快速傅立叶变换（精选8篇）
快速傅立叶变换 篇1
引言
信号处理有着悠久的历史。高级信号处理算法和硬件广泛见于各种系统, 从专门的军事系统到各式各样廉价大宗的日用电子产品的工业应用都是如此。在数字信号处理中, 信号是用有限精度的数的序列来表示的, 用数字运算来实现处理。而离散时间信号处理既包括了作为一种特殊情况的数字信号处理, 也包括了用其他一些离散时间计算处理样本序列的可能。Cooley和Tukey (1965) 所研究出的计算离散傅氏变换的快速傅立叶变换, 将计算量从O (n2) 下降到O (nlogn) , 从而使得FFT在数字信号处理、石油勘探、地震预报、医学断层诊断、编码理论、量子物理及概率论等领域都得到了广泛的应用。长期以来, 各种FFT的算法不断出现, 成为数值代数方面最为活跃的一个研究领域, 而其意义远远超过了算法研究的范围, 进而为诸多科技领域的研究打开了一个崭新的局面。
目前, 实现快速傅立叶变换的串行算法很多, 如基-2的时间抽取算法和频率抽取算法、N为复合数的FFT算法、分裂基FFT算法 (SRFFT) 、素因子算法 (PFA) 、Winograd傅立叶变换算法 (WFTA) 、实序列的FFT、多维FFT变换等。
国外围绕快速傅立叶变换的并行计算进行了多项研究和开发。美国New Mexico 大学Vasilios Georgitsis等人设计了2-DFFT程序, 可处理512*512个点的图像, 其底层通信基于PVM, 将2-DFFT转化成1-DFFT并行计算, 完成了二维图像的变换。离散傅立叶变换 (DFT) 在信号处理和其他领域有着广泛的应用。1965年Cooley 和Tukey发表了快速傅立叶变换的著名论文, 使n点DFT的运算量从O (n2) 下降到O (nlogn) , 对数字信号处理的发展起到了非常关键的作用。此后, 各种快速算法不断涌现, 成为数字信号处理的一个非常活跃的研究领域。随着数字信号处理的迅速发展和应用范围的日益广泛, 有些问题则要求极快的计算速度, 如遥感遥测信号处理、实时图像处理等领域。高性能计算机以其巨大的存储容量和极快的计算速度得到了信号处理界的重视, 成为国际上的研究热点。因此, 如何在并行计算机上快速有效地计算DFT成为一个新的研究课题。
现有快速算法大多是基于特定的体系结构, 如采用蝶形网络、超立方体等互联网络连接的并行计算机;或是假设任务间的通信时延为0、通信无冲突、并行处理器完全互联和可用处理器的个数不受限制等。而在消息传递系统中通信时延不能忽略。使用机群来进行并行处理, 是以较低开销来满足大量当前或即将出现的应用程序的计算需求的一个大有希望的途径。面向机群系统解决了通信和同步、任务调度以及消息在通信链路上的路由等问题。对样本数据长度N=2n, 设计实现了时间抽取算法;做到在大量数据情况下不改变计算复杂度的因子, 而是系数的改变带来的绝对计算时间的改变。
1 并行FFT算法
样本数目N=2m的算法已经有很多, 且研究非常深入, 这个领域已经基本上达到了理论研究的极限, 理论成果成形于20世纪70年代。蝶式计算可以将FFT的计算复杂度提高到Nlog2N。
蝶式计算的原理是利用系数Wundefined的周期性和对称性, 逐级对样本序列进行分割和计算。
蝶式计算可以分为两类:按时间抽取和按频率抽取。
在机群环境下, 首先利用时间抽取的FFT算法将样本序列按后端机个数分成几个大小相等的部分 (即划分成2的幂次个部分) , 然后将数据发送到后端机, 每台后端机对得到的样本数据进行按时间抽取的串行FFT计算。待所有后端机完成计算后, 在前端机的协调下完成最后几遍的蝶式计算。理想的情况时后端机的数目M=2m, 此时每台处理器的负载均衡, 并行计算的加速比最高。
前端机算法:
2 算法分析
假设样本数据量为N, 后端机个数为M时:
该并行算法的计算时间由三部分组成:数据通信时间, 前端机的数据合并时间和后端机串行算法的计算时间。假设传送一个数据的单位时间为t, 用于发送和接收数据的通信时间为2Nt;前端机数据合并的计算时间为Nlog2M;后端机串行算法的运算时间为 (N/M) log2 (N/M) 。
所以并行算法的运行时间为Nlog2M+ (N/M) log2 (N/M) +2Nt, 时间复杂度为O ( (N/M) log2 (N/M) + (log2M) N) 。
在同样机群系统及单机环境下实现算法, 实验结果如图1, 后端个数为4时, 加速比为2.7。当增加后端机个数时, 加速比加大, 这是因为计算负载固定不变时, 为达到实时性可利用增加处理器来提高计算速度;固定负载的计算分布在多个处理器上, 增加了处理器就加快了执行速度, 从而达到了加速的目的。但并行加速不仅受限于程序的串行分量, 而且也受并行程序运行上的额外开销影响, 当处理器增加到一定限度, 通信代价增大, 加速比不再增加, 且缓慢下降, 整个系统的性能价格比也显著增加。
小结
基于同构机群下设计和实现了时间抽取算法;做到在大量数据情况下不改变计算复杂度的因子, 而是系数的改变带来的绝对计算时间的改变。
参考文献
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[2]铁满霞, 董运红.快速傅立叶变换的多机并行计算[J].航空计算技术, 2000, 30 (3) .
[3]曾泳泓, 成礼智, 周敏.数字信号处理的并行算法[M].长沙:国防科技大学出版社, 1999:40-67.
[4]陈国良.并行算法的设计与分析[M].北京:高等教育出版社, 1994.
快速傅立叶变换 篇2
本文利用傅立叶变换红外光谱法检测一氧化氮纯气中的.二氧化氮杂质.利用恒定条件进样和双点法校准进行定量分析,并对分析结果进行了不确定度评价.该方法的建立为一氧化氮纯气中二氧化氮的定性和定量分析提供了一个全新的途径.
作 者：王德发 苏亚琴 Wang Defa Su Yaqin 作者单位：王德发,Wang Defa(中国计量科学研究院,北京,100013)
苏亚琴,Su Yaqin(抚顺市计量测试所,抚顺,113006)
快速傅立叶变换 篇3
电力系统谐波的形成是由于电力系统负荷和设备存在的非线性特性, 即系统中的电压形成的电流不是成正比例关系, 从而形成波形畸变。对于伏安特性保持正比例关系的用电负荷或设备, 当在电力系统中施加一个成正弦关系的电压时, 产生一个相应的正弦电流, 反之也相同。但正弦电压不会导致波形畸变。当设备或负荷的伏安特性表现出非线性关系时, 产生的电流也是非正弦波, 设备或系统的电压和电流频率域系统频率保持一致, 因此电流产生了畸变波形, 从而导致系统中产生谐波[1]。
1.1 频谱泄漏
电力系统中, 谐波变化因素众多, 且频率高, 含量低, 所以电力系统中的谐波分布都是随机的、非线性的。实际测量过程中, 往往都是在特定的观测时间下进行谐波测量, 信号采集也集中于选定的N点, 因此, 对于测量所获得的结果, 应该充分考虑到测量信号的有限长度、时频域的离散型而导致的特殊效应。对于具有周期信号的傅立叶计算, 将其假设为理想状态为:当采样频率数量满足要求条件下, 记录足够的信号样点数, 通过频域变化在对应的离散域位置得到独立谱线, 每根谱线都有一对应的频率分量。但是, 当测量采样参数与被测信号间出现不匹配时, 各谱线间相互影响, 导致分析结果产生较大误差, 并且在获得的真实谱线两侧产生若干点较小幅度的假谱, 这种假谱即为频谱泄漏。然而采样数据经过线性插值后, 获得更多的快速傅立叶变换算法 (FFT) 的采样点, 此时频谱泄漏会改善很多[2, 3]。
1.2 电力系统中的谐波测量
当前, 在电力系统谐波检测技术中, 基于FFT已经发展的较为完善, 其是通过调理电路对输入电压和电流模拟量的信号转变, 利用模拟信号转化为数字信号的AD电路将检测信号转变成离散型的数字量, 通过傅立叶变化公式来计算得到不同谐波和基波的相位角和幅值, 再按照国家标准计算获得对应的谐波指标并在液晶显示屏上实时显示。
基于FFT谐波时域测量系统可采用工业PC机或高档嵌入式芯片来实现谐波检测。两种检测方式具有运算速度快、运行性能稳定的优势, 但同时存在着运行成本高、系统消耗大、扩展性低的劣势。工业PC机配备大多数是通用CPU, 缺乏硬件浮点数单元, 一旦系统输入和采样点增多, 则导致系统运行缓慢。采用高档嵌入系统来进行谐波检测, 要满足FFT运算量, 必须要求配备的嵌入式系统带有相当数量的硬件浮点数, 且利用先进的编程算来来实现FFT运算。以上两种方案的实时响应时间较长, 均为毫秒级别。
2 基于FPGA的快速傅立叶变换算法的电力谐波分析
2.1 现场可编程门阵列 (FPGA)
现场可编程门阵列 (FPGA) 由符合一定规则逻辑阵列组合而成的满足复杂设计方案的一种自适应体系结构。FPGA优点在于计算速度快, FFT的运算时间为微秒级别, 甚至纳秒级别, 并且运算速度不会因数据量的增大而下降。
FPGA最大缺点在于不能进行浮点运算, 然而其内部的硬件乘、除法器补足这点遗憾, 并用空间换时间的思维方式保证了FPGA的高精度, 高速度运算特点。
2.2 FFT谐波检测理论
FFT作为一种快速算法, 在电力系统中的数字信号处理中获得广泛的应用, 当采样点N较大时, 采用离散傅里叶变化换 (DFT) , 其运算量迅速增大, 因此, 由于DFT算法的实用性较差的特点, 在电力谐波检测系统中不能进行很好的分析应用, 而采用FFT进行计算时, 只需将采样点数据进行奇偶分解, 便能将运算过程划分成对应流程, 因此, 当采样点N增加时, 只需按照奇偶逐步分解, 便可得到高阶的信号流程。例如, 当N=25时, 采用FFT计算只需进行一次奇偶分解, 将运算过程划分为五级流程, 每一级只需要进行32次乘法运算, 64次加减法运算, 整个FFT只需64X5/2=160次乘法运算, 320次加减法运算, 可见FFT算法相较于DFT算法, 当N越大时, 运算量将明显较小。FFT的此特点有利于FPGA平台的实现。
2.3 系统的整体结构
本文中基于FPGA的FFT实现对电力系统谐波检测, 需要采集3路电压电流的谐波, 并对其进行检测, 要保证采集和检测的六路信号具有较高的实时性和同步性, 再进行频谱分析, 获得相应谐波的相位角和幅值。
为保证建立的电力谐波检测系统在FPGA下的FFT具有足够的运算速度和精度, 同时考虑到谐波检测中存在的频谱分析, 所建立的硬件系统包括:CT/PT传感器单元、AD采样单元、基于FPGA (Xilinx Spartan 3A DSP) 的FFT单元、数据结果发送单元等。
软件系统完成初始化后, 通过CT/PT传感器单元接收到6路信号, 利用FPGA控制AD采样单元实时采样6路数据, 再通过FPGA的线性插值, 获得的高点数 (2N) 中间数据提供给FFT单元计算, 最终将6路计算结果通过数据结果发送单元发送给上位机, 由此得到6路相应谐波的相位角和幅值, 实现实时监测目的。
3 结语
本文利用基于FPGA线性插值的FFT变换实现了FFT变换的高速度要求, 改善了频谱泄漏问题, 满足了系统的实时性要求, 确保了电力系统的协调运行, 从而保证了电力系统谐波检测的实时性需求。确保了电力供应质量的稳定性和安全性, 对于电网建设具有重要意义。
参考文献
[1]翟义德.电力系统谐波问题及基于混合并联结构的治理方案[J].电力安全技术, 2013, 15 (11) 24-26.
[2]鲁昌华, 高翠云.利用频率跟踪技术减小频谱泄漏[J].电测与仪表, 2003, 40 (11) 7-10.
快速傅立叶变换 篇4
随着实时信号处理技术的发展,ADC器件广泛应用于雷达、通信和导航等嵌入式实时信号采集与处理系统中,ADC器件性能的优劣直接影响甚至决定系统的整体性能,因此评价ADC器件性能对评估系统整体性能的意义极为重要。
ADC的性能参数一般可分为静态性能和动态性能。动态性能能够更好地反映系统在交变信号输入条件下ADC器件的工作情况。评价ADC动态性能主要有以下三种方法:直方图测试法、正弦拟合法、快速傅立叶变换(FFT)测试法等。
针对不同的应用领域,系统的动态性能要求亦不尽相同。对于雷达、通信和导航等后端信号处理时需要做谱分析获取有用信息的系统,采用FFT测试方法是目前较为合适的测试方法之一。
1 ADC主要动态性能指标
在中频、射频信号采集系统中,ADC的信噪比(SNR)、信纳比(SINAD)、无杂散动态范围(SFDR)和有效位数(ENOB)等动态性能指标能够更有效地反映数据采集电路的设计情况及系统性能。下面给出ADC器件主要动态性能指标的一般定义:
(1)SNR。信噪比是信号基频分量的有效值与各种噪声有效值之和的比值。噪声包括量化噪声、热噪声、白噪声等奈奎斯特带宽以内的全部非基波分量,不包含谐波分量和直流分量。
(2)SINAD。信纳比指信号均方根振幅与所有频谱分量(包括谐波但不含直流)均方根和之比。SNR与SINAD之间的差异即是前五次谐波所含能量。
(3)SFDR。无杂散动态范围是正弦信号输入情况下,信号的均方根值与峰值杂散频谱分量(即杂波信号最大值)的均方根之比。该指标反映了ADC器件在大信号输入的情况下,同时能够检测小信号的能力。
(4)ENOB。有效位数是在ADC器件信噪比基础上计算出来的,它将传输信号质量转换为等效比特分辨率。最常用的ENOB计算法采用基于转换器满量程SINAD的以下方程:
SNR是在理想情况下ADC器件性能的反映,而在实际应用中,由于系统噪声使输出信号失真,有效位数就是引入噪声后系统性能的真实反映。因此,它能够更真实表征ADC器件总体性能进而体现系统性能好坏,是ADC器件最重要的动态性能指标之一。
2 测试与评价系统的设计方案
2.1 测试与评价系统的硬件设计
ADC器件的动态性能测试系统由前端以ADC转换器为核心的模数转换电路、后端DSP+FPGA架构的数据采集和处理电路和本地负责数据运算的PC机组成。
测试系统采用信号源输入纯正的正弦波,经AD8138放大、滤波后施加于14位ADC器件ADC9240的输入端,利用FPGA采集数据后,通过DSP芯片TMS320C6416的EMIFA总线传输到其内部,利用开发工具CCS将数据保存到上位机PC,在上位机上运行Matlab软件计算SNR、SINAD、SFDR和ENOB等动态性能指标,测试与评价系统原理框图如图1所示。
2.2 数据FFT变换及频域分析
基于FFT变换的评价系统性能的基本思想就是将时域数据转换到频域当中,通过时间积累N点参数对ADC器件进行评价。
假设以fs=1/△t频率进行采样,采样后信号为
假设采样频率为fs,信号频率f0,采样点数为N,那么FFT之后结果就是N点的复数,每一个点就对应着一个频率点。任一点的模值,就是该频率值下的幅度特性。如果原始信号的峰值为A,那么FFT的结果的每个点(除了第一个点直流分量之外)的模值就是A的N/2倍,第一个点就是直流分量,每个点的相位就是在该频率下的信号的相位。频域数据可以看作将信号在采样频率fs下分成了N等分,每个点的频率依次增加。测试与评价系统的软件流程如图2所示。
在评价软件的设计中,主要注意以下几点:
(1)系统最好采用奈奎斯特采样,即fs>2f0,因为如果不满足奈奎斯特采样定理,信号在频域会发生频谱混叠现象,还需要设计抗混叠滤波器,增加了系统软件的设计难度。
(2)选取一定带宽的信号能量与噪声能量计算动态性能指标。离散序列S(n)的频谱为离散谱线,时域加窗截断信号后使得原来的离散谱线向附近展宽,出现频谱泄露现象,频域表现为各个谱线不是单一谱线,而呈现为有一定的宽度,因此测试与评价系统中取1k带宽内信号,能够满足信号能量衰减接近于0的带宽要求,噪声样本选取4M带宽内的噪声。
(3)选择合适的采样点数。FFT变换后频谱分析中两个重要参数是频谱准确性和频谱分辨率,如果用长的窗,得到相对准确的信号频谱,但这样会降低其反映单音频率的能力,也会增加DSP数据采集的负担;如果采样点数过少,就会降低频谱分析的准确性。
3 仿真结果与分析
3.1 仿真实验
系统测试时采用1k单音正弦信号输入,14位ADC器件的采样速率为10MHz,FFT变换后采集8192点数据。数据带宽选取1k带宽,噪声宽度选取4M带宽进行频域动态性能分析。
将数据保存到本地PC机,利用Maltab软件计算得到的信号功率谱和噪声功率谱如图4、5所示。信号功率谱反映了信号能量在整个频率域的分布情况,从信号功率谱也可以看出,信号功率谱在输入频率1k处达到峰值。
噪声功率谱反映了信号谐波的分布情况和噪声在整个频率域的分布情况,从噪声功率谱可以看出,信号的谐波能量有多大,噪声主要分布在哪些频率。噪声功率谱对于硬件电路设计有重要意义,能够针对噪声的分布情况在模块设计时加入合适的滤波电容,抑制特定频率的噪声。
图4噪声功率谱(参见下页)
由于各个模块的差异性,同样的电路设计在具体模块中会有不同的测试结果,表1给出了3个测试系统模块的测试结果。
表1评价系统ADC主要动态性能指标参数
3.2 提高动态性能的关键技术
影响ADC采集动态性能的因素有很多,主要包括时钟的准确性、放大与滤波电路、电源电路和数模混合电路设计等。评价ADC器件的动态性能,是为了对ADC数据采集电路设计有指导意义,因此总结评价系统设计过程中出现的各种问题,提出以下设计要点:
(1)采样时钟的抖动、ADC器件本身的孔径抖动以及其他热噪声等都是降低采样信噪比的重要因素。采集系统设计时,最好选择抖动较小的时钟驱动器,由同一时钟驱动器分别给系统中DSP、FPGA和ASIC等器件提供同频同相时钟,在各器件内部用PLL倍频的方式,提供不同频率时钟,实践表明,这种方式要比利用多个晶振提供时钟效果好得多。
(2)在频率和技术条件允许的情况下,尽量选用模拟信号差分输入方式。差分模拟信号输入的电路结构能够有效抑制电路的共模噪声及干扰,提高共模抑制比,进而得到更高的信噪比。
(3)电源电路尤为重要,为了提高供电效率,一般数字电源都使用开关电源,因此抑制开关电源的开关纹波和对高频噪声的滤波尤为重要。在评价系统的某些模块,明显看出噪声功率谱中出现了700k的开关噪声频率。模拟电源一般应选择线性电源,ADC电源轨上的滤波电容,建议使用10-22μF的高低温特性好、低ESR的陶瓷电容,局部去耦电容采用0.01μF和0.1μF的陶瓷电容相结合。
(4)模拟和数字电路地分开,采用磁珠单点相连。ADC器件本身的数模地都接在模拟地上,这样要比ADC的DGND接数字地、AGND接模拟地的方式引入的开关噪声小得多。ADC器件四周连接旁路和关键电容的走线宽度应尽可能大,电容应具有通向电源层的过孔,并且过孔应非常靠近ADC器件电源引脚,以使阻抗和电感最小,建议走线宽度大于或等于10mil。布线时,应使高速数字信号走线远离敏感的模拟走线、时钟走线等。
4 结束语
本文采用FFT分析了ADC器件的动态性能指标,给出了方法的具体工作流程,结合工程应用讨论了数据采集与处理系统的关键技术,提供了具有现实意义的工程实践方法,并进行了仿真验证。本文研究得到的设计与评价方法已经用于某型信号处理机中,试验结果表明,效果良好,为其他系统设计和工程实现提供了便利,具有较为广泛的理论和现实意义。
摘要：为了评价ADC采集的动态性能,比较了常见的ADC动态性能的分析方法,给出了ADC主要动态性能指标,提供了以数据采样模块为评价系统的设计方案。采用快速傅立叶变换对ADC采集数据进行时频转换,重点分析了数据频域特性,讨论了快速傅立叶变换后对动态性能的影响因素,同时提供数据采集电路设计关键技术,结合评价系统给出定量的测试结果并进行分析,验证方法的有效性。
关键词：模数转换器,动态性能,有效位数,快速傅立叶变换
参考文献
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[4]陈卫东,杨绍全.加窗离散傅里叶变换测频分辨率研究[J].西安电子科技大学学报,2000,27(2):157-160.
快速傅立叶变换 篇5
首先要让学生认识到算法的重要性和应用的广泛性,不然学的时候模糊,将来用时就会出问题。其次,要引导学生了解其背后的思想,欣赏理论和算法的美妙,有兴趣尝试解决难题。学习者得找几个数亲手算一算,然后依照给定算法,亲自编写程序,验证一下示例才能真正掌握这些内容。正如Donald Knuth所说,“人们常常说,除非一个人能将某事教给其他人,他才算是真正地了解了这件事。实际上,直到一个人可以将某事教授给计算机,他才算真正地了解了这件事”。所以,照着算法自己编一下程序,是最好的学习方法。
1 傅立叶级数、傅立叶变换的形式及其应用
因应用目的和习惯不同,一些书中可能用不同的符号和形式表示这些数学式,容易引起学习者疑惑,教学中要多做比较,才能更清楚地让学生掌握数学语言所表达的意义。下面是常用的傅立叶级数实数形式:
有限离散形式如下,其中x=j (2π/N)
傅立叶变换,逆变换为
学任何算法,首先要知道问题的来源,教学中对傅立叶变换的应用要通过示例解释清楚,才会收到好的教学效果。傅立叶变换在信号处理中实现时间域到频率域的相互转换,是实现数字滤波的基础;在函数逼近中,可把函数展开成傅里叶级数,实现用简单的三角函数替代复杂或难表示的周期函数,也是进行近似计算的基础算法。傅立叶变换在解偏微分方程等其他领域也有广泛的应用。
2 傅立叶级数的系数
可以从以下3个方面来看待傅立叶级数的系数,这样便于理解和记忆。教学中可先讲清正交函数的优点,正交函数内积为零可简化很多计算。
2.1 高数教材中系数的推导
一般上来就告诉学生函数可展成三角级数,系数an怎么定呢?用cosnx乘两端,再从-π到π逐项积分,根据三角函数系的正交性,其余各项为0,得系数an。单从这个角度来看,多数同学虽然可理解,但总感觉太抽象和生硬。学了数值分析课还可从以下函数逼近角度理解。
2.2 最佳平方逼近
用正交函数族作基函数来逼近函数f(x),用最佳平方逼近方法,求系数a组成的多元函数极值时可得方程,因所选的基函数为正交函数,所以解可直接写为:
根据内积的定义直接得出傅立叶系数的表达式,这样可更好地理解傅立叶级数。
2.3 函数向量投影到基向量
有时从几何的角度来理解这一问题更直观。把函数作为一个向量,投影到基函数(基向量)上,傅立叶系数就是在各基函数向量上的长度坐标(即射影),也就是坐标值。形式如向量a射影到b:prjba=|a|cos∠(a,b)=a·b/|b|。函数向量f(x)射影到函数向量cos(nx)上,即an=(f(x),cos(nx))/(cos(nx),cos(nx))。
3 离散傅立叶变换(DFT)
学习快速傅立叶变换,当然先要明白普通的离散傅立叶变换算法及程序的编写。这也有利于验证快速傅立叶变换。复数域表示有限离散形式是:
复数形式正逆变换,归结为计算
设N=4,用矩阵形式表示为:
用C语言可先定义复数数据结构及其加、减、乘法,再编写如下函数进行离散傅立叶变换。
4 快速离散傅立叶变换(FFT)
4.1 算法原理
因复数形式正逆变换,归结为计算
利用w的周期性、对称性,或从矩阵分解的角度看,设N=4,表示成矩阵形式为:
根据周期性对称性w0=1,w2=-w0,w3=-w1
从离散点的奇偶划分看
即N个xk的傅里叶变换转换为N/2长度的两个傅里叶变换。可依次再分割下去。如N=8个离散点时:
(x0,x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)划分为(x0,x2,x4,x6)(x1,,X3,x5,x7),再划分为:((x0,x4)(X2,x6))((x1,x5),(x3,x7)),直到(x0,x4,x2,x6,x1,x5,x3,x7),用二进制表示下标为
(x000,x100,x010,x110,x001,x101,x011,x111),正好是原来数字的二进制逆序。如图1～图4所示。
4.2 人工计算
可找几个数进行人工计算,对于掌握算法及编程是必要的。如算4个点值0,1,0,-1,测试三角插值:
其中对于e-i2π/N式的n次,n=0时w[0]为1,n=1时w[1]为-i,根据上文中离散傅立叶变换公式作代换c[k]=c[k]/N,这里N=4,可确定N/2次的三角插值,其中cos函数的系数:ak=2*R(c[k]),这里值皆为0,sin函数系数bk=-2*I(C[k]),只取到b1=1,即得插值函数1*sin(t),再返过来在一个周期上等距采样4个值正好为0,1,0,-1。
4.3 FTT的C语言程序
二进制的逆序程序为:
在以下程序中q为递推步,从0到p-1共p步,k为每步中蝶块号,第一步0,第二步0、1;r为每个蝶块中元素个数之半;j为各步每蝶块中前一半的元素号;如q为0、1、2、3,块数1、2、4、8,块号k=1<<q,r为8、4、2、1,A的下标j+k*2^(p-q)。
5 应用示例
如下列程序所述,对函数f(x)=|x|和一个已知的三角函数进行数据采样,再进行傅立叶变换后做三角插值,当然也可利用FFT进行数字滤波,滤去某些频率成分的信号。
可用Matlab或C语言绘图,函数逼近如图5～图6所示。
参考文献
[1]李庆扬,王能超,易大义.数值分析.5版.北京:清华大学出版社.2008.
[2]张正秋.数值计算与数据处理编程及实践.北京:清华大学出版社,2011.
快速傅立叶变换 篇6
已报道的烟叶中叶黄素和β-胡萝卜素的测定方法有光度法、薄层色谱法和高效液相色谱法[1,2,4,5,6,7,8]。传统的光度法准确性较差,薄层色谱法和液相色谱法样品前处理较麻烦,溶剂用量大,且大多采用 80% 或 90% 丙酮溶剂萃取色素,使水溶性棕色化合物部分溶解,干扰了叶黄素和β-胡萝卜素的定量测定[4]。
近年来,随着近红外光谱技术和化学计量学的飞速发展,近红外光谱技术可以对复杂多组分体系进行分离,可建立各组分的定量预测模型,具有快速、节省费用等优点[9,10],已经在农业、食品、医药、烟草和石油化工行业得到广泛应用。本研究采集烟草粉末样品的傅立叶变换近红外漫反射光谱,同时应用高效液相色谱法测定烟叶中叶黄素和β-胡萝卜素含量,采用偏最小二乘法建立测
定烟叶中叶黄素和β-胡萝卜素含量的定量预测模型,并对所建立的模型进行验证。结果表明,采用近红外光谱技术对烟草中叶黄素和β-胡萝卜素含量进行快速测定,结果令人满意。
1 实验部分
1.1 主要仪器和试剂
红外光谱仪(Nicolet Antaris FT-NIR光谱仪,包括InGaAs检测器的漫反射积分球、5cm石英采样杯和旋转台等附件,美国Thermo Nicolet仪器公司),化学计量学软件(TQ Analyst 7.1,美国Thermo Nicolet仪器公司),2690型高效液相色谱仪(Waters 996 二极管阵列检测器,Waters Millennium32 色谱工作站,美国Waters公司); 旋风磨(丹麦FOSS公司);电子天平(瑞士Mettler Toledo公司);针头过滤器(天津市腾达过滤器件厂)。
乙腈,二氯甲烷,异丙醇,丙酮 (均为色谱纯,美国DIMA公司)。叶黄素和β-胡萝卜素标准品(>95%,Fluka公司)。
1.2 样品制备及液相色谱数据的测定
挑选不同陈化时间的红大品种烟叶,包括上部正常等级烟叶(B2F)和上部青筋黄片烟叶(B2V)的烟叶样品,用旋风磨粉碎过60目(0.246mm)筛,装入密封袋低温避光保存。
采用高效液相色谱法测定烟叶样品中叶黄素和β-胡萝卜素含量。称取0.500g制备好的烟叶样品,加入20mL丙酮溶液超萃取30min,萃取液用针头过滤器过滤,滤液直接用HPLC分析。色谱柱为Waters μBondapak TMC18柱(10μm,3.9×300mm);流动相为V(乙腈)∶V(异丙醇)∶V(二氯甲烷)=80∶10∶10,流速为1.0mL/min;进样量为20μL;检测波长为450nm。
1.3 红外光谱数据的采集
应用RESULTTM集成软件设置仪器工作参数,编写采集光谱数据的工作流程。近红外光谱仪开机预热2h后,将制备好的烟叶粉末样品分别装入近红外仪的专用石英采样杯中,轻轻压平,置于近红外仪的旋转台上,调用编写好的采样程序采集样品的近红外漫反射光谱,采集烟叶样品的近红外光谱数据的仪器参数设置见表1。
1.4 模型的建立
应用TQ Analyst 7.1光谱数据处理软件对样品的近红外漫反射光谱进行分析处理,将所得近红外光谱与样品中叶黄素和β-胡萝卜素含量的色谱测得数据一一对应,采用偏最小二乘法(PLS)建立了测定叶黄素和β-胡萝卜素含量的校正模型。模型预测数据与基础数据的相关性分布如图1所示。
2 结果与讨论
2.1 样品的近红外光谱采集
近红外谱区吸收强度弱,信噪比较低,且测定时也不需要对样品进行复杂预处理,因此测定时背景复杂,容易受样品状态和装样条件影响。为了获得良好的光谱数据,样品光谱的采集应在稳定、严格规范的实验条件下进行,在装载样品进行测定时,样品粒度、样品池中样品的厚度及装样的实密程度要一致。装载样品及进样上机扫描时,要在最短的时间内完成,建模所采集光谱数据(尤其当环境温湿度变化较大)时,每做一个样品就扫描一次背景。本实验采取多次扫描以求取平均光谱来提高光谱的信噪比。
2.2 校正模型建立和优化
近红外光谱分析是从复杂、重叠、变动的背景中提取信息,所以在建立近红外校正模型时,需要对近红外光谱进行一系列预处理来放大信号,滤除噪音等处理,并选择合适的谱区及其他合适的参数。一般消除近红外光谱的旋转或者漂移造成的影响可以利用导数给与校正[11],本文采用二阶导数对原始光谱进行校正,并采用Norris Derivative Filter(7,5)对求导后的光谱进行了平滑滤噪,获得了比较理想的校正模型。表2为校正模型的相关数理指标。
近红外校正模型初步建立后,需要对模型进行优化以剔出建模样品中的异常值(Outlier),修改建模的谱区和各种参数来提高模型的稳定性和可靠性。异常值主要有两类,一类是样品的化学测定值或光谱扫描有较大的误差,另一类是样品的化学测定值和光谱数据都准确,但是样品本身与建模样品其中大部分样品存在较大的差异。异常值在建模过程中,一般具有较大的杠杆值(leverage)和残差值,影响模型的预测精度。本文采用交互校验(Cross-validation)方法,逐步剔除异常值。
应用偏最小二乘法建立近红外校正模型时,要使校正的结果与预测结果都很好,做到最佳拟合,即确定建模时所需要的最佳主成分数,这是偏最小二乘法建立校正模型时的一个关键点。在对样品进行主成分分解时,第一主成分最重要,随着主成分数的增加,重要程度依次降低,以至最后几个主成分反应的是噪音信息。建模时需要确定最佳的主成分数,避免“欠拟合/ 过拟合”。本文应用交互校验方法,通过F 检验来确定当预测残差平方和( PRESS)达到最小时的主因子,即最优成分数。图2为校正模型中主成分数与交互校验均方残差RMSECV的关系。
2.3 模型的外部验证
为了对建立的模型预测能力进行评价,在内部交叉验证的同时,挑选未参与建模的一定数量的样品作为校验集,对模型的预测能力进行检验。本实验中随机挑选未参与建模的样本20个,利用模型对其进行预测,将预测结果与其真实测定结果进行比较分析,结果如表3所示。
从表3结果可以看出,校验集样本的预测值与测定值配对t检验的值均小于t(20,0.05)的值1.96,表明两组数据之间不存在显著性差异,所建立模型具有较好的预测能力。
2.3 模型的应用
应用所建立的近红外测定模型来分别测定不同陈化时间的红大品种上部正常等级烟叶(B2F)和上部青筋黄片烟叶( B2V)中的叶黄素和β-胡萝卜素含量(如表4)。
从表4的测定结果可知,B2V和B2F烟叶的陈化时间从12个月延长至24个月,它们的叶黄素和β-胡萝卜素含量均分别呈现明显的下降趋势。在陈化时间相同时,B2V烟叶中的叶黄素和β-胡萝卜素含量均高于B2F中的含量。
3 结论
本文建立了近红外快速测定烟叶中叶黄素和β-胡萝卜素含量的方法,所建立的近红外光谱预测模型具有较好的稳定性和预测能力,适用于烟叶中叶黄素和β-胡萝卜素含量的快速测定。
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离散傅立叶变换及其应用 篇7
关键词：雷达信号处理,离散傅里叶变换,双音多频
仪器设备是高校开展教学、科研和服务社会的物质基础,直接制约着高等教育教学质量和科研水平的提高,做好仪器设备管理工作,使其在人才培养与科学研究中发挥良好效能,是当前各高校普遍面临的共同难题。
信号是信息的载体,它携带着有用信息,如频率、幅度、相位等。信号如果时域特性不明显,我们可以采用傅里叶变换,将时域信号转换到频域中进行分析和处理。一段时域信号如图1所示。
从时域图上不能看出信号中含有几个频率分量,有没有噪声存在。显然转到变换域进行分析是一条途径。通过对信号作傅立叶变换后,如图2所示。
由于噪声的功率均匀分布在整个频率轴,而信号的频率分量只集中在某个频率附近,表现为较高的谱峰,从而可以将信号从噪声中分辨出来。因此频域中完成对信号的分析和处理,是信号处理的另一个有效的途径。能够将时域中信号转换频域的变换就是傅里叶变换,冈萨雷斯版《图像处理》里面的解释非常形象:一个恰当的比喻是将傅里叶变换比作一个玻璃棱镜。棱镜是可以将光分解为不同颜色的物理仪器,每个成分的颜色由波长(或频率)决定。傅里叶变换可以看作是数学上的棱镜,将函数基于频率分解为不同的成分。当我们考虑光时,讨论它的光谱或频率谱。同样,傅立叶变换使我们能通过频率成分来分析一个函数。
傅里叶变换分为4种[1]:傅里叶级数(FS)、傅里叶变换(FT)、离散时间信号傅里叶变换(DTFT),离散傅里叶变换级数(DFS),这4种傅里叶变换有各自应用领域和特点,都不能用于计算机上进行信号频谱的快速处理,我们希望理想的傅里叶变换是:时域、频域均为有限长且是离散的傅里叶变换对,这就是离散傅里叶变换(DFT)。
1 离散傅里叶级数
连续时间信号时域抽样,数学上就是用时域中的抽样冲激串序列与时域信号相乘,完成时域抽样,得到抽样后的离散时间信号。时域抽样对应频域信号的周期延拓,但序列的频谱仍是连续的频谱,所以需要频域抽样,就是用一系列等间隔的冲激串函数与DTFT相乘。
假设频域的抽样间隔为,频域延拓周期:,DTFT的一个周期抽样点整数恰好N个,,则得到抽样后的频域序列,为以N为周期的周期序列。根据时频域的对应关系,频域相乘时域卷积。而冲激串函数的时频形式与频域相同,也是一系列等间隔的冲激函数。时域的间隔T与频域的抽样间隔满足反比的关系:,那么,时域离散信号与q(t) 卷积后的结果是:将原离散信号以T为周期进行周期延拓,从而形成离散的周期序列。
频域离散 化导致时 域周期延 拓 , 延拓周期为:,则一个周期内时域抽样点数为:。因此,对离散信号的DTFT进行频域等间隔抽样后,时域会周期化,从而导致时频域均为离散的周期的序列,而且时域一个周期的点数和频域一个周期的谱线数目相同,均为N个离散点。既然时域、频域均是周期的,因此各自只有N个独立值,则可取一个主值周期的序列来表征这种变换形式,这就是N点有限长序列的N点离散傅立叶变换。
2 离散傅里叶变换
N点离散傅立叶变换是离散信号的DTFT在一个周期内的N点等间隔抽样,即:
经过频域抽样得到频域离散,时域离散的傅里叶变换对,就是离散傅里叶级数DFS:
为了适应实际信号处理中,序列有限长特点,将信号加以截断,取DFS一个周期,从而得到DFT变换式:
如何根据离散傅立叶变换恢复出原信号呢?离散傅立叶逆变换(IDFT):
说明:由于时域的离散导致频域的周期,频域的抽样导致时域的周期,所以,尽管DFT的表达式中只取了N点序列值,但是它的时频域都是来自于周期序列的一个周期,即DFT隐含周期性。
离散傅里叶变换的物理意义[2]:序列的N点DFT是序列的连续谱在区间[0,2π ]上的N点等间隔抽样,DFT所求的仍是序列频谱,是离散谱。由频域的抽样过程可知,利用DFT可以对信号的连续频谱做近似,可以实现连续频谱的数字化处理。
3 离散傅里叶变换的应用
3.1 DFT在语音信号处理中应用
双音多频(Dual Tone Multi Frequency,DTMF)信号是电话系统中电话机与交换机之间的一种用户信令,由美国AT&T贝尔公司实验室发明。这种信号制式具有很高的拨号速度,且容易自动监测识别,很快就代替了原有的用脉冲计数方式的拨号制式。双音多频的拨号键盘是4×4的矩阵,每一行代表一个低频,每一列代表一个高频。这样8个频率形成16种不同的双频信号。每按一个键就发送一个高频和低频的正弦信号组合,DTMF信号是采用8中取2的方式,从高低两个音组中各取一个音频复合而成来代表0~9的号码和其他功能码,在接收端,要对收到的双音多频信号进行检测,检测两个正弦波的频率是多少,以判断所对应的十进制数字或者符号。显然这里仍然要用数字方法进行检测。检测的方法是用DFT对双音多频信号进行频谱分析,由信号的幅度谱,判断信号的两个频率,最后确定相应的数字或符号。例如,号码‘2’是于由某两个双音多频键的频率相混合叠加,但在时域中很难分辨出,通过离散傅里叶变换将信号转换到频域中,对应的归一化频率分别为和,对应的实际频率为和相混叠,如图3所示,国际上规定双音多频信号的抽样频率为
3.2 DFT在雷达信号处理中的应用
在工程实践中,例如雷达系统中,DFT也发挥着重要的作用。
军事雷达的任务是对运动目标如飞机进行定位。但是大量的地物杂波、云雨杂波、鸟群杂波,同运动目标的回波信号一同进入接收机。运动目标的回波电平往往比杂波电平低很多倍,使运动目标被淹没。这时,在时域中将它们区分已不可能。
根据运动目标和杂波相对雷达的径向运动速度不同,回波具有不同的多普勒频率,我们将转向频域根据多普勒频谱的差别来区分运动目标和杂波。假设运动目标的径向运动为Vr,则回波脉冲串的幅度会受到多普勒频率的调制:
MTD多普勒滤波器组是具有N个输出的横向滤波器组,横向滤波器有N-1根延迟线,每根延迟线的延迟时间为Tr,N个输出端的加权值为:
n表示第n个抽头,k的取值从0到N-1,不同的k值对应不同的多普勒器响应,窄带滤波器组就是按DFT定义式展开,加权因子按DFT定义,所以DFT是一种特殊的横向滤波器,当N=8时,8个相邻的窄带滤波器组,如图4所示。
对同一距离单元的回波脉冲串作频谱分析,用频率过滤的方法检测出运动目标的多普勒频率谱线,滤除干扰杂波的谱线,可使雷达从强杂波中分辨出目标信号。因此,雷达接收机的动目标检测本质上相当于是一种频谱分析仪。
离散傅立叶变换的应用远不止于此,自从1965年Cooly和Turky提出了离散傅立叶变换的快速算法之后,离散时间信号的许多时域运算如卷积、滤波,都可以转化到频域来高效地实现,从而节省运算时间,提高运算效率。凡是在大数据量实时计算的场合,几乎都离不开离散傅立叶变换的影子。因此,可以毫不夸张地说,离散傅立叶变换是数字信号处理的基石,数字信号处理领域核心算法之一。
4 结束语
快速傅立叶变换 篇8
糖尿病对人体危害很大,可导致感染、心脏病变、脑血管病变、肾功能衰竭、双目失明、下肢坏疽等而成为致死致残的主要原因[1,2,3]。糖尿病高渗综合症是糖尿病的严重急性并发症,初始阶段可表现为多尿、多饮、倦怠乏力、反应迟钝等,随着机体失水量的增加病情急剧发展,出现嗜睡、定向障碍、癫痫样抽搐,偏瘫等类似脑卒中的症状,甚至昏迷。
在我国,糖尿病患者有几千万人,且近年来发病率显著上升,对于临床诊断和糖尿病人的血糖的控制,血糖的测量都是很重要的方法之一。传统检测血糖的方法主要是从体内抽出血液通过生化检测进行分析,给患者带来极大的痛苦和不便,从而限制了检测血糖的频率,影响了对血糖浓度的监控[4,5]。无创伤血糖浓度检测方法对于减轻糖尿病患者的痛苦、改善现行用药方法、精确监控血糖有非常重要的现实意义。
1 实验部分
1.1 仪器
仪器:傅立叶变换红外光谱仪(Spectrum 100),PerkinElmer;
仪器条件:波数范围:1 400～900cm-1;分辨力:4cm-1;扫描次数:32次。
1.2 实验设计
挑选20～30岁健康男女各2名,分时间段测试其手掌皮肤及其表面分泌物的红外谱图。测试前,被测者的手掌以中性肥皂洗干净,然后用自来水冲洗1分钟左右以除净肥皂,以无尘纸擦干后紧贴ZnSe晶片上进行测定。以1 170cm-1谱带为基准,测量1 120cm-1左右谱带的相对强度。之后每隔10min测一次被测者的手掌皮肤及其表面分泌物。1h后停止测量,计算每次测量1 120cm-1左右谱带的相对强度。
1.3 最佳波段选择
为了确定在中红外区对葡萄糖浓度变化最灵敏的区域,对葡萄糖水溶液进行了红外光谱测量,吸收峰主要集中在1 200～900cm-1之间。有五个吸收峰,位置分别为1 160、1 120、1 080、1 030、994cm-1。而加入葡萄糖的不同而引起吸光度的变化在1 120cm-1附近谱带最为明显。
1.4 手掌与血液对比测试
由于新鲜的血液含有较多的水分和其他组分,我们采用凝固后的干血来测试图是凝固后的干血及被测试者的手掌红外谱图比较,从图中看出,手掌皮肤与血液的谱图非常相似。
1.5 手掌皮肤及其分泌物光谱随时间的变化
对检测者洗手后的手掌每10分钟检测一次,图2为检测者洗手后0～50min不同时间搜集的红外谱图。
从图2可以看出,随着时间的增加,1 120cm-1附近的谱带的强度变化明显,以1 170cm-1谱带为基准,计算1 120cm-1处的谱带相对强度随时间的变化,表1为1 120cm-1处的谱带的相对强度与时间变化的关系。
从表1看出,随着时间的增长,1 120cm-1附近的谱带的相对强度明显增加,表明皮肤表面有分泌物出现,而30min后,1 120cm-1处的谱带相对强度基本保持不变。
2 结果和讨论
由实验测试结果可知人体手掌皮肤洗手30min后其表面分泌物趋于稳定,而且人体的细胞外基质和皮肤的分泌物中都含有与葡萄糖成分相关的物质,据此我们可以通过测定洗手30min后手掌皮肤及其分泌物在1 120cm-1处的谱带相对强度来测定人体中血糖含量。此方法可直接用衰减全反射(HATR)附件来测定,操作简便,无任何创伤,也是以后血糖检验的主要发展方向
摘要：手掌皮肤及其表面分泌物可以表征人体中的血糖,用红外光谱仪测试手掌皮肤及其表面分泌物谱图,由谱图中1 120 cm-1左右的吸收峰的强度来判断人体中血糖的高低。该方法对人体无任何创伤,是以后血糖检验的主要发展方向。
关键词：红外光谱仪,手掌皮肤,血糖
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