正弦线、余弦线、正切线教学设计

正弦线、余弦线、正切线教学设计

正弦线、余弦线、正切线教学设计 篇1

正弦线、余弦线、正切线教学设计

（高二年级数学集体备课）

教学内容：人教版，高中数学必修4p15-17,1.2.1任意角的三角函数--正弦线、余弦线、正切线

一、教学目标

(一)知识目标

1、有向线段的概念。

2、正弦线、余弦线、正切线的概念。

3、用正弦线、余弦线、正切线表示任意角的三角函数值。(二)能力目标

1.理解并掌握有向线段的概念。

2.正确利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值用正弦线、余弦线、正切线表示出来。

(三)德育目标

通过三角函数值的几何表示，使学生进一步加深对数形结合思想的理解，培养良好的思维习惯，拓展思维空间.二、教学重点、难点

重点：正确地用三角函数线表示任意角的三角函数值

难点：正确地用与单位圆有关的三角函数线表示三角函数值

三、教学分析

学生已经学过学习任意角的三角函数, 本节利用单位圆上的线段定义三角函数的正弦线、余弦线、正切线。三角函数的正弦线、余弦线、正切线在研究三角函数中的数形结合思想中起着非常重要的作用。

利用信息技术,可以很容易地建立角的终边和单位圆的交点坐标、单位圆中的三角函数线之间的联系,并在角的变化过程中，将这种联系直观地体现出来。所以，信息技术可以帮助学生更好地理解三角函数的本质。激发学生对三角函数研究的热情,培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神;通过学生之间、师生之间的交流合作，实现共同探究、教学相长的教学情境。

教学过程：

一、复习

师：角α的正弦、余弦、正切在各象限的函数值符号分别如何？

生：可以看到，正弦值的正负取决于P点纵坐标y符号，余弦值的正负取决于P点的横坐标x的符号，而正切值的正负取决于x和y是否同号。

一全正，二正弦，三正切，四余弦

二、新课推进

1、引入：前面我们研究了三角函数值在各象限内的符号，学习了将任意角的三角函数化成0º到360º角的三角函数值的一组公式，我们知道角是一个图形概念，表示角的大小是一个数量概念（弧度数）。作为角的函数——三角函数值是一个数量概念（比值），能否用几何方式来表示三角函数值呢？

由三角函数的定义我们知道，对于角α的各种三角函数值我们都是用比值（数）来表示的，代数表示法。今天我们再来学习角α的正弦、余弦、正切函数值的另一种表示方法——几何表示法

知识探究

（一）：有向线段

2、有向线段（板书）师：顾名思义，有方向的线段（即规定了起点与终点的线段）叫做有向线段，有向线段的数值由其长度大小和方向来决定。

那么如何建立有向线段与数的对应关系呢？这需要借助坐标轴。平行于坐标轴的线段可以规定两种方向。

如图2，线段AB可以规定从点A（起点）到点B（终点）的方向，或从点B（起点）到点A（终点）的方向。

当线段的方向与坐标轴的正方向一致时，就规定这条线段是正的；当线段的方向与坐标轴的正方向相反时，就规定这条线段是负的。

如图中AB=3（长度单位）（A为起点，B为终点），BA=-3（长度单位）（B为起点，A为终点），类似地有CD=-4（长度单位），DC=4（长度单位）。

知识探究

（二）：角α的正弦线、余弦线（板书）

3、正弦线和余弦线

师问题：我们学过任意角的三角函数，在平面直角坐标系下，利用单位圆对角α的正弦、余弦、正切是如何定义的？

生：如图2所示,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),r=op=1。那么:(1)yy sinyMPr1，xxy叫做α的正弦α,即sinα=y； cos,记作xsinOMr1 2

yyyMPr1(2)xxcosxOMr1

x叫做α的余弦,记作cosα,即cosα=x；

yyy

(3)tan,叫做α的正切,记作tanα,即tanα=(x≠0)。

xxx（同学可能答不上来，教师给出更明确的提示。）sin

所以,正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数。

可以看到，正弦值的正负取决于P点纵坐标y符号，余弦值的正负取决于P点的横坐标x的符号，而正切值的正负取决于x和y是否同号。

由此看出，角α与单位圆的交点P（x，y）的纵坐标恰是角α的正弦值，但sinα是可正、可负、可为零的实数。

思考1：能不能找一条有向线段表示sinα？

生：找一条有向线段跟y一致就行了，y是正的，线段方向向上，y是负的，线段方向向下，然后让线段的长度为｜y｜。（同学可能答不上来，教师给出更明确的提示。）

师：理论上很对，到底选择哪条线段呢？我们不妨分象限来看看。如图，设角α为第一象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y），则 sinα=y，cosα=x 都是正数，你能分别用一条线段表示角α的正弦值和余弦值吗？

|MP|ysin|OM|xcosyAT=tanx,x≠0.（图3中的线段随教学过程逐渐添加。）其余三个象限角分别进行。

生：如果α是第二象限角，sinα=y是正数，也得找一条正的线段。因为α的终边在x轴上方，与第一象限一样，作PM垂直x轴于M，MP=sinα。

师：第一、二象限角的正弦值几何表示都是MP，那么第三、四象限呢？注意此时sinα是负值。

生：这时角α的终边在x轴下方，P到x轴的距离是｜y｜=-y。所以还是作PM垂直x轴于M，MP方向向下，长度等于-y，所以sinα=-y。

师：归纳起来，无论α是第几象限角，过α的终边与单位圆的交点P作x轴的垂线，交x轴于M，有向线段MP的符号与点P的纵坐标y的符号一致，长度等于｜y｜。所以有MP=y=sinα。同样方式得余弦线。

称有向线段MP，OM分别为角α的正弦线和余弦线。正弦线是角α的正弦值的几何形式。余弦线是角α的余弦值的几何形式。

（1）正弦线——有向线段MP（2）余弦线——有向线段OM 师：对轴上角这个结论还成立吗？（学生经过思考，答案肯定。）

图3（图3中的线段随教学过程逐渐添加。）其余三个象限角分别进行。

生：如果α是第二象限角，sinα=y是正数，也得找一条正的线段。因为α的终边在x轴上方，与第一象限一样，作PM垂直x轴于M，MP=sinα。

师：第一、二象限角的正弦值几何表示都是MP，那么第三、四象限呢？注意此时sinα是负值。

生：这时角α的终边在x轴下方，P到x轴的距离是｜y｜=-y。所以还是作PM垂直x轴于M，MP方向向下，长度等于-y，所以sinα=-y。

师：归纳起来，无论α是第几象限角，过α的终边与单位圆的交点P作x轴的垂线，交x轴于M，有向线段MP的符号与点P的纵坐标y的符号一致，长度等于｜y｜。所以有MP=y=sinα。同样方式得余弦线。

称有向线段MP，OM分别为角α的正弦线和余弦线。正弦线是角α的正弦值的几何形式。余弦线是角α的余弦值的几何形式。

（1）正弦线——有向线段MP（2）余弦线——有向线段OM 师：对轴上角这个结论还成立吗？（学生经过思考，答案肯定。）知识探究

（三）：角α的正切线（3）正切线——有向线段AT 师：那么哪条有向线段叫正切线呢？不妨先找某一个象限角的正切线。生：设α是第一象限角，α的终边与过A的圆的切线交于点T，T的横坐标是1，纵坐标设为y′，有向线段AT=y′，AT可以叫做正切线。（同学可能答不上来，教师给出更明确的提示。）

师：的确像刚才同学们说的，正切线确实是单位圆的切线的一部分。注意正切值不是每个角都有。

师：刚才讨论的是四个象限的象限角的正弦线、余弦线、正切线，轴上角有正弦线、余弦线、正切线吗？

生：当角α终边在x轴上时，P和M重合, 正弦线退缩成了一个点，正弦值为0；T和A重合，正切线退缩成了一个点，正切值为0；当角α终边在y轴上时，M和O重合, 余弦线退缩成了一个点，余弦值为0；α的终边与其反向延长线和过A的切线平行，没有交点，正切线不存在。

我们把角α与单位圆有关的三条正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线。

归纳：

师：现在我们归纳一下任意角α的正弦线、余弦线、正切线的作法。其步骤是：

（1）作直角坐标系和角的终边，并在单位圆中找出角α的终边，设α的终边与单位圆的交点为P（x，y）。

（2）过P点作PM⊥x轴，垂足为M，则有向线段MP叫做角α的正弦线，OM叫做角α的余弦线。

（3）设单位圆与x轴正半轴的交点为A，过A（1，0）点作x轴的垂线AT，使AT与α的终边或其反向延长线交于T点，那么有向线段AT叫做角α的正切线。

利用三角函数线，我们可以解决一些简单的有关三角函数的问题，如准确求得角α的各个三角函数值，求三角函数的定义域、值域，准确画出各三角函数的图象等。

3、三角函数线的应用（观看课件）

例1 作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：

54（1）（2）

65练习：课本第17页：第2题的（1）、（3）题。

三、小结及作业

三角函数线是研究三角函数的几何工具，它是数形结合思想在三角函数中的体现．我们应掌握三角函数线的作法，并能运用它们解决一些有关三角函数的问题，注意在用字母表示有向线段时，要分清起点和终点，书写顺序要正确。

作业：

1、课本第17页：第2题的（4）题。第3题。

2、预习下节：1.2.2同角三角函数的基本关系