《九章算术》与小学数学教学

《九章算术》与小学数学教学（精选5篇）

《九章算术》与小学数学教学 篇1

《九章算术》是“算经十书”中最重要的一种，该书内容非常丰富，且系统化总结并概括了战国、秦朝，以及汉时期的数学成就。此外，该书在数学领域也取得了杰出的成就，首次提出分数、负数及加减运算法则等。概括来说，《九章算术》是一本综合性的数学历史著作，该书的出现标志着中国古代数学体系的基本形成。《几何原本》在数学界又被称为《原本》，该书为欧洲数学的发展奠定了良好的基础，且被广泛认为是历史上最成功的教科书，书中主要总结并归纳了平面几何的五大公设。除此之外，《几何原本》在西方也占据着相当重要的位置，仅次于《圣经》。这两本著名的数学著作对数学的发展都发挥着非常重要的作用，但是二者还存在诸多差异。本文对这两本书从成书背景、体例、内容等方面进行研究后，得出二者的差异所在。在此基础上，对其数学教育观、数学教育目的、数学教材及数学文化也进行了详细论述，基于现代数学视野，对现代数学教育改革提供启示，以供参考。

一、成书背景的对比

《九章算术》是中国古代的数学专著，也是“算经十书”中最重要的一种。众所周知，我国春秋战国时期，诸子百家争鸣，众多学派相继出现，在形式逻辑研究方面，相比其他学派而言，墨家比较突出，但之后形式逻辑在我国并没有太大的进展，而《九章算术》恰巧问世。该书成书最迟是在东汉前期，但内容的定型却在西汉后期，这时候出现，就注定其呈现出非逻辑结构的特点。中国古代数学专著都是在不断总结生活现象的过程中逐渐衍生而来的，《九章算术》也不例外，该书主要强调的是数学知识的应用，在不断地总结、归纳、推理、论证的过程中，最终发展成演绎推理。

《几何原本》是一部集前人思想和欧几里得个人创造于一体的不朽之作，整本书的内容是把人们公认的一些事实归纳成定义和公理，将形式逻辑的方法运用于教学研究。通过这些定义和公理对几何图形的性质进行探讨，最终建立起一套数学理论体系，简称几何学。该书的成书与《九章算术》有着不同的背景，当时古希腊正处于形式逻辑的发展时期，形式逻辑的思想方法被运用到了数学及其应用领域中，逐渐形成了强大的数学思潮，之后欧几里得不断研究和探索，将其用演绎法进行归类和整理，编写成《几何原本》一书。这本书也是欧式几何的奠基之作。此书主要囊括了几何学从公元前7世纪的古埃及，一直到公元前4世纪――欧几里得生活时期――前后四百多年的数学发展历史。从内容上分析，该书保存了古希腊早期的几何学理论，之后欧几里得对其进行了系统化的整理，使其成为现代数学发展的思想源泉。总体来说，《几何原本》开创了古典数论的研究，创立了欧几里得几何学体系，成为用公理化方法建立起来的数学演绎体系的最早典范。

二、《九章算术》与《几何原本》在体例方面的对比

研究这两本书发现，其在体例方面存在一定的差异性，表现在：《九章算术》是按照问题的性质和解法具体分类的，总共九类，且每一类为一章节，每一章节又分多个小类，每一小类都有解题步骤，包括数学公式、推理等。这种结构体系，是以算法为中心，根据算法组建理论体系，表现出了中国特有的数学思想。《几何原本》在结构方面与《九章算术》存在较大的差异性，该书共十三篇，主要包含两大部分。第一部分中，有4条作图公法，36条定义，19条公设和公理，为全书的推理基础。第二部分主要是题，其中每一道题都相当于一条定理，后面附注证明过程和推论过程，还有少部分题后面有图解。总之，《几何原本》主要是将逻辑推理进行系统化归纳，形成数学体系中的逻辑演绎系统。

三、《九章算术》和《几何原本》的内容对比

从内容方面对比发现，《九章算术》和《几何原本》也存在较大的差异性。其中《九章算术》的内容呈现出丰富性和多样性特征。它主要是对从春秋至秦汉时代社会生产过程中各方面累积的教学知识的汇总。整本书包含246题，涉及生活的各个领域，故被称为“数学百科全书”。此外，该书中的代数水平和算术水平相当高，但在几何图形方面，却与《几何原本》存在较大的差距。《几何原本》是代数几何化，且数论问题都是通过严格的逻辑证明来具体解决的，它为几何学的发展奠定了理论基础。《几何原本》的诞生，标志着几何学已经成为一个有着比较严密的理论体系和科学方法的数学学科。除此之外，《几何原本》还对勾股定理做了详细证明。由此可见，这两本数学名著各有优势。

四、《九章算术》和《几何原本》对当代数学教育改革的启示

关于《九章算术》和《几何原本》对当代数学教学改革和发展的启示，需从数学教育观、数学教育目的、数学教材、数学文化几大方面来了解。

1.数学教育观

数学教育观主要包含两大类，一类是动态数学教育观，认为数学是一项人类活动，也是一个动态学科，活动之间存在着一定的关联性，内部要素之间也呈现出动态发展趋势；另一类是静态数学教育观，认为数学是一个永恒不变的学科，其内容主要包含数学定理、公式。《九章算术》表现出动态教育观，主要是由于其丰富的内容都是在不断总结和积累后得到的。《几何原本》表现出静态教育观，认为教学活动是一种程序化过程，即数学概念-定理-公式-例题-练习，整个过程中，学生占被动地位，一味地接受教师的灌输。相对来说，这种教育观比较死板。由此可见，为了促进现代数学教育的发展，要主张学生理论与实践相结合，从理论中解释实践，从实践中总结理论，打破传统的教学模式，实施并创新情境化教学模式。

2.数学教育目的

《九章算术》强调数学与实际生活之间的联系，体现出数学学习的实用性特征，通过学习能够促使学生将理论与实践相结合。而《几何原本》强调学生要关注内部的逻辑结构，体现出数学学习的抽象性和严密性特征，该书在一定程度上忽视了数学的应用意识和对学生数学综合能力的培养。其实这两本书都有自己的优越性和局限性，我们在研究现代数学学科时，应将二者相结合，取长补短，从而达到提升数学教育的目的。

3.数学教材

从上文中了解到，《九章算术》是一部数学百科全书，自隋唐时数学教育制度建立以来，该书已经成为国家统一审定的数学课程之一，且逐步形成了以该书为中心的古代数学课程体系。而《几何原本》则过度强调形式化的数学教学，忽视了与实际相结合。这两本书在教材上都有一定的优越性和局限性，我们要认真分析，相互借鉴，为推动现代化数学学科的改革和发展不断努力。

4.数学文化

《九章算术》和《几何原本》存在诸多方面的差异，其根本原因在于中西方文化之间存在一定的差异性，从而形成了不同的数学思想方法体系。所以，在进行现代化数学学科改革时，要对这两本书的数学文化多加重视，教师在教学过程中应该多引导学生去了解和领悟数学本身所蕴含的文化内容。在此基础上，结合数学内容，逐步渗透思想方法、意识精神等，让学生真正体会到数学学科中蕴含的各种魅力。

五、结语

综上，数学是一门研究数量、结构、空间、变化及信息等概念的综合学科，也属于一种形式科学。为了促进数学学科的改革和发展，通过上文对《九章算术》和《几何原本》的比较得到的启示是：要引导学生理论联系实际，通过实践进行总结、归纳，了解数学的本质，从而达到提高数学素养的目的。笔者希望更多有关人士参与到《九章算术》和《几何原本》的比较研究中来，为推动现代化数学学科的改革做出更大的贡献。

《九章算术》与小学数学教学 篇2

一、由《九章算术》形成的中国古代数学文化体系

《九章算术》是我国秦代到汉代以来对传统的数学思想进行总结的一部综合性著作, 是我国古代用算筹为特殊的计算工具进而形成的一种数学体系。《九章算术》对我国古代数学产生了深远的影响, 就像欧几里得的《几何原本》对古希腊、西方数学体系的影响一样, 极为深远, 它构成了我国古代数学文化体系的初步模型。

根据史料记载, 《九章算术》并不是一个人的作品, 而是经过较长时间和多个学者不断修改和补充的产物, 到汉代时才逐渐完备。这本书以“问题集”的形式编写, 把246个数学问题按照性质进行分类, 总共有九章内容, 包含了方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程和勾股等九个大类。这样的一本书在几千年前就产生, 并取得了这样的成就在世界上实属罕见。因此, 这部记录秦汉时期数学成就的著作也在几千年前就塑造了中国古代数学的体系。首先, 《九章算术》最早提出了方程的概念, 对于联立一次方程 (即现代数学中的线性方程组) 、如何解答联立一次方程进行了总结和说明。同时, 在解决方程时, 通过运用两次假设, 《九章算术》还创造了把一般方程的求解转化为“盈不足术”的法则, 这种解法后来还传到了世界各国。第二, 《九章算术》最早提出了分数的概念, 并系统地论述了分数的约分、通分和分数运算的问题。仅这两项问题, 印度在七百年后才产生, 欧美数学就更晚了。第三, 《九章算术》在说明分数和方程组的问题时, 引入了负数的概念, 并提出了正、负数的加减运算法则, 这一发现同样比欧洲早了700年, 比欧洲早了1600多年。仅仅从这三点创世纪的成就中, 就可以看出《九章算术》不仅仅是一种独具特色的数学思想和理论体系, 在解决实际计算问题上也有很高的水平[1]。

在《九章算术》成书之后的几千年里, 深刻影响和指导着数学的发展和数学体系的形成。在唐宋时, 这本书被官方定为数学教科书, 因此, 后世一些具有影响力的数学家都是从《九章算术》的学习中成长起来的, 必然会受到数学体系的影响。随后, 北宋一代更是大范围刊刻《九章算术》, 其中的代数、几何等内容便被大范围地首次印刷。一般来讲, 由《几何原本》构成的西方数学体系与由《九章算术》构成的中国数学体系是现代世界数学的两大主要来源, 因此, 不仅对中国, 《九章算术》对世界也产生了难以估量的作用。

二、《九章算术》的数学思想来源

1. 先秦墨家数学思想。

首先, 刘徽注《九章算术》的逻辑和思路受到墨家思想的最大影响。墨家是先秦时期以墨子为代表的重要思想流派, 但是这种平等、兼爱、非攻的逻辑思想到了秦汉之后被视为异端, 到了两汉之后, 墨家不容于封建专制的部分思想更被大一统的中央集权排斥和镇压, 没有任何立足之地。而刘徽利用墨家这种纵横捭阖的辩难思想正是在其受到压抑之后并开始重新获得重视的时候。因此, 在魏晋时代, 刘徽利用墨家思想以及墨家的逻辑为《九章算术》做注是理所当然的事, 而且秉承着墨家辩难之风的特点, 刘徽对各种《九章算术》原文中论述不清晰的语句做出了明确的定义和概念的解释;其次, 刘徽按照墨家的严谨思路, 对原文中的含混的部分进行了严谨的推理, 对于辞、推、故、理、类的应用很多;最后, 刘徽大量运用了先秦墨家的原文典籍, 如《墨子》等。

2.《周易》数学传统。

在墨家之外, 另一个影响《九章算术》注释的重要思想是《周易》。《周易》包括《易经》和《易传》两部分, 算是我国原始社会以及奴隶社会时期累积下来的具有解释神秘性质的著作, 到汉代时, 《周易》被列在儒家经典之一, 受到了统治者与知识界关于变化、平衡等问题的重视。而在刘徽生活的魏晋时期, 《周易》首先被认为是一部占卜著作, 带有迷信色彩, 但是刘徽却利用朴素的辩证法去调和这种思想, 把阴阳、动静、刚柔等多方面的互相作用进行科学化的调整, 他肯定了“一阴一阳之谓道”的基本思想, 看到了万物发展的普遍规律, 在数学方面, 他提出了“穷则变, 变则通”的科学思维。对于数学研究, 他讲究“阴阳制衡”是数学的根源, 利用统一思想来考察算数内部的矛盾规律。在注释《九章算术》时, 刘徽利用《周易》中的思想分析了加减乘除四则运算、证书复数、衰分术与返衰术、圆与多边形、勾股弦、分言之与完言之、和与差等多种数理矛盾关系之间的对立统一, 探索数学科学的根源。“变则通”的思维可以说是刘徽从《周易》中汲取的最具有数学风格的思维, 正是在这样的思想影响下, 刘徽很巧妙地运用了各种数学变换, 尤其是“乘以散之, 约以聚之, 齐同以通之”三种等量变换, 从而达到“平其偏颇, 齐其参差, 通彼此之否塞”的运算境界, 使得各种数学方法能够实施, 各种数学运算可以完成。这算是在技术层面的运算操作上更高一层次的数学思想方法论[2]。

3. 儒、道等其他数学思想。

除了《周易》外, 刘徽和他的《九章算术》还是一个极其庞杂的统一体, 它还受到了先秦儒家、道家、《周礼》、《管子》等思想的强烈影响。举例来说, 对于儒家, 在刘徽生活的魏晋时期已经非常普及, 而且孔子及其门人的言行通过《论语》已经走遍千家万户, 而刘徽在注释《九章算术》中也多次引用儒家的话语, 比如说在阐释数学的作用时, 刘徽引用了“举一隅而三隅反”的著名言论;再如道家, 在汉初时道家曾经一度取得统治地位, 而到了魏晋时则逐渐与多种思想融合, 在《老子》、《庄子》等作品中, 刘徽注意到了“至细曰微, 微则无形”的思想, 并把它合理化于分数一章的注释当中;《周礼》是先秦时期的儒家经典, 记录了当时各国的礼仪制度, 而在刘徽的注释之中也多出现对于《周礼》的引用, 比如在解释说明中的“九章”时, 他就引用到“周公制礼而有九数, 九数之流, 则《九章》是矣”。对于《周礼》之中的调和思想, 刘徽更是把它上升到数学的作用层面加以讨论, 并从中引发出了创立重差的过程等;至于《管子》, 其中记录了如天文、地理、历法等多种古代科学, 刘徽在《九章算术》的注释过程中更是引用颇多。

三、《九章算术》与中国古代数学文化风格

通过对于《九章算术》的研究, 可以发现通过古代数学典型的文化风格, 其最大的特点是鲜明的社会性, 从《九章算术》的体例开始就可以看出问题的提出与社会实际生活有着密切的联系, 是当时社会、经济和文化的综合反映, 有着鲜明的应用数学的色彩。其次, 数学教育也始终处在封建集权政府的控制下, 从《九章算术》的传播就可见一斑。第三, 我国古代数学受到了广泛的社会思潮、宗教神学和哲学流派的影响, 社会性痕迹明显;在运算方法上, 古代数学是利用几何与代数互相渗透的、以算筹来计算的方法, 并很早采用了十进制方式, 同时利用一整套“数学语言”来说明计算方法, 程序简洁而有效。最后, 传统数学文化在运算过程中, 体现出了强烈的“寓理于算”思维, 这是因为受到古代哲学影响的数学家们很善于从各种错综复杂的社会问题中提炼出一系列的数学问题, 再利用抽象思维从中抽出一整套相关的数学概念、数学原理等, 并在计算过程中提出运算方法。这些古代数学文化风格也深刻影响着现代的数学教育和数学研究, 是研究众多数学问题的基础[3]16。

1. 算法为中心的实用性风格。

举例说明《九章算术》中所体现出来的算法为中心的实用性与社会化风格。在第二、三、六章中, 为了论述各个单位的换算比例, 书中利用了舂米、谷子、粟米等多种粮食来进行说明, 很清晰地讲述了多少单位的粟米换算多少单位的谷子, 实用性很强。再如论述比例算法的“衰分数”时, 也采用了牛、马、粮食的分配问题来说明, 这都体现了强烈的社会性数学文化风格。

2. 寓理于算的概括性。

至于寓理于算, 以带书中的“率”、平面几何中的“出入相补”、立体几何中的“截面原理”、“阳马术”等分析, 《九章算术》中很早就体现了数学工作的“证明与计算”过程, 把演绎的方法很早地运用, 因此问题的求解过程就带有概括性, 与西方的算法化共同构成了世界数学文化的根基。

本文首先运用了比较分析的方法, 将《九章算术》放在整个世界数学史中进行考察, 得出了《九章算术》开启中国古代特色的数学体系的结论。接着, 文章从刘徽注与《九章算术》诞生的年代出发, 分析了成书和注释过程中所受到的主要思想影响, 最重要的两种是墨家思想和《周易》学说。文章还从文化的角度分析了在《九章算术》影响下的中国古代数学文化风格, 即以算法为中心的实用性风格和寓理于算的概括性风格。

摘要：本文将运用追根溯源与作者分析的方法, 并与西方的数学传统进行比较分析, 从《九章算术》中看出古代数学实用与算法传统、价值与特点等, 并深入分析《九章算术》影响下的古代数学文化风格。

关键词：《九章算术》,文化风格,古代数学,刘徽,算法

参考文献

[1]王蜜.算学经典《九章算术》——中国独具特色的数学体系形成[J].科学与文化, 2006 (11) .

[2]郭金海.中法对照本《九章算术》发布会纪要[J].中国科技史杂志, 2005 (3) .

《九章算术》与小学数学教学 篇3

笔者首先查阅了现行人教版、北师大版、华东师大版等三个版本的初中、高中实验教材，发现以《九章算术》为代表的我国古代算经中的问题已经在这些教材中占据了一席之地。相比之下，各版本初中数学教材中古算题数量较多一些，分别为北师大版（21道），人教版（11道），华东师大版（4道）。高中教材中，仅有的如北师大版高中教材必修3中的“韩信点兵”，苏教版教材必修3中的“百鸡问题”等。调查发现，新教材所涉及的古算题数量较少，而且仅仅在“勾股定理”等内容上才有所涉及。显然，对于这些古代算经的使用还有待进一步开发。

一、《九章算术》史述

《九章算术》是中国古典数学最重要的著作，也是我国现存最早的数学专著。《九章算术》因全书共有九章而得名，九章的章名及所指用途如下：方田一以御田畴界域；粟米一以御交质变易；衰分一以御贵贱察税；少广一以御积幂方圆；商功一以御功程积实；均输一以御远近劳费；盈不足一以御隐杂互见；方程一以御错揉正负；勾股一以御高深广远。全书共包括246个应用问题，近百条一般性的抽象公式、解法，涉及算术、代数、几何等多方面的知识。具体来看，“方田章”讲述四亩面积的计算，结合这种需要，系统地介绍了分数的加、减、乘、除四则运算，化带分数为假分数，以及求几个分母的最小公倍数的方法。根据现有的史料，《九章算术》是世界上最早记载分数运算法则的文献。欧洲人到15世纪才掌握这些法则。“粟米章”研究各类粮食的交换。“衰分章”提出比例分配法则，称为衰分术，讨论按比例分配赋税与徭役。“均输章”用衰分术解决赋役的合理负担问题。今有术、衰分术及其应用方法，构成了包括今天正、反比例、比例分配、复比例、连锁比例在内的整套比例理论。西方直到15世纪末以后才形成类似的全套方法。“盈不足章”根据两次假设所得出的盈余或不足，来推算问题的答案，它是我国古代数学的又一项创造，后来欧洲人就把它叫做“中国算法”。“少广章”介绍筹算开平方与开立方，其中也包含了分数的内容。“商功章”专门解决筑城、开渠等土木工程中所提出的各种体积计算问题。“勾股章”论述勾股定理和相似的直角三角形。并且提出了二次方程的筹算解法，这是世界上运用一定的算法求解二次方程的最早记录。“方程章”详细地研究了一次方程组的解法，引进了正负数的概念及其加减运算法则，这是我国古代数学中两项非常杰出的成就。在这一章里，共收集了18道涉及实际应用的多元一次方程组的问题。我国古代解这类问题的方法（“方程术”）是把方程各未知数的系数与常数项用算筹依次按“直行”排成一个“方程组”，然后通过行的数乘与行、行之间的加减，逐个消去未知数，得到“方程组”的解。这些思想及形式，可以无愧地称之为近代高等代数中“矩阵”概念和“线性方程组矩阵解法”的先声。《九章算术》的出现，标志着我国古代数学体系的正式确立。自隋唐之际，《九章算术》已传入朝鲜、日本，后期又经印度和阿拉伯传播至欧洲，现在更被译成多种文字。可以说，《九章算术》不但对我国的数学发展奠定了优良的传统，对世界数学的发展也有着重要的贡献。

二、《九章算术》与数学教育的整合形式分析

1.直接将《九章算术》中的古算题作为例题、习题使用，呈现原题、翻译及注解

对现行数学教材的调研发现，教师对古算题的呈现、处理和一般习题没什么两样，在很大程度上忽视了古算题在数学思想方法、育人等方面的教育功能。结合对新课标的解读，我们认为《九章算术》与新教材的融合应着重体现数学思想方法和数学文化两个层面的教育意义。因此，《九章算术》在新教材中的呈现应图文并茂，既有原文的文化底蕴，又为了便于学生理解，还要有现代白话文的解释；既要呈现原书的解答过程，又要呈现出解题的思路—“术”。下面以《九章算术》“盈不足章”问题1为例进行说明。问题如下：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问人数、物价各几何？答曰：七人，物价五十三”。术曰：列出所出率，盈、不足之数各在其下方。令盈、不足数与所出率交叉相乘，所得之数相加作被除数。将盈、不足之数相加作除数。除数除以被除数得一结果。若有分数，要通分。盈、不足若与“同买物”相关，列出所出率，以少减多，用所得余数去约除数、被除数。被除数约后为物价，除数约后为人数[3]。在此基础上，应在解题进行的同时，逐句理解“术”及后世数学家的“注释”的本质，然后将“术”及“注”用现代文翻译出来，在此基础上，遵循波利亚的解题四步骤，在“检验回顾”的同时加深对解题思维的理解。

2.以古算题为背景的考试题

以古算题为背景的试题的编制主要有以下几种方式：一是直接选用。命制试题时要特别注意试题的取材，要量力而行不能纠缠细枝末节，所涉及的知识点应属基础知识且要服务于能力考查。二是将古算题稍加设计或简化情形或保留其思路和方法。可以将一些基础知识和基本方法嫁接在所要使用的古算题上，也可以通过古算题将相关的基础概念、基本结论、重要性质和方法等有机地组合在一起，以扩大知识覆盖面。命制的试题应在能力目标的要求范围内，有效地利用古算题让这些知识点能够整合得自然流畅。三是以古算题为素材，对其进行推广。对古算题的推广主要是对所要利用的古算题的条件、结论或者证明思路进行整合或调整。可以拓宽条件得到一般的结论，也可以对结论进行合理的修改成为探索性的试题，亦可同时变更古算题的条件及其结论从而得到更一般的兼具开放性和探索性的研究性试题。

此类试题最直接地就是能够调动中学数学教师积极地在课堂里渗透数学文化。它拓宽了数学试题命制思路，有效避免了数学试题命制模式化。这一类型的试题能够客观地检测学生猜测、归纳、类比、推广等数学思维水平；能够有效地检测学生运用所学的知识和方法在古算题情境中分析、解决问题的能力；能够间接地检测学生的后续学习能力；能够适当地检测学生遇到陌生的数学语言和符号时的应变能力和心理素质。

三、以《九章算术》为代表的古代算经的教育价值分析

1.激发学习兴趣，激励成就动机

纵观现今的数学实验教材的内容体系编排，呈现在学生面前的数学只是一个孤零零的“骨架”，使得原本活生生的、有血有肉、富有文化意蕴的、鲜活的、生动的数学知识被淹没在数学课程的形式化、结构化、演绎性的体系之下。一般来说，古算题立意广泛，大都切实反映了那个年代人们的衣食住行以及社会的民风、民俗等特征。此类问题融入课程势必会激发学生对数学的热爱，对数学的好奇心，让学生以一种平和、积极的心态来学习数学、欣赏数学、理解数学。

历史上各个时代的古算题的提出都是为了解决当时的实际问题，《九章算术》中的问题涉及现实生活中的粮食比例折换、工程分配、合理摊派赋税、土地面积丈量等现实问题。这些问题本身或者直接提供了相应数学内容的现实背景，或者揭示了实质性的数学思想方法。而且许多古算题的求解历经多位不同时代的数学家的演绎，这会让学生感到他正在解决一个曾经被数学家探索过的问题，学生会感到一种智力的挑战，也会激发学生无限的潜能，这有利于激发学生的主动学习态度和成就动机。

2.展示数学文化，培养学生的情感、态度、价值观

如上所述，古算题的提出及解决都是为了解决当时社会的实际问题，涉及社会生活的方方面面，诸如粮食囤积、房屋建造、商业贸易、市场买卖、天文历法、战争等。因此，古算题在一定程度上反映了各个时代的人们关注的热点问题，因而古算题本身就包含着丰富的社会文化信息，古算题题设的字里行间也充满着浓郁的人文色彩和宝贵的非物质文化遗产。在此试举几例，以期引起读者的共鸣，激发一线教师的对于古算题的开发欲望。

问题1：庐山山高八十里，山峰顶上一粒米，黍米一转只三分，几转转到山脚底？（选自明程大位《算法统宗》）之“粒米求程”）[4]

本题是说庐山从山顶到山脚有一条80里长的道路，山顶上有一粒黍米，滚动一周，行程3分，问沿着这条路滚到山脚底，共转了多少周？这是一个明代的题，取明朝的度量制度，1步为5尺，1里为360步。其实问题本身很简单，但借用“黍米”来命题却与我国度量衡制度形成的历史背景有关。数学源于生活，度量衡制度的建立也是生活的需要。在历史上，黍米是用来作为建立度量衡制度的“标准参照物”的。[2]《说苑·辨物篇》：“度量权衡，以黍生之。十黍为一分，十分为一寸，十寸为一尺，十尺为一丈。”学生从本题可以体会到，我国以农立国，度量权衡，无一不与农业有关，也可以了解到有关度量衡单位之间的换算。

再看下面几个例子[5]：

问题2：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺。问折者高几何？（《九章算术》之“竹折抵地”）

问题3：竹高十八尺，为风吹折，竹尖抵地，离根六尺，求两段之长。（印度婆罗摩及多，620年）。

问题4：一矛直立水中，出水三尺，风吹矛没入水中，矛尖恰在水面上，矛尾仍在原位，矛头与原位相距5尺，求矛长。（阿尔卡西《算术之论》，1427年）

上述三个问题都是有关勾股定理的应用，其出处、文献的年代都相距甚远，这体现出全世界范围内对于勾股定理及其应用的关注。三个问题中，印度婆罗摩及多的问题2的表述近似于问题1的“竹折抵地”，且《九章算术》的成书年代远远早于婆罗摩及多的著作，再结合我国古代社会与国外的交往情况，不排除这可能是《九章算术》等古代算经流传国外，再由国外的学者编译而成的题目。这可以被认为是不同社会文化在数学知识方面相互借鉴和转化的典范。通过设置并合理使用这些颇具代表性的古算题，可使学生获得社会历史文化与数学思维的双重熏陶，进而获得数学认知活动的文化意义。

3.呈现一题多解以及解题方法的古今演变，培养学生数学思维能力

在数学教学中，解题是最基本的活动形式，知识的获得、方法的掌握都需要通过解题活动来完成。然而，由于考试功利的驱使，常常把数学解题异化为“把学生培养为对考题作出快速反应的解题机器”，使得数学教学逐渐流于单纯的演算习题的训练。真正的解题教学，应通过典型数学问题的学习，去探究数学解题的基本规律，学会数学地思维。因此，在古算题的教学中，应侧重把古算题的古今解法、初高等解法进行比较，帮助学生认识各种方法的特点，理清解题方法演变的脉络，明晰何种方法更适合于何种脉络，哪种策略应该向什么地方迁移。通过比较，可以清楚地看出其中的指导思想和总体思路，有助于拓宽学生的视野，培养全方位的认知能力，在更高层面上理解和把握知识。以《张邱健算经》的“百鸡问题”为例。

原题为：今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一，凡百钱买鸡百只。问鸡翁、母、雏各几何？

答曰：鸡翁四，值钱二十。鸡母十八，值钱五十四。鸡雏七十八，值钱二十六。

鸡翁八，值钱四十。鸡母十一，值钱三十三。鸡雏八十一，值钱二十七。

鸡翁十二，值钱六十。鸡母四，值钱十二。鸡雏八十四，值钱二十八。

术曰：鸡翁每增四，鸡母每减七，鸡雏每益三即得[6]。

分析发现，原题中的“术曰”令人费解，很难从中想出解题的思路。我们不妨按照常规思路，设未知数，列方程，将探得的结果尽量用“术曰”来解释。

解：设有大公鸡x只，母鸡y只，小鸡z只，依题意有，

5x+3y+=100……（1）x+y+z=100……（2）

消去z得7x=4（25-y）……，（3）式表明，公鸡x数应是4的倍数，不妨令x=4t，则y=25-7tz=75+3t……（4），

当t=1，2，3时，其解为：x：4，8，12y：18，11，4z：78，81，84。分析发现，（4）式揭示了“术曰”的关键：t增1，则x增4，y减7，z益3。从x必须是4的倍数出发，其解就不难得到了。

我们知道，“百鸡问题”是一个二元一次不定方程的问题，然而学者除了用《九章算术》的“方程术”外，还把它化归为等价的同余问题，用“大衍求一术”来解。此外，我国著名数学家陈景润也给出了“百鸡问题”的解法，其解法的本质也是蕴含了极为重要的“求一”思想。限于篇幅，这两种解题方法本文不再展开，有兴趣的读者可参阅清代学者时曰醇著《百鸡术衍》（1861年），以及陈景润著《初等数论》。几百年来，众多学者围绕“百鸡问题”进行了研究，给出了不同的解题方法。教学中全面、系统分析这些解法首先是丰富了教学内容知识（PCK），也拓宽了学生的视野，有利于从整体上把握数学发展的脉络，掌握各种数学思想方法。

4.原始、朴素的数学思想的引领作用

数学思想方法是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。人的数学智能在很大程度上依赖于数学思想方法的掌握。数学思想方法作为数学教学的一条“暗线”，反映着知识间的横向联系，常常隐藏在基础知识的背后，需要加以分析、提炼才能使之显露出来。在数学知识的发生发展与应用过程中应始终以数学思想方法的形成作为数学教学的高层次追求，数学思想方法是数学知识的骨架与肌肉，是数学知识结构的活力与灵魂。这其中，教材中的习题也应体现数学基础知识与数学思想方法的有机结合。然而遗憾的是，传统的解题教学大都是为解题而解题，忽视对解题过程中数学思想方法的整理与提炼，这与问题本身质量不高，纯粹为了“题海战术”式的演练有很大关系。古算题却恰恰相反，以《九章算术》为例，其每一章都是先列举若干个实际问题，并对每个问题都给出解答，然后再给出“术”作为一类问题的共同解法，这些“术”都包含了深刻的数学思想。以《九章算术》“盈不足”章的“双鼠穿垣”问题为例。

原题为：今有垣厚五尺，两鼠对穿。大鼠日一尺，小鼠亦日一尺。大鼠日自倍，小鼠日自半。问几何日相逢？各穿几何？

答曰：二日、十七分日之二。

大鼠穿三尺四寸、十七分寸之十二，

小鼠穿一尺五寸、十七分寸之五。

术曰：假令二日，不足五寸。令之三日，有余三尺七寸半[7]。

《九章算术》对于该题的求解思路是把问题巧妙地转化为“盈亏问题”，用“盈不足术”求解。

解：假设两只老鼠打洞2天，则仍差5寸，不能把墙打穿；假设打洞3天，就会多出3尺7寸半。利用《九章算术》中的一盈，一不足公式得到，两只老鼠相遇的天数为：

=2。相会时，大小老鼠分别穿墙：1+2+4×=3，1++×=1。

可以看出，这种解法的高明之处是避开了每天变化的速度，把含有变量的数学问题转化为常量的数学问题。这种方法的本质是通过两次假设，得到问题的解决。其实，“盈不足术”也包含着哲学思辨，对待一个多因素制约的问题，采用增、减自变量数值，观察结果的变化，最终找到最佳方案，使得问题定量解决，从这个角度看，盈亏思想已经超越数学本身而成为一种思维模式。

“双鼠穿垣”问题还有指数方程的解法。设天后两鼠相遇，那么，

大鼠打洞：1+2+22+23+…+2x-1，小鼠打洞：1++（）2+（）3+…+（）x-1，

可得方程，1+2+22+23+…2x-1+1++（）2+（）3+…+（）x-1，最终解得，

x=。

如上，该题的两种解法蕴含了深刻的数学思想。盈亏方法体现了转化的思想，指数方法体现了直观化的数学思想。此外，我们也发现，两种解法所得到的答案不一样，显然，一个是有理数，一个是无理数。各取近似值进行比较，发现误差不大。究竟是什么原因导致结果不一致？追根溯源，其实这是由对问题背后的数学意境的理解不同造成的。我们知道，古代数学家缺少“动“的数学意境，他们很自然地把老鼠的打洞速度看成是每天不变的匀速，因此用盈亏方法来解。近代数学则是动态的，用指数方程来解，是把每一天老鼠打洞的速度也呈现指数规律变化的，所以不同的结果就产生了。两种截然不同的数学思想也代表了数学发展的基本规律，数学就是在不断地发现、否定、完善的过程中发展起来的。因此，教学中系统利用这些古算题，有效地进行解题教学的“变式”训练，对于学生的学习以及数学思想方法的深刻理解和灵活运用都是非常有帮助的。

参考文献

[1] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）.北京：北京师范大学出版社，2011.

[2] 纪志刚.数学的历史.南京：江苏人民出版社，2009.

[3] 李文林.数学史概论（第三版）.北京：高等教育出版社，2011.

[4] 郁祖权.中国古算解趣.北京：科学出版社，2004.

[5] Fauvel.J&Maanen.J.Histor yinmathe maticseducation.The ICMIStudy.Dordrecht，The Netherlands：Kluwer，2000.

[6] [美]V.J.Katz.数学史通论.李文林，等译.北京：高等教育出版社，2004.

《九章算术》与小学数学教学 篇4

在每个学生数学学习的历程中，“字母” 的出现都是一次认识上的飞跃。在“字母表示数”以及“方程”教学中，要肩负着帮助学生从算术思维向代数思维进行过渡。学习“字母表示数”的过程是帮助学生建立数感与符号意识的重要过程，是学习和认识数学的一次飞跃，同时也是学生今后继续学习代数式、整式、分式和根式等一系列概念及相关运算的重要基础，具有非常重要的意义，需要引起高度重视，并贯穿于学习数与代数的始终。以下是我在《方程的意义》教学中的一点体会。这课的难点是区分“等式”和“方程”，为能突破这一难点我精心设计了这节课的教学过程。新课前先是出示了口算卡： 接着在方程意义教学过程中为了使学生能明白什么是相等关系，我们先用了一把1米长粗细均匀的直尺横放在手指上，通过这一简单的小游戏使学生明白什么是平衡和不平衡，平衡的情况是当左右两边的重量相等时（食指位天直尺中央），紧接着引入了天平的演示，在天平的左右两边分边放置20+30的两只正方体、50的砝码，并根据平衡关系列出了一个等式，20+30=50；接着把其中一个30只转换了一个方向，但是30的标记是一个“？”天平仍是平衡状态。得出另一个等式20+？=50，标有？的再转换一个方向后上面标的是x，天平仍保持平衡状态，由此又可以写出一个等式20+x=50。整个过程注重引导学生通过演示、观察、思考、比较、概括等一系列活动，由浅入深，分层推进，逐步得出“等式”——“含有未知数的等式”——“方程”。对于解方程，《标准》明确指出“用等式的性质解简单的方程”。等式的性质反映了方程的本质，将未知数和已知数同等看待。这正是代数思维与算术思维的基本区别。

从算术思维向代数思维过渡，是学生认知发展的飞跃。绝大多数学生，经历认识上的这个过渡时，都不会自然而然、简简单单就完成的。需要教师精心地设计活动，让每个学生都有机会经历，有机会感悟，才可能慢慢地完成从算术思维向代数思维的过渡。

在小学教学的诸概念中，方程是一个抽象的概念，方程，其含义是指含有未知数的等式。它的刍形在各年级均有类似的式子反映，一年级的２＋（）＝５8－（）＝３ 可以理解为方程的起步，只是解法上没有特别的规定，高年级提出的解简易方程，作出了规范化要求，即必须书写“解”字。再按数量关系求出未知数。教材中强调的是利用数量关系求出未知数，例如：１８＋ｘ＝３０根据：加数＝和减另一个加数求得ｘ的值，像４＋３ｘ＝１０ 是让学生将“３ｘ”看作一个数，再按：加数=和减另一个加数得３Ｘ＝１０－４，３ｘ＝６、最后又按：因数＝积除以另一个因数求得Ｘ的值。其实可以让学生熟

悉等号的含义后，利用简笔画借助天平原理辅助教学。天平是平衡的，即左右两边是相等的，现在开始改变盘中的数值，左边的４不要了，拿去它，要使天平保持平衡，右边该怎么办，学生立即就会想到右边的１０也该减去４，既得到的是３个Ｘ等于６，再想象一个Ｘ则为把６平均分成３份中的１份即得到２。再将刚才的思路反映到解题中。

《九章算术》与小学数学教学 篇5

七年级数学下册

第九章

不等式与不等式组

综合训练

一、选择题

1.某经销商销售一批电话手表，第一个月以550元/块的价格售出60块，第二个月起降价，以500元/块的价格将这批电话手表全部售出，销售总额超过了5.5万元．这批电话手表至少有()

A.103块

B.104块

C.105块

D.106块

2.（2019•河北）语句“x的与x的和不超过5”可以表示为

A．+x≤5

B．+x≥5

C．≤5

D．+x=5

3.点A，B在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是a和b.对于以下结论：

甲：b－a＜0；

乙：a＋b＞0；

丙：|a|＜|b|；

丁：＞0.其中正确的是()

A.甲乙

B.丙丁

C.甲丙

D.乙丁

4.某种商品的进价为80元，标价为100元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，要保证利润率不低于12.5%，则该种商品最多可打

()

A.九折

B.八折

C.七折

D.六折

5.已知点M(1－2m，m－1)关于x轴的对称点在第一象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是()

6.如果，那么下列四个式子中：①

②

③

④正确的式子的个数共有

（）

A．个

B．个

C．个

D．个

7.下表是小洁打算在某通信公司购买一款MAT手机与搭配一个手机号的两种方案.此公司每个月收取通话费与月租费的方式如下:若通话费超过月租费,则只收通话费;若通话费不超过月租费,则只收月租费.小洁每个月的通话费均为x元,x为400到600之间的整数,在不考虑其他费用并使用两年的情况下,若使选择乙方案的总花费比选择甲方案少,则x至少为

()

A.500

B.516

C.517

D.600

8.如果关于的方程的解为不大于2的非负数，那么（）

A．

B．等于5，6，7

C．

D．

二、填空题

9.不等式－x＋3＜0的解集是________．

10.商家花费760

元购进某种水果80

千克，销售中有5%的水果正常损耗．为了避免亏本，售价至少应定为________元/千克．

11.下列说法中，正确的有__________个．

①的解集是；②是的解；③的整数解有无数个；④不等式的负整数解只有5个．

12.在平面直角坐标系中，点P(m，m－2)在第一象限内，则m的取值范围是________．

13.不等式组的解集是________．

14.某童装店按每套88元的价格购进1000套童装，应缴纳的税费为销售额的10%，若销售完这1000套童装要获得不低于20000元的纯利润，则每套童装的售价至少为

元.15.（2019•荆州）对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为（x），即当n为非负整数时，若n-0.5≤x

16.已知有理数满足，若的最小值为，最大值为，则___

三、解答题

17.用不等式表示：

⑴的与的差大于；

⑵的与的和小于；

⑶的倍与的的差是非负数；

⑷

与的和的不大于．

18.解不等式组，并把它的解集表示在数轴上．

19.福林制衣厂现有24名制作服装工人，每天都制作某种品牌衬衫和裤子，每人每天可制作衬衫3件或裤子5条．

(1)若该厂要求每天制作的衬衫和裤子数量相等，则应安排制作衬衫和裤子各多少人？

(2)已知制作一件衬衫可获得利润30元，制作一条裤子可获得利润16元，若该厂要求每天获得利润不少于2100元，则至少需要安排多少名工人制作衬衫？

20.求不等式的解集．

21.解不等式组

22.；

23.解不等式组

24.解不等式：

人教版

七年级数学下册

第九章

不等式与不等式组

综合训练-答案

一、选择题

1.【答案】C　【解析】设这批电话手表有x块，根据“销售总额超过5.5万元”列不等式得550×60＋500(x－60)＞55000，解得x＞104，所以这批电话手表至少有105块．

2.【答案】A

【解析】“x的与x的和不超过5”用不等式表示为x+x≤5．故选A．

3.【答案】C　【解析】∵由数轴可知b<－3<0

设该种商品打x折出售.依题意，得100×-80≥80×12.5%，解得x≥9，所以最多可打九折.5.【答案】A　解析：由题意得，点M关于x轴对称的点的坐标为(1－2m，1－m)．又∵M(1－2m，m－1)关于x轴的对称点在第一象限，∴解得

在数轴上表示为.故选A.6.【答案】B

【解析】⑴

①、③、④正确，所以选择B

7.【答案】C　[解析]

因为x为400到600之间的整数,所以甲方案使用两年的总花费为(24x+15000)元;

乙方案使用两年的总花费为24×600+13000=27400(元).当选择乙方案的总花费比选择甲方案少时可列不等式24x+15000>27400.解得x>516,所以x至少为517.故选C.8.【答案】D

【解析】由方程可得，根据题意得：且，即得，选择D．

二、填空题

9.【答案】x＞6　【解析】本题考查了一元一次不等式的解法．移项得，－x＜－3，系数化为1得，x＞6.10.【答案】10　【解析】设水果的定价为x元/千克，由题意得，80(1－5%)x－760≥0，化简得，76x≥760，∴x≥10.11.【答案】3

12.【答案】m>2　解析：由第一象限点的坐标的特点可得解得m＞2.13.【答案】－3－3，故不等式组的解集为：－3

设每套童装的售价为x元.依题意，得1000x-10%×1000x-88×1000≥20000，解得x≥120.15.【答案】13≤x<15

【解析】依题意得：6-0.5≤0.5x-1<6+0.5，解得13≤x<15．故答案为：13≤x<15．

16.【答案】5

【解析】解原不等式可得，利用几何意义解答或零点分段讨论均可，，．

三、解答题

17.【答案】

⑴

；⑵

；⑶

；⑷

．

18.【答案】

【解析】.∴原不等式组的解集是.在数轴上表示为：

19.【答案】

（1）应安排15名工人制作衬衫，9名工人制作裤子；（2）至少应安排18名工人制作衬衫．

【解析】（1）设应安排名工人制作衬衫，由题意得：

∴

∴

答：应安排15名工人制作衬衫，9名工人制作裤子．

（2）设应安排名工人制作衬衫，由题意得：

∴

答：至少应安排18名工人制作衬衫．

20.【答案】

【解析】对本例，首先应去分母，化成标准形式求解．

去分母，得

去括号，得

移项，得

合并同类项，得

系数化为1，得

21.【答案】

【解析】方法1：

原不等式组可写成，解这个不等式组，得。

方法2：

在不等式组的左、中、右三项同时乘以2，得。

再在这个不等式组三边同时减去3，得。

三边同时除以，不等号方向改变，得，即。

22.【答案】

【解析】或，解得，且；

23.【答案】

【解析】解不等式①，得，即可取任意实数；解不等式②，得.∴原不等式的解集为。

24.【答案】