《算术》（共11篇）
《算术》 篇1
失败者与成功者的区别就在于:前者总是看到一连串90%的失败而畏惧不前,而后者却看到一连串10%的成功而欣喜若狂。
有一位台湾的大学生,他叫郭台铭,毕业后很想创业,但一直举棋不定。转眼间他已经娶妻生子,拥有稳定的职业、和谐的家庭,但创业的梦想仍然时刻萦绕在他的心头。
他把自己的想法向岳父倾诉,岳父不赞成,跟他算了笔账:“以我几十年的经验看来,在你们年轻人中,有90%的人想过创业;在想过创业的人中,有90%的人只是想想而已;在付诸实践的创业者中,有90%的失败了,失败的原因不在于努力不够,而是没有碰到好的项目;在碰到好项目的人中,有90%只是小有成就而已。所以,要想成为大企业家,好比爬上金字塔的顶尖,难上加难呀。”
这番话,着实让人头脑发昏,目瞪口呆。岳父原本想让他知难而退,没想到他却兴奋地说:“谢谢您的点拨,我知道该怎么做了。”
不久,他便辞去工作,取出自己所有的积蓄,又向父母借了点钱,果断地踏上了创业的征途。他从电视机零件生产起家,挣到了第一桶金,后来又投资建成模具厂。那一年,台湾的房地产市场发烧,商人们纷纷转战地产界,而他坚持没有买房置地,而是一心经营自己的模具厂。一年以后,地价整整翻了一番,不少人劝他把模具厂卖了,进军房地产,他固执地拒绝了。几年后,房地产市场逐步萎缩,而他的模具厂无论技术水平还是效益都突飞猛进,成为同行业中的佼佼者。20世纪90年代初,电脑工业起飞,他以成熟的模具技术进入个人电脑连接器领域,从此他的连接器王国开始建立起来。1999年,他一口气吞下众多中小企业,使得自己的公司从地区性企业摇身一变成为世界级集团,企业员工从最初的10名扩增到遍布全球的5万多人。他便是如今叱咤风云、纵横四海的台湾科技首富——鸿海集团董事长郭台铭。
有记者问他:“您在30岁时还名不见经传,后来是如何一步步地走向成功的?”
他幽默地说:“长辈们曾告诉过我,最后的成功者好比爬上金字塔的顶尖,我的成功正是一步步地‘算’出来的。”
记者不解,他笑而不语,似乎颇有玄机。
几年后,在一个企业家论坛上,他发表演讲,这样描绘自己的发展轨迹:“有人说,想创业的人有90%没有付诸实践,我想当那10%,所以30岁时果断创业;有人说,创业的人有90%没有成功,主要是因为项目没选对,我要当那10%,所以当房地产火爆之时,我冷静观察,理性分析,坚持选择了更熟悉、更有兴趣的模具行业;有人说,项目选对的人中有90%只是小有成就,我想当那10%,所以放眼全球,进行了一番科学规划,有效地整合资源,大胆地创新,这才有了鸿海集团的今天。”
看了这段话,我忽然明白,失败者与成功者的区别就在于:前者总是看到一连串90%的失败而畏惧不前,而后者却看到一连串10%的成功而欣喜若狂。金字塔尖向来属于看到并乐于追求10%的人。
《算术》 篇2
关于奇算术图
The following results are obtained: (1) The graph Cnm・Pt is odd arithmetic when (i)m =0 (mod 2) and t=m or m+1; (ii) m=1 (mod 2) and t=m+1. (2) The graph Cn2m is odd arithmetic when (i) m=2,4 and n is any positive integer; (ii) m=3 and n is even. (3) The graph Cnm is odd arithmetic when m=4n and t=-2. (4) Pnm+1 is odd arithmetic when (i) n is odd; (ii) m ≤ 3 and n is any positive integer. (5) Windmill graph Ktn is odd arithmetic if and only if n=2. (6) Cycle Cn is odd arithmetic if and only if n = 0 (mod 4). (7) For any positive integer n and any positive integer m, Km,n is odd arithmetic.
作 者：梁志和 LIANG Zhi He 作者单位：Department of Mathematics, Hebei Normal University, Hebei 050016, China 刊 名：数学研究与评论 ISTIC PKU英文刊名：JOURNAL OF MATHEMATICAL RESEARCH AND EXPOSITION 年，卷(期)： 28(3) 分类号：O157.5 关键词：odd arithmetic graph complete graph cycle graph Cnm・Pt一道算术题 篇3
1000+40+1000+30+1000 +20+1000+10=?
如果你的得数是5000,那么你一定是计算错了,这道题目的正确得数应当是4100。
那么,为什么这么多人在做这道题时会发生错误呢?这是因为在得出最后得数之前,你曾在千位数上重复了3次加“1”的运算,使你不知不觉地形成了千位数逐渐加的思维定势。
无独有偶,世界著名的《纽约时报》竟然在期号的排序上出现同样的错误。那是1898年2月6日,《纽约时报》的期号输入员要对当天的报纸输入期号,前一天的期号是14499,他需要加“1”的運算,由于在个位、十位都逐渐进位而形成了习惯性思维,他便把百位上的(4+1)也作了千进位。所以,那天他输入的期号是15000,整整跃进了500期。具有讽刺意味的是,这个错误竟然没有被任何人发现,而且持续了一个世纪。直到2000年元旦,《纽约时报》的期号才被更正,减掉了500期。
揭秘:各种促销背后的精明算术! 篇4
所谓“买M赠N”,是便利店最常用的一种促销方法,其主要特点是消费者购买的商品和获赠的商品保持同质。比如购买5袋某品牌的125毫升的原味酸奶,获赠1袋相同品牌、相同容量、相同口味的酸奶。
这种促销 方法的折 扣率也最 好算。
当消费者购买的商品数量 (即M) 相同时,获赠的商品(即N)数量越多, 则折扣率越高,这样消费者“占的便宜”越大。如果反过来,N相同时,M值越高,则折扣率越低,消费者“占的便宜”越小。
通常能见到最多的是“买M送1” (暂只考虑M不超过10的情况),等价折扣率在5折到9折之间。如果消费者获赠的商品数量大于1,那一般也需要购买获赠品2倍的商品。比如“买5送2”或者“买7送3”,这种情况下等价折扣率在7折左右。所以除了买1送1的特例,一般而言“买M送N”的折扣率都在7折以上。
假设商品的成本是售价的一半, 将价格用p替代,而成本是c,这样c=0.5p。商家做一次7折促销,促销前该产品能卖m件,促销后卖出了n件。 这样,促销前,商家的盈利是0.5p× m。而7折促销后,售价变成0.7p,减去0.5p的成本,单件利润变成了0.2p, 如此,商家的盈利就是0.2p×n。可以算出,只要2n>5m,也就是促销后销量是原销量的2.5倍以上,商家就有额外的盈利 。
值得注意的是,捆绑销售和打折有本质的区别:在捆绑销售中,消费者为了获得这项折扣必须买得更多。在普通打折促销中,买几件都是打7折, 消费者不需要扩张自己的消费,想买多少就买多少。但在捆绑销售中,消费者要想获得7折的等价折扣,就必须多买2—3件甚至更多, 这种方式商家获得收益更多。
第二杯半价的盈利方式
第二杯半价,是餐饮企业促销的常用方式,尤其是那些快餐企业,在销售饮料和冰淇淋时候,常以“第二杯半价”为卖点。
神奇的第二件半价给人以“第二件是5折”的颇具诱惑力印象,而通过计算得 出 , 实际的折 扣价格只 有 (1+0.5)/2=0.75,也就是七五折。
一杯9元的饮料卖6.8元似乎没有什么吸引力,但是第二杯只要4.5元听上去就悦耳很多,关键是由此带来的销量为商家带来的盈利远超过让利的成本。
假定,一杯冰淇淋售价10.8元,成本为3元,购买者可以自由搭伴购买。
无第二杯半价:设售出m杯冰淇淋,商家利润为(10.8-3)×m=7.8m。
有第二杯半价:设售出n杯冰淇淋,商家的利润为 (10.8-3)×(n/2)+ (5.4-3)×(n/2)=5.1n。
第二杯半价优惠后,只要销售量有所提升,商家就能扩大利润。
一般而言,采取第二件半价这种捆绑销售方式的商品以快餐食品和小商品为主,成本都不高,只要销量可以上升,商家就能有更多的盈利。
满×××元减××元的奥秘
每当节日到来,各大商场都会疯狂促销。为了吸引顾客,商家会推出各种促销 手段 , 其中 ,“××× 元当×××元花”、“满×××元减×× 元”是较为常见的打折手法。这两种策略到底有何不同?
首先了解一下商家采用的打折策略。所谓“×××当×××元花”,比如 “44元当99元花”,就是花44元买价值99元的购物券,然后在商场内用购物券消费。例如买一双标价1091元的鞋子,你可以花11个44元购买11张99元的购物券,抵掉1089元,然后掏现金付剩下的2元。这时,实际付款486元。
用公式来算就是:对于标价P元的商品,设P=99n+m,其中m、n为整数
消费者需付款P1=44n+m元
当m>44时,也就是商品价格接近99的整数倍时,商家的利润会更低。
再来看所谓“满×××元减×× 元”,如果“满99元减55元”,在买价值99元的商品时,结账时要减去55元,也就是说,实际消费44元。还是以一双标价为1091元的鞋子为例,因为它“满”了11个99(1089元),因此需要减去11个55(550元),消费者付出11个44(484元),再加上2块钱的差额, 这意味着,实际付款486元就可以了。
用公式来算就是:
对于标价P元的商品 ,设P=99n+m,其中m、n为整数
消费者需付款P1=(99-55)n+m元
看似两种方法差别不大,付款金额都一样,但是“满×××元减×× 元”促销策略让商家更方便地通过控制价格实现让利更小。此时只要让商品单价的m离99越近越好。这样不仅保证只买一件商品的顾客折扣率位于最高点,也能保证同时购买多件商品的顾客折扣率不会下降太多。
“包邮哦,亲”轻松赢得印象分
“包邮哦,亲!”在电子商务时代,消费者常常会因为这句促销名言,而选择付钱购买某款商品。物流费用也许并不会成为多数人的负担,但是省掉物流费用,却是多数人的愿望。
给购买力强的顾客免去快递费实际就是降低价格,这看起来对消费者更有利,但其实,包邮对于商家更有利。
一辈子的算术 篇5
这很像我们吃完饭后还要吃水果或者再喝一杯茶，这个梦是小象在饭后的必做的一个功课。做完这个梦，一天的任务圆满结束。 新的一天开始了。每天早上起床后，小象就会刷两根长长的牙齿，再喝下100升水，咕噜咕噜，咕噜。接着，他拉出1个粪球，又大又圆，足足有一个足球那么大!这时候他感觉肚子空空的，饿极了。他又开始吃草和树叶，吃饱了就躺在地上睡觉，他又梦见了那座巨大的草料山。
日子一天天地过去了。
有一天，小象和平常一样刷完两根长牙，喝下100升水，拉出了1个粪球，扑通，又拉出了1个粪球。小象高兴得跳了起来。他多拉了1个粪球。这说明小象长大一点了!他绕着2个粪球，开心得跑了一圈又一圈。这天，是小象的生日。 从这天开始，他要吃得更多，快快长大，变成一头大象。又过了一些日子，某天早上，小象居然拉出了3个粪球!
1+2=3!
小象在这一天拉了3个粪球!
一年年过去了，每一次生日，小象都会多拉出一个粪球。粪球慢慢地变多，每一个都像足球那么大。
1+1+1+1+1+1+1+1+1+……
过完了这年的生日，小象就50岁了，那么他一天应该拉出50个粪球。小象已经变成大象。小象长得又高又大，可以看到没长大的小象们看不到的远方了，每天他都能数清楚自己拉了多少个粪球。没长大的小象们看到这么多粪球很吃惊，他们还不能数到50。他们甚至都没有学习过算术，不知道1+1等于几。只有大象才能数清楚。 现在让我们一起来做一下这个算术吧。 第一年，小象每天拉1个粪球，一年拉365个粪球。 第二年，小象每天拉2个粪球，一年拉2×365个粪球。 第五十年，每天拉50个粪球，一年是50×365个粪球。你能算得出来吗? 答案是465，365个粪球，哦。天啊，这么多个足球大的粪球堆在一起，足足有一座山那么大了吧。 每天早上，大象都要从1数到50，他幸福极了!这是他每天都要做的算术。
(同学们，我很想停止讲述这个故事，因为我很想知道如果让你们来接着讲，故事会怎么发展呢?希望你们来信告诉我!既然现在不能立即知道你们的想法，我还是继续讲下去。)
可是有一天……
45，46，47，48，49个。就没有了。没了。
怎么只有49个了呢?难道数错了?
1，2，3，4，5，6，7，8，9，……4 8，49。没错。 大象很吃惊，他认真地想了很久。第一天，49，第二天，49，第三天，还是49。
又到了大象的生日。这天早上，他早早刷完牙，喝下10 0升水，就大声数起粪球来，让我们一起大声帮他数，1，2，3，4，5，6，7，……48!48个就没有了!
大象有点明白了。如果一头大象能活100年，那么活到了50年的大象，已经活了一半了。在前50年里，大象每长大一岁，每天就多拉一个粪球。第一年拉1个，第二年拉2个，第三年就是3个，直到第50年，每天拉50个粪球。然后，开始逐年减少，每年减少一个。
50-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1……
要是这样的话，最后的大象和最初的大象，一模一样。
知道了这些，大象感觉很幸福，他觉得，如果真的是这样，该是件多么神奇的事情啊，大象很期待第二天的到来。同学们，请记忆一下这幸福的感觉，因为你们身边的大人，包括我，在知道自己一年年地“少拉一个粪球”，也就是变老的时候，我们都不太会高兴的，都是很惊恐的。而大象，觉得很幸福。这是一头很聪明、很淡定的大象，我很想向他学习。 又过了很多年，大象就到了他生命的最后一年了。这一年，他每天只拉一个粪球。他牙齿也不太好了，腿脚也不那么灵便，脸上爬满了皱纹。
虽然每天只拉一个粪球，老象还是很开心。到了第365个早上，他突然不安了。因为他算过，今天的粪球是最后一个了。
明天还会有吗?明天他还会活着吗?
这天晚上，那个做了100年的梦，老象也没有做了。黑夜慢慢过去。第二天早上，他还是醒过来了。周围的一切都是熟悉的景物。远处的水塘，巨大的树，蓝色的天空。老象开始每一天早上都要做的事情：刷牙，喝下100升的水。然后，开始等待粪球……
嘀嗒
嘀嗒
嘀嗒
没有粪球。
老象又等了一阵，还是没有粪球拉出来。
《算术》 篇6
1 方法
使用镶嵌图形测验考察被试认知风格。选择在认知风格测验中得分高的前30%的被试31名为场独立型被试;得分低的后30%的被试30名为场依存型被试,共选取61名被试,男生28人,女生33人,平均年龄21.4岁。被试视力正常或矫正正常。无精神疾病史。实验采用2 (认知风格:场独立、场依存)×4 (策略运用条件:自由选择、最佳选择、无选择上调、无选择下调)的混合实验设计。认知风格类型为被试间因素,策略运用条件为被试内因素。因变量为被试在每种条件下解决题目的反应时和正确率。实验设置了三种策略运用条件:c1:最佳选择条件——被试需要从上调策略和下调策略中选择可以得到最准确的估算结果的一种策略来解决问题;c2:无选择上调条件——要求被试都必须使用上调策略来解决;c3:无选择下调条件——要求被试必须使用下调策略来解决。实验材料为60道两位数乘法问题(如48×53)。
2 结果与分析
在本研究中,被试在c3与c4的反应时和正确率分别反映其上调策略与下调策略的执行情况。结果显示,认知风格对策略执行的时间和正确率的影响不显著。反应时(tc3 (59)=1.179,p=0.243>0.05;tc4(59)=0.450,p=0.655>0.05);正确率(tc3(59)=-0.942,p=0.350>0.05;tc4(59)=0.586,p=0.560>0.05)。以算术技能得分为协变量,对四种策略运用条件下被试的反应时做4 (条件)×2 (认知风格类型)的重复测量方差分析。结果表明:条件效应显著(F (3,174)=5.991,p=0.008<0.05),其他效应均不显著。以算术技能得分为协变量,对四种策略运用条件下被试的正确率做4(条件)×2 (认知风格类型)的重复测量方差分析。结果表明:条件效应显著(F(3,174)=19.958,p=0.000<0.05),认知风格主效应显著(F (1,58)=4.211,p=0.045<0.05),其他效应均不显著。
上述结果表明,对于反应时指标,认知风格类型并非是造成个体策略运用差异的因素,但却是造成其策略运用正确率差异的重要因素;算术技能造成了被试反应时的显著差异,对正确率影响不大。不同实验条件下被试的反应时和正确率均差异非常显著。
3 讨论
有研究发现估算过程需要中央执行功能参与。中央执行负荷影响策略执行,负荷对策略执行的影响随负荷强度增大而增大。根据资源限制理论和认知负荷理论,估算任务及策略执行都会占用一定的认知资源,而场依存个体整体表征环境信息的信息加工模式较场独立被试会消耗更多的认知资源。在此基础之上,我们前面推测不能有效表征重要信息的场依存被试在采用策略解题时较场独立被试会产生更强的中央执行负荷,从而影响策略执行,但研究结果并未验证我们的假设。对于本研究所得出的认知风格不显著影响策略执行这一结果,我们认为可以借助认知控制模型对其进行解释。该模型提出认知加工过程是外部信息经过认知输入到内部环境中,受到认知控制的组织与加工后以策略的形式输出到外部环境中。具体到本研究,我们认为个体在进行复杂乘法估算任务时,认知风格主要通过影响信息编码方式作用于对外部信息进行组织加工的认知加工阶段(策略选择阶段),而输出阶段(策略执行阶段)受认知控制的制约较小,受认知风格的影响也相对较小,反而受自身的某些技能的影响较大。已有研究证明算术技能对策略运用有显著影响。我们推测,算术技能对策略运用的影响可能就体现在对策略执行的影响上。本研究被试均为高算术技能被试,我们无法对这一推测进行验证,今后的研究可以对这一猜想进行检验。
本研究结果表明认知风格对策略选择正确率有显著影响,对策略选择反应时影响不明显,这说明认知风格对策略选择的不同侧面有不同的影响方式。若要具体考察认知风格对策略选择的影响,需从不同角度进行探讨。在策略选择反应时角度上,本研究未发现不同认知风格的差异性影响,对于这一结果我们并不意外。最近有研究提出,在问题解决过程中,个体总是倾向于重复选择先前已使用过的策略。而场依存型个体由于能够将当前任务从任务序列中分离出来,在选择当前任务所采用的策略时会对任务特征进行一定程度的加工而不是简单的选择重复已执行策略,就会导致其反应时的延迟。不同认知风格被试的认知加工过程存在不同,对不熟悉任务的加工时间场独立个体短于场依存个体。根据以上两点,我们推测场独立被试在加工时间上优势被其克服重复策略效应中的反应延迟所掩盖,具体表现即不同认知风格个体的策略选择的反应时差异不显著。
从正确率这一角度出发,本研究结果发现不同认知风格对策略选择正确性的显著影响。对此一种可能的解释是,在先前对反应时角度的分析中我们已经提到,不同认知风格被试受策略重复选择效应的影响不同,场独立被试更不容易受影响,这就会直接体现在策略选择正确率上,表现为场独立被试的策略选择正确率高。另一种可能的解释是工作记忆质量会影响个体的算术策略选择。我们认为当个体在工作记忆平台上对信息进行操作处理时,会受到认知风格带来的组织和表征信息的偏好的影响,不同表征偏好方式会对后续加工产生一定的制约,场独立被试在对信息进行表征时更容易找出问题的关键成分和重新组织材料的任务,而场依存被试在表征信息时更容易受到环境因素的限制,从而影响工作记忆质量,进而影响个体的策略选择。
4 结论
(1)认知风格对策略分布与策略执行未产生显著影响;
《算术平方根》的教学设计与反思 篇7
下面是我对八年级上册的《算术平方根》这一节课教学设计.
一、复习巩固
1. 求出下列各式的值.
2. 填空.
(1) 如果一个正数的平方等于4, 则这个数是___.
(2) 如果一个正数的平方等于100, 则这个数是____.
(3) 如果一个正数的平方等于则这个数是____.
这一教学环节是针对“要学什么”和“怎么学”去设计的.算术平方根与一个正数的平方刚好是一种互逆运算.这样设计为学生明白这一节课“要学什么”打下了基础.通过第2题练习, 使学生知道“怎么学”, 即怎样去求这样的一个正数, 使得这个正数满足平方后等于某个正数及知道运用什么样的思维方式去解决这一问题.
二、情景引入
引入问题情景:有这样一个古老的问题:用图1所示的两个面积为1的正方形, 能不能拼一个大的正方形?如果能, 这个大的正方形的面积是多少?它的边长是多少?
这一教学环节是针对“为什么要学”而设计的, 通过实际问题的呈现, 使学生感受到现有的知识的局限性, 让学生知道要解决现有的问题就必须学习新的知识.同时也让学生感受到无理数在实际生活中是真实存在的, 所以我们必须要学.
数学史的讲述:对我们刚刚拼出的这个面积为2的正方形的边长a是多少的这个问题, 在当年的古希腊数学界中引起了一场很大的争议.当时有一位著名的数学家叫毕达哥拉斯, 他认为:“一切数均可表示成整数或整数之比.”而有趣的是在毕达哥拉斯学派中的一名叫希帕索斯的成员发现, 面积为2的正方形的边长无论怎样都没法用整数或整数之比来表示, 所以在当时引起了数学界的恐慌, 历史上称为“第一次数学危机”.
这一教学环节是针对“怎样让学生乐意去学”而设计的, 通过古老问题的展示和数学史的讲述, 拓宽了学生的知识面, 激起学生学习的欲望, 达到使学生乐学的目的.
三、回归课本, 感知新知
问题:十月份举行的科技活动月中, 我们班的某位同学想裁出一块面积为25dm的正方形画纸, 画一幅科幻画去参加比赛, 则这张画纸的边长为多少?
解:因为52=25, 所以边长为5dm.
填表:
四、归纳新知
1. 一般的, 如果一个正数x的平方等于a, 即x2=a, 那么这个正数x叫做a的算术平方根.
2. 数学符号表示:a的算术平方根表示为 (其中a≥0) , 读作“根号a”, a叫做被开方数.
这两个教学环节的设计是让学生感知本节课要学习的算术平方根是什么, 即这一节课要学什么.算术平方根的定义可以这样分析理解:算术平方根是根据平方运算的逆运算来定义的, 所以运用定义求算术平方根, 实际上可以这样去思考:所求的什么数的平方等于a.这两个教学环节是针对“要学什么”和“怎么学”而设计的.
五、应用新知
例题赏析:求下列各数的算术平方根.
解: (1) 因为102=100, 所以100的算术平方根是10, 即
(2) 因为所以的算术平方根是即
(3) 因为0.012=0.0001, 所以0.0001的算术平方根是0.01, 即
解题小锦囊:求某个数的算术平方根, 根据定义可以这样思考:什么数的平方等于a, 如 (1) 根据定义可以这样思考:什么数的平方等于100?因为10的平方等于100, 所以100的算术平方根是10, 这样就可以求出100的算术平方根了.通过文字叙述理解算术平方根的概念, 用数学符号表示求算术平方的运算, 很好地巩固了算术平方根的知识, 这一教学环节也是针对“怎么学”而设计的.
六、巩固新知
练习1:求下列各数的算术平方根.
练习2:求下列各式的值.
练习1:这一设计是为了让学生学习模仿求一个数的算术平方根, 学生用自己的语言有条理地、清晰地阐述求算术平方根的方法, 然后用数学符号表示求算术平方的运算.初步掌握求算术平方根的方法, 提高语言表达能力, 达到巩固新知的目的.
练习2:通过运用数学符号表示算术平方根的运算发展学生的符号感, 使学生对知识的理解转化为数学技能.
这两个教学环节是针对“有没有学到什么”、“学得好不好”而设计的.主要目的是通过学生的自我展示, 从中暴露学生有没有学到什么、学得好不好.
七、拓展新知
练习3:求下列各数的算术平方根.
练习4:求下列各式的值.
练习3:通过加大深度的练习, 促使学生进行合作交流, 培养学生的团队精神.练习4对学有余力的学生进行挑战, 拓展学生思维, 满足多层次教学的要求.
这两个教学环节也是针对“有没有学到什么”、“学得好不好”而设计的, 主要目的是为了进一步检查学生有没有学到什么、学得好不好.
八、课堂小结
课堂小结:“通过本节课的学习, 你对本节课的知识有哪些认识?”
这一教学环节设计的目的是为学生提供交流的空间, 理顺本节课的知识, 达到掌握知识的目的.所以这一教学环节包含了:学生要学什么、怎么学、有没有学到什么、学得好不好.
《算术》 篇8
随着社会的进步数据压缩也成了人们迫切去解决的一个问题,比如说存储的一张天空的图片,天空图片中有很多相同的像素,如果我们对他逐一去存储的话就会浪费很大的空间,给我们的服务器带来很大的负担,我们称这种现象叫做空间冗余。又或者说在电视中,动漫中也会出现很多时间冗余。在程序中还有很多冗余,比如说结构冗余,视觉冗余等,这些冗余为我们数据压缩提供了很大的便利。
最好的压缩工具将概率模型预测结果用于算术编码。算术编码由Jorma Rissanen发明,并且由Witten、 Neal以及Cleary将它转变成一个实用的方法。它是近十多年来发展迅速的一种无失真信源编码,它与最佳的霍夫曼码相比, 理论性能稍加逊色, 而实际压缩率和编码效率却往往还优于霍夫曼码, 且实现简单, 故很受工程上的重视。它是非分组( 非块) 码。它从全序列出发, 考虑符号之间的关系来进行编码。算术编码利用了累积概率的概念。算术码主要的编码方法是计算输入信源符号序列所对应的区间。
2新型算术编码
算术编码是一种无损、无失真的编码方法。它能快速有效的压缩信息源冗余度,使编译完的代码率趋于信息源的熵。他是目前无损, 无失真最有效的一种技术。算术编码中用0和1之间二进位实数进行编译程序。改编译程序主要的两个基本参数A的概率和它编码间隔信息源符号的概率来决定压缩编译程序的效率,也决定了在编译程序的过程中信息源符号的间隔,这些间隔主要包含了0和1之间的编译程序过程中的间隔决定了符号压缩后输出算术编码的编码过程如下A算术编码把一个信息源集合表示为了实数线上的0到1之间的一个集合。这个集合中每个元素都需要虽短这个集合区间。信息源集合的越多, 所以她的区间就越小, 当区间变小时, 就需要更多的数位来表示这个区间, 这就是区间作为代码的原理。算术编码首先假设一个信源的概率模型, 然后用这些概率来缩小表示信源集的区间。
3新型算术编码的特点
算术编码一共有四大特点。第一点就是它不用先预定一个图像的模型,自动适用各种图片模型。第二个特点是在信息源概率接近时,它处理的速度要远远高于霍夫曼编码。第三个特点是算术编码不需要特定的模型和预先设定的模型,它直接用一个波动的数字输出值来代替一个流的输入符号,但在比较长的繁琐的消息输出的数值中,就需要更多的位数。最后一个特点就是算术编码实现方法比较繁琐,但在J P EG格式中对多幅图像测试时算术编码要比霍夫曼编码提高10% 左右,因此在J P EG中算术代码完全取代了霍夫曼编码。
在传统的算术编码方法在运用中有两个技术难点, 第一个是当信息源完全把一段信息发送完毕后, 编码器才能判断一个区间与之对比, 分析全部数据之后才会对信息加以处理,变出相应的代码,这大大的增加了服务器的负荷,也加大了储存空间,还增加了编码的时间,这对我们现在对图片压缩完全是不符合要求的。其次, 随着信息源代码的长度增加时,相应区间宽度也就随之变小, 要表示这段子区间所需精度, 直观地说就是比特数也不断增加。对于有限字长的运算器来说, 是难以实现的。
为了解决这些难点,对它面向应用的方向进行研究与改良。在保证它处理信息源的的精准度的前提下,大幅度的提高了编码的速度和减少了对储存空间的占用。
4新型算术编码在动态图片和静态图片压缩编码中的应用
4.1新型算术编码在动态图片中的应用
算术编码在处理动态图片中最重要的是在于一帧图片内部相近像素之间有很强的关联性,而且相近图片之间也有很强的关联性。有空间冗余、时间冗余、总的来说都是先进性分析分析来计算去除空间冗余和理算余弦的变化来去除时间冗余,再对量化的运动位移矢量和D CT系数进行算术编码。下面我们来详细说说算术编码在H.263中的优点。
根据high和low的值分三种情况作出不同的处理:
(1)如果high<1/2,即〔low,high) 〔0,1/2),那么输出一个0和opposite -bits个1,并将子区间宽度扩大一倍;
(2)如果low≥1/2,即〔low,high)〔1/2,1),那么输出一个1和opposite -bits个0,并将子区间宽度扩大一倍;
(3)如果low ≥ 1/4且high < 3/4,即〔low,high)〔1 / 4,3/ 4),则不输出任何比特,把opposite -bits加1,并将子区间宽度扩大一倍。
重复以上三步,直到新的子区间不在〔0,1 / 2),〔1 / 4 , 3 / 4 ) 或〔1 / 2 , 1 ) , 三个区间范围内为止。
通过以上的编码可以知道,我们设置lenhth highlow和opposite-bits这四个变量。把所有的信息源代码联系在一起,对下一个图片的字区间划分在一个编码上运行, 因此, 我们得知算术编码是对整个完整的信号源所有编码进行处理,而不是像霍夫曼编码那样进行单一信息源中一个符号进行处理。通过以上论证HN <H1。在H.263所用的算术编码器中没有进行自动调节, 但它的效率依然比霍夫曼编码的效率要搞8% 左右。所以现在新型算术编码在H. 2 6 3中数字编码已经完全取代了霍夫曼编码, 现在这个技术更在不断的完善。
4.2新型算术编码在静态图片中的应用
在静态图片中多数以J P E G的格式为准,我们可以通过几组数据来进行对比。
通过以上数据可以清晰明确的判断出算术编码和传统的霍夫曼编码之间的优势。他在处理静态图片有着更大的优势。所以算术编码在静态图片处理中已经完全取代了霍夫曼编码的地位。
5结束语
《算术》 篇9
1 算术编码原理
1.1 算术编码算法
算术编码采用静态模式和自适应模式两种。
在固定模式编码中，随着字符序列的增长，需要的编码区间从[0,1]逐渐的变窄，上下限逐渐的接近。在到达一定的程度时，上、下区间的高位就会出现相同值，如区间[0.011101,0.011110]，小数点后的高位01111是相同的，所以可以把这些相同位进行移位保存，作为当前压缩码流的输出位，再将当前子区间剩余位作为上下位进行以后的运算[2]。
固定模式编码需要预先对符号序列中的符号进行预扫描，根据统计符号的概率来列出编码概率表。引入几个变量：low为编码间隔的高端;rang为编码间隔的长度;ranglow为编码字符的间隔的低端;ranghigh为编码字符分配的高端。在固定模式编码中，ranglow和ranghigh的编码概率不变。设待编码字符串为S，初始值为：high=1,low=0,rang=high-low。计算流程如图1。
1.2 编解码原理
用例子说明算术编码编、解码原理，采用固定模式符号概率分配表见表1。
若要编码字符串s=‘eai’，则编码过程如图2。
从原理上讲，解码的过程是编码的逆过程，只要保证编码和解码使用同样的字符概率分配表，解码后的字符就不会出现误差。在自适应模型中，按照一定的次序统计每个符号出现的频率次数，采用符号的累计频率区间来表示这个符号所在的概率区间，因为其编码器和解码器采用同样的改变值的方法，所以，其概率模型将会保持相同。
2 基于上下文自适应算术编码
2.1 算法提出
在自适应算术编码中，信源信号的概率根据编码时符号出现的频繁程度动态地调整，只要监视一小段时间内符号出现的频度，编码结果总能趋近信源的熵[3]。自适应算术编码根据下一个信息符号的预测概率值，将(0,1)区间作进一步分割，得到的码值就是最后分割的子区间范围。
如果考虑编码符号之间的相关性,把多个符号按照不同的上下文结构组合到一起,当作编码单元进行自适应概率建模,即为基于上下文自适应的二进制算术编码(CABAC,context-based adaptive binary arithmetic coding)。
2.2 算法设计
利用树结构构造当前上下文环境表中的各级节点，并随着输入符号的处理，动态更新符号表和符号计数值。树的根节点设置为空字符形式，其子节点顺次向下为0阶、1阶、2阶、3阶概率模型。考虑到模型阶数的增多会增大算法计算以及实现的复杂性，这里只考虑到3阶模型;即：树的深度为5。根据概率模型建立起来的树结构为上下文节点树。其中，父节点对应低阶上下文环境;子节点对应高阶上下文环境。需要用到转义表：
trans_meaning table：若一个字符为0阶概率模型，则其在上下文节点树中无概率值，直接利用转义表中对应的此字符的编码值进行编码。trans_meaning table含有0-255所有字符编码，每个字符编码概率为1/256。
还需要定义以下变量：
bit_string：即此节点包含的符号序列;
bit_count:bit_string中各个字符串出现的概率。
算法需要用到的变量：
code_string：待编码字符串;
depth：树的深度，初值为1;
n_code_char：待编码的字符;
o_code_string：刚编码的、可以在某级符号表、序列中找到的字符;
n_code_string：待编码字符串，即n_code_string=o_code_char+n_code_char。
考虑到若字符已经是三阶上下文相关字符，则从下一起始字符开始，上下文节点树从根节点开始重新向下检索，在算法中实现即表现为：若depth<=4，重新设置depth=1，如图3。
3 结果分析
为了测试本算法的性能，编写了一组简单的程序。考虑到对图像的压缩原理与文本的压缩原理相同，所以选择随机生成的文本进行数据压缩对比试验。表2是对128个字符进行压缩，用0阶、1阶、2阶、3阶自适应压缩编码以及多阶自适应压缩编码的压缩结果如下。
从表2中的数据可以看出：随着压缩算法中对于阶次的增大，压缩后的压缩比逐渐增大。算术编码本身属于无损压缩，而上面结果中得到的压缩效果也比较理想。
在表中阶次的算法压缩比中，当阶次为0次时，压缩比最小，此时属于上下文无关压缩，等同于最基本的算术压缩算法;随着考虑到上下文相关字符串，针对英文单词将信源数据流看作单词串而非一般的英文字母，压缩比提高显著。当考虑到3阶压缩时，压缩效果比0阶次的要高到6倍多。
4 结束语
本文阐述了算术编码的原理，用流程图对算术编码做了分析，并在此基础之上对算术编码的自适应压缩算法做了较为详尽的算法设计，针对随机字符串做了测试，对测试结果做了分析和解释，收到了良好的压缩效果。
参考文献
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[3]陈启祥,李宁.多媒体技术与应用[M].北京:电子工业出版社,2006-08:45-46.
[4]Marpe D,Blattermann G,Heising G,et al.Further results for CABA Centropy coding scheme[R].VCEG2M59.Austin:ITU2-TSG16,2001.
从算术思维到代数思维 篇10
关键词：算数；代数；思维
中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2013）07-103-01
一、多元化表征、建构符号意识
“代数”，从字面看就有“以符号代表数”的意思。学生的学习从具体情境到抽象概念，其思维必须经历从数字到符号的飞跃，因此符号意识的培养对发展小学生代数思维显得尤为重要，然而实际问题情境的复杂性和符号本身的抽象性为学生理解和应用代数符号带来了困难，因此我们一方面要帮助学生从一定程度上摆脱对问题情境的依赖，发现各类问题背后的数学结构，另一方面也要优化学生对符号的认识，帮助学生积累使用代数符号的经验。换言之，我们可以通过对数学问题的多元表征，逐步发展学生的符号意识。
1、优化对符号的认识
数学算式是数学沟通及思考最重要的媒介，而符号表征式的理解与使用更是代数的学习不可或缺的工具，符号化是学生跨入代数思维的第一步，而符号化绝不是学生的自然、直观的想法，因此要过渡到代数思维，首要进行的便是符号的理解与使用。
建立对等号的认识：算式和代数虽共享一些符号如+、-、×、÷、=，有些符号在算术与代数之间的意义并不同，这也使得学生在面对这些符号时，经常产生混淆。我们在教学中，应针对不同认知层次的学生采用循环、螺旋的方式，引导学生把等号看作是相等和平衡的符号，是一种关系。
拓宽对符号的理解：四年级（下）进行“用字母表示数”的专题学习，字母符号表示数、表示数量关系、表示规律模式以及数学公式，帮助学生建立数感与符号意识。五年级（上）对符号表征却只字未提，到五年级（下）学习方程，由于教材编排的跳跃性，教学时往往忽略“用字母表示数”作为数学的一种抽象表征方式的重要教学价值，造成了学生符号意识发展中的问题，大多数学生对符号的认识停留在一个未知的确定的数或者一个特定的记号，而没有把符号看作推广的数或者变量，对a+15这样的式子通常认为是一个“过程”，对一些运算律和公式也只是将其作为一种固定的模式记忆。这样的认识在一定程度上阻碍了代数思维的发展。
2、提高符号表征意识
小学生形式化抽象思维的发展处于起步阶段，他们在解决问题时往往依赖于具体数值，习惯于应用赋值法或简单的假设，如果在解决问题过程中渗透符号表征的应用，可以进一步增强学生的符号意识，有效提高学生对代数操作运算的能力，促进代数思维的发展。
二、多视角渗透，发展结构意识
小学阶段與代数有关的目标是帮助学生从数和符号的角度更好的表示和理解数量关系，关注方程和解方程，帮助学生从指向结果的程序性的单一的数量关系认知中解放出来，去关注问题本身的事理结构。一方面我们要引导儿童用字母表示未知数后将其视作条件，并在观念上将未知数与已知数放置在同等地位，从整体出发，建立一般化与结构化的抽象的等量关系，再用方程刻画进行符号描述。另一方面通过算术法和代数法的并举来逐步发展学生的代数结构意识，促进小学生代数思维的发展。
1、加强数量关系的训练
数量关系是列方程解应用题的关键，也是从算术思路转变到代数思路所必经的途径。教学中应该在数量关系的训练上帮助学生找渗透点，把未知数与已知数置于同等地位来考虑数量间的相等关系，帮助学生更好的确定数量间的相等关系。
2、落实算法多样化
在高年级的教学中，穿插了方程解法的教学。比如分数应用题这一单元，当单位“1”未知时，教材例题呈现的都是用方程解决问题，其设计意图很显然一是降低了思维的难度，二是与中学教学内容相衔接，培养学生的方程意识。只是在解决问题时，我们往往更关注算术方法的指导，学生根据给定的模式框架来解答，正确率也比较高，这样就造成了学生方程解决问题的意识比较差。要改善这一情况，我们可以从以下两方面入手来落实算术解法与方程解法并举，逐渐从算术思维向代数思维过渡。
从教学的观点来看，算术解法与代数解法是基础与继承的关系，前者有利于实现数学思想方法的渗透，后者有助于学生形成代数结构化思想。要从算术思维过渡到代数思维，绝非仅是进行大量的算术练习或精熟的符号操演，而是在这两项为基础的条件下帮助学生建立代数思维的一般化及结构化。在代数的教学中，算术思维的程序性与代数思维的结构性是同要的重要的，也唯有建立在这两种思维的相互协调上，代数思维才能发展起来。
三、提高学生构建方程的能力
学生通过对数量关系的探索，发现数学问题一般化的关系和结构，并用代数式表示，初步经历了简单数学模型的构建过程，促进了学生代数思维和抽象概括能力的发展，感悟了数学模型思想。方程解决就是给出一个数学模型的过程，这样的建模就是打开“代数”大门的钥匙。
代数思维与运算思维相比较而言，当然有很多的共性之处，比如两者都可以解决问题，能够促进人的思维，同时算式运算是实施代数运算的基础，但是代数思维与算式思维所不同之处在于，算式里等号仅仅表示操作，而代数里等号表示结构，两者之间的平衡。
《算术》 篇11
一、刘徽《九章算术注》中的数学思想
1.“极限”、“重差”及“类”的思想, 奠定了微积分理论的基础。
极限思想是刘徽“割圆术”的引申, 并由此推导出圆周率的数值, 这便实现了割圆术在极限思想下的运用。画一个圆及其内接正六边形, 由此可以求出正六边形的边长及面积, 接着在正六边形的基础上再做个内接圆, 得出正十二边形, 可以求出正十二边形的边长及面积。通过这种不断的分割, 刘徽得出其是一个有限的数列, 极限值就是圆的面积。刘徽的这一极限思想经过数千年的发展, 已被广泛运用到生活的多个领域。西汉时期, 研究天文的学者众多, 并出现了较为先进的天文思想, 刘徽在《九章算术》中便提出了一种测量太阳高度的方法, 被当时的数学家称之为“重差”, 收录在刘徽的《海岛算经》里。“类”的思想及概念非常古老, 经过历史考证, 其来源于战国时期的墨家, 有着深厚的历史渊源, 刘徽在其对《九章算术》的注释中提到“很多问题的证明都以‘类’的概念为基础, 其证明过程及方法以‘合类’为主”, 这也说明刘徽在当时对“类”的思想有着深刻的理解及不同的发展与创新。刘徽认为, “类”的思想包括两个方面, 其一是推类而归, 其二是触类而长, 第一个是归纳总结的过程, 第二个则是演绎的过程, 两者相互联系, 体现了从特殊到一般的认识论思想, 对后世数学发展有着重要的影响[1]43。
2. 数学研究的方法及其治学思想。
作为西汉时期著名的数学家, 刘徽在数学领域有着独到的方式、方法。刘徽认为, “定义”是对事物本质及其外延的一种界定, 是逻辑学的重要基础, 同时也是科学研究的前提条件。在其《九章算术注》中, 较引人注目的就是刘徽的定义方法, “不有明据, 辩之斯难”, 这充分说明其对“定义”概念的重要认识及拓展。刘徽认为“率”是两个或两个以上的比例, 这一定义沿用至今。在《九章算术注》中, 刘徽使用了大量先进的逻辑论证发展, 如其将逻辑推理与归纳思想相结合, 提出了“出入相补”的证明方法, 这些方法不但帮助刘徽获得了许多重要的数学结论, 而且还为后世的数学研究奠定了方法基础。例如, 在当时较为先进的逻辑论证方法。
随着科技的发展, 刘徽的许多数学思想都被新的内容所替代, 而其治学思想却永久保留下来, 并被今人所用。首先, 刘徽善于借鉴他人的思想, 其创作的《九章算术注》就是在著名的《九章算术》的基础上取得的数学成果。刘徽在数学研究中一直秉承实事求是的态度, 他对《九章算术》中的大部分命题都进了论证, 并通过自己的严密推理、论证, 完善了著名数学学术巨著《九章算术》的注释, 并获得了自己的学术成就。这也体现其数学研究中的创新精神, 突破了前人的拘囿。同时, 刘徽还具有独到的数学见解, 有着强烈的批评精神, 并运用自己的严密推理得出了正确的结论, 这都体现在“方田章圆田术”、“商功章阳马术”等注释中[2]58。
3. 先进的数学、方法论思想。
刘徽取得如此巨大的成就与其先进的数学、方法论思想有着紧密的联系, 其主要体现为两个方面。其一是“要约”的数学思想, 指出数学论证应简洁、明了, 反对复杂、冗长等论证过程, 这样便于读者掌握。其二是“引申”思想, 强调数学结论的延伸与推广。刘徽的几何原理体现为正确体现位置关系、代数化思想及“计算”为核心的数学思想等方面, 最终建立较为严谨的逻辑系统, 这些都是刘徽的几何思想。在代数领域, 刘徽对代数问题进行了定义及证明, 建立了严谨的代数理论框架, 如数形结合、代数的程序化及数学建模等方式方法, 实现了代数理论的模型化。线性方程组的位置性也体现了刘徽较为先进的代数思想。
二、刘徽的《九章算术注》及其在数学领域的贡献
1.《九章算术注》, 中国古代数学巨著。
中国古代数学著作留世的有十种左右, 其中的《九章算术》是最为重要的, 其主要包括九章, 着重数学的计算及应用, 强调理论与实际的结合, 在理论成果上注重算法的应用, 对后世数学发展有着重要影响。刘徽的《九章算术注》是对该成果的注释, 有九卷, 其不仅仅局限于注释, 对《九章算术》进行了推广及延伸, 创造了许多解决数学实际问题的新方法, 如关于圆周率、球体积、圆锥体积、十进位等的创新。例如, 刘徽在对《九章算术》的研读中发现, 其对球体积的算法并不正确, 他通过对“牟合方盖”研究, 提出了“出入相补”原理, 最终得出了计算球体积的基本思路, 为后世球体积的计算提供了重要思路。在刘徽去世二百年后, 中国古代另一位数学家祖冲之在刘徽的基础上最终计算出球的体积, 这与刘徽的球体模型的贡献有着重要的关系。刘徽的“割圆术”也是从《九章算术》中归纳与总结出来的, 当时人们用“周三径一”的思想来计算圆的周长, 这种算法很不精确, 刘徽便努力钻研, 得出了更为精确的算法[3]91。刘徽首先在圆的内接正多边形面积小于圆的面积基础上, 提出了极限思想, 如果圆的内接正多边形越多, 其面积就更接近于圆的面积。刘徽还将圆的周长与面积进行了代数运算, 最终得到3.14的圆周率, 这也是后人所说的“徽率”。
2. 发展了古代几何学的思想。
古代几何学主要包括平面图形面积、立体图形体积、线段长度等内容。对于求体积问题, 刘徽创造性地提出了“出入相补”的数学思想, 其又被称作割补的方法, 就是以“盈”补“虚”, 通过图形的切割及移动, 将原来不能计算的面积变为正方形等可以求得的面积。刘徽创造了“割圆术”这一重要方法, 其在推理圆面积的过程中, 将圆分割为无数多个内接正多边形, 当其边长逐渐减小时, 正多边形的面积便接近于圆的面积, 其周长也接近于圆的周长, 这便创立了著名的“化曲为直”的极限学说。刘徽在体积计算上提出了“出入相补”的数学理论, 在圆形立体面积的计算上, 他提出了截割原理, 在球的体积计算上, 推出了“牟盒方盖”的思想。刘徽还对整勾股数进行了描述, 在论证勾股定理的同时, 对勾股数进行了公式证明。他提出了“方幂”等算法, 以计算与勾股数相关的线段计算。另外, 刘徽还以面积、体积等相关理论, 求证了开方的计算方法, 并最早提出了“方程”的正确定义, 阐述了方程组的解题方法。与此同时, 刘徽还阐述了分数的定义, 并引入正负分数的概念, 给出了无理数的相关定义[4]69。同时, 刘徽还将比率视作算法的核心, 并将勾股比率推广至“重差”的相关研究上来, 他还对级数理论进行了推广, 具有卓越的历史贡献, 这些都体现在其《九章算术注》中, 对中国古代的几何、代数、数论等内容进行了创新性的研究。
三、刘徽的数学成就及其历史地位
作为中国古代著名的数学家, 刘徽赋予了数学严密性、逻辑性等, 这对后世的数学发展有着重要的推动作用, 并成为数学学科的发展的重要基础。刘徽是中国古代数学发展史上的一位数学巨人, 是当时世界的数学泰斗, 在当时的时代很难找到一位与之相提并论的数学家, 他阐述的分数理论, 接近现代理论程度, 代表了当时世界的学术前沿。刘徽的《九章算术注》中包含着丰富的逻辑思想, 并将所有的证明建立在“类”的基础之上, 对数学理论进行了推广及应用。刘徽给出的方程组求解的完整过程及相应理论, 与当今的加减法、消元法、恒等变换思想非常接近, 比欧洲相应的学术早一千五百多年。在正负数的加减法运算中, 刘徽的正负数运算法则比印度的早五百多年, 比欧洲的早一千五百多年。另外, 刘徽还通过平方根的近似计算中得出小数的概念及表示方法, 具有明显的现代特征, 比欧洲早一千三百多年。这些都说明, 刘徽的有着卓越的数学成就, 对近代数学的发展作出了重要贡献。
刘徽不但有丰硕的数学成就, 而且其数学学术理论也有着深远的影响, 为以后的数学研究与发展作出了重要贡献。在学习上, 刘徽重视学习兴趣的培养, 以利于学习行为的顺利进行, 并取得相应的学术成果。刘徽还注重抽象思维及辩证思想, 在数学学科中得以成功的运用, 这对培养数学逻辑思维及思想的创新有着重要作用。在数学领域中, 刘徽还有着独立性的学术思维方式, 建立了数学的自信及责任感, 将研究的最终目的归结为得出相应的成果, 这种奉献精神及科学治学态度值得后人学习。所以, 刘徽对中国乃至世界数学科学的发展贡献是巨大的, 他赋予了数学的全面性、客观性及真实性, 并建立了数学学科的逻辑体系, 开辟了中国古代数学学科理论化的发展道路, 并成为中国传统数学理论的重要奠基人。
摘要：刘徽是我国魏晋时期的著名数学家, 他的《九章算术注》、割圆术等成就开创了我国古代数学理论化的先河, 将形象思维和逻辑思维系统地运用到数学领域, 取得极高的造诣, 在世界范围的数学领域都有着深远影响。
关键词：刘徽,《九章算术注》,数学思想,伟大贡献
参考文献
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