短时傅立叶变换（精选7篇）
短时傅立叶变换 篇1
傅立叶变换是信号分析技术的基础,它在分析平稳信号时起着至关重要的作用。傅立叶变换是一种全局的变换,只能获得信号的整个频谱,并不能反映某一局部时间内信号的频谱特性。在许多科学领域的实验和工程测量中,普遍存在着非平稳信号。针对传统的傅立叶变换无法表达信号的时频局域性质,人们提出了一系列新的信号分析理论,其中以短时傅立叶和小波变换应用最为广泛。
1 短时傅立叶变换
为了解决时频局部化的问题,可以给傅立叶变换加一个滑动的“时间窗”,这就是短时傅立叶变换,通常也称之为加窗傅立叶变换。
短时傅立叶变换的基本思想是把信号划分成许多小的时间间隔,用傅立叶变换分析每一个时间间隔,以便确定该时间间隔存在的频率。在采用傅立叶变换的同时,为了达到时域上的局部化,在傅立叶变换的基函数eiωt前乘上一个时间上有限的时限函数g(t),然后用它们来作分析工具。这样,eiω起频限作用,g(t)起时限作用,合在一起就可以起到时频双限作用[1]。其基本变换方式为
可见,短时傅立叶变换是将信号f(t)映射到一个时频平面(τ,ω)上的二维函数。随τ的变化,g(t)所确定的时间窗就在t轴上滑移,对信号进行分段截取,将其化为若干段局部平稳信号,对它们分别取傅立叶变换后,得到一组信号的“局部”频谱,从不同时刻的“局部”频谱的差异上,便可看到信号的时变特征。G(ω,τ)就大致反映了f(t)在时刻τ的频率为ω的信号成分的相对含量。
因为信号的频率与其时间周期成反比,因此高频信号的时间分辨率相对高,时域窗口应相对窄,低频信号的时间分辨率相对低,时域窗口应相对宽,即信号应该有一个可调时频窗。但是短时傅立叶变换只具有单一分辨率的分析,窗函数一旦确定,其窗口的大小和形状便固定,即窗口只能在同一频率中平移而不能伸缩,因而只能实现一定程度的时频局部化,对信号无法做出仔细的分辨。而小波变换较好地解决了时间和频率分辨率的矛盾,被称为“数学显微镜”[2]。
2 小波变换
小波变换作为一种新的时频分析工具,与短时傅立叶变换不同,其窗口是可调时频窗,在高频时使用窄窗口,在低频时则用宽窗口,即以不同的尺度观察信号,以不同的分辨率分析信号[3]。这充分体现了自适应分辨分析的思想,它与时变、非平稳信号的特性一致[4]。
小波分析的基本思想是用一族函数去表示或逼近一信号或函数,这一族函数称为小波函数系,它是通过一基本小波函数的不同尺度的平移和伸缩构成的。
设ɸ∈L2(R),L2(R)为平方可积的实数空间,即能量有限的空间信号,其傅立叶变换为当时,可按
生成的函数族{ɸa,b}分析小波(Analyzing Wavelet)或连续小波,准为基本小波或母小波(Mother Wavelet)[1]。式中,a为伸缩因子或尺度因子。将基本小波作伸缩,用来调整子波覆盖的频率范围;b为平移因子,将基本小波作位移,用来调整子波的时域位置;系数|a|-1/2用来实现子波能量的规一化。我们称ɸa,b(t)为依赖于参数a,b的小波基函数,它们是由同一母函数ɸ(t)经伸缩和平移后得到的一组函数序列。
若{ɸa,b}是上述给出的连续小波,对f∈L2(R),信号f的连续小波变换Wf(a,b)的定义为
同时,当ɸ是允许小波时,按照式(2)定义的小波变换在f(t)的连续点有
f(t)=1C准R乙R乙Wf(a,b)准a,b(t)a2dadb。(3)
运用小波分析优于傅立叶变换之处在于其在时域和频域同时具有良好的局部化性质,因为小波函数是紧支集,当a变换时小波函数将覆盖不同频率范围(尺度a的大值对应低频或大尺度的小波函数;而a的小值对应高频或小尺度的小波函数),改变参数τ相当于移动时窗中心,而傅立叶变换的基函数是三角正、余弦函数,其区间是无穷区间,所以小波变换可以对高频成分采用逐渐精细的时域或空间域取代步长,从而可以聚焦到对象的任意细节。
小波变换与短时傅立叶变换不同之处为gω,t(t)=g(t)eiωt与ɸa,b(t)的形态。函数gω,t是由同一个包络函数g平移到某个时间位置上并在时窗内填入高频振荡信号的结果。整个gω,t无论ω的值如何变化均具有相同的窗宽。与此相对,ɸa,b(t)具有适应频率变化的可变窗宽。高频时ɸa,b(t)时窗较窄,低频时时窗较宽,其结果是小波变换比短时傅立叶对高频现象如信号中的奇异性有更好的“显微”效果。
3 对仿真信号进行时频分析
在旋转机械的诊断领域中,有时会发生转速突变的现象,具体表现为频率突然升高,瞬间又恢复。由于整个过程持续的时间很短,突变信号常常隐藏在采样信号之中,不容易察觉。由于形成了非平稳信号,传统的FFT只能找到该频率成分的存在,而无法推断出故障发生的具体时间和详细情况。短时傅立叶虽然通过加窗具有了一定的局部分析能力,但是由于其窗口长度设置的限制,设置不同的窗口宽度,会对故障信号得出不同精确程度的结论,并不能分析故障信号发生的具体位置和信号的变化趋势。而小波函数具有频带滤波效应,可以很清晰地分析这类故障信号。
以下是在Matlab中构建的仿真故障信号,该信号主要含有200 Hz和300 Hz频率成分,其中,发生转速突变的信号为300 Hz,并且为瞬间发生,全部信号同时掺杂着噪声。
从图1的时域波形来看,很难分辨出信号发生突变的位置和具体情况。
采用FFT分析该信号的结果见图2。
从图2可知,主要存在的频率成分为200 Hz,300 Hz。其中300 Hz的成分很微弱,用FFT无法进一步分析发生故障信号的具体位置。下面采用STFT(短时傅立叶)进行分析,见图3。
从图3可以清楚地看到信号在3 200 ms左右发生了明显的跳变,变化的频率范围从200 Hz跳变到300 Hz左右。STFT(短时傅立叶)由于采用了加窗,所以能够对信号进行“局部化”的分析,对于分析间歇性故障信号和非平稳信号有很好的效果。
STFT(短时傅立叶)的窗口宽度(尺度)设置之后,它的分辨率就固定了,所以由于窗口宽度的问题,在分析信号时,依然有一定的不足。比如不能准确地判断故障信号发生的位置(跟窗口宽度设置有关),只能看到信号频率的分布,不能看到信号发生故障的前后变化趋势。
如采用小波基为“db4”的小波函数分析:小波分解的层次(尺度)为4,并且分解的高频(细节)部分都进行了信号重构。从第91页图4小波分解的第4层中可以很清晰地看到,当信号分解到第4层的时候,小波函数已经成功地将突变信号分离出去,低频部分a4已经不包含该突变信号。在高频部分d4中所包含的正是该频率突变信号,从图a4和d4的波形可以很清晰地观察到信号频率发生突变的过程和位置。
进一步对a4和d4做FFT分析见第91页图5。
从图5中可以观察到:a4主要含有200 Hz的频率成分,d4主要含有300 Hz的频率成分,正是发生频率突变的信号。从图5中验证了以上的推论是正确的。
4 结束语
傅立叶变换是一种全局的变换,只能获得信号的整个频谱,而不能反映某一局部时间内信号的频谱特性,仅对平稳信号有效,不适用于非平稳信号分析。
短时傅立叶变换解决了FFT不能同时进行时域和频域分析的缺陷,在一定程度上克服了标准傅立叶变换不具有局部分析能力的缺陷。但窗口函数的形状一旦确定便无法改变,其时频分辨率也无法改变,只能实现一定程度的时频局部化。这不符合实际问题中高频信号的时域分辨率应比低频信号高的要求。要提高频域分辨率就得加大时窗长度,同时造成时域分辨率下降。另外,时窗越长,信号的“局部”平稳性越难于保证,这是短时傅立叶分析方法的不足。
小波变换作为新的信号处理手段,具有传统傅立叶变换和短时傅立叶变换无法比拟的优点,不仅具有良好的时域和频域分辨率,而且能自适应地调整时域和频域分辨率。小波变换可以准确地检测出突变信号发生和终止的时刻,能精确地对谐波信号进行分析。在旋转机械的故障信号诊断中,采用小波的频带滤波特点,可以从具有复杂噪声的信号中分离出故障信号,为诊断设备运行的状况提供强有力的数据支持。小波函数可以分离出特定的故障信号,但是在分离的过程中可能将故障信号和噪声混淆,反应在频率成分上为存在一些未知频率成分的残留,从图5中可以看到这一点,但是这类成分很微弱,不会影响对故障信号的判断。
摘要：介绍了短时傅立叶变换和小波变换两种时频分析方法,通过对仿真信号的分析,阐述了两种方法在分析非平稳信号时的优势和优缺点。
关键词：短时傅立叶变换,小波变换,非平稳信号
参考文献
[1]秦前清,杨宗凯.实用小波分析[M].西安:西安电子科技大学出版社,1994.
[2]卢文祥,杜润生.机械工程测试.信息.信号分析[M].2版.武汉:华中理工大学出版社,1999.
[3]李少逸.车载导航系统中光纤陀螺信号滤波方法的研究[J].太原科技,2007(6):31-32.
[4]蒋平,贾民平,许飞云,等.机械故障诊断中微弱信号处理特征的提取[J].振动、测试与诊断,2005(25):1.
离散傅立叶变换及其应用 篇2
关键词：雷达信号处理,离散傅里叶变换,双音多频
仪器设备是高校开展教学、科研和服务社会的物质基础,直接制约着高等教育教学质量和科研水平的提高,做好仪器设备管理工作,使其在人才培养与科学研究中发挥良好效能,是当前各高校普遍面临的共同难题。
信号是信息的载体,它携带着有用信息,如频率、幅度、相位等。信号如果时域特性不明显,我们可以采用傅里叶变换,将时域信号转换到频域中进行分析和处理。一段时域信号如图1所示。
从时域图上不能看出信号中含有几个频率分量,有没有噪声存在。显然转到变换域进行分析是一条途径。通过对信号作傅立叶变换后,如图2所示。
由于噪声的功率均匀分布在整个频率轴,而信号的频率分量只集中在某个频率附近,表现为较高的谱峰,从而可以将信号从噪声中分辨出来。因此频域中完成对信号的分析和处理,是信号处理的另一个有效的途径。能够将时域中信号转换频域的变换就是傅里叶变换,冈萨雷斯版《图像处理》里面的解释非常形象:一个恰当的比喻是将傅里叶变换比作一个玻璃棱镜。棱镜是可以将光分解为不同颜色的物理仪器,每个成分的颜色由波长(或频率)决定。傅里叶变换可以看作是数学上的棱镜,将函数基于频率分解为不同的成分。当我们考虑光时,讨论它的光谱或频率谱。同样,傅立叶变换使我们能通过频率成分来分析一个函数。
傅里叶变换分为4种[1]:傅里叶级数(FS)、傅里叶变换(FT)、离散时间信号傅里叶变换(DTFT),离散傅里叶变换级数(DFS),这4种傅里叶变换有各自应用领域和特点,都不能用于计算机上进行信号频谱的快速处理,我们希望理想的傅里叶变换是:时域、频域均为有限长且是离散的傅里叶变换对,这就是离散傅里叶变换(DFT)。
1 离散傅里叶级数
连续时间信号时域抽样,数学上就是用时域中的抽样冲激串序列与时域信号相乘,完成时域抽样,得到抽样后的离散时间信号。时域抽样对应频域信号的周期延拓,但序列的频谱仍是连续的频谱,所以需要频域抽样,就是用一系列等间隔的冲激串函数与DTFT相乘。
假设频域的抽样间隔为,频域延拓周期:,DTFT的一个周期抽样点整数恰好N个,,则得到抽样后的频域序列,为以N为周期的周期序列。根据时频域的对应关系,频域相乘时域卷积。而冲激串函数的时频形式与频域相同,也是一系列等间隔的冲激函数。时域的间隔T与频域的抽样间隔满足反比的关系:,那么,时域离散信号与q(t) 卷积后的结果是:将原离散信号以T为周期进行周期延拓,从而形成离散的周期序列。
频域离散 化导致时 域周期延 拓 , 延拓周期为:,则一个周期内时域抽样点数为:。因此,对离散信号的DTFT进行频域等间隔抽样后,时域会周期化,从而导致时频域均为离散的周期的序列,而且时域一个周期的点数和频域一个周期的谱线数目相同,均为N个离散点。既然时域、频域均是周期的,因此各自只有N个独立值,则可取一个主值周期的序列来表征这种变换形式,这就是N点有限长序列的N点离散傅立叶变换。
2 离散傅里叶变换
N点离散傅立叶变换是离散信号的DTFT在一个周期内的N点等间隔抽样,即:
经过频域抽样得到频域离散,时域离散的傅里叶变换对,就是离散傅里叶级数DFS:
为了适应实际信号处理中,序列有限长特点,将信号加以截断,取DFS一个周期,从而得到DFT变换式:
如何根据离散傅立叶变换恢复出原信号呢?离散傅立叶逆变换(IDFT):
说明:由于时域的离散导致频域的周期,频域的抽样导致时域的周期,所以,尽管DFT的表达式中只取了N点序列值,但是它的时频域都是来自于周期序列的一个周期,即DFT隐含周期性。
离散傅里叶变换的物理意义[2]:序列的N点DFT是序列的连续谱在区间[0,2π ]上的N点等间隔抽样,DFT所求的仍是序列频谱,是离散谱。由频域的抽样过程可知,利用DFT可以对信号的连续频谱做近似,可以实现连续频谱的数字化处理。
3 离散傅里叶变换的应用
3.1 DFT在语音信号处理中应用
双音多频(Dual Tone Multi Frequency,DTMF)信号是电话系统中电话机与交换机之间的一种用户信令,由美国AT&T贝尔公司实验室发明。这种信号制式具有很高的拨号速度,且容易自动监测识别,很快就代替了原有的用脉冲计数方式的拨号制式。双音多频的拨号键盘是4×4的矩阵,每一行代表一个低频,每一列代表一个高频。这样8个频率形成16种不同的双频信号。每按一个键就发送一个高频和低频的正弦信号组合,DTMF信号是采用8中取2的方式,从高低两个音组中各取一个音频复合而成来代表0~9的号码和其他功能码,在接收端,要对收到的双音多频信号进行检测,检测两个正弦波的频率是多少,以判断所对应的十进制数字或者符号。显然这里仍然要用数字方法进行检测。检测的方法是用DFT对双音多频信号进行频谱分析,由信号的幅度谱,判断信号的两个频率,最后确定相应的数字或符号。例如,号码‘2’是于由某两个双音多频键的频率相混合叠加,但在时域中很难分辨出,通过离散傅里叶变换将信号转换到频域中,对应的归一化频率分别为和,对应的实际频率为和相混叠,如图3所示,国际上规定双音多频信号的抽样频率为
3.2 DFT在雷达信号处理中的应用
在工程实践中,例如雷达系统中,DFT也发挥着重要的作用。
军事雷达的任务是对运动目标如飞机进行定位。但是大量的地物杂波、云雨杂波、鸟群杂波,同运动目标的回波信号一同进入接收机。运动目标的回波电平往往比杂波电平低很多倍,使运动目标被淹没。这时,在时域中将它们区分已不可能。
根据运动目标和杂波相对雷达的径向运动速度不同,回波具有不同的多普勒频率,我们将转向频域根据多普勒频谱的差别来区分运动目标和杂波。假设运动目标的径向运动为Vr,则回波脉冲串的幅度会受到多普勒频率的调制:
MTD多普勒滤波器组是具有N个输出的横向滤波器组,横向滤波器有N-1根延迟线,每根延迟线的延迟时间为Tr,N个输出端的加权值为:
n表示第n个抽头,k的取值从0到N-1,不同的k值对应不同的多普勒器响应,窄带滤波器组就是按DFT定义式展开,加权因子按DFT定义,所以DFT是一种特殊的横向滤波器,当N=8时,8个相邻的窄带滤波器组,如图4所示。
对同一距离单元的回波脉冲串作频谱分析,用频率过滤的方法检测出运动目标的多普勒频率谱线,滤除干扰杂波的谱线,可使雷达从强杂波中分辨出目标信号。因此,雷达接收机的动目标检测本质上相当于是一种频谱分析仪。
离散傅立叶变换的应用远不止于此,自从1965年Cooly和Turky提出了离散傅立叶变换的快速算法之后,离散时间信号的许多时域运算如卷积、滤波,都可以转化到频域来高效地实现,从而节省运算时间,提高运算效率。凡是在大数据量实时计算的场合,几乎都离不开离散傅立叶变换的影子。因此,可以毫不夸张地说,离散傅立叶变换是数字信号处理的基石,数字信号处理领域核心算法之一。
4 结束语
短时傅立叶变换 篇3
电力系统谐波的形成是由于电力系统负荷和设备存在的非线性特性, 即系统中的电压形成的电流不是成正比例关系, 从而形成波形畸变。对于伏安特性保持正比例关系的用电负荷或设备, 当在电力系统中施加一个成正弦关系的电压时, 产生一个相应的正弦电流, 反之也相同。但正弦电压不会导致波形畸变。当设备或负荷的伏安特性表现出非线性关系时, 产生的电流也是非正弦波, 设备或系统的电压和电流频率域系统频率保持一致, 因此电流产生了畸变波形, 从而导致系统中产生谐波[1]。
1.1 频谱泄漏
电力系统中, 谐波变化因素众多, 且频率高, 含量低, 所以电力系统中的谐波分布都是随机的、非线性的。实际测量过程中, 往往都是在特定的观测时间下进行谐波测量, 信号采集也集中于选定的N点, 因此, 对于测量所获得的结果, 应该充分考虑到测量信号的有限长度、时频域的离散型而导致的特殊效应。对于具有周期信号的傅立叶计算, 将其假设为理想状态为:当采样频率数量满足要求条件下, 记录足够的信号样点数, 通过频域变化在对应的离散域位置得到独立谱线, 每根谱线都有一对应的频率分量。但是, 当测量采样参数与被测信号间出现不匹配时, 各谱线间相互影响, 导致分析结果产生较大误差, 并且在获得的真实谱线两侧产生若干点较小幅度的假谱, 这种假谱即为频谱泄漏。然而采样数据经过线性插值后, 获得更多的快速傅立叶变换算法 (FFT) 的采样点, 此时频谱泄漏会改善很多[2, 3]。
1.2 电力系统中的谐波测量
当前, 在电力系统谐波检测技术中, 基于FFT已经发展的较为完善, 其是通过调理电路对输入电压和电流模拟量的信号转变, 利用模拟信号转化为数字信号的AD电路将检测信号转变成离散型的数字量, 通过傅立叶变化公式来计算得到不同谐波和基波的相位角和幅值, 再按照国家标准计算获得对应的谐波指标并在液晶显示屏上实时显示。
基于FFT谐波时域测量系统可采用工业PC机或高档嵌入式芯片来实现谐波检测。两种检测方式具有运算速度快、运行性能稳定的优势, 但同时存在着运行成本高、系统消耗大、扩展性低的劣势。工业PC机配备大多数是通用CPU, 缺乏硬件浮点数单元, 一旦系统输入和采样点增多, 则导致系统运行缓慢。采用高档嵌入系统来进行谐波检测, 要满足FFT运算量, 必须要求配备的嵌入式系统带有相当数量的硬件浮点数, 且利用先进的编程算来来实现FFT运算。以上两种方案的实时响应时间较长, 均为毫秒级别。
2 基于FPGA的快速傅立叶变换算法的电力谐波分析
2.1 现场可编程门阵列 (FPGA)
现场可编程门阵列 (FPGA) 由符合一定规则逻辑阵列组合而成的满足复杂设计方案的一种自适应体系结构。FPGA优点在于计算速度快, FFT的运算时间为微秒级别, 甚至纳秒级别, 并且运算速度不会因数据量的增大而下降。
FPGA最大缺点在于不能进行浮点运算, 然而其内部的硬件乘、除法器补足这点遗憾, 并用空间换时间的思维方式保证了FPGA的高精度, 高速度运算特点。
2.2 FFT谐波检测理论
FFT作为一种快速算法, 在电力系统中的数字信号处理中获得广泛的应用, 当采样点N较大时, 采用离散傅里叶变化换 (DFT) , 其运算量迅速增大, 因此, 由于DFT算法的实用性较差的特点, 在电力谐波检测系统中不能进行很好的分析应用, 而采用FFT进行计算时, 只需将采样点数据进行奇偶分解, 便能将运算过程划分成对应流程, 因此, 当采样点N增加时, 只需按照奇偶逐步分解, 便可得到高阶的信号流程。例如, 当N=25时, 采用FFT计算只需进行一次奇偶分解, 将运算过程划分为五级流程, 每一级只需要进行32次乘法运算, 64次加减法运算, 整个FFT只需64X5/2=160次乘法运算, 320次加减法运算, 可见FFT算法相较于DFT算法, 当N越大时, 运算量将明显较小。FFT的此特点有利于FPGA平台的实现。
2.3 系统的整体结构
本文中基于FPGA的FFT实现对电力系统谐波检测, 需要采集3路电压电流的谐波, 并对其进行检测, 要保证采集和检测的六路信号具有较高的实时性和同步性, 再进行频谱分析, 获得相应谐波的相位角和幅值。
为保证建立的电力谐波检测系统在FPGA下的FFT具有足够的运算速度和精度, 同时考虑到谐波检测中存在的频谱分析, 所建立的硬件系统包括:CT/PT传感器单元、AD采样单元、基于FPGA (Xilinx Spartan 3A DSP) 的FFT单元、数据结果发送单元等。
软件系统完成初始化后, 通过CT/PT传感器单元接收到6路信号, 利用FPGA控制AD采样单元实时采样6路数据, 再通过FPGA的线性插值, 获得的高点数 (2N) 中间数据提供给FFT单元计算, 最终将6路计算结果通过数据结果发送单元发送给上位机, 由此得到6路相应谐波的相位角和幅值, 实现实时监测目的。
3 结语
本文利用基于FPGA线性插值的FFT变换实现了FFT变换的高速度要求, 改善了频谱泄漏问题, 满足了系统的实时性要求, 确保了电力系统的协调运行, 从而保证了电力系统谐波检测的实时性需求。确保了电力供应质量的稳定性和安全性, 对于电网建设具有重要意义。
参考文献
[1]翟义德.电力系统谐波问题及基于混合并联结构的治理方案[J].电力安全技术, 2013, 15 (11) 24-26.
[2]鲁昌华, 高翠云.利用频率跟踪技术减小频谱泄漏[J].电测与仪表, 2003, 40 (11) 7-10.
快速傅立叶变换的分析与C#实现 篇4
傅立叶变换 (Fourier Transform) 描述了一种方法, 能够将符合一定条件的某个函数表示成为多个正弦和余弦函数的线性组合。这个特性在工程上有很大的用处, 针对不同的工程领域也有各自很明确的工程意义。在计算机获得普遍应用的当今时代, 连续函数一般可以在计算机内表示为离散的形式, 也就是不连续的多个函数数值 (如图1所示) 。与之对应的傅立叶变换也被称为离散傅立叶变换 (DFT) 。
通过进行离散傅立叶变换, 就可以把函数f (t) 转变为一系列的sin (t) 和cos (t) 函数的线性组合, 即:
又根据欧拉公式e^ix=cosx+i sinx, 任意正弦、余弦项都可以用复指形式来表示, 也可以写成
将其带入公式 (1) 中, 经过合并演算, 可以得到一个结论:函数f (t) 可以表示为复指形式。
这就是我们的结论一:满足一定条件的函数可以表示为一系列正余弦函数或指数函数的线性组合。要支持这个结论, 就一定要有一种方法可以计算出线性表达式的系数, 从而可以确定地把函数f (t) 表达出来。省略掉证明步骤, 最终系数的求法可以使用如下的离散傅立叶变换公式来得到:
或者展开来写成如下形式:
这就是我们的结论二:变换系数的值可以由所有离散点的函数值通过计算得到。所以傅立叶变换的最终目的是求得变换后表达式的系数, 有了确定的系数值就意味着成功地完成了傅立叶变换。
1、手动离散傅立叶变换
手动离散傅立叶变换实际上就是用算式逐步求解系数。根据本文所列离散傅立叶变换的系数公式 (4) , 我们尝试手动计算傅立叶变换后的系数。通过手工逐步运算, 可以非常清晰地、解剖式地展示傅立叶变换的整个过程和细节。首先以离散函数f (k) =k+20为例, 假设输入的离散值为8个, 即N=8, 则函数值分别为:f (0) =20, f (1) =21…f (7) =27
如表1所示, 列出其离散函数值以及如何求得其离散傅立叶变换系数的公式
即输入为N=8的函数f (0) , f (1) , f (2) …f (7) , 输出为C (0) , C (1) , C (2) …C (7) 。简单的说, 这就是傅立叶变换!下面我们逐步展示其运算过程。
1.1 N=8的逐步变换
求出n*k的值, 从而计算出 (-i*2π/8*n*k) 的数值, 该数值是复数形式表示的。
当N=8时, 常量 (-i*2π/N) =-0.7854i
用自然数e为底, 求得表3各项数值的幂如表4。至此我们得到W (n, k) =e^ (-i*2π/N*nk) 的数值表。
根据系数公式 (4) , 用复数的乘法和加法, 最终计算出傅立叶变换后的系数C (k) 。至此离散傅立叶变换得到输出结果而结束 (如表5所示) 。
1.2 对卷积进行累加
由于C (k) 等于所有行的累加, 所以对表5进行按行累加, 可以得到最终傅立叶变换的结果, 即求出系数C (k) 。
2、快速傅立叶变换
从手动计算傅立叶变换的过程中我们知道, 其运算的复杂度是N的平方数量级的, 当N很大的时候, 其运算量将会指数级增长, 快速增长的运算量使之实用性大打折扣。在实际的工程应用之中必须使用一种快速的傅立叶变换, 该方法是由J.W.库利和T.W.图基提出的。其核心思想是把要进行傅立叶变换的序列长度分解成两部分, 一是偶数部分f (2n) , 另一是奇数部分f (2n+1) , 于是序列f (n) 的离散傅里叶变换可以用两个N/2抽样点的离散傅里叶变换来表示和计算。如此一直迭代递归下去, 直到把傅立叶变换分解为两两的最基本单位来进行。这种方式把乘法变为加法来进行, 可以极大地减少运算量, 也就是我们所说的快速傅立叶变换 (FFT) 。其流程图如图2所示。
其中输入数组中保存了等待进行傅立叶变换的离散函数的数值f (t) , 输出的数组为求得的系数。
假定输入序列N=8, 则其变换过程如图3所示
其中蝶形运算子W的个数是输入序列总数的一半, 在此例中即为N/2=4。也就是说蝶形算子的个数为4个 (W0、W1、W2、W3) 。要实现图3所示的变换过程, 我们需要有三个循环, 第一个循环是控制层次的, N=8的序列有3个层次 (23=8) ;第二个循环是在每一层中控制蝶形运算组的个数, 如表6所列;
第三个循环是在每个蝶形运算组中进行具体的蝶形运算。
3、傅立叶变换C#实现的详解
3.1 第一和第二个循环
第一个循环就是按照层来循环, 第二个循环就是按蝶形组进行循环。如图4所示。
先写出第一和第二个循环的代码片段如下:
3.2 第三个循环
第三个循环也就是每个蝶形组的循环, 仔细观察图4可以发现每个蝶形组的大小是变化的。在第1层中, 每个蝶形组的size=1;在第2层中, 每个蝶形组的size=2;在第3层中每个蝶形组size=4。也就是说每个蝶形组的循环次数 (步长) 在递增。写出其循环体如下, 其中令变量power代表循环步长, 从以上分析得知, 其步长是从1开始, 以2的倍数递增的。
可以得到pos=2*2^i*j或者pos=2^ (i+1) *j (其中i, j分别代表第一、第二层循环的循环变量) 。在c#中注意到这个等式的存在2^i=1<<i, 也就是说2的i次幂等于对数字1进行i次左移位操作。循环步长和起点确定了, 则循环体可以编写如下:
3.3 完整的C#程序
4、结语
快速傅立叶变换在数值分析、数字信号处理、图像处理、光学和密码学等诸多领域有着非常广泛的应用。据了解, 如此重要的一个工具在学习和掌握使用的过程中, 其算法实现常常遇到理解上的困难, 导致不能很好地结合到各自相关领域得以普遍地应用。基于这个背景, 在弱化数学推导证明, 强化算法讲解的宗旨下, 详细分析了基本的快速傅立叶变换的C#代码实现。同时在理解掌握的前提下, 也可以很方便地转换为其他语言的实现。可以为进一步深入学习傅立叶变换的各种高级变化打下扎实基础。
参考文献
[1]何振亚.数字信号处理的理论与应用 (下册[) M].北京:人民邮电出版社, 1983.
[2]程乾生.数字信号处理[M].北京:北京大学出版社, 2003.
短时傅立叶变换 篇5
糖尿病对人体危害很大,可导致感染、心脏病变、脑血管病变、肾功能衰竭、双目失明、下肢坏疽等而成为致死致残的主要原因[1,2,3]。糖尿病高渗综合症是糖尿病的严重急性并发症,初始阶段可表现为多尿、多饮、倦怠乏力、反应迟钝等,随着机体失水量的增加病情急剧发展,出现嗜睡、定向障碍、癫痫样抽搐,偏瘫等类似脑卒中的症状,甚至昏迷。
在我国,糖尿病患者有几千万人,且近年来发病率显著上升,对于临床诊断和糖尿病人的血糖的控制,血糖的测量都是很重要的方法之一。传统检测血糖的方法主要是从体内抽出血液通过生化检测进行分析,给患者带来极大的痛苦和不便,从而限制了检测血糖的频率,影响了对血糖浓度的监控[4,5]。无创伤血糖浓度检测方法对于减轻糖尿病患者的痛苦、改善现行用药方法、精确监控血糖有非常重要的现实意义。
1 实验部分
1.1 仪器
仪器:傅立叶变换红外光谱仪(Spectrum 100),PerkinElmer;
仪器条件:波数范围:1 400～900cm-1;分辨力:4cm-1;扫描次数:32次。
1.2 实验设计
挑选20～30岁健康男女各2名,分时间段测试其手掌皮肤及其表面分泌物的红外谱图。测试前,被测者的手掌以中性肥皂洗干净,然后用自来水冲洗1分钟左右以除净肥皂,以无尘纸擦干后紧贴ZnSe晶片上进行测定。以1 170cm-1谱带为基准,测量1 120cm-1左右谱带的相对强度。之后每隔10min测一次被测者的手掌皮肤及其表面分泌物。1h后停止测量,计算每次测量1 120cm-1左右谱带的相对强度。
1.3 最佳波段选择
为了确定在中红外区对葡萄糖浓度变化最灵敏的区域,对葡萄糖水溶液进行了红外光谱测量,吸收峰主要集中在1 200～900cm-1之间。有五个吸收峰,位置分别为1 160、1 120、1 080、1 030、994cm-1。而加入葡萄糖的不同而引起吸光度的变化在1 120cm-1附近谱带最为明显。
1.4 手掌与血液对比测试
由于新鲜的血液含有较多的水分和其他组分,我们采用凝固后的干血来测试图是凝固后的干血及被测试者的手掌红外谱图比较,从图中看出,手掌皮肤与血液的谱图非常相似。
1.5 手掌皮肤及其分泌物光谱随时间的变化
对检测者洗手后的手掌每10分钟检测一次,图2为检测者洗手后0～50min不同时间搜集的红外谱图。
从图2可以看出,随着时间的增加,1 120cm-1附近的谱带的强度变化明显,以1 170cm-1谱带为基准,计算1 120cm-1处的谱带相对强度随时间的变化,表1为1 120cm-1处的谱带的相对强度与时间变化的关系。
从表1看出,随着时间的增长,1 120cm-1附近的谱带的相对强度明显增加,表明皮肤表面有分泌物出现,而30min后,1 120cm-1处的谱带相对强度基本保持不变。
2 结果和讨论
由实验测试结果可知人体手掌皮肤洗手30min后其表面分泌物趋于稳定,而且人体的细胞外基质和皮肤的分泌物中都含有与葡萄糖成分相关的物质,据此我们可以通过测定洗手30min后手掌皮肤及其分泌物在1 120cm-1处的谱带相对强度来测定人体中血糖含量。此方法可直接用衰减全反射(HATR)附件来测定,操作简便,无任何创伤,也是以后血糖检验的主要发展方向
摘要：手掌皮肤及其表面分泌物可以表征人体中的血糖,用红外光谱仪测试手掌皮肤及其表面分泌物谱图,由谱图中1 120 cm-1左右的吸收峰的强度来判断人体中血糖的高低。该方法对人体无任何创伤,是以后血糖检验的主要发展方向。
关键词：红外光谱仪,手掌皮肤,血糖
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短时傅立叶变换 篇6
1 分数傅立叶变换
分数傅立叶变换是传统Fourier变换在分数级次上的推广, 将傅立叶变换视为一个整数阶算子, 对该算子进行分数分解, 得到一种分数阶的算子, 这就是分数傅立叶变换 (FRFT) 。信号在分数阶Fourier域上得表示, 同时融合了信号在时域和频域使得信息, 因此被认为是一种时频分析工具, 与其他时频分析工具有着极其密切的联系。信号f (t) 的阶数为a的分数傅立叶变换的定义为:
其积分核
二维分数傅立叶变换可以通过先作x轴 (或沿y轴) 的一维分数傅立叶变换, 再作沿y轴 (或沿x轴) 的一维分数傅立叶变换来实现。对于二维图像信号f (p, g) , 其二维离散分数傅立叶变换分别为:
其中K (A, B) (p, q, m, n) =KaaKB, KA和KB为一维离散分数傅立叶变换的核函数。
2 算法设计及实现
本算法采用的原始图像采用alfa=0.1, 256×256大小、256灰度级的经典Lena图象, 水印信号为字体“苏工职院“的图象, 如图1所示。
2.1 水印嵌入
本文所采用的水印嵌入方法流程如图2所示。
(1) 离散分数傅立叶变换
对于Lena图象进行px=0.4, py=0.1的256×256二维离散分数傅立叶变换, 对变换后的矩阵分别进行列和行降序排列, 在变换域的载体图像矩阵与排序后的矩阵之间存在一定的一一映射关系, 见图3所示。
(2) 嵌入水印
将进行了Arnold置乱后的加密水印图象嵌入到分数傅立叶变换并排序的矩阵中, 水印嵌入强度alfa=0.1, 得到DFRFT域含水印的幅度谱矩阵。
(3) 还原图像
将DFRFT域含水印的幅度谱矩阵按照排序前后的一一映射关系映射回去, 再与之前所得相位谱相结合, 进行px=-0.4, py=-0.1二维分数傅立叶变换, 即分数傅立叶的逆变换 (IDFRFT) , 即可还原成含水印的图像, 如图4所示。
经实验发现, 在不同级次的分数傅里叶变换下进行水印嵌入, 所得含水印图像的PSNR也不同。在优化的过程中, 应尽量选取分数级次较小的区域, 一般级次应选择小于0.5。
2.2 水印提取
图5为水印信号的提取过程, 输入的信号是嵌入水印的数据和原始数据。输出信号是恢复出的水印信息。将含水印的图像和载体图像分别进行分数傅立叶变换, 然后比较两变换域数据的差别, 提取水印信息, 再对其解密, 即可获得原始的水印信息。
(1) 水印载体图像的大小设定
为了避免含水印图像在发布和传送过程中大小发生了变化而使得水印提取失败, 在提取水印之前, 先将改图像恢复到载体图像大小 (256×256) 。
(2) 分数傅立叶变换
分别对载体图像和含水印的图像进行px=0.4, py=0.1二维分数傅立叶变换 (DFRFT) , 变换结果下图6所示。
3 提取水印信息
对分数傅立叶变换域的载体图像幅度谱分别进行列和行的降序排列。对含水印的图像也按照变换后的载体图像幅度谱与排序后的矩阵之间的映射关系进行同样的映射。将所得的两个矩阵进行比较, 从所得的差中可提取到的水印信息。原始水印图象和提取水印图象如下图7所示。
4 性能分析
由于含水印图像要对外公布, 它可能会受到很多种方式的攻击, 对算法进行攻击测试是对水印鲁棒性检测的一种必要手段, 一个好的水印算法必须经过各种攻击测试才能对之做出客观的评价。图8、图9、图10给出压缩因子为85%时的JPEG压缩攻击、均值为0, 方差为0.01的高斯白噪声攻击以及边角1/4剪切攻击的测试结果。
从上图提取的水印可以看出, 该算法对于抵抗一定的JPEG压缩及噪声攻击以及剪切攻击具有比较强的鲁棒性。
5 结束语
本文基于基于离散分数傅里叶变换提出一种图像数字水印算法。实验结果显示, 在原始图像及水印都为静态图像的前提下, 嵌入与提取的效果都比较理想, 实现了水印的不可见性。攻击测试表明, 本章所提出的水印算法具有较好的鲁棒性, 能够抵抗常见的图像处理操作, 如JPEG压缩、噪声等。
参考文献
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短时傅立叶变换 篇7
无线传感器网络技术是通过部署在监测范围内的各个传感器进行事件监测,然后通过无线通信将采集到的数据传输到基站,用于数据存储、计算分析、展示决策等应用[3]。无线传感器网络技术具有低成本、分布式特点,在各领域都得到了广泛的运用。但是,随着系统的复杂程度和节点不断增加,电池寿命有限性制约了无线网络技术的发展。特别是当无线传感器网络部署在危险或者人为很难更换电源的监测区域时,降低能耗、提高工作效率、延长使用寿命对于无线传感器网络显得尤为重要[1][2]。
无线传感器网络是由部署的大量微型传感器节点组成,每个节点有感知、计算、发送、接收、空闲和睡眠六个工作组状态[8]。有关研究发现,无线通信模块中的发送与接收状态是最为耗能的,达到感知和计算功率的六倍以上。于是降低网络节点之间的数据传输频率和传输量就能降低功耗,增加传感器网络的使用寿命[9]。
为了减少节点之间的数据传输量,在每个节点向基站传送数据时,在节点内部先进行数据处理,将数据进行压缩,然后再进行传输,这样减少了数据的传输量,也就降低了节点的无线通信能耗,从而延长了系统网络的使用寿命。
通常,我们希望得到的数据可以较为真实地反映监测范围内的具体情况,但是我们无法确定合适的传感器感知时间间隔。间隔过短,会增加数据传输量,将给增大传感器网络的流量负载、存储计算及能量损耗等方面的压力,有可能产生数据冗余,从而影响传感器网络的使用寿命;间隔过长,则有可能丢失重要的数据,无法反映真实的现场情况,影响对监测对象的判断准确性。因而,在现有无线传感器技术条件下,选择合适的传感器采样间隔,降低网络传输数据量,对于提高无线传感器网络工作效率、延长使用寿命和构建绿色能源社会都具有重要的意义[5]。
2 无线传感器网络技术的发展现状
无线传感器网络技术的发展可以分为三个阶段:智能传感器、无线智能传感器、无线传感器网络。从最初的智能传感器将计算能力嵌入到传感器中,到后来的具有无线通信功能的无线智能传感器,再到现在的无线传感器网络技术,加入了网络技术,传感器变得不再是相互独立的,它们之间可以进行信息交流和相互协调,这一特点使得所有的物体建立了联系,使得物联网的实现成为可能[6][7]。
无线传感器网络现有的数据处理方法基本的思想是分簇,根据同一监测点附近的传感器节点采集的数据测量值具有极大相关性的特点,将数据模型与分簇技术以及自适应预测模型相结合的思想,把数据在簇内先进行初步处理,然后经过整合在传输大到基站。这样虽然降低了数据传输的频率,但是也一定程度上丢失了原始数据的结构特征。现阶段,利用数据分析方法来构建相应的模型对数据进行优化的技术不多,因此研究可以运用在无线传感器网络高效方便的数据分析方法以及数据模型是很有应用前景的[4][7]。
本文以现有研究成果为基础,利用同一监测点附近的传感器节点采集的数据测量值具有极大相关性特点,根据实际系统中的节点数量和节点类型,构建了基于高阶线性回归、差分拟合、傅立叶变换分析的三种数据模型。在无线传输前,传感器节点利用所构建的数据模型将监测数据抽象、简化为模型特征参数;在无线传输过程中,仅需要传输特征参数;数据接收后,再由节点传感器进行数据还原。以此实现监测数据的压缩,减少了数据传输量,降低了传感器网络的能量消耗,延长其使用寿命。
3 无线传感器网络数据采集优化方案
3.1 傅里叶变换分析方法
在实际运用中,选取部署在监测区域内的传感器节点的某一段时间内的测量值,设为(t1,x1),(t2,x2),(t3,x3),……,(tm,xm),其中ti和xi(i=1,2,...,m)分别表示时间点和传感器测量的测量值。对这测量到的m个数据进行构建模型函数X(t),并且满足误差βi=X(ti)-xi始终在监测系统允许的置信区间范围内,并且将X(t)表示为(1)的形式:
其中n的大小和Bi取决于实际问题。
傅里叶变换分析是将信号进行傅里叶变换,选取相应的基函数矩阵为Bi(t)=sin(Ωit+Ψi)。变换之后(1)式可表示为:
其中Ωi与Ψi的值由网络系统的特征决定。
在实际的运用中可以取确定的n=m值带入计算,计算高阶X(t)易对结果产生干扰,影响最终的精确性。可取较小的n值带入计算,即取n<<m,选择λi的值代入,用下式来代替实际测量值
在实际的无线传感器网络中,假定有30个监测点,监测某一区域内的温度值,则构建一个数据模型(3)来估计实际测量值xi(i=1,2,...30)便可,不需要再传输时传输30个监测值,只需要传输λ1,λ2,λ3,λ4来压缩表示监测到的数据,同样实现数据压缩,减少了网络内的数据传输频率与传输量。根据已有的研究成果,减少数据传输频率和传输量,便能延长无线传感器网络的使用寿命。
设所求的n阶系数矩阵λ=(λ1,λ2,...,λn)T,实际测量值的m维矩阵表示形式是x=(x1,x2,…,xm)T。采样预测结果为m维矩阵函数X=(X(t1),X(t2),...,X(tm))T,由(1)可得,每个采样时间点ti的采样预测值用矩阵方式可表示为:
则绝对误差向量β可以表示为:
为了使估计值的误差最小,即为使误差向量β的范数的平方最小为优化目标,故有式(6)
为使上式取得最小值,将每一个λb(b=0,1,2,…,n)代入上式,并求上式的偏微分,即2对λ偏微分,
根据上式得到下式
由于定义的基函数Bi(t)=sin(Ωit+Ψi),所以基函数矩阵B是满秩矩阵,对于任意的列满秩矩阵来说,BTB是正定矩阵,故(BTB)-1存在,则可以得到系数向量λ的解是
令C=BTB,e=BTx,则根据上式,可以写出λ的根C-1e,即
实际应用中,一般已知测量值矩阵与基函数,就可以通过式(10)来求得优化函数[10]。
3.2 高阶拟合
文献[5]中采用高阶分析方法,对应的选取Bj(t)=tj-1,于是(1)式可以表示为:
可取n=4则用构建的函数模型X(t)=λ1+λ2t+λ3t2+λ4t3来代替测量值xi(i=1,2,...,m)的值。于是在数据传输中只需要传输λ1,λ2,λ3,λ4四个参数而实现压缩数据,降低了数据传输量[5]。
3.3 差分拟合
对于差分变换来处理数据,将上述中的式(1)用下式代替
式(3)用下式代替
基函数可以表示为Bj(t)=X(t-j)。之后的步骤与傅里叶变换分析方法的操作步骤一样,最后得到式(10)。最终都实现了在数据传输时只将相应的参数传输到基站,基站便可还原出较为真实的数据,达到数据压缩,降低数据传输量,从而实现延长无线传感器网络的使用寿命。
4 仿真结果
在生活和工业运用中,有很多场所是需要恒温条件的。部署在某恒温室内的大量传感器,用于实时监测该区域内的温度信息,并及时地将感知、采集的数据传输到基站,与设置的恒温温度相比较,以便基站对恒温室做出相应的措施来保证恒温室的温度恒定。
通常,可以认为每24小时内温度的变化是有一定规律的,于是实时监测24小时内的温度数据便可对恒温室的温度信息进行数据建模。这些传感器构成了一个无线传感器网络,以其中24小时内某一传感器感知的温度数据来分析。即对其中的一个节点进行分析,每间隔一个小时传感器来感知采集一次温度数据,以xi(i=1,2,...,23)来表示ti时刻实际温度与设定温度的差值(负数表示低于设定值),用向量λ来表示构建的数据模型中的参数矩阵。
根据大量传感器中某一个节点感知到的原始数据如下,即x矩阵,共23个,时间从1:00—23:00,每隔一小时传感器感知温度差值原始数据如表1所示。
根据上述分析方法,可以求知差分拟合得到的参数,λ=(λ1,λ2,λ3,λ4)T=(-0.00360,-0.14813,-0.00360,-0.14811)T,原之后得到的数据如表2所示。
同样,可知高阶拟合得到的参数,λ=(λ1,λ2,λ3,λ4)T=(-0.12781,-0.02224,0.04073,0.10041)T,还原之后得到的数据如表3所示。
傅里叶变换相应的参数,λ=(λ1,λ2,λ3,λ4)T=(0.51968,-0.92303,0.21912,0.17446)T,傅里叶变换还原之后得到的数据如表4所示。
三种数据建模方法仿真效果图对比如图1所示。其中横坐标代表时间t(1:00—23:00);纵坐标代表ti时刻实际温度与设定温度的差值(°C)。
从数据模型还原的数据表格与原始数据对比及仿真图可以看出,相比较高阶拟合和差分拟合,由傅里叶变换分析方法还原的数据更加接近原始数据,吻合度更好。同时,利用matlab强大的计算能力,我们可以计算出数据拟合效果评估参数,其中傅里叶变换的吻合度为89.69%;差分变换的吻合度为73.2114%;高阶拟合的吻合度为83.7481%。
故而我们可以得出结论,在三种数据建模的分析方法中,数据压缩程度相似,即需要传输的参数量相同,同时都降低了数据传输频率和传输量,降低了功耗,延长无线传感器网络的使用寿命。但是傅里叶变换分析方法所还原得到的数据更接近真实数据,所以傅里叶变换分析方法更优。
由上可知傅里叶变换建模得到的数据与原始数据的误差最小,在一定程度上可以用来代替原始数据即传感器感知的测量值。于是,在无线传感器网络中,可以先在节点内部进行一定地数据处理,只需将相应的参数传输给基站,基站便可根据参数来还原数据,实现数据压缩,降低节点的数据传输频率与传输量,从而降低了无线传感器网络的功耗,延长使用寿命。
5 结束语
本文从实际出发,概述了无线传感器网络技术的发展现状及本文的研究目的与意义,阐述了分布式数据采集的高阶拟合、傅里叶变换和差分拟合数据建模优化方案,并以利用温度检测系统实例为基础,对三种建模方案进行了仿真计算,发现傅里叶变换拟合方法构建的数据模型是最有效的,与原始数据的吻合程度最高。基于傅立叶变换的无线传感器网络数据采集数据建模研究,能有效实现监测数据压缩,减少数据传输量,降低了功耗,延长系统网络的使用寿命。
为从根本上解决传感器能耗与供电问题,研究与应用无源传感技术将是未来传感与监测的重点和趋势。
摘要：无线传感器网络技术具有低成本、分布式特点,在各个领域都有了广泛的运用,给我们的生活生产带来天翻地覆的变化。但是,随着无线传感器网络的复杂程度和节点增加,功耗也就随之增加,而电池寿命有限性制约了无线网络技术的发展。已有的研究表明,在数据传输中,节点间的数据传输是最为耗能的,于是降低节点之间的数据传输量与传输频率便能降低能耗,延长无线传感器网络的使用寿命,推动该技术的发展。用傅里叶变换、差分拟合、高阶拟合建立合适的数据模型,实现压缩数据,减少数据传输,同时保证数据的准确性,便实现了降低能耗、延长系统使用寿命的目标。相互对比三种数据模型,找到最为准确且能显著降低能耗的数据优化方案。
关键词：无线传感器网络,数据压缩,数据建模,仿真,功耗
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