四边形计算与证明问题

四边形计算与证明问题（共13篇）

四边形计算与证明问题 篇1

如何构造特殊四边形解决相关计算证明问题

特殊的四边形在生活中有非常广泛的应用，也是现行教材中的一个重点和难点。学生在运用特殊四边形的性质，特别是构造四边形来解决有关的计算，证明问题时，存在严重缺陷。我认为构造特殊的四边形来解决相关问题时，能够另辟佳径,减少繁难的计算和证明，同时能够开阔学生视野,增强学生观察图形，分解图形，构造基本图形的能力。

一、数形结合，巧妙构造特殊的四边形。

1、如图,点A、B是反比例函数y=(k>0,x>0)的图象上两点,过点A作x轴的垂线,过点B作y轴的垂线，垂足分别为C、D,AC、BD交于点F,则（）：AS△ADE>S△BECBS△ADE=S△BECCS△ADE

法确定解析：过点A作AM⊥y轴，过点B作BN⊥x轴，垂足分别为M、N,则S矩形AMOC=S矩形BNOD

矩形BNCE,=k ,即S矩形MADE=S矩形BNCE，又S△ADE= MADE，S△BEC=S

S2矩形∴S△ADE=S△BEC。解决此类问题一般的同学采用参

数法通过计算三角形的面积来解，计算量比较大，同时引入的参数个数也别较多，给学生造成较大的障碍，而我们采用数形结合，转化的思想，利用矩形的性质就很巧妙地加以解决。

二；培养数感，从直觉出发，构造特殊的四边形。

2，如图，AB=8，DB⊥AB，EA⊥AB，BD=6AE=12，点M是DE的中点，求BM的长。

解析：AE和BD的位置关系为平行，数量关系为BD=6，AE=12，BD=AE，延长DB至F点，使DF=12,连接EF、AD，则四边形ADFE是平行四边形。MB

分别是DE DF的中点，∴BM=EF,EF=AD，通过勾股定理可求出AD，从而解决BM长的计算问题。

我们利用学生对数字的敏感程度，对图形中相应边的位置关系和数量

关系进行分析，利用我们的直觉来构图，同时进行思维的发散，通过构造平行四边形将边的关系进行转化，联系三角形的中位线和勾股定理来进行计算。这是一道解法灵活多变的综合性较高的习题，学生没有现成的模式

可以套用，也不能简单依靠知识的叠加来实现解题，需要进行细致的观察。对数学敏感的程度和较好的构造图形的能力。．．．．．．．．．．．．．

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2练习：如图所示，已知六边形ABCDEF,其中∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=

∠F=120°, AB=10㎝，BC=70㎝，CD=20㎝，DE=40㎝。求AF、EF的长度。

解析：延长FA、CB交于点P ,延长FE、CD交于点Q,△APB △DEQ

均为等边三角形，从而可以证明四边形PCQF为平行四边形，利用方程思想可求出AF、EF的长。

三：生活问题数学化，建立数学模型，构造特殊的四边形。

E

F

B G

C4、如图，是某城市部分街道示意图，AF∥BC BA∥DE BD∥AE EC⊥BC,甲乙两人同时从B站乘车到F站，甲乘1路车，路线是B→A→E→F,乙乘2路车，路线是B→D→C→F,假设两车速度相同，途中耽误的时间相同，那么谁先到达F站？请说明理由！

解析：1路车路程：BA+AE+EF ,2路车路程：BD+DC+CF,谁先到达F站，即比较BA+AE+EF与BD+DC+CF的大小。延长ED交BC于G点，则四边形ABGD为平行四边形，∴DG=AB 又四边形ABDE是平行四边形 ∴DE=AB ∴D为直角三角形ECG斜边上的中点 ∴CD=DG=AB, ∵DF∥CG,D为EG的中点∴EF=CF ∴1路车2路车同时到达F站.这是一些立意新颖的情景性习题，充满浓厚的生活气息，它强化了学生对文字、图形、符号语言的理解，并能将生活实际问题纯数学化，建立相应的数学模型，来解决问题。它让学生感受到数学来源于生活，又能指导我们的生活生产。从而培养学生运用数学的意识，体现数学在生活中的价值，同时体验成功的快感，感觉学有所获。

四：构造特殊的四边形解决探究性问题

D5、如图，E是平行四边形ABCD边DC的延长线上的一点，且CE=DC=AC，连AE分别交BC、BD于F、G，连AC交BD于点O，则下列结论：（1）AE⊥BC（2）AB=2OF（3）S△CEF=S平行四边形ABCD（4）四边形AOFB为等腰梯形，其中正确的是＿＿＿，若将条件改为CE=CD，那么正确的结论呢？

解析：连接BE，则四边形ABEC为菱形。∴AE⊥BC,F为BC中点 ∵O为AC中点 ∴S△CEF =S△ABC=S平行四边形，而（4）只有在AB=AD时

才成立。

我们设计一些探究性练习，给学生提供资助探索的机会，使其经历观察 实验 猜想 证明 比较 推理 反设 验证 等数学思考，体验数学问题的探索性和挑战性，培养提高学生的探究能力，并通过变换命题，变换条件，变换图形来引发学生的认知冲突，从而进一步探索新问题，发现新见解。

121414

四边形计算与证明问题 篇2

一、 与概念相关的问题

例1 已知四边形ABCD, 有以下四个条件:①AB∥CD;②AB=CD;③BC∥AD;④BC=AD. 从这四个条件中任选两个, 能使四边形ABCD成为平行四边形的选法种数共有 ( ) .

A. 6种B. 5种C. 4种D. 3种

【 分析 】从四个条件可以知道, 条件中只涉及四边形的对边相等和平行. 根据对边关系判定平行四边形有以下3种方法:

(1) 两组对边分别平行的四边形是平行四边形;

(2) 两组对边分别相等的四边形是平行四边形;

(3) 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.

满足 (1) 的有 ①③ , 满足 (2) 的有 ②④, 满足 (3) 的有①②或③④, 所以一共有4种选法.

【 点评】 当被研究的问题有可能出现多种情况时, 我们必须按可能出现的情况不重复不遗漏地进行分类讨论.

二、 与折叠相关的问题

例2 如图1, 矩形ABCD中, E是AD的中点, 将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE, 延长BG交CD于点F.若AB=6, , 求FD的长.

【 分析】根据点E是AD的中点以及翻折的性质, 我们有AE=DE=EG, 可以证得△EDF和△EGF全等, 根据全等三角形对应边相等可得DF=GF.设FD=x, 则可用x表示出FC、BF, 在Rt △BCF中, 利用勾股定理建立方程即可得其解.

解:∵E是AD的中点,

∴AE=DE,

∵△ABE沿BE折叠后得到△GBE,

∴AE=EG, AB=BG,

∴ED=EG,

∵在矩形ABCD中,

∴∠A=∠D=90°,

∴∠EGF=90°,

∵在Rt△EDF和Rt△EGF中,

∴Rt△EDF≌Rt△EGF (HL) ,

∴DF=FG,

设DF=x, 则BF=6+x, CF=6-x,

在Rt△BCF中, ,

解得x=4.

∴DF=4.

【 点评 】由折叠对应得到对应角相等, 对应线段相等, 由此得到两个三角形全等, 再运用勾股定理建立方程, 是解决这类问题常用的方法.

三、 与最值相关的问题

例3 如图2, 在正方形ABCD中, 点E在BC上, BE=3, CE=2, 点P在BD上, 求PE+PC的最小值.

【分析】由于PE、PC的值均不能直接求出, 要求PE+PC的最小值, 可考虑通过作辅助线将PE或PC转化为与其相等的线段, 利用相关定理找出PE+PC的最小值.

解:如图3, 连接AE、AP,

∵点C关于BD的对称点为点A,

∴PE+PC=PE+AP,

根据两点之间线段最短可得AE就是AP+PE的最小值,

∵正方形ABCD的边长为5, BE=3,

∴PE+PC的最小值是.

故答案为:.

【 点评】 正方形是轴对称图形, 借助其轴对称性可以巧妙地解决一些与正方形有关的问题. 当然这个题目的背景还可以换为菱形. 解决这类问题的一般思路是利用对称性, 借助转化, 建立“两点之间, 线段最短”的几何模型.

四、 与动点相关的问题

例4 如图4, 在矩形ABCD中, AB=4 cm, AD=12 cm, 点P在AD边上以每秒1 cm的速度从点A向点D运动, 点Q在BC边上, 以每秒4 cm的速度从点C出发, 在CB间运动, 两点同时出发, 当点P到达点D时停止 (同时点Q也停止) 运动, 设运动的时间为t秒, 当t为何值时PQ∥AB.

【 分析 】点P从点A到达点D需12秒, 所以点Q需在B、C间往返两次, 而在每次的运动过程中都有一次PQ∥AB, 根据AD∥BC, PQ∥AB, 可知四边形APQB是平行四边形, 则PA=BQ, 列方程求解即可得到所需时间.

解:∵四边形ABCD是矩形,

∴AD∥BC,

若PQ∥AB,

则四边形APQB是平行四边形,

∴AP=BQ,

①当0≤t<3时,

设过了t秒, PQ∥AB, 则PA=t, BQ=12-4t,

∴t=12-4t,

解得:t=2.4 (s) ,

②当3≤t<6时,

PA=t, BQ=4t-12,

∴t=4t-12,

解得:t=4 (s) ,

③当6≤t<9时

PA=t, BQ=36-4t,

∴t=36-4t,

解得:t=7.2 (s) ,

④当9≤t≤12时,

PA=t, BQ=4t-36,

∴t=4t-36,

解得:t=12 (s) .

∴当t=2.4、4、7.2、12秒时PQ∥AB.

与四边形有关的计算和证明 篇3

■平行四边形

与平行四边形有关的考题重点涉及平行四边形的性质及判定方法，解决有关问题需要熟练掌握平行四边形的性质和判定方法.

■ （2011四川凉山）如图1，E，F是平行四边形ABCD对角线AC上的点，CE=AF，请你猜想：线段BE与线段DF有怎样的关系，并对你的猜想加以证明.

■

■?摇猜想：BE∥DF，且BE=DF. 因为四边形ABCD是平行四边形，所以CB=AD，CB∥AD. 所以∠BCE=∠DAF. 在△BCE和△DAF中，CB=AD，∠BCE=∠DAF，CE=AF，所以△BCE≌△DAF. 所以BE=DF，∠BEC=∠DFA. 所以BE∥DF. 所以BE∥DF，且BE=DF.

■矩形

与矩形有关的考题通常为矩形折叠问题和矩形的判定，解决折叠问题，需要把折叠的特征、勾股定理及平行线的相关知识综合应用；解决矩形的判定问题应熟练掌握矩形的判定方法，并能根据所给的条件灵活选用.

■ （2011黑龙江大庆）如图2，ABCD是一张边AB长为2、边AD长为1的矩形纸片，沿过点B的折痕将∠A翻折，使得点A落在边CD上的点A1处，折痕交边AD于点E．

（1）求∠DA1E的大小.

（2）求△A1BE的面积．

■

■?摇（1）由Rt△ABE≌Rt△A1BE知A1B=AB=2，又BC=1，所以∠BA■C=30°. 因为∠BA1E=∠BAE=90°，所以∠DA1E=60°.

（2）在Rt△A1BC中，A1B=2，BC=1，所以A1C=■. 所以A1D=2-■. 设AE=x（x>0），则ED=1-x，A1E=x.?摇 在Rt△A1DE中，A1D2+DE2=A1E2，即（2-■）2+（1-x）2=x2，解得x=4-2■. 在Rt△A1BE中，A1E=4-2■，A1B=AB=2，所以S△A1BE=■×2×（4-2■）=4-2■.

■菱形

与菱形有关的考题重点考查菱形的判定，常以解答题或探索题的形式出现，解决有关的计算题需要将菱形与勾股定理相结合；解决有关的判定题，需从边、对角线两个方面进行判定.

■ （2011福建福州）已知，在矩形ABCD中，AB=4 cm，BC=8 cm，AC的垂直平分线EF分别交AD，BC于点E，F，垂足为O. 如图3，连结AF，CE，求证四边形AFCE为菱形.

■

证明三-平行四边形的性质与判定 篇4

例题3，如图，E、F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，BE∥DF，求证：AFCE．A DB

例题

7、如图，E，F是ABCD的对角线AC上两点，AF=CE．

求证：（1）△AFD≌△CEB．

（2）四边形DFBE是平行四边形．（利用两种不同的方法）

例题8．如图，已知在▱ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE=DF，点G、H分别在BA和DC的延长线上，且AG=CH，连接GE、EH、HF、FG．

（1）求证：四边形GEHF是平行四边形；

（2）若点G、H分别在线段BA和DC上，其余条件不变，则（1）中的结论是否成立？（不用说明理由）

例题9．（2011•资阳）如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．（1）求证：BE=DF；

（2）若 M、N分别为边AD、BC上的点，且DM=BN，试判断四边形MENF的形状（不必说明理由）．

F

特殊四边形证明题习题 篇5

1．（2009年湖北十堰市）如图①，四边形ABCD是正方形, 点G是BC上任意一点，DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F.求证：DE－BF = EF．

2.（2009年山东青岛市）已知：如图，在ABCD中，AE是BC边上的高，将△ABE沿BC方向平移，使点E与点C重合，得△GFC．

(1）求证：BEDG；

(2）若B60°，当AB与BC满足什么数量关系时，四边形ABFG是菱形？证明你的结论．

【关键词】全等三角形的性质与判定、菱形的性质与判定

D

B C

E F



3．（2009 年佛山市）如图，在正方形ABCD中，CEDF．若CE10cm，求DF的长．

A

E

B

F C

4．（2009年娄底）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，连结AD，在AD的延长线上取一点E，连结BE，CE.

(1）求证：△ABE≌△ACE

(2）当AE与AD满足什么数量关系时，四边形ABEC是

菱形？并说明理由.

5．（2009年佳木斯）如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E.(1）试找出一个与△AED全等的三角形，并加以证明.(2）若AB=8，DE=3，P为线段AC上的任意一点，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H，试求PG+PH的值，并说明理由

.【关键词】矩形的性质，全等三角形的判定

6．(2009年安顺)如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连结BF。

(1）求证：BD=CD；

(2）如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论。

ACD30°，BD6．7．（2009肇庆）如图 5，ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O，A（1）求证：△ABD是正三角形；

(2）求 AC的长（结果可保留根号）．

8．（2009肇庆）如图，ABCD是正方形．G是 BC 上的一点，DE⊥AG于 E，BF⊥AG于 F．

A D

B F C

（1）求证：△ABF≌△DAE；

(2）求证：DEEFFB．

9．（2009年广西钦州）（1）已知：如图1，在矩形ABCD中，AF＝BE．求证：DE＝CF；

【关键词】矩形性质、全等三角形判定

A B

D图

110．（2009年广西梧州）如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于

点D，交AC于点O，CE∥AB交MN于E，连结AE、CD．

(1）求证：AD＝CE；

(2）填空：四边形ADCE的形状是

【关键词】垂直平分线、全等三角形、菱形判定

A

M

N

B11．(2009年宜宾）已知：如图，四边形ABCD是菱形，过AB的中点E作AC的垂线EF，交AD于点M，交CD的延长线于点F.(1）求证：AM=DM；(2）若DF=2，求菱形ABCD的周长．

【关键词】菱形的性质,全等三角形的判定

B

FD第21题图C

AB5，AC6．12．（2009年广东省）在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过

点D作DE∥AC交BC的延长线于点E．

(1）求△BDE的周长；

(2）点P为线段BC上的点，连接PO并延长交AD于点Q．

求证：BPDQ．

Q

P C E

2013年四边形证明专题训练 篇6

1、已知：如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE＝CF，求证：DE＝BF2、如图，在□ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知点E、F分别为AO、OC的中点，•证明:四边形BFDE是平行四边形．

3、已知：如图，在□ABCD中，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，E在AD上，BE＝12 cm，CE＝5 cm．求□ABCD的周长和面积．

4、已知：如图，在□ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE＝CF。求证：DE＝BF。（12分）

（1）求证：BE＝ DF；

（2）若AC，EF将平行四边形ABCD分成的四部分的面积相等，指出E点的位置，并说明理由．

6、平行四边形ABCD的两条对角线AC,BD相交于O.(1)图中有哪些三角形全等? 有哪些相等的线段?

(2)若平行四边形ABCD的周长是20cm,△AOD的周长比△ABO的周长大6cm.求AB,AD的长.5、如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC的中点，过O点作直线EF分别交BC、AD于E、F．

A

D

B7、如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，F是DE延长线上的点，且EF=DE，则图中的平行四边形有哪些？说说你的理由．

8、如图所示,已知在平行四边形ABCD中,E是边DA的延长线上一点, 且AE=AD,连结EC,分别交AB,BD于点

F,G,证明:AF=BF.9、已知：在□ABCD中，∠A的角平分线交CD于E，若DE:EC3:1，AB的长为8，求BC的长。

10、如图，已知四边形ABCD是平行四边形，∠BCD的平分线CF交边AB于F,∠ADC的平分线DG交边AB于G.（1）求证：AF=GB;（2）请你在已知条件的基础上再添加一个条件，使得△EFG为等腰三角形，并说明理由。

E

A

FB

D

C

A B11、已知：如图，□ABCD各角的平分线分别相交于点E，F，G，•H，•求证：•四边形EFGH是矩形．

12、已知：如图，D是△ABC的BC边的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E、F，且BF＝CE 求证：（1）△ABC是等腰三角形；

（2）当∠A＝90时，试判断四边形AFDE是怎样的四边形，证明你判断的结论。

13、如图，矩形ABCD中，AC与BD交于O点，BE⊥AC于E，CF⊥BD于F.求证：BE=CF.14、如图,EB=EC,EA=ED,AD=BC, ∠AEB=∠DEC,证明:四边形ABCD是矩形.15、已知：如图ABC中，AD是BAC的角平分线，DE∥AC，DF∥AB。证明：四边形AEDF是菱形。对于这道题，小林是这样证明明的。证明：因为AD平分BAC，所以∠1＝∠2,因为DE∥AC，所以∠2＝∠

3因为DF∥AB，所以∠1＝∠4 又AD=AD,所以△AED≌△AFD.所以AE＝AF,DE=DF.所以四边形AEDF是菱形.老师说小林的解题过程有错误，你能看出来吗？

⑴请你帮小林指出他的错误是什么？（先在解答过程中划出来，再说明他错误的原因）⑵请你帮小林做出正确的解答。

16、如图，已知AD是Rt△ABC斜边BC上的高，∠B的平分线交AD于M，交AC于E点，∠DAC的平分线交CD于点N，证明四边形AMNE是菱形。

17、如图,矩形ABCD中,O是AC与BD的交点,过O点的直线EF 与AB、CD延长线分别交于E、F.(1)证明:△BOE≌△DOF.(2)当EF与AC满足什么条件时,四边形AECF是菱形,为什么?

A

BF

A

BCD18、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，M、N、P、Q分别为AD、BC、BD、AC的中点。求证：MN和PQ互相平分。

P

Q

A

M

D19、如图，在菱形ABCD中，∠ABC与∠BAD的度数比为1：2，周长是48cm．求：

（1）两条对角线的长度；（2）菱形的面积．

B

N

C

A

O

B

D

C20、（2011年江西省）如图，四边形ABCD为菱形，已知A(0，4)，B(－3，0)．(1)求点D的坐标；(2)求经过点C的反比例函数解析式．

21、已知△ABC的面积为3，且AB=AC，现将△ABC沿CA方向平移CA长度得到△EFA．

（1）求四边形CEFB的面积；

（2）试判断AF与BE的位置关系，并说明理由；

（3）若BEC15，求AC的长．

四边形计算与证明问题 篇7

这是一节现行苏教版实验教科书五年级数学(上)多边形面积计算一单元的复习课。在本节课之前,学生刚刚学习了平行四边形、三角形、梯形三个多边形的面积计算方法。这些内容与我们以前学过的长方形、正方形面积计算方法密切相关,因此,在这个关键时刻很有必要将这些知识融会贯通,进行系统梳理,增强学生对平面图形面积计算的整体认识。

通过以上的分析可知,这节课的主要内容是系统梳理知识点之间的关系,使最近学习的知识与以前学过的知识建立联系,促使学生形成系统、完整的知识结构。为了调动学生的积极性,让他们在竞争、协作的氛围中体会知识的生成过程,形象直观地表达自己的观点,我们选择了概念图的方法处理和组织这节课。

二、教学目标阐述

知识目标:通过引导学生回忆、整理学过的平面图形面积计算公式的相关知识,让学生进一步理解各种平面图形面积计算公式的意义,准确选择并熟练应用相应公式解决平面图形面积计算的相关问题。

能力目标:将新近学过的一些图形面积的计算方法与以前学过的相关知识建立联系,形成完整的知识结构。利用概念图工具绘制多边形之间的关系图,培养学生分析比较、总结概括、逻辑推理以及利用现代学习工具表达观点的能力,使其进一步体会运用转化等数学方法解决复杂问题的过程。

三、教学重点、难点

教学重点:进一步理解各个多边形面积计算公式的意义、推导过程及之间的关系。

教学难点:帮助学生将所学的知识从教材的内容组织结构内化为自身的知识结构,建立与先前所学知识——长方形、正方形等面积计算公式的联系。

四、教学过程

(一)复习导入

师:到目前为止我们学过哪些多边形?它们的面积计算公式分别是什么?(教师根据学生的回答绘制出多边形面积计算相关内容的组织结构图,并引领学生逐个复习图形的特点、面积计算公式等。)

师:以前,我们推导某些多边形面积计算公式时,是用转化(变形、切补、组合、分割)的数学方法将未知图形转化为一个已知图形或多个已知图形来计算面积的,今天我们继续深入研究这些图形及其面积计算公式之间的联系。

(二)分组布置任务

师:我们分小组研究各种多边形及其面积计算公式之间的关系,每个小组选择一种图形(长方形、正方形、梯形、平行四边形、三角形),用计算机上的MindManger等软件解答以下问题。

1. 小组所选的图形有什么特点?

2. 举例说明小组所选图形与生活中哪些物体形状相似?

3. 图形面积计算公式的推导过程是怎样的?

4. 小组所选图形与其他图形之间有何种关系?

5. 小组所选图形与多边形面积计算公式有何关系?

(设计意图:为了让学生积极参与教学活动,我们分小组进行协作探究式学习。由于小学学生难以把握学习重难点以及活动的具体参与方式,我给全班学生五个指导性的问题来引导学生的探究活动,让他们明确该从哪些角度思考问题。)

师:在这个过程中,你们要发挥小组内每位成员的聪明才智,将小组讨论结果形成一个概念图向大家展示。比如这一小组选择的是梯形,则这组的讨论结果将可能以此种形式表现(图1)

(设计意图:这一环节很关键,由于小学阶段学生独立解决问题的能力有限,给他们一个范例加以模仿,能更有效地培养学生独立解决问题的能力。)

全班分成五个组,每组推选出以下角色。

小组长(1人):负责小组组员之间的协调。

书记员(1人):利用MindManager工具记录大家的发言情况。

发言人(1人):将小组讨论的结果向大家汇报。

补充发言人(1人):在发言人做报告或做完报告后进行相应的补充,或者演示证明过程。

小组专家(其他人):发挥自己的聪明才智,形成自己小组的概念图和小组报告,并做必要的补充发言。

(设计意图:小学阶段给每个小组成员赋予特定的角色是很有必要的,这样可以更好地调动学生的积极性,也便于教师的课堂管理。)

师:今天的活动将依据概念图质量、创新程度、总体质量、参与程度、合作程度等几个标准来进行评价,具体评价依据请参考学生评价量规。(向学生展示评价量规。)

(设计意图:教学评价有教学诊断、目标导向、教学激励、教学调节等功能,我们在学生执行任务之前给学生展示评价量规,目的是要发挥教学评价的目标导向功能。与此同时,学生在实施任务的过程中可以参照评价量规,适时调节自己的学习行为,使学习朝着既定的教学目标进行。)

(三)小组合作完成任务

为保证教学活动的顺利开展,教师需要做好以下工作。

1. 始终强调要完成的任务及所要考虑的问题,保证学生不会游离于任务之外。

2. 适当提示多种转化方法的应用。

3. 仔细观察各小组的概念图,发现并及时纠正其中反映的知识性错误。

4. 给个别小组适当的指导,开阔他们的思路。如形成没有学过的多边形或组合图形概念图。

5. 完成评价量规中“参与程度”与“合作程度”分指标的评定,体现评价的过程性。

(设计意图:在这一教学环节中各小组利用头脑风暴开展学习活动。每个小组都详细完成整体知识结构中的一部分,将课本上的内容组织结构变为自己头脑中的知识结构。)

(四)小组交流

在此环节中,各组将集体完成的概念图通过投影向全班同学展示,并对概念图做简要的介绍。全班同学可以对每个小组的作品提出质疑和建议。比如,一个小组(以梯形为研究对象)形成的概念图(图2),小组汇报人在讲解的时候,认为“可以将一个梯形先沿一条高从中间切开,再翻转组合就可以形成一个长方形”,经教师和其他组学生的提醒,该组学生认识到,只有当这个梯形为等腰梯形的时候,这种方法才有效。

另一个小组认为“可以将一个三角形的一个角切掉,使其变成一个梯形”。但是在教师和学生的提示下,他们也认识到,去掉一个角的时候,应当沿着平行于这个角对边的一条线剪切。

(五)教师点评,形成整体知识结构概念图这一环节,教师对每个小组的成果进行简要的

点评,并和大家一起将各小组形成的概念图组合统一起来,形成一个整体的知识结构概念图。同时还将以前学到的知识,进行统一梳理,完善学生的知识结构。最后教师公布评价结果。这一过程形成的概念图可能是这样的。(图3)

(六)总结梳理

师:这节课我们复习了各种多边形的性质及面积计算公式,并且在此基础上研究了多边形及其面积计算公式之间的关系,哪位同学能简要概括它们之间的关系?

生:在一定条件下它们可以相互转化,方法有变形、切补、组合……

师:在计算多边形面积的时候,有些图形太复杂,我们无法直接计算,但是我们可以想办法将复杂的图形分解为几个简单的图形来分别计算他们的面积,然后再求和。有些图形虽然简单,但是直接计算它们的面积太复杂,这时我们可以换个角度考虑问题。比如,计算三角形面积的时候,我们可以将两个相同的三角形组合为一个平行四边形,进而计算它的面积。

其实,在我们的实际生活中也有很多复杂的问题难以直接解决,但是当我们将问题分解了或者换个角度思考的时候,问题可能会变得十分容易。

(设计意图:这部分主要是加强学生对数学转化方法的理解,强调将复杂问题简单化的方法,并引导学生在日常生活中尝试用这样的方法解决实际问题。)

设计与教学反思

(一)关于概念图的角色问题

国内学者从不同角度对概念图进行了研究。有人认为它是一种教学策略和一种评价方法,或者是一种教学方法。在这里我们不深入讨论哪种说法更准确,但就本教学设计来说,我们主要是将概念图作为一种思想表达的方式,让学生用概念图灵活形象地表达自己的思想。从这个角度来说,我们将概念图当做一种教学策略。但是我们也发现,概念图可以直观地反映学生对知识的掌握程度,特别是对概念间关系的理解,从这个方面说概念图确实可以作为一种评价方法运用于教育教学中。

(二)关于概念图与概念图软件

概念图软件(如MindManager、Inspiration等)只是人们依据概念图理论开发的一种工具软件,它的优点主要是表示概念之间的关系。所以我们可以在计算机教室利用概念图软件形成概念图以完成相关任务,也可以在普通教室环境中利用粉笔绘图的方式来形成概念图,并不是说我们只有使用了MindManager等概念图软件才叫概念图教学。

(三)关于新理念下的课堂教学

特殊四边形的证明经典必考题范文 篇8

1、如图，已知矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC=2AB，求证：∠AOD=120° A

OD

BC2、探究证明：

（1）如图，四边形ABCD的对角线为AC、BD，且AC=BD，点E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、AD边上的中点，猜想四边形EFGH是什么样的图形，并证明；

A

EH

D

F

CGB

（2）如图，四边形ABCD的对角线为AC、BD，且AC⊥BD，点E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、AD边上的中点，猜想四边形EFGH是什么的图形，并证明；

A

E

B

F

CGHD

（3）如果将一个四边形每个边的中点依次连接起来形成的四边形叫做这个四边形的中点四边形，那么自己讨论证明平行四边形、矩形、菱形、正方形和等腰梯形的中点四边形的形状，并总结一个四边形的中点四边形的形状由原来四边形的什么来决定；

3、如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，AB=6，BC=8，P是AD上一点，且PH⊥AC，PK⊥BD，求PH+PK的值；

A

H

O

BPDC4、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AC⊥BD与点O，∠BAC=60°，若，求此梯形的面积；

A

O

BDC5、如图，平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC交AD与点E，AB=8，BC=10，则

D

AED

O

AC

B6、如图，菱形对角线AC、BD交于点O，且AC=8，BD=6，过O做OH⊥AB与点H，则；

7、如图，在ABCD中，AE、DF分别为∠BAD和∠ADC的平分线，AE、DF相交于点G；

（1）求证：AE⊥DF AD（2）若AD=10，AB=6，AE=4，求DF的长；

BCFE

CHB8、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=CD，AD⊥BD，E为AB的中点；

求证：四边形BCDE是菱形

DC

AEB9、在正方形ABCD中，E为对角线上一点，连接EB、ED，（1）求证：∠CDE=∠CBE

（2）延长BE交AD与点F，若∠DEB=140°，求∠AFE的度数；

DF

EA

CB10、已知等腰梯形的底边长分别为2㎝和8㎝，高为4㎝，则一腰长为

211、已知菱形的两条对角线长分别为12㎝和6㎝，那么这个菱形的面积为。

12、矩形一个角的平分线分矩形一边为1㎝和3㎝两部分，则这个矩形的面积为

13、下列说法正确的是（）

A.一组对边相等的四边形是平行四边形

B.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形

C.一组对角相等，一组对边平行的四边形是平行四边形

D.对角线互相垂直的四边形是平行四边形

14、平行四边形两个邻角的角平分线所成的角是（）

A.锐角B.直角C.钝角D.不能确定

15/△ABC中，AD是角平分线，DE∥AC，DF∥AB。

求证：四边形AEDF是菱形。

16、如图所示，将矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C，BC交AD于E，AD=8，AB=4，求△

BED的面积。′′

17、如图，O为平行四边形ABCD对角线AC、BD的交点，EF经过点O，且与边CD、AB分别交于点E、F，则图中的全等三角形有()

A.2对B.3对C.5对D.6对

18、如图，在梯形ABCD中AＤ∥ＢＣ，对角线AC⊥ＢＤ，且ＡＣ＝12，ＢＤ＝9，则AD+BC=（）

A.20B.21 C.15D.2419、四边形ABCD，仅从下列条件中任取两个加以组合，使得ABCD是平行四边形，一共有多少种不同的组合？（）

AB∥CDBC∥ADAB=CDBC=AD

证明平行四边形 篇9

求证：四边形ADFE是平行四边形。

设BC=a,则依题意可得：AB=2a,AC=√3a,等边△ABE,EF⊥AB=>AF=1/2AB=a,AE=2a,EF=√3a

∵∠DAF=∠DAC+∠CAB=60°+30°=90°,AD=AC=√3a,∴DF=√(AD²+AF²)=2a

∴AE=DF=2a,EF=AD=√3a=>四边形ADFE是平行四边形

1两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义)2两组对边分别相等的四边形是平行四边形3一组对边平行且相等的四边形是平行四边形4对角线互相平分的四边形是平行四边形5两组对角分别相等的四边形是平行四边形

1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形

2、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

3、两组对边分别相等的四边形是平行四边形

4、对角线互相平分的四边形是平行四边形

21.画个圆，里面画个矩形2.假设圆里面的是平行四边形3.因为对边平行，所以4个角相等4.平行四边四个角之和等于360，5.360除以4等于906.所以圆内平行四边形为矩形..3判定(前提：在同一平面内)(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形;

(2)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;(3)两组对边分别平行的四边形是平行四边形;(4)两条对角线互相平分的四边形是平行四边形(5)两组对角分别相等的四边形为平行四边形(注：仅以上五条为平行四边形的判定定理，并非所有真命题都为判定定理，希望各位读者不要随意更改。)(第五条对，如果对角相等，那么邻角之和的二倍等于360°，那么邻角之和等与180°，那么对边平行，(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)所以这个四边形是平行四边形)编辑本段性质(矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形。)(1)平行四边形对边平行且相等。(2)平行四边形两条对角线互相平分。(3)平行四边形的对角相等，两邻角互补。(4)连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形。(推论)(5)平行四边形的面积等于底和高的积。(可视为矩形)(6)过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形。(7)对称中心是两对角线的交点。

性质9(8)矩形菱形是轴对称图形。(9)平行四边形ABCD中(如图)E为AB的中点，则AC和DE互相三等分，一般地，若E为AB上靠近A的n等分点，则AC和DE互相(n+1)等分。*注：正方形，矩形以及菱形也是一种特殊的平行四边形。(10)平行四边形ABCD中，AC、BD是平行四边形ABCD的对角线，则各四边的平方和等于对角线的平方和。(11)平行四边形对角线把平行四边形面积分成四等分。(12)平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形。(13)平行四边形中，两条在不同对边上的高所组成的夹角，较小的角等于平行四边形中较小的角，较大的角等于平行四边形中较大的角。(14)平行四边形中,一个角的顶点向他对角的两边所做的高，与这个角的两边组成的夹角相等。编辑本段平行四边形中常用辅助线的添法

一、连接对角线或平移对角线。

二、过顶点作对边的垂线构成直角三角形。

三、连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构成线段平行或中位线。

四、连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造相似三角形或等积三角形。

五、过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等。编辑本段面积与周长

1、(1)平行四边形的面积公式：底×高(推导方法如图);如用“h”表示高，“a”表示底，“S”表示平行四边形面积，则S平行四边=ah(2)平行四边形的面积等于两组邻边的积乘以夹角的正弦值;如用“a”“b”表示两组邻边长，@表示两边的夹角，“S”表示平行四边形的面积，则S平行四边形=ab*sin@

证明(三)平行四边形 篇10

课 题3.1平行四边形（1）

班级姓名

教学目标

1．能够用综合法证明平行四边形的性质定理和其他相关的结论。2．灵活运用平行四边形的性质定理和其他相关的结论。教学重点、难点:

重点掌握平行四边形的性质定理和其他相关的结论。难点探索证明的思路和方法。教学过程

一、预习反馈 明确目标1．回顾平行四边形的性质定理； 2．回顾等腰梯形的性质； 3．等腰梯形的判定。

二、创设情境 自主探究1．证明平行四边形的性质： 定理：平行四边形的对边相等。

分析：命题的题设和结论是什么？如何借助于已有的知识来证明它？可以借助于三角形的全等来证明，通过添加辅助线，将四边形的问题转化为三角形来证明。已知：。

求证：。

证明：

2.由上面的证明过程，你还能得到什么结论？ 定理：平行四边形的对角相等。

证明：

学生讨论，教师总结，得到平行四边形的性质2。

三、展示交流 点拨提高

1.例 证明：等腰梯形在同一底上的的两个角相等。

已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC。求证：∠B=∠C,∠A=∠D。

提示：我们证明过“等腰三角形的两个底角相等”如果可以将∠B与∠C转化为等腰三角形的两个底角，那么就容易证明了，为此，可以将AB平移到DE的位置。

证明：

2.这个命题的逆命题成立吗？如果成立，请证明它。定理：同一底上的两个角相等的梯形是等腰三角形。

山丹育才中学讲学稿

四、师生互动 拓展延伸课本P84页 随堂练习：

1.证明：平行四边形的对角线互相平分。

2.证明：夹在两条平行线间的平行线段相等。

五、达标测试 巩固提高

已知:如图,AC,BD是□ABCD的两条对角线,且AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E,F, 求证:AE=CF。

◆ 作业布置

1．证明：等腰梯形的两条对角线相等。

2.已知：如图，平行四边形的对角线AC,BD相交与点O，过点O的直线与AD,BC分别相交于点E,F.求证：OE=OF.3已知:在□ABCD中,点E,F在对角线AC上,且AF=CE。① 线段BE与DF之间有什么关系?请证明你的结论；

E

F

② 若去掉题设中的AF=CE,请添加一个条件使BE与DF有以上同样的性质。

◆ 教学札记

图3－5

平行四边形证明题练习 篇11

1、如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DE⊥AC，BF⊥AC，DE=BF，且∠ADB=∠DBC.求证：四边形ABCD是平行四边形.2、如图2，E、F、G、H

分别是AB、BC、CD、DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形.HD

CFB3、如图，□ABCD中，点E、F分别在CD、AB上，DF∥BE，EF交BD于点O，求证EO=FO.4、如图，在□ABCD中，点E是AD的中点，BE的延长线与CD的延长线交于点F.（1）求证：△ABE≌△DFE；

证明多边形外角判定方法 篇12

∵n边形外角等于(180°-和它相邻的内角)

∴180°n-180°(n-2)=180°n-180°n+360°=360°

由上式可知任意凸多边形的外角和等于360度。

2、根据多边形的内角和公式求外角和为360

3、n边形内角之和为(n-2)_180,设n边形的内角为∠1、∠2、∠3、...、∠n,对应的外角度数为

180-∠1、180°-∠2、180°- 180°-∠n外角之和为

(180-∠1)+(180°-∠2)+(180°-∠3)+...+(180°-∠n)

=n_180°-(∠1+∠2+∠3+...+∠n)

=n_180°-(n-2)_180°

关于平行四边形的证明题例析 篇13

平行四边形是一种极重要的几何图形．这不仅是因为它是研究更特殊的平行四边形——矩形、菱形、正方形的基础，还因为由它的定义知它可以分解为一些全等的三角形，并且包含着有关平行线的许多性质，因此，它在几何图形的证明与研究上有着广泛的应用． 例1 如图所示．在ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，DN=BM．求证：EF与MN互相平分．

分析 只要证明ENFM是平行四边形即可，由已知，提供的等量要素很多，可从全等三角形下手．

证明 因为ABCD是平行四边形，所以 ADBC，ABCD，∠B=∠D．

又AE⊥BC，CF⊥AD，所以AECF是矩形，从而

AE=CF．

所以

Rt△ABE≌Rt△CDF(HL，或AAS)，BE=DF．又由已知BM=DN，所以

△BEM≌△DFN(SAS)，ME=NF． ①

又因为AF=CE，AM=CN，∠MAF=∠NCE，所以

△MAF≌△NCE(SAS)，所以 MF=NF． ②

由①，②，四边形ENFM是平行四边形，从而对角线EF与MN互相平分．

例2 如图所示．Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BG平分∠ABC，EF∥BC且交AC于F．求证：AE=CF．

分析 AE与CF分处于不同的位置，必须通过添加辅助线使两者发生联系．若作GH⊥BC于H，由于BG是∠ABC的平分线，故AG=GH，易知△ABG≌△HBG．又连接EH，可证△ABE≌△HBE，从而AE=HE．这样，将AE“转移”到EH位置．设法证明EHCF为平行四边形，问题即可获解．

证明 作GH⊥BC于H，连接EH．因为BG是∠ABH的平分线，GA⊥BA，所以GA=GH，从而

△ABG≌△HBG(AAS)，所以 AB=HB． ①

在△ABE及△HBE中，∠ABE=∠CBE，BE=BE，所以 △ABE≌△HBE(SAS)，所以 AE=EH，∠BEA=∠BEH． 下面证明四边形EHCF是平行四边形．因为AD∥GH，所以

∠AEG=∠BGH(内错角相等)． ②

又∠AEG=∠GEH(因为∠BEA=∠BEH，等角的补角相等)，∠AGB=∠BGH(全等三角形对应角相等)，所以

∠AGB=∠GEH．

从而

EH∥AC(内错角相等，两直线平行)．

由已知EF∥HC，所以EHCF是平行四边形，所以

FC=EH=AE．

说明 本题添加辅助线GH⊥BC的想法是由BG为∠ABC的平分线的信息萌生的(角平分线上的点到角的两边距离相等)，从而构造出全等三角形ABG与△HBG．继而发现△ABE≌△HBE，完成了AE的位置到HE位置的过渡．这样，证明EHCF是平行四边形就是顺理成章的了．

人们在学习中，经过刻苦钻研，形成有用的经验，这对我们探索新的问题是十分有益的． 例3 如图所示．ABCD中，DE⊥AB于E，BM=MC=DC．求证：∠EMC=3∠BEM．分析 由于∠EMC是△BEM的外角，因此∠EMC=∠B+∠BEM．从而，应该有∠B=2∠BEM，这个论断在△BEM内很难发现，因此，应设法通过添加辅助线的办法，将这两个角转移到新的位置加以解决．利用平行四边形及M为BC中点的条件，延长EM与DC延长线交于F，这样∠B=∠MCF及∠BEM=∠F，因此，只要证明∠MCF=2∠F即可．不难发现，△EDF为直角三角形(∠EDF=90°)及M为斜边中点，我们的证明可从这里展开．

证明 延长EM交DC的延长线于F，连接DM．在□ABCD中，AB∥CD，则

∠F=∠BEM，∠MCF=∠B，CM=BM，所以

△MCF≌△MBE(AAS)，所以M是EF的中点．又DE⊥AB，所以，DE⊥FD，三角形DEF是直角三角形，DM为斜边的中线，由直角三角形斜边中线的性质知，MF＝MD

∠F=∠MDC，又由已知MC=CD，所以

∠MDC=∠CMD，则

∠MCF=∠MDC+∠CMD=2∠F．

从而

∠EMC=∠F+∠MCF=3∠F=3∠BEM．

练习：

1．如图1所示．DE⊥AC，BF⊥AC，DE=BF，∠ADB=∠DBC．求证：四边形ABCD是平行四边形．

2．如图2所示．在平行四边形ABCD中，△ABE和△BCF都是等边三角形．求证：△DEF是等边三角形．

3．如图3所示．

BE=CF．

ABCD中，AF平分∠BAD交BC于F，DE⊥AF交CB于E．求证：

温馨提示：

1、由∠ADB=∠DBC可得AD∥BC，则∠DAE＝∠BCF，再证明△AED≌△CFB（AAS），从而得AD＝BC，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得证.2、易知，AB＝CD＝EF，FB＝FC，∠FCB＋∠CBA＝180°，60°－∠1＋120°－∠2＝180°。得∠1＝∠2。证得，△EBF≌△DCF，得EF＝DF，∠EFB=∠DFC，∠EFB－∠DFB=∠DFC－∠DFB，即∠EFD＝∠BFC＝60°。由一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得△DEF是等边三角形。