曲率和曲率梯度（共9篇）
曲率和曲率梯度 篇1
任何曲线曲面都蕴含有特殊的几何特性———曲率和挠率这两个重要的参数。特定的曲率和挠率参数在设计制造行业、雕塑模型制作中都有着重要的应用,因此受到人们的普遍关注。比如,处理曲线、曲面设计中的光顺问题,要考虑几何外形的美观性,就得要求曲线型的曲率比较均匀[1,2]。1972年Mot[3]基于柱面的几何考虑首先研究Shoulder这类肩形曲面上交接曲线,给出圆柱料管的Shoulder交接曲线的数学模型。1995年Boersma和Molenaar在文献[4]中研究了材料包装机的Shoulder的几何造型。Oprea[5]以文献[4]的部分工作为例就Shoulder造型在工业材料包装的应用问题作了透彻和富有想象力的论述。本文在文献[3,4]的基础上,凸现曲率和挠率对Shoulder造型的参数化过程所起的作用。通过丰富的三维图形提供Shoulder造型的独特、直观和深入的认识。
1 空间曲线的曲率、挠率
为便于应用,介绍曲率和挠率等相关的预备知识,详细参阅文献[6,7]。
定义1设α:I=(a,b)→E3是以弧长s为参数的空间曲线,则数|α″(s)|=κ(s)称为α(s)在点s的曲率。若α″(s)≠0,则由副法向量B'(s)对弧长的微分B'(s)=-τ(s)N(s)确定的数τ(s)称为α(s)在s处的挠率。在一般参数t下,曲率和挠率的计算公式为
对于平面曲线α(t)=(x(t),y(t))的情形,可用相对曲率公式[6]
来计算。本文采用将α(t)看成空间曲线α(t)=(x(t),y(t),0),从而利用式(1)计算,保证曲率为非负数。
当曲率κ(s)≠0时,曲线α(s)有确定的Frenet标架{α(s);T(s),N(s),B(s)}。沿曲线C运动便得到曲线论中最重要的、最基本的Frenet公式。
定义2设σ:S1→S2是从正则参数曲面S1到正则参数曲面S2的三次以上的连续可微映射。如果在每一点p∈S1,切映射σ*p:TpS1→Tσ(p)S2都保持切向量的长度不变,即对于任意的X∈TpS1都有|σ*p(X)|=|X|,则称σ:S1→S2是从曲面S1到曲面S2的保长对应。
判断两个正则曲面是否能够建立保长对应有下面定理。
定理1在正则曲面S1和S2之间存在保长对应的充分必要条件是,能够在曲面S1和S2上取适当的参数系,都记成(u,v),并且在这样的参数系下这两个曲面有相同的第一类基本量,即
定义3设S是直纹面,如果曲面S的切平面沿每一条直母线是不变的,则称该直纹面是可展曲面。
可展曲面的一个显著特征是它和平面在局部上可以建立保长对应。
2 Shoulder曲面的几何参数化
2.1 Shoulder的结构描述及功能
粗略地讲,所谓Shoulder造型,是一个依附在圆柱面上的状如翻领的肩曲面,几何上表现为一个可展曲面,即它的向量参数方程具有直纹面形式为
并且α'(s),l(s),l'(s)共面,混合积(α'(s),l(s),l'(s))=0。工艺造型上将这类肩曲面烧铸在一个特定的金属圆筒壁上,将它的前缘和底部密封成Shoulder袋子。它大致包含有:翻领肩曲面,三角形肩平面,圆筒,肩曲面与圆筒的交接准线,翻领口两翼角等主要部分(见图1)。
工业用途上,要求包装材料从图1的三角形肩平面展开,经过Shoulder翻领肩曲面滑落。为了防止包装材料下滑中起皱导致材料堵塞以致生产流程被中断,几何上要求Shoulder必须满足合适的形状。下面我们将利用曲率和挠率创建出符合这种指定要求的Shoulder。
2.2 Shoulder的向量参数化过程
首先,设所研究的Shoulder肩曲面坐落在半径为R的圆柱面上,交接准线α(v)的最低点为B,最高点A距圆柱底面的高度为h。将与交接准线相关的圆柱截面部分沿着过点B的圆柱直母线破开,展开到xOz平面上,使得过点B的平行圆展开线的所在直线为x轴,过点A的圆柱直母线为z轴,则Shoulder肩曲面(以下简记为曲面Sh)的交接准线α(v)展成一条宽度为2πR的凸曲线(见图2)。
这里z(v)为待定的偶函数。
再将平面域ABC绕z轴旋转一周便得图1的圆柱截面部分。这时,准线α(v)上的点在垂直柱面上形成一条封闭曲线
利用式(1)和式(2),可分别求得珔α(v)的曲率和α(v)的曲率、挠率为
这里zvv<0(因为珔α(v)是凸函数)。比较式(6)与式(7),得到
从而κ>珔κ。
取s是珔α(v)弧长参数或α(v)弧长参数,有dvds=|珔α'(v)|=|α'(v)|=槡1+z'v2。进一步可以分别求出平面曲线珔α(s)=珔α(v(s))和空间曲线α(s)=α(v(s))的Frenet标架{珔α(s);珔T(s),珚N(s)}和{α(s);T(s),N(s),B(s)},即
其次,由于Shoulder肩曲面是可展曲面,设曲面Sh的直母线为单位向量值函数l(s),则曲面Sh可写成直纹面的形式
曲面Sh展开到平面后对应的平面具有直纹面的形式
注意到曲面Sh是由平面等距弯曲而来,所以珚N(s)⊥T(s),珚N(s)在α(s)的法平面span{N(s),B(s)}上。设φ(s)=∠(珚N(s),N(s)),则有珚N(s)=cosφN(s)+sinφB(s),记δ=δ(s)=∠(l(s),T(s)),则珋l(s)和l(s)可以写成
所以,珋l(s)和l(s)含有曲率或挠率的表达式为
l'(s)=sinδ(-dsdδ+cosφκ)T+[cosδ(珔κ-cosφdsdδ)+
根据保长对应的充要条件即定理1知,珔E=E,珔F=F,珔G=G以及l(s)·l(s)=1=珋l(s)·珋l(s),珔T珋l's=Tl's,珋l's·珋l's=l's·l's,经过计算,得到
珔κ2-2dsdδ珔κ=(sin2δcos2φ+cos2δ)κ2-2cosφdsdδ×
由式(16)有珔κ=κcosφ,代入(17)并化简得
这等价于
将式(18)代入式(15),得
l'(s)=(珔κ-dsdδ)(sinδT+cosδcosφN+cosδsinφB)
另一方面,由式(9),式(16)得到
的情况,ε=-1。
式(20)对s微分,利用式(16)得到
式(21)代入式(18),并记ε=1时,δ=δ1;ε=-1时,δ=δ2,则
利用上述cosφ,sinφ,T,N,B的表达式,可以得到方向向量l(s)关于z的表达式。考虑到式(22),在式(10)将参数u更换为
则式(10)便为
式(23)中新的直母线
对于曲面γ(s,u),它的单位法向量为
由式(16),式(20),上式变为
所以曲面Sh的单位外法向量(ε=1)和内法向量(ε=-1)分别为
恰好为圆柱的内法向量。设θ=∠(U1,-U2),则
2.3 满足特定几何参数的Shoulder的实现
考虑图1中三角形肩平面嵌入翻领肩曲面促进包装材料的打开平面薄片光滑过渡到Shoulder袋子。调整平面三角形使得其中一个顶点为A点,这对应于偶函数z(v)的v=0。由式(4)及图2知z(v)在v=0取得最大值h,在v=±πR取到最小值0,从而zv(0)=zv(±πR)=0。
一般来说,夹角δ(s)在s=0(即v=0)点不连续,这是由于Shoulder肩曲面的直母线l(s)沿着准线α(s)移动时,在s=0可选择从顶点A出发往三角形的左边或右边。记左直母线l-和右直母线l+对应的δ(s)分别δ-和δ+(见图3)。由对称性有δ++δ-=π,这时这两条直母线之间的夹角为
根据式(10)取珋l-珋l+=l-l+=cosδ-cosδ++sinδ-sinδ+=cos(δ--δ+)=cos(π-2δ+)=cosβ。由于tanδ1(φ∈(0,2π))能确定δ1,而由式(22)知tanδ1依赖于zvvv,因此,δ1在s=0处不连续,相当于tanδ1在s=0不连续。令zvvv(0+)=-zvvv(0-)<0,利用zv(0)=0,由式(22)得
这样β就得到确定。
由式(16),平面三角形和圆柱面上在点α(0)=(R,0,z(0))的切平面夹角θ0满足
现在找出一条符合某些几何条件要求的适当准线α(s),比如指定Shoulder的高度h;圆柱的半径R;交接准线α(s)的最高点A和最低点B处的夹角θ0,θ1以及三角形肩平面的一个顶点落在α(s)最高点A的张开角度β。
首先,取偶函数z=Rf(t),t=v/R∈(-π,π),这里f(t)采纳J.Boersma和J.Molenaar[3]提出的形式
合乎设计要求的曲面Sh对f(t)的四个待定系数c0,c1,c2,c3有特定的要求。
给定z(0)=h,则
由式(31)有,
从而f'(0)=0,f″(0)=2c1<0(z(v)在v=0即t=0取到极大值),f(t)在t=0处不连续,f(0+)=6c2,f(0-)=-6c2。所以由式(31)得
由式(29)有
这样,给定β就可确定
下面确定c3,c4。由t=π为准线α(s)的最低点B要求f(π)=0,给出方程
在t=π取θ=θ1,由式(28)得到
这等价于
所以
将前面求得c0,c1,c2代入式(35)和式(36),便可确定c3和c4。这样得到f(t)的具体表达式,从而获得α(v)的第三个分量z(v),由式(5)指定了一条准线
同时,从式(24)获得Shoulder肩曲面(23)的直母线方程
珓l(t)=(f(t)sint-f″(t)cost,-f(t)cost-f″(t)×
3 Shoulder造型图实例
经过第二节的分析,只要给定R,h,θ0,θ1,β的值,根据式(32)至式(34)这3个方程便求出c0,c1,c2,然后编写程序求解由式(35)和式(36)组成的方程组,得出c3,c4。最后以式(37)为准线、以式(38)为直母线,便可以编程生成直纹面,进而得到相应的Shoulder 3D造型图。下面利用Matlab编程给出两个Shoulder的实例。
例1设h=18.2,R=3,θ0=90°,θ1=10°和β=90°。则由式(32)～式(34)得到c0=6.066 7,c1=-0.5,c2=-0.166 7,利用Matlab程序(略)解θ1=10°时的方程组式(35)和式(36),一般有两组解,这里取其中一组解为c3=0.947 4,c4=0.619 7。给定适当的网格和定向,可绘出图4Shoulder的两个视角图。
例2若给定Shoulder的一组初始值为h=7.2,R=1,θ0=110°,θ1=5°,β=60°。c0=7.2,c1=-0.714 1,c2=-0.146 2,c3=1.088 5,c4=0.586 1。利用Matlab程序(略),可生成图5中Shoulder的两个视角图。
4 翻领口两翼裂缝度分析结论
经过多次试验,我们发现采用Matlab编程生成Shoulder存在一个漏洞。当随意给定一组R,h,θ0,θ1,β的值时,Shoulder翻领口两翼角局部上会出现两种病态:或者重叠打结甚至翻卷现象,或者裂缝度过大的现象(见图6(a))。而我们一般要求Shoulder翻领口两翼刚好处于啮合状态或特定裂缝尺寸。这要求设计者不得不反复地调整h与R的比例,才能达到期望的裂缝度效果,如果调试不得要领,那么调试的次数和耗时量将会增大。经多次反复调试,我们得出如此结论:给定h,θ0,θ1,β的值后,R的值大约取h时,Shoulder翻领口两翼几乎接近啮合状态,然后给R一些正负增值ΔR,经过有限的若干次调试,便可以得到期望的裂缝度。
比如h=9,θ0=110°,θ1=10°,β=60°。先取初始值R0=9×=1.5,在调试增量ΔR,当取ΔR≈-0.18,这时R≈1.32,得到的Shoulder如图7(a),翻领口两翼基本接近密合。又如h=18,θ0=110°,θ1=10°,β=60°,取R0为3,ΔR≈-0.3,这时R=2.7对应Shoulder如图7(b),翻领口两翼也趋于啮合。对于其他情况,有趣的读者不妨进行尝试。
5 总结与展望
本文在Shoulder造型数学参数化过程中,交接准线α(v)的曲率和挠率以及对应的平面曲线珔α(v)的曲率起到了相当大的作用。至于这些曲率和挠率的变化对Shoulder的工作效率产生哪些微妙的价值,本文没有涉及这方面的评估分析,有待于以后研究中进一步探讨。此外,下一步考虑的两个开放问题是:Shoulder翻领肩曲面如果不是依托在圆柱面而是别的曲面,比如长方体表面,情况又如何?对于满足特定几何参数要求的Shoulder,需要借用Boersma和Molenaar提出的f(t)形式(见式(31))处理一些不连续点问题,以及用f(t)的5个系数承载特定的几何参数,有没有更好的偶函数可以替代?
参考文献
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[5] Oprea J.Deferential geometry and its applications.China MachinePress,2005
[6] Do Carmo P.Differential geometry of curves and surfaces.China Ma-chine Press,2004.(田畴,忻元龙,等译.曲线与曲面的微分几何.北京:机械工业出版社,2005)
[7]陈维桓.微分几何.北京:北京大学出版社,2006
曲率和曲率梯度 篇2
1.实验目的: 1 观察等厚干涉现象，理解等厚干涉的原理和特点 2 学习用牛顿环测定透镜曲率半径 正确使用读数显微镜，学习用逐差法处理数据
2.实验仪器:
读数显微镜，钠光灯，牛顿环，入射光调节架
3.实验原理
图1 如图所示，在平板玻璃面DCF上放一个曲率半径很大的平凸透镜ACB，C点为接触点，这样在ACB和DCF之间，形成一层厚度不均匀的空气薄膜，单色光从上方垂直入射到透镜上，透过透镜，近似垂直地入射于空气膜。分别从膜的上下表面反射的两条光线来自同一条入射光线，它们满足相干条件并在膜的上表面相遇而产生干涉，干涉后的强度由相遇的两条光线的光程差决定，由图可见，二者的光程差 等于膜厚度e的两倍，即
此外，当光在空气膜的上表面反射时，是从光密媒质射向光疏媒质，反射光不发生相位突变，而在下表面反射时，则会发生相位突变，即在反射点处，反射光的相位与入射光的相位之间相差，与之对应的光程差为/2，所以相干的两条光线还具有/2的附加光程差，总的光程差为
（1）
当满足条件
（2）
时，发生相长干涉，出现第K级亮纹，而当
（3）
时，发生相消干涉，出现第k级暗纹。因为同一级条纹对应着相同的膜厚，所以干涉条纹是一组等厚度线。可以想见，干涉条纹是一组以C点为中心的同心圆，这就是所谓的牛顿环。
如图所示，设第k级条纹的半径为，对应的膜厚度为（4），则
在实验中，R的大小为几米到十几米，而的数量级为毫米，所以R >> ek，ek2相对于2Rek是一个小量，可以忽略，所以上式可以简化为
（5）
如果rk是第k级暗条纹的半径，由式（1）和（3）可得
（6）
代入式（5）得透镜曲率半径的计算公式
对给定的装置，R为常数，暗纹半径
（7）
（8）
和级数k的平方根成正比，即随着k的增大，条纹越来越细。
同理，如果rk是第k级明纹，则由式（1）和（2）得
代入式（5），可以算出
（9）
（10）
由式（8）和（10）可见，只要测出暗纹半径（或明纹半径），数出对应的级数k，即可算出R。
在实验中，暗纹位置更容易确定，所以我们选用式（8）来进行计算。在实际问题中，由于玻璃的弹性形变及接触处不干净等因素，透镜和玻璃板之间不可能是一个理想的点接触。这样一来，干涉环的圆心就很难确定，rk就很难测准，而且在接触处，到底包含了几级条纹也难以知道，这样级数k也无法确定，所以公式（8）不能直接用于实验测量。
在实验中，我们选择两个离中心较远的暗环，假定他们的级数为m和n，测出它们的直径dm = 2rm，dn = 2rn，则由式（8）有
由此得出
（11）
从这个公式可以看出，只要我们准确地测出某两条暗纹的直径，准确地数出级数m和n之差（m-n）（不必确定圆心也不必确定具体级数m和n），即可求得曲率半径R。
4.实验内容
1． 观察牛顿环
将牛顿环放置在读数显微镜镜筒和入射光调节架下方，调节玻璃片的角度，使通过显微镜目镜观察时视场最亮。
调节目镜，看清目镜视场的十字叉丝后，使显微镜镜筒下降到接近牛顿环仪然后缓慢上升，直到观察到干涉条纹，再微调玻璃片角度和显微镜，使条纹清晰。
2． 测牛顿环半径
使显微镜十字叉丝交点和牛顿环中心重合，并使水平方向的叉丝和标尺平行（与显微镜移动方向平行）。记录标尺读数。
转动显微镜微调鼓轮，使显微镜沿一个方向移动，同时数出十字叉丝竖丝移过的暗环数，直到竖丝与第N环相切为止（N根据实验要求决定）。记录标尺读数。
3． 重复步骤2测得一组牛顿环半径值，利用逐差法处理得到的数据，得到牛顿环半径R和R的标准差 5.数据处理及结果:
6.实验小结
结论：所用牛顿环半径为1.605m,标准差为94.59mm。误差分析：主要来源于读数时产生的误差。
在仿真实验中，鼠标点击旋钮时，每次的转动幅度较大，叉丝无法准确地与条纹相切，所以记录数据不准确。
建议：对该仿真实验系统进行完善，使得调节旋钮能连续进行，更接近实际，使仿真实验更有实际意义。
7.思考题
1．牛顿环产生的干涉属于薄膜干涉，在牛顿环中薄膜在什么位置？
答：牛顿环的薄膜是介于牛顿环下表面（凸面）与下面的平面玻璃之间的一层空气薄膜。2．为什么牛顿环产生的干涉条纹是一组同心圆环？
答：干涉时薄膜等厚处光程差相等，产生的干涉现象也相同。而牛顿环的薄膜等厚处相连在空间上是一个圆形，其圆心在凸面与平面的接触点上，所以干涉条纹是一组同心圆。3．牛顿环产生的干涉条纹在什么位置上？相干的两束光线是哪两束？
答：条纹产生在凸面的表面上。相干的两束光线分别是入射光射到凸透镜的下表面时产生的反射光和被平面镜反射回来照射到凸透镜下表面的光。
4．在牛顿环实验中，如果直接用暗纹公式测平凸透镜凸面的曲率半径，有什么问题？ 答：直接用暗纹公式计算曲率半径需要确定某条纹对应的级数。而在实际情况下，由于玻璃的弹性形变及接触处不干净等因素，透镜和玻璃板之间不可能是一个理想的点接触。这样一来，干涉环的圆心就很难确定，而且在接触处，到底包含了几级条纹也难以知道，这样级数k也无法确定，所以该公式无法运用。
5．在使用读数显微镜时，怎样判断是否消除了视差？使用时最主要的注意事项是什么？ 答：从目镜观测时，前后左右调整眼与目镜的位置，若看到的叉丝与图像之间没有相对移动，则视察消除。使用时需避免损坏目镜，先让物镜靠近牛顿装置的上表面，然后用眼睛看着显微镜，同时由下向上调节筒身。
6．在光学中有一种利用牛顿环产生的原理来判断被测透镜凹凸的简单方法：用手轻压牛顿环装置中被测透镜的边缘，同时观察干涉条纹中心移动的方向，中心趋向加力点者为凸透镜，中心背离加力点者为凹透镜。请想一想，这是什么道理
曲率和曲率梯度 篇3
关键词：高斯曲率 形状复原 三维
1 立体光学法
在形状复原过程中单张照片提供信息，立体光学法用一个相机取得多张不同光源的照片，这时候照相机是固定的，而光源是从不同的角度摄入的。一般来说立体光学法超过三个光源，从三个以上不同的方向光照目标物体，每次是用一个光源。把三枚照片利用完美漫射模型解出物体表面的方向向量，向量的积分也就是物体的高度，即三维模型。这种方法并不适用于物体表面有镜面反射的目标。
2 利用神经网络复原
立体光学法利用三个以上的光源，而且利用完美漫射模型这一限定条件决定目标物体不能镜面反射的成分。如果对于有镜面反射的物体，利用一个和目标物体相同反射率，相同反射条件和物理性质的球体来作为参照物的话，更有利于获得更精确的数值。
利用球作为参照物体复原的话，可以寻找目标物体的某一点。假设这一点的数字图像灰度值为E，那么对于在参照物体球的相同灰度值E的对应点，可以建立一个参照表。
神经网络（Neural Networks，简写为NN），它是一种模仿动物神经网络行为特征，进行分布式并行信息处理的算法数学模型。这种网络依靠系统的复杂程度，通过调整内部大量节点之间相互连接的关系，从而达到处理信息的目的。
3 高斯曲率
高斯曲率是曲面论中最重要的内蕴几何量。设曲面在P点处的两个主曲率为k1，k2，它们的乘积k=k1·k2称为曲面于该点的总曲率或高斯曲率。
其中，点（x，y）的高斯曲率G可以定义为：
这里fx是z相对于x的偏导数，而fy是z相对于y的偏导数。而且我们根据高数的数学知识我们知道对于平滑的曲面来说fxy=fyx的。点（x，y）的平均曲率M可以被
定义为：
根据曲率k1和k2符号的不同，曲面可以分为六种可能性。分别如图1-6所示。图中，RBF神经网络把数字图像的灰度值E映射到每个参照的球上的点（x，y）上。神经网络实现的结果就是把给定的物体的每个点的灰度值E，分别映射到球上的对应相同灰度值的点（x，y）。因为球的特性决定了它拥有一个空间坐标系所有可能性的向量特征，所以根据从目标物体的灰度值E映射到球上的对应点的相同灰度值E的地方，也就相当于物体该点的向量和球上的该点的向量值相同。而且，物体目标点附近4点分别映射到球上附近4点的时候，我们可以根据映射到的4个点的位置关系得到如图1-6的6种曲面关系对应。
■
图1 k1>0， k2>0 凸面
■
图2 k1<0， k2<0 凹面
■
图3 k1=0， k2=0 平面
■
图4 k1>0， k2<0 凸面
■
图5 k1>0， k2=0 凸鞍马面
■
图6 k1=0， k2<0 凹鞍马面
假定目标物体的曲面函数为z=f（x，y），那么对于任意一个点（x0，y0，z0）来说，根据泰勒公式把z=f（x，y）可以表示为
如果z=f（x，y）由该点（x0，y0，f（x0，y0））的法线向量n表示的话，可以用下面的公式表示n=■-fx-fy 1（4）
这里同样fx是z相对于x的偏导数，而fy是z相对于y的偏导数。
对于半径为r的球面某一点（xc，yc，（r2-xc2-yc2）1/2），然而，这时候改点的法线向量可以表示为
这里，目标物体的点（x0，y0，f（x0，y0））和相对应球上的点（xc，yc，（r2-xc2-yc2）1/2）可以通过神经网络映射出来，前提是他们的法线向量n是一样的话。
也就是说，球上对应点的坐标可以表示为
根据上面目标物体的某点用泰勒公式表示的方程公
式（3），对应目标物体某店周围4点分别是（P，Q，R，S）=（x0，
y0-Δy），（x0+Δx，y0），（x0，y0+Δy）和（x0-Δx，y0），周围4点（P，Q，R，S）的偏导数分别是
这4个点（P，Q，R，S）包围所的得到的曲面的面积S可以由以下向量a和b来表示，向量a和b分别是四边形的两条边。
所以，面积S就可以表示成
在这里，可以看出根据上面的公式，某一点的高斯曲率可以由该点附近4点所包围曲面的面积S来确定。也就是说该点的高斯曲率相对大小就是由附近4点包围面积的值来表示。另外，如图1-6所示的附近4点的六种可能性，可以确定曲面的类型以及曲率的符号。所以我们最终就确定了曲率的相对大小和符号，以及曲面类型等相关信息。
参考文献：
[1]吕东辉，张栋，孙九爱.光度立体技术的物体三维表面重建算法模拟与评价[J].计算机工程与设计，2010（16）.
[2]郑戟明，吕东辉，张栋，孙九爱.利用控制点提高光度立体技术重建精度研究[J].计算机工程与设计，2010（22）.
曲率和曲率梯度 篇4
随着计算机图像处理技术的发展,利用图像处理技术检测驾驶员的疲劳状态已经成为可能。首先利用摄像机实时检测驾驶员的眼睛位置,其次根据图像处理方法检测驾驶员的眼睛状态并判断是否疲劳驾驶,因此眼睛状态的识别具有重要意义[2]。
目前,研究人员在进行眼睛状态识别这一领域中做了大量研究,提出了多种方法,其中主要方法有边缘复杂度法、灰度投影法[3]、模板匹配法[4]、眼睛面积法、Hough变换找珠法、眼睑曲率法[5]、SVM 训练法等。以上方法各具特点,但在识别率、鲁棒性、实时性等方面难以全面兼顾,总会存在某种缺陷。本文首先在传统的灰度投影法思想的基础上,提出了一种基于区域灰度特征的识别方法,其具有速度快、识别率高等特点。为进一步提高算法性能,把传统的眼睑曲率法和区域灰度特征法进行融合,通过把两种方法分别在边缘特征和区域灰度特征方面的优势相结合,实现更高的识别率和更强的鲁棒性。
1 眼睛状态识别
1.1 区域灰度特征比较法
通过对眼睛的观察发现,瞳孔和眼角区域在睁眼和闭眼时有明显变化,于是可以通过对这种变化的量化分析实现眼睛状态的识别。
(1)如图1所示选择眼睛瞳孔和眼角所在的两个矩形区域作为比较目标。瞳孔区域尽可能取作者简介:瞳孔的内侧矩阵区域使其与瞳孔近似,眼角区域尽可能选择眼角眼白的混合区,以突出其灰度变化复杂的特点。
(2)对眼睛区域进行灰度化,同时计算步骤1中标注区域的灰度均值和方差,如式(1),式(2)所示,眼睛瞳孔区域灰度均值和方差分别记为V1、σ1,眼角区域灰度均值和方差分别记为V2、σ2。
式中,I(x,y)表示点(x,y)处的像素灰度值,m、n分别表示矩形区域的宽和高。
(3)分别比较V1、V2和σ1、σ2,当睁眼时,由于眼睛的瞳孔和眼白出现,瞳孔区域灰度值很低,而眼角区域灰度值很高,因此V1≪V2。同时瞳孔区域以较低的灰度像素均匀分布,眼角区域灰度分布复杂,因此σ1≪σ2;当闭眼时瞳孔和眼白消失,这两个区域的灰度分布接近,因此V1≈V2且σ1≈σ2。利用此方法,通过设置合适的阈值可以准确判断眼睛的开闭状态。
区域灰度特征比较法计算量小、速度快,同时保留了基于知识建模方法的人眼状态连续、参数可调性,抛弃了需要精确几何模型的缺点,利用区域灰度均值和方差,具有较强的鲁棒性。但当背景或光线阴暗图片造成噪声时,如果噪声严重,可能影响二值化后的图像进而造成判断错误,因此提出和眼睑曲率法相结合的思想对算法作进一步改进。
1.2 眼睑曲率法
1.2.1 上眼睑的提取
(1)边缘提取。边缘对应于图像中灰度剧烈变化的地方,是图像的重要特征之一,描述边缘特征包括灰度的变化率和方向。边缘提取在机器视觉和图像处理中较为重要,边缘检测算子依据边缘上的灰度的一阶导数最大值和二阶导数过零点提取边缘点,如Sobel 算子、Canny 算子、Prewitt 算子、Robert 算子、Laplacian 算子等。Canny 算子具有较强抑制噪声的能力,其原理如下:因为图像中的边缘可能指向不同的方向,所以 Canny 算子使用 4 个 mask 检测水平、垂直以及对角线方向的边缘。原始图像和每个mask 做卷积运算,并且标识每个点在这个点上的最大值以及生成的边缘的方向,这样从原始图像生成得到图像中每个点亮度梯度图以及亮度梯度的方向。由于较高的亮度梯度有可能是边缘,但是无确切的值来限定多大的亮度梯度是边缘,所以 Canny 使用滞后阈值。使用Canny算子提取边缘时能够得到较好的效果,具有较强的抗噪性。图2(b)为边缘检测结果图,眼睛的大部分边缘均被提取出。因此可见经过Canny算子运算后的图像,边界从整幅图像中突显出来。
(2)上眼睑轮廓的提取[5]。眼睛边缘图中包含所需的边缘信息。观察图2(b)可知,上眼睑基本位于边缘图上部,因此扫描图像取出每列的最上面的点,即得到上眼睑曲线,如图2(c)。由于噪声干扰,会存在一些孤立点对提取上眼睑曲线造成影响,必须消除噪声点干扰,采用三次曲线拟合方法对上眼睑曲线拟合,结果如图2(d)所示。
(3)眼睑曲率的计算。由于利用上眼睑的整体特性,因此计算的是眼睑的平均曲率。平均曲率的计算公式为
其中,Δφ表示曲线段切线变化的角度;Δs为弧长。
如果直接利用该公式容易受噪声点干扰,鲁棒性较低,而且由于计算量大造成速度慢,因此需寻找更为简单的方法。文献[6]提出对每一眼睑分段,利用以下近似公式求每段的曲率,最后求其中值作为眼睑的平均曲率
其中,BD、AC 为图 3圆弧中的弦长,并且 A,B,C 沿圆弧等间隔选取。
该方法在不影响计算精度的基础上,因为减少了计算量,所以整个系统的计算速度明显提高。但在计算过程中,发现该方法计算出的眼睑曲率为零的情况较多,其主要由于每一眼睑分段较短,几乎变成直线。为此,文中对该方法进行改进,不用分段求曲率,而是将眼睑曲线作为整体进行简化计算,具体如下:
(1)选择眼睑曲线的两边端点分别为A、C,则其纵坐标差值为AC。
(2)依次扫描眼睑上各点,比较各点的横坐标,横坐标靠上的点为眼睑的中点,即B点,计算B点到AC的距离得到BD。
(3)根据公式(4)计算曲率。
1.2.2 眼睛状态识别
睁眼和闭眼时眼睑曲线曲率不同而且弯曲方向也会不同,这是判断眼睛睁闭的重要特征。根据图 3可知,当睁眼时B在AC上方,闭眼时B在AC的下方。因此定义当B在AC的上方时曲率为正,反之曲率为负。由于睁眼、半睁眼或眯眼时上眼睑曲率为正,实际眼睛状态识别过程中,当上眼睑曲率大于阈值时则判断为开眼,否则认为闭眼。
2 实验结果与分析
实验环境选用CPU E5300 2.9 GHz,2 GB的内存。操作系统为Microsoft Windows XP SP3,仿真平台为Matalab 7.8。
2.1 区域灰度特征比较法
选取不同光照下的眼睛图片,通过对灰度特征比较法计算特征值,部分结果列于表1和表2。从所得数据可知,区域灰度均值和方差在开眼和闭眼状态下具有明显变化,同时由于图像的灰度值受光线影响较大,因此采用开眼和闭眼时的灰度均值比、灰度方差比作为眼睛状态判决的阈值,具有较好的适应性。
2.2 眼睑曲率法
同样对不同光照下的眼睛图片计算眼睑曲率,通过眼睑曲率法提取上眼睑和计算眼睑曲率,将部分结果列于表 3。从所得数据中可知,眼睑曲率伴随眼睛睁闭状态而发生变化,因此可作为眼睛状态识别的特征之一。
3 结束语
疲劳驾驶是车祸事故的主要原因之一,因此对驾驶员的疲劳状态进行监测,减少由于疲劳驾驶而引发的事故,具有重要现实意义。人眼状态识别是构建驾驶疲劳检测系统的关键步骤之一。文中首先提出了一种基于比较区域灰度特征的眼睛状态识别方法,具有速度快、识别率高等优点。当光线较暗或噪声剧烈时,通过融合眼睑曲率法做进一步综合判断,使两种方法优势互补,这样既缩短了计算时间,而且提高了人眼状态识别的精确度和鲁棒性。
参考文献
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[3]左坤隆,刘文耀,朱昊.基于差分投影和梯度向量流场的眼睛特征提取[J].计算机工程,2005,31(4):26-28.
[4]陈艳琴.关于司机疲劳监测的人眼检测与跟踪研究[D].长沙:中南大学,2004.
[5]江水郎.基于视觉的驾驶员疲劳检测研究[D].上海:上海交通大学,2008.
曲率和曲率梯度 篇5
关键词：角点检测,曲率尺度空间,直接曲率尺度空间,自适应支持区域
角点作为图像的一个局部特征,有不受光照影响及旋转不变的特点。角点不仅保留图像重要的特征信息,同时降低了图像信息的数据量,提高了计算速度,使其在目标跟踪、形状匹配等领域有着广泛的应用。在Witkin[1]和Koenderink[2]提出基于尺度空间的图像处理算法后,Mokhtarian及Suomela提出了基于曲率尺度空间(Curvature Scale Space)的角点检测算法[3]。该算法容易丢失真实角点,同时出现大量的伪角点,因此,Mokh-tarian和Mohanna针对轮廓长度不同的使用不一样的尺度,以避免正确角点的遗漏[4],X.C.He和N H C Yung提出了自适应的角点算法[5]。该算法在考虑全局特性时,由于钝角点邻域的全局曲率特征变化很快,带有重要的角点信息,具有提取价值,所以应该保留钝角角点,但是圆角点和钝角点在某些特殊情况下不好分辨,并且一个钝角在多次滤波以后也会变成圆角的,这个时候就容易丢失正确角点,并且该文献用于移除边界噪声引起的伪角点所用的算法过于复杂,增大了计算的复杂度。所以该算法仍然存在不足。
基于此,本文提出了基于直接曲率尺度空间的自适应角点检测方法。该算法在文献[5] 的础上,采用设置阈值的曲率积来加强角点,减少正确角点的丢失,该方法不仅提高了角点检测精度和稳定性,同时降低计算复杂度。
1 改进的角点检测算法
轮廓曲线容易受噪声影响产生毛刺,影响图像角点的提取,文献[6] 中给出了经高斯平滑后的轮廓曲线的曲率公式:
其中是一个卷积符号,u为弧长参数,g(u,σ) 是高斯核函数,σ 为尺度参数, gu(u,σ) ,guu(u,σ) 分别为g(u,σ) 的一阶和二阶导数。在此基础上文献[5] 中提出了基于全局和局部曲率特性的角点检测。文献[5] 是基于曲率尺度空间(CSS)下的角点检测算法,它是在每个尺度下,先计算{x(u,σ),y(u,σ)} ,再计算演化后曲线的曲率。本文算法是先求出曲率,然后用高斯函数进行卷积,如k(u,σ)= k(u)⊗ g(u,σ) 。曲率尺度空间(CSS)技术要在不同的尺度下分别演化函数x(u,σ) 和y(u,σ) ,而直接曲率尺度空间(DCSS)技术只仅需要演化函数k(u,σ)[7]。由此可见,直接曲率尺度空间(DCSS)技术减少了计算量。文献[5]算法中步骤6)移除圆角点时容易将钝角点错误移除钝角,丢失正确角点,所以本文采用设置尺度阈值的多尺度曲率积的思想来加强角点检测。设置阈值是因为在很低的尺度下的曲率受噪声比较严重,这些曲率值可以忽略掉,减少计算量。这样不仅减少了计算的次数,增大检测角点的效率,同时可以使检测到的角点位置更加的稳定和精确。对文献[5]的步骤3)、4)进行了改进,具体算法如下:
1)使用Canny算子获得边缘图像;
2)用曲率尺度空间(CSS)算法提取轮廓曲线;
3)在DCSS技术下,计算尺度大于阈值的曲线的曲率,并计算出曲率乘积。把局部曲率最大点作为候选角点;
4)选定一个范围,将该范围内曲率乘积的绝对值大于阈值的局部极值点选为候选角点;
5)利用自适应支持区域移除由噪声引起的角点;
6)通过基于自适应支持域的平均曲率来设置动态的曲率阈值T(u) ,将候选角点的曲率小于动态曲率阈值的作为圆角点移除;
7)最后,考虑轮廓曲线是否闭合。当轮廓闭合时,采用循环卷积,当轮廓断开时,在断开的两端采用对称扩展的方式进行处1理。若是端点和紧邻的角点相距很近的话,可以被标注为角点。
2 实验结果和分析
为了对比本文算法的角点检测结果,分别采用Harris、SU SAN、文献[5]和本文改进算法对以下二幅图像进行了角点检测对比试验。检测结果如图1、2所示:SUSAN corners
图2房子的角点检测结果
从图1和图2可知,虽然Harris、SUSAN算子检测出了大部分正确角点,但是也检测出大量的错误角点,遗漏了一些正确角点,总的来说正确检测率并不理想。而通过文献[5]算法基本上检测出了所有的真实角点,但是出现了很少部分的伪角点。从图1(d)可见本文算法检测出了全部的真实角点,并且没有出现错误角点,另外三种方法无论如何调整阈值,都不能达到本文算法的检测结果。从图1和图2可以看出本文提出的算法具有很高的定位精度。图2表示了纹理信息丰富的房屋图,通过观察显示,本文改进的算法的检测结果优于其他三种检测方法。本文算法检测的正确角点数最多,同时检测的错误角点数目是最少的。实验结果表明,本文算法在定位与检测性能方面优于其他算法。Harris算法、SUSAN算法、文献[5]算法和本文算法的具体检测结果具体如表1所示。
（正确率=正确角点数/正确角点数+错误角点数+漏掉角点数）
虽然Harris、SUSAN、CSS算子检测出木块的大部分正确角点,但是由于检测出大量的错误角点,正确率并不高。本文提出的算法的正确检测率效果显然优于其他三种算法。从房屋图像上可以看到,它的砖墙上包含了纹理及一些复杂的细节信息。相比与简单图像,要想检测出正确角点有一定的难度。从表1 可以看出,本文算法检测出了房子的大部分正确角点,并且检测出的错误角点数目明显比其他几种算法少。
3 结论
曲率的教法探讨 篇6
一、合理引入, 激发兴趣
可以利用西班牙列车脱轨新闻, 从众所周知的弯道限速知识入手, 引入课题, 目的是通过设疑, 激发学生学习的兴趣.
曲率是描述曲线弯曲程度的量.和其他数学概念一样, 曲率这个概念的提出也来源于实际生活.请大家观看一个视频.2013年7月24日, 一辆西班牙列车在行驶至一个弯道时突然发生脱轨, 造成78人死亡, 上百人受伤的严重列车事故.这次事故的主要原因是列车司机忽视曲线的弯曲程度, 在急转弯处仍然超速行驶造成的.因此在轨道交通中, 我们需要根据轨道的弯曲程度来限制车速, 以保障行车安全.
二、鼓励学生, 积极探究
直觉告诉我们:直线是不弯曲的.圆, 因为它是中心对称图形, 所以在每一点处的弯曲程度是相同的.半径较小的圆比半径较大的圆弯曲的更厉害些.那么曲线的弯曲程度与哪些因素有关呢?
如图1, 假设弧段与弧段的长度相同.很容易看出, 弧段比较平直, 当动点沿弧段从M1移动到M2时, 切线转过的角度Δα1不大;而弧段弯曲的比较厉害, 切线转过的角度Δα2就比较大.这说明:当弧段长度相同的情况下, 弧段弯曲程度越大, 切线转角越大.但是, 切线转角的大小还不能完全反映曲线的弯曲程度.从图2可以看出, 弧段与弧段切线转过的角度是相同的, 都是Δα, 但是两弧段弯曲程度明显不同.显然, 短弧段比长弧段弯曲的厉害些.这表明在切线转角相同的情况下, 弧段越短, 曲线弯曲程度越大.因此, 曲线的弯曲程度与切线的转角及弧段的长度有关.
三、讲解定义, 理解本质
我们先讨论如何描述曲线在某一弧段的弯曲程度.对于一个光滑曲线弧C, 在C上选定一点M0作为基点, 沿动点M移动到M'时切线转过的角度为|Δα|, 弧段的长度为|Δs|.
根据上面的分析, 可以考虑用比值, 也就是单位弧段上切线转过的角度的大小来描述弧段的平均弯曲程度.我们把这比值叫做弧段的平均曲率.记作, 即.因为曲线的弯曲程度与方向无关, 所以这里加了绝对值符号.但是对于一般曲线而言, 在不同点处有不同的弯曲程度, 所以需要描述曲线在任意一点处的弯曲程度.想一想该如何描述?我们可以借鉴从平均速度定义瞬时速度的思想, 借助极限的工具来刻画曲线在任一点处的弯曲程度.也就是说, 当动点M'沿曲线无限趋近于M时, 即Δs→0时, 我们把上述平均曲率的极限称之为曲线C在点M处的曲率, 记作K, 即.在存在的条件下, , 这就是曲率的定义.
四、引导推理, 突破难点
虽然根据定义可以轻松计算出圆上任一点的曲率, 但是对于一般曲线而言, 利用定义计算某一点的曲率还是比较困难的, 下面我们就讨论在直角坐标系下曲率的计算公式.
设函数y=f (x) 二阶可导, 由可知只要计算α和s的微分, 然后做商就可以了.先看s的微分, , 这是上节课我们讲的弧微分公式.下面来求α的微分.由导数的几何意义知tanα=y', 等式两端同时微分得sec2αdα=y″dx, 所以, 因此, 这就是直角坐标系下曲率的计算公式.
五、过渡自然, 水到渠成
为什么要引入曲率圆与曲率半径是学生感到困惑的地方.可以这样过渡:
到此为止, 我们已经学习了曲率的定义以及在直角坐标系下曲率的计算方法.不过请想一想:如果我告诉你, 曲线在某一点处的曲率为1/2, 你能想象得出曲线在这一点处的弯曲程度吗?好像很抽象.但是如果我告诉你, 一个圆的半径为2个单位, 你能想象得出这个圆的弯曲程度吗?是不是就容易多了.因此, 为了让大家更直观的理解曲率的概念和更好地利用曲率解决实际问题, 我们引入曲率圆和曲率半径的定义.
设曲线y=f (x) 在点M (x, y) 处的曲率为K (K≠0) ,
在点M处的曲线的法线上, 在凹的一侧取一点D,
使, 以D为圆心, ρ为半径作圆,
这个圆叫做该曲线在点M的曲率圆, ρ称作曲率半径,
D称作曲率中心, 这就是曲率圆与曲率半径的定义.
不难看出, 在点M处曲率圆与曲线有密切的关系.它们有
①相同的切线;②相同的凹向;③相同的曲率.
因此, 在实际问题中, 常常用曲率圆在点M邻近的一段弧来近似代替曲线弧, 以使问题简化.而且按上述规定, 曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数, 即
六、精选例题, 前后呼应
学完了曲率的相关知识, 我们来讨论一下曲率在实际生活中的应用.
1.有关砂轮选取的问题
例3设工件表面的截线为抛物线y=0.4x2.现在要用砂轮磨削其内表面, 问用直径多大的砂轮才比较合适?
分析若砂轮半径太大了会出现什么问题?
可能有些细节就磨不到了.如果非要磨这些细节的话, 就会造成工件内表面的磨损.因此砂轮的半径应不大于抛物线上各点处曲率半径中的最小值, 由例2知, 抛物线在其顶点处的曲率最大, 也就是曲率半径最小.
我们知道在顶点处曲率K取最大值为|2a|=0.8,
从而顶点处的曲率半径就为1.25.
所以我们选用砂轮的直径不得超过2.50个单位长.
2.在轨道交通中的应用
例4本节开篇时谈到的西班牙列车脱轨事故.从“黑匣子”数据显示, 出事列车在进入限速为时速80公里的弯道时, 车速竟一度高达时速192公里.试通过离心力计算说明其出事原因.
分析由物理学知识知列车在转弯时所受离心力过大, 就会造成列车偏离轨道, 发生严重的脱轨事故.而离心力, 其中m表示质量, v表示速度, ρ表示曲率半径.
当轨道弯曲程度较大, 即曲率半径ρ很小时, 而v又很大时, 就会造成离心力F很大, 容易发生脱轨.假设同一辆列车在同一弯道处分别以时速192公里与时速80公里行驶, 由于192是80的2.4倍, 所以时速192公里的列车所受离心力是时速80公里的列车所受离心力的2.42倍, 即5.76倍.
因此, 在这里提醒广大司机朋友在行驶至弯曲程度很大的弯道时一定要减速慢行, 以保障行车安全.
例题的选取很重要, 例3和例4不仅能反映曲率相关知识在生活中的重要作用, 更能和开篇及例2首尾呼应, 使整节课层层推进, 浑然一体.
七、归纳总结, 鼓励探讨
最后总结一下所学内容并鼓励同学们积极探讨曲率在生产生活中的其他应用.
数学的美无处不在, 等待你去发现, 用所学知识解决实际问题是数学学科的精髓.希望同学们在今后的学习和生活中勤观察, 多思考, 不断探索和实践, 让高等数学在生产实践中发挥越来越大的作用.
参考文献
[1]同济大学数学系.高等数学教学的一点思考[M].北京:高等教育出版社, 2014:168-174.
[2]童丽娟.信息技术在曲率教学中的应用探索[J].电子世界, 2014, (10) :271.
基于曲率的灰度图像拼接研究 篇7
1 曲率及其特性
1.1 曲率的定义
平面曲线上某点处的切线与X轴的夹角相对于弧长的变化率,即:
其计算公式为:
曲率反应了平面曲线在某点处的弯曲程度。
1.2 曲率的位移不变性[1]
将y=f(x)确定的曲线的原点位移到(x0,y0),令,,则,,故,假设函数二次可导,则绝对曲率为:
1.3 曲率的旋转不变性[1]
假设将坐标系沿原点反向旋转角,用极坐标系表示为:x=rcosθ,y=rsinθ;旋转θ0角后,)。
代入(1)后,可以同样得到结论,说明旋转不变性成立。
曲率反应了曲线在某点处的弯曲程度,而且曲率具有位移不变性和旋转不变性,所以图像两条切口上所对应的点处的曲率理论上是相等的。
2 图像边界的提取
如图2所示,a图和b图是一个图形被切开后的两部分,假设图像物体和背景具有反差,为了简便,将图像转换为灰度图像。首先需要提取图像的边界,边界检测与边界提取的算法很多,例如跟踪虫算法、拉普拉斯边缘检测算法[2]等等。由于这里只分析灰度图像,采用跟踪虫算法就能够很好地提取图像的边界。因为图像中灰度级最高的点(即在原始图像中梯度值最高的点)必然在边界上,所以可以把这一点作为边界跟踪过程的起始点。如果有几个点都具有最高灰度级,可以任选一个,接着搜索以边界起始点为中心的3×3邻域,找出具有最大灰度级的邻域点作为第2个边界点。如果有两个邻域点具有相同的最大灰度级,就任选一个。从这一点开始,起动了一个在给定当前和前一个边界点的条件下寻找下一个边界点的迭代过程。在以当前边界点为中心的3×3邻域内,考察前一个边界点位置相对的邻点和这个邻点两旁的两个点,如图1所示。下一个边界点就是上述3点中具有最高灰度级的那个点。如果所有3个或两个相邻边界点具有同样的最高灰度级,就选择中间的那个点。如果两个非邻接点具有同样的最高灰度级,可以任选其一。
图像轮廓边缘检测出来后,如图3所示,将图像轮廓点按顺序保存成图像文件。
3 计算图像边界上每个点的曲率[3,4,5]
得到图像的轮廓后,需要计算出图像轮廓上的各离散点的曲率,从而比较切口的相似度。常用的一种曲率计算方法为三点法,这种方法是考虑轮廓上相邻的3个点并用差分代替微分得到近似曲率值。设轮廓共有N个数据点P1……Pi……PN,Pi=(xi,yi),其曲率可近似表示为
这种方法计算简单,但对噪声过于敏感,在实际应用中,有时很难得到理想的结果。三点法对噪声过于敏感的原因是曲率计算的支撑区间太小。为此,将以上三点曲率计算方法扩充改进为十一点,可有效减小噪声的影响。设,Ri1=Pi-Pi-5,Ri2=Pi+5-Pi,则十一点法的计算公式为:
实际上,十一点法计算得到的并不是真正意义上的曲率,但在表达轮廓的几何特性方面它与曲率有相同的行为,更重要的是,由于扩大了曲率计算的支撑区间,大大提高了抗噪声能力。
4 计算相关系数
由于两条图像切口线的形状是吻合的,其上各点处的曲率也是吻合的。对于图2中a和b,可以求出相应的切口上各点的曲率,图像轮廓上各离散点的曲率可以看成信号序列,计算切口上各点曲率构成信号的相关系数,可以验证当切口上的各点完全吻合时,相关系数最大。
4.1 互相关序列
对于两个实信号序列x(n)和y(n),每个序列都是有限能量的。x(n)和y(n)的互相关序列定义为[3]:
4.2 自相关序列
在y(n)=x(n)的特殊情况下,得到x(n)的自相关[3]:
4.3 相关系数
归一化的互相关序列(相关系数)为[3]
信号y(n)移位l后,如果ρxy达到最大值,则说明y(n)移位l后和x(n)相似度最大。
5 结语
把图3中a曲线和b曲线的切口部分(ABC)各点处求得的曲率当作信号序列x(n)和y(n),经过验证,当l=0时,即a轮廓的A,B,C与b轮廓A,B,C重合时,ρ取得最大值,ρmax=0.9814。
参考文献
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[5]Williams.Donna and Shah.Mubarak,A fast algorithm for active contours and curvature estimation.
[6]Sergios Theodoridis,Konstantions Koutroumbas,Pattern Recongnition,Second Edition,Elsevier Academic Press.
关于曲率流的一些结论 篇8
假设X0:Mn→Rn+1是n维浸入紧致光滑子流形, 定义主曲率为 (λi) 1≤i≤n, 法向量为n.设是光滑的, 令Mt:=X (Mn, t) .本文讨论一组光滑子流形满足.其中Uk是一光滑函数, F是关于主曲率对称的函数.
2. 主要结论和证明
由gij的定义和Frener-Serret formua可知:
定理2.2面积元素满足.
由定理2.1可得
定理2.3法向量n满足.
证明已知
由于, 可得
已知, 最终得
定理2.4第二基本形式hij满足
证明由于, 我们定义分号, 则我们可得hij=-
(根据定理2.3)
由于计算量庞大, 分开来计算:
将所有部分结合起来, 可得
定理2.5假设.令.
证明令, 则
(By[2]lemma1.1) 可得
最终得.
3. 相关经典曲率流的例子
例1令Uk=0, F=H=λ1+λ2+…+λn, 显然H是关于主曲率对称的函数, 则发展方程变为, 由上述讨论直接可得
例2令, 显然|A|2是关于主曲率对称的函数, 则发展方程变为.直接得
例3令是关于主曲率对称的函数, 则发展方程变为.直接得.
例4令是关于主曲率对称的函数, 则发展方程变为.我们有.
参考文献
[1]Klaus Ecker.Regularity theory for mean curvature flow, September26, 2003
基于曲率的圆周铣削铣削力建模 篇9
在圆周铣削加工中影响加工精度的一个最重要因素是刀具受铣削力而引起的弯曲变形, 为了提高零件的加工精度和加工效率, 需要建立圆周铣削过程的铣削力预测模型。诸多学者已经在这个领域做过相关研究, 但是多是将机械加工面简化为直线或圆形[1,2], 没有将自由曲线轮廓下各个加工过程参数所受的影响表现出来。本文以曲率变化的自由曲线外形零件为研究对象, 对刀具切削过程进行了精确几何描述, 建立了基于曲率的铣削力预测模型, 利用该模型定性分析了加工误差。
1螺旋铣刀几何模型
一般螺旋铣刀在其圆周方向上会分布3个以上的切削刃, 切削刃的螺旋角一般为20o～45o, 本文以右旋铣刀为研究对象, 对带有刃倾角的螺旋铣刀进行微分化处理。沿着螺旋铣刀的轴线方向将铣刀划分为很小的薄片, 在每个薄片内, 刀刃的切削运动可以近似为这个微段上的斜刃切削运动 (斜刃切削刃倾角β等于螺旋铣刀螺旋角) , 以此为基础, 可得到每一个微段切削刃的切向和法向铣削力, 进而得到整个铣刀的受力状况。
按照图1所示建立坐标系, 铣刀的端面为XY平面, 轴向为Z轴, 并将某一刀刃的端面顶点与轴心的连线选定为X轴且记为初始状态。对某一微段切削刃, 建立如图2所示的局部刀齿坐标系kga。其中, X方向为工件成型面的法线方向, Y为瞬时进给方向。两坐标系的对应关系如下:
undefined
。 (1)
其中:φi为第i条刃线上轴向高度为z处的微元在时间t时的位置角:
undefined。 (2)
其中:ω为刀具转速;m为刀具齿数;r为刀具半径;Δ为坐标系在t时刻相对于初始状态的转角。
2螺旋铣刀铣削力模型
在螺旋铣刀的切削微段内, 假设dl为切削微段的切削刃长度, dl=rdφi/sinβ, dz为带倾角β的斜刃切削宽度, dz=dlcosβ。微段切屑的横截面积:
dA (φi) =ti (φi) dz=ti (φi) dlcosβ 。 (3)
其中:ti (φi) 为未变形切屑厚度。
依图2所示, 微段切向铣削力为:
dFki (φi) =KudA (φi) =Kuti (φi) rcotβdφi 。 (4)
其中:Ku为切向铣削力系数[3]。
基于斜刃切削理论, 圆周铣削的微段径向铣削力为:
dFgi (φi) =cdFki (φi) 。 (5)
其中:系数c的值与刀具几何参数有关。
根据切削运动学原理, 第i个切削微段切除材料产生切屑的未变形厚度为:
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。 (6)
其中:Ω为刀具切削过程中的径向浸没角;ft为每齿切削量。
图3为顺铣加工铣削力几何模型 (凸面) , 其中, A (xt (ta) , yt (ta) ) 和B (xt (tb) , yt (tb) ) 分别为刀具完成每齿切削时中心轨迹上的两个连续点;C (xr (tc) , yr (tc) ) 和D (xr (td) , yr (td) ) 分别是对应于A和B的刀刃切入点;A′ (x (ta′) , y (ta′) ) 是零件成形面上与前一刀位轮廓的切点;E (xc (tc) , yc (tc) ) 点是零件加工前轮廓外形上刀具切入点的曲率中心。当刀具中心位于A点时, 相应地在零件毛坯上的切入点为C。
为了得到零件成形面上与刀齿顶点轨迹相切的点, 以便得到对应的刀具中心点的参数值和对应的时间点, 建立如下方程组:
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。 (7)
其中:t为刀具运行时间;n为各齿尖运动轨迹, 取值范围 (1～m) 。通过解式 (7) , 可以得到所有刀齿顶点轨迹与零件成形面的切点位置A′ (x (ta′) , y (ta′) ) 对应的A (xt (ta) , yt (ta) ) 以及对应于此位置的刀具运行时间。
C点的坐标值可以通过下面的方程组得到[4]:
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。 (8)
在加工过程中, 随着被加工零件外形的变化, 刀具的浸没角也随之发生了变化, 由下式可求得刀具浸没角Ω:
undefined。 (9)
用求C点位置相同的方法可以得到对应于刀具中心点B的刀具切入点D的坐标。
考虑到在C点产生最大未变形切屑厚度, 最大的微段铣削力也在这一点产生, 所以在刀具高度范围内将C点近似为分布铣削力的作用中心, 并以此处的曲率变化来考察对铣削力所产生的影响。
在刀具切削过程中, 受零件外形曲率影响的每齿切削量由下式给出:
undefined。 (10)
其中:Kr (tc) 为参数曲线在C点的曲率值。
模型中, 当零件外形为直线时, 每齿切削量由下式给出:
undefined。 (11)
其中:vt为刀具进给速度。
为了得到刀具的总铣削力, 将每一个切削微段的铣削力分解到图2所示的坐标系的X方向和Y方向, 并对方程沿刀刃方向进行积分, 得到如下表达式:
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。
(12)
其中:
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;αe为有效前角;αe0为初始有效前角;u0为初始的单位切削能量。
将m个切削刃上得到的铣削力求和即得到顺铣时刀具所受到的铣削合力:
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。 (13)
3曲率对铣削力影响的定性分析
在铣削凹面的过程中, 零件表面的曲率越大, 相邻两齿完成切削时补偿转角Δ的差值 (为正) 越大, 则顺铣条件下的每齿切削量变小, 通过式 (12) 我们可以看出, 每齿切削量越小, 对应的铣削力越小。因此右旋铣刀在铣削零件凹面时 (顺铣) , 其他加工条件相同的情况下, 轮廓外形的曲率越大, 铣削力越小。
在铣削零件凸面的过程中, 零件表面的曲率越大, 相邻两齿完成切削时补偿转角Δ的差值 (为负) 越小, 则顺铣条件下每齿切削量变大, 对应的铣削力越大。所以, 在铣削零件凸面时, 其他加工条件相同的情况下, 轮廓外形的曲率越大, 铣削力越大。
4结束语
本文针对圆周铣削加工, 采用数学分析方法建立了铣削过程的精确力学模型。定性分析了零件轮廓外形曲率对铣削力的影响。
参考文献
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