焊点有限元仿真与优化

焊点有限元仿真与优化（共3篇）

焊点有限元仿真与优化 篇1

汽车进入千家万户, 交通安全事故发生频率很高。其中汽车正面碰撞占交通事故的很重要的一部分。[1]为此, 汽车碰撞安全性研究被各汽车企业及学校科研机构注意。法规刚出来时, 一般采用实车进行碰撞试验, 但这样的试验不仅要试制样车制造出来后才能进行, 而且试验成本很高, 不能再利用。而且为了一个设计方案的验证需要进行反复的试验, 浪费大量资源。目前, 通过计算机软件进行碰撞仿真来取代大量可以省略的试验, 成为汽车碰撞安全性研究的主流。通过模拟仿真计算, 可以缩短产品的开发研制周期, 降低成本。

本文按法规要求, 对车辆正面碰撞结果进行模拟分析, 研究碰撞过程中车辆各部件吸能特性。并对比计算机模及实车碰撞的加速度曲线, 从而对数据进行分析, 提出针对车身薄弱环节的改进方案, 并证明了改进方案的可行性。

1 建立汽车仿真模型

由于汽车车构成零件众多。在建立模型时不必对所有零件面面俱到, 对于对最终结果有较大影响的零件要建立精细的模型;而对于最终结果有较小影响的零件则可以利用主要数据其主建立模型;该忽略的部分则完全可以忽略。先建立车身主要零部件的CAD模型, 根据CAD零部件模型进行网格划分设置单元和材料, 形成零部件有限元模型, 再将所有零部件有限元模型装配, 最终形成整车有限元模型。汽车碰撞模拟建立模型的主要过程为:运用CATIA建立实体模型—运用Hypermesh软件生成网格—并对模型的约束、载荷、约束及边界条件进行定义。

1.1 建立CATIA装配模型

该车有限元模型要对曲面进行预处理, 利用CATIA软件对曲面连续性进行检验, 发现软件显示的绿色部分进行修改、通过CATIA的曲面缝合剪切功能处理曲面、清除较大间隙曲面、缝合成整片各连续曲面, 合理补面分面, 使下一步进行网格划分时能保证曲面连续性, 不会产生重合现象, 以能生成实体为标准;运用CATIA对曲面质量进行检查, 泛绿的部分都要进行修面处理, 提高网格划分质量。需要进行建模, 应用三坐标测量仪对扫描车身数据, 并运用CATIA软件的逆向建模功能对模型进行建模与优化, 而后运用CATIA的装配功能形成各总成件, 并在空间中摆放到位, 形成配成整车装配数据, 并输出文件。

1.2 运用ypermesh软件对网格进行划分

网格质量好坏决定着仿真结果的精确性。质量较差的单元不仅会降低计算步长, 大大浪费计算时间。首先把清理合格的几何模型文件输入到Hypermesh软件下, 先网格粗划分, 对局部网格较差的再进行细化分。建立汽车的仿真模型并进行网格划分。最小单元要大部分是四边形, 小部分是三角形, 且三角形数量不要过10%。单元质量的好坏, 对结果精度及计算过程都有影响, 因此有必要对模型质量进行检查, 以满足PAM-CRASH软件运行的相关要求[2]。

1.3 运用PAM-CRASH软件对仿真模型的各个相关条件进行定义

运用Pam-Cras软件中导入仿真模型, 按约束条件, 建立模型。材料选用Pam-Crash材料库中的103号弹塑性材料, 厚度根据实际测量的零部件厚度添加。

2 对比实车实验数据进型模型的可靠性验证

如何对正面碰撞模拟结果可靠性进行评价已经有确切的方法。通常对比B柱减速度时间历程曲线, 当仿真与试验结果间的误差不超20%, 我们就认为仿真模型真实可靠, 可运用此仿真模型进行碰撞模拟分析, 并在这个条件下相信仿真数据, 进而能够提出车辆改进意见。通过图1可以看出, 仿真变形情况和实车试验变形情况基本一致。

通过模拟与实车试验B柱减速度时间历程曲线对比, 我们观察到50ms以前仿真曲线与实车试验的加速度曲线相差不大, 在50ms之后, 仿真曲线与实车试验曲线相差较大, 但有相似的总体走向。因此我们得出结论, 仿真结果与实车碰撞结果有非常大的相似性, 可以认为仿真结果是可靠的并值得信任。

3 基于汽车正面碰撞耐撞结果提出车身改进意见

当汽车发生碰撞时, 车身结构尤其是乘员舱不发生大的变形至关重要。我们既需要相关件如保险杠、乘员舱等有良好的吸能特性, 以减少汽车的加速度, 缓和对成员的冲击, 又要求乘员舱不发生大的变形, 以保证乘员的生存空间。这本身其实是一对矛盾, 需要设计人员能够从大局总体平衡两者的关系, 能够通过实验验证自己的想法。

3.1 对保险杠仿真结果的改进意见

保险杠进行设计时, 既要保证足够的强度又要有较好的韧性。我们对汽车保险杠正面碰撞的耐撞研究是通过其对变形吸能曲线、加速度曲线、脉宽变形吸能曲线和分析来评价的。对车辆前部保险杠的吸能特性进行研究, 通过减速度曲线峰值, 脉宽对比来评价保险杠的耐撞性, 保险杠具体配置如表1所示。

对比3种模型的B柱加速度曲线, 我们发现模型3的加速度曲线对乘员最好, 第一阶加速度曲线最大值与其他相比有所提高, 第二阶与其他相比则有所降低, 因此, 我们建议采用第三种模型的保险杠蒙皮及材料支架的数据, 来改善汽车的正面碰撞安全性。

3.2 对前纵梁仿真结果的改进意见

在原方案的基础上在前纵梁的内部增加加强板, 通过采用截面加厚提升横向刚度, 解决纵梁横向失稳问题。对比三次模拟试验的曲线, 通过增加加强版增加前纵梁的厚度, 或者减弱纵梁的刚度均能改善正面碰撞安全性, 达到较好效果。

3.3 对乘员舱仿真结果的改进意见

受到驾驶员视野限制, A柱断面尺寸不能加大, 因此我们主要增加A柱厚度以及在内部加吸能材料来加强A柱结构。提高乘员舱的刚度, 同时也可提高防火墙的刚度, 改变防火墙的厚度及采用新式材料。在修改模型2基础做出调整, 如表2所示, 左右B柱加速度曲线如图2所示。

上图为基础模型、修改模型1与修改模型2左右B柱加速度曲线对比, 修改模型2在修改模型1的基础上对汽车防火墙及脚踏板处的厚度, 材料进行加强, 造成零件变形减少, 加速度最大值增加。在不增加乘员伤害的前提下, 应尽可能的提高乘员舱的刚度, 保持成员舱完整性, 最大程度保护乘员的安全。

4 结论

论文对某汽车车正面碰撞进行仿真研究, 建立整车CATIA装配模型并运用Hypermesh软件进行网格划分, 代入参数进行有限元模拟。并对比实车碰撞B柱加速度曲线, 认为模型真实可靠。通过分析得出结论, 通过提高保险杠的吸能效果、在前纵梁内加加强板或改进乘员舱刚度均可改进正面碰撞效果, 达到改善正面碰撞安全性的目的。

参考文献

[1]Paul Du Bois, Clifford C Chou, Bahig B Khalil.VEHICLE CRASHWORTHINESS AND OCCUPANT PROTECTION.Michigan:Automotive Applications Committee American Iron and Steel Institute Southfield, 2004

[2]刘晶郁, 李晓霞.汽车安全与法规[M].北京:人民交通出版社, 2005, 8.

焊点有限元仿真与优化 篇2

随着轿车的大规模生产和使用,也由于车速的不断提高,汽车交通事故的发生率已经大大的增加了。在汽车交通安全事故中,出现几率最高的是汽车碰撞,其中正面碰撞最普遍。据资料显示,汽车发生正面碰撞的概率在4O%左右。因此,研究正面碰撞特性,对降低乘员的伤害非常重要[1]。而汽车结构中的保险杠是正面碰撞时主要的承载和吸能构件,提高保险杠的吸能能力,可以降低整车碰撞中的加速度,对乘员起保护作用[2]。因此,对保险杠吸能特性的研究有着重要的意义。

有限元仿真分析的显著特点是速度快、效率高,能够节约大量的汽车开发成本。目前,国外采用有限元方法对汽车碰撞安全性进行了大量的研究,并取得了显著的成效[3]。而国内在这方面的研究还不够成熟,因此,我们更有必要对保险杠正面碰撞性能的有限元模拟仿真进行研究。

2 碰撞仿真的有限元理论与方法

碰撞是一个瞬态的复杂物理过程,它包含以大位移、大转动和大应变为特征的几何非线性,这使得汽车碰撞过程的精确描述和求解十分困难[4]。目前对碰撞过程的仿真,一般都采用显式仿真算法。采用中心差分法,将质量矩阵对角化,从而避免求解联立方程组。采用分步积分法,将碰撞过程的时间域[0,T]分成许多子域,[ti-1,ti],i=1,2,3...,N,其中t0=0,ti>ti-1,tN=T,于是得到子域时刻t0,t1,t2…,tN。为求tn+1时刻的解,假设tn时刻的解是已知的,只要在这个假设条件下能够求出tn+1时刻的解,任意时刻的解都能求出了,因为t0时刻的解是已知的,可用来求出t1时刻的解,依此类推,tN时刻的解便可求出。在接触体系中t0,t1,t2…,tn时刻的状体都是已知的,其中任何一个状态都可以作为参考状态去求下一状态的解。

将tn+1记作t,将tn记作τ,由拉格朗日列式法可得τ时刻的虚功原理式:

其中:δU为虚位移;τF为内力矢量;τFe为外力矢量;τFc为接触力矢量;τFa为惯性力矢量,它们的计算式分别为:

其中,B为应变位移矩阵;Q为位移插值矩阵;τσ为应力张量;dΩ为微体积单元;τb为体积力分量;τa为加速度分量;τq为单位面积上的力;0ρ为时刻0时的密度。

在有限元法中,加速度场也可以通过插值方法获得。即有

将(6)代入式(5)中,可得

式中为质量矩阵,并按下式计算:

由于δU代表任意的虚位移场,式(1)的成立条件为:

将式(7)代入式(9)并整理得:

本次碰撞的模拟仿真计算以以上所介绍的显示有限元理论与方法作为指导基础。

3 保险杠碰撞仿真的基本过程

本次模拟仿真的有限元计算软件选用LS-DYNA,它是功能齐全的几何非线性求解程序,以显式求解、结构分析、非线性动力分析为主,但其前处理功能相对较差[5],故本次实验使用了CATIA、Hypermesh和LS-DYNA联合建模求解技术(其整个实验的技术流程参见图1)。使用CATIA建立保险杠的几何模型,然后将该模型导入

Hypermesh中进行网格划分,建立有限元模型,并生成关键字文件递交予LS-DYNA软件进行数值计算,计算结束后用LS-DYNA自带的LS-PREPOST后处理程序进行仿真计算的后处理。

4 碰撞模型的建立

4.1 几何模型的建立

本文的碰撞模型是以某小轿车保险杠为原型,用CATIA三维绘图软件完成的。由于汽车保险杠的造型结构较为复杂,故对保险杠结构形状进行简化,只保留了对碰撞影响较大的零部件,如:钢支架、平板、支座,另外,对很多的过渡台阶、加强筋及倒角等结构特征,它们对吸能特性影响很小,对其进行简化和删除,以提高效率和改善模型的单元质量。几何模型如图2所示。

4.2 有限元模型的建立

将几何模型通过Hypermesh自带的CATIA写入端口导入其中,运用Hypermesh将小保险杠的几何模型转化为需要的有限元模型,其中刚性墙模型直接在Hypermesh中完成。由于保险杠主要是由薄壁金属件构成,其所对应的单元类型为壳单元类型,且壳单元能大大降低计算所需要的时间,并节省内存空间,故本文选用BT壳单元作为主要的模拟单元。整个保险杠与刚性墙模型采用10×10mm的单元进行划分,共有1 6538个单元与1 6742个节点。部件之间的连接主要是通过点焊连接方式,即是在两节点之间加一根刚性杆来模拟。通常在碰撞情况下,焊点不会发生开裂,故本文没有考虑点焊的失效。材料选用弹性材料24#钢,其物理特性为:密度为7 850kg/m3,弹性模量为2.07GPa,屈服强度为210MPa,泊松比为0.33。保险杠与刚性墙的有限元模型如图3所示。本文按照乘用车保险杠系统低速碰撞实验规程—SAEJ2319的要求,碰撞仿真计算采用的是碰撞速度为8km/h。接触类型采用的是*CONTACT_AUTOMATIC_SINGLE_SUFACE类型。有限元模型建立好后,生成key(关键字)文件,然后导入LS-DYNA进行计算。

5 碰撞的模拟仿真计算和碰撞性能的优化

5.1 碰撞的模拟仿真计算与结果分析

计算结束后,在LS_DYNA自带的LS_PREPOST中,对整个碰撞仿真进行后处理。图4~7显示了四个时刻的应力应变云图,从中可以观察到保险杠在四个时刻的变形情况和所受应力情况。保险杠在t=0.44s时刻时,开始与刚性墙发生接触(如图5所示);在t=0.52s时刻时,碰撞的应力应变达到最大(如图七所示),其中应力主要分布在钢支架与支座的连接出。

得到的加速度曲线如图8所示,由加速度曲线可以看出,在碰撞过程中加速度变化较快,变化幅度较大。在t=0.68s时刻时,加速度达到最大1.53mm/s2,由图可知碰撞过程中,保险杠受到了较大的冲击力和冲击加速度,保险杠系列组件的吸能效果并不理想,有必要对模型进行一定的修改与优化。

5.2 碰撞性能的优化与改善

汽车结构中的薄壁直梁件可以有各种不同形状的横截面,对于汽车碰撞安全性的设计来说,横截面是需要考虑的一个重要因素,因为不同的横截面将可能导致直梁件的碰撞吸能水平不同。因此,先对保险杠的钢支架横截面形状进行修改。在原来的钢支架内添加一厚度为1mm的加强板。改进前后的横截面形状如图9所示。

由上面加速度的曲线图可以看出,保险杠的刚性太强,吸能能力欠缺。因此,对原有的保险杠的组成构件的厚度也进行一些调整,修改的情况见表1。

将修改后的模型按照前面介绍的方法,对碰撞过程重新进行仿真计算。重新得到了保险杠的碰撞加速度曲线图,它与修改前的曲线图有较大的变化,其对比图形参见图10(其中实线为修改前的加速度曲线,虚线为修改后的加速度曲线)。由图可以看出,修改后的加速度曲线较前面的加速度曲线平缓。说明碰撞过程中保险杠所受冲击力有所减少,保险杠的吸能能力得到了较大的改善,结构和尺寸的更改取得了成功。

6 结论

通过建立汽车保险杠的有限元模型,运用非线性有限元仿真分析的方法,对保险杠的受撞变形和吸能特性进行分析,并对保险杠结构进行优化,得到了基本满足要求的保险杠模型。该方法对实际的汽车保险杠设计具有很好的指导作用,对整车的碰撞模拟仿真具有重要参考价值。该方法在一定程度上可以取代或减少实车碰撞试验,从而减少了汽车开发的周期与成本,对车辆企业有着重要的意义。

摘要：本文以有限元法的系统动力学理论为基础,基于LS-DYNA有限元分析软件,对汽车保险杠与刚性墙的正面碰撞进行了模拟仿真计算,并对计算结果进行分析。以计算结果为依据,对保险杠的结构进行改进,优化其吸能能力。本次研究为保险杠的防撞设计开发提供了理论依据,对深入研究整车正面碰撞的模拟仿真具有重要的参考价值。

关键词：保险杠,碰撞,有限元

参考文献

[1]王瑄,李宏光,赵航,现代汽车安全,人民交通出版社,2004:P226-P227.

[2]许亮,胡宁,杨辉,基于L S—D YNA的汽车保险杠仿真优化,机械与电子,2007(5):P17-20.

[3]贾宏波,黄金陵,郭孔辉,等.汽车车身结构碰撞性能的计算机模拟、评价与改进,吉林工业大学学报,1998,28(2):P6—P11.

[4]钟志华,张维刚,曹立波,何文,汽车碰撞安全技术,机械工业出版社,2003:P42-P53.

焊点有限元仿真与优化 篇3

带隔板双槽钢焊接梁具有结构简单、加工制造方便快捷、在相同品质条件下, 强度高等特点, 是工程中经常使用的焊接梁结构。广泛应用于铁路、公路等的桥梁结构, 高层建筑的梁柱结构, 大型机械设备, 如大型起重机, 大型龙门机床等的主梁结构中。通常这些结构对于梁的制造都有一定的形状要求, 如通用大型桥式起重机规定起重机的主梁结构的上挠度不能大于0.9S/1000, 其中S为梁的跨度;规定起重机的主梁腹板波浪变形, 在使用1m平尺测量最大的凹入或凸起的波浪波峰, 距离上盖板不得超过0.7δ, δ为腹板板厚。在影响焊接梁最终品质的因素中, 焊接成型过程中的变形问题是导致产品报废的主要原因, 这就要求在制造焊接梁的时候要选择合理的加工方法和工艺参数, 控制焊接变形, 使其达到焊接梁形状精度的要求。

通过实验获得焊接变形结果是研究焊接变形的传统方法。但是随着工业技术的发展, 实验方法也表现出了不能满足现代加工制造要求的缺点, 如实验周期长、需要具体材料才能进行实验、对于稀有材料无法进行多次实验等。有限元技术的发展给问题带来了解决方法。有限元方法就是把连续的几何体离散成有限个单元, 并在每个单元中设定节点, 各个单元通过节点相连。通过各个结点的相互关联, 求解整体模型的结果。现在有限元仿真技术已经成为焊接模拟的主要方法, 给焊接仿真技术注入了新的血液。

通过对带隔板双槽钢焊接梁中不同类型焊缝的焊接顺序进行组合, 给出具体的焊接方案, 进行仿真并比较各方案变形结果, 得出了其焊缝焊接的最优顺序, 给加工和生产带来了理论指导。同时指出焊接顺序是影响焊接变形的主要因素, 合理优化焊缝的焊接顺序在控制焊接变形中起到了关键作用。

1 有限元模型的建立

对带隔板双槽钢焊接梁焊接过程进行模拟仿真, 焊接梁是由隔板, 双槽钢和底板三部分组成, 结构如图1所示。其中黑色部分为焊缝。由于计算机系统的有限性, 截取焊接梁一个最小单元进行仿真。

焊接材料选用16Mn钢, 部分参数如表1所示。焊接方法采用二氧化碳气体保护焊, 焊接电流为150A, 焊接电压为22V, 焊接速度为5.3mm/s, 焊丝牌号与规格为ER50-6-Φ1.2。

在创建焊接仿真模型时, 先建立焊接梁几何模型。由于焊接梁结构的相似性以及计算机系统性能的局限性, 取其中一个最小单元进行仿真建模, 包括底板、左右两边的槽钢以及中间的隔板。有限元网格模型如图2所示。

划分完网格以后, 进行加载边界条件, 设定载荷, 进行求解, 焊接过程有限元仿真的流程图如图3所示。

2 焊接顺序优化有限元仿真

带隔板双槽钢焊接梁主要有3种类型的焊接焊缝:底板与槽钢的连接焊缝、隔板与底板的连接焊缝、槽钢与隔板的连接焊缝。3种焊缝在焊接梁上的位置如下图4所示。

针对这3种不同焊缝, 进行焊接顺序组合, 通过有限元仿真得到不同焊接组合的焊接仿真结果。各个方案具体内容如下:

a) 先焊接槽钢和隔板, 得到焊缝A, 然后焊接底板与隔板得到焊缝C, 最后焊接底板与槽钢得到焊缝B;

b) 先焊接底板和隔板, 得到焊缝C, 然后焊接槽钢和隔板得到焊缝A, 最后焊接底板与隔板得到焊缝B;

c) 先焊接槽钢与底板, 得到焊缝B, 然后焊接隔板与底板得到焊缝C, 最后焊接槽钢与隔板得到焊缝A。

仿真计算结束后, 进行后处理。不失一般性, 选取模型的中心轴线N-N与M-M, N-N与M-M在模型上的位置如图2所示, 比较其在不同方向上的变形。

图5为M-M轴沿N-N轴方向上的变形曲线图。由图可知在M-M轴线中间处变形量最大, 沿两边变形量依次减小。3种方案中, a) 变形最大, 最大变形量为0.0033m, b) 变形最小, 最大变形量为0.0014m。由于在M-M轴线上变形不等将产生焊接梁的弯曲变形。最终导致焊接梁的横向变形。

图6为N-N轴沿垂直N-N轴与M-M轴方向的变形曲线图。从图6中可以得出变形量最大处偏离轴的中心, 整体焊接变形变化比较平缓, 从自由端逐渐向固定端缓慢增加。3种方案中, a) 变形最大, 变形量为0.00385m;b) 变形最小, 变形量为0.0021m。焊接梁变形量最大处不在N-N轴的中间是因为其在垂直与N-N轴的方向上不对称。而由于3个方案中只是取焊接梁模型的最小单元进行仿真, 所以在一定程度上, 焊接形状变化曲线比较平缓。而其变形量的不同, 导致了焊接梁的纵向变形。

通过以上分析, 可以得出N-N轴, M-M轴的变形分别导致了焊接梁的纵向变形和横向变形。在3种方案中, b) 是最优的焊接方案。最优方案的云图如图7所示。可见在带隔板双槽钢焊接梁的成型过程中, 焊接残余应力引起了结构形状的变化, 最终将影响焊接梁最后的使用性能。所以控制焊接梁的变形在工业生产中有着非常重要的意义。

3 焊接变形理论分析

在本文讨论的焊接梁中, 主要的变形为弯曲变形。焊接产生的变形公式如下:

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其中A为焊缝融合区横截面积, I为焊接转动惯量, L为焊缝长度, e为焊缝重心轴到中性面的距离。可见焊接产生的变形大小与焊缝重心轴和截面中性轴有关。下面我们通过理论定性分析各个方案的变形结果。

在a) 中, 先焊接槽钢与隔板, 这样由于焊缝重心轴低于截面中性轴, 所以产生向上的变形+fa。然后焊接底板与隔板和底板与槽钢, 同样都由于焊缝重心轴低于截面中性轴, 所以产生向上的变形+fb和+fc。由3种变形叠加, 产生的总体焊接变形量为f=fa+fb+fc (图8) 。

在b) 中, 先焊接底板与隔板, 此时焊缝重心轴与截面中性轴几乎平行, 所以产生的变形近似为零。然后焊接槽钢和隔板, 此时由于焊缝重心轴高于截面中性轴, 产生向下的变形-fa。最后焊接隔板与底板, 同理产生向上的变形+fb。3种变形叠加, 总变形量为:f=fb-fa。如图8所示。

在c) 中, 先焊接槽钢与底板, 由于焊缝重心轴底于截面中性轴, 所以产生向上的变形+fb。然后焊接隔板与底板产生向上的变形+fc。最后焊接槽钢与隔板, 由于焊缝重心轴高于截面中性轴, 产生下变形-fa。3种变形叠加, 产生的总变形量为:f=fb+fb-fa。如图8所示。

比较以上3种焊接顺序方案可知, b) 焊接总体变形量变形最小, a) 焊接总体变形量变形最大。也间接证明了焊接仿真结果的正确性。

4 结论

a) 基于有限元仿真方法, 对焊接变形过程进行仿真, 很好的模拟了焊接变形过程中焊缝的由无到有的生成过程, 得出了焊接变形的结果。与传统的实验方法相比, 方便快捷, 避免了不必要的材料和资源的浪费。

b) 通过焊接仿真模拟了复杂结构焊接梁的成型过程。通过改变焊接顺序, 分3种方案对焊接梁进行优化, 对仿真结果进行比较, 得出了焊接仿真的变形曲线图, 根据曲线图进行分析, 确定焊缝的焊接顺序, 最后得到了最优解。

c) 通过焊接变形理论, 定性的分析了3种焊接方案的变形结果。通过对比得出最优方案, 验证了焊接仿真的正确性, 从而为生产实践起到了指导作用。

摘要：针对工业生产中广泛使用的带隔板双槽钢焊接梁在焊接成型过程中的变形, 通过有限元技术模拟真实的焊接过程和焊接顺序, 实现了焊缝焊接顺序的最优化。首先建立焊接梁有限元模型, 定义材料属性, 确定边界条件以及热源的类型及其大小。然后通过有限元技术模拟焊接过程, 再现了焊缝填充物的生成过程。通过优化焊缝的焊接顺序达到了控制变形并使其最小的目的。最后分析结果, 得到了焊接变形的理论依据。

关键词：双槽钢梁,焊接变形,有限元仿真

参考文献

[1]付荣柏, 等.焊接变形的控制与校正[M].北京:机械工业出版社, 2002.

[2]焦馥杰.焊接结构分析基础[M].上海:上海科学技术文献出版社, 1991.

[3]绍蕴秋.ANSYS8.0有限元分析实例导航[M].北京:中国铁道出版社, 2004.

[4]徐秉业.弹性与塑性力学[M].北京:机械工业出版社, 1981.