建筑力学重心教案

建筑力学重心教案（共7篇）

建筑力学重心教案 篇1

建筑力学重点内容教案

（四）静定结构和超静定结构

建筑物中支承荷载、传递荷载并起骨架作用的部分叫做结构，例如在房屋建筑中由梁、板、柱、基础等构件组成的体系。前面，我们介绍了单个杆件的强度、刚度和稳定性问题。本章将要介绍结构的几何组成规则、结构受力分析的基本知识、不同结构形式受力特点等问题。

第一节结构计算简图

实际结构很复杂，完全根据实际结构进行计算很困难，有时甚至不可能。工程中常将实际结构进行简化，略去不重要的细节，抓住基本特点，用一个简化的图形来代替实际结构。这种图形叫做结构计算简图。也就是说，结构计算简图是在结构计算中用来代替实际结构的力学模型。结构计算简图应当满足以下的基本要求：

1．基本上反映结构的实际工作性能； 2．计算简便。

从实际结构到结构计算简图的简化，主要包括支座的简化、节点的简化、构件的简化和荷载的简化。

一、支座的简化

一根两端支承在墙上的钢筋混凝土梁，受到均布荷载g的作用(图10—1。)，对这样一个最简单的结构，如果要严格按实际情况去计算，是很困难的。因为梁两端所受到的反力沿墙宽的分布情况十分复杂，反力无法确定，内力更无法计算。为了选择一个比较符合实际的计算简图，先要分析梁的变形情况：因为梁支承在砖墙上，其两端均不可能产生垂直向下的移动，但在梁弯曲变形时，两端能够产生转动；整个梁不可能在水平方向移动，但在温度变化时，梁端能够产生热胀冷缩。考虑到以上的变形特点，可将梁的支座作如下处理：通常在一端墙宽的中点设置固定铰支座，在另一端墙宽的中点设置可动铰支座，用梁的轴线代替梁，就得到了图10—16的计算简图。这个计算简图反映了：梁的两端不可能产生垂直向下移动但可转动的特点；左端的固定铰支座限制了梁在水平方向的整体移动；右端的可动铰支座允许梁在水平方向的温度变形。这样的简化既反映了梁的实际工作性能及变形特点，又便于计算。这就是所谓的简支梁。

假设某住宅楼的外廊，采用由一端嵌固在墙身内的钢筋混凝土梁支承空心板的结构方案(图10—20)。由于梁端伸入墙身，并有足够的锚固长度，所以梁的左端不可能发生任何方向的移动和转动。于是把这种支座简化为固定支座，其计算简图如图10—26所示，计算跨度可取梁的悬挑长加纵墙宽度的一半。

预制钢筋混凝土柱插入杯形基础的做法通常有以下两种：当杯口四周用细石混凝土填实、地基较好且基础较大时，可简化为固定支座(图10—3a)；在杯口四周填入沥青麻丝，柱端可发生微小转动，则可简化为铰支座(图10一36)。当地基较软、基础较小时，图口的做法也可简化为铰支座。

支座通常可简化为可动铰支座、固定铰支座、固定支座三种形式。

二、节点的简化 结构中两个或两个以上的构件的连接处叫做节点。实际结构中构件的连接方式很多，在计算简图中一般可简化为铰节点和刚节点两种方式。

1．铰节点铰节点连接的各杆可绕铰节点做相对转动。这种理想的铰在建筑结构中很难遇到。但象图10—40中木屋架的端节点，在外力作用下，两杆间可发生微小的相对转动，工程 中将它简化为铰节点(图10—46)。

2·刚节点刚节点连接的各杆不能绕节点自由转动，在钢筋混凝土结构中刚节点容易实现。图10—5a是某钢筋混凝土框架顶层的构造，图中的梁和柱的混凝土为整体浇注，梁和柱的钢筋为互相搭接。梁和柱在节点处不可能发生相对移动和转动，因此，可把它简化为刚节点(图10—56)。

三、构件的简化

构件的截面尺寸通常比长度小得多。在计算简图中构件用其轴线表示，构件之间的连接用节点表示，构件长度用节点间的距离表示。

四、荷载的简化

在工程实际中，荷载的作用方式是多种多样的。在计算简图上通常可将荷载作用在杆轴上，并简化为集中荷载和分布荷载两种作用方式。关于荷载的分类及简化已在第一章中述及。这里不再重复。

在结构设计中，选定了结构计算简图后，在按简图计算的同时，还必须采取相应韵措施，以保证实际结构的受力和变形特点与计算简图相符。因此，在按图施工时，必须严格实现图纸中规定的各项要求。施工中如疏忽或随意修改图纸；就会使实际结构与计算简图不符，这将导致结构的实际受力情况与计算不符，就可能会出现大的事故。检查与回顾 1.结构计算简图应满足哪些基本要求？

2.结构计算简图的简化主要包括哪些内容？

新授课 第二节平面结构的几何组成分析

一、几何组成分析的概念

建筑结构通常是由若干杆件组成的，但并不是用一些杆件就可随意地组成建筑结构。例如图10—6a中的铰接四边形，可不费多少力就把它变成平行四边形(图。一6b)，但这种铰接四边形不能承受任何荷载的作用，当然不能作为建筑结构使用。如果在铰接四边形中加上一根斜杆(图10—7)，那么在外力作用下其几何形状就不会改变了。

图10—6 图110—7

从几何组成的观点看，由杆件组成的体系可分为两类：

1·几何不变体系 在荷载作用下，不考虑材料的应变时，体系的形状和位置是不能改变的

2·几何可变体系在荷载作用下，不考虑材料的应变时，体系的形状和位置是可以改变的(图10—6a)。

对结构的几何组成进行分析，以判定体系是几何不变体系还是几何可变体系，叫做几何组成分析。

显然，建筑结构必须是几何不变体系。

在体系的几何分析中，把几何不变的部分叫做刚片。一根柱可视为一个刚片；任一肯定的几何不变体系可视为一个刚片；整个地球也可视为一个刚片。

二、几何不变体系的组成规则(一)铰接三角形规则

实践证明，铰接三角形是几何不变体系。如果将图10—8口铰接三角形A船中的铰A拆开：AB杆则可绕曰点转动，AB杆上4点的轨迹是弧线①；4C杆则可绕C点转动，AC杆上的A点的轨迹是弧线②。这两个弧线只有一个交点，所以A点的位置是唯一的，三角形ABC的位置是不可改变的。这个几何不变体系的基本规则叫做铰接三角形规则。

如果在铰接三角形中再增加一根链杆仰(图10—86)，体系ABCD仍然是几何不变的，从维持体系几何不变的角度看，AD杆是多余的，因而把它叫做多余约束。所以ABCD体系是有多余约束的几何不变体系，而铰接三角形ABC是没有多余约束的几何不变体系。

②

铰接三角形规则的几种表达方式

1·二元体规则在铰接三角形中，将一根杆视为刚片，则铰接三角形就变成一个刚片上用两根不共线的链杆在一端铰接成一个节点，这种结构叫做二元体结构(图10—9)。于是铰接三角形规则可表达为二元体规则：一个点与一个刚片用两根不共线的链杆相连，可组成几何不变体系。且无多余约束。

2·两刚片规则若将铰接三角形中的杆AB和杆日C均视为刚片，杆AC视为两刚片间的约束(图10—10)，于是铰接三角形规则可表达为两刚片规则：两刚片间用一个铰和一根不通过此铰的链杆相连，可组成几何不变体系，且无多余约束。图10一ll a表示两刚片用两根不平行的链杆相连，两链杆的延长线相交于A点，两刚片可绕

图 10一10 图 10—11 A点做微小的相对转动。这种连接方式相当于在A点有一个铰把两刚片相连。当然，实际上在A点没有铰，所以把A点叫做“虚铰”。为了阻止两刚片间的相对转动，只需增加一根链杆(图10—11 b)。因此，两刚片规则还可以这样表达：两刚片间用三根不全平行也不全相交于一点的三根链杆相连，可组成几何不变体系，且无多余约束。

3．三刚片规则若将铰接三角形中的三根杆均视为刚片(图10—12)，则有三刚片规则：三刚片用不在同一直线上的三个铰两两相连，可组成几何不变体系。且无多余约束。

总结

作业：P238 10-

1、10-2 检查与回顾 铰结三角形的表达形式 新授课

三、超静定结构的概念

简支梁通过铰A和链杆B与地球相连(图10—13a)，是几何不变体系，且无多余约束。这种没有多余约束的几何不变体系叫做静定结构。静定结构的反力和内力可通过静力平衡方程求得。如果在简支梁中增加一个链杆(图10—13b)，它仍然是几何不变体系，但有一个多余约束。有多余约束的几何不变体系叫做超静定结构。超静定结构的支座反力和内力不能由静力平衡方程式全部求得。例如图10—13b中的梁，在荷载和支座反力的作用下，构成一个平面一般力系，可列出三个独立的平衡方程，而未知的支座反力有四个，三个方程只能解算三个未知量，所以不能求出全部的反力，因而内力也无法确定。超静定结构的内力计算，除了运用静力平衡条件外，还要利用变形条件，这里不予介绍。．

四、几何组成分析的实例

几何不变体系的组成规则，是进行几何组成分析的依据。对体系重复使用这些规则，就可判定体系是否是几何不变体系及有无多余约束等问题。运用规则对体系分析时，可先在体系中找到一个简单的几何不变部分，如刚片或铰接三角形，然后按规则逐步组装扩大，最后遍及全体系；也可在复杂的体系中，逐步排除那些不影响几何不变的部分，例如逐步排除二元体，使分析对象得到简化，以便于判别其几何组成。

例10—1试对图10—14中的体系做几何组成分析。

解铰接三角形是几何不变体系(图中的阴影部分)，在此基础上不断增加二元体，最后可遍及整个桁架。将整个桁架视为一个刚片，地球视为另一个刚片，依据两刚片规则，它们之间用铰A与不通过铰A的支座链杆B相连，组成了没有多余约束的几何不变体系。

结论体系是几何不变的，且无多余约束。‘

C

例10一2试分析图10一15中体系的几何组成。

解整个体系可分为左右两个部分：左边的AC可视为刚片，在刚片上增加二元体ADF；右边的CB可视为刚片，在刚片上增加二元体GEB。左、右两部分均可视为刚片，它们之间用铰C和链杆DE相连(两刚片规则)，形成一个大刚片。这个大刚片与地球用铰A和链杆B相连，构成一个没有多余约束的几何不变体系。

现在从另一角度进行分析：左边的AD、AC、DF可视为三刚片，它们通过不在同一直线上的三个铰A、D、F相连，组成了一个几何不变体系；右边的CB、BE、GE可视为三刚片，它们通过不在同一直线上的三个铰G、E、B、相连，也组成了一个几何不变体系。左、右两部分用铰C和链杆册相连，组成了一个没有多余约束的几何不变体系，然后再与地球相连。

结论体系是几何不变的，且无多余约束。

例10—3试分析图10—16中体系的几何组成。

解图10—16中的杆AB可视为刚片工，杆BC可视为刚片II，地球为刚片III。三刚片通过铰A、B、C两两相连，但这三个铰在同一直线上，不符合三刚片规则。现在分析在这种情况下会出现的问题。

B点是杆AB及BC的公共点。对AB杆而言，B点可沿以AB为半径的圆弧线①运动；对嬲杆而言，B点可沿以BC为半径的圆弧线②运动。由于A、曰、C三点共线，两个圆弧在B点有公切线。所以，在图示的瞬时，B点可沿公切线做微小的运动，即体系在这一瞬时是几何可变的。但是，B点经过微小的位移后，A、B、C三点就不再共线，B点的位移不能再继续增大。这种本来是几何可变的体系，经过微小的位移后又成为几何不变的体系，叫做瞬变体系。瞬变体系不能作为结构使用，任何接近于瞬变体系的构造，在实际建筑结构中也不允许出现。图10—17中，A、B、C三铰虽不共线，但在e角很小时，链杆的轴力将很大；当日角趋近于零时，体系趋近瞬变状态，链杆的轴力将趋于无穷大。

结论体系是瞬变体系，不能作为结构使用。

例10-4试对图中的体系作几何组成分析。

解 曲杆AC、CB和直杆通过不在同一直线上的三个铰A、B、C两两相连，组成了几何不变体系且没有多余约束。体系的两端通过铰A、B与基础相连，显然多了一个约束。

分析：曲杆AC、CB和地基可视为三刚片，它们通过不在同一直线上的铰A、C相连，组成了几何不变体系，因此，链杆衄可视为多余约束。结论体系是几何不变的，且有一个多余约束。

建筑结构可分为平面结构和空间结构。如果组成结构的所有杆件的轴线菇在同一个平而Ⅱ为平面结构，否则，便是空间结构。严格说来，实际建筑结构 ‘多场合下，根据结构的组成特点及荷载的传递途径，在实际许可的进五磊主 内，把它们分解为若干个独立的平面结构，可简化计算。

从结构的几何组成角度看，结构又可分为静定结构和超静定结构。

《经济重心的南移》教案 篇2

[提出问题] 学生看“南方农业的发展”一目的内容,结合以下材料,从中找出南方农业发展的原因。

多媒体展示下列材料

材料一: 唐后期,安史之乱与藩镇割据混战使关中地区经济受到严重破坏。五代之际,黄河流域政权更迭,战乱不已。其后,北方历经靖康之难、宋金对峙、蒙古灭金,战乱不休。

材料二: 吴越王弘募民能垦荒田者,勿收其税,由是境内无弃田。……国人皆悦。

材料三: 宋代时南北气温普遍变冷,南方相对适宜农作物生长。加之在长期的经济发展过程中,北方环境遭到严重破坏,而南方受到的破坏较小,南方农业发展较快。

材料四:南方人口南迁图

问题:对以上四则材料进行分析归纳,说说南方经济发展的原因。

教师小结:从同学们的回答中我们可以归纳为三点原因:(幻灯片展示)1.北方战乱而南方相对安定。2.政府重视、扶持。3.北民南迁,带去了先进的生产技术和劳动力。4.南方自然条件优越。

活动二:

[创设情境,提出问题]下面请同学们看书,从课本上找出这一时期农业发展的表现。

学生回答过程中教师多媒体展示各种作物的图片

教师小结:从上面的回答中我们可以看到五代、宋时期南方经济发展在农业方面表现有三点:(用多媒体表示)

①水稻跃居粮食产量首位。②棉花种植扩展到长江流域。③茶树栽培有了很大发展。

活动三:

[创设情境,提出问题] 多媒体展示《耕获图》

[教师引导]同学们,请仔细观察这幅《耕获图》,想一想,图中的农民都进行了哪些劳作?

活动四:

[提出问题]教师多媒体展示:找一找南方手工业发展有哪些表现?liuxue86.com

(学生回答问题时,幻灯片展示相应的蜀锦、江浙丝绸、景德镇瓷器等加深学生的印象,使学生进一步感受这一时期我国手工业的发达。)

活动五:

请大家先认真阅读第三目内容,分小组找一找,南方商业的繁荣表现在哪些方面?

活动六:

幻灯片顺序出示唐都长安与北宋的东京图、清明上河图、货郎图、动态《清明上河图》、宋代海外贸易图、宋朝的纸币交子图等,分别从商业都市、海外贸易、交易工具等方面引导学生进一步领会宋朝商业的繁荣。

活动七:

建筑力学重心教案 篇3

1.会用力的图示和示意图来描述力

2.知道重力的大小和方向，理解生活中测量重力的方法

3.知道重心的概念及均匀物体重心的位置

4.会用简单器材探究不规则物体的重心位置

5.知道重心与稳度的关系

6.运用重力，重心解决实际问题

过程与方法

用简单器材探究不规则物体的重心位置

情感态度与价值观

体验各种力现象的奇妙保持对力现象的探索热情，体会重力在生活、生产中的应用。

高一学生的思维具有单一性，定势性，并从感性认识向理性认识的转变，由于力的概念比较抽象，在初中已经学习了力的示意图，进一步扩展重力与重心。本节的重点是力的图示，重力的三要素(大小、方向、作用点);重心与稳度;教学的难点是 重心与稳度。

说教法

物理教学重在启发思维，教会方法。学生对力的示意图和重力已有自己的认识，可以作为教学的起点。让学生在教师的指导下，学习力的图示的描述方法，并通过复习力的三要素来引导学生学习重力的三要素，并通过实验探究均匀、规则物体的重心位置，再进一步联系生活，理解重心与稳度;使学生全面的理解教材，把握重、难点;因此，本节课综合运用直观讲授法、实验探究法并结合多媒体手段。在教学中，加强师生双向活动，合理提问、评价，引导学生主动探索新知识。

说学法

学生是课堂教学的主体，现代教育以“学生为中心”，更加重视在教学过程中对学生的学法指导，引导学生主动探索新知识。本节课教学过程中，在初中的基础上，复习力的示意图和力的三要素，来引导学生学习力的图示和重力的三要素，再扩展到重心与稳度，强调学生学会画力的图示，引导学生积极探究不规则物体的重心。巧用提问、评价激活学生的积极性，调动起课堂气氛，让学生在在轻松、自主、讨论的学习环境下完成学习任务。

说教学过程

从以上分析，教学中掌握知识为中心，培养能力为方向;紧抓重点突破难点。设计如下教学程序：

1.导入新课：(大约需要5分钟的时间)

教师通过(静态和动态)图片展示奇特的力现象，唤起学生的好奇心和探究欲，通过几幅有关重力的图片来告诉学生今天研究的是最常见的力——重力。把学生的思维带入课堂。

2.新课教学：(大约需要35分钟的时间)

通过提问，复习初中时是怎样描述力的?(力的示意图);复习力的三要素(大小、方向、作用点)。让学生学习新的力的描述方法，引出什么是力的图示，怎样画力的图示?对于力的图示，学生常常容易出错，因此有必要让学生亲自动手画，而不是只记住它的画法。所以教师先举例(图4-6 力的图示)该怎样画。举例(某人用50 N水平向左的力推静止在水平地面上的箱子)并让学生动手画，叫两个学生到黑板上画，教师评价与分析 学生所画的力的图示，指出他们的错误，进一步指导学生学习力的图示的画法。让学生通过亲身体验，思考来获取新知识。

工程力学实验教案 篇4

李 颖

2005年3月

一、拉伸试验

一、实验目的

1、了解万能机的主要结构及其工作原理，熟悉操作规程和正确使用方法，并注意安全事项。

２、通过实验观察低碳钢、铸铁在拉伸和压缩过程中表现的各种变形规律和破坏现象。分析和比较不同材料的力学性能。

３、测定低碳钢拉伸时的屈服极限s、强度极限b、延伸率和截面的收缩率。二、试件

按GB228—76规定，本实验试件采用圆棒长试件。取d0=10,L=100,如图所示：

三、实验设备及仪器

1、液压式万能材料实验机；

2、游标卡尺；

3、划线机(铸铁试件不能使用)。

一、低碳钢的拉伸实验 实验原理及方法 1.屈服极限s的测定

实验时，在向试件连续均匀地加载过程中。当测力的指针出现摆动，自动绘图仪绘出的P—ΔL曲线有锯齿台阶时，说明材料屈服。记录指针摆动时的最小值为屈服载荷Ps,屈服极限ζs计算公式为

sPs/A0

P—ΔL曲线

2、屈服极限s的测定

实验时，试件承受的最大拉力Pb所对应的应力即为强度极限。试件断裂后指针所指示的载荷读数就是最大载荷Pb，强度极限b计算公式为：

bPb/A0

3、延伸率δ和断面收缩率Ψ的测定

计算公式分别为：

δ=(L1-L)/L x 100% Ψ=(A0-A1)/A0 x 100% L:标距（本实验L=100）

L1:拉断后的试件标距。将断口密合在一起，用卡尺直接量出。A0:试件原横截面积。

A1:断裂后颈缩处的横截面积，用卡尺直接量出。

（三）实验步骤

1.试件准备：量出试件直径 d0,用划线机划出标距L和量出L;2.按液压万能实验机操作规程1——8条进行；

3.加载实验，加载至试件断裂，记录 Ps 和Pb，并观察屈服现象和颈缩现象； 4.按操作规程10——14进行；

5.将断裂的试件对接在一起，用卡尺测量d1和L1，并记录。

二、扭转实验

一、试验目的

１、观察低碳钢和铸铁受扭过程中的变形现象；比较它们的破坏特征。

２、验证扭转虎克定律，测定剪切强度极限。

二、设备

１、扭转试验机。２、游标卡尺。３、试件。

三、实验原理及方法

1、验证扭转时的虎克定律.最大剪应力不超过材料的比例极限时,相对扭转角φ与扭矩T有如下关系.φ=TL0/GIp 式中L0、G、Ip皆为常值,T、Φ为变量;若有一扭矩T则对应一φ值,每增加同样大小的扭矩ΔT,扭转角的增量ΔΦ大致相等,这就验证了虎克定律.2、扭转破坏Tn—Φ曲线.低碳钢

铸铁

低碳钢和铸铁试件受扭直至破坏,它们的T—Φ曲线如图所示.低碳钢有直线段,有明显的屈服阶段,测力指针暂时不动或摆动,而扭转角Φ很快增加.最终破坏时,可看到低碳钢试件的扭转角非常大,沿横截面扭断,而铸铁试件的扭转角很小,沿45°~55°螺旋面扭断。

四、实验步骤

1、用特殊铅笔在低碳钢试件表面划出平行杆轴线的纵向线和左标距内两个截面的圆周线，使成为小矩形格子（已由实验室准备好）。

2、用游标卡尺在试件标距长度内量取直径（方法如拉伸实验）。

3、选择合适的度盘（施加扭矩后，禁止转动量程选择手钮）。

4、把试件先装于固定夹头内，并夹紧。然后移动加载机构，使试件插入主动夹头至适当位置夹紧。此时，主动指针应在零点上。

5、选定主动夹头的转速（一般试件屈服前用36/分，屈后0-360/分），将被动针转至与主动针重合。旋转主动夹头上的刻度环使零点与指针重合。选好扭转方向，打开记录器开关。

6、启动按扭。拧动多圈电位器，使主动夹头至所需转速。这时，可以看到扭转变形随扭矩而不断增加。按Mn加载，并同时测出相应的扭转角。

7、当变形继续增加时，而扭矩不再成正比增加时，标志材料已开始屈服，这时，塑性变形仅在外层发生，扭矩还可以增加。塑性变形将从圆周向中心逐渐扩展，直至截面上各点处的剪应力都一样，这时扭矩称极限扭矩用Mnjx表示，继续扭转试件已毋需增加外力偶矩，直至试件扭断。其剪切流动极限

a

8、铸铁试件

3Mnjx

4Wn先测出试件计算直径，然后把试件装于扭转机上，将主动夹头转速按纽放在0-36/分，加载直至破坏，记下破坏时的扭矩Mnb。其剪切强度极限。

b

Mnb Wn实验三 弯曲实验

一、实验目的

1、测定纯弯梁一个截面的应力大小及分布规律，以验证直梁弯曲时的正应力公式。

2、了解电测法，初步学会电阻应变仪的使用。

二、实验设备及仪器 1.液压万能实验机； 2.电阻应变仪，预调平衡箱；

三、实验用试件机装置

矩形截面梁试件，材料为A3钢，试件尺寸及实验装置简图简下图：

载荷通过副梁及两个磙子施加到试件上，应变片接线采用多点半桥式接法。R6为温度补偿片，五个工作片的粘贴位置为顶面1。底面

5、中性层3及距中性层h/4处的2、4。

四、实验原理：

1.纯弯曲梁衡截面上应力的测试及应力的分布规律 实验采用等载荷增量法。

当载荷P作用时利用应变仪可测出相应的应变度εds,根据胡克定律ζ实=Eεds，平均可求得个点正应力分布图，可看出纯弯曲梁正应力分规律。

利用理论公式计算正应力ζ理=M/l *Y.其中M=Pa/2,如果ζ理和ζ实的结果基本吻合。即说明理论公式是正确的。2．直梁弯曲时中点挠度测定 实验采用等载荷增量法，在载荷P的作用下从百分表上可直接读出梁中点C处的挠度Yc实，与理论公式Yc=Pa(3L*L-4a*a)/48Ei的计算结果比较，如果基本吻合则说明理论公式式正确的。

五、实验步骤

四、试验步骤

1、调节应变仪

（1）将后面板D1,D2,D3三点联接起来（已接好），旋紧接线柱。把标准电阻接到后面板A、B、C接线柱上，旋紧，半桥测量法，再将后面板上的平衡开关打在平衡位置，即可进行仪器的校准。注意：仪器校准时，后面板的接线板上不能联接任何电阻，否则会影响精度。

（2）开启电源开关。把前面板选择开关旋到“1”，这时指示表显示的数据是电桥不平衡的分量，调节前面板平衡电位器“1”，使指针表显示全为“0”，如果显示数是正的，平衡电位器逆时针方向旋转，显示数是负的，平衡电位器顺时针方向旋转。

（3）仪器的灵敏度调整：仪器平衡到“0”后，将标定开关按入，用幅调电位器调到5000，如果小于5000时，顺时针方向旋转幅调电位器，反之，逆时针旋转，调整好灵敏度，把标定开关按出。

（4）仪器的 K值调整：仪器时按K＝2设计的。当使用的应变片K值不为2时，必须在测试前标定。本室使用应变片K＝2.2，即用幅调电位器调节为4545。调好后，在实测中，所显示的数据不必再进行K值修正。

2、半桥测量接线。把标准电阻从仪器的A、B、C接线柱拆下来，把主梁各点的应变片依次接到应变仪后面板10点接线板上去，AB接一片测量片，BC接一片温度补偿片。调整应变片所接点的对应平衡电位器，使其平衡。

3、在原始记录上记下所测主梁的截面尺寸（数据已经在梁上标好）。调动实验台蝶形螺母，使杠杆尾端稍翘起。

4、分四次加载。每次加一只砝码（加砝码时要求一手扶砝码托，一手缓慢放砝码，使其不致摆动）。

5、记录荷载P0=200N。记下应变仪显示器的应变量读数C0。以后每增加200N，记一次应变值，并算出读数差C，直到800N为止。

初中物理力学教案 篇5

信息技术引入课堂教学后，将使物理教学过程产生深刻变化。如何适应变化，主动探索，掌握构建新型教学模式的思路与方法，改革教学，从根本上提高教学质量是信息化教学中亟待研究的课题。在传统教学中，教师主导作用的发挥忽视了学生主体作用的体现，而国外的建构主义只强调以学生为中心，往往忽视教师的作用。以现代教育技术、行为主义学习理论认知主义学习理论、建构主义理论、系统科学的基本理论为指导，在教育改革和实践中，就如何实现信息技术与物理学科教学整合的教学模式作了初步的实践研究。

二十世纪以来以互联网和多媒体技术为代表的信息技术渗透到了生活的各个方面，信息、知识成为社会中的基本资源，信息的筛取、分析、加工、利用的能力与传统的听说读写算等方面的知识技能一起成为了信息社会中每个公民必须具备的基本素质。这些能力是信息社会对新型人才培养的最基本的要求。因此，在课程内容和教学过程引进信息技术，以培养符合 21 世纪社会发展需要的人才，是大势所趋，势在必行。这种必然性导致人们提出了要求信息技术与学科课程有机整合的焦急呼唤，信息技术与物理课程的整合是其中之一。可以说信息技术为基础教育的跨越式发展带来了机遇，多媒体、超媒体技术为教学内容的呈现方式带来了新的可能；信息技术应用与教学方式的结合赋予教学方式和学习方式新的特征；师生互动方式范围更为广泛、方式更多样；信息技术特有的不可替代的优势，为学生提供了新型而富有个性的学习工具，为学生创造了更加开放和平等的教育环境。

信息技术与物理学科教学的整合,是将信息技术既作为意识,又作为内容、方法和手段,融于物理学科教学之中的理论、实践与结果。在所有的学科教学过程中,都要自觉地将师生信息意识的树立融进去。根据不同学科的特点,将信息技术作为学科的教学内容恰当地融进去，将信息技术作为教师教学的方法和手段,又作为学生学习的方法和手段融于所有学科教学之中。

信息技术与物理学科教学整合的目标就是要以计算机和网络技术为核心,充分发挥信息技术的特点与优势,使之融入到物理学科教学中,以交互式的方式给教师和学生创造进行研究式教学、主动学习、协作学习、研究性学习的环境,从而使教师由传统教学中的中心地位、知识权威变成学习的设计者、指导者和学习伙伴;学生由原来接受知识的被动者,转变为学习的主体,教学活动的参与者和知识的建构者,使学生具有获取信息、传输信息、处理信息和应用信息技术手段的能力,从而形成良好的文化素养,促进学生整体素质的提高。

材料力学教案绪论 篇6

第 1 次课学时

授课日期：授课班级： 授课教师：王晋鹏批准人： 章节名称

1.1 材料力学的任务

1.2 变性固体的基本假设

1.3 外力及其分类

1.4 内力、截面法和应力的概念

1.5 变形与应变

1.6 杆件变形的基本形式

授课形式

理论课□√案例讨论课□实验课□习题课□其他□

本次授课目的与要求

1.了解材料力学的任务和基本假设； 2.了解外力的分类；

3.掌握内力的概念及用截面法进行内力的计算； 4．熟悉应力、应变的概念 5．熟悉杆件变形的基本形式

本次教学重点与难点

重点：用截面法进行内力的计算

难点：材料力学的任务和基本假设及应力、应变的概念

教学内容提要及时间分配

时间分配

教学方法与手段设计

1.材料力学的任务 2.变形固体的基本假设 3.外力的分类

4.内力、应力的概念以及用截面法进行内力的计算 5.变形与形变的概念 6.杆件变形的基本形式 7.小结 8.布置作业

10分钟 10分钟 20分钟 20分钟 15分钟 15分钟 5分钟 5分钟

启发式教学 理论联系实际 加强互动性

课堂导入提问、预习要求及作业布置 1.什么是力？都可以怎么分类？

2.材料力学和理论力学的研究内容有什么不同？ 预习内容：2.1 轴向拉伸与压缩的概念和实例 2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力

2.3 直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力 课后作业：

课后小结

1．材料力学的任务：在保证满足强度、刚度和稳定性要求(安全、实用)的前提下，以最经济的代价，为构件选择适宜的材料，确定合理的形状和尺寸，并提供必要的理论基础和计算方法。

2．变形固体静力学的基本假设：连续、均匀假设和各项同性假设。3．应力、应变的概念及关系。

4．杆件变形的基本形式：拉压、剪切、扭转和弯曲

教学内容

课堂组织

第一章绪论

1.1 材料力学的任务

1、力的概念：力是物体相互之间的一种机械作用。这种相互作用的效果有：

一是使物体的运动状态发生变化（外效应）。二是使物体产生变形（内效应）。

2、力的分类：

按外力的作用方式可分为表面力和体积力。表面力是作用于构件表面的力，又可分为分布力和集中力。分布力是连续作用于构件表面的力，如作用于船体上的水压力。有些分布力是沿杆件的轴线作用的，如楼板对屋梁的作用力。如果分布力的作用面积远小于构件的表面面积，或沿杆件轴线的分布范围远小于杆件长度，则可将分布力简化为作用于一点的力，称为集中力，如列车车轮对钢轨的压力。体积力是连续分布于构件内部各质点上的力，如重力和惯性力等。

按载荷随时间变化的情况可分为静载荷与动载荷。随时间变化极缓慢或不变化的载荷，称为静载荷。其特征是在加载过程中，构件不产生加速度或产生的加速度极小，可以忽略不计。随时间显著变化或使构件各质点产生明显加速度的载荷，称为动载荷。

布力是沿杆件的轴线作用的，如楼板对屋梁的作用力。如果分布力的作用面积远小于构件

3、材料力学的任务：

机械与工程结构通常是由若干个零部件构成的，我们把构成它们的每一个组成部分统称为构件。如机械的轴，房屋的梁、柱子等。在机械或工程结构工作时，有关构件将受到力的作用，因而会产生几何形状和尺寸的改变，称为变形。若这种变形在外力撤除后能完全消除，则称之为弹性变形；若这种变形在外力撤除后不能消除，则称之为塑性变形(或永久变形)。为了保证机械或工程结构能正常工作，则要求每一个构件都具有足够的承受载荷的能力，简称承载能力。构件的承载能力通常由以下3个方面来衡量：

(1)强度：构件抵抗破坏(断裂或产生显著塑性变形)的能力称为强度。构件具有足够的强度是保证其正常工作最基本的要求。例如，构件工作时发生意外断裂或产生显著塑性变形是不容许的。

(2)刚度：构件抵抗弹性变形的能力称为刚度。为了保证构件在载荷作用下所产生的变形不超过许可的限度，必须要求构件具有足够的刚度。例如，如果机床主轴或床身的变形过大，将影响加工精度；齿轮轴的变形过大，将影响齿与齿间的正常啮合等。

(3)稳定性：构件保持原有平衡形式的能力称为稳定性。在一定外力作用下，构件突然发生不能保持其原有平衡形式的现象，称为失稳。构件工作时产生失稳一般也是不容许的。例如，桥梁结构的受压杆件失稳将可能导致桥梁结构的整体或局部塌毁。因此，构件必须具有足够的稳定性。

构件的设计，必须符合安全、实用和经济的原则。材料力学的任务是：在保证满足强度、刚度和稳定性要求(安全、实用)的前提下，以最经济的代价，为构件选择适宜的材料，确定合理的形状和尺寸，并提供必要的理论基础和计算方法。1.2 变形固体的基本假设

为了简化性质复杂的变形固体，通常作出如下基本假设：

(1)续性假设：即认为材料无间隙地分布于物体所占的整个空间中。根据这一假设，物体内因受力和变形而产生的内力和位移都将是连续的，因而可以表示为各点坐标的连续函数，从而有利于建立相应的数学模型。

(2)均匀性假设：即认为物体内各点处的力学性能都是一样的，不随点的位置而变化。按此假设，从构件内部任何部位所切取的微元体，都具有与构件完全相同的力学性能。同样，通过试样所测得的材料性能，也可用于构件内的任何部位。应该指出，对于实际材料，其基本组成部分的力学性能往往存在不同程度的差异，但是，由于构件的尺寸远大于其基本组成部分的尺寸，按照统计学观点，仍可将材料看成是均匀的。

(3)各向同性假设：即认为材料沿各个方向上的力学性能都是相同的。我们把具有这种属性的材料称为各向同性材料，如低碳钢、铸铁等。在各个方向上具有不同力学性能的材料则称为各向异性材料，如由增强纤维(碳纤维、玻璃纤维等)与基体材料(环氧树脂、陶瓷等)制成的复合材料。本书仅研究各向同性材料的构件。按此假设，我们在计算中就不用考虑材料力学性能的方向性，而可沿任意方位从构件中截取一部分作为研究对象。1.4 内力、截面法和应力的概念

构件在未受外力作用时，其内部各质点之间即存在着相互的力作用，正是由于这种“固有的内力”作用，才能使构件保持一定的形状。当构件受到外力作用而变形时，其内部各质点的相对位置发生了改变，同时内力也发生了变化，这种引起内部质点产生相对位移的内力，即由于外力作用使构件产生变形时所引起的“附加内力”，就是材料力学所研究的内力。当外力增加，使内力超过某一限度时，构件就会破坏，因而内力是研究构件强度问题的基础。为了显示和确定构件的内力，可假象地用一平面将构件截分为A、B 两部分(下图)，任取其中一部分为研究对象(例如A 部分)，并将另一部分(例如B部分)对该部分的作用以截开面上的内力代替。由于整个构件处于平衡状态，其任一部分也必然处于平衡状态，故只需考虑A 部分的平衡，根据理论力学的静力平衡条件，即可由已知的外力求得截面上各个内力分量的大小和方向。同样，也可取B 部分作为研究对象，并求得其内力分量。显然，B 部分在截开面上的内力与A部分在截开面上的内力是作用力与反作用力，它们是等值反向的。

上述这种假想地用一平面将构件截分为两部分，任取其中一部分为研究对象，根据静力平衡条件求得截面上内力的方法，称为截面法。其全部过程可以归纳为如下3 个步骤：

(1)在需求内力的截面处，假想地用一平面将构件截分为两部分，任取其中一部分为研究对象。

(2)在选取的研究对象上，除保留作用于该部分上的外力外，还要加上弃去部分对该部分的作用力，即截开面上的内力。

(3)由理论力学的静力平衡条件，求出该截面上的内力。

必须指出，在计算构件内力时，用假想的平面把构件截开之前，不能随意应用力或力偶的可移性原理，也不能随意应用静力等效原理．这是由于外力移动之后，内力及变形也会随之发生变化。一般情况下，内力在截面上并不是均匀分布的。为了描述内力系在截面上各点处分布的强弱程度，我们需引入内力集度(分布内力集中的程度)即应力的概念。

如下图所示，在受力构件截面上任一点K 的周围取一微小面积Δ A，并设作用于该面积上的内力为Δ F，则Δ A上分布内力的平均集度为：

Pm称为Δ A上的平均应力。由于截面上的内力一般并非均匀分布，因而平均应力pm 之值及其方向将随所取Δ A的大小而异。为了更准确地描述点K的内力分布情况，应使Δ A趋 于零，由此所得平均应力m p 的极限值，称为点K处的总应力(或称全应力)，并用p 表示，即

1.5 变形与应变

在外力作用下，构件内各点的应力一般是不同的，同样，构件内各点的变形程度也不相同。为了研究构件的变形，可设想将构件分割成许多微小的正六面体(当六面体的边长趋于无限小时称为单元体)，构件的变形可以看作是这些单元体变形累积的结果。而单元体的变形只表现为边长的改变与直角的改变两种。为了度量单元体的变形程度，人们定义了线应变与切应变两个物理量。

线应变是指单元体棱边长度的相对变化量，通常用ε表示。切应变是指单元体两条互相垂直的棱边所夹直角的改变量，也称为剪应变或角应变，用γ表示。1.6 杆件变形的基本形式

工程实际中的构件是各种各样的，但按其几何特征大致可以简化为杆、板、壳和块体等。本书所研究的只是其中的杆件。所谓杆件是指其长度远大于其横向尺寸的构件。杆件在不同的外力作用下，其产生的变形形式各不相同，但通常可以归结为以下四种基本变形形式以及它们的组合变形形式。1.轴向拉伸或压缩

杆件受到与杆轴线重合的外力作用时，杆件的长度发生伸长或缩短，这种变形形式称为轴向拉伸或压缩。2.剪切

在垂直于杆件轴线方向受到一对大小相等、方向相反、作用线相距很近的力作用时，杆件横截面将沿外力作用方向发生错动(或错动趋势)，这种变形形式称为剪切。机械中常用的连接件，如键、销钉、螺栓等都产生剪切变形。3.扭转

在一对大小相等、转向相反、作用面垂直于直杆轴线的外力偶作用下，直杆的任意两个横截面将发生绕杆件轴线的相对转动，这种变形形式称为扭转。工程中常将发生扭转变形的杆件称为轴。如汽车的传动轴、电动机的主轴等的主要变形，都包含扭转变形在内。4.弯曲

量子力学导论 第十章 教案 篇7

第10章

定态问题的常用近似方法 §10.0 引言

§10.1 非简并定态微扰理论 §10.2 简并微扰理论 §10.3 变分法

§10.0

引

言

（一）近似方法的重要性

前几章介绍了量子力学的基本理论，使用这些理论解决了一些简单问题。如：（1）一维无限深势阱问题；（2）线性谐振子问题；

（3）势垒贯穿问题；

（4）氢原子问题。

这些问题都给出了问题的精确解析解。

然而，对于大量的实际物理问题，Schrodinger 方程能有精确解的情况很少。通常体系的 Hamilton量是比较复杂的，往往不能精确求解。因此，在处理复杂的实际问题时，量子力学求问题近似解的方法（简称近似方法）就显得特别重要。

（二）近似方法的出发点

近似方法通常是从简单问题的精确解出发，来求较复杂问题的近似解。

（三）近似解问题分为两类

（1）体系 Hamilton 量不是时间的显函数——定态问题 1.定态微扰论；

2.变分法。

（2）体系 Hamilton 量显含时间——状态之间的跃迁问题 1.与时间 t 有关的微扰理论；

2.常微扰。§10.1 非简并定态微扰理论

（一）微扰体系方程

（二）态矢和能量的一级修正

（三）能量的二阶修正

（四）微扰理论适用条件

（五）讨论

（六）实例 量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

（一）微扰体系方程

微扰法不是量子力学所特有的方法，在处理天体运行的天体物理学中，计算行星运行轨道时，就是使用微扰方法。计算中需要考虑其他行星影响的二级效应。

例如，地球受万有引力作用绕太阳转动，可是由于其它行星的影响，其轨道需要予以修正。在这种情况下，计算所使用的方法是：首先把太阳和地球作为二体系统，求出其轨道，然后研究这个轨道受其它行星的影响而发生的变化。

可精确求解的体系叫做未微扰体系，待求解的体系叫做微扰体系。假设体系 Hamilton 量不显含时间，而且可分为两部分：

ˆHˆHˆ H0ˆ0所描写的体系是可以精确求解的，其本征值E(0)，本征矢|(0)满足如下本征方Hnn程：

ˆ0|(0)E(0)|(0) Hnnnˆ是很小的（很小的物理意义将在下面讨论）可以看作加于Hˆ0上的微小扰另一部分H动。现在的问题是如何求解微扰后 Hamilton 量H的本征值和本征矢，即如何求解整个体系的 Schrodinger 方程：

ˆ|E| Hnnn(0)(0)当H0时，|n|n ； , EnEn(0)(0)当H0时，引入微扰，使体系能级发生移动，由En状态由|n En，|n。为了明显表示出微扰的微小程度，将其写为：

ˆW H其中λ是很小的实数，表征微扰程度的参量。

为明确起见，我们干脆将量子数n对应的能级和波函数分别写为En、|n，请注意与教材中对应

因为En、|n都与微扰有关，可以把它们看成是λ的函数而将其展开成λ的幂级数：

(0)(1)(2)EnEnEn2En|n|

(0)n|2

(1)n|2(2)n 量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

(0)(1)(2)其中En，En，2En，…分别是能量的0 级近似，能量的一级修正和二级修正等；(0)(1)(2)而||n，|n，2|n，…分别是状态矢量 0 级近似，一级修正和二级修正等。

代入Schrodinger方程得：

ˆW)(|(0)|(1)2|(2))(H0nnn(E乘开得：(0)nE(1)nE2(2)n)(|(0)n|(1)n|2(2)n)

(0)(0)ˆ|(0)00HEn|n0n1(1)(0)(0)(1)(1)(0)ˆH0|nW|n1En|nEn|n2ˆ2(2)(1)(0)(2)(1)(1)(2)(0)H0|nW|nEn|nEn|nEn|n

33根据等式两边λ同幂次的系数应该相等，可得到如下一系列方程式: ˆ|(0)E(0)|(0) 0:H0nnnˆ|(1)W|(0)E(0)|(1)E(1)|(0) 1:H0nnnnnnˆ|(2)W|(1)E(0)|(2)E(1)|(1)E(2)|(0) 2:H0nnnnnnnn整理后得：

ˆE(0)]|(0)0[H0nnˆE(0)]|ψ(1)[WE(1)]|ψ(0)[H0nnnn (0)(2)(1)(1)(2)(0)ˆE]|[WE]|E|[H0nnnnnn(1)(2)上面的第一式就是H0的本征方程，第二、三式分别是|n和|n|所满足的方程，由此可解得能量和态矢的第一、二级修正。

（二）态矢和能量的一级修正

(0)现在我们借助于未微扰体系的态矢||n和本征能量En来导出扰动后的态矢

(0)|n和能量En的表达式。

(1)(1)能量一级修正En

量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

(0)根据力学量本征矢的完备性假定，H0的本征矢|n是完备的，任何态矢量都可按(1)其展开，|n 也不例外。因此我们可以将态矢的一级修正展开为：

|ψ(1)n|ψk1(0)kψ|ψ(0)k(1)n(1)(0)akn|ψk

k1(1)(0)(1)其中aknψk|ψn。

是一组完备基矢。|k(0)（k1,2,,）代回前面的第二式并计及第一式得：

ˆE(0)]a(1)|(0)[WE(1)]|(0) [H0nknknnk1或写成

ak1(1)kn(0)(1)(0)[Ek(0)En]|k(0)[WEn]|n

(0)左乘n|, 有

k1(1)(0)(0)(0)(0)(0)(1)(0)(0)akn[Ek(0)En]m|km|W|nEnm|n

考虑到本征基矢的正交归一性：

ak1(1)kn(0)(1)[Ek(0)En]mkWmnEnmn

(1)(0)(0)(1)amn[EmEn]WmnEnmn

考虑两种情况 1.mn

(1)(0)(0)EnWnnn|W|n

2.mn

a(1)mn(0)(0)Wmnm|W|n (0)(0)(0)(0)EnEmEnEm可以给出波函数的展开系数 准确到一阶微扰的体系能量：

量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

(0)(1)EnEnEn(0)(0)(0)Enn|W|n(0)(0)(0)Enn|W|n

ˆ|(0)E(0)(0)|Hnnn(0)ˆEnHnnˆ(0)|Hˆ|(0) 其中Hnnnn即能量的一级修正等于微扰 Hamilton 量在 0 级态矢中的平均值

(1)（2）态矢的一级修正|n

令|(1)n(1)akn|k(0)

k1为了求出体系态矢的一级修正，我们先利用扰动态矢|n的归一化条件证明上式展开(1)系数中ann0（可以取为0）

证：

基于|n的归一化条件并考虑上面的展开式

1n|n(0)(1)(0)(1)[n|n|][|n|n](0)(0)(0)(1)(1)(0)(1)(1)n|nn|nn|n2n|n(1)(0)(1)(0)1[aknn|k(0)akn*k(0)|n]2k1(1)(1)1[aknnkakn*kn]2k1(1)(1)1[annann*]

各级波函数都可以是归一的。由于归一，所以

(1)(1)[annann*]0

(1)(1)(1)0，[annann*]0Re[ann]0

(1)(1)(1)的实部为0。ann是一个纯虚数，故可令annanni（为实）。

量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

(0)(1)|n|nakn|k(0)k1(0)(1)(0)(1)|nann|nakn|k(0)kn(0)(0)(1)|ni|nakn|k(0)kn

(0)(1)(1i)|nakn|k(0)kn(0)(1)ei|nakn|k(0)kn(0)(1)(0)ei|a|knknkn最后两步用到公式eiλ1iλ。

（三）能量的二阶修正

(0)对|nei(|nakn(1)kn(0)|k)

(1)(0)上式结果表明，展开式中，ann|n项的存在只不过是使整个态矢量|n增加了(1)一个相因子，这是无关紧要的。所以我们可取 = 0，即ann0。这样一来，(1)akn|k(0)kn(0)k(0)|W|n(0)|k(0)(0)EEknnk|n||(0)n(0)n(0)k(0)|W|n(0)||k(0)(0)EEknnkˆ|(0)(0)k(0)|H(0)n|n|k(0)(0)EnEkknHkn(0)|n(0)|k(0)(0)knEnEk(0)n(2)与求态矢的一阶修正一样，将|n按|n 展开：

(0)|(2)n|k1(0)k(0)k|(2)n(2)akn|k(0)

k1(1)与|n展开式一起代入关于 的第三式 6 量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

ˆE(0)]a(2)|(0)[WE(1)]a(1)|(0)E(2)|(0) [H0nknknknknnk1k1[Ek1(0)kE]a(0)n(2)kn|(0)k(1)(0)(2)(0)[WE]akn|kEn|n

(1)nk1(0)左乘态矢m|得

[Ek1(0)kE]a(0)n(2)kn(0)m|(0)k(1)(0)aknm|W|k(0)k1

(1)(1)(0)(2)(0)(0)Enm|k(0)Enm|naknk1利用正交归一性，有

[Ek1(0)kE(0)n]a(2)knmkδak1(0)n(2)mn(1)knψ|W|ψ(0)m(0)kE(1)nak1(1)knmkδ(2)Enδmn

[E1.当mn时

(0)mE]a(1)(1)(1)(2)aknWmkEnamnEnmn

k1(1)(1)(1)(2)0aknWmkEnamnEnk1E(2)naWnkWnna(1)knk1(1)nnaWnk(1)knknWknWnk(0)(0)knEnEk*WknWkn|Wkn|2(0)(0)(0)(0)knEnEkknEnEk(1)

利用了aknWkn。(0)EnEk(0)在推导中使用了微扰矩阵的厄密性

*(0)(0)(0)Wknk(0)|W|n*n|W|k(0)n|W|k(0)Wnk2.当mn时

[E(0)mE]a(0)n(2)mn(1)(1)(1)aknWmkEnamn

k1 7 量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

(1)(1)aknWmkWnnamn(0)(0)(0)(0)EEEnEmk1nma(2)mnkn(0)[EnWknWmkWnnWmn(0)(0)(0)(0)2Em][EnEk(0)][EnEm]

可以给出波函数的展开系数。能量的二级修正

E2(2)n(0)|Wkn|2|k(0)|W|n|2(0)(0)(0)(0)EEEEknknnknk

(0)(0)22ˆ||k|H|n||Hkn(0)(0)(0)EnEk(0)knknEnEk2在计及二阶修正后，扰动体系能量本征值由下式给出：

EnE(0)nEE(1)n2(2)nE(0)n|2|Hkn(0)Hnn(0)knEnEk

（四）微扰理论适用条件

总结上述，在非简并情况下，受扰动体系的能量和态矢量分别由下式给出：

|2|Hkn(0)EnEHnn(0)knEnEk

H(0)|n|n(0)kn(0)|k(0)knEnEk(0)n欲使二式有意义，则要求二级数收敛。由于不知道级数的一般项，无法判断级数的收敛性，我们只能要求级数已知项中，后项远小于前项。由此我们得到微扰理论适用条件是：

Hkn(0)(0)，EE1nk(0)(0)EnEk这就是本节开始时提到的关于H很小的明确表示式。当这一条件被满足时，由上式计算得到的一级修正通常可给出相当精确的结果。

上述微扰适用条件表明：

|k|H|n（1）Hkn(0)(0)(0)(0)要小，即微扰矩阵元要小；

（2）EnEk 要大，即能级间距要宽。

例如：在库仑场中，体系能量（能级）与量子数n成反比，即

2En

Z2e422n28，n1,2,3,... 量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

由上式可见，当n大时，能级间距变小，因此微扰理论不适用于计算高能级（n大）的修正，而只适用于计算低能级（n小）的修正。

（五）讨论

（1）在一阶近似下：

|n|(0)nknHkn(0)| k(0)(0)EnEk(0)表明扰动态矢|n可以看成是未扰动态矢|k的线性叠加。

（2）展开系数

Hkn(0)表明第k个未扰动态矢|对第n个扰动态矢|n的贡k(0)(0)EnEk(0)献有多大。展开系数反比于扰动前状态间的能量间隔，所以能量最接近的态|k混合的也越强。因此态矢一阶修正无须计算无限多项。

(0)(0)（3）由EnEn加上微扰Hnn可知，扰动后体系能量是由扰动前第n态能量En(0)Hamilton量H在未微扰态|n中的平均值组成。该值可能是正或负，引起原来能级上移或下移。

（4）对满足适用条件

Hkn(0)Ek(0)1，En(0)(0)EnEk0 就需要微扰的问题，通常只求一阶微扰其精度就足够了。如果一级能量修正Hnn求二级修正，态矢求到一级修正即可。

（5）在推导微扰理论的过程中，我们引入了小量λ，令：HW只是为了便于将扰动后的定态Schrodinger方程能够按λ的幂次分出各阶修正态矢所满足的方程，仅此而已。一旦得到了各阶方程后，λ就可不用再明显写出，把W理解为H即可，因此在以后讨论中，就不再明确写出这一小量。

（六）实例

例1.一电荷为 e 的线性谐振子，受恒定弱电场ε作用。电场沿 x 正向，用微扰法求体系的定态能量和波函数。

解：（1）电谐振子Hamilton 量

量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

2d21ˆH22x2ex 22dx将 Hamilton 量分成H0H两部分，在弱电场下，上式最后一项很小，可看成微扰。

ˆ2d212μω2x2H022μdx Hˆexε(0)（2）写出 H0 的本征值和本征函数E(0), n

(0)nNne2x2/2Hn(x)

，Nn n2n!(0)，n0,1,2, En(n12)(1)（3）计算En

E(1)nHnn(0)*n(0)(0)*(0)ˆHndxenxndx0

上式积分等于 0，是因为被积函数为奇函数所致。（4）计算能量二级修正

矩阵元。欲计算能量二级修正，首先应计算HknHkn(0)*k(0)(0)*(0)ˆHndxekxndx

利用线性谐振子本征函数的递推公式：

xn1[nn1n1n1] 22eHkn(0)n1(0)]dxk(0)*1[nn122n1(0)*(0)(0)n1e[kn1dxk(0)*n1n1dx] 22e[nk,n1n1k,n1]22将上式代入能量二级修正公式，得

量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

E(2)nkn|2|Hkn(0)EnEk(0)

|e[nk,n1n1k.n1]|222(0)(0)knEnEk11n1(e)2n(0)(0)(0)(0)2EnEn2EE1nn1对谐振子有；

(0)(0)(0)(0)EnEn1, EnEn1

(2)En(e)2[n1n11](e)21222(2)22e22由此式可知,能级移动与n无关,即与扰动前振子的状态无关.(1)nknHkn(0)k(0)(0)EnEkkne[nk,n1n1k,n1]22(0)k(0)EnEk(0)

n11(0)(0)en1n1n1(0)(0)(0)(0)2En2EnEE1nn11(0)1(0)enn1n1n221e123(0)(0)n1nn1n1(5)讨论-----电谐振子的精确解

实际上这个问题是可以精确求解的，只要我们将体系Hamilton量作以下整理：

22d22ˆH12xex22dx2d21ee2e2222[x2x()]22222dx22d12[xe]2e2dx222222222

2d2e2ε2221μωx222μdx2μω2 11 量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

其中xxeε，可见，体系仍是一个线性谐振子。它的每一个能级都比无电场时2μωeεe2ε2的线性谐振子的相应能级低，而平衡点向右移动了距离。22μω2μω由于势场不再具有空间反射对称性，所以波函数没有确定的宇称。这一点可以从下式扰

(0)(0)(0)动后的波函数n已变成n,n1,n1的叠加看出。

(0)(0)1[n1nn1n1] 32(0)(1)(0)nnnne01c0 例2.设Hamilton量的矩阵形式为：Hc300c2（1）设c<<1，应用微扰论求H本征值到二级近似；（2）求H 的精确本征值；

（3）在怎样条件下，上面二结果一致。解：

（1）c<<1，可取0级和微扰Hamilton量分别为：

1000c0H0030，Hc00

00200cH0是对角矩阵，是Hamilton H0在自身表象中的形式。所以能量的 0 级近似为：

(0)(0)E1(0)1，E23，E32

由非简并微扰公式

(1)EnHnn|2 (2)|HknEnE(0)E(0)knnk得能量一级修正：

0E1(1)H11(1)0 E2H22(1)cE3H33能量二级修正为： 量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

E(2)11|2|2|2|Hk|H31|H211c2 (0)(0)(0)2Ek(0)E1(0)E2E1(0)E3knE1kn(2)3E(2)22|2|2|2|Hk|H32|H121c2 (0)(0)(0)(0)2E2Ek(0)E2E1(0)E2E3E3|2|2|2|Hk|H13|H23(0)(0)(0)0(0)(0)(0)EEEEEEkn3k3132准确到二级近似的能量本征值为：

E11c21212E232c E32c(2)精确解：

设 H 的本征值是 E，由久期方程可解得：

1Ec0c03E00 0c2E(c2E)(E24E3c2)0

解得：

E21c212E221c E2c3(3)将准确解按 c(<<1)展开：

E21c211c21c428121214E221c32c8c E2c3比较（1）和（2）之解

量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

E11c2E21c2121212E232c，E221c E2c3E32c可知，微扰论二级近似结果与精确解展开式不计c及以后高阶项的结果相同 §10.2 简并微扰理论

（一）简并微扰理论

（二）实例

（三）讨论

（一）简并微扰理论

(0)(0)假设En是简并的，那末属于H0的本征值En有k个归一化本征函数:

4|n1，|n2，……，|nk n|n

(0)为描述方便，我们将量子数n对应的能级和k重简并波函数分别写为En、|n，请注意与教材中的|n对应

显然它们满足本征方程：

ˆE(0)]|n0，1,2,3,,k [H0n共轭方程

ˆE(0)]0，1,2,3,,k n|[H0n在用微扰论求解问题时，需要知道0级近似波函数，但我们不知道在k个本征函数中究竟应取哪一个作为波函数的0级近似。所以在简并情况下，首先要解决如何选0级近似波函数的问题，然后才是求能量和波函数的各级修正。

0级近似波函数肯定应从这k个|n中挑选，而它应满足上节按幂次分类得到的方程：

ˆ(0)E(0)]|(1)[HˆE(1)]|(0) [Hnnnn 量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

(0)根据这个条件，我们选取0级近似波函数|n的最好方法是将其表示成k个|n的线性组合，因为反正0级近似波函数要在|n(1,2,3,,k)中挑选。

(0)n|c|n

1k(0)|n已是正交归一化，系数c由 一次幂方程定出

ˆ(0)E(0)]|(1)[HˆE(1)]c|n[Hnnn1(1)ˆ|nEnc|ncHkkk

11左乘n|得：

ˆ(0)E(0)]|(1)E(1)cn|ncn|Hˆ|nn|[Hnnn1kkk1Ek(1)n1ccH1k

(1)]c[EnH1ˆ(0)E(0)]0）（由n|[Hnˆ|n。n|H其中H得：1k(1)En[H]c0。

上式是以展开系数c为未知数的齐次线性方程组,它有不含为零解的条件是系数行列式为零，即

(1)EnH11H21H12(1)EnH222Hk1Hk(1)EnHkk(1)0

(1)解此久期方程可得能量的一级修正En的k个根：En（=1,2,...,k），因为(0)(1)(1)所以若这k个根都不相等,则一级微扰就可以将k度简并完全消除；若EnEnEnEn有几个重根,则表明简并只是部分消除,须进一步考虑二级修正才可使能级完全分裂开来。

量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

(1)为了确定能量En所对应的0级近似波函数，可以把En之值代入线性方程组从而解得一组c(=1,2,...,k)系数，将该组系数代回展开式就能够得到相应的 0 级近似波函数。

(1)为了能表示出c 是对应与第个能量一级修正En我们在其上加上角标的一组系数，而改写成c。这样一来，线性方程组就改写成：

1k(1)En[H]c0，1,2,,k

(1)则对应En修正的0级近似波函数改写为：

k|

（二）实例

例1.氢原子一级 Stark 效应（1）Stark 效应

(0)nc|n

1氢原子在外电场作用下产生谱线分裂现象称为 Stark 效应。

我们知道电子在氢原子中受到球对称库仑场作用，造成第n 个能级有n度简并。但是当加入外电场后，由于势场对称性受到破坏，能级发生分裂，简并部分被消除。Stark 效应可以用简并情况下的微扰理论予以解释。

（2）外电场下氢原子 Hamilton 量

2ˆHˆHˆ H0ˆ22e2H02r Hˆerezercos取外电场沿 z 正向。通常外电场强度比原子内部电场强度小得多，例如,强电场≈107 伏/米，而原子内部电场≈1011伏/米，二者相差 4个量级。所以我们可以把外电场的影响作为微扰处理。

（3）H0 的本征值和本征函数

e4n1,2,3,En22 2n(rnlm)Rnl(r)Ylm(,)量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

下面我们只讨论 n=2 的情况，这时简并度 n2=4。

2e2，a0 En22e88a0e4属于该能级的4个简并态是：

1200R20Y00412(a1)3/2(2ar)er/2a0000002210R21Y10412(a1)3/2(ar)er/2acos3211R21Y1181()13/2ra0a00()e0r/2a0sine0i

4211R21Y1181(a1)3/2(ar)er/2asinei其中，|2，1,2,3,4。即

1|21ψ2001|21ψ200（4）求H在各态中的矩阵元

1|21ψ2004|24ψ211

由简并微扰理论知,求解久期方程,须先计算出微扰Hamilton量H’在以上各态的矩阵元。

ˆ|eR|r|RY|cos|Y1|HH12220210010ˆ|eR|r|RY|cos|Y 2|HH21121201000我们碰到角积分Ylm|cos|Ylm需要利用如下公式：

22(l1)2m2lm cosYlmYY(2l1)(2l3)l1,m(2l1)(2l1)l1,m于是

Ylm22(l1)2m2lm|cos|YlmYlm|Yl1,mYlm|Yl1,m(2l1)(2l3)(2l1)(2l1)22(l1)2m2lm(2l1)(2l3)ll1mm(2l1)(2l1)ll1mm欲使上式不为 0，由球谐函数正交归一性要求量子数必须满足如下条件：

ll1lll1ll1 mmm0mm 17 量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

，H21不等仅当l1，m0时，H的矩阵元才不为0。因此矩阵元中只有H12于0。

因为Y10|cos|Y00所以

3H21eR20|r|R21H123e(1)3/2(2r)er/2a0r1(1)3/2(r)er/2a0r2dra0a0302a032a0e(1)4(2r)er/a0r4dr24a00a0

r/a044e1()[2erdrrer/a0r4dr]00a24a005e(1)4[a04!(25)]24a03ea0这是微扰矩阵元的表达式（5）能量一级修正

将H的矩阵元代入久期方程：

(1)E23ea0(1)E2000(1)E20000(1)E23ea000解得 4 个根：

0

0(1)E21(1)E22(1)E23E(1)243ea03ea000(0)

由此可见，在外场作用下，原来 4 度简并的能级E2在一级修正下，被分裂成 3 条能级，简并部分消除。当跃迁发生时，原来的一条谱线就变成了 3 条谱线。其频率一条与原来相同，另外两条中一条稍高于一条稍低于原来频率。见下图：

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6）求 0 级近似波函数

(1)分别将E2 的 4 个值代入方程组：

kE)c0(H (1)n11,2,k得 四 元一次线性方程组

(1)E2c13ea0c20(1)03ea0c1E2c2(1)0E2c30000000000

(1)E2c40(1)(1)将E2E213ea0代入上面方程，得：

c1c2 c3c40(0)所以相应于能级E23ea0 的0级近似波函数是：

1(0)1[12]1[200210]

22(1)(1)将E2E223ea0代入上面方程，得：

c1c2 c3c40(0)所以相应于能级E23ea0的0级近似波函数是：

量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

(0)21[12]1[200210]

22(1)(1)(1)将E2E23E240，代入上面方程，得：

c1c20 0的常数c3和c4为不同时等于(0)因此相应与E20的0级近似波函数可以按如下方式构成：

(0)(0)3(4)c33c44c3211c4211

我们不妨仍取原来的0级波函数（经常这样处理），即令：

c31c40(0)3211则(0)。4211orc30 c41（7）讨论

(0)上述结果表明，若氢原子处于 0 级近似态1, 2, 3, 4，那末，氢原子就

(0)(0)(0)好象具有了大小为3ea0的永久电偶极矩一般。对于处在1, 2态的氢原子，其电矩取

(0)向分别与电场方向平行和反平行；而对于处在3, 4态的氢原子，其电矩取向分别与电

(0)(0)(0)场方向垂直。

例2.有一粒子，其 Hamilton 量的矩阵形式为：HH0H，其中

2000H0020，H0002000，1 00求能级的一级近似和波函数的0级近似。

解：H0的本征值问题是三重简并的，这是一个简并微扰问题。

(1)(1)求本征能量

由久期方程HEI0得：

E(1)00E(1)00E(1)0

E(1)E(1)20 2 20 量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

解得：E(1)0,。记为：

(1)0，E1(1) E1(1)，E2故能级一级近似：

E1E0E1(1)2(1)E2E0E22(1)EEE2303简并完全消除

(2)求解 0 级近似波函数 将E1(1)代入方程，得：

0000由归一化条件：

c1(c1c3)c1c3c0c0 22c20c(cc)133c则ψ1(0)*1c1*0c102|c1|21取实解：c11

2c1110。

21将E20代入方程，得：(1)00由归一化条件：

00000c1c3c2000c1c30 cc3100c2*0c2|c2|21取实解：c21

0 21 量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

则2(0)01。0(0)如法炮制，得3110

21

（三）讨论

（1）新 0 级波函数的正交归一性 1.正交性

对处理λ一次幂所带来的系数公式

E]c0[H(1)n1k(1)

取复共厄

)[(H1k*(1)*Enc0 ]ˆ的厄米性，有 由于Hˆ|n*n|Hˆ|n)*n|H(Hˆ|nHn|HE]c0 [H(1)n*1k

改记求和指标

，

(1)*En[H]c0k(2)

1由前知E]c0[H(1)n1k(1)

k(1)c(2)c *11(1)*E]cc[HEn[H]cc0

(1)n*kkkkk1111上式合起来可写为 量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

kk[EE]cc0 (1)n(1)n*11或[E(1)n*E]cc0(1)nk1(1)(1)对于EnEn的根，k*c0c(3)

1(0)(1)(0)(1)对应于EnEnEn和EnEnEn的 0 级近似本征函数分别为：

kk|(0)nc|n1|(0)nc|n

1(0)n|(0)n*ccn|nkk11kk**cccc0k

111利用了(3)式cc0。*1k上式表明，新 0 级近似波函数满足正交条件。2.归一性

由于新 0 级近似波函数应满足归一化条件，对于同一能量，即角标，则上式变为：

(0)n|(0)n*cc1k(4)

1Eq.(3)和Eq.(4)合记之为：

cc*1k(5)

(2)可以证明在新 0 级近似波函数n为基矢的 k 维子空间中，H’从而 H的矩阵形式是对角化的。

证：

(0)23 量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

kk(0)nˆ|(0)c*cn|Hˆ|n|Hn11kkccHccH**kk11k*11k

cEcE(1)nk(1)n11*cc1(1)Enk第2－3步用到了（1）式

E]c0。[H(1)n1上式最后一步利用了Eq.(5)关系式。所以 H’在新0级近似波函数为基矢的表象中是对角化的。

[证毕] 因为 H0在自身表象中是对角化的，所以在新0级近似波函数为基矢的表象中也是对角化的。当时，上式给出如下关系式：

(1)(0)ˆ(0)Enn|H|n

也就是说，能量一级修正是 H’在新 0 级波函数中的平均值。这一结论也是预料之中的事。

求解简并微扰问题，从本质上讲就是寻找一么正变换矩阵 S，使 H’从而 H 对角化。求解久期方程和线性方程组就是寻找这一么正变换矩阵的方法。例如：前面讲到的例 2

200H00200020H0000001

应用简并微扰论解得的新 0 级近似波函数是：

1(0)11021(0)20103(0)110

21这是新 0 级近似波函数在原简并波函数i，i = 1,2,3.为基矢所张开的子空间中的矩阵表示，即

cii

(0)i13 24 量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

我们求解

i13E(1)li)ci0(Hlil1,2,3

就是为了寻找一个么正变换 S，使原来的 H = H0 + H’ 在以i为基矢的表象中的表示变到(0)为基矢的表象中，从而使 H 对角化。

根据表象理论，若(0)在以i为基矢的表象中的形式由下式给出，1(0)(0)11021(0)20103(0)110

21则由表象到表象的么正变换矩阵为：

12S012其逆矩阵为

0100 121212~*1SSS012H’从表象到(0)0100 1212表象由下式给出：

S1HSHS0100α1221000001α001022000000012012010120 12§10.3 变分法

微扰法求解问题的条件是体系的 Hamilton 量 H可分为两部分

ˆHˆHˆ H0 25 量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

其中 H0 的本征值本征函数已知有精确解析解，而 H’很小。如果上面条件不满足，微扰法就不适用。这时我们可以采用另一种近似方法—变分法。

（一）能量的平均值

（二）< H >与 E0 的偏差和

（三）如何选取试探波函数

（四）变分方法

（五）实例

（一）能量的平均值

设体系的 Hamilton 量 H 的本征值由小到大顺序排列为：

试探波函数的关系

E0E1E2......En......012......n......上式第二行是与本征值相应的本征函数，其中E0、0分别为基态能量和基态波函数。

为简单计，假定H本征值是分立的，本征函数组成正交归一完备系，即

ˆH|nEn|n|nn|1nm|nmnn0,1,2,

设是任一归一化的波函数，在此态中体系能量平均值：

ˆ|H，则必有EE EH|H0证： 插入单位算符|nnn|1，则

ˆ||Hˆ||EH|HnnnEn|nn|n

E0|nn|E0|E0n即HE0。

量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

这个不等式表明，用任意波函数计算出的平均值 总是大于（或等于）体系基态的能量，而仅当该波函数等于体系基态波函数时，平均值 才等于基态能量。

若未归一化，则

ˆ||HHE0

|基于上述基本原理，我们可以选取很多波函数: : (1)，(2)，…，(k)，…称为试探波函数，来计算

HH1,H2,Hk

其中最小的一个就最接近基态能量 E0，即

Min[H1,H2,Hk]E0

如果选取的试探波函数越接近基态波函数，则 H 的平均值就越接近基态能量 E0。这就为我们提供了一个计算基态能量本征值近似值的方法。

使用此方法求基态能量近似值还需要解决以下两个问题：（1）试探波函数与0之间的偏差和平均值（2）如何寻找试探波函数。

（二）< H >与 E0 的偏差和试探波函数的关系

由上面分析可以看出，试探波函数越接近基态本征函数， 就越接近基态能量 E0

.那末，由于试探波函数选取上的偏差0会引起[-E0]的多大偏差呢？

为了讨论这个问题，我们假定已归一化的试探波函数为：

< H > 与 E0之间偏差的关系；

||0||1

其中是一常数，是任一波函数，满足0所满足的同样的边界条件。显然|有各种各样的选取方式，通过引入|就可构造出在0附近的有任意变化的试探波函数。能量偏差：

量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

ˆE|HE0|H0ˆE0|*|H0|0|ˆE||HˆE| 0|H0000ˆE|||2|HˆE|*|H000ˆE|||2|H0ˆ|E|）（利用了Hnnn可见，若是一小量，即波函数偏差0|

是一阶小量，那末

ˆE| HE0||2|H0是二阶小量。

这也就是说， 是小量，与0很接近，则< H >与 E0更接近。当且仅当0时，才有< H > = E0。

[结论] 上述讨论表明，对本征函数附近的一个任意小的变化，本征能量是稳定的。因此，我们选取试探波函数的误差不会使能量近似值有更大的误差。

（三）如何选取试探波函数

试探波函数的好坏直接关系到计算结果，但是如何选取试探波函数却没有一个固定可循的法则，通常是根据物理上的知觉去猜测。

（1）根据体系 Hamilton 量的形式和对称性推测合理的试探波函数；（2）试探波函数要满足问题的边界条件；

（3）为了有选择的灵活性，试探波函数应包含一个或多个待调整的参数，这些参数称为变分参数；

（4）若体系Hamilton量可分成两部分H=H0+ H1，而H0 的本征函数已知有解析解，则该解析解可作为体系的试探波函数。

例：一维简谐振子试探波函数 一维简谐振子Hamilton 量：

22dˆH12x2 222dx其本征函数是：

量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

n(x)Nne22x/2Hn(x)

下面我们根据上面所述原则构造试探波函数。方法 I：

试探波函数可写成：

c(2x2)(x)0|x|

|x|显然，这不是谐振子的本征函数，但是它是合理的。

1.因为谐振子势是关于 x = 0 点对称的，我们的试探波函数也是关于 x = 0 点对称的； 2.满足边界条件，即当|x| →∞ 时，ψ→ 0； 3.含有一个待定的λ参数。方法 II:

亦可选取如下试探波函数：

(x)Aex2

A ——归一化常数， 是变分参量。这个试探波函数比第一个好，因为 1.(x)是光滑连续的函数；

2.关于 x = 0 点对称，满足边界条件，即当 |x|→∞ 时，ψ→ 0；

3.(x)是高斯函数，高斯函数有很好的性质，可作解析积分，且有积分表可查。

（四）变分方法

有了试探波函数后，我们就可以计算< H >

ˆ|H|H

ˆ()|H|()H()H()能量平均值是变分参数λ的函数，欲使< H(λ)>取最小值，则要求：

dH()dH()0 dd上式就可定出试探波函数中的变分参量λ取何值时 有最小值。

（五）实例

对一维简谐振子试探波函数，前面已经给出了两种可能的形式。下面我们就分别使用这两种试探波函数，应用变分法求解谐振子的基态近似能量和近似波函数。

量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

方法I 使用第一种试探波函数：

c(2x2)(x)01.首先定归一化系数

|x|

|x|c*dx1

*dx00dxc2(2x2)2dx00dx2155。160165c(x)dxc11522222

2.求能量平均值

H()2ˆdx*H222d2122c(x)x(2x2)dx222dx 222222221c(x)2x(x)dx5221224143.变分求极值

dH()523120 d27235。

2代入上式得基态能量近似值为：

52H42135520.5976

351421410.5，比较二式可以看出，近似结果还2我们知道一维谐振子基态能量 E0不太坏。

方法II 使用第二种试探波函数：

1.对第二种试探波函数定归一化系数：

(x)Aex

2量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

1(x)*(x)dx|A|2e2x2dx|A|2 2|A|22。

2.求能量平均值

H()2ˆdx|A|2*Hx22ˆex2dxexH2222x2d1|A|e[x]edx2dx2222 22x2212222x22|A|edx|A|[]xedx2|A|222221212|A|[]2242带入|A|22，得

21H()21

283.变分求极值

dH()21220 d28121， 2代入上式得基态能量近似值为：

21121H2

2282这正是精确的一维谐振子基态能量。这是因为若将

代入试探波函数，得：

1 2(x)Aex21/4ex2/20(x)

量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

正是一维谐振子基态波函数。此例之所以得到了正确的结果，是因为我们在选取试探波函数时要尽可能的通过对体系物理特性（Hamilton量性质）的分析，构造出物理上合理的试探波函数。

作业