二次曲面（共3篇）
二次曲面 篇1
0 引言
产品的外形通常是由许多简单形体构成的, 其中不乏平面、球面、圆柱面、锥面这些二次曲面。零件或物体表面曲面的几何尺寸有时不能被直接测量, 有时由于工件条件或环境因素而不能被接触式测量。目前, 非接触式的几何测量方法越来越多地被应用于几何测量领域, 结构光视觉测量方法就是非接触式几何测量的典型方法。在非接触式测量方法中, 获得的物体表面数据往往不完整, 需要用到数据拟合技术, 从而获得物体或零件所需要的几何量数据。
对于点云的二次曲面的拟合方法, 国内外有不少学者进行了深入研究。Pratt[1]采用准最小二乘法实现了对圆柱面及圆锥面等典型二次曲面的拟合。Chen等[2]在曲面拟合中引入了遗传算法来提取常用的二次曲面。Lukacs等[3]提出采用忠实距离方法建立曲面几何距离函数来近似表示数据点到二次曲面的距离, 采用非线性最小二乘算法实现对曲面的拟合。单东日等[4]对点云数据进行了空间三维划分, 并对属于同一特征面上的点进行了特征相似性划分, 最后对划分点云进行了二次曲面提取。顾步云等[5]估算了点云中每个数据点的法矢量, 并由此来估算旋转二次曲面的旋转轴等参数, 把其作为迭代初始值, 然后用Levenberg-Marquardt迭代得到曲面参数的最优解。田怀文等[6]通过点云上各点法矢量计算出二次曲面的轴线, 简化了二次曲面的参数方程。曲学军等[7]使用最小子集定义二次曲面, 采用Tabu搜索算法从点云数据中分离出规则曲面, 可快速、准确地提取多个二次曲面。廖平[8]通过基于NURBS描述复杂曲面的数学模型, 用粒子群算法和分割逼近法相结合的方法计算了测点到曲面轮廓的最小距离。黄胜利等[9]针对密集点云数据, 提出了点云曲面的二次参数曲面拟合及与CAD模型配准的方法, 实现了对点云数据的测量与误差估计。为提高数据拟合精度, 通常需要对点云数据进行去噪。闫龙等[10]根据摄影测量的点云数据, 提出了一种基于形态学算法的摄影测量数据噪声滤波方法。梁新合等[11]通过计算点云数据中每个点的法向矢量和局部方差, 改进了原有的三边滤波方法, 实现了大数据点云的降噪。此外, 对于工业中复杂封闭内腔几何尺寸很难测量的问题, 李林升等[12]提出了一种C-V模型与工业CT相结合的几何测量方法。Schnabel等[13]采用随机抽样一致性 (RANSAC) 算法通过在点云数据中随机抽取能够建立如平面、球面、圆柱面、圆锥面等基本形状的最小点数据集建立平面原型, 并将得到的原型不断地与剩余的点进行参数匹配得到最终的曲面模型。
对于整块数据模型而言, 首先需要把包含特征面的数据区分出来, 然后对这些数据区域进行曲面拟合[14], 这样才能做到精确测量。但由于曲面的类型非常多样, 因此想要分离出具有相同特征的点集会非常困难, 对于大规模的点云数据, 这更是一项耗时耗力且更加困难的工作。在对数据点集进行曲面拟合的方法中, 通常都需要用到数据点的法向信息, 需要计算数据点的邻域关系并求解, 而往往获得的点云并不具有法向信息, 需要进行复杂、耗时的计算才能估算出点云的法矢量。
本文针对点云数据的几何测量问题, 提出了一种交互式点云二次曲面几何测量方法。该方法首先交互地框选得到需要测量的点云数据, 然后采用一般二次曲面方程对选取的点云进行最小二乘法的线性拟合, 最后用待定系数求出所需的几何测量值。
1 求解二次曲面方程的统一框架
由于二次曲面类型很多, 不同类型的二次曲面, 其几何参数是不同的, 需要测量的几何信息也不一样, 因此, 目前许多测量方法都是针对不同类型的二次曲面来确定相应的目标函数并进行数据拟合, 得到所需要的曲面参数, 从而实现点云曲面几何测量的。这种方法虽然针对性较强, 但方法复杂, 不统一。待定系数法求解二次曲面方程的方法是一种首先求解二次曲面一般方程, 得到二次曲面一般方程的参数, 然后再根据不同类型二次曲面有针对性地求得其包含所需几何测量值的特殊二次曲面方程, 最后代入原一般方程解得相关所需几何测量值的方法。该方法可作为求解二次曲面几何参数的统一方法。
二次曲面一般方程表示如下:
为求解式 (1) , 需要将待测量点云的点代入式 (1) , 得到一线性方程组, 采用线性最小二乘法求解a、b、c、h、g、f、u、v、w、d这10个独立的系数。为此, 首先确定目标函数如下:
求得使目标函数珘S最小时的a、b、c、h、g、f、u、v、w、d值, 即为待测量点云的二次曲面系数。分别对式 (2) 中各待定系数求偏导, 化简联立得方程组的矩阵表示:
(xi, yi, zi) 为点云中点的几何坐标, n为点云中点的数量。式 (3) 为齐次线性方程组, 为使式 (3) 有非零解, 则要保证系数矩阵的行列式值不为0, 若成立则进行下一步操作;否则返回, 方程组只有零解。
式 (3) 的系数矩阵Q是实对称矩阵, 因此可求取系数矩阵Q最小特征值对应的特征向量作为式 (3) 的解。本文采用文献[15]中的雅可比过山法来求解系数矩阵Q的特征值和特征向量。这样可方便地求出待测量点云二次曲面一般方程的10个系数, 将下面各特定二次曲面的几何测量方法统一到该算法框架下。
2 点云数据的二次曲面几何量测量
2.1 球面的几何测量
对于球面点云数据的几何参数而言, 球心坐标P0 (x0, y0, z0) 唯一确定了球面所处的位置, 而球面半径R则确定了球面的大小, 如图1所示。因此对于空间球面几何信息的测量, 只需要得到球心坐标和球的半径。对于空间中多个点云数据球面, 我们可以拟合每个球面的相关几何参数, 同时还可以对两球心之间的距离进行测量。
球面方程可表示为
这里, 所需拟合的点云数据集为S={Pi (xi, yi, zi) |i=1, 2, …, n}, Pi (xi, yi, zi) 为点云数据集中的任意一点。
为统一到第1节提出的统一计算框架下, 我们对比式 (4) 与式 (1) , 球心坐标 (x0, y0, z0) 及球半径R与式 (1) 中的变量a、b、c、h、g、f、u、v、w、d存在以下关系:
因此, 点云球面数据几何测量的具体步骤如下:①交互选取需要进行球面几何测量的点云数据点集S;②使用统一计算框架求解二次曲面一般方程, 得到变量a、b、c、h、g、f、u、v、w、d的值;③根据式 (5) 计算出球面参数, 即球心坐标 (x0, y0, z0) 及球半径R。
2.2 直圆柱面几何测量
对于圆柱面, 我们需要提取出圆柱面的轴线l (轴线方程为) 和半径R作为其测量的几何量。如图2所示, 其中P0 (x0, y0, z0) 为轴线l上的一点, N (n1, n2, n3) 为轴线l的方向向量。
根据统一框架, 先求解二次曲面一般式方程中的待定系数, 然后再根据直圆柱面特殊几何关系得到其几何测量值。具体几何测量信息的求解步骤如下:①交互选取所需的测量点集S;②使用统一计算框架求解二次曲面一般方程, 得到变量a、b、c、h、g、f、u、v、w、d的值;③利用直圆柱面所需的几测量信息P0、R、N建立直圆柱面的特定方程, 由于直圆柱面上的任意一点M (x, y, z) 到轴线l的距离为R, 特定方程可表示为
对式 (6) 展开得
④通过式 (7) 与式 (1) 对比, 从而求解得到所需要的直圆柱面的几何量轴线l以及半径R。
2.3 圆锥面几何测量
对于圆锥面, 我们确定圆锥面的轴线l (轴线方程为) 及半顶角θ作为需要测量的几何量, 如图3所示。图中P0 (x0, y0, z0) 为圆锥面的顶点, 并且顶点为轴线上的一点, 而N (n1, n2, n3) 为轴线l的方向向量。
与直圆柱面几何量测量一样, 圆锥面也满足二次曲面一般方程表达式, 其几何参数也可以通过先求解式 (1) 中的待定系数, 然后再根据圆锥面特殊几何关系得到。具体求解步骤如下:①交互选取所需的测量点集S;②使用统一计算框架求解式 (1) , 得到各变量的值;③根据圆锥面的待测量几何参数, 建立其特定方程, 这里考虑到圆锥面上任一点M (x, y, z) 与顶点P0构成的直线P0M与圆锥面轴线l的夹角为θ, 可得
展开后可得
④对包含待测量参数的式 (9) 与式 (1) 各项系数进行对比分析, 可求解得到圆锥面顶点P0、轴线l和半顶角θ。
2.4 自然二次曲面的识别与几何量确定
对于给定的点云数据, 如果事先已确定了点云的二次曲面类型, 则可采用上述对应的方法来计算曲面的几何量。
当待测点云数据曲面尚不知具体类型时, 可先采用第2节的方法计算出点云的一般二次曲面的10个参数, 然后分别计算出球面、圆柱面及圆锥面的几何参数, 再计算点云中点到不同曲面的平均误差, 平均误差最小的曲面类型即为待测点云曲面的曲面类型。
3 实验结果及分析
3.1 3种类型的二次曲面点云数据测量实验
我们采用Autodesk 3ds Max8构造3种类型的二次曲面点云数据来测试本文的算法, 并与三维几何处理软件Geomagic studio 12的测量结果进行对比 (坐标精度统一为小数点后6位) 。本文算法对球面、柱面和锥面的拟合及测量结果如图4所示, 测量数据对比如表1~表3所示。
从以上3种典型二次曲面点云数据 (球面、直圆柱面和圆锥面) 测量结果对比可以看出, 本文方法能很好地测量出相关几何参数。本文方法与Geomagic相比, 在所需测量点少的情况下, 各类型点云曲面测量结果都获得了可靠和令人满意的结果。而在相同数量点的测量情况下, 测量速度快, 并且精度也很高, 特别是对圆锥面的测量, 精度要远高于Geomagic, 说明本文方法可行。
3.2 结构光点云重建及其几何测量的实例
图5为待重建的结构光图像, 图6所示为采用结构光重建方法构建的三维点云的两个球面部分数据, 通过球面拟合算法可实现对两个球面点云的球心、半径的计算, 从而实现点云球心距的测量。采用结构光重建及点云的二次曲面拟合, 可实现二次曲面的非接触几何测量。测量结果为:两球心坐标分别为 (0.052 880 43, 0.000 884 32, 0.865 854 62) m, (-0.046 672 97, -0.001 498 54, 0.881 641 71) m, 半径分别为0.021 305 46 m和0.021 301 58 m, 球心距离为0.100 825 54 m。
4 结束语
基于点云的几何参数恢复是非接触式几何测量的重要方法。本文对点云数据的二次曲面拟合与测量进行了研究, 构建了二次曲面几何量测的统一框架, 用户首先交互选择得到需要测量的点云数据, 然后对点云进行一般二次曲面方程拟合, 再构造不同类型二次曲面的特定方程, 通过两者相关系数的对比, 得出待测点云数据的曲面几何参数。本方法切实可行, 可作为模型的快速测量工具。
摘要：基于点云的几何测量方法是非接触式测量的重要方法。针对点云数据, 提出了一种基于待定系数的二次曲面的几何测量方法, 建立了求解不同二次曲面 (球面、柱面和圆锥面) 的统一框架。根据二次曲面方程与不同类型二次曲面几何量的关系, 给出了球面、柱面和圆锥面的具体几何参数的求解方法。实验证明, 该方法能在短时间内精确地测量所需的几何值, 方法切实可行。
关键词：二次曲面,几何测量,点云数据,待定系数
C1插值二次B样条曲线曲面 篇2
参数曲线曲面是CAGD研究的主要内容[1,2,3],其中的Bézier方法、B样条方法,NURBS方法因其良好的光顺性、凸包性、形状可调性等,而受到人们的重视,并广泛应用于机械、汽车、航天等各个领域。
然而这几种方法在插值方面却有不足之处,Bézier方法的光滑拼接条件苛刻,B样条方法和NURBS方法不具有插值功能。传统的方法是反算控制顶点[3,4,5],这种方法需解大型线性方程,计算费用较大,且曲线的形状难以局部修改,不利于实际曲线曲面造型,并且修改一个数据点将影响整个曲线或曲面;或者是通过构造辅助点进行分段拼接[6,7];或者是用迭代法近似计算B样条的控制顶点[8,9]。
本文介绍一种具有保凸的均匀二次B样条和均匀三次B样条插值曲线。在给定的控制多边形的每2个顶点之间插人2个deBoor点,由这些deBoor点形成一个新的控制多边形,由此所产生的均匀B样条曲线插值于给定的控制多边形的所有顶点。进一步建立相邻四个插值点与新的控制顶点的关系,从而构造一组插值基函数,插值曲线由所构造的基函数和型值点直接表示,插值曲线具有保凸性和C1连续性。
1 均匀B样条曲线及其性质
给定n+1(n≥k)个空间点Vi(i=0,1,…,n),它对应的k次均匀B样条曲线可分段表示为[5]
式中Ei,k(u)是均匀k次B样条基函数,且有:
特别的当k=2时,相应的二次均匀B样条曲线的分段表示为
其中Ei,2(u)是均匀二次B样条曲线的基函数。
该二次均匀B样条曲线段具有如下端点性质
2 保形插值二次均匀B样条曲线
设有平面控制多边形
在首末端点处各取一个延伸点P0,Pn+1,且
记控制多边形
则:a0=(a1-a2)/4,a0×a1=a1×a2/4,可知由P0,P1,P2,P3构成的三边形是凸的,过P1,P2的插值曲线没有拐点,同理可证Pn-2,Pn-1,Pn,Pn+1构成的三边形也是凸的,从而可保证插值曲线在首尾不会出现多余的拐点。
待构造的保形均匀二次B样条插值曲线在给定的控制多边形的每个顶点Pi(i=1,2,…,n)处的切矢量为
式中0
对于相邻四点Pi-1,Pi,Pi+1,Pi+2,下面构造deBoor点V2i-1,
式中λi,λi+1>0是V2i-1,V2i,V2i+1,V2i+2的位置调整参数。将Ti中的ai=Pi+1-P i代入上式整理得到
由V2i-1,V2i,V2i+1,V2i+2,可生成插值于Pi,Pi+1的二次均匀B样条曲线Pi(t)
iP(t)(0≤t≤2)由两段曲线iP1(t)(0≤t≤1)和iP2(t)(1≤t≤2)组成。将上式整理得
将上式中Pi-1,Pi,Pi+1,Pi+2的系数函数分别记为
因而Pi(t)可表示为
易知
由此有Pi1(0)=Pi,Pi2(1)=Pi+1,即iP(t)由插值Pi,Pi+1。同理可知Pi(0)=Pi′1(0)=2λi Ti,P i(1)=Pi′2(1)=2λi+1 Ti+1
所以由Pi(t)(i=1,2,…,n)构成的曲线P(t)插值Pi(i=1,2,…,n),且是C1连续的。接下来确定iλ的范围,使得插值二次B样条曲线是P(t)保形的。当ai-1×ai和ai×ai+1有相同的方向,则Pi-1,Pi,Pi+1,Pi+2构成的三边形是凸的。易知过Pi以Pi点处的切矢Ti为方向的切线与过Pi+1以Pi+1点处的切矢Ti+1为方向的切线相交,其交点记为
当ai-1×ai和ai×ai+1方向相反时,则Pi-1,Pi,Pi+1,Pi+2构成的三边形有一条拐向边,这时记
取
则可保证V2i-1,V2i,V2i+1,V2i+2构成的三边形与Pi-1,Pi,Pi+1,Pi+2构成的三边形有相同的凸性(即要么是凸的,要么有唯一的拐点)。由B样条曲线的变差减少性质可知:当三边形
由Ti式可知,ti将影响插值曲线在Pi点的切矢方向Ti。而由(8)式可知,调整λi将矢插值二次B样条的控制顶点V2i-1,V2i在过Pi点的切线上移动,因而可以在不调整插值点的情况下间接调整插值曲线,这给插值曲线的生成和修改带来更多的灵活性。对同一组型值点,当λ2由0.2调整为0.3时,插值曲线的变化如图1。
3 C1插值二次均匀B样条曲面
由上节构造的插值二次均匀B样条曲线,按张量积扩张到插值二次均匀B样条曲面。给定空间点阵Pi,j(i=1,2,(43),m,j=1,2,(43),n)和两个参数方向的形状控制参数(αiu,αjv)(i=1,2,(43),m,j=1,2,(43),n)。接下来构造插值于Pi,j的二次均匀B样条曲面S(u,v),它是由曲面片Si,j(u,v)是C1连接而成的,且
即
由B样条曲面得性质可知:由(10)式定义的插值二次均匀B样条曲面是C1连续的。
4 数值实例
实例是在Visual C++.NET环境下实现的。由保形二次均匀B样条插值曲线算法生成的的插值曲线如图2所示。
由(10)式生成的插值二次均匀B样条曲面如图3所示。
摘要：利用二次均匀B样条曲线的端点性质,导出了构造插值二次均匀B样条曲线曲面的一种新的基函数―BB基函数。由BB基函数构造了C1保形插值二次均匀B样条曲线,构造了C1双二次均匀B样条插值曲面。
关键词：二次均匀B样条,BB基函数,曲线曲面,插值,保形
参考文献
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二次曲面 篇3
GPS能够提供WGS-84坐标系下的精确三维坐标,通过坐标转换以后也能提供精度相当的平面坐标。而在高程方面,GPS测量得到的是拟合高程,属于大地高系统,起算面是参考椭球面;我们常用的是水准高程,属于正常高系统,起算面是似大地水准面[1]。两者之间存在一个高程异常,记为ζ[2]。在实际工作中,为了得到能满足需要的三维坐标,平面坐标用GPS RTK直接测得,水准高程采用水准联测方式测得。因此,实际工作区域中的高程异常值都是取一个平均值。如果此平均值与真值的差值能小于实际工作需要的误差,那么只要知道拟合高程与高程异常值就能得到该区域所需要的水准高程。本文利用已知的控制点数据对参考椭球面进行校正,使之在一定区域内与似大地水准面接近重合,即在参考椭球面与似大地水准面之间消除使测量结果满足实际工作需要的高程异常值,从而在此区域内用拟合高程代替水准高程的值,满足实际工程需要,将平面坐标和高程一步获得,提高工作效率。
1 模型校正
由大地高H与正常高h正常高、高程异常ζ的关系(见图1)可知,它们有以下关系式:
为了确定正常高,需要高程异常ζ和大地高H的值。如果能使ζ的值无限接近0,那么:
其中ε为残差。由此,GPS测得的大地高值可以作为正常高值使用。作者将水准点A1、A2、A3,…,An高程值赋予WGS-84坐标点A11、A21、A31,…,An1的高程,对这些点包围的区域进行参考椭球面校正到大地水准面上,如果有足够的点,那么校正后的参考椭球面与大地水准面基本重合,在此基础上对式(1)进行计算,ζ值接近零,那么测得的拟合高程值与实际水准点高程值也接近。如果它们之间的残差值足够小,拟合高程代替水准高程在理论上即为可行。为了验证以上理论,本文通过工程实例进行说明。
2 二次曲面拟合法数学模型及精度评定
由于参考椭球面和大地水准面不是一个方向的弧面,那么以水准高程校正后的参考椭球面有一个点与点之间的区域形成一个小的弧面,造成距校正控制点越远的地方误差越大。为了得到更精确的数据,采用二次曲面拟合的方法进行处理,得到更精确的数值,以满足工程需要。
2.1 二次曲面拟合数学模型
对某点高程校正后的残差进行二次曲面拟合逼近,有:
其中:f1,f2,f3,f4,f5,f6为模型参数,N为某点高程校正的残差值,d为对高程残差二次曲面拟合逼近后的余值,(x,y)为该点的当地坐标系下的坐标[3]。
当,如果有n>6个点,将式(3)写成矩阵形式为:
根据最小二乘原理,B=(XTX)-1Xζ,得到模型参数f1,f2,f3,f4,f5,f6的值,代入式(4)求得V值[4]。
2.2 精度评定
二次曲面拟合的目的是为了评价曲面的质量,评价的指标主要为两个方面:①曲面的特征参数与设计参数之间的偏差;②实际测量数据和拟合曲面的平均偏差,即轮廓度,可用离散点与设计曲面之间偏差的均方根值(σ)表示,即:
其中,m为测量点的个数;εi为测量点到设计曲面的偏差,因为轮廓度是一个与测量坐标系选择无关的量,因此εi是测量点到拟合曲面的法向投影距离。另外,还可考虑峰值综合评价曲面的型面质量[5]。
对参数向量进行最小二乘估计后,则单位权中误差为:
其中,n为参与计算的点数。
3 实例验算
3.1 工程算例介绍
本文以新疆阿克苏喀拉哈勒的阔库拉和托吾热其灌区的渠道复线为实验实例。阿克苏喀拉哈勒的阔库拉和托吾热其灌区的渠道放线实施时间为2004年4月,到现在已过去11年,时间跨度长。现场点位破坏严重,且分布不均匀,不能将整个灌区控制住。如图2所示,其中BM108、BM122、ATPO、IBM01、BM137、BM201、BM211、BM212、BM220、BM221、BM242为保存下来能确定水准高程的点,其余是遭到破坏的控制点和水准点。为了满足施工单位土石方计算需要,需要得到渠道上的所有BM点水准高程。由于施工单位工期要求紧,重新布置控制点进行水准联测时间来不及,预算的费用也不够重新组织实施。在工作中,我们采用模型校正原理,选取控制点LS13、BM101、BM138、BM106、BM241、Y002(图2中三角点)的水准高程数据参与解算,得到模型参数,并输入到GPS仪器中,对已知高程的水准点进行拟合高程测量,相对应的拟合高程和水准高程数值对比如表1所示。
本文中以已有控制点的水准高程作为高程真值,则从表1分析得到最大残差为39.8mm,与真值之间还有很大的差距,因此有必要对数据进一步处理。
3.2 拟合高程残差处理
将本文数据代入二次曲面模型中,经拟合得到残差值与拟合高程,结果见表2。
从表2结果数据分析可得,二次曲面拟合后的残差值很小,即高程异常ζ的值非常小,校正后的参考椭球面与似大地水准面无限接近,则在此基础上测得的拟合高程值可以当水准高程用。
从图3可以看出,测得拟合高程值变化曲线与二次曲面拟合后的残差值曲线基本一致,也就是说残差值大小与高程值大小相关,实际地势越高,校正后的参考椭球面与大地水准面之间的差值越大。为了保持整个区域内的各高程值误差,所选择的施工区域地势应比较平坦。
4 结论与展望
本文探讨的是一种用GPS拟合高程代替水准高程的方法,该方法有以下优点:
(1)施工区域内只需要有以前控制点的当地坐标和WGS-84坐标就可求的转换参数,不必考虑现场点位破坏与否。在点位破坏严重的区域内,依然能够准确求得转换参数。
(2)经转换参数后,控制区域内GPS拟合高程可以当水准高程用,不需要再做水准联测。
(3)经对残差的二次处理后,精度可以达到相当高的要求。
但本方法有以下使用限制:
(1)适用范围:一般仅适用于地势平缓的地区(如平原地区),对于地势变化剧烈的地区(如山区),校正时需要的控制点数量较多,在实际工程中不太经济。
(2)参与转换计算的控制点要分布均匀,最好能够将整个GPS网包围起来。采用二次曲面进行高程拟合时,要确定6个参数,则需要6个以上的已知控制点。
(3)如优点(3)所示,虽然能达到相当高的精度,但却需要相当多的已知点。
摘要：实际工作中,由于起算面的不同,GPS拟合高程不能代替水准高程。水准高程一般从高等级水准点采用水准联测的方式获得。本文从校正常高程起算面入手,使拟合高程起算面与水准高程起算面接近重合,并采用二次曲面拟合的方式对拟合高程残差进行处理,得到可以代替水准高程的GPS拟合高程值。
关键词：GPS拟合高程,起算面校正,水准高程,二次曲面拟合
参考文献
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