3|<|n-3|,则比较y1,y2的大小关系________.

【思路分析】此题中非常清晰可知二次函数的对称轴与开口方向,函数法应该优先考虑.再根据|m-3|<|n-3|,不难得出A点到对称轴的距离比B点到对称轴的距离要近,再根据“开口向上,离对称轴越远函数值越大”进而得出y1<y2.代数法也可以,我们利用代入法算出y1,y2,然后利用作差法得y1-y2=(m-3)2-(n-3)2<0,即y1<y2.

【题后反思】用函数法处理问题时我们仅需关注二次函数的对称轴与开口方向以及已知点与对称轴的距离的远近,与已知点在对称轴的同侧还是异侧关系不大。

例3已知点A(m,y1),B(m+1,y2),在抛物线y=(x-1)2+1上,则比较y1,y2的大小关系________.

【思路分析】代数法,常规做法利用代入法算出y1,y2,然后利用作差法得y1-y2=-2m+1,由于m的取值未知,故而对-2m+1的正负性讨论,最后得出:当m=0.5时,y1=y2;当m>0.5时,y1<y2;当m<0.5时,y1>y2.二次函数的对称轴与开口方向都易知,函数法应该也是可以的.但从题目中难以确定A点到对称轴的距离与B点到对称轴距离的远近,于是必须对此进行讨论,即|m+1-1|与|m-1|比大小.当A点与B点到对称轴距离一样时,m=0.5,此时y1=y2;当A点到对称轴较近时,m>0.5,此时y1<y2;当A点到对称轴较远时,m<0.5,此时y1>y2.

【题后反思】此题中无法判断两点与对称轴的距离的远近,似乎用函数法不易理解,下面我们把它简化为判断AB中点与对称轴的位置.

【变式】若二次函数y=a(x-h)2+k(a>0)经过A(m,y1),B(n,y2)两点,且m<n,求y1,y2的大小关系.

【方法总结】

二次函数的函数值比较大小的方法:

(1)代数法.具体步骤:(1)代入求值;(2)作差比较.

(2)函数法.具体步骤:(1)找对称轴与开口方向画出简图;(2)求AB中点的横坐标;(3)判断AB中点与对称轴的位置(点在对称轴上、左、右);(4)根据函数图像性质得出结论.

再议二次根式 篇2

数学运算中存在着互逆关系.例如，加法与减法、乘法与除法都互为逆运算，平方运算同样也有逆运算，即开平方运算，当我们要计算一个正方形的面积时，需要先测量正方形的边长.如果边长为l，则面积S=l²，这是平方运算.当我们要制作一个给定面积的正方形时，需要先求出其边长.如果给定的面

这些性质是二次根式的运算与化简的依据.

同学们已经学习了整式和分式，其中涉及了字母及数的加、减、乘（含乘方）、除四则运算.二次根式中有开平方运算.含有开方（包括开平方、开立方、开四次方……）运算的式子，都属于根式.表示字母及数的加、减、乘（含乘方）、除、开方运算的式子，统称为代数式，整式、分式和根式皆属于代数式.

二、二次根式的运算与化简

二次根式的运算与化简不仅出现在单纯的代数式变形之中，而且还与许多实际问题有关，

例1 若两圆的面积之比为12：7，则大圆半径是小圆半径的几倍？

解：设两圆的面积分别为12a和7a（a>O）.由圆面积公式S=π²，得两圆的半径分别

侧2 物体A从25m高处自由下落着地.物体B从36m高处自由下落着地，求两物体自由下落过程的时间差.

讨论：本例中用到了二次根式的减法.两个二次根式化简后根号内都是2g，后面的运算类似于合并同类项，一般地，根号内的式子相同的二次根式叫作同类二次根式.二次根式的加减法法则，即指合并同类二次根式，因此，运算时通常先把各式化简为最简根式，以便找出同类二次根式，

例3 图1中正方形ABCD和BEFG的面积分别为m和n，求长方形HFID的面积，

解：长方形HFID的长等于两个正方形的中，虽然各二次根式都已是最简二次根式了，但通常化简代数式时，要求分母中不含有根式，而此武的分母中有根式.为此。需要将式子作恒等变形，化去分母中的根式，这叫作分母有理化.具体做法为：

例3的结果表明，长方形HFID的面积等于两正方形面积之差.这一结论也能用几何图形的平移来证明.如图2，把正方形BEFC平移到AJKH的位置，电KJ=FE=GF，BJ=A B-AJ=BC-BC=CG，得长方形JBCK与CFIC的面积相等，所以长方形HFID的面积等于长方形HGCD和JBGK的面积之和，即等于正方形ABCD与AJKH的面积之差，其值为m-n.

二次根式的化简 篇3

什么是最简二次根式?最简二次根式必须满足两个条件:1.被开方数是整数, 或整式;2.被开方数中不含开得尽的因数或因式 (除1外) ;化简二次根式的目的在于使二次根式化为最简二次根式, 分母不含有二次根号, 鉴于此化简二次根式的步骤可分为以下三步:

第一步:把被开数是小数的化为分数, 分数 (式) 的化为整数 (式) 利用:姨a/b=姨a/姨b (a≥0, b>0) 如:姨20.25=2014姨=814姨=姨81姨4=92

第二步:把被开数是整数 (式) 的所有因数 (式) 开尽 (除1以外)

第三步:把分母的二次根号化简掉

例3化简下列各式:

解:略.

(参考练习) 化简下列各式

剖析二次根式的常见问题 篇4

一、忽略已知条件

例1 计算undefined (x>6) .

错解:undefinedx.

错解分析:忽略了x>6, 故5-x<0, 所以结果应为- (5-x) =x-5.

正解:∵x>6,

undefinedx|=x-5.

二、对概念的错误理解

例2 计算undefined

错解:undefined

错解分析:在运用undefined时, 忽视了算术平方根的性质, 即 a 和 b 必须均为非负数, 且 b≠0的条件。

正解:undefined

三、不注意题目中所潜伏的条件

例3 化简:4aundefined

错解:原式=4aundefinedaundefined

错解分析:不注意题中所隐含条件为undefined,

故推出2a<0.

正解:原式=4aundefined

四、对已知条件不够理解

例4 化简undefined (b

undefined

错解分析:∵b0.

undefined

五、忽视分母的取值范围

例5 化简undefined

错解:原式undefined

错解分析:忽视了undefined, 而分母为零分式无意义的条件。

正解:原式undefined

六、忽视根式的最简

例6 若二次根式undefined与undefined是同类根式, 求 a+b 的值。

错解:依题意有2a-3b=16b 和 a-b=2得:

aundefined, bundefineda+bundefined

错解分析:忽视了undefined

正解:undefined

∴有2a-3b=b;a-b=2

得:a=4, b=2.

基于二次根式知识的拼图实验 篇5

将做好的素材剪下来

边动手边思考

同学们在拼图形

老师们在研讨实验素材

同学们在动手操作

一、实验主题

基于二次根式知识的拼图实验.

二、问题背景

几何图形的分割和剪拼与人们日常生活关系密切. 将一块或几块形状不合要求的材料通过巧妙的分割,拼成形状合适的成品,具有实用价值.而解决问题的过程,既动脑又动手,可以锻炼我们的思维,提高实践能力和逻辑思维,还会给我们带来成功的喜悦.

三、探究意义

之前,我们通过对“勾股定理”的学习认识了无理数,学会了在数轴上表示一个无理数,感受了人类认识世界、改变世界的历程.通过对“二次根式”的学习,我们又进一步加深了对“二次根式”性质的认识,而通过本次探究活动,我们将利用所学的知识解决实际问题,感受数学之趣.

四、课题介绍

本次活动分为四个层次. 层次一:将两个相同的正方形,剪、拼成一个大的正方形. 层次二:将几个常见图形剪、拼成一个大正方形. 层次三:画一个图形,并将之剪、拼成一个大正方形. 层次四:通过拼图寻找一般规律,并能解决简单的问题.

五、实验准备

剪刀、胶水、正方形纸板2张、网格纸若干张以及A4纸若干张.

六、实验方法

合作交流型学习、探究性学习、概括性学习等方法.

七、实验要求

1. 回顾八年级关于勾股定理的相关知识,回顾在数轴上画出表示的点的方法.(图1)

2. 体会“数形结合”的数学思想,逐步学会用数形结合的数学思想分析、解决问题.

3. 能够运用二次根式的相关知识解决几何分割、剪拼的相关问题.

4. 积极参与数学活动,能够提出自己的想法,参与对活动的评价过程,提高归纳和说理能力.

5. 培养不怕困难的品质,发展合作意识和科学求知的精神.

八、阶段性实验

1. 活动一:思考—操作

(1)如图2,两块边长为1的小正方形纸板,请你剪一剪,拼成一块大的正方形,贴在下边的方框中.

【活动说明】作为本次数学实验的第一个活动,该活动中出现的问题比较简单,主要是让学生积累初步的活动经验,为下面的活动打下基础. 运用二次根式的性质易知两个正方形的对角线长为,而的结果是2,这正是拼成的大正方形的面积,沿着对角线剪开,即可拼成所要的大正方形.

(2)在你所准备的网格纸中,分别按图3所示进行涂色,并将涂色部分的图形剪出来,再将它们逐一剪、拼成正方形.

【活动说明】活动(2)的内容建构在活动(1)的活动经验之上.本活动没有限定裁剪方法,故灵活性比较强,目的在于拓展同学们的思维.通过观察,不难发现上述4幅图片中,阴影部分的面积之和都等于5,所以,我们只需将图形拼成边长为的正方形即可.

(3)如图4,在5×5的正方形网格中,每个小正方形的边长都为1. 请在所给网格中按下列要求画图、裁剪、拼图.

1画出从点A出发的一条线段AB,使它的另一个端点落在格点(即小正方形的顶点)上,且长度为.

2画出以第1小题中的AB为边的一个等腰三角形ABC,使点C在格点上,且另两边的长都是无理数.

3从点A出发进行适当裁剪,拼出一个面积为8的正方形,并贴在下面的方框中.

【活动说明】上述问题是对二次根式知识的综合运用,通过前两个活动的操作,同学们已经积累了一定的切割和拼接经验,因此,上述问题的关键是能够综合运用二次根式的相关知识,初步形成的活动体会会进一步培养学习的兴趣,感受数学的魅力.

2. 活动二:操作———概括

(1)图5是由边长为1的n2(n为大于1的整数)个连续小正方形所组成的图形.

它们经过适当分割(指只用剪刀沿直线剪开,不借助其他任何工具)后都能拼成一个大正方形,其分割线(图5中实线)的最少条数与小正方形的个数之间关系见下表,请填写下表中的空白处:

(2)如图6,边长为1的5个连续小正方形所组成的图案按(1)中的要求经过4次分割后能拼成一个大正方形,其拼成后的图形见方格纸.

边长为1的10个连续小正方形组成的图形(如图7),是否也能按照(1)中的要求经过适当分割后拼成一个大正方形呢?如果能,请在图7中画出分割线,并将分割后拼成的大正方形拼出来,粘在图7中.

(3)你是否还能举出一种非n2(n为大于1的整数)个连续小正方形所组成的图形,按(1)中的要求经过适当分割后拼成一个大正方形呢?试试看!

【活动说明】活动二的三个问题分为三个层次. 层次一:通过观察和对比,明确n2个小正方形拼成大正方形需要分割线的最少条数.层次二:通过观察图7,让前面的活动经验和问题(2)的内容产生共鸣,思维得到碰撞,从而产生解决图7中问题的方法.层次三:通过概括和总结,结合活动经验,寻找富有个性的解决问题的方法,寻找一般规律,培养化归思想,形成数形结合的解题意识.活动中,同学们通过小组合作,采用比较和归纳的方法,通过逐步尝试,完成了对解决一般问题方法的总结,提高了概括能力,提升了符号意识.

【活动收获】

在本节课的探究过程中,你有哪些感受与收获?回顾你的探究心路历程,请将你的探究经验、感悟和发现写成数学小论文.

九、研究论文

“二次根式”易错题辨析 篇6

一、概念理解不清晰

例1仔细辨析下列式子, 指出其中是二次根式的是_______.

【解析】本题考查两个知识点, 一是二次根式成立的条件:被开方数是非负数, 二是任何不为零的数的零次幂都等于1, 同学们容易忽略第二个考点.在解题时注意整体把握题目, 不可有遗漏.

答案:x≥0且x≠12.

A.a=6B.a=2

C.a=3或a=2D.a=1

答案:B.

二、性质掌握不牢固

答案:6.

答案:B.

答案:B.

三、运算缺乏灵活性

【解析】这是一道二次根式乘除混合运算的题目, 正确的做法是先通过倒除为乘将除法转化为乘法, 然后根据负号的个数确定积的符号, 再将系数与系数相乘, 被开方数与被开方数相乘, 最后化为最简二次根式.有的同学喜欢将每个二次根式先化到最简, 然后再乘除, 这样会使计算极其繁琐, 容易出错.

答案:194.

第12章二次根式 篇7

【名师箴言】

数学是创造性的艺术,因为数学家创造了美好的新概念;数学是创造性的艺术,因为数学家的生活、言行如同艺术家一样;数学是创造性的艺术,因为数学家就是这样认为的.

音乐能激发或抚慰情怀,绘画使人赏心悦目,诗歌能动人心弦,哲学使人获得智慧,科学可改善物质生活,但数学能给予以上的一切.

数学家导出方程式和公式,如同看到美丽的风景、听到优美的曲调一样而得到充分的快乐.

数学确属美妙的杰作,宛如画家或诗人的创作一样,是思想的综合;如同颜色或词汇的综合一样,应当具有内在的和谐一致.对于数学概念来说,美是她的第一个试金石;世界上不存在畸形丑陋的数学.

比较二次根式的大小 篇8

《义务教育数学课程标准 (2011 年版) 》 (以下简称《课标 (2011 年版) 》) 倡导过程教育以全面发挥数学的育人功能.但调研发现大多数教师的课堂教学与过程教育存在偏差, 特别是存在获得数学结果 (或解决问题) 的认知过程短暂和获得数学结果 (或解决问题) 之后的反思过程缺失的问题, 导致学生失去了发展能力与个性及感悟其蕴含的数学思想方法的机会.基于过程教育的浙教版《义务教育教科书·数学》八年级下册第一章第1节“二次根式”怎样教学?

最近, 借助宁波市特级教师带徒活动对此进行了一次专题探索与反思活动.活动的程序是:第一, 活动前3天物色两位教师分别对这节课的教学进行自我分析与设计;第二, 组织有关教师重复式观察这两位教师的课堂演绎;第三, 组织有关教师从“教什么”和“怎样教”两个角度进行研讨与交流;第四, 在研讨基础上要求其中一位教师对这节课进行教学重建与再实践;第五, 带徒导师分别从过程教育的角度对这节课的教学进行点评.初步的理论求证与实践验证表明, 重建后的教学操作方法对全面发挥其育人功能有积极的影响.本文呈现重建后的教学过程及教学点评, 希望对帮助教师认识与实践过程教育有积极的影响.

2 教学实录

环节1:经历产生并感悟二次根式的过程———明确研究问题

师:我们知道, 若一个数的平方等于a, 则这个数叫做a的平方根;正数的正平方根和零的平方根统称为算术平方根, 非负数a的算术平方根可用来表示.

师:现在请大家解答下列各题.

(1) 正方形木板的面积是3平方米, 则它的边长是多少米?

(2) 圆形光盘的面积是S平方厘米, 则它的半径是多少?

(3) 一个长方形的围栏, 长是宽的2倍, 面积为130平方米, 则它的宽是多少米?

(4) 一个直角三角形的两条直角边长分别为2cm, a (cm) , 则它斜边的长是多少?

(约2分钟后)

师:谁来汇报上述问题的答案?

师:好的.这说明许多实际问题中的数量和数量关系可用带根号的代数式来表示.这种代数式有何特征?有何性质?怎样运算?本章就来研究这些问题. (揭示课题)

环节2:参与定义二次根式的活动———形成二次根式的概念

师:代数式有何共同特点?

生2:它们都是算术平方根.

师:不错.像这样表示算术平方根的代数式叫做二次根式, 称为二次根号.

师:怎样用符号来表示二次根式?

生3:一般地, 二次根式可用来表示.

师:好的.这里a可以是数, 也可以是表示数的整式、分式.

师:可见二次根式的概念是有“形式+条件”构成的.为何被开方数必须大于或等于零?

生4:根据算术平方根的意义, 被开方数必须大于或等于零.

师:好的.二次根式的本质是非负数的算术平方根, 所以二次根式有双重性身份 (既表示运算, 也表示运算的结果) 和有双重非负性 (二次根式非负, 被开方数非负) .

师:获得二次根式概念经历了哪几个步骤?

生5: (1) 从实际问题中抽象出具体的二次根式; (2) 观察并归纳具体二次根式的共同特征; (3) 抽象二次根式的本质特征; (4) 用文字和符号定义与表示二次根式.

师:好的.这个思维活动的经验以后会经常用到.

环节3:参与概念应用的活动———合作解答有代表性问题

师:现在请大家合作解答下列问题.

问题1 怎样求下列二次根式中字母a的取值范围?

师:谁来回答中字母a的取值范围?

生6:因为a+1≥0, 得a≥ -1, 所以字母a的取值范围是大于或等于-1的实数.

师:解题的依据是什么?

生6:解题的依据是二次根式的概念———二次根号内的式子是非负数.

师:好的.谁来回答中字母a的取值范围?

生7:因为, 得1-2a>0, 即a<1/2, 所以字母a的取值范围是小于1/2的实数.

师:好的.谁来回答中字母a的取值范围?

生8:因为无论a取何值, 都有 (a-3) 2≥0, 所以a的取值范围是全体实数.

师:好的.上述解题的依据都是二次根号内的式子是非负数.

问题2 若, 问:

(1) 中字母x的取值范围是什么?

(2) 当x=-4时, y的值是什么?

(3) 当y=4时, x的值是什么?

师:谁来回答第 (1) 问?

生9:因为1-2x≥0, 得x≤1/2, 所以字母x的取值范围是小于或等于1/2的实数.

师:好的.谁来回答第 (2) 问?

生10:当x=-4时,

师:好的.谁来回答第 (3) 问?

生11:根据算术平方根的意义, 得1-2x=16, 所以x=-15/2.

师:好的.在中, x取1可以吗?为什么?

生12:不可以.因为x=1不在x≤1/2的范围内.

师:不错.若, 则x的取值范围是什么?

生13:因为1-2x≥0且2x-1≥0, 得x=1/2, 所以x的取值范围是1/2.

师:好的.x=1/2是题目隐含的条件, 以后经常要关注题目中的隐含条件.

师:若, 则能求x, y的值吗?

生14:能.因为, 得1-2x=0, y-3=0, 所以x=1/2, y=3.

师:好的.若两个非负数的和是零, 则每个非负数都是零.

师:用二次根式的双重非负性来解决问题以后会经常遇到.

问题3 一艘轮船先向东北方向航行2小时, 再向西北方向航行t小时.船的航速是每小时25千米.问:

(1) 怎样用t的代数式来表示船离出发地的距离?

(2) 当t=3时, 船离出发地的距离是多少 (精确到0.01千米) ?

师:请大家依次完成下列任务.

(1) 按题意画出图形;

(2) 在图形上标注已知条件;

(3) 结合图形分析解题思路.

(待学生完成任务)

师:谁来回答第 (1) 问?

师:你是怎样得到这个结果的?

生15:先用勾股定理, 再开平方.

师:好的.谁来回答第 (2) 问?

生16:当t=3时,

师:因为当t=3时, 有意义, 所以船离出发地的距离是90.14千米.

师:请大家把解题过程完整地写出来.

(待学生完成任务)

师:解决这个问题经历了哪几个步骤?

生17:按题意画出图形→在图形上标注已知条件→结合图形分析解题思路→列出二次根式→根据给定条件求二次根式的值→检验并作答.

师:好的.这个解决实际问题的思维活动经验以后会经常用到.

(接下来, 要求学生完成课本中的练习题, 并在学生完成任务后进行交互反馈与评价)

环节4:参与回顾与思考的活动———合作进行反思与总结

首先, 教师出示下列“问题清单”, 并要求学生围绕“问题清单”进行回顾与思考.

(1) 本节课研究了哪些内容?我们是怎样研究的?

(2) 若代数式是二次根式, 则它需要满足怎样的条件?

(3) 你对二次根式有何感触?你认为还应该研究什么?

其次, 教师组织学生合作交流, 同时教师边倾听、边评价.

最后, 在此基础上教师让学生欣赏二次根式的自述:

Hi!我是二次根式.我可以看成是从现实生活中抽象出来的, 我也可以看成是算术平方根的和谐扩展———从二次根号内的数到二次根号内是表示数的整式、分式.但我的本质是非负数的算术平方根.正因为我是算术平方根, 所以我也具有双重性身份 (既表示运算, 也表示运算的结果) 和双重非负性 (我是非负数, 我根号内的式子也是非负数) .我与整式、分式一样, 也是一类重要的代数式, 并且我能表示现实生活中的许多数量和数量关系, 以后你会经常用到我的双重非负性的性质, 不久你还能知道我的其他性质和运算法则.告诉你:认识我的基本思路是“从生活实例中产生我→观察并归纳我的本质特征→用文字和符号定义与表示我→在具体情境中认识我”.你在认识我的过程中, 还能发展智力、能力和个性.

3 教学点评

1) 二次根式可以看成是从现实生活中抽象出来的, 也可以看成是算术平方根的和谐扩展.它与整式、分式一样, 也是一类重要的代数式, 许多实际问题中的数量和数量关系能用二次根式来表示, 研究二次根式的思想方法具有普遍适用性.从生活实例中抽象出二次根式的过程和蕴含的生活常识、抽象思想、方程思想等;定义与表示二次根式的过程和蕴含的归纳思想、符号表示思想等;诠释二次根式概念的过程和蕴含的二次根式的双重性身份及二次根式的双重非负性.这些对发展学生智力、能力和个性有积极影响.尽管《课标 (2011年版) 》 (内容标准) 对二次根式概念的教学要求是了解, 但教材对二次根式概念处于归纳层次.因此, 二次根式概念的教学要经历“产生对象→观察个体特征→归纳共同特征→抽象本质特征→定义与表示对象→巩固对象”的完整认知过程.但部分教师在二次根式概念的教学中, 普遍存在获得概念的认知过程短暂和获得概念之后反思过程缺失的问题, 导致不能全面发挥其育人功能.本节课根据教材的意图和《课标 (2011 年版) 》 (内容标准) 对二次根式概念的教学要求, 以4个简单的实际问题为载体, 从学生已有的知识与经验出发, 运用教师价值引导与学生自主建构相结合的适度开放的方法, 引导学生经历了形成概念的完整认知过程———既有列式、求值、观察、归纳、抽象、定义、表示的认知过程, 以获得二次根式的概念, 也有获得概念之后反思的认知过程, 以加深认识“形式+条件”的二次根式概念, 感悟二次根式具有双重性身份和二次根式具有双重非负性及概念形成过程中蕴含的抽象思想、归纳思想、符号表示思想等, 积淀获得数学概念的思维活动经验.这体现了过程教育和以学为中心思想, 也遵循了处于归纳层次的概念教学的基本规范, 能全面发挥其育人功能.

2) 求给定二次根式根号内字母取值范围、求给定条件的二次根式值及用二次根式解决简单实际问题是整节课认知过程的后半段, 旨在再认二次根式的双重非负性、渗透函数思想方法、积淀用代数式解决实际问题的数学活动经验等.《课标 (2011 年版) 》 (内容标准) 对二次根式概念应用的教学要求是:会求给定二次根式根号内字母的取值范围, 会求给定条件的二次根式的值, 会用二次根式解决简单的实际问题.目前部分教师在二次根式概念应用的教学中, 普遍存在解题过程短暂和解答之后反思过程缺失的问题, 特别没有显化用二次根式解决实际问题的数学活动经验.本节课根据教材的意图和 《课标 (2011年版) 》 (内容标准) 对二次根式概念应用的教学要求, 以教材提供的例题和练习题为载体, 运用教师价值引导与学生自主建构相结合的方法, 引导学生经历了二次根式概念应用的完整认知过程———在问题1的教学中, 既有教师指导下的求给定二次根式根号内字母取值范围的过程, 也有解答之后反思解题依据的过程;在问题2的教学中, 既有教师指导下解答有关问题的过程, 也有解答之后的变式拓展的过程;在问题3的教学中, 既有画图、标注、分析、列式、求解、作答的过程, 也有解答之后反思解题步骤的过程.这体现了过程教育和以学为中心思想, 也遵循了问题解决教学的基本规范, 对巩固二次根式的概念、发展智慧技能、感悟其蕴含的数学思想、积淀用代数式解决实际问题的数学活动经验等有积极的影响.

总之, 全面发挥数学的育人功能需要过程教育, 而这节课的教学体现了过程教育和以学为中心思想, 能全面发挥其育人功能.因此, 在概念教学中要实现知识、技能、能力、态度的完美统一, 需要教师增强揭示概念所蕴含的思维活动过程的自觉性, 而引导学生经历实质性思维过程需要以符合“最近发展区”理论的题材为载体, 从学生已有的知识与经验出发, 运用教师价值引导与学生自主建构相结合的方法, 并引导学生经历完整的认知过程.

参考文献

[1]中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准 (2011年版) [M].北京:北京师范大学出版社, 2012.