VIKOR

2024-08-22

VIKOR（共4篇）

VIKOR 篇1

引言

航空维修人员是使用与维修航空装备的主体, 是生成战斗力中的最重要、最活跃的因素。在航空维修保障过程中, 一方面要求有足够的人力数量, 以满足维修需求;另一方面又要求提高人员的利用率, 尽可能地减少维修人员的数量, 避免人力的浪费。因此, 确定维修人员的数量是有效使用维修人力资源的基础。维修人员数量的确定一般采用利用率法、类比法、专家估算法等方法。其中利用率法是根据维修人员的利用率ε来计算所需维修人员的数量, 该方法可以应用于装甲装备、航空装备及车辆运输装备等的维修人员的确定与优化, 是一种通用的维修人员数量计算方法。利用率法中一个比较重要的环节就是利用率系数的确定, 本文采用VIKOR的方法对利用率系数进行评价, 为选取最佳的利用率系数提供依据。

一、评价指标的确定

维修性是指装备在规定的条件下和规定的时间内, 按规定的程序和方法进行维修时, 保持恢复其规定状态的能力, 其概率量度称为维修度。本方法选取了维修性指标作为维修人员利用率的主要评价指标, 这是因为维修性度量的以下有几点优点。一是维修性指标反映了维修机构在规定的要求下的维修能力。这种维修能力, 是在除人为主观因素以外, 维修装备、保障设施、设备等一定的客观条件下的能力, 有助于我们对同一维修机构或不同维修机构的人员利用率作出客观评价。二是维修性指标全面、易于分析, 能够全面反映维修机构全员状态下的维修情况, 且易于统计与定量分析。选取的维修度指标如下:

1维修度。是指可修复产品在规定的维修条件下和规定的时间内, 按规定的程序和方法进行维修时, 由故障状态恢复到能完成规定任务状态的概率, 设某产品发生故障的后修复到完好状态的时间为t, T为规定维修时间, t=0时发生故障, 则维修到t时刻的维修度为

维修度表示在一定的条件下, 完成维修时间的时间τ小于或等于规定时间t的概率。

2维修密度函数。设维修函数M (t) 可连续微分, 定义维修度函数的导数为维修密度, 记为m (t) 。有

进一步整理得

3修复率。产品在t=0时故障, 经过 (0, t) 修理后, 尚未修复的产品在t+Δt单位时间内完成修复的条件概率, 记为μ (t) , 据此可得

4平均修复时间。指在规定的条件下和规定的时间内, 装备在任一规定的维修级别上, 修复性维修总时间与该维修级别上被修复产品的故障总数之比。这是装备维修性的一种基本参数, 记为tMTTR。若已知维修密度m (t) , 则

5最大修复时间。指装备达到规定维修度所需的修复时间。在统计分析过程中, 最大修复时间不计及供应和行政管理延误时间, 规定维修度一般取0.95 (或0.9) , 相应的最大修复时间记为t0.95 (或t0.9) , 可根据维修时间的不同分布得到其相应的计算公式。

6中位修复时间。指维修度M (t) 等于0.5时所对应的维修时间, 记为t0.5。中位修复时间的计算可根据维修时间的不同分布得到。

7维修工时率。指在规定的条件下和规定的时间内, 装备直接维修工时总数与该装备寿命单位总数之比, 这是一种与维修人力有关的维修性的参数。

8维修活动的平均直接维修工时。指在规定的条件下和规定的时间内, 装备的直接维修工时总数与该装备预防性维修和修复性维修活动的总数之比, 这是一种与维修人力有关的维修性的参数。

9测试性参数。故障检测率、故障隔离率、虚警率、不能复现率、重测合格率等。

以上指标参数, 选取1～7的指标作为人员利用率确定的评估指标。

二、人员利用率评估模型

本文采用的VIKOR方法是一种能够以妥协的概念处理评估指标之间互相竞争的多属性决策方法, 该方法基于正理想解和负理想解, 以折中规划法为核心, 提供最大化“群体效应”与最小化“个别遗憾”相妥协的备选方案最佳排序。比较适用于存在多个准则且相互影响、相互制约的复杂系统的多属性评估问题。

设有把利用率的数据范围 (0%～100%) 分为10个待评估的数据范围X1, X2, …, X1 0, 这是10个相互独立的待选用数据范围, xij (i=1, 2, 3, …, 10;j=1, 2, 3, …, 8) 是待选取范围Xi相对于某项指标Cj的值。这样, 航空维修人员的利用率评估问题就可以用一个多属性决策模型D=加以描述。

针对上述多属性决策问题, 该方法的人员利用率的范围确定评估步骤归纳如下。

S t e p 1:构建规范化决策矩阵F=, 其中

Step2:确定正理想解f*和负理想解f-。即

式中:α表示效益型属性集合;β表示成本型属性集合。

S t ep 3:权重的确定。权重的确定直接关系到评估结果的客观性和准确性。一方面指标权重要能体现各指标和属性客观存在的相对重要性, 属性越重要, 赋予的权重应越大;另一方面又要能反应不同任务条件下的实际需求。因此, 在这里采用熵权法确定各技术状况指标的初始权重λ= (λ1, λ2, …, λn) , 再根据实际需求进行调整。

式中:表示对于n个实际需求对于人员利用率范围的偏重。Step 4:根据Lp—metric折中规划。确定该利用率范围的最大化贡献指标Sj和最小化降性指标Rj

Step 5:确定该利用率范围的指标切合性指标Qi, 即

决策折中系数v (0≤v≤1) , 取v>0.5, 表示主要根据对某人员利用率范围的贡献度的技术状况指标做出决策;取v<0.5, 表示主要根据导致人员利用率切合度下降的技术状况指标做出决策;而v=0.5是在对2方面指标权衡折中基础上做出决策。

Step 6:根据Qi, Si和Ri的值进行范围的排序 (越小越好) 。首先确定3各约束条件。

约束条件1可行条件。

表示人员利用率评估的基准系统, 通常根据在设定的理想状态下的人员利用率并征求专家或实际操作人员的意见来确定。不同条件下, X0所涵盖的状况指标值会存在一定差异。

约束条件2级差条件。

式中:x″和x′分别表示依据Q值排序第一和第二的待评范围;m为待评范围的数量m=10。

约束条件3一致性条件。

依据Q值排序后, 利用率也同时在S和 (或) R上的排序为第一。只有满足约束条件1的范围才基本具有实际操作的人员确定的可行性, 否则就需要进一步加以分析, 以便对其实施有针对性的调整。如果上述3个条件同时得到满足, 则x′可以被确定为待评价维修机构人员利用率最优的系统。如果同时满足约束条件1和约束条件2, 但不满足约束条件3, 则a″和a′都是最优的选择。如果同时满足约束条件1和约束条件3, 但不满足约束条件2, 则a″, a′, …a (M) 都是最优的选择。其中, a (M) 要满下式, 即

三、实例分析

3.1问题描述

在有某装备的维修人员利用率确定过程中, 设现有三个待选用范围ε4、ε5、ε6, 通过以往进行维修活动数据的查询及处理, 获得待评估范围的各种信息, 如下:

对表中数据进行集结, 根据式 (1) 计算得到人员利用率评价的规范化决策矩阵。

3.2评估模型的求解

首先, 确定正理想解f*和负理想解f-, 即

根据熵权法原理, 计算各评价指标的初始客观权重, 即λ= (0.0928, 0.1044, 0.1128, 0.1166, 0.1210, 0.1088.0.1182)

根据式 (3) 得到最终的评价指标权重向量为W= (0.0773, 0.9701, 0.1142, 0.1219, 0.1298, 0.1061, 0.1266)

为了综合考虑评价范围的全面情况, 这里取v=0.5, 各个范围最大化贡献指标Sj, 最小化降性指标Rj, 指标切合性指标Qi的相应排序如下:

3.3结论

根据约束条件, 得到最终的排序结果为ε4>ε6>ε5, 表明范围ε4较之ε5、ε6要更符合人员利用率的最佳选取, 在实际应用中, ε可以作为一个较好的选取范围加以应用进行人员数量的计算。

四、结束语

为了更好的运用利用率法对航空人员数量进行确定, 本文对利用率法计算中的关键环节利用率系数范围确定使用VIKOR这一方法进行评价, 以求解出最佳的利用率选取范围, 以满足在航空维修保障过程中, 有足够的人力数量, 以满足维修需求的要求和提高人员的利用率, 尽可能地减少维修人员的数量, 避免人力的浪费的要求。

VIKOR 篇2

关键词：VIKOR,备品备件,供应商选择,VMI

0 引言

参照备品备件的“4—ABC”正交完备分类法, 从备件的关键性、故障显著性、供货敏捷性以及返修敏捷性等四个属性出发对备件ABC分类, 详见表1。该方法将备件对生产的影响, 供货和维修等因素同时纳入考虑范围, 而不只是考虑备件的库存价值, 更符合生产实际的需要。

由于A类备件供货周期得不到保证, 而且缺货会导致生产停顿, 此类备件往往是设备急需的关键备件, 是绝不允许缺货的。企业应该主动管理这部分备件的库存, 在严格保证生产的情况下, 结合设备的维修方式, 尽量减少库存量。

对于C类备件, 它的缺货损失不大, 而且采购周期短, 返修周期确定, 应该尽量简化管理, 可以集中此类需求于少数供应商, 采用无库存采购协议或系统合同等手段进行即时采购。

B类备件介于A、C类备件之间, 供货周期与返修周期均能保证, 而且, 一般备件的品种都会很多, 产品价值也较大, 库存管理会比较复杂, 但不像A类备件具有高风险性。根据文献[3]的分析, 供应商管理库存 (VMI) 是供应链环境下较为先进的一种供应链管理模式, VMI适合需求较为稳定的产品, 也适合于库存的显性及隐性成本较高的产品, 即生命周期越长、价值越大的产品。通过以上对B类备件特点的分析, 在供应链环境下, 针对B类备件采用VMI将给企业带来非常明显的协同收益。因此, 可以采用VMI方法管理B类备件, 将库存转移给供应商, 以降低整条供应链的缺货损失。在VMI库存模式下, 供应商对采购方备件存货完全可见, 并且在采购方订购时将库存成本的一部分通过附加成本转嫁给采购方, 所以不考虑提前期。这种附加值增加的目的是维护供需双方的利益, 根据这种订货思想, 一旦企业发出订货信息, 供应方应该按照协议供货。对于供应商来说, 如果一家供应商对多家企业供货, 那么附加值的累积就可以作为其库存和供货的保证和利润的来源。对于企业来说, 维修备件实施VMI管理主要优点在于没有供货延迟期, 没有库存, 不产生订货等交易费用。

对于供应商选择模型与方法的研究, 综述文章[1]根据其应用环境按单项目/多项目, 单资源/多资源、单目标/多目标、是否考虑数量打折等多尺度, 将供应商选择方法归类为成本法、线性规划法、非线性规划法、模糊规划、多目标规划法、各种智能方法和实践方法, 并指出其应用环境、评价准则、理论与方法、求解方法等, 归纳总结了各自的优缺点;文献还指出, 现有文献对供应商评价准则的研究主要集中在供应商提供高质量、高一致性以及高可靠交货。由于VMI供应商要全权承担企业B类备件的供应, 除了应具备通常供应商的供应能力, 还需要考虑其配送网络规模、信息化程度等, 因此, 寻找一个合适的多目标、多属性的综合评价方法对供应商进行正确有效的选择, 对保障企业生产的稳定性具有重要作用。

本文采用VIKOR算法, 使用线形规划法, 得到的是距离理想解最近的折中可行解, 折中意味着属性间的彼此让步, 它是一种多属性决策最优妥协解分析方法[2], 并且操作较为简单, 适合混合属性的供应商选择。同时, 应用熵权法对评价指标确定权重, 有效地避免评价过程中对指标赋权的主观性。

1 VMI备件供应商评价指标体系

在备件供应商评价选择过程中, 影响供货稳定性和质量保证的因素复杂多样, 评价指标多种多样, 既有定性的指标, 也有定量的指标, 还有定性与定量相结合的指标。近年来, 供应商选择与评价问题的绝大多数研究都是在Dickson G.W研究的基础上展开的。1966年Dickson最早开始系统地研究供应商评价问题, 他提出了以质量、交期、历史绩效为前三名的23项评价准则[3]。90年代后出现了JIT采购, Current&Benton针对此类13篇论文进行汇总, 以统计分析为依据, 对其中包含的评价准则进行重要性排序, 并得出了价格、交货期、质量和能力准则是最为重要的评价准则的结论[4]。在JIT采购中强调准时交货的重要性, 那么较低的采购价格可能导致质量和交货可靠性的降低, 采购决策者必须权衡这些冲突的目标, 选择合适的供应商并合理分配采购数量, 因而供应商选择问题是一个相互冲突的多属性决策问题。刘进[5]以寻求长期合作关系为目的建立了战略物流供应商的选择和评价指标体系, 该研究认为, 企业应该从技术能力、管理能力、作业能力和合作能力等角度对物流供应商进行选择。随着社会生产管理技术的发展, 越来越多的供应商属性被纳入考虑范围, 以便作出合理的选择。

与传统的制造商与供应商之间的关系不同, 备件VMI管理是建立在企业与供应商及时、大量的信息沟通的基础上, 而且需要供应商在了解供应商维修需求的基础上, 制定相应的库存管理策略, 企业与供应商的合作涉及到生产运作、公司文化、发展战略和维修决策等方方面面。因此, 在一般地考查供应商的产品质量、交货能力、价格水平外, 对备件VMI供应商还需考虑信息共享能力、合作兼容性等方面的要求。本文综合已有的研究成果, 在参观企业备件管理实践以及征询专家意见的基础上, 经反复推敲, 在传统的评价指标中加入了信息提供和合作兼容性等指标, 考虑了企业长期合作的必备条件, 在对利弊作出充分评估的基础上归纳出了由5个一级因素和15个二级因素所组成的评价指标体系, 如图1所示。

质量水平:采购备件的质量会直接影响维修服务的质量和成本, 所以备件质量是衡量供应商的首要因素。衡量企业质量水平的因素主要包括企业的质量保证体系、质量检验和试验情况及产品的合格率等。

价格水平:采购价格对于降低维修成本, 尤其在VMI下采购方与供应商之间的价格协商是一个关键节点, 因此价格也是一个重要因素。衡量供应商价格水平的因素主要包括企业的产品价格比率、成本下降空间以及折扣水平等。

交货能力:及时供应是考核供应商的重要原则之一, 衡量供应商交货能力的因素主要包括交货准时性, 临时供货弹性以及交货数量的准确性等。

信息化水平:在VMI环境下, 供应商不仅需要及时了解采购方的备件存货情况, 更需要了解采购方的维修需求, 高水平的信息集成化是能够做到的。衡量供应商信息化水平的因素主要包括计算机等信息技术专业人员占企业人员总数的比例、信息系统的集成能力以及系统安全运行天数占全年总天数的比例等。

合作兼容性:这是选择供应商建立战略性合作关系的长期标准, 也是VMI供应商愉快合作的基础, 主要考察供应商的协调度、供应商战略观念与经营理念的兼容性以及企业文化的兼容性等。

2 优化选择模型构建

设有m个供应商, 评标指标体系共有n个指标, Xij (i=1, 2, …, m;j=1, 2, …, n) 是待选择供应商各指标的评价值, 其中, i为第i个供应商, j为评价指标体系的第j个指标。通常, 属性类型一般有效益型和成本型之分, 并且不同属性的量纲可能不同。为了消除不同量纲对决策结果的影响, 这里采用“比重变换法”对指标评价值进行规范化处理, 即

这样, 备品备件供应商选择问题就可以用一个多属性决策模型F= (fij) m×n加以描述:

针对上述多属性决策问题, 将基于VIKOR法的备品备件供应商评价步骤归纳如下。

步骤1:根据指标标准化矩阵确定最优解fj*和最劣解fj-, 即:

式中:J1为效益型指标集合;J为成本型指标集合。

步骤2:计算各指标的权重

在VIKOR法中需要计算各指标的权重, 指标权重的确定对评价结果影响非常大, 引入信息熵的概念, 进行权重确定, 能考虑多目标评价方案的固有信息, 可以有效地避免评价过程中对指标赋权的主观性。熵是利用概率理论来衡量信息不确定的一种测度, 数据分布越分散, 其不确定性也越大, 信息熵越小, 该指标提供的信息量越大, 该指标的权重也应越大;反之, 该指标的权重也应越小。信息熵定义为

步骤3:根据Lp-metric折中规划, 确定群体最大化效益Si和最小个别遗憾值Ri, 即

步骤4:计算各方案能产生的利润比率Qi, 即

式中S*=miniSi, S-=maxiSi, R*=miniRi, R-=maxiRi, v (0<v<1) 为决策机制系数, 取v>0.5, 表示主要根据群体效益进行评价;取v<0.5, 表示主要根据最小个别遗憾值进行评价;取v=0.5, 是在对两方面指标权衡折中基础上进行评价选择, 即同时考虑了所有指标的效用最大又兼顾了个别指标遗憾值最小。

步骤5:对供应商排序选择

根据Qi、Si、Ri对供应商进行排序得到三个排序序列, 一般情况下, VIKOR法可利用采购效益指标Qi进行最终排序, 即依据Qi的大小对各投标单位进行排序, Qi最小为中标单位。

3 应用案例分析

3.1 问题的描述

重庆某钢铁企业集团为保证生产的正常运行需要采购吊车某一配件, 而且该种配件在发生故障时需及时更换, 能够生产该种配件的供应商共有3家, 分别以A, B, C表示。该企业通过对这些供应商的详细调查, 由公司的供应、生产质检、销售各部门组成的专家组按图1中的评价指标体系对各供应商进行评价, 即可得到指标评价矩阵:

根据VIKOR算法采用公式 (1) 、 (2) 对上述评价矩阵进行规划处理, 得评价值的标准化矩阵, 即

3.2 评标模型的求解

首先, 根据标准化矩阵F并由公式 (3) 和 (4) 确定最优解f*j和最劣解f-j, 即

其次, 利用熵权法即根据公式 (5) 和 (6) 确定各指标权重为:

最后, 根据公式 (7) - (9) (v=0.5) , 计算3个供应商的S, R和Q值, 并进行相应的排序, 如表2所示。

由表2可知, 根据S、R和Q值, 对3个供应商进行排序, 显然, 最优方案可选择B进行供货, 该方案中供应商B所获利润比率最低。使用层次分析法软件yaahp0.5.2分析该算例, 结果为A为最佳供应商, 通过VIKOR计算可以看出, A供应商的所获利润比率最高, 因此, 采用VIKOR算法进行供应商的评价选择不仅算法较为简单, 而且考虑到成本的问题, 其结果也是一目了然。

4 结语

企业备品备件管理工作在企业生产运营中地位举足轻重, 其采购管理研究也一直是研究重点。文章分析了B类备件采用VMI供应商管理库存方式的优越性, 并构建了备件供应商评价指标体系和选择方法模型, 然后, 采用VIKOR法对备品备件供应商进行评价并直接进行排序。应用案例分析充分证明了该方法的可行性和实用性, 评价过程直观且评价结果客观有效, 对制造企业选择备品备件供应商具有一定的借鉴作用和实际意义。

参考文献

[1]黄蔚蓝, 邹泽燕.供应链协调战略模式与VMI模式适用性分析[J].商业现代化, 2008, 533 (03) .

[2]刘晓, 李海越等.供应商选择模型与方法综述[J].中国管理科学, 2004 (1) :139-148.

[3]刘沃野, 王汉云, 黄少罗.基于VIKOR法的同类型装备集中采购评标模型研究[J].军械工程学报, 2010, 22 (3) :6-8.

[4]Dickson G W.An analysis of vendor selection systems and decisions.Journal of Purchasing, 1966, 2 (1) :5-17.

VIKOR 篇3

多属性决策是与多个属性相关的有限方案选择问题, 其在管理科学及工程管理等领域有着大量的实际背景[1]。在现实中, 由于多属性决策问题的复杂性和不确定性, 可能会出现属性值为数值、区间数、模糊数等多种形式信息的情形。例如, 在商业中心选址的多属性决策问题中, 需要考虑竞争力指数、成本、收益、人流状况、交通便利性等属性[2], 某些属性可以用数值表示, 如竞争力指数等, 某些属性可以用区间数表示, 如成本、收益等, 而人流状况、交通便利性等属性在现实问题中往往难以用精确信息来量化, 通常基于抽样调查结果采用模糊数形式信息来描述或者由决策者结合主观的判断给出模糊数形式信息。这种属性值以多种信息形式 (数值、区间数、模糊数等) 出现在决策矩阵中的多属性决策问题称为混合型多属性决策问题[3]。

近年来, 关于混合型多属性决策问题的研究逐渐引起学者的关注[3,4,5,6]。文献[3]研究了具有数值、区间数和模糊数形式信息的混合型多属性决策问题, 提出了一种基于理想点的决策模型, 通过计算各方案到正理想解的相对贴近度对其排序, 从而选择出最优方案。文献[4]研究了具有数值、区间数和模糊数形式信息的混合型多属性决策问题, 通过将区间数和模糊数转换为数值来构建决策矩阵, 并应用TOPSIS方法进行方案排序。文献[5]研究了具有数值、区间数和语言变量形式信息的混合型多属性决策问题, 提出了一种模糊决策方法, 将不同形式信息转换为同一语言域上的模糊数并进一步转换为二元语义, 通过集结转换后的信息得到备选方案的综合评价值, 进而选择最优方案。文献[6]研究了具有数值、区间数和模糊数形式信息的混合型多属性决策问题, 提出了一种基于二元语义的决策方法, 将不同形式信息转换为二元语义, 并利用二元语义算子进行信息集结得到备选方案的综合评价值, 进而选择最优方案。需要指出的是, 在解决混合型多属性决策问题时, 直接将不同形式信息转换为同一种形式容易造成信息的损失。因此, 如何避免信息损失并采取有效的决策方法解决混合型多属性决策问题是一个重要的研究课题。

VIKOR (VlseKriterijumska Optimizacija I KompromisnoResenje) 是南斯拉夫的Opricovic教授1998年提出的一种折衷排序方法[7]。随后, Opricovic教授和台湾的Tzeng教授分别于2004年和2007年在《European Journal of Operational Research》上发表了两篇论文, 从集结函数、规范化等方面分别将VIKOR方法与TOPSIS方法、PROMETHEE方法和ELECTRE方法进行了细致的比较, 并指出TOPSIS方法无法反映出各方案与正负理想解的接近程度, PROMETHEE方法仅考虑了群效用的最大化, ELECTRE方法则追求个体遗憾最小化, 而VIKOR方法可以克服TOPSIS方法的不足, 并同时考虑群效用的最大化与个体遗憾的最小化, 还能充分考虑决策者的主观偏好, 从而使决策更具合理性[8,9]。近两年, 关于VIKOR方法的扩展及应用研究已经引起了一些学者的关注[10,11,12]。文献[10]提出了一种扩展VIKOR方法解决具有区间数形式信息的决策问题, 文献[11]提出了一种模糊VIKOR方法解决IS/IT外包项目的供应商选择问题, 文献[12]提出了一种应用于供应商选择的群决策过程的模糊VIKOR方法。目前, 关于如何引入VIKOR方法来解决混合型多属性决策问题的研究尚未出现。基于此, 本文探讨一类属性权重已知, 属性值为数值、区间数和模糊数等多种形式信息的混合型多属性决策问题, 并借鉴VIKOR方法[7]的思想提出一种求解该问题的E-VIKOR方法。

1 预备知识

下面分别给出区间数[13]和模糊数[14]形式信息的描述及相关概念以便描述混合型多属性决策问题, 并对VIKOR方法[7]的基本原理进行简要介绍。

设R为实数域, 称闭区间[rL, rU]为区间数, 用 $\tilde{r}$ 表示, 其中, rL, rU∈R且rL≤rU. 特别地, 若rL=rU, 则区间数 $\tilde{r}$ 退化为实数;同样, 一个实数r也可以表示为区间数[rL, rU], 其中, rL=rU=r. 假设 $\tilde{r}_{1} = [r_{1}^{L}, r_{1}^{U}]$ 和 $\tilde{r}_{2} = [r_{2}^{L}, r_{2}^{U}]$ 为任意两个正区间数, 将1-范数 $∥ \tilde{r}_{1} - \tilde{r}_{2} ∥$ 定义为区间数 $\tilde{r}$ 1和 $\tilde{r}$ 2之间的“距离”, $∥ \tilde{r}_{1} - \tilde{r}_{2} ∥ = | r_{1}^{L} - r_{2}^{L} | + | r_{1}^{U} - r_{2}^{U} |$ 。显然, $∥ \tilde{r}_{1} - \tilde{r}_{2} ∥$ 越大, 区间数 $\tilde{r}$ 1和 $\tilde{r}$ 2相离程度越大。特别地, 当 $∥ \tilde{r}_{1} - \tilde{r}_{2} ∥ = 0$ 时, 有 $\tilde{r}_{1} = \tilde{r}_{2}$ , 即区间数 $\tilde{r}$ 1与 $\tilde{r}$ 2相等。

称 $\hat{r} = (r^{L}, r^{Μ}, r^{U})$ 为三角模糊数, 其隶属度函数为 $μ_{\hat{r}} (x) : R \to [0, 1] ‚$ 即

$μ_{\hat{r}} (x) = {\begin{matrix} 0, & x < r^{L} \\ \frac{x - r^{L}}{r^{Μ} - r^{L}}, & r^{L} \leq x \leq r^{Μ} \\ \frac{x - r^{U}}{r^{Μ} - r^{U}}, & r^{Μ} \leq x \leq r^{U} \\ 0, & x > r^{U} \end{matrix}$

其中, R为实数域, x∈R, 且rL≤rM≤rU, rL和rU分别为三角模糊数的下界和上界。假设 $\hat{r}_{1} = (r_{1}^{L}, r_{1}^{Μ}, r_{1}^{U})$ 和 $\hat{r}_{2} = (r_{2}^{L}, r_{2}^{Μ}, r_{2}^{U})$ 为任意两个正三角模糊数, 将1-范数 $∥ \hat{r}_{1} - \hat{r}_{2} ∥$ 定义为三角模糊数 $\hat{r}$ 1和 $\hat{r}$ 2之间的“距离”, $∥ \hat{r}_{1} - \hat{r}_{2} ∥ = | r_{1}^{L} - r_{2}^{L} | + | r_{1}^{Μ} - r_{2}^{Μ} | + | r_{1}^{U} - r_{2}^{U} |$ 。显然, $∥ \hat{r}_{1} - \hat{r}_{2} ∥$ 越大, 三角模糊数 $\hat{r}$ 1和 $\hat{r}$ 2相离程度越大。特别地, 当 $∥ \hat{r}_{1} - \hat{r}_{2} ∥ = 0$ 时, 有 $\hat{r}_{1} = \hat{r}_{2}$ , 即三角模糊数 $\hat{r}$ 1与 $\hat{r}$ 2相等。

VIKOR方法的基本原理是基于如下的Lp-metric集结函数:

$L_{p, i} = {\sum_{j = 1}^{q} [\frac{w_{j} (a_{j}^{+} - a_{i j})}{a_{j}^{+} - a_{j}^{-}}]^{p}}^{\frac{1}{p}} ‚ 1 \leq p \leq \infty ‚ i \in Μ$

其中, aij为属性Cj的属性值, wj为属性Cj的权重, a+j和a-j分别为属性Cj的正理想点和负理想点, j=1, 2, …, q, 采用L1, i和L∞, i来进行有限决策方案Xi (i∈M) 的折衷排序, 通过最小化L1, i和L∞, i确定的折衷方案同时具有最大的群效应和最小的个体遗憾。

2 E-VIKOR方法

本研究考虑具有数值、区间数和模糊数形式信息的混合型多属性决策问题。首先, 给出混合型多属性决策问题的问题描述, 然后给出求解该问题的E-VIKOR方法的原理与步骤。

假设有限决策 (备选) 方案集合X={X1, X2, …, Xm} (m≥2) , 属性集合C={C1, C2, …, Cq} (q≥2) , 属性的权重向量W= (w1, w2, …, wq) T, 其中, wj为属性Cj的权重, 且满足 $\sum_{j = 1}^{q} w_{j} = 1 ‚ 0 < w_{j} < 1 ‚ j = 1, 2, \dots, q$ .记M={1, 2, …, m}, CN、CI、CF分别表示属性值为数值、区间数和模糊数形式信息的属性子集合, CN={C1, C2, …, Cq1}, CI={Cq1+1, Cq1+2, …, Cq2}, CF={Cq2+1, Cq2+2, …, Cq}且满足CN∪CI∪CF=C. 记Q1、Q2、Q3分别为子集合CN、CI、CF的下标集合, Q1={1, 2, …, q1}, Q2={q1+1, q1+2, …, q2}, Q3={q2+1, q2+2, …, q}, 且满足Q1∪Q2∪Q3={1, 2, …, q}。另外, 在混合型多属性决策问题中, 属性又可以分为效益型和成本型两类, 效益型属性的属性值越大越好, 而成本型属性的属性值越小越好。记Qb和Qc分别表示效益型属性和成本型属性的下标集合, 且满足Qb∪Qc={1, 2, …, q}, Qb∩Qc=Ø. 记 $\overset{⌢}{A} = [\overset{⌢}{a}_{i j}]_{m \times q}$ 为依据决策方案集合X在属性集合C的表现得到的具有数值、区间数和模糊数形式信息的混合型决策矩阵。

本文要解决的混合型多属性决策问题是根据已知的属性权重wj和具有数值、区间数和模糊数形式信息的混合型决策矩阵 $\overset{⌢}{A} = [\overset{⌢}{a}_{i j}]_{m \times q}$ , 如何从有限决策方案集合X中选择出最优方案。

首先, 确定各属性最理想的属性值 (简称正理想点) 和最不理想的属性值 (简称负理想点) 。记属性的正理想向量 $\overset{⌢}{a}^{+} = (\overset{⌢}{a}_{1}^{+}, \overset{⌢}{a}_{2}^{+}, \dots, \overset{⌢}{a}_{q}^{+})$ , 其中, $\overset{⌢}{a}_{j}^{+}$ 为属性Cj的正理想点, j=1, 2, …, q;记属性的负理想向量 $\overset{⌢}{a}^{-} = (\overset{⌢}{a}_{1}^{-}, \overset{⌢}{a}_{2}^{-}, \dots, \overset{⌢}{a}_{q}^{-})$ , 其中, $\overset{⌢}{a}_{j}^{-}$ 为属性Cj的负理想点, j=1, 2, …, q. 下面针对不同子集合的属性给出其正负理想点的定义。

① 当属性Cj∈CN时, 其正理想点a+j和负理想点a-j分别为

$\begin{array}{l} a_{j}^{+} = {\begin{matrix} \max_{1 \leq i \leq m} {a_{i j}}, & j \in Q_{1} \cap Q_{b} \\ \min_{1 \leq i \leq m} {a_{i j}}, & j \in Q_{1} \cap Q_{c} \end{matrix} (1) \\ a_{j}^{-} = {\begin{matrix} \min_{1 \leq i \leq m} {a_{i j}}, & j \in Q_{1} \cap Q_{b} \\ \max_{1 \leq i \leq m} {a_{i j}}, & j \in Q_{1} \cap Q_{c} \end{matrix} (2) \end{array}$

② 当属性Cj∈CI时, 其正理想点 $\tilde{a}_{j}^{+}$ 和负理想点 $\tilde{a}_{j}^{-}$ 分别为

$\begin{array}{l} \tilde{a}_{j}^{+} = {\begin{matrix} [\max_{1 \leq i \leq m} {a_{i j}^{L}}, \max_{1 \leq i \leq m} {a_{i j}^{U}}], & j \in Q_{2} \cap Q_{b} \\ [\min_{1 \leq i \leq m} {a_{i j}^{L}}, \min_{1 \leq i \leq m} {a_{i j}^{U}}], & j \in Q_{2} \cap Q_{c} \end{matrix} (3) \\ \tilde{a}_{j}^{-} = {\begin{matrix} [\min_{1 \leq i \leq m} {a_{i j}^{L}}, \min_{1 \leq i \leq m} {a_{i j}^{U}}], & j \in Q_{2} \cap Q_{b} \\ [\max_{1 \leq i \leq m} {a_{i j}^{L}}, \max_{1 \leq i \leq m} {a_{i j}^{U}}], & j \in Q_{2} \cap Q_{c} \end{matrix} (4) \end{array}$

③ 当属性Cj∈CF时, 其正理想点 $\hat{a}_{j}^{+}$ 和负理想点 $\hat{a}_{j}^{-}$ 分别为

$\begin{array}{l} \hat{a}_{j}^{+} = {\begin{matrix} (\max_{1 \leq i \leq m} {a_{i j}^{L}}, \max_{1 \leq i \leq m} {a_{i j}^{Μ}}, \max_{1 \leq i \leq m} {a_{i j}^{U}}), & j \in Q_{3} \cap Q_{b} \\ (\min_{1 \leq i \leq m} {a_{i j}^{L}}, \min_{1 \leq i \leq m} {a_{i j}^{Μ}}, \min_{1 \leq i \leq m} {a_{i j}^{U}}), & j \in Q_{3} \cap Q_{c} \end{matrix} (5) \\ \hat{a}_{j}^{-} = {\begin{matrix} (\min_{1 \leq i \leq m} {a_{i j}^{L}}, \min_{1 \leq i \leq m} {a_{i j}^{Μ}}, \min_{1 \leq i \leq m} {a_{i j}^{U}}), & j \in Q_{3} \cap Q_{b} \\ (\max_{1 \leq i \leq m} {a_{i j}^{L}}, \max_{1 \leq i \leq m} {a_{i j}^{Μ}}, \max_{1 \leq i \leq m} {a_{i j}^{U}}), & j \in Q_{3} \cap Q_{c} \end{matrix} (6) \end{array}$

不失一般性, 这里假设属性Cj的正理想点 $\overset{⌢}{a}_{j}^{+}$ 和负理想点 $\overset{⌢}{a}_{j}^{-}$ 之间的“距离”不为0, 即‖a+j-a-j‖≠0。

然后, 为了消除不同量纲对决策结果的影响, 需要对混合型决策矩阵 $\overset{⌢}{A} = [\overset{⌢}{a}_{i j}]_{m \times q}$ 中不同形式的信息进行规范化处理, 基于1-范数概念得到规范化矩阵B=[bij]m×q, 其中bij的计算公式为

$\begin{array}{l} b_{i j} = \frac{∥ \overset{⌢}{a}_{j}^{+} - \overset{⌢}{a}_{i j} ∥}{∥ \overset{⌢}{a}_{j}^{+} - \overset{⌢}{a}_{j}^{-} ∥} \\ = {\begin{cases} \frac{| a_{j}^{+} - a_{i j} |}{| a_{j}^{+} - a_{j}^{-} |}, i \in Μ, j \in Q_{1} \\ \frac{| a_{j}^{L +} - a_{i j}^{L} | + | a_{j}^{U +} - a_{i j}^{U} |}{| a_{j}^{L +} - a_{j}^{L -} | + | a_{j}^{U +} - a_{j}^{U -} |}, i \in Μ, j \in Q_{2} \\ \frac{| a_{j}^{L +} - a_{i j}^{L} | + | a_{j}^{Μ +} - a_{i j}^{Μ}} + | a_{j}^{U +} - a_{i j}^{U} |}{| a_{j}^{L +} - a_{j}^{L -} | + | a_{j}^{Μ +} - a_{j}^{Μ -} | + | a_{j}^{U +} - a_{j}^{U -} |}, \\ i \in Μ, j \in Q_{3} \end{cases} (7) \end{array}$

进一步地, 依据VIKOR方法的思想利用Lp-metric函数进行有限决策方案的折衷排序, 将L1, i和L∞, i分别定义为有限决策方案Xi的群效用值和个体遗憾值, 分别记为si和hi, 其计算公式分别为

$\begin{array}{l} s_{i} = \sum_{j = 1}^{q} w_{j} b_{i j}, i \in Μ (8) \\ h_{i} = \max_{1 \leq j \leq q} {w_{j} b_{i j}}, i \in Μ (9) \end{array}$

在此基础上, 确定各方案的vi值, 其计算公式为

$v_{i} = \frac{ε (s_{i} - s^{+})}{s^{-} - s^{+}} + \frac{(1 - ε) (h_{i} - h^{+})}{h^{-} - h^{+}}, i \in Μ (10)$

其中, $s^{+} = \underset{i \in Μ}{m i n} {s_{i}} ‚ s^{-} = \underset{i \in Μ}{m a x} {s_{i}} ‚ h^{+} = \underset{i \in Μ}{m i n} {h_{i}} ‚ h^{-} = \underset{i \in Μ}{m a x} {h_{i}} ‚ ε$ 为决策机制系数, ε∈[0, 1]。如果ε>0.5, 则表示根据最大化群效用的决策机制进行决策;如果ε<0.5, 则表示根据最小化个体遗憾的决策机制进行决策;如果ε=0.5, 则表示根据决策者经协商达成共识的决策机制进行决策。不失一般性, 这里假设s--s+和h--h+均不为0。

最后, 按照vi值从小到大的顺序对有限决策方案进行折衷排序, 进而选择出最优方案。

综上, 求解混合型多属性决策问题的E-VIKOR方法的步骤描述如下:

步骤1 依据式 (1) ～式 (6) 分别确定各属性的正负理想点。

步骤2 依据式 (7) 得到规范化矩阵B=[bij]m×q.

步骤3 依据式 (8) 和式 (9) 分别计算各方案的群效用值si和个体遗憾值hi.

步骤4 依据式 (10) 计算各方案的vi值。

步骤5 按照vi值从小到大的顺序对有限决策方案进行折衷排序, 进而选择出最优方案。

3 实例分析

下面, 以某企业的投资方案选择问题为例来说明本文所给方法的可行性和有效性。ZJ公司为一家集实业投资、资本运作、投行服务于一体的风险投资公司, 现拟开展新的投资项目。备选投资方案为来自不同城市的4家休闲娱乐会所提供的融资方案, 公司决策者在投资方案选择的过程中考虑了以下6个属性:①投资额 (C1) , 该属性为成本型, 卿属性值为从备选投资方案的融资额度中得到的数值形式信息, 单位为:万元;②城市竞争力指数 (C2) , 该属性为效益型, 其属性值为从北京国际城市发展研究院2008年发布的《中国城市综合竞争力报告》中得到的数值形式信息;③预期收益 (C3) , 该属性为效益型, 棋属性值为通过资产评估师对备选投资方案未来的资产收益进行估算得到的区间数形式信息, 单位为:万元;④投资回收周期 (C4) , 该属性为成本型, 其属性值为通过财务人员对以备选投资方案的净收益抵偿全部投资所需要的时间进行估算得到的区间数形式信息, 单位为:年;⑤客户流量 (C5) , 该属性为效益型, 其属性值为通过抽样调查的方式获取客户流量统计数据拟合出隶属度函数得到的模糊数形式信息, 单位为:人/天。⑥投资风险 (C6) , 该属性为成本型, 其属性值为风险投资专家结合自己的经验和主观判断给出的模糊数形式信息, 属性的权重向量为W= (0.2, 0.2, 0.1, 0.1, 0.2, 0.2) T.

该公司项目规划部专家小组对每个备选投资方案在各属性的表现进行了详细考察, 所获取的信息可构建如下的混合型决策矩阵

$\overset{⌢}{A} = [\overset{⌢}{a}_{i j}]_{m \times q}$

$= [\begin{matrix} 24 & 0.26 & [42, 50] & [2, 2.5] & (120, 230, 340) & (3, 4, 5) \\ 36 & 0.62 & [65, 70] & [4.5, 5.5] & (210, 320, 430) & (4, 5, 6) \\ 30 & 0.38 & [54, 62] & [2.5, 3.5] & (170, 290, 410) & (6, 7, 8) \\ 32 & 0.35 & [60, 65] & [3.5, 4.5] & (160, 240, 320) & (2, 3, 4) \end{matrix}]$

依据式 (1) ～式 (6) 分别确定各属性的正负理想点, 正理想点向量 $\overset{⌢}{a}^{+} = (24, 0.62, [65, 70], [2, 2.5], (210, 320, 430), (2, 4, 4))$ , 负理想点向量 $\overset{⌢}{a}^{-} = (32, 0.26, [42, 50], [4.5, 5.5], (120, 230, 320), (6, 8, 8))$ 。依据式 (7) 得到规范化矩阵:

$\begin{array}{l} B = [b_{i j}]_{m \times q} \\ = [\begin{matrix} 0.00 & 1.00 & 1.00 & 0.00 & 0.93 & 0.17 \\ 1.000 & 0.00 & 0.00 & 1.00 & 0.00 & 0.42 \\ 0.50 & 0.67 & 0.44 & 0.27 & 0.31 & 0.92 \\ 0.67 & 0.75 & 0.23 & 0.64 & 0.83 & 0.33 \end{matrix}] \end{array}$

依据式 (8) 和式 (9) 分别计算各方案的群效用值和个体遗憾值, 即s1=0.52, s2=0.38, s3=0.55, s4=0.60, h1=0.20, h2=0.20, h3=0.18, h4=0.17。依据公式 (10) 计算各方案的vi值, 当ε取不同值时得到各方案不同的vi值, 获得的排序结果也不相同, 如表1所示。例如, 根据决策者经协商达成共识的决策机制进行决策, 即ε=0.5时, 备选投资方案的排序为:X4≻X2≻X3≻X1, 则折衷方案X4为最优方案。由此可知, E-VIKOR方法不仅能够通过最大化群效用同时最小化个体遗憾来进行备选投资方案的折衷排序, 而且能够根据决策者的主观偏好, 获取不同的排序结果并确定折衷方案。

4 结束语

本文给出了一种求解混合型多属性决策问题的E-VIKOR方法, 该方法首先分别定义各属性的正负理想点, 然后对具有不同形式信息的混合型决策矩阵进行规范化处理, 并分别计算各方案的群效用值和个体遗憾值, 通过最大化群效用和最小化个体遗憾来进行有限决策方案的折衷排序, 进而确定最优方案。该方法有效的避免了不同形式信息转换为同一形式造成的信息损失, 在追求群效用最大化的同时又保证了个体遗憾最小化, 而且充分体现了决策者的主观偏好, 具有概念清晰、计算简单等特点, 也具有较好的应用价值, 为求解混合型多属性决策问题提供了一种新的途径。

VIKOR 篇4

1 权重与属性值为区间数的多属性VIKOR决策方法

假设多属性决策问题的备选方案为A1, A2, …, Am, 共有m个, 为C1, C2, …, Cn为n个属性, 设为备选方案Ai下属性Cj的取值, 令为区间数, 为属性Cj的权重, 也为区间数。

为了讨论方便假设属性都为效益型, 权重与属性偏好值为区间数的多属性VIKOR决策方法步骤如下,

(1) 确定所有属性值的最优解fj*与最劣解fj-, j=1, 2, …, n;

(2) 计算所有备选方案的群体效益值Si=[SiL, SiU], 与个别遗憾度

其中SiL有下列线性规划求得,

设模型 (P1) 、 (P2) 的最优解分别为W′= (w′1, w′2, …, w′n) 和W″= (w″1, w″2, …, w″n) 则备选方案Ai的群体效益值为一个区间数Si=[SiL, SiU], 其中

同样个别遗憾度Ri也为一个区间数,

(3) 计算所有备选方案的折衷值Qi=[QiL, QiU],

其中, S*=miinSiL, S-=miaxSiU, R*=miinRiL, R-=miax RiU, v是决策机制系数, v大于0.5时表示根据大多数决议的方式制订决策, v近似0.5表示根据赞同情况制订决策, v小于0.5时表示根据拒绝的情况制订决策。一般地在VIKOR中假设v=0.5, 以同时追求群体效用最大化和个别遗憾最小化。

各个备选方案的折衷值的大小决定了方案的优劣, 备选方案折衷值Q越小, 方案越优, 在这儿折衷值为区间数, 为了比较区间值大小, 本文参考文献方法[8]。

(4) 比较各个备选方案折衷值大小对备选方案进行优劣排序。

如果我们将各个备选方案的折衷值看做是服从区间上均匀分布的随机变量, 则备选方案Ai折衷值密度函数为, f (Qi) =1/ (QiU-QiL) , Qi∈[QiL, QiU]同样对于其余的备选方案Ak折衷值密度函数为, f (Qk) =1/ (QkU-QkL) , Qk∈[QkL, QkU]由于不同备选方案的取值互不影响, 所以, 联合密度函数为,

由于本文假设属性均为效益型所以, 备选方案Ai的折衷值Qi大于等于备选方案Ak折衷值的可能度为,

其中表示联合密度函数的非零区域 (矩形区域) 中取值大于等于取值的区域面积, 从而建立备选方案折衷值的可能度矩阵,

明显可能度矩阵为模糊互补判断矩阵, 令作为排序指标, 根据折衷值意义, p (Ai) 越小备选方案Ai越优。

2 算例

假设有三个备选方案A1, A2, A3, 2个属性都为效益型, C1, C2对应的属性值如表1所示。

假设决策者采用区间数判断矩阵, 获得了属性权重为, W= ([0.4, 0.6], [0.3, 0.5])

根据式1可找出属性最优值与最劣值见表2。

根据式 (P1) 、 (P2) 、 (2) 、 (3) 确定群体效益值Si=[SiL, SiU], 与个别遗憾度Ri=[RiL, RiU], i=1, 2, …, m, 见表3。

根据式 (4) 、 (5) 确定所有备选方案的折衷值Qi=[QiL, QiU]见表4。

根据式 (6) 确定可能度矩阵,

所以p (A1) =1.605, p (A2) =1.659, p (A3) =1.236, 从而备选方案排序为A3>A1>A2。

由上述算例分析可见, 备选方案A1与A2相差不大, 而备选方案A3最优。

3 结论

本文通过引入VIKOR决策方法研究了属性权重与属性值均为区间数的多属性决策问题, 该方法充分考虑了客观事物的复杂性和不确定性, 人的思维模糊性, 并且在数据处理上运用线性规划确定群体效益值与个别遗憾度减少信息丢失, 更加符合实际, 丰富了多属性决策的理论方法。

参考文献

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