玻尔兹曼系统

玻尔兹曼系统（共3篇）

玻尔兹曼系统 篇1

自然界的微观粒子可分为两类, 称为波色子和费米子。在“基本”粒子中, 自旋量子数为半整数的, 如电子、μ子等自旋量子数都是1/2, 是费米子;自旋量子数是整数的, 如光子自旋量子数为1, π介子自旋量子数为0, 是玻色子。在原子核、原子和分子等复合粒子中, 凡是由玻色子构成的复合粒子是玻色子, 由偶数个费米子构成的复合粒子也是玻色子, 由奇数个费米子构成的复合粒子是费米子。

统计物理学发展的早期, 玻尔兹曼把粒子看作可分辨的, 导出了这种粒子的统计分布。现在我们把由可分辨的全同近独立粒子组成、且处在一个个体量子态上的粒子数不受限制的系统称作玻尔兹曼系统。把由不可分辨的全同近独立的玻色粒子组成, 不受泡利不相容原理的约束, 即处在同一个个体量子态上的粒子数不受限制的系统称作玻色系统。由不可分辨的全同近独立的费米子组成, 受泡利不相容原理的约束, 即处在同一个个体量子态上的粒子数最多只能为1个粒子的系统称作费米系统。以下我们了解一下波尔兹曼统计、费米统计、玻色统计。

1 分布与微观状态

设有一个系统, 由大量全同近独立的粒子组成, 具有确定的粒子数N、能量E和体积V。以εl (l=1, 2, …) 表示粒子的能级, ωl表示能级εl的简并度, 符号{al}表示一个分布。

分布和微观状态是两个概念。给定一个分布{al}, 只能确定处在每一个能级εl上的粒子数a1。对于玻色、费米系统, 确定系统的微观状态要求确定处在每一个个体量子态上的粒子数。所以微观状态对于波耳兹曼、玻色、费米系统显然不同, 下面分别加以讨论。

2 玻耳兹曼系统、玻色系统、费米系统的分布

1) 玻耳兹曼系统

对于玻耳兹曼系统, 粒子可以分辨。所以对于玻耳兹曼系统, 与分布{al}相应的微观状态数是:

玻耳兹曼分布:

2) 玻色系统

对于玻色系统, 粒子不可分辨, 每一个个体量子态能够容纳的粒子个数不受限制。al个粒子占据能级εl上的ωl个量子态, 有种可能的方式。则玻色系统与分布{al}相应的微观状态数为:

玻色分布为:

3) 费米系统

对于费米系统, 粒子不可分辨, 每一个个体量子态最多只能容纳一个粒子。a1个粒子占据能级εl上的ωl个量子态, 有种可能的方式。我们便得到费米系统与分分al相应的微观状态数为:

费米分布为:

3 经典极限条件

如果在玻色、费米系统中, 任一能级εl上的粒子数均远小于该能级的量子态数, 即 (对所有的fl) 。此时玻色系统的微观状态数可以近似为:, 而费米系统的微观状态数也可以近似为:

这种经典极限条件, 也称非简并性条件。经典极限条件表示, 在所有的能级, 粒子数都远小于量子态数。平均而言处在每一个量子态上的粒子数均远小于1。

4 三个系统的关系

对于玻耳兹曼系统、玻色系统和费米系统, 他们之间有着区别与联系:

由玻色、费米分布可以看出, 如果参数α满足条件:ea>>1。这时玻色、费米分布都过渡到玻耳兹曼分布。当满足ea>>1时, 显然: (对所有l) 。所以上述两个条件是等价的, 都称为经典极限条件或非简并性条件。此时有:

玻耳兹曼分布是我们在粒子可以分辨的假设下导出的。自然界中有些系统可以看作由定域的粒子组成, 例如晶体中的原子或离子定域在其平衡位置附近作微振动。这些粒子虽然就其量子本性来说是不可分辨的, 但可以根据其位置而加以区分。在这意义上可以将定域粒子看作可以分辨的粒子。因此, 由定域粒子组成的系统 (称为定域系统) 遵从玻耳兹曼分布。当压力不太高、温度不太低时对同粒子系统 (气体分子系统) 玻色、费米统计都可还原为玻尔兹曼统计。故对气体这样的等同离子体系可以用经典统计的理论加以描述, 不会引起太多误会。但也有例外:空腔辐射频率分布问题 (光子气体) 只遵守玻色统计, 而金属和半导体中的电子分布 (电子气体) 只遵守费米统计。

值得注意, 定域系统和满足经典极限条件的玻色、费米系统虽然遵从同样的分布, 但它们的微观状态数是不同的。对于那些直接由分布函数导出的热力学量 (例如内能、物态方程) , 两者具有相同的统计表达式。然而, 对于例如熵等与微观状态有关的热力学量, 两者的统计表达式有差异。

5 热力学量的统计表达

1) 玻尔兹曼系统

由于内能是系统中粒子无规则运动总能量的统计平均值, , 而在无穷小的准静态过程中, , 由此我们可知:能级的改变可引起内能的变化, 而粒子分布的改变同样可引起内能改变。

由于外界对系统所做的功, 我们便可得出:代表过程中系统从外界吸收的能l量, 就是在无穷小的准静态过程中, 系统从外界吸收的能量等于粒子在各能级重新分布所增加的内能。在原子物理中, 粒子的电离与跃迁便附和这种内能变化的理论, 这显示了微观变化对宏观量的影响。粒子在各能级的重新分布情况便影响了物体内能的变化。

(4) 玻尔兹曼关系:S=KlnΩ

玻尔兹曼关系表示, 某个宏观状态的熵等于玻尔兹曼常量K乘以相应微观状态数的自然对数。由波耳兹曼关系可知系统某一状态熵的大小, 反映出该宏观状态所对应的微观状态数的多少。因此, 熵增加的过程是系统无序度增加的过程。熵大意味着系统混乱度大, 某个宏观状态相对应的微观状态数越多。因此玻耳兹曼关系式揭示了熵的本质, 熵代表了一个系统的混乱程度。如果说, 在孤立系统中发生的不可逆过程总是朝着混乱程度增加的方向进行的。而我们假设如果某个孤立系统, 它的微观状态数为1, 也就是只存在一种状态。那对这个系统而言, 它就没有表现出混乱程度, 而与此相对的熵为0, 那么这个孤立系统, 它就处于绝对静止状态。

2) 玻色系统

巨配分函数

3) 费米系统

巨配分函数:

则对于费米系统而言, 玻色系统得到的热力学量的统计表达式完全适用。

在孤立系条件下, 我们对于非简并气体可用以上所得到的分布来讨论气体的相应理论, 例如理想气体的物态方程等。一般气体经典极限条件ωlea>> 1al>> 1, 所以玻色气体和费米气体的相关问题都可以近似玻尔兹曼分布的问题进行处理。但在简并气体al>>1的情况不能得到满足的情况下, 便不能近似玻尔兹曼统计处理, 这是我们便要根据巨正则系统理论再次导出近独立粒子的分布。当系统不是孤立系而是与源接触可以交换粒子和能量而达到平衡的开系, 导出的分布便是近独立粒子在其能级上的分布。

地震压力波的格子玻尔兹曼模拟 篇2

LB方法[1,2,3,4,5]是由格子气自动机 (Lattice Gas Automata, LGA) 发展起来的。LGA是元胞自动机 (Cellular Automata, CA) 的一种具体化形式, 是一个空间、时间和速度完全离散, 某些物理量只取有限个数值的理想化数学模型。在CA模型中, 粒子按照一定的规则在格子上进行碰撞和迁移。

LB方法基于非平衡统计物理学的基本方程———Boltzmann方程, 可以看作是连续Boltzmann方程的特殊离散化形式[6], 对于复杂流体系统中的一些多尺度 (不同Kn数) 行为具有物理描述上的自适应性, 因而是一种多尺度方法;一方面LB的离散速度模型对分子运动细节做了平均化处理, 另一方面LB是联系宏观层次和介观层次的桥梁和纽带, 因而是一种介观方法;从离散的网格来说, LB具有Euler方法的属性, 从离散的粒子观点来说, 它又具有Langrange方法的属性, 因而是一种混合方法;该方法实现了用本来就不连续的模型去描述连续的客观对象并进行直接计算的设想。

1 地震压力波的LB模型构建

1.1 格子BGK模型

含有源项的格子LBGK方程为:

通过对fα (x+eαε, t+ε) 进行Taylor展开, 对fα进行Chapman-Enskog展开, 可以得到关于ε的系列方程。由待定系法可得关于εi的系列等式:

以上称为LB方程的系列方程, Δ为偏微分算子, 且有。

1.2 地震压力波LB方程建立

其中, 为位移;Cs为波速。

在地震压力波的控制方程为:

其中, ρ为密度;p为压力;v= (u1, u2) 为速度。

2 地震压力波方程的恢复

定义宏观压力p:

假设平衡态分布函数fαeq (x, t) 满足守恒条件:

将平衡态分布函数feq的一阶矩和二阶矩记为:

对式 (a) 两边乘以mα并对α求和, 结合式 (1) , 式 (2) 得到:

对式 (b) 两边乘以mα, eαi并对于α求和, 结合式 (1) , 式 (2) 得到:

即可得到t0时间尺度上的压力波方程:

用 (a) + (b) ×ε并对α进行两边求和, 得:

用 (a) + (b) ×ε, 乘以eαi, 再对α进行两边求和, 得:

对式 (3) 两边对t求偏导, 式 (4) 两边对x求偏导, 再依次相减, 得到:

得到波速。

1) 若考虑D1Q3离散速度模型, 如图1所示, 其粒子速度eα={0, c, -c}, α=0, 1, 2。

平衡分布函数可以为:

2) 若选用D2Q5离散速度模型, 如图2所示, 其中粒子速度c=eα, α=1, …, b, b=4。该平衡分布函数可以为:fα (0) =A0ρ+A2ρeαjuj, α=1, …, b, f (0) 0=D0ρ。

其中, A0, A2, D0均为参量。

3 一维模型数值模拟

考虑波动方程:

初值条件:

。精确解有如下:

在图3a) ~图3c) 中, 我们记录下三个瞬间的压力波运动形状。以上参数中, 波速。

令来保证离散项O (ε2) 。发现一个单波会逐渐发展为一个右程波和一个左程波, 并且时刻保持其形状。

图3a) ~图3c) 为LB数值模拟 (圆圈) 和精确解析 (直线) 一维示例之间的比较。其中的参量为格子尺寸M=1 000, Δx=0.01, C=3.0, τ=0.5, λ=0.01, Cs=0.1。图3d) 为时间T=3 000Δt时刻的相对x位置的误差曲线。还可以通过函数e (x, t) = (φ (x, t) -φ* (x, t) ) /φ* (x, t) 得到其中的误差值, 在图3d) 中, 我们得到与x位置相对的误差曲线, 最终这个LB计算的数值结果与精确解析结果吻合的较好。

4 二维模型数值模拟

给出在均质介质中压力波传播的结果, 选择格子尺寸为100×100, Δx=Δy=0.01, c=3.0, τ=0.5, ρ=0.1, λ=0.01。

初始条件为:u (x, y, 0) =0.0, v (x, y, 0) =0.0,

图4显示了T=200Δt, T=500Δt时压力波传播的图案。

5 结语

构造格子Boltzmann模型来研究地震压力波, 通过了Taylor公式展开和Chapman-Enskog分析技术得到了模型的系列方程;通过选择适当的平衡态分布函数, 我们构造了用于地震压力波的LB模型。此外, 我们通过一些例子验证了所构造模型的有效性, 表明LB模拟得到的结果与精确解析吻合较好, 最后给出了用LB模型模拟的地震压力波。

参考文献

[1]SUCCI S.The lattice Boltzmann equation for fluid dynamics and beyond[M].New York:Oxford University Press, 2001.

[2]XU A, GONNELLA G, LAMURA A.Simulations of complex fluids by mixed lattice Boltzmann finite difference methods[J].Physica A, 2004, 331 (1-2) :10-22.

[3]许爱国, 张广财, 李华, 等.材料动力学的介观模拟[D].北京:北京应用物理与计算数学研究所, 2011.

[4]郭照立, 郑楚光.格子Boltzmann方法的原理与应用[M].北京:科学出版社, 2008.

[5]何雅玲, 王勇, 李庆.格子Boltzmann方法理论与应用[M].北京:科学出版社, 2008.

玻尔兹曼系统 篇3

近年来,科研人员针对球磨机料位的测量提出了许多测量方法。文献[1]采用减法聚类辨识模糊模型结构,然后建立T-S模糊模型预测存煤量,但其模型输入中往往含有不相关信息,影响测量精度。 文献[2]采用偏最小二乘( partial least squares, PLS) 对频谱进行特征提取,减弱噪声对测量结果的影响,然后通过极限学习机( extreme learning ma- chine,ELM) 建立软测量模型。文献[3]首先利用核偏最小二乘( kernel partial least squares,KPLS) 算法建立各分频段的子模型,然后依据预测误差的信息熵获得初始权重,得到料位集成预测模型。

滚筒式球磨机料位测量方法主要包含压差法、功率法、振声法和振动法等［4］。振声法具有运行费用低、 结构简单、易于控制等特点,得到了广泛应用。但振声信号频谱具有强噪声和非线性的特点。因此需要采用一定的方法提取特征。受限玻尔兹曼机( restricted Boltzmann machine,RBM) 是一种生成性模型,已成功应用于分类［5］、特征提取［6］等机器学习问题。首先采用对比散度( contrastive divergence,CD)［7］算法,再利用有监督的反向传播算法微调RBM,增强了其提取有效特征的能力。由Takagi和Sugeno提出的T-S模糊模型［8］本质上是一个非线性模型,过程辨识能力较强, 适用于处理非线性时变问题［9］。模糊模型辨识分为结构辨识和参数辨识两部分,结构辨识包括输入空间的划分及模糊规则数的确定。通常采用模糊聚类进行结构辨识。文中采用减法聚类进行结构辨识以充分利用输入数据所包含的信息,对于减法聚类,可无需提前规定聚类数［10］,因此采用其进行结构辨识。

本文首先利用RBM对振声信号频谱进行特征提取,降低T-S模型的复杂度,然后采用减法聚类进行特征空间划分,最后输入T-S模糊模型进行料位预测。通过在实际数据上进行验证,表明了建立的软测量模型的有效性。

1软测量模型建立策略

结合RBM、减法聚类和T-S模糊模型建立的软测量模型如图1所示。系统输入的是经球磨机数据采集系统采集的振声信号。首先采用Welch方法求取功率谱; 然后将频谱特征输入到RBM中,将隐含层的激活值作为降维特征,从而频谱从高维特征空间映射到低维特征空间,同时减弱了非线性、强噪声对测量精度的影响; 再利用减法聚类进行模糊系统结构辨识; 最后由T-S模糊推理得到球磨机料位信息。

2理论与算法

2. 1受限玻尔兹曼机

RBM( 图2) 是一种随机神经网络,包含一个隐含层和可见层,隐含层用于提取特征,可见层用于重构数据。在给定的伯努利RBM中,v,h表示可见层与隐含层状态,其系统能量定义为

式( 1) 中bi,cj表示可见层节点vi和隐含层节点hj的偏置,Wij为可见层节点vi与隐含层节点hj之间的连接权值。给定参数 θ,根据能量函数,可得( v,h) 的联合分布

于是,可得观测数据v的分布P( v | θ)

RBM的训练过程如下:

( 1) 采用无监督的CD算法训练RBM。

式( 4) 中 ε 为学习率,〈·〉data为给定数据的期望, 〈·〉model为重构模型所在的分布的期望。

( 2) 为RBM添加一个输出层,采用BP算法对网络进行微调。最后将隐含层的激活值作为所提取的特征。

2. 2减法聚类

建立T-S模糊模型首先需要进行结构辨识,即进行输入空间划分,确定模糊规则数目。本文采用基于山峰函数的减法聚类进行结构辨识。

对于输入数据( x1,x2,…,xn) ,每个点作为可能的聚类中心,点xi的密度指标为

计算所有点的密度后,选择密度最高的点x1*作为第一个聚类中心,其密度为d1*,于是每个点的密度降低为

迭代上述步骤,直至密度最高的点xp*的密度dp*低于规定阈值,聚类过程结束。

2. 3 T-S模糊模型

T-S模型是一种由If-Then规则描述的不确定非线性模型,通过把输入空间划分成模糊子空间,并在子空间建立相应的回归模型。典型T-S模型的定义为［8］:

式中(x1k,…,xmk)为输入变量,m为输入变量的个数,Aji(i=1,2,…,m)为前件参数,bj0,…,bjn为后件参数,j=1,2,…,M,M为规则的个数。则规则Rj的激活度为

式( 7) 中∏ 为模糊算子,一般采用取小或乘积运算。则T-S模糊系统输出为

3实验结果与讨论

3. 1实验数据预处理

通过在小型实验室球磨机进行实验,获取1到20L料位下的振声信号,将每组信号等分成22段, 对每段信号采用Welch方法求取功率谱。每个料位下任意取15段用作训练,剩余7段用作测试。振声信号的能量主要集中于200 ~ 7 000 Hz,为了提高计算效率,以20 Hz为单位对数据进行分割求均值, 得到每段样本的维度为340。于是训练集规模为300 × 340,测试集规模为140 × 340。

为了验证所建立的RBM-TS软测量模型,将其与PCR,ELM,PCA-TS进行对比研究。进行实验时, 共进行10次不同的训练集和测试集的划分,并对所提方法和测试方法进行了验证。采用均方根误差( root mean square error,RMSE) 、最大绝对误差( maximum absolute error,MAXE) 和平均相对误差( mean relative error,MRE) 作为评价指标,其定义如下:

3. 2 T-S模糊模型的建立

首先对经过RBM提取特征的样本数据进行减法聚类,通过调整聚类半径,确定子空间的划分和规则数目,从而确定模糊系统的结构,然后利用最小二乘法辨识后件参数。所提模型中,其输入变量的个数为8,输出变量的个数为1,规则数依据不同的数据集而略有不同。在10次实验中,测量精度最高的模型具有5条规则,其模型如下。

每个输入变量均被划分为5个输入空间,各模糊子集的隶属函数为高斯型函数,模糊规则如下。

3.3实验结果

根据10次测量RMSE的平均值,采用网格搜索法对PCR,ELM,PCA-TS进行寻优。在PCR中,CPV的取值范围是[0. 88,0. 89,…,0. 96]。在ELM中, Nhidden的取值范围是[5,6,…,90]。在PCA-TS中, CPV的取值范围是[0. 88,0. 89,…,0. 96 ],radii的取值范围是[0. 3,0. 4,…,1],RBM-TS模型的参数根据经验选取。图3为实验中的最优参数对应的测量结果,表1给出了对应模型的参数。

根据图3可以得出,在测量精度和稳定性方面, RBM-TS模型均优于对比方法。PCR的总体测量精度较PCA-TS低,表明振声频谱中存在非线性,需结合非线性模型进行建模。ELM的测量稳定性较低,且在MRE方面存在2个异常点,表明频谱中还存在较强的噪声,需进行特征提取。而RBM-TS的模型精度略优于PCA-TS模型精度,这是由于PCA采用非监督线性方式进行特征提取,导致其鲁棒性不强,而经过微调的RBM,能提取辨别性特征,增加了料位间的区分程度,有利于后续的建模。

4结论

本文结合RBM,减法聚类,TS模糊模型,提出了一种球磨机料位软测量方法。首先利用RBM进行降维,减少振声频谱中非线性和不相关信息对测量结果的影响,并降低了所建立模糊模型的复杂度, 然后利用减法聚类进行模糊结构辨识,最后利用T- S模糊模型进行料位预测。实验结果表明,本文模型结构简单,测量精度和稳定性较高。

摘要：球磨机是火力发电厂的基础设备,可靠测量料位是实现系统优化的关键。针对球磨机音频信号中存在强噪声、非线性等问题,结合受限玻尔兹曼机(RBM)、减法聚类和T-S模糊模型,提出了一种软测量方法。首先采用微调后的受限玻尔兹曼机提取特征,去除存在的噪声,然后使用减法聚类辨识模糊模型的初始结构,最后采用T-S模糊模型预测球磨机料位。通过在球磨机运行数据上进行模型验证,验证了该方法的实用性和可行性。