极点

极点（通用12篇）

极点 篇1

2012年4月12日北京时间23:37, 一组吉祥的数字, 一个值得我永远铭记和怀念的时刻。就在此刻,我们这支探险队经过重重冒险,终于顺利抵达北极点,圆了我们征服世界之巅的梦!

下面, 我将用图片给大家分享这次到达北极点的详细情况。

北京时间4月12日23:30,直升机把我们送到了北极点。

北极点太洁白无瑕了, 这里的晴朗真不是一般的晴朗。身处此地,内心深处深深地被那份静谧所感染所打动。

由于北极点处于浮冰上, 而洋流推动着浮冰漂移,所以北极点的具体位置几乎每时每刻都在变化,不过GPS可以准确地定位。看看仪器定位的结果纬度清晰地显示我所站的位置就是北纬90度!

搭建营地是个体力活, 但因为这次是在北极点驻扎,我们每个人都显得特别有精神和效率, 没过一会, 我们便顺利地将帐篷搭建好。看看我们的成果,还不错吧!

搭建好营地帐篷后我迫不及待地拿出超级本,瞬间开机后马上开始传输抵达北极的照片, 记录抵达北极的兴奋感受。

探险北极,是对人类体能智慧的多重挑战。它挑战我们在恶劣环境中的生存能力,挑战我们对行程的掌控,同时,也挑战我们背包的重量和设备的性能。

极点 篇2

阅读《钱的极点》（作者：毕淑敏）一文，完成小题。（共11分）

现在无论同谁聊天，无论从哪说起，都会很快谈到钱。钱成了当今社会的极点。

我当过许多年的医生，虽是无钱之人，却凭医疗常识，想像钱的功能是有限的，理由从人的生理结构而来。钱能买来山珍海味，可再大的富豪也只有一个胃，一个胃的容积就那么大，至多装上两三斤的食物，外加一罐扎啤，也就物满为患了。你要是愣往里揣，轻则是慢性胃炎，重了就是急性胃扩张，后者有生命危险呢。更不屑说，长期的膏粱厚味，引起高胆固醇糖尿病等等。钱能买来绫罗绸缎，可再娇美的妇人也只有一副身段，一次只能向世人展现套在身体最外层的那套衣服。

人和动物在结构上实在是大同小异，从翩飞的蝴蝶到一只最小的蚂蚁，都有腹腔和眼睛。人和动物最大的区别就在于思想，而恰恰在这一面钢铁盾牌面前，金钱折断了蜡做的枪头。比如理想，比如亲情，比如自由……都是金钱的盲点。它们可以因了金钱而卖出，却不会因了金钱而被买进。金钱只是单向的低矮的闸门，永远无法积聚起情感的洪峰。

造物给予人的躯体是有限的，作为补偿，造物给人以无限的.精神。人的躯体的每一个细微之处，都是很容易满足的。造物以此来制约人对物质的欲望，鼓励思想的飞翔。于是人类在有了果腹的兽肉和蔽体的树叶之后，就开始创造语言、绘画和音乐……积蓄了一代又一代的精华，于是我们有了文学，有了艺术，有了哲学的探讨和对宇宙的访问……那都是永无穷尽的奥妙啊，只要人类存在一天，就会上天入地呕心沥血地寻找与提炼。

我们现在是站在钱的极点上，但人们在新的一轮物质需要满足之后，回过头来仍然要皈依精神，精神才是人类最大的财富。

小题1:通读全文，用自己的语言简要地概括作者的观点。（3分）

小题2:联系上下文，简述“人和动物最大的区别就在于思想，而恰恰在这一面钢铁盾牌面前，金钱折断了蜡做的枪头”这个句子中加点词语的含义。（4分）

小题3:结合上文的相关内容，联系生活实际，简要阐述你对末节中“精神才是人类最大的财富”这句话的认识。（4分）

参考答案：

小题1:钱是当今社会的极点，但精神才是人类最大的财富。

小题1:金钱在思想面前不堪一击，突出了思想在物质世界的重要性。

小题1:提示：观点明确，结合上文，有生活实例，阐述充分，表达流畅。（4分。内容与修辞各1分。）

如何应对高考极点 篇3

人们在进行诸如长跑、长距离骑单车、长距离游泳等耐力运动时，在运动的开始阶段会出现气急或难受的感觉，严重者甚至出现心慌、头晕、四肢无力的症状。这在运动生理学上叫做“极点”现象。这是因为在剧烈的运动中，支持心跳和呼吸的内脏没有跟上肌肉和关节等运动器官的行动步伐，从而引发人体不适，这种现象属于正常的生理现象。运动心理专家说，“极点”其实就是一种错觉，简单点说就是因为体内供能一时跟不上从而产生“断档”。其实，只要坚持下去情况就会好转。

很多同学在高考的长跑复习中也常常会遭遇“极点”，觉得自己坚持不下去了。他们的内心总是纠结着，甚至产生放弃的念头。

这种“极点”的产生往往发生在3～5月份，就是离高考还有两三个月的时候，经历了漫长的轮番复习和一系列联考、模考后，一些学生开始觉得累了、乏了、灰心了、丧气了、不想学了、学不下去了，想离开学校、想放弃高考。

“极点”中的高三生

让我们先来听听两位高三生小A与小B的心声吧。

小A的心声：

不想学了，我想走。

我觉得我很失败。考试没考好，别人都在进步，我反而在退步。

我有烦恼不知道和谁说，也找科任老师谈过，但好像没什么用，老师觉得我已经可以了，不错了。想找同学倾诉，又觉得同学们好像不太喜欢我。

我也不能和我妈说，她比我更烦。我有时候不想学了，躺在床上，妈妈就说，我为你花了这么多钱，你还不好好学习，你赔我。还和我算账什么的。我很烦，觉得对不起她。

我觉得没有人可以支持我，可以理解我。妈妈不喜欢我哭，说哭有什么用，好好学习才行。

我以前念小学、初中都在小县城，在那里我一直属于拔尖的，大家都觉得我很优秀。现在到了这个学校，我才发现自己一点都不优秀，考试成绩的名次比之前后退了很多。我受不了这种落差，我拼命努力但进步却很小。

我不甘心，我想上好一点的大学，我现在的成绩可能只能上二本，但是我想上一本，否则我这12年的努力都白费了。

小B的心声：

我最近睡不好觉，觉得挺烦的。

同桌为什么会这样对我，本来是很好的朋友，关系一直不错，现在突然变成这样了，让我觉得不舒服。

最近睡不着觉的时候，老在想：这么好的朋友，怎么一下子就变得对我不理不睬呢？

我觉得自己不笨，但就是考不好。

我想上××大学，我想上××大学，我想上××大学，可是我很担心我发挥不好，考不上。

我父母对我有期望，不能辜负。

极点产生的原因

小A从小就特别听话，自尊心特别强，总害怕被别人瞧不起，认为自己学习不好就不优秀。她妈妈对她的影响非常深远，她妈妈比较追求完美，对自己比较严格，对孩子也很严格。她妈妈内心总是焦虑，非常渴望孩子能够有美好的未来。她将过多的期望压在了孩子的身上，让孩子从小就背负起太多的责任。导致小A总是患得患失，对未来有着太多的恐惧，一旦觉得自己进步不大，实现不了自己（或者说妈妈）的期望时，就仿佛看到暗淡的未来，内心的情绪就开始纠结。

小B总是希望不要给别人惹麻烦，也不愿意和别人起冲突，即使再不乐意，都会把情绪压在心里而不表露出来。因为害怕得罪别人，害怕把关系搞僵，害怕别人不再喜欢自己，因此她总是选择忍耐。心里装了那么多不愉快，能不烦吗。人们睡前闭上眼睛的那一刻，就是人们和潜意识最接近的时刻，埋在心里的种种不愉快都会在这一刻通通冒出来，当然让人睡不着了。加上临近高考，小B非常担心辜负父母的期望。她的父母虽然表面上说不在乎，但是青少年是很敏感的，她会觉得父母根本就是在骗人，明明在乎却好像不在乎，这种欲盖弥彰的做法会给小B带来更大的压力。

所以说，高考“极点”产生的原因是多方面的：人际关系的内心冲突、对未来的恐惧担忧、满足不了父母期望的担心、内心负性情绪的积压、竞争的压力等等。

遭遇极点后的对策

离高考的时间越来越近了，希望同学们能够从容面对高考“极点”，学会自我调节。

首先，适当的压力可以转化为动力，但是过度的压力就好像是一颗定时炸弹，会让人容易情绪激动，脾气暴躁，之后又会内疚和不安。因此，我们要学会自己主动寻求滋养和关爱，比如经常主动和父母拥抱，或者和朋友拥抱——拥抱会使人非常放松。只要你经常记得：一天一个拥抱，会让你幸福一天；一天四个拥抱，会让你幸福一月；一天八个拥抱，会让你幸福一年；一天十二个拥抱，会让你幸福一辈子。

其次，当你内心纠结的时候，可以对着镜子里的那个人说：我喜欢你现在的样子，我接纳你现在的样子。如果我曾经虐待过你，对不起，请原谅，我爱你。重复这几句话，会让你的身体渐渐放松下来，会让你的心渐渐平静下来。只要你说话时是专注并且发自内心的，这几句话就会散发出无穷的力量。

再次，制作“情绪小卡片”，当你内心产生冲突、当你开始害怕担忧、当你烦躁不安又无处倾诉的时候，将这些内心的语言写在你的“情绪小卡片”上。如果你永远不希望别人了解你的内心，就将它们烧掉或者撕掉，或者埋在什么地方，这样做会缓解你内心的焦虑不安。如果你希望将它保存下来，说不定以后还能出本“高考情绪攻略”书了。

最后，也算是老生常谈，请学会求助老师。老师会永远等待你，陪伴你，支持你，相信你，拥抱你。

谁第一个到达北极点 篇4

这顶桂冠最终被美国探险家皮尔里获得。为了这顶桂冠,他几度向北极冲刺,才取得了成功。

1902年,皮尔里开始向极地进发。他在北纬80°的地方,建立了几座仓库,为未来的北极探险减少负载。这次探险,也帮助皮尔里适应北极环境,为以后的成功创造了条件。

又过了3年,1905年,50岁的皮尔里再次组织北极探险。探险队登上“罗斯福号”船,从纽约出发,向北方驶去。同去探险的,除了白人探险家外,还有一些熟悉北极情况的爱斯基摩人(注:现称“因纽特人”)。

1906年2月,探险船来到了赫克拉岬地。皮尔里指挥爱斯基摩人在冰上建立航线和补给站,以节约极点冲刺突击队员的体力。但是,爱斯基摩人在建立补给站时遇到极大的困难,皮尔里最终放弃了这个设想。第二次探险又没有达到目的。

1909年3月1日,皮尔里再次组织北极探险。他们从哥伦比亚岬地出发,组织了补给队。他挑选了4个最强壮的爱斯基摩人,加上他的黑人仆人马休·汉森,还有他自己,组成了一个向极点冲刺的突击队。5部雪橇载着6位队员,由40只狗拉引着向北极点前进。他们越过了240公里冰原,4月6日,到达了离北极点还有8公里的地方。这里是北纬89°57'。多少年来无数探险家企盼的北极点已经遥遥在望了。

成功在即。为了这一步的成功,多少人葬身北极,多少人徒劳而返。如今,皮尔里一行终于临近了多少人梦寐以求的北极点。他们测定了位置,然后一鼓作气,登上了北极点。北极点没有陆地,而是结了坚冰的海洋。他们在这里插上美国国旗, 国旗的一角上写着:“1909年4月6日,抵达北纬90°。皮尔里。”

唯美到极点的伤感句子 篇5

1.曲终人散，几行催人泪，苦苦十年的追寻竟然是这样的结果。也许我不该执着，但是我放不下，忘不了。自此，我长年买醉，混迹于风花雪月的场所，几多胭脂几多愁，几世烟火几世愁，惹下了多少情缘乱。

2.红尘独行，尝遍离别之苦。但是身为过客，我何必伤怀?该走的人不会留下，只需期盼有缘再见，无缘相忘。一个人独享繁华独撑荒凉，随缘而行，不挽留不伤悲。

3.当我们成了最熟悉的陌生人时，何必要在一起呢?我们就这样散了，相忘于江湖吧，还能给彼此留下一些美好的回忆，不要让最后的情分都在沉默的尴尬之中消失殆尽……

4.那 一丝琴音，如今相隔忘川两岸;那一点情思，如今却是婉转流年;春风又拂江南，桃花开遍两岸，思念千般梦残，伊人却是难返;依旧是那积雨河畔，不变只是孤影 相伴;红烛倒映灯火阑珊，雾霭沉沉终望不穿;桃花依旧灿烂，情债而今难还;欲求静思放下孤盏，却是情思被风吹乱;雨落如丝连成思念，终成流水无情短暂;长 夜漫漫辗转难眠，半城烟花终究是叹!

5.一个无心的人，听到他玩的很好的异性朋友要结婚了，心里居然会很难过，这样是有心还是无心?有心为什么他不知道自己喜欢他，无心又为何会痛?

6.昔日曾经放纵过，颓废过，沦落过……是的，我承认。如今醒了，任性的时候过了，该成熟了，该为自己前途着想了。而现在却迷茫了，摸不着路了，不想再沉沦了。我一直在很努力的改变。试问，有谁真正的关心过我支持过我鼓励过我，

还不是一如既往的蹂躏我人格!心累了……

7.我就像现在一样看着你微笑，沈默，得意，失落，于是我跟着你开心也跟着你难过，只是我一直站在现在而你却永远停留过去。

8.还想起了什么?戏台前水袖翩舞的旦角与谢幕时帘布下的凝视的双眸?又或者，雨巷 里摇曳丁香色的女子与青石板边撑油纸伞的书生?

9.而今夜，就在今夜，有朵花自指尖盛开。听到一声望穿秋水的悸动，在瓣与瓣之间延展，宛若甜乡暖梦，真抵柔软的心底部，在那人必经的路旁，芳菲满地。

10.我，站在庭院深处，看天上的云卷云舒，也看庭前的花开花落，甚至听飞鸟低鸣，春声脆响，唯一没有你别后的点滴消息。

11.缓缓打开蛰伏多年的往事，窗前风铃依旧摇响。临窗而立，不胜寒凉。我们都不在岁月的堤岸边频频回首，也不在时光的流失里黯然神伤。我们都已走过曾经的葱茏季节，一路前行，不愿停歇。

12.在冬日的黄昏，没有飞雪的夜晚，我的.孤独是关闭的一扇窗，没有人走近打开，也没有人轻轻扣响，我知道，我习惯于这样的躲藏。

13.可能你不知道，因为你，我每天失魂落魄。在过去，我的夜，会在一个舒坦的美美的梦中度过。可如今，我只要一闭双眼，你的容颜便会立马跳入我的眼线。一夜间，我只能用字画来解这想念。我想，这就是想念你的代价吧!

14.如果时间可以重来，我宁愿从来都不认识你，如果时间可以重来，我宁愿从来都不遇见你。这样我就不会是现在这样，我还是那个没心没肺的我，只是我而已。

音响发烧 high到极点 篇6

价格：5400

单品介绍：两款 Picoforte 音响均采用KEF的专利 Uni-Q同轴共点单元组合技术，拥有航天材质的专利驱动器，让高音扬声器能够架设在中音单元的中心，创造单点声源，让顾客能于家中任何一个角落享受完美的音质；分离式中音单元更能在宽广的空间放送清晰原声，完美呈现出每一个音节旋律；立方形的超低音扬声器播出的重低音浑厚震撼，打造专属于发烧级音响的高品质气派。

入选理由：KEF Picoforte MCE 的设计源自获奖无数的 KEF 家庭影院扬声器系列，Picoforte 3 MCE 和 1 MCE 分别配备 KHT3005SE 和 KHT1005.2 家庭影院系统的扬声器。其中，KHT3005SE 的扬声器为两路低音反射式设计，高低音表现更为突出，先后荣获著名音响杂志《What Hi-Fi》颁发的 2005、2007 及 2008 年度产品大奖，以及由 19 个欧洲城市中50 本杂志组成的权威机构 EISA 颁发的 2006-2007 年度评选大奖。

适合人群：iPod 达人

名称：美国SONOS公司的SONOSS5 无线播放器

价格：2700

单品介绍：高中频清晰通透，低音饱满，还原音源失真率因此被降至了最低，发烧友最为推崇的真实声音再现理论，被SONOS 的S5 发挥得淋漓尽致。若配合同样强劲的ZP120 单通道不小于55W 且小于0.02%的总谐波噪音失真，再加上专业辅助性极强的ZP90，全然便是一套可供全方位聆听的家庭专业音响系统。

入选理由：这个集结两个高音单元，两个中频单元及一个低音单元的全数字音频架构是笔者见过的DSP 数字电路校准最为精确的系统之一，无论你是上世纪九十年代不折不扣的完美音质追随者，还是本世纪发烧级的音响鉴赏家，你都不得不对SONOS 的S5 播放器评头论足。

适合人群：偏爱无线电子的简洁生活者

名称：德国ELAC公司的MicroMAGIC 2.1 BT多媒体音响

价格：21970

单品介绍：MicroMagic2.1BT2.1声道Hi-Fi系统由ELAC的SUB2010BT超低音音箱和1对301书架箱组成。SUB2010BT超低音音箱采用两只115mmAS单元以推挽的方式工作，最低下潜深度为36Hz，并且内置了四台55瓦的D类放大器，分别推动两只低音单元以及一对书架箱。SUB2010BT还带有蓝牙无线传输功能，能实现无线音乐信号的传输。而ELAC301采用两路分音设计，由一个19mm的ringdome高音单元以及80mm的低音单元组成。

入选理由：这款音响以外接式电源供电，除供应超低音所需外，可额外提供2声道各70瓦输出功率，足以驱动卫星小喇叭。最特别的是它可接受蓝牙无线传输，因此你的手机或电脑都可以成为它的讯源。此外也能够以RCA输入，并调整分频点与整体音量，是时下数位音乐聆听盛行的最佳解决方案之一。

带极点的有理样条函数 篇7

经典样条理论多是在多项式空间进行的,文献[1]以实例说明了有理函数逼近效果更佳,因此,有理函数逼近作为多项式逼近的推广多年来愈来愈引起人们的关注,近年来有理逼近已成为数值逼近,函数逼近论,CAGD等领域的研究热点,并已在无限维动力系统中得以应用[2]。

有理样条函数是多项式样条的一种自然推广,特别是对带极点的函数,现给出的带极点有理样条函数逼近是合适的。文献[3]介绍了1980年以来,有理样条的一些结果,但这些结果一般还将导致非线性方程组,计算复杂。为了避免有理样条插值的这个困难,基于四维带极点有理函数空间U4建立一种有理样条函数。

1 带极点有理函数空间

定义1[4] 设[a,b]是一个实紧区间,给定$p{}_1,p{}_2,\cdots ,p{}_d\in \overline{R}[a,b]$和一组正整数n1,n2,…,nd,定义函数组μi(1≤i≤n)如下(其中$\overline{R}=R{\displaystyle \cup \{}\infty \}$,${\displaystyle \sum _{i=1}^d}$ni=n):

$\mu {}_{kj}(x)=\{\begin{array}{cc}x{}^{j-1}‚& (1\le j\le n{}_1,k=1)\\ \frac{1}{(x-p{}_k){}^j}‚& (1\le j\le n{}_k,k=2,\cdots ,d)\end{array}(1)$

记线性包Rpn=span{μkj}${}_{k=1,j=1}^{d,n{}_k}$,则称Rpn为带极点的有理函数空间。称广义数列$\overline{p}=(\stackrel{n{}_1}{{\displaystyle \stackrel{⌢}{p{}_1,\cdots ,p{}_1}}},\stackrel{n{}_2}{{\displaystyle \stackrel{⌢}{p{}_2,\cdots ,p{}_2}}},\cdots ,\stackrel{n{}_d}{{\displaystyle \stackrel{⌢}{p{}_d,\cdots ,p{}_d}}})$为极点列(其中p1=∞)。

易见μi(1≤i≤n)线性无关,因此Rpn为n维向量函数空间。

文献[5]中给出了空间Rpn上满足

$\lambda {}_s(p)=\lambda {}_s(f)‚s=1,2,\cdots ,n(2)$

的有理函数p,其中广义泛函

$\begin{array}{l}\lambda {}_s=\lambda {}_{ij}=\frac{\text{d}{}^{j-1}(\cdot )}{\text{d}x{}^{j-1}}|{}_{x=x{}_i}\\ (i=1,2,\cdots ,k.j=1,2,\cdots ,m{}_k)(3)\end{array}$

这里s=${\displaystyle \sum _{l=1}^{i-1}}$ml+j(m0=0)。

该文献还证明了问题的存在唯一性,进一步推导了误差表示。

2 四阶带极点有理样条函数

由于高次函数的不稳定性,实际应用中常常利用低阶函数空间来进行插值。下面在具有两个极点的四维空间U4=span$1,x,\frac{1}{x-a+\epsilon },\frac{1}{b+\epsilon -x}$上研究有理样条问题。

2.1 C1类分片低次有理插值函数

定理1 对[a,b]做分割a=x0<x1<…<xn=b,每个区间$\left[x{}_{i-1},x{}_i\right](i=1,2,\cdots ,n)$上相应的C1类低次Hermite有理插值表达式为

$\begin{array}{l}p(t)=(f{}_0\left(\frac{t-x{}_{i-1}}{h{}_i}\right),f{}_1\left(\frac{t-x{}_{i-1}}{h{}_i}\right),\\ h{}_{i}g{}_0\left(\frac{t-x{}_{i-1}}{h{}_i}\right),h{}_{i}g{}_1\left(\frac{t-x{}_{i-1}}{h{}_i}\right))\left(\begin{array}{c}f(x{}_{i-1})\\ f(x{}_i)\\ f^{\prime }(x{}_{i-1})\\ f^{\prime }(x{}_i)\end{array}\right)(4)\end{array}$

基函数分别为

$\begin{array}{l}f{}_0(x)=\epsilon {}^2+\epsilon +1+(-2\epsilon {}^2-2\epsilon -1)x-\\ \frac{(\epsilon +1){}^2\epsilon {}^2}{x+\epsilon }+\frac{(\epsilon +1){}^2\epsilon {}^2}{1+\epsilon -x}‚\\ f{}_1(x)=-\epsilon (\epsilon +1)+(2\epsilon {}^2+2\epsilon +1)x+\\ \frac{(\epsilon +1){}^2\epsilon {}^2}{x+\epsilon }-\frac{(\epsilon +1){}^2\epsilon {}^2}{1+\epsilon -x}‚\\ g{}_0(x)=\epsilon (\epsilon +1)-\epsilon (\epsilon +1)x-\\ \frac{(\epsilon +1){}^3\epsilon {}^2}{(2\epsilon +1)(x+\epsilon )}+\frac{(\epsilon +1){}^2\epsilon {}^3}{(2\epsilon +1)(1+\epsilon -x)}‚\\ g{}_1(x)=-\epsilon (\epsilon +1)x-\frac{(\epsilon +1){}^2\epsilon {}^3}{(2\epsilon +1)(x+\epsilon )}+\\ \frac{(\epsilon +1){}^3\epsilon {}^2}{(2\epsilon +1)(1+\epsilon -x)}。\end{array}$

容易验证这组规范基满足

(1) f0(x)+f1(x)=1;

(2) fi(j)=gi′(j)=δij, (i,j=0,1);

fi′(j)=gi(j)=0, (i,j=0,1)。

定义2 函数组(f0(x),f1(x),g0(x),g1(x))称为空间U4上的规范低次有理Hermite基。

对分片低次Hermite有理插值p(t)有下面的误差定理。

定理2 设M(t)=(t-xi-1+εhi)((1+ε)hi-t+xi-1),w(x)=(x-xi-1)2(x-xi)2,则区间[xi-1,xi]上满足条件p(xi) = yi,p′(xi) = yi′ (i=0,1,2,…,n)的C1类分片低次Hermite有理插值p(t)的插值余项为

$f(t)-p(t)=\frac{w(t)}{4!{\rm M}(t)}({\rm M}(\xi )f(\xi )){}^{(4)}‚\xi \in (x{}_{i-1},x{}_i)(5)$

且 |R(t)|=|f(t)-p(t)

$\begin{array}{l}\le \frac{h{}_i^2}{384\epsilon (1+\epsilon )}\times \\ \underset{x{}_{i-1}\le \xi \le x{}_i}{{\displaystyle \max }}|({\rm M}(\xi )f(\xi )){}^{(4)}|。\end{array}$

2.2 C2类有理插值样条函数

定义3 给定一个分划Δ:a=x0<x1<…<xn=b,函数s(x)满足

ⅰ)在每个区间$\left[x{}_{i-1},x{}_i\right](i=1,2,\cdots ,n)$上,

$\begin{array}{l}s(t)=a{}_{i0}+a{}_{i1}\frac{t-x{}_{i-1}}{h{}_i}+a{}_{i2}\frac{1}{\left(\frac{t-x{}_{i-1}}{h{}_i}\right)+\epsilon }+\\ a{}_{i3}\frac{1}{1+\epsilon -\left(\frac{t-x{}_{i-1}}{h{}_i}\right)}(6)\end{array}$

ⅱ)s(t)∈C2[a,b]。

则称s(t)为区间[a,b]上关于分划Δ的四阶带极点有理样条函数。若还满足在节点xi(i=1,2,…,n)处有s(xi)=yi,则称s(t)为[a,b]上的关于Δ的四阶带极点有理插值样条函数。该样条空间称为四阶带极点有理样条函数空间,记为R3,2 (2)(Δ; U4 )。

下面给出常见边界条件下样条存在唯一性,同时给出样条的计算方法。

定理3 给定常见的几种边界条件:

$(a)\{\begin{array}{l}{s}^{\prime }(x{}_0)=y{}_{0^{\prime }}\\ s^{\prime }(x{}_n)=y{}_{n^{\prime }}\end{array}‚(b)\{\begin{array}{l}s{}^{˝}(x{}_0)=y{}_{0^{″}}\\ s{}^{˝}(x{}_n)=y{}_{n^{″}}\end{array}‚$

$\begin{array}{l}(c)\{\begin{array}{l}{s}^{\prime }(x{}_0)=y{}_{0^{\prime }}\\ s{}^{˝}(x{}_n)=y{}_{n^{″}}\end{array}\text{或}\{\begin{array}{l}s{}^{˝}(x{}_0)=y{}_{0^{″}}\\ s^{\prime }(x{}_n)=y{}_{n^{\prime }}\end{array},\\ (d)s{}^{˝}(x{}_{-1})=s{}^{˝}(x{}_{n+1})=0。\end{array}$

则在上述边界条件下四阶带极点有理插值样条函数存在且唯一。

证明 由于定理1中样条函数满足内节点处一阶连续,即s(t)∈C1[0,1],由 内节点处二阶连续 s″(xi-0)=s″(xi+0),得

$\begin{array}{l}\frac{h{}_{i+1}}{h{}_i+h{}_{i+1}}m{}_{i-1}+\frac{2\epsilon {}^2+2\epsilon +1}{\epsilon (\epsilon +1)}m{}_i+\frac{h{}_i}{h{}_i+h{}_{i+1}}m{}_{i+1}=\\ \frac{3\epsilon {}^2+3\epsilon +1}{\epsilon (\epsilon +1)}\left[\frac{h{}_{i+1}}{h{}_i+h{}_{i+1}}\frac{y{}_i-y{}_{i-1}}{h{}_i}+\frac{h{}_i}{h{}_i+h{}_{i+1}}\frac{y{}_{i+1}-y{}_i}{h{}_{i+1}}\right](7)\end{array}$

设

$\{\begin{array}{l}\lambda {}_i=\frac{h{}_{i+1}}{h{}_i+h{}_{i+1}},\mu {}_i=1-\lambda {}_i\\ l{}_i=2+\epsilon {}^{-1}(\epsilon +1){}^{-1}(i=1,\cdots ,n-1)\\ c{}_i=(3+\epsilon {}^{-1}(\epsilon +1){}^{-1})\times \\ \left[\lambda {}_i\frac{y{}_i-y{}_{i-1}}{h{}_i}+\mu {}_i\frac{y{}_{i+1}-y{}_i}{h{}_{i+1}}\right](8)\end{array}$

则方程(7)可化为

$\lambda {}_{i}m{}_{i-1}+l{}_{i}m{}_i+\mu {}_{i}m{}_{i+1}=c{}_i(i=1,2,\cdots ,n-1)(9)$

n-1个方程n+1个未知数,边界条件给出2个附加方程。由边界(a)(b)(c)(d)得到的附加方程

$\begin{array}{l}l{}_{0}m{}_0+\mu {}_{0}m{}_1=c{}_0,\\ \lambda {}_{n}m{}_{n-1}+l{}_{n}m{}_n=c{}_n。\end{array}$

因此二阶有理样条插值函数的求解归结为下面方程组的求解。

$\begin{array}{l}\left(\begin{array}{ccccccc}l{}_0& \mu {}_0& & & & & \\ \lambda {}_1& 2+\epsilon {}^{-1}(1+\epsilon ){}^{-1}& \mu {}_1& & & & \\ & ⋮& ⋮& \ddots & & & \\ & & & & \lambda {}_{n-1}& 2+\epsilon {}^{-1}(1+\epsilon ){}^{-1}& \mu {}_{n-1}\\ & & & & & \lambda {}_n& l{}_n\end{array}\right)\times \\ [m{}_{0}m{}_1\cdots m{}_{n-1}m{}_n]{}^{{\rm T}}=[c{}_{0}c{}_1\cdots c{}_{n-1}c{}_n]{}^{{\rm T}}(10)\end{array}$

(10)式中λi,li,μi,ci(i=1,2,…,n-1)l0,ln见式(8), μ0,λn,c0,cn由各边界条件可得。方程组(10)的系数矩阵是严格对角占优的。由基尔希高林(Gershgorin)定理知上述有理样条函数若规定了型值yi(i=0,1,…,n),则它的解存在且唯一,同时解法是稳定的。

可以证明上述定理所得R3,2 (2)(Δ ;U4 )中有理样条函数的误差估计可达到$o(h{}^{\frac{3}{2}})$。

摘要：主要研究带极点有理样条函数空间——R3,2(2)(Δ;U4),不仅证明了样条函数的存在唯一性,而且还给出了其计算方法。该方法利用Gershgorin定理,由追赶法求解,解法稳定。

关键词：带极点有理空间,C1类分片有理插值,带极点有理样条,边界条件

参考文献

[1]Langer R E.On numerical approximation.Madison:The University of Wisconsin Press,1959:25—43

[2]Angel R S,Guillermo L L.Approximation of transfer of infinite di-mensional dynamical systems by Tational interpolants with prescribed poles.Journal of Mathematical Analysis and Application,2000;244(1):147—168

[3]王仁宏,朱功勤.有理函数逼近及其应用.北京:科学出版社,2004

[4]Muehlbach G.Interpolation by Cauchy-Vandermonde systems and ap-plications.Journal of Computational and Applied Mathematics,2000;122(2):203—222

基于极点配置下的采样周期分析 篇8

在实际工程设计中, 计算机控制系统的采样周期是一个非常重要的参数, 其不但会影响系统的稳定性, 而且对控制效果有很大影响。香农采样定理 (ωs≥2ωmax) 给出了采样周期的下限频率, 单从控制性能来讲上限频率应越大越好, 但是系统负荷将会加剧, 加之过高的采样频率会将干扰或小误差当作主要信息, 所以这种情形下系统性能改善不会明显。在工程实践中, 采样周期选取多采用经验方法, 如流量:1～5s, 压力:3～10s, 温度:15～20s等[1], 均是定性的结果。

在控制理论研究中, 当采样周期很小时采用传统的移位算子或Z变换对系统进行离散化, 将导致采样系统的所有极点位于稳定边界上, 容易引起数值运算的不稳定, 使离散化的系统稳定性变差。基于这种原因, 文献[2]提出了Delta算子离散化连续系统的方法, 在这种方法下小采样周期使离散模型趋于原来的连续模型, 既避免了由Z变换引起的数值不稳定问题, 又使系统的性能趋于连续状态, 因此这种方法特别适合计算机控制系统中对采样周期这个参数的研究。

利用Delta算子对控制系统丰富的研究成果, 文献[3]探讨了Delta算子体系下线性系统的鲁棒控制, 文献[4]利用Delta算子研究了一类离散系统的鲁棒稳定性, 在张端金的研究成果中[5,6,7,8], 作者采用Delta算子对不确定系统的多目标鲁棒控制、鲁棒性能分析、状态反馈、区域极点配置和镇定等问题作了研究, 但是这些成果都是在Delta算子体系下, 固定采样周期得到的, 并没有对采样周期变化对系统的影响做研究;文献[9]给出了三种不同采样周期下系统的性能, 重在说明Delta算子在高采样频率下的有效性, 对采样周期对系统性能的影响并没有探讨, 同样没有给出采样周期的取值范围。

本文研究的目的是通过对采样周期连续变化时系统的性能变化来定量获得这个参数在实际工程设计中的选取原则。考虑到应用的一般性, 本文考虑线性时变系统, 以Delta算子为理论工具, 以经典的区域极点配置为控制系统设计目标, 控制方式采用状态反馈形式, 探讨求解最大采样周期的算法, 并研究在采样周期变化情形下的系统性能, 以期为实际采样周期选取提供定量依据。 (1)

2 问题描述

考虑如下的线性连续系统:

式中:x (t) ∈Rn———系统状态;u (t) ∈Rm———控制输入;A, B, C———适维的常值矩阵。

考虑状态反馈控制:

则闭环系统为:

式中:Ac= (A+BK) , K∈Rn×m。

Delta算子定义为[2]:

式中:T———采样周期;q———前移算子, 即:

将式 (3) 基于式 (4) 离散化有[10]:

式中:I∈Rn×n———单位阵。

对系统 (1) 考虑极点满足Re (λi) ≤-α (i=1, 2, …, n) , 这样即可保证系统有优于e-αt的衰减率, 在Delta算子域中, 上述极点配置, 即对应着复平面上的D (a, r) , 其中a为圆心坐标 (-1/T, 0) , r=1/T-α代表半径。这两种域中的对应关系如图1所示。

在Re (λi) ≤-α约束下, 最终问题可以归结为:

(1) 求解最大的采样周期;

(2) 采样周期变化时, 对系统性能的影响。

3 控制器设计

由文献[10]可知, 矩阵的特征值位于图1所示区域内, 当且仅当存在正定矩阵P满足如下矩阵不等式:

即:

分析矩阵不等式 (8) 可以发现:

待求量为T、P、K, 且存在未知变量的乘积项TPA、TBKP, 显然式 (8) 不是LMI, 无法用Matlab LMI工具箱求解, 但是若假定采样周期T固定, 定义G=KP, 则式 (8) 为LMI, 可以基于工具箱来求解, 同时这种假定也为求解最大的采样周期提供了思路。

求解采样周期的上限具有实际意义, 因为在实际工程设计中总希望能够找到满足控制要求的最大采样周期, 这样可以为控制器的参数选择提供借鉴, 下面以数字PID控制器中采样周期的作用来加以说明。

数字PID控制器公式如下:

或

式中:k———采样序号, k=0, 1, 2…;u (k) ———第k次采样时刻的计算机输出值;e (k) , e (k-1) ———第k次和第k-1次采样时刻输入的偏差值;kI=KPT/TI (TI为积分时间) ———积分系数;kD=KPTD/T (TD为微分时间) ———微分系数。

可以看出, 积分系数KI和微分系数KD中都包含采样周期T, 所以确定合适的采样周期是PID参数整定中十分关键的步骤, 对于其他控制算法也是如此, 因此如何获得系统稳定条件下的最大采样周期就非常重要, 下面给出一种求解最大采样周期的算法。

4 最大采样周期的求取算法

通过对前面的研究, 为了求解最大采样周期maxT, 必须用算法来逼近其边界, 但是在求解时T必须是已知量, 所以算法是逆解问题。问题可以描述为:在状态方程 (1) 和控制取 (2) 的情形下, 满足极点约束条件时, 求取最大的采样周期T。考虑到当假定T固定时式 (8) 就是线性矩阵不等式, 为了利用Matlab的LMI工具箱, 提出如下算法。

Step1:读入相关参数A、B、α;

Step2:估计采样周期的范围T∈ (minT, maxT) , 设定迭代结束的最小采样时间精度ξ;

Step3:令G=KP, 并计算r=1-Tα, 取T=21 (minT+maxT) , 求解如下LMI的可行性:

式中:*———对称项;

Step4:判断并跳转

(1) 若不可行:

maxT=T并返回Step3;

(2) 若可行:

进一步计算T=21 (minT+maxT) , 判断若minT-T<ξ, 则退出, 到Step5, 否则返回Step3;

Step5:输出最大采样周期Tmax=T。

5 仿真研究

考虑如式 (1) 所示系统, 取:

取α=1.5, 算法的迭代精度ξ=0.001, 首先采用上面算法求解得到最大采样周期Tmax=0.665, 然后利用Matlab的LMI工具箱求解式 (8) , 研究当T从0～Tmax变化时系统的性能变化, 取初值x0=[1 1]T仿真研究误差的变化情况。

分别取T=0.2s和T=0.5s作为研究对象, 结果如表1所示, 仿真曲线如图2和图3所示。

当T从0～0.665变化时系统参数如图4、图5所示。

仿真结果分析:

(1) 从图2和图3可以看出误差均很快减小为0, 说明控制器是有效的;对比两副图可以看出当T=0.2s时, 系统的稳定时间为2.6s, 而当T=0.5s时, 系统的稳定时间为4.5s, 所以T和稳定时间成正向关系, 从图5也能得到体现。

(2) 图4和图5分别是当T从0连续变化到最大采样周期Tmax时系统的参数变化, 前者是控制律分量绝对值的曲线, 后者是闭环系统特征根实部绝对值的变化规律, 可以看出:随着T的增大, 特征根实部绝对值逐渐减小, 而控制量的绝对值也有相同的规律, 这也就说明提高控制效果 (增大衰减率) 是以增大控制量为代价的, 在实际系统设计中必须对二者加以权衡。

6 结论

在实际工程设计中, 技术人员一般都是假定系统尽可能的简单, 如一阶、二阶、一阶加延时等, 这些模型都是在工程中大量采用的, 为了使本文的结果有实用价值, 在对系统模型的选择中采用了线性时变系统, 以经典的极点配置为控制目标, 基于状态反馈原理设计了控制律。闭环系统离散过程中采用Delta算子理论, 避免了在研究过程中当采样周期过小时系统的不稳定, 最终得到含有三未知量的矩阵不等式, 为了求解方便给出了最大采样周期的算法, 并进行了仿真研究, 结果表明在控制系统设计中, 采样周期的选择不能过大, 必须在控制效果和控制代价之间找到一个平衡点, 既保障系统的控制要求, 又最大程度地挖掘到控制系统潜力。

参考文献

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[7]张端金, 吴捷, 杨成梧.Delta算子系统的状态反馈鲁棒镇定与鲁棒H?控制[J].控制理论与应用, 2001, 18 (5) :732-736.

[8]张端金, 吴捷, 杨成梧.Delta算子系统圆形区域极点配置的鲁棒性[J].控制与决策, 2001, 16 (3) :337-340.

[9]李惠光, 武波, 杨晨影, 等.基于LMI的Delta域内的H?状态反馈设计[J].控制与决策, 2001, 16 (Supp1) :775-778.

极点 篇9

一、极点的乘除判别法

1. 极点的乘判别法

设函数f (x) 在u (x0, δ) 存在一阶导数f' (x) 且f' (x0) =0, 若f' (x) 可以分解成为两个函数的乘积, 即f' (x) =g (x) h (x) , 其中g (x0) =0, h (x0) ≠0且函数h (x) 在x0点连续, 则: (1) 当g (x) 在x0的左右邻域内异号时, x0是f (x) 的极点; (2) 当g (x) 在x0的左右邻域内同号时, x0不是f (x) 的极点.

证明由题知h (x0) ≠0, 不妨设h (x0) >0.又由于h (x) 在x0点连续, 则根据连续函数的局部保号性有:δ1 (δ1<δ) , x∈ (x0-δ1, x0+δ1) , 有h (x) >0. (1) 当g (x) 在x0的左右邻域内异号时, δ2>0, 使g (x) 在 (x0-δ2, x0) 和 (x0, x0+δ2) 内符号相反.取δ3=min{δ1, δ2}, 则f' (x) =g (x) h (x) 在 (x0-δ3, x0) 和 (x0, x0+δ3) 内的符号相反.故x0是函数f (x) 的极点. (2) 当g (x) 在x0的左右邻域内同号时, δ4>0, 使g (x) 在 (x0-δ4, x0) 和 (x0, x0+δ4) 内符号相同.取δ5=min{δ1, δ4}, 则f' (x) =g (x) h (x) 在 (x0-δ5, x0) 和 (x0, x0+δ5) 内的符号相同.故x0不是函数f (x) 的极点.

同理可证当h (x0) <0时, 命题仍然成立.

2. 极点的除判别法

设函数f (x) 在u (x0, δ) 存在一阶导数f' (x) 且f (x) 在x0点连续, 若f' (x) 可以分解成为两个函数的商, 即f' (x) =h (x) /g (x) , 其中g (x0) =0, h (x0) ≠0且函数h (x) 在x0点连续, 则: (1) 当g (x) 在x0的左右邻域内异号时, x0是f (x) 的极点; (2) 当g (x) 在x0的左右邻域内同号时, x0不是f (x) 的极点.

注极点的除判别法的证明类似于极点的乘判别法的证明, 它主要用于判别一阶导数不存在的点是否为极点.

二、拐点的乘除判别法

1. 拐点的乘判别法

函数f (x) 在u (x0, δ) 存在二阶导数f″ (x) 且f (x) 在x0点连续, 若f″ (x) 可以分解成为两个函数的乘积, 即f″ (x) =g (x) h (x) , 其中g (x0) =0, h (x0) ≠0且函数h (x) 在x0点连续, 则: (1) 当g (x) 在x0的左右邻域内异号时, x0是f (x) 的拐点; (2) 当g (x) 在x0的左右邻域内同号时, x0不是f (x) 的拐点.

证明由题知h (x0) ≠0, 不妨设h (x0) >0.又由于h (x) 在x0点连续, 则根据连续函数的局部保号性有:δ1 (δ1<δ) , x∈ (x0-δ1, x0+δ1) , 有h (x) >0. (1) 当g (x) 在x0的左右邻域内异号时, δ2>0, 使g (x) 在 (x0-δ2, x0) 和 (x0, x0+δ2) 内符号相反.取δ3=min{δ1, δ2}, 则f″ (x) =g (x) h (x) 在 (x0-δ3, x0) 和 (x0, x0+δ3) 内的符号相反.故x0是函数f (x) 的拐点. (2) 当g (x) 在x0的左右邻域内同号时, δ4>0, 使g (x) 在 (x0-δ4, x0) 和 (x0, x0+δ4) 内符号相同.取δ5=min{δ1, δ4}, 则f″ (x) =g (x) h (x) 在 (x0-δ5, x0) 和 (x0, x0+δ5) 内的符号相同.故x0不是函数f (x) 的拐点.

同理可证当h (x0) <0时, 命题仍然成立.

2. 拐点的除判别法

设函数f (x) 在u (x0, δ) 存在二阶导数f″ (x) 且f (x) 在x0点连续, 若f″ (x) 可以分解成为两个函数的商, 即f″ (x) =h (x) /g (x) , 其中g (x0) =0, h (x0) ≠0且函数h (x) 在x0点连续, 则: (1) 当g (x) 在x0的左右邻域内异号时, x0是f (x) 的拐点; (2) 当g (x) 在x0的左右邻域内同号时, x0不是f (x) 的拐点.

注拐点的除判别法的证明类似于拐点的乘判别法的证明, 它主要用于判别二阶导数不存在的点是否为拐点.

例1判别x0=0是否为函数f (x) =的拐点.

解显然, f″ (x) 在x=0处不存在, 从而应用该推论可得:h (x) =x-1, g (x) =且g (0) =0, h (0) ≠0, h (x) 在x=0点连续.故x<0时, g (x) <0;x>0时, g (x) >0.即g (x) 在x=0点左右两侧异号.故x=0点为该函数f (x) 的拐点.

参考文献

[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社.

极点 篇10

1 系统建模

质量—弹簧—阻尼系统的自由体图如图1所示, 从图中可以看出, 该系统受到3个力: (1) 外界的作用力F (t) ; (2) 来自弹簧的回复力-k*x (t) ; (3) 来自阻尼器的回复力-b*x軃 (t) 。

运用牛顿第二定律, 以及对系统进行受力分析, 可以得到如下运动方程:

其中m代表质量块的质量, b代表阻尼器的阻尼系数, k代表弹簧的弹性系数, x代表质量块的位移。

现在, 对运动方程进行拉普拉斯 (Lalpace) 变换。这样, 就可以得到质量—阻尼—弹簧系统的传递函数。

根据实际模型和仿真实验的需要, 选取参数如下:m=2kg, b=10Ns/m, k=20N/m。

2 状态反馈的极点配置

考虑一个线性时不变定常系统:

这里, x∈Rn是系统状态, u∈Rp是控制输入向量, A和B为合适维数的常数矩阵[2]。记{λ1, λ2, …, λn}为期望的闭环极点 (实数极点或为共轭复数极点) 。一般来说, 这样的闭环极点直接反映了系统的闭环系统控制性能指标如时域指标的超调量、上升时间、延迟时间, 或频域指标的幅值裕度、相角裕度等等, 这些都可以通过经验或公式来估算出来。

所说的状态反馈极点配置问题[3], 就是对如 (3) 式所示的系统, 确定状态反馈控制器增益矩阵K∈Rp×n。使得系统在控制率u=-Kx+v的作用下, 状态反馈闭环系统x觶= (A-BK) x+Bv的闭环极点为期望的极点, 其中v为参考输入。

这里, 我们假设 (3) 式描述的系统是完全能控的, 满足可任意地配置闭环极点的条件[4]。

仿真软件MATLAB里有专门进行极点配置的函数, 主要包括:

(1) acker函数。用法为:K=acker (A, B, P) 。这里, 矩阵A、B为状态空间模型参数数据, P是指定的期望的闭环极点, 返回值向量K是我们要求取的状态反馈控制器增益。

(2) place函数。用法为:K=place (A, B, P) 。同样, 矩阵A、B为状态空间模型参数数据, P是指定的期望的闭环极点, 返回值向量K是我们要求取的状态反馈控制器增益。

3 应用及仿真结果

根据经典控制理论的知识, 欠阻尼二阶系统的动态过程分析表达式如下:

我们首先可以根据实际控制系统的要求, 确定时域性能指标超调量σ%和ts调节时间, 然后计算期望的闭环极点位置。对于质量—弹簧—阻尼系统, 我们按照实际要求提出如下动态性能指标[5]: (1) 输出超调量σ%≤5%; (2) 调整时间ts≤0.5s。

由性能指标确定期望极点λ1, λ1。把上述动态性能指标代入 (4) 式得ζ≥0.707, ζωn≥8, 现取ζ=0.707, ζωn=9[6]。即:

又由 (1) 式可以得到系统的状态空间表达式, 再代入具体数值, 可以得到:

将MATLAB中的极点配置函数应用于以上讨论情况, 求出状态反馈矩阵K。K=[304.0000 26.0000], 即为满足上述要求动态性能指标的状态反馈增益矩阵。

画出极点配置后系统的单位阶跃响应曲线, 如图2所示。

在图2中, 可以得出:系统超调量σ%=4.32%≤5%, 调节时间ts=0.468s≤0.5s, 说明我们通过上述方法确定的状态反馈控制器增益矩阵是正确的。

4 结论

本文介绍了运用Matlab/Simulink进行系统建模[7], 以及利用相关函数对控制系统进行任意闭环极点配置的方法, 并用到质量、弹簧、阻尼器系统中, 取得了很好的效果。但是, 值得注意的是, 虽然配置极点后动态性能变得非常好, 但是出现了稳态误差不能消除的负面效果, 应该考虑加入积分环节消除稳态误差。

摘要：针对质量-弹簧-阻尼系统, 首先建立其模型, 分析稳定性与动态响应过程。然后, 利用Matlab相关函数对控制系统进行了闭环极点的任意配置, 求取状态反馈控制器增益, 使闭环系统控制性能如动态性能指标达到期望的要求, 最后给出了具体应用的仿真结果。

关键词：质量—弹簧阻尼系统,建模,极点配置

参考文献

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[6]赵广元.MATLAB与控制系统仿真实践[M].北京:北京航空航天大学出版社, 2012.

极点五笔极速输入 篇11

我们输入文章时经常会输入重复词组，比如“开心开心”、“思考思考”等等。一般情况下，我们得输入两次相同词组。但是在极点五笔输入中，我们可以只输入一次词组即可，比如我们要输出“开心”后，再输入“Z”字符，这个时候选窗会提示刚刚输入的词组“开心”。按空格上即可输入。此外这个方法也适用于我们重复输入一个字，如“茂”字，先输入，再按“z”即可。

用极点五笔输入非词组

如果说上面这种输入重复词组的技巧还不能满足我们的学习写作的要求的话，那现在笔者再介绍一种输入非词组的方法，如果我们在编辑一篇文章中要反复输入“飞雪”，这个词在极点五笔词库中不是词组，但我们同样可以当它作为词组来输入，首先我们得把这个非词组一个一个字输入，然后再把它当词组输入，即我们输入“nufv”后就已经输入“飞雪”了，是不是很方便啊。

输入其他非词组方法同上。其实不仅是两个字的非词组，三个字的非词组我们也可以用类似的方法轻松输入，如“清凤剑”先一个一个字的正常输入，然后再按“imwg”，提示框会显示，我们只要按“2”即可输入“清凤剑”了。

其他的一句话，或者一段话，都可以這样输入，但前提是先一个一个字正常输入，再取前三个字的每一码和最后一个字的第一码。有兴趣的读者朋友不妨试试。

用极点五笔快速输入特殊符号

我们在编辑文章时经常会碰到要输入一些特殊符号的时候。一般的人都会打开Word通过“插入”菜单栏中的“符号”命令来选择。可是要我们在这么多符号中找到我们自己所需要的特殊符号，不仅麻烦，而且浪费我们大量的宝贵时间。其实，我们只要调出我们经常使用的输入法一极点五笔输入法。就可以简单地完成输入特殊符号的目的。

极点中文把特殊符号分为11大类型。并对它们进行了特殊编码，其编码定义的基本规则是两个字母“Z”加上代表特殊符号类型的两个声母，常用的特殊符号编码有：“zzts”是特殊符号、“zzfs”是方括号数，“xxpj”是平假名符号、“zzip”是片假名符号、“zzzy”是注意符号、“zzzs”中括号数符号、“zzds”点数字符号、“zzsx”是数学符号、“zzdw”是单位符号、“zzit”是箭头符号、“zzys”或“zzy”是圆圈数字符号。

例如我们想要输入“→”符号，则可以键入“zzjt”，然后根据提示条中的显示按“1”或者按空格，就可以轻松输入该符号了。

极点 篇12

近年来,磁悬浮技术在很多领域得到广泛的应用,如磁悬浮列车、主动控制磁悬浮轴承、磁悬浮隔振、风洞试验用的磁悬挂天平等。由于磁悬浮技术是利用电磁力将动子悬浮起来,使动子和定子之间没有任何机械接触的一种新型高性能支承技术,克服了由摩擦带来的能量消耗和速度限制,具有无摩擦、无磨损、无需润滑、寿命长、支承力可控、刚度阻尼可调并可在线监测等一系列优点,已经在很多领域得到应用[1,2]。单自由度磁悬浮球控制系统是一种典型的机电一体化系统[3,4],是研究磁悬浮的技术平台,可以作为垂直式磁悬浮轴承控制技术的研究基础。

磁悬浮系统中,控制器是核心[5],不仅关系到磁浮支承工作的稳定性,而且决定磁浮支承的承载特性和刚度阻尼特性,影响系统的动态性能。响应时间和超调量是衡量磁悬浮系统性能的主要指标之一,目前磁悬浮系统中广泛采用PID控制[6]和最优控制[7]方法,易于实现,但参数整定困难,控制律适应性差。变结构[8]及自适应控制可以有效提高系统鲁棒性,但稳态性能较差。

本文针对单自由度磁悬浮系统是非最小相位系统的特点,采用电流-位置双回路控制方案,应用极点配置法设计电流环和位置环的控制器,有效地解决非最小相位系统的控制难题。

2 磁悬浮球系统的基本原理

磁悬浮球系统主要由被悬浮钢球、位置传感器、控制器和执行器(包括电磁铁和功率放大器)四大部分组成,如图1所示。通过控制流经励磁线圈的电流来控制电磁力,从而平衡钢球重力,使钢球在给定平衡位置处于稳定悬浮状态。

位置传感器检测小球偏移平衡点的位移,作为控制器的微处理器将检测到的位移信号变换成控制信号,然后功率放大器将这一控制信号转换成控制电流,控制电流在执行磁铁中产生磁力从而使小球维持其悬浮位置不变。悬浮系统的刚度、阻尼及稳定性主要是由控制规律决定。

3 磁悬浮球系统的模型的建立与分析

磁悬浮球实验系统主要包括两部分:电学系统和机械系统。图2所示为磁悬浮球实验系统工作原理图。

电学系统主要是图2中上部的电磁铁,其中Rc和Lc分别是电磁铁线圈的等效电阻和等效电感,Ic和Vc分别是流过电磁铁线圈的电流和线圈两端的电压。电阻Rs是检测电流电阻,它的电压可以通过数据采集卡上的A/D转换器测得,通过Rs的电压得到线圈电流Ic。

机械系统笛卡尔坐标系的原点在电磁铁芯的平面上,小球垂直位移的正方向向下。尽管小球有六个自由度,只有垂直轴方向是可控的。其中Mb是小球质量,rb是小球半径,xb是小球的位置(气隙),Tb是小球的最大位移,Fc是小球受到的电磁力,Fg是小球重力。

3.1 电学系统建模

磁悬浮的工作原理是通过控制电磁铁线圈的电流控制小球的受力,从而控制小球在空中的位置。电磁铁线圈的等效电学模型中包含电感成分,会对电流产生一定的时滞作用,因此采用通过控制电压的方法来实施对电流的控制。

根据基尔霍夫电压定律,电学系统的传递函数为:

系统,只有一个开环极点在s平面左半部,所以系统是开环稳定的。

3.2 机电系统建模

小球在机械系统中受到两个力的作用:自身重力Fg,电磁铁线圈对小球的电磁作用力Fc,电磁力与线圈电流的平方成正比,与小球位置的平方成反比,为

Km为电磁力常数。

当电磁力与小球重力平衡时,小球静止悬浮在空中,当电磁力与小球重力不等时,根据牛顿第二运动定律得出系统的运动方程如下

由于小球所受电磁力Fc与线圈电流Ic的平方成正比,与小球位置xb成反比,小球的运动方程是一个非线性方程。事实上,由于电磁力的非线性,磁悬浮系统都是典型的非线性系统。

3.3 系统模型线性化

实际的物理系统都是不同程度的非线性系统,可以把非线性的数学模型在一定条件下或一定范围内化为线性模型来处理。

控制系统都有一个额定的工作状态以及与其相对应的工作点。非线性数学模型线性化的一个基本假定是,变量偏离工作点的偏差量很小。由级数理论可知,若变量在给定的区间各阶导数都存在,便可在给定工作点的邻域将非线性函数展开为泰勒级数。当偏差的范围很小时,可以忽略级数中偏差的高次项,得到只包含偏差的一次项的线性方程。

这里研究的磁悬浮球系统的控制范围在小球的平衡位置附近,所以可以在平衡点(xb0,Ic0)对系统进行线性化处理。将运动方程(3)中的二元函数在平衡位置(xb0,Ic0)处一阶Taylor展开,拉氏变换后得系统传递函数为

系统有一个开环极点位于复平面的右半平面,是开环不稳定的。通过对系统状态可控可观性分析,可知磁悬浮实验系统是既可控又可观的,因此可以对系统进行控制器设计,使系统稳定。

4 极点配置控制器设计

4.1 控制回路

磁悬浮球系统是典型的开环不稳定系统,要对系统进行稳定控制,并且根据物体的悬浮状态主动地调节磁场来保持物体自由、稳定的悬浮,必须要有反馈控制系统来实现。如图3所示是磁悬浮球控制系统结构框图。

磁悬浮球闭环控制系统包括内环和外环两部分,其中内环为电流环,实施对线圈电流的控制,外环为位置环,实施对小球位置的控制。内外环都由控制器、功率放大器、被控对象和传感器四部分组成。

4.2 电流环控制器设计

电流环被控对象是一个一阶惯性环节,控制器采用PI控制方案,通过极点配置法进行设计:设Kp_c为比例系数,Ki_c为积分常量,可以得到系统闭环传递函数的表达式为

系统特征方程

设pc1,pc2分别是电流环的两个期望闭环极点,则系统期望特征方程可以表示成:

对比系数可得到具体的控制参数为

通过零极点相消简化的方法来设计,一个极点与零点相消后,系统简化为一阶惯性环节,有

性能指标要求系统单位阶跃响应没有稳态误差,即在输入信号为r(t)=1(t>0)时,输出信号满足

运用终值定理,得

综合式(8)-(12),得到所要配置的极点为

根据性能指标要求,单位阶跃响应的调整时间应满足

4.3 小球位置环控制器设计

小球位置控制器采用PIV-前馈控制方案,以速度反馈代替PID中的微分作用,实质上都是微分校正用来增加系统的阻尼,但是速度反馈形成了回路,具有负反馈的优点,能够更好地抑制扰动。增加了前馈作用,用来补偿系统的稳态误差。

设Kff_b为前馈系数,Kp_b为比例系数,Kv_b为速度反馈系数,Ki_b为积分常量,系统的闭环传递函数表达式为

用与电流环相同的极点配置法进行设计,得到控制参数

据静态平衡点的电流Ic0位置xb0可得前馈系数

应用零极点相消方法简化,将闭环传递函数写成零极点的形式,消去一个极点后,系统简化为二阶系统,该二阶系统的极点可以描述为

性能指标要求系统单位阶跃响应没有稳态误差,用与电流环相同的方法,运用终值定理,可以求得另一个要配置的极点3p=0

5 实验结果

运用Simulink仿真工具箱将前面设计的电流PI和位置PIV-前馈控制器进行仿真,通过调整参数得到更好的仿真结果,并运用MATLAB软件的实时控制功能和Win Con软件在计算机中实时控制磁悬浮球系统。

取电流环极点1p=-26.7,p2=-2 0 0,使内环带宽约为外环的十倍左右。位置环ζ=0.9,ωn=50,此时位置环极点为p1,2=-4 5±2 1.8 i,p3=-0.5。

电流环控制器参数

位置环控制器参数

下面分别给出了Simulink仿真和实时仿真曲线。

图4为系统跟踪在平衡位置6mm处±1 mm阶跃信号的仿真曲线。可以看出,只有在最初小球起浮时,系统阶跃响应有一个约为10%的超调,以后超调量都很小,并且在较短时间内能够调整到稳定状态,没有稳态误差。

图5是系统6mm处单位阶跃信号的实时实验结果,可见系统能较好地跟踪阶跃信号,在输入信号发生变化时,小球会有一个较大的振荡,但系统很快能够调整到稳定的小幅振荡。

图6和图7分别是小球平衡位置在6mm处位置和线圈电流实时仿真结果,图中可见小球能够较稳定地悬浮在6mm处,振动范围仅为±0.1:0.2mm,此时线圈电流约为0.8 A,仅有±0.05A的振荡范围。

6 结束语

本文在分析磁悬浮系统工作原理的基础上,对单自由度磁悬浮球实验系统的线圈电流环和小球位置环分别建立了数学模型。电流环的被控对象是一个一阶惯性环节。位置环的对象模型是非线性的,通过在平衡点附近线性化,位置环的线性模型是在复平面的右半平面有一个开环极点的非最小相位系统。

采用极点配置方法,设计线圈电流环的PI控制器和小球位置环的PIV-前馈控制器。通过MATLAB仿真,对控制器参数进行调整,使之具有更好的性能,并运用M A T L A B的实时功能与Win Con软件,实现了对小球的实时控制,使小球能够稳定悬浮在期望的位置,并且具有一定的抗干扰能力。

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