拉格朗日分析（共7篇）
拉格朗日分析 篇1
现代电力系统中,架空输电线路扮演着重要角色,它不仅承担着传送输配电的功能,还要抵抗自然或人为带来的干预与破坏,且需要对铁塔的运行状态给出合理的综合评价,防患于未然,提高输电线路运行的安全性和可靠性。长期运行资料表明,输电线路安全事故大多由输电铁塔本体受外力破坏造成[1]。输电铁塔本体安全由铁塔应力和塔材实际强度2个方面表征[2]。随着我国电力事业的迅速发展,输电铁塔结构日趋复杂,对于存在柔性杆件的铁塔,若采用传统的有限元线性分析,则计算结果由于计算过程中对其进行线性化近似处理而产生较大的偏差。目前采用有限元非线性分析[3,4,5,6],该方法将铁塔结构中的刚性杆件也用非线性分析,虽然其计算结果的精确度较高,但大大增加了对刚性杆件分析的计算量,降低了计算速度,不能应用于铁塔结构安全的实时监测。因此本文将铁塔结构中的刚性单元跟柔性单元分别进行线性分析与非线性分析,以提高其计算速度。
目前对铁塔结构的应力分析都采用有限元法,有限元是将所研究的物体分解成若干个单元,每个单元先假定一个近似解,然后求出该域的满足条件,进一步得到最终的解[7,8]。有限元与传统的分析方法相比具有较高的精度,且能分析复杂的铁塔结构,然而有限元只能求解节点的应力,并通常把节点应力视为铁塔构件的最大应力,实际情况中构件的最大应力并非就是节点应力,且构件的最大应力由该构件全部节点变形计算得到,而节点应力只由该节点变形计算得到,因此若将节点应力视为最大应力则会影响铁塔结构安全评价的准确性。本文对铁塔结构中的刚性单元跟柔性单元分别采用线性和非线性方法对其进行分析,且对节点应力进一步分析处理,求出2节点间构件的最大应力,得到铁塔应力的精确分布及最大值,提高对铁塔结构安全评价的准确性。
1 铁塔结构模型与材料模型
1.1 铁塔结构模型
首先建立铁塔结构的桁梁混合模型,将既承受轴向力又承受剪力和弯矩的主材或者横隔材视为梁单元,只承受轴向力的斜材被视为杆单元,而不承受作用力的辅材则被简化掉不作为模型的单元[9,10,11]。以铁塔的横担方向作为整体坐标系的x轴,线路方向作为y轴,竖直方向作为z轴,并满足右手定则;以杆单元所在直线作为单元局部坐标系的x轴,杆件与局部坐标系下的x轴方向重合,其正方向与整体坐标系x轴正方向一致。
1.2 铁塔材料模型
对于不存在柔性杆件的铁塔,塔材是线弹性材料。对于存在柔性杆件的复杂铁塔,将塔材分为2组:(1)承受拉压的刚性单元:塔材是线弹性材料。(2)承受拉力的柔性单元:只承受拉力,不能承受压力杆件[12,13]。
2 铁塔结构应力分析
2.1 刚性单元线性分析
根据所用钢材的横截面面积、材料的弹性模量和剪切模量等相关参数生成单元刚度矩阵[14],根据杆件之间的空间角度关系、杆件之间连接关系,转换叠加出铁塔整体刚度矩阵,根据铁塔钢材的自重、铁塔所受的风荷载和铁塔所受导线的拉力分别等效为相应节点所受的载荷,并生成节点载荷阵列,每个节点具有6个自由度,即杆件承受一维轴力、两维剪力、两维弯矩、一维扭矩,即对应着节点的6个自由度[14];以节点位移阵列作为未知量,与整体刚度矩阵,节点载荷阵列组成矩阵方程。由于整体刚度矩阵为奇异矩阵,方程组无解,若要求解该方程,必须引入约束条件,限制铁塔结构的刚性位移,保证整体刚度方程有惟一解。采用对角元素置1法,将δi=δ0引入整体刚度矩阵,针对输电铁塔的4个塔腿中,与基础连接的部分是固定端约束,因此δ0=0;将刚度矩阵K的第i行的主对角线元素Kii置1,其余元素清0,且将第i行的载荷项Ri用0代替。即代入24个位移边界条件,消除整体刚度矩阵的奇异性,从而采用高斯消元法进行矩阵方程求解,求解出节点位移矩阵,再根据弹性力学中应变与位移的关系[15],计算出各节点的应力、应变。
2.2 柔性单元非线性分析
由于铁塔结构中柔性杆件的应力与应变呈非线性关系。因此,对于求解此类非线性问题,不能采用传统的直接求解方法,必须把非线性问题分成若干个加载步,分阶段对其逐步求解,即只要把荷载分的足够细,迭代次数足够多,就可以用分段线性分析代替大位移小应变的非线性[16]。运用修正的结构几何位置变形原理对铁塔结构中的柔性单元进行非线性分析,即以t时刻的状态作为基准,推出t+Δt时刻的状态。修正的结构几何位置变形原理:
式(1)中:X0,Y0为柔性单元的坐标值;Ui,Vi为单元变形后在节点i处的位移;Uj,Vj为单元变形后在节点j处的位移。
梁单元的节点位移可以表示为:
式(2)中:l0,θ0为柔性单元的坐标值;Ui,Vi,θi为单元变形后在节点i处的位移;Uj,Vj,θj为单元变形后在节点j处的位移。
则节点位移阵列可以表示为:
变形后的单元节点力可以表示为:
式(4)中:[K'](e),[δ'](e),[F'](e)分别为局部坐标系下变形后的单元刚度矩阵、节点位移和单元节点力。
通过坐标转换为整体坐标下单元节点力,式(4)可变为:
如果将结构以线性分析计算得到的弹性位移作为第一次近似值,然后通过式(3)、式(4)算出各单元作用在节点上的力为:
则在各节点上产生的不平衡力为:
将不平衡力作用到结构的各节点上,得出节点的第二次近似值,重复上述过程多次迭代直至[ΔR]≈0为止。假设结构在载荷作用下已用线性理论方法求出位移的近似值,其迭代步骤为:
(1)建立各单元的局部坐标,并计算出各单元在局部坐标下的单元刚度矩阵[K'](e)和位移阵列[δ'](e)。
(2)计算节点应力,将局部坐标下的单元刚度矩阵[K'](e)和节点应力[F'](e)经坐标变换转换到整体坐标下的
(3)叠加生成整体结构的刚度矩阵
(4)计算出各单元作用于节点上的力[Rr],并计算不平衡力[ΔR],即:
(5)重复上述过程多次迭代直至[ΔR]≈0为止。
2.3 拉格朗日插值
根据上述计算方法所得到的节点应力、应变对各个矩阵中的各项值进行拉格朗日插值,通过插值函数的计算得到较为精确的铁塔各杆件的应力计算公式。应力的拉格朗日插值表达式为:
式(9—14)中:Fi为节点的应力矢量;x,y,z分别为节点应力的方向;li为拉格朗日基本多项式(拉格朗日基函数);L为拉格朗日插值多项式。
对其中的L(x),L(y),L(z),L(xy),L(yz),L(xz)的自变量进行一阶微分,求出其导数等于0的点,即令L'(x)=0,L'(y)=0,L'(z)=0,L'(xy)=0,L'(yz)=0,L'(xz)=0,解分别记为x',y',z',xy',yz',xz',分别求出L(x'),L(y'),L(z'),L(xy'),L(yz'),L(xz')的值,此时可以求得铁塔x,y,z轴各个方向上应力的极点以及最大值。
3 设计与实现
以桁梁混合模型对铁塔结构建模,将既承受轴向力又承受剪力和弯矩的主材或者横隔材视为梁单元,只承受轴向力的斜材被视为杆单元,而不承受作用力的辅材则被简化掉不作为模型的单元。对于存在柔性杆件的复杂铁塔,将铁塔结构按材料分为2组:刚性单元和柔性单元,对于刚性单元采用有限元线性分析,即上述求解矩阵方程的方法求出节点的应力、应变;对于柔性单元采用有限元非线性分析,即利用上述的有限元增量法和牛顿迭代法求解节点的应力与应变。根据计算得到的节点应力、应变,分别对其进行拉格朗日插值,通过插值函数的计算得到较为精确的铁塔整体各部位的应力计算公式,并对其进行一阶微分求出最大值,即铁塔构件中的最大应力。在eclipse的开发环境下,用java语言编写铁塔构件应力精确计算程序,从而实现上述的计算方法,提高对输电铁塔结构安全评价准确性,计算流程图如图1所示。
4 实例验证
110 k V直线塔倒塔事故照片如图2所示。
以图2中的110 k V直线塔为例,利用上述的计算方法,对直线塔结构中的刚性单元进行线性分析,对柔性单元进行非线性分析,求出各节点的应力,并对其进行拉格朗日插值,求出铁塔构件中的最大应力,把计算出的构件最大应力与把节点应力视为铁塔构件的最大应力以及钢材的屈服强度进行比较,如表1所示。表1左侧最大应力为本方案计算结果,右侧最大应力则为将节点应力视为铁塔构件的最大应力的计算结果。
由表1可知,传统有限元分析中,塔身部分编号为5-12,6-10,7-11,11-12,9-12,14-15,15-16,13-16的8根杆件的应力未超过其屈服强度,然而在本方案计算结果中却超过了屈服强度,因而导致杆件发生弯曲变形、折断,造成钢材的变形折断,与图2实际倒塔事故照片中铁塔折断的位置吻合,计算结果更加精确,因此可以利用该计算方法对输电铁塔结构进行更准确的安全评价。
5 结束语
本文从理论和实际工作2个方面对输电铁塔构件的最大应力分析做了初步的探讨,基于铁塔结构的有限元原理分析方法,自主开发了一种计算输电铁塔构件最大应力的方法,并开发了输电铁塔应力精确计算的软件。通过上述的实例验证,证明了该方法的计算结果更为精确,可以提高对铁塔结构安全评价的准确性,并可以对铁塔最薄弱的环节进行预警。
拉格朗日中值定理的应用 篇2
著名的拉格朗日中值定理是微分学的基础定理之一, 在理论和应用上都有着投其重要的意义。该定理叙述简单明了, 并有明确的几何意义, 一般掌握问题不大, 但要深刻认识定理的内容, 特别是点 的含义, 就有较大难度。熟练掌握定理本质, 在解题时游刃有余, 若对定理的实质了解不够深刻的话, 会进入不少误区。现借下文中的若干例子来对拉格朗日中值定理作一些探讨, 以起到对定理深入理解、熟练掌握并正确应用的作用。
1 拉格朗日中值定理的内容
拉格朗日中值定理:“若函数f满足如下条件: (1) f在闭区何[a, b]上连续, (2) f在开区间 (a, b) 内可导, 则在 (a, b) 内至少有一点ξ, 使得undefined。”
2 拉格朗日中值定理的应用
2.1 拉格朗日中值定理求极限
例1 求极限undefined
解:函数f=et在[x, sinx]或[sinx, x]上运用拉格朗日中值定理
得undefined介于x与sinx之间)
当x→0时, sinx→0, 由介值定理可知ξ→0
则undefined
解题思路:由undefined这一形式联想到拉格朗日中值定理的一般形式undefined, 从而构造函数f, 再运用拉格朗日中值定理求极限
例2 函数f (x) 在R上可导, 极限undefined与undefined都存在, 则极限undefined
证明:应用拉格朗日中值定理, 设undefined, 则undefined, 有f (x+1) -f (x) =f′ (ξ) , x<ξx
undefined即undefined
2.2 用拉格朗日中值定理证明不等式
例1:证明不等式 (1+x) x<λ< (1+x) x+1 (x>0)
证明:分析待证不等式取对数后, 即得不等式undefined
所以要证题中的不等式, 只要证明上述不等式即可。
令f (x) =lnx (x>0) , f (x) 在[x, x+1]满足拉格朗日中值定理,
故必存在ξ∈ (x, x+1) 使undefined,
由于undefined, 则有undefined,
即undefined原命题得证。
例2:利用中值定理证明:若x≠0, 则λx>1+x
证明:令f (x) =λx则f (x) 在 (-∞, +∞) 上满足拉格朗日中值定理,
故 在[0, x]或[x, 0]上有λx-λ0=λξ (x-0) , (0<ξ
即λx=λξx+1, 则当x≠0时有λx>1+x, 命题得证。
2.3 用拉格朗日中值定理证明根的存在性
例1:设f (x) 在 (-∞, +∞) 内二阶可导, f″ (x) >0, 且undefined, 又存在x0, 使f (x0) <0, 试证:方程f (x) =0在 (-∞, +∞) 内有且仅有两个根。
证明:先证存在性, 由undefined可知, 对于undefined, 存在M>0, 使得当x>M时, undefined, 即undefined于是可知:f (x) 在 (0, +∞) 内单调增加.任取x∈[M, +∞], f (x) 在[M, x]上连续, 在 (M, x) 内可导, 由拉格朗日中值定理知, 存在ξ∈ (M, x) , 使f (x) =f (M) +f′ (ξ) (x-M) , 于是undefined.又存在x0, 使f (x0) <0.所以, 由介值定理, 存在ξ1∈ (x0, x) , 使f (ξ1) =0.
同理可证, 当x<0时, 存在ξ2∈ (x, x0) , 使f (ξ2) =0.
再证唯二性. (反证法)
假若f (x) =0有三个实根ξ1, ξ2, ξ3 (ξ1<ξ2, ξ3) , 由洛尔定理, 存在η1∈ (ξ1, ξ2) , η2∈ (ξ1, ξ2) , 使得f′ (η1) =f′ (η2) =0.
再由洛尔定理, 存在η∈ (η1, η2) , 使f″ (η) =0.与题设f″ (η) >0矛盾, 故f (x) =0在 (-∞, +∞) 内有且仅有两个根。
2.4 误用拉格朗日中值定理
误区一:“若函数f (x) 在[a, b]连续在 (a, b) 可导则对区间 (a, b) 内任一点ξ, 定能找到确定的两点x1, x2∈[a, b], 使得f (x2) -f (x1) =f′ (ξ) (x2-x1) 成立。”
以上命题与拉格朗日中值定理几乎相同.似乎应该成立, 其实不然错误原因在于对ξ与x1, x2的关系未搞清.定理是先有x1, x2后有ξ, 现在是先有ξ后找x1, x2则不一定存在。譬如f (x) =x3, 该函数在:[-1, 1]上连续, 在 (-1, 1) 内可导, 满足拉格朗日中值定理条件, 取:ξ=0∈ (-1, 1) , 由f′ (x3) =3x2.得f′ (ξ) =0.即f (x2) -f (x1) =f′ (ξ) (x2-x1) =0, 但f (x) =x3严格单调, 所以找不x1、x2到所要求的。以上命题错误。
误区二:“用拉格朗日中值定理, ‘可推得’undefined, 说明该定理有错”。
证明如下:设则f (x) 在[0, x]上连续, 在 (0, x) 内可导, 故存在ξ∈ (0, x) , 使f (x) -f (0) =f′ (ξ) (x-0) 成立, 即undefined, 即undefined, 当x→0, 时ξ→0, 得出undefined, 从而undefined, 而事实上undefined不存在, 说明拉格朗日中值定理出错。
是定理真的有错吗?否。事实上以上证明得出undefined是正确的.问题在于不能因此得出undefined, 因为当x连续地趋于0时, ξ并不连续趋于0.它仅是undefined的一个子列, 而子列极限存在并不等于原极限存在。
摘要：先给出拉格朗日中值定理内容, 然后总结了高等数学中拉格朗日中值定理的正确应用与错误应用, 并举例加以说明。
关键词：拉格朗日中值定理,极限,介值定理,不等式,根的存在性
参考文献
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[2]刘玉琏, 数学分析讲义[M].北京:高等教育出版社, 1988.
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[4]石建城等, 高等数学例题与习题集[M].西安交通大学出版社.
[5]钱吉林.数学分析题解精粹[M].武汉:崇文书局, 2003.
拉格朗日分析 篇3
地形形态特征分析主要是在地面高程数据中提取相关的地形特征信息,这些地形特征往往受地面高程数据数据结构的影响不能在相应的数字高程模型(DEM)中直接表达,其中以格网DEM的影响最为明显[1]。加之近年来自然灾害频繁发生,地形形态特征分析受到越来越多的关注,流域分析作为地形形态特征分析所涉及的一个研究课题也受到了空前的关注,流域分析的基础和重点即地形形态特征分析,从流域分析角度看,地形形态特征分析的核心即地形形态特征线提取,从算法原理上讲,地形形态特征线提取包括两类基本方法:解析法和模拟法。模拟法主要根据地表物质水流运动特性,利用水流模拟提取地形特征线(即分水线与汇水线),流域分析中地形特征线的提取正是利用了流域汇水面积的特性实现了分水线与汇水线的提取,在DEM上进行汇水面积计算的算法称为水流路径算法,水流路径算法的实现与DEM结构有关。前文已提到,格网DEM对地形形态特征的影响最为明显,因而本文重点对格网结构DEM进行水流路径分析。迄今为止,基于格网DEM已出现众多水流路径算法,由于众学者对水流向下游的流量分配是否单一的看法不一,形成单流向和多流向两类水流路径算法,由于单流向算法计算相对简单、效率较高且对凹地、平坦区域有较强的处理能力而使其应用较为广泛,具有代表性的单流向算法有D8算法[2],随机方向算法[3]和流向驱动算法等。在实际地形形态特征线提取中,如土丘中的细长冲沟等处,由于DEM分辨率和水流路径算法模拟精度等的限制,致使推导的水流方向可能会产生较大误差,即当前点应流入下游唯一的高程最低格网点,此时若采用随机方向算法不仅会直接影响水流方向和局部区域汇水面积的精确计算,甚至导致最终提取的分水线和汇水线在局部区域内也会产生较大误差。为解决此类问题,提出了一种水流路径算法,该算法通过构建经过当前格网点的局部曲面计算该点在局部曲面中的等高线曲率,并利用所求得的等高线曲率选取合适的单流向算法来推断当前点的水流流向,进而计算出整个区域的水流累计量。
1 局部曲面拟合与等高线曲率的计算
局部曲面拟合是DEM中常用到的方法,它是一个连续且光滑的数学曲面,局部曲面拟合是根据空间抽样数据拟合一个数学曲面,用该数学曲面反映空间分布的变化情况。目前已有许多成熟的局部曲面拟合函数,如二元样条函数、多项式函数、Geomap曲面、多层曲面叠加、最小二乘配置方法等[4]。由于曲面由曲线按一定规律和法则交叉排列构成,且曲面拟合的基础即曲面点和线的规则组合,所以本文首先根据局部格网点构建局部曲线,进而利用局部曲线拟合局部曲面。
1.1 局部曲面拟合
基于格网DEM进行流域分析的基础即区域格网点水流方向的确定,水流方向是水流离开格网流向其下游格网点时的方向。在流域分析中,通常在3×3的局部窗口中按照一定的水流路径算法确定水流方向,此处通过在局部窗口中构建局部曲面并对其进行分析实现水流方向的确定,局部曲面函数通过拉格朗日公式构建的6条曲线按一定权值组合而成,在3×3局部窗口中,各行各列都可组成一条拉格朗日曲线,每行基于X值变化(即i)和高程Z可构成一条拉格朗日曲线,每列基于Y值变化(即j)和高程Z也可构成一条拉格朗日曲线,3条基于X值的曲线根据一定权值可构成描述局部曲面X值的局部曲面子函数曲线,3条基于Y值的曲线也可根据权值构成描述局部曲面Y值的子函数曲线,最后两个拉格朗日子函数曲线按一定权值构成局部窗口内的局部曲面,如图1。
第一、二、三行3个格网点X值与Z值构成的拉格朗日曲线为:
第一、二、三列3个格网点Y值与Z值构成的拉格朗日曲线为:
3条基于X值和Z值的拉格朗日曲线在给定权值因子Pxz1、Pxz2和Pxz3的情况下可构成描述局部曲面X值和Z值的局部曲面子函数曲线LXZ(x)。同理3条基于Y值和Z值的拉格朗日曲线根据权值因子也可构成描述局部曲面Y值和Z值的子函数曲线LYZ(y),如下:
局部曲面子函数LXZ(x)和LYZ(x)求出后,引入两个影响地形拟合精度的权值因子PX和PY,并根据其构建出最终的局部曲面函数Z:
其中PX=max(Pxz1,Pxz2,Pxz3),PY=max(Pyz1,Pyz2,Pyz3),即PX和PY要选择最符合区域地形的行曲线和列曲线的XZ和YZ权值因子来对其进行代替。
1.2 计算等高线曲率
局部曲面中的等高线曲率就是通过该点的等值面(水平面)与地表交线的曲率(即通过该点的等高线的曲率),一定程度上等高线曲率表达了地表物质(如水流等)运动的聚合和发散程度[5],笔者认为等高线曲率既然能较好的描述水流聚合与发散状况,那么可基于此来模拟推断当前点的水流方向,通过局部曲面某点的等高线曲率计算公式如下:
2 水流路径算法研究
在实际地形形态特征分析中,尤其是对流域分析中的地形特征线进行提取时,在局部地形的某些区域如土丘中的细长冲沟、丘陵中的侵蚀细沟以及微地貌中的侵蚀犁沟和小河沟的细小河谷等地,常常由于DEM分辨率的限制或水流流量阀值的不当造成水流方向在这些特殊地形处的误判,并直接影响到局部区域汇水面积的精确计算,进而导致提取的分水线和汇水线也会产生一定误差,如当前点在细长冲沟处的水流方向为该点与冲沟中与该点临近的下游唯一的高程最低点的方向,很明显,此时若选用随机方向算法就很有可能造成水流方向在这些特殊地形特征点处的误判。为减少此类问题的出现,提出了一种水流路径算法,该算法以当前格网点为中心,建立一个3×3的局部窗口,然后提取窗口内对应格网点的几何信息,根据这些已知数据构建出局部曲面函数并模拟推断该点的水流方向,具体步骤如下:
2.1 以当前格网点(i,j)为中心,利用3×3局部窗口中提取的9个格网点的(X,Y,Z)坐标根据式(1)-(4)构建出基于该局部窗口的局部曲面函数Z=f(x,y),再根据式(5)求出当前点在局部曲面中的等高线曲率CC。
2.2 设置一个等高线曲率阀值C(设C>0):
(1)若CC∈(-C,C),证明当前点的水流聚合程度较高,发散程度较低,则当前点的水流方向应该唯一的指向临近该点的下游最低高程的格网点,即此时采用D8算法确定当前格网点的水流方向及流量分配比例;
(2)若CC∈(-∞,-C]∪[C,+∞),证明当前点水流聚合程度较低,而水流发散程度相对较高,促使该点水流不一定流入下游最低高程格网点,则此时采用随机八方向算法(Rho8)确定当前格网点的水流流向及其向下游的流量分配比例。
当前格网点的水流方向及流量分配比例确定后,再按一定搜索法则搜寻局部区域格网DEM中的下一格网点,依次循环进行,便可计算出整个DEM研究区域的水流方向矩阵,进而可计算出研究区域内的汇水面积,并为区域分水线和汇水线的成功提取奠定基础,图2和图3为C=18.6时提取的水流方向和水流累积量。
3 结论
以当前格网点为中心构建局部曲面,通过该点在局部曲面中的等高线曲率可选取合适的单流向算法来推断当前点的水流方向,这为区域分水线和汇水线的提取奠定了基础。该方法在流域分析中已取得较好效果,提取的分水线和汇水线也符合精度要求,但由于要根据等高线曲率的动态变化来选取不同的单流向算法,致使对格网DEM进行数据处理时速度较慢、效率较低,需进一步研究,此外等高线曲率阀值C也需根据实际地形趋势适当选取。
摘要：提出了一种水流路径算法,该算法通过以各格网点为中心建立3×3窗口内基于6条拉格朗日曲线构成的局部曲面,再利用当前点在局部曲面中的等高线曲率选取合适的单流向算法以确定当前点的水流方向及其向下游点的流量分配比例。最后通过实例证明了该方法在水流累积量计算中的良好效果。
关键词：DEM,单流向算法,拉格朗日公式,等高线曲率
参考文献
[1]周启鸣,刘学军.数字地形分析[M].北京:科学出版社,2006.
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[4]汤国安,刘学军,闾国年.数字高程模型及地学分析的原理与方法[M].北京:科学出版社,2005.
拉格朗日之前的代数方程的发展 篇4
一元代数方程的发展已有四千多年的历史, 从简单的一次方程到今天的群论, 代数方程求解的形式和内涵都发生了巨大的变化.很多伟大的数学家都对一元代数方程的求解作出了重要的贡献, 其中拉格朗日是较为突出的一位.拉格朗日对代数方程求解的主要贡献是提出辅助方程理论和用置换的思想进行方程求解, 拉格朗日提出这些理论是在广泛而深入地研究了前人的工作后才得出的, 所以要想清楚拉格朗日的工作、了解代数方程求解史, 我们必须要知道在这之前的发展史.
二、拉格朗日之前的代数方程的发展
1.一元一次、一元二次代数方程的发展
据记载一元代数方程的历史应该从公元前2000年左右的埃及数学谈起, 在莱茵德纸草书中就已经出现了一次方程, 只是当时的未知数x用“堆”来表示, 提出的问题相当于求解x+ax=b或者x+ax+bx=c类型的一次方程, 埃及人顺利解出了此类方程, 他们采用“假位法”;在纸草书中已经出现了简单的二次方程ax2=b, 一元代数方程的历史从此拉开了序幕.古巴比伦的泥版书则表明, 古巴比伦人已经会解一般的二次方程并给出了方程的求根公式, 但由于古巴比伦人不承认负数, 二次方程有负根是忽略掉的, 所以他们只处理方程根为正数的情况.在欧几里得《原本》中给出了二次方程有实根的判别条件.公元200年～1200年时期的印度人已经认识到二次方程有两个根, 而且可能会出现负根和无理根, 他们已经会使用配方法解二次方程, 但由于不承认负数有平方根 (虚数) , 故他们并不能解所有的二次方程.尤其值得一提的是3世纪时中国著名数学家赵爽得出了x2-bx+c=0型方程的求根公式, 据称这是历史上最早的二次方程求根公式的记录.公元724年左右, 唐代数学家张遂曾利用求根公式求解一元二次方程, 并且还发现了二次方程的根与系数关系, 该成果比法国大数学家韦达对代数方程的研究要早1000年左右.阿拉伯数学家花拉子米对二次方程的求解也作出了突出的贡献, 他第一次给出了二次方程的一般代数解法, 并第一次给出几何证明.
到公元1000年左右人们基本上会解任何形式的一元一次、一元二次代数方程, 从方法上来讲也比较多, 像配方法、公式法、因式分解法等都已被人们所熟知, 但由于数系的发展是缓慢于代数方程求解方法的发展, 虽然当时人们会用各种方法去解方程, 但当方程的根是负根或复数根时, 很多数学家是不承认的.
2.一元三次、一元四次代数方程的发展
三次方程的求解更是举步维艰, 直至现在仍然有很多大一的学生都不太会解三次方程.据记载最早出现三次方程是在美索不达米亚的泥版书中, 他们主要解类似x3=a和x3+x2=a的三次方程, 但大都是采用查表的方法解答, 因为巴比伦人编有专门的立方表和立方根表及m3+n2的数值表.而真正开始尝试求解一般三次代数方程是由阿拉伯人奥马·海亚姆作出的, 他于约1079年出版了《代数学》, 他用圆锥曲线解三次方程, 这是阿拉伯人在代数方程求解上作出的推进性贡献.至于用纯代数的方法进行一元三次代数方程求解则出现的相对较晚, 以至于1494年帕乔利还曾宣称一般的一元三次代数方程不可解, 然而这一宣言在六年后即被打破.1500年波罗尼亚的数学教授费罗宣布解出了x3+mx=n类型的三次方程, 在他之后的塔塔利亚和卡尔达诺几乎可以解任何类型的三次方程, 并且没过多久卡尔达诺的学生费拉里即宣告解答了一元四次代数方程.
到拉格朗日时期一元一次、一元二次、一元三次、一元四次方程的求解已基本上得到解决, 由于一次、二次方程的解法比较固定、简单而且大家都比较熟悉, 在这里就不再叙述了.自从16世纪意大利的数学家们解出了一元三次、一元四次方程, 许多的数学家开始尝试各种技巧进行一元三次、一元四次代数方程求解, 并试图解答五次及五次以上的方程.在这里我们有必要介绍几位数学家求解一元三次、四次方程的方法.
3.一元三次、一元四次代数方程的解法
三次方程求根公式的推广得益于卡尔达诺, 是他最早公开发表三次方程的求解方法、求根公式并且几何验证了这种解法.我们不可能将卡尔达诺的原著再现, 下面的过程只是展现了他解三次方程的内涵.
对于x3+ax2+bx+c=0, 令
y3+py+q=0. (1)
其中
(u+v) 3=u3+v3+3 (u+v) uv.
即 (u+v) 3-3 (u+v) uv- (u3+v3) =0. (2)
比较 (1) 和 (2) , 令y=u+v, 则方程 (2) 变为:
易解得 (3) 的根为:
可得到
进而可得到原方程根x的值.
在卡尔达诺的《大法》之中也包括了费拉里求解四次方程的方法:
对于x4+ax3+bx2+cx+d=0, 令
(4) 移项, 得:y4+py2=-qy-r. (5)
(5) 等式左边配方, 得:
在左端括号内加u得:
则右端应为完全平方数, 故有:
即:8u3+8pu2+ (2p2-8r) u-q3=0. (7)
(7) 显然为可解的三次方程, 解答该方程就可得到u的值.
则 (6) 就变为
因此有
此为二次方程很容易得到y的值, 进而得到原方程的根x的值.
自此许多的数学家开始运用不同的方法进行一元三次、一元四次方程求解, 其中代表人物有韦达、车恩豪斯、欧拉、贝祖等.但真正开始将一元三次、一元四次方程作为一类问题进行处理, 试图寻找一种统一的解法的是车恩豪斯.车恩豪斯认真分析前人解一元三次、一元四次方程的各种方法, 由此提出了自己独特的解代数方程的方法, 他通过消去方程的中间项, 使方程变为只有最高次项和常数项的二项方程, 而此二项方程是很容易得出其根的, 进而原方程的根就可以求得.贝祖和欧拉解三次、四次方程的方法只是车恩豪斯方法的特例而已, 车恩豪斯解三次、四次方程的方法并没有卡尔达诺等人的简单, 但这种方法更直接、更一般, 有利于研究更高次的方程的求解.
三、结语
从细节上来讲解答一元三次、一元四次方程的方法还不止这些, 但正如拉格朗日所说:通过分析我们明白一切方法的基础都是一样的, 因此所达到的结果是必然相同的.因此一元代数方程的求解进入了困境, 一元三次、一元四次方程的求解已经彻底解决, 并且方法也丰富多样, 遗憾的是无论是采用特殊的技巧还是试图用一种一般的、通用的方法都没有能解答出五次及五次以上的方程, 或者说将已知的方法推广到五次及五次以上方程上去, 法国伟大的数学家拉格朗日出场了, 正是因为有前面这些数学家的辛勤工作才使得拉格朗日提出了新的理论进行代数方程求解, 所以研究前人的工作有利于我们深入了解整个代数方程求解历史.
拉格朗日分析 篇5
导数只是反映函数在一点附近的局部特性,但要应用导数来了解函数在区间上的整体性态,还需借助微分学基本定理——中值定理,而拉格朗日定理是中值定理的核心。因此,探讨一下证明拉格朗日定理中辅助函数的构造方法是十分必要的。
拉格朗日中值定理:
若函数f(x)在[a,b]让连续,在(a,b)内可导,则至少存在一点§∈(a,b),使:
我们经常用的是BN.斯未尔诺夫构造辅助函数的方法:
则F(x)满足罗尔中值定理:在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且F(a)=F(b),于是存在一点ξ∈(a,b),使得拉格朗日中值定理就很简单地证明了。
从几何意义知道,辅助函数y=F(x)是曲线y=f(x)和直线之差,而这直线通过原点且与曲线y=f(x)在[a,b]上两端点的连线平行,从而使得F(x)满足罗尔中值定理的要求。
可见F(x)只要取曲线y=f(x)与平行于割线AB的任一直线的差,均能满足罗尔定理的条件。因此,通常除取过原点的直线以外,还可取下列直线:
a.过A,B两点的割线:或
b.过点(a,0)的直线:
c.过点(b,0)的直线:
于是就得到下列辅助函数:
(4)
对于(3)(4),其实也就是过点a或点b作直线与AB平行,用引进函数的方法可以得到。
根据上述几何手段,可以引进一般形式的辅助函数。过平面上一点(x0,y0)作直线与AB平行,其方可用:表示。
亦可证明F(x)满足罗尔定理条件。
另外,我们还有三种方法证明拉格朗日中值定理。
a.设曲线y=f(x)在[a,b]上的端点为A(a,f(a))、B(b,f(b)),因为f(a)≠f(b),所以AB与X轴不平行.如果将坐标系旋转,使新坐标系中横轴与AB平行,则在新坐标系下A.B的纵坐标当然就相等。为此,引用旋转变换公式:
则y'=-xsinθ+f(×)cosθ
取Φ(x)=-xsinθ+(x)cosθ
令Φ(a)=Φ(b)
得
当取旋转角时,
因为f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,所以φ(x)满足罗尔定理,则:
b.设s(x)为由(a,f(a)),(b.f(b)),(x,f(x))三点组成的三角形面积易见f(x)在[a.b]上连续,在(a,b)内可导,且s(a)=s(b)=0.所以由罗尔中值定理知:在(a,b)内至少存在一点ξ,使得s'(ξ)=0
故:f(b)-f(a)=f'(ξ)·(b-a)
即:
c.设f(x),g(x),h(x)在[a,b]内可导,设
则F(x)满足罗尔中值定理,有:
令g(x)=x,h(x)=1,则由(2)知,有:f(b)-f(a)=f'(ξ)·(b-a).拉格朗日定理得证。
摘要：是对拉格朗日中值定理的证明过程中辅助函数的构造。
关键词：拉格朗日中值定理,导数,辅助函数,构造
参考文献
[1]华东师范大学数学学系，数学分析[M]．北京：高等教育出版社，1991．
拉格朗日分析 篇6
随着计算机图形学在众多学科综合研究中的广泛应用, 基于物理的可变形模型中形变行为的仿真即已成为时下研究的热点之一。该研究主要是根据物理学、力学中的基本规律和计算方法, 对物体的变形进行模拟, 其中涉及到牛顿力学、弹性力学, 能量守恒原理, 差分几何, 数值计算等。同时, 该研究还可通过应变能量函数定量描述物体的质量、惯性、重量等特征形变结果, 因而能够较好地呈现运动真实感, 更进一步地解决了非物理方法中现存的问题。而目前在为大多数可变形物体进行建模时, 物理建模的方式即已成为必然首选。相应地, 基于物理建模的方法则主要有:欧拉法、基于网格的拉格朗日法、基于无网格的拉格朗日法、有限状态自动机等一系列方法。
1 可变形体建模
1.1 可变形体的概念
所谓可变形体是相对刚体来说的, 刚体具有物体内部任意两点间距离保持不变的特点, 这就意味着, 刚体不会产生形变;而可变形体, 在物体的内力作用下就会产生形变, 即内部任意两点间的距离无法保持不变。
1.2 建模的方法分析
对虚拟物体实施研究时, 首先要对其进行虚拟结构表示, 即建立模型。物体的建模技术主要包括:几何形状建模、动力学建模、物理构造建模和行为建模。而在虚拟环境中的建模方法则有基于几何的建模和基于物理的建模以及两者混合的建模方法。具体地, 几何模型是用来表示物体的几何信息的, 包含了几何信息的数据结构和相应的算法等重要信息。并且, 由于其建模技术操作简单, 效率更高等优点, 现已得到了广泛的应用。而基于物理的建模则遵循物理规律, 相对于简单的几何模型通过添加物理学上的约束, 相应加大了计算量和数据量, 从而使模型具有较好的逼真性。研究中进一步发现, 在物体之间进行交互时, 几何模型只能通过已经设定的函数曲线来完成模拟交互, 遇有其他情景效果表现即不再理想。而物理模型却因具有物理参数, 当情景转换时, 参数也随之发生变化, 因此能够真实地表达模拟交互过程。另外, 将几何模型与物理模型相结合也是一种优秀的建模方法。方法可将物体的大概轮廓用几何模型定义出来, 再用物理的方法来精确地定义结构参数。由此, 该方法不仅解决了建模过程中计算量大的问题, 还可以使物体获得更好的逼真效果。
2 可变形体的物理建模方法
可变形体建模即需要将质量、重量、惯性、变形模式等特征与几何模型和行为法则相结合, 来完成更真实的虚拟模型, 因此物理建模的方法将可用来进行可变形体仿真。这种方法多是依托实际问题, 建立求解和控制方程, 并基于模型的不同特点与要求, 选择建立数值计算过程。迄今为止, 基于网格的方法主要有质点-弹簧模型、有限元法和边界元法, 以下即是对这三种方法的详细介绍与分析。
2.1 质点-弹簧模型
由于质点-弹簧系统是模拟所有可变形物体的最简单方法, 因此广泛应用于基于物理的离散模型。该法在物体上安插很多质点, 质点与质点之间具有某种弹性联系, 通常可用弹簧来形象地表示这种弹性联系, 质点间依照一定规则采用弹簧链接, 物体随之将可看成是一张由质点构成的网, 并且质点的位置表示物体上某一点的空间位置。其中的质点没有大小, 但是物体的质量集中在质点上, 而且质量是均匀分布的, 同时质点之间的弹簧却是没有质量的。当有外力作用于质点时, 就会牵动其他相邻质点的运动来实现形变效果。
结构性弹簧、扭曲弹簧和拉伸性弹簧是质点-弹簧模型中的三种重要类型, 具体如图1所示。
由图1可见, 现对三种弹簧的作用机理作如下概述:
(1) 将横向和纵向的各质点连接起来的弹簧叫做结构性弹簧 (structural spring) , 结构性弹簧相当于物体的框架, 主要固定了物体结构。
(2) 将连接对角线的各质点的弹簧称为扭曲弹簧 (shear spring) , 扭曲弹簧可以控制物体的形变, 减少物体扭曲。
(3) 连接相邻间隔一个质点的两个质点的弹簧为拉伸性弹簧 (flexion spring) , 此弹簧起到了保证物体在形变时边缘圆滑的作用。质点不仅受到了内部弹簧的弹性力, 而且还会受到物体外部的施力的影响。主要的外力就是阻尼力, 该力可以在物体发生形变时, 防止质点与质点之间的不规律运动, 因此可用弹簧和阻尼来连接各个质点。
质点-弹簧系统在给定时间时被定义为质点 (n=1, 2, L, n) 的位置定为xi和速度为vi, 每个质点所受到的内力为fi则可通过计算相邻连接的弹簧得到。此外, 还有所受外力, 如重力、空气阻力、摩擦力等。每个质点的运动均满足牛顿第二定律fi=mixi¨。并且对整个系统而言:
这里, M表示质点的质量矩阵。
物体的运动情况可以制约物体的形变, 所以每个质点的动力学方程都应满足牛顿力学定律:
式中, mi表示质点i的质量;ai表示质点i的加速度;vi为质点i的速度;di为粘性系数;f为质点所受的外力;gij则为质点i和质点j之间的弹簧对质点i的应力, 其中gij满足:
式中, xi, xj为弹簧两端点的位置;kij为弹簧的弹性系数;而Rij则为弹簧的静止长度。
在计算机图形学中, 质点-弹簧系统已然不再是传统意义上的结构模式[1], 也就是经由最初的应用于静力学方程来模拟人面部的表情, 发展至而今的利用动力学方程来模拟人体皮肤、器官、肌肉等软组织的变形, 由此而成为虚拟医学治疗的关键技术之一。诸如, 文献[2]使用质点弹簧模型构造肌肉体, 模型中用到了拉格朗日动力学方程和龙格-库塔法, 而且将肌肉的变形效果模拟得尤为逼真。质点-弹簧系统也广泛应用于布料的模拟。Breen在文献[3]中, 通过对布料物理性质的分析, 首度提出了布料的Mass-Spring模型。模型中模拟了布料的拉伸压缩、沿平面内外的剪切弯曲, 因而可处理各向同性的力学行为。
2.2 有限元法
所谓有限元法是一种高效能、常用的计算方法。对于复杂的可变形模型来说, 具有高复杂性的有限元法可以精准计算并求解微分方程。因此, 这种方法在数学界[4]、物理界和工程界[5]均已发挥至关重要的作用。有限元法的综合分析就是将模型分解的单元与整体通过相互转化, 而将连续域中无限自由度离散化为有限自由度, 同时将微分方程离散化为代数方程。
有限元法采纳了离散和分片插值的思想, 来处理变形问题。具体地, 就是首先依据求解模型的形状及实际问题的物理特点, 将连续的几何模型域离散化为有限个某种类型单元, 并在单元之间设置有限个节点, 用以连接全部的单元, 由此构成一个由节点和单元联合并存的集合体。而且在每一单元中, 根据节点位移条件确定位移模式中的系数, 选取场函数的节点值为基本未知量, 同时假设一个近似插值函数来表示单元中场函数的分布情况, 再通过求解节点未知量的有限元方程组和设置的插值函数得到节点的数值和场函数。若能实现对插值函数的适当选取, 即可使函数的内外部与界面满足于相应的条件。其后, 又将模型中任意有限元节点自由度对应整体矩阵分量, 也就是将单元矩阵和向量叠加起来, 构成一整体的矩阵和向量, 由此得到了系统运动力学方程。最后, 则利用节点、位移为未知量的线性方程组和弹性力学的相关知识, 相应解得节点位移和各个单元的应力, 并对运动控制方程进行求解, 由此而进一步得到了研究计算结果。详细实现过程如图2所示。
对不规则网格的偏微分方程求解主要采取的数值方法则是有限元法。该法即将可变形物体处理为不规则网格分割的连续连接体, 并对偏微分方程进行求解。弹性材质的偏微分方程可表达为:
式中, ρ表示材质本身的密度;f表示所受到的外力, 如:重力、碰撞力等;σ则表示来物体内部形变所产生的力。
有限元建模就是将对象在载荷、材料、几何约束、物理约束等方面的特性进行一定的数学原理分析以及方法整合后的最终结果展示。首先需对问题本身的客观规律予以精确描述, 并建立优化合理的有限元方程。但基于庞大的计算量考虑, 还需保证计算的效率和精度, 此时就要选取相应的算法, 并借助计算机中的实用程序对数值进行相应计算。接下来的工作就是有限元建模、数值计算、以及结果的比较处理。
有限元建模主要需对以下几个问题进行研究, 分别是:问题的定义与分析, 几何模型的建立, 单元选择与特性的定义, 网格划分, 模型检查和处理, 还包括边界条件的定义, 如图3所示。
通过有限元的方法对变形物体进行物理仿真时, 可以取得较好的视觉效果。但是由于过程中的庞大计算量, 对硬件的要求通常就会较高。若将其推演开来可知, 一方面在使用有限元方法模拟弹塑性材料的变形过程中[6], 需对四面体网格进行有限元建模, 并建立线性基本函数。已有文献[7]中即提出了应变张量, 有效计算了网格阻尼力, 而探究得到了物体的有限元显示求解方法。另一方面, 对于某些易碎, 易断裂的弹塑性材质模拟中, 可使用通过线性基本函数相连的四面体网格[8], 以及文献[9]提出的应变张量, 进而采用了应变率张量来计算阻尼力, 由此即研发得到了非线性等式的显式求解。该方法提供了较好的视觉效果, 但却并不支持实时运行方式。此时, 若为了支持拓扑逻辑变化, 且能维持良好的形状单元, 就可在虚拟节点算法中复制原始的单元对象。
2.3 边界元法
作为一种常用的数值分析法, 边界元法不同于有限元法中弹性物体的计算均在物体内部体中完成的模式或方式, 而是在边界面上获得其真正实现的。边界元法先对物体建立边界微分方程, 并与有限元法相似地进行单元划分, 即网格离散化, 而在边界离散化后, 则产生边界元;其后再将边界元方程离散为代数方程, 对其进行求解;最终解得边界积分方程。边界元法的最主要特点就是可以降低维数, 而且还可将运动等式的积分形式转化为表面积表达式。该方法采用了降维, 就是将二维问题降为一维问题, 以及将三维问题降为二维问题来提高算法整体运行效率。只是, 边界元法的不足之处却在于:若域内存在非线性的方程式, 就会导致边界方程中的未知量不仅包含边界上的, 还包含区域内的, 而此时, 采用边界元法将不再具有优势。
在工程中, 由于有限元法的局限性而无法解决某些问题, 但边界元法却有着高效和精准的优点。若在相同的情况下, 边界元法即比有限元法具有更高的精度, 若两种方法精度相同的情况下, 边界元法则有更高的效率。但边界元法却只适用于内部材质相同的物体, 在处理拓扑变化时, 计算过程会比有限元法更加地繁琐。如文献[10], 即采用边界元法处理表面节点和边界值, 又利用线弹性函数和边界元条件下的弹性动力模型, 从而成功模拟了物体的形变。
2.4 基于网格的拉格朗日法可变形体物理建模方法的比较
上述即是几种基本的物理建模方法, 而且每种建模方法均有着各自的优缺点以及相应的适用环境, 对此即可从算法实现和计算量的角度来考虑选取最为适合的建模方法。经由对以上方法的简单对比, 即可得出如下结论:
(1) 质点-弹簧模型。建模简单、直观, 相对于有限元法计算量小, 易于求解, 且模拟速度较快。但由于精度不如其他方法高, 约束处理的未臻自然, 因而容易造成弹簧的过度拉伸。
(2) 有限元模型。易于处理复杂边界以及高梯度问题, 有利于求解高阶微分方程, 可较好地实现通用化。但却并不适合处理计算量大的流体力学问题以及求解边界问题。
(3) 边界元法。求解精度高, 可降低维数问题, 在处理无限域问题中具有出众优势, 但只可求解均质问题。而且由于数学工具方法的复杂度大, 而不易达到通用化。
3 结束语
基于网格的拉格朗日法是物理建模中的常见方法之一, 已经涌现了大量卓有成效的研究成果, 而且受到专家学者的广泛关注。其建模方法除了上面所述的诸多方法, 还包括欧拉法中的基于体的建模和基于面的建模、基于无网格的拉格朗日法中的平滑粒子流体力学和无网格法以及有线状态自动机中的细胞自动机等在内。在如许大量的建模方法中, 却没有任何一种模型能够满足所有的应用需求, 因此必须要考虑到模型表示、物理参数范围以及实时交互式模拟等各种参数和环境条件。基于此, 研究人员正将各种方法结合起来, 运用各自的独属优势来更好地对模型进行约束, 进而达到加强交互控制的显著效果。
参考文献
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拉格朗日中值定理中间点的渐进性 篇7
关键词：拉格朗日中值定理,中间点,渐进性
拉格朗日中值定理都是在给定的条件下, 确定了在区间内存在一点, 使函数在该点具有某种特性, 但是这些定理却没给出这种点在区间内的位置, 但是并不影响其广泛的应用.本文主要研究当区间[a, b]的长度趋于零或无穷时, 这些定理所确定的中间点ξ在[a, b]内的渐进性.
拉格朗日中值定理
若函数f (x) 在区间[a, b]满足以下条件: (ⅰ) 在[a, b]连续, (ⅱ) 在 (a, b) 可导, 则在 (a, b) 中至少存在一点ξ (a<ξ
高阶拉格朗日中值定理
设函数f (x) 在[a, b]上连续, 在 (a, b) 上n次可微, 则存在ξ∈ (a, b) , 使
定理1若函数f (x) 在 (a, b) 内二阶连续可导, 且f″ (a) ≠0, 则式 (1) 中的点ξ满足:lbi→mξab--aa=21.
由Lagrange中值定理, 存在ξ∈ (a, b) , 使得
由 (3) 、 (4) 得到,
再由Lagrange中值定理知, 存在η (a<η<ξ) , 使得
将 (6) 代入 (5) , 得
在式 (7) 中令b→a, 得
因为lbi→maf″ (η) =f″ (a) 且f″ (a) ≠0,
定理2若函数f (x) 满足在区间 (a, b) 内n阶连续可导, f (i) (a) =0 (i=1, 2, …, n-1) , f (n) (a) ≠0, 则式 (1) 中的点ξ满足
定理3 (高阶Lagrange中值定理中间点的渐进性) 设f (x) 在 (-∞, +∞) 上有直到n+1阶的导数, 且f (n+1) (x) 连续而对于任意a
参考文献
[1]王福良, 杨彩萍.积分中值定理中间点渐进性的研究[J].天津师范大学学报, 2002 (2) .