正弦定理教学设计

正弦定理教学设计（精选14篇）

正弦定理教学设计 篇1

《正弦定理、余弦定理》教学反思

我对教学所持的观念是：数学学习的主要目的是：“在掌握知识的同时，领悟由其内容反映出来的数学思想方法，要在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。”数学学习的有效方式是“主动、探究、合作。”现代教育应是开放性教育，师生互动的教育，探索发现的教育，充满活力的教育。可是这些说起来容易，做起来却困难重重，平时我在教学过程中迫于升学的压力，课堂任务完不成的担心，总是顾虑重重，不敢大胆尝试，畏首畏尾，放不开，走不出以知识传授为主的课堂教学形式，教师讲的多，学生被动的听、记、练，教师唱独角戏，师生互动少，这种形式单一的教法大大削弱了学生主动学习的兴趣，压抑了学生的思维发展，从而成绩无法大幅提高。今后要改变这种状况，我想在课堂上多给学生发言机会、板演机会，创造条件，使得学生总想在老师面前同学面前表现自我，让学生在思维运动中训练思维，让学生到前面来讲，促进学生之间聪明才智的相互交流。

三角形中的几何计算的主要内容是利用正弦定理和余弦定理解斜三角形，是对正、余弦定理的拓展和强化，可看作前两节课的习题课。本节课的重点是运用正弦定理和余弦定理处理三角形中的计算问题，难点是如何在理解题意的基础上将实际问题数学化。在求解问题时，首先要确定与未知量之间相关联的量，把所求的问题转化为由已知条件可直接求解的量上来。为了突出重点，突破难点，结合学生的学习情况，我是从这几方面体现的：我在这节课里所选择的例题就考常出现的三种题型：解三形、判断三角形形状及三角形面积，题目都是很有代表性的，并在学生练习过程中将例题变形让学生能观察到此类题的考点及易错点。这节课我试图根据新课标的精神去设计，去进行教学，试图以“问题”贯穿我的整个教学过程，努力改进自己的教学方法，让学生的接受式学习中融入问题解决的成份，企图把讲授式与活动式教学有机整合，希望在学生巩固基础知识的同时，能够发展学生的创新精神和实践能力，但我觉得自己还有如下几点做得还不够：①课堂容量中体来说比较适中，但由于学生的整体能力比较差，没有给出一定的时间让同学们进行讨论，把老师自己认为难的，学生不易懂得直接让优等生进行展示，学生缺乏对这几个题目事先认识，没有引起学生的共同参与，效果上有一定的折扣；②没有充分挖掘学生探索解题思路，对学生的解题思维只给出了点评，而没有引起学生对这一问题的深入研究，例如对于运用正弦定理求三角形的角的时候，出了给学生们常规方法外，还应给出老教材中关于三角形个数的方法，致少应介绍一下；③没有很好对学生的解题过程和方法进行点评，没起到“画龙点睛”的作用。④ 00

正弦定理教学设计 篇2

一、教学过程

1. 设置情境

利用投影展示:一条河的两岸平行, 河宽d=1 km, 因上游突发洪水, 在洪峰到来之前, 急需将码头A处囤积的重要物资及人员用船转运到正对岸的码头B处或其下游1 km的码头C处.已知船在静水中的速度|v1|=5 km/h, 水流速度|v2|=3 km/h.

2. 提出问题

师:为了确定转运方案, 请同学们设身处地地考虑一下有关的问题, 将各自的问题经小组 (前后4人为一小组) 汇总整理后交给我.

待各小组将题纸交给老师后, 老师筛选几张有代表性的题纸通过投影向全班展示, 经大家归纳整理后得到5个问题: (1) 船应开往B处还是C处? (2) 船从A开到B, C分别需要多少时间? (3) 船从A到B, C的距离分别是多少? (4) 船从A到B, C时的 (5) 船应向什么方向开, 才能保证沿直线到达B, C?

师:大家讨论一下, 应该怎样解决上述问题?

大家经过讨论达成如下共识:要回答问题 (1) , 需要解决问题 (2) , 要解决问题 (2) , 需要先解决问题 (3) 和 (4) , 问题 (3) 用直角三角形知识可解, 所以重点是解决问题 (4) , 问题 (4) 与问题 (5) 是两个相关问题, 因此, 解决上述问题的关键是解决问题 (4) 和 (5) .

师:请同学们根据平行四边形法则, 先在练习本上作出与问题对应的示意图, 明确已知什么, 要求什么, 怎样求解.

生:船从A开往B的情况, 根据平行四边形的性质及解直角三角形的知识, 可求得船在河水中的速度大小|v|及v1与v2的夹角θ.

生:船从A开往C的情况, |AD|=|v1|=5, |DE|=|AF|=|v2|=3, 易求得∠AED=∠EAF=45°, 还需求θ及v.我不知道怎样解这两个问题, 因为以前从未解过类似的问题.

师:请大家想一下, 这两个问题的数学实质是什么?

部分学生:在三角形中, 已知两边和其中一边的对角, 求另一边的对角和第三边.

师:请大家讨论一下, 如何解决这两个问题?

生:在已知条件下, 若能知道三角形中两条边与其对角这4个元素之间的数量关系, 则可以解决上述问题, 求出另一边的对角.

生:如果另一边的对角已经求出, 那么第三个角也能够求出.只要能知道三角形中两条边与其对角这4个元素的数量关系, 则第三边也可求出.

生:在已知条件下, 如果能知道三角形中三条边和一个角这4个元素之间的数量关系, 也能求出第三边和另一边的对角.

师:同学们的设想很好, 只要能知道三角形中两边与它们的对角间的数量关系, 或者三条边与一个角间的数量关系, 则两个问题都能够顺利解决.下面我们先来解答问题:三角形中, 任意两边与其对角之间有怎样的数量关系?

3. 解决问题

师:请同学们想一想, 我们以前遇到这种一般问题时, 是怎样处理的?

众学生:先从特殊事例入手, 寻求答案或发现解法.直角三角形是三角形的特例, 可以先在直角三角形中试探一下.

师:请各小组研究“在Rt△ABC中, 任意两边及其对角这4个元素间有什么关系”?

多数小组很快得出结论:a=b=c.

sin Asin Bsin C

师:a=b=c在非Rt△ABC中是否成立?

sin Asin Bsin C

众学生:不一定, 可以先用具体例子检验.若有一个不成立, 则否定结论;若都成立, 则说明这个结论很可能成立, 再想办法进行严格的证明.

师:这是个好主意.请每个小组任意作出一个非Rt△ABC, 用量角器和刻度尺量出各边的长和各角的大小, 用计算器作为计算工具, 具体检验一下, 然后报告检验结果.

几分钟后, 多数小组报告结论成立, 只有一个小组因测量和计算误差, 得出否定的结论.教师在引导学生找出失误的原因后指出:此关系式在任意△ABC中都能成立, 请大家先考虑一下证明思路.

生:想法将问题转化成直角三角形中的问题进行解决.

生:因为要证明的是一个等式, 所以应先找到一个可以作为证明基础的等量关系.

师:在三角形中有哪些可以作为证明基础的等量关系呢?

学生七嘴八舌地说出一些等量关系, 经讨论后确定如下一些与直角三角形有关的等量关系可能有利用价值: (1) 三角形的面积不变. (2) 三角形同一边上的高不变. (3) 三角形外接圆直径不变.

师:据我所知, 从AC+CB=AB出发, 也能证得结论, 请大家讨论一下.

生:要想办法将向量关系转化成数量关系.

生:利用向量的数量积运算可将向量关系转化成数量关系.

生:还要想办法将有三个项的关系式转化成两个项的关系式.

生:因为两个垂直向量的数量积为0, 可考虑选一个与三个向量中的一个向量 (如向量AC) 垂直的向量与向量等式的两边分别作数量积.

师:同学们通过自己的努力, 发现并证明了正弦定理.正弦定理揭示了三角形中任意两边与其对角的关系, 请大家留意身边的事例, 正弦定理能够解决哪些问题.

二、教学总结

《正弦定理》教学设计 篇3

【教学对象】高二学生

【教材分析】正弦定理是高中《数学》必修五的第一章第一节，是高中生学习解三角形的第一个重要工具。同时为学习余弦定理做准备，起到十分重要的作用。

【学情分析】本课的教学对象设定为中等水平的高二学生。学习本课前，学生需要掌握前面已学过的三角函数知识。

【教学目标】

知识与技能：（1）理解正弦定理概念和公式的本质；（2）会正弦定理解决两个基本的解三角形问题。

过程与方法：（1）通过提出对以前知识的疑问，培养学生严谨的逻辑思维能力；（2）通过猜想——探究——证明的过程学习正弦定理，提高学生的探究意识。

情感态度价值观：（1）体会到数学的普适性的美；（2）体会数学公式的结构不变性与字母可变性。

【教学重点】证明正弦定理的过程以及如何应用正弦定理解三角形。

【教学难点、关键】正弦定理的本质。

【教学方法】引导探究、实例运用。

【教学过程设计】

一、回顾旧知

1、三角形中“大边对大角”的描述是真的吗？

提问让学生思考，产生认知疑惑。教师引导学生回答问题，发现根据现已掌握的知识似乎只有在直角三角形中，才可以通过理论证明“大边对大角”。

2、老师继续引导学生严谨证明在直角三角形中大边对大角

老师引导学生，证明不能似乎好像，必须有严谨的证明才可以，并板书证明过程：

斜边>任一直角边（由勾股定理可得）设直角边分别为a，b，且分别对应角A，B，斜边为c，那么a=c*sinA，b=c*sinB，又A，B是锐角，所以角越大时边越大，边越大时角越大，故“大边对大角”。

设计意图：先造成学生认知上的疑惑，通过老师不断地引导培养学生严谨的数学思维能力。

二、在一般三角形中猜想并证明正弦定理

利用已知在直角三角形中的证明可以得到：a/sinA=c=b/sinB，其中c可以写作c/sinC猜测在一般三角形中也有这样的等式成立

先让学生自己任意画一个三角形，任意标出三角形的三个顶点A，B，C，其中角A，B，C，分别对应边a，b，c，再根据教师的引导共同证明猜想。黑板上演示证明的全过程，让学生清楚地看到正弦定理对任意三角形都成立的全过程。

板书演示：（略）

老师让同学之间相互交流看看对方画的三角形是否一样，可以发现这样的猜想对任意的三角形都是成立的，老师继续提示在证明过程中也没有任何限制三角形形状的地方，所这样的猜想对三角形有普适性。老师揭示刚刚所证明的猜想就是今天要学习的正弦定理。

设计意图：通过证明向学生们揭示正弦定理的普适性，让学生们感受到数学定理的伟大。

三、正弦定理的本质

例题：已知三角形三边为分别为m，n，l其对应角分别是O，P，Q，请写出该三角形的正弦定理表达式。

由刚刚学习的正弦定理可知m/sinO=n/sinP=l/sinQ。老师让同学间相互出题，随意变换三角形的三边字母及其对应角的字母解决问题。在解决这些问题时学生对正弦定理的认识有进一步了解。可以发现运用正弦定理公式时不是简单的套用字母的运算，而要分析公式的真正含义再结合题意进行运用。学生总结或通过老师揭示正弦定理的实质。

设计意图：通过简单例题引发同学们的思考，使同学掌握正弦定理的本质，体会公式的字母可变性与结构不变性，并感受到数学以不变应万变的魅力。

四、正弦定理的应用

老师引导学生利用正弦定理证明“大边对大角”：直角三角形的情况在课堂一开始就已经证明过；在锐角三角形中，所有的角均为锐角，故角度越大其正弦值越大，那么由正弦定理的实质（任意三角形中每一边与其对应角的正弦值之比为定值）可以得到其对应边的值也越大，反之亦然，故而锐角三角形中有“大边对大角”；类似地，在钝角三角形中的两个锐角及其对应边，自然是有“大边对大角”的，那么钝角的正弦值是不是大于其中任一锐角的正弦值呢？给学生一定的思考空间后，老师提示三角形的内角和为180o，所以钝角的正弦值等于其余两个锐角和的正弦值，那么钝角的正弦值肯定大于其中任一锐角的正弦值，同理“大边对大角”在钝角三角中也成立。

正弦定理除了可以证明“大边对大角”，还有什么应用呢？

例题：已知△ABC的三角形∠A=60°，∠B=45°，AB=3，求△ABC的周长L

先让学生们独立做题，最后由老师板书提示：

周长L=AC+BC+AB

=sinA（AB/sinC）+sinB*（AB/sinC）+AB

=（sinA+sinB+sinC）AB/sinC.

总结，任意三角形只要是任意给出两角和一边都可以计算出其余的值。

例题：1.已知△ABC的三角形∠A=60°，CB=5，AB=3，求△ABC的周长L

例题：2.已知△ABC的三角形∠A=60°，AC=4，AB=3，求△ABC的周长L

学生自行做题，发现例2无法解出。总结，任意三角形中任给两边和其中一边的对应角才可以利用正弦定理计算出其余的量。

正弦定理教学反思 篇4

1.在教学过程中，我注重引导学生的思维发生，发展，让学生体会数学问题是如何解决的，给学生解决问题的一般思路。从学生熟悉的直角三角形边角关系，把锐角三角形和钝角三角形的问题也转化为直角三角形的性，从而得到解决，并渗透了分类讨论思想和数形结合思想等思想。

2.在教学中我恰当地利用多媒体技术，是突破教学难点的一个重要手段.利用《几何画板》探究比值的值，由动到静，取得了很好的效果，加深了学生的印象.

正弦定理教学设计及反思 篇5

及反思

【教学课题】1.1.1正弦定理（第一课时）

【教学背景】本节课所面对的是普通高中招生中最后的一批学生，学习成绩较差，中考成绩大多在280分左右。自身缺少良好的学习习惯和一定的数学学习能力。因此在教学设计时，以基础知识，基本方法的学习和应用为主。在教学过程中，采用了以学生互动探究为主的“五二五”教学模式，以提高学生的学习兴趣。

【教析分析】本章是高中数学必修5的第一章第一节内容，是初中解直角三角形的拓展和延续，重点揭示了三角形边、角之间的数量关系。运用它可以解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。在高考中也常与三角函数、平面向量等知识结合在一起考考察。

【学习目标】通过对任意三角面积的探索，理解正弦定理的内容及其推导过程；能够通过观察、归纳、猜想，由特殊到一般得到正弦定理，体验数学发现与创造的历程；掌握正弦定理并能够运用正弦定理解决一些简单的求边角问题。

【学习重点】正弦定理的几种形式。

【学习难点】正弦定理的推导与证明。

【学习方法】自主学习、合作探究

【教学手段】多媒体辅助教学

【学习过程】

一、复习引入

在直角三角形中是如何定义边角关系？

任意三角形的高怎么求？

二、合作探究

（要求：学生先独立思考，再以小组为单位交流讨论结果，并派代表展示本组的讨论结果。）探究一：在△ABC中,分别以a,b,c为底边，求出相应边的高，并求出△ABC的面积。

结论：对任意△ABC都有===.探究二：你能利用三角形的面积公式，做适当的变形，探寻出各角与其对边的关系吗？

探究三：正弦定理说明在一个三角形中，各边与所对角的正弦的比相等，你能想办法求出这个比值吗？

三、阅读教材，记忆公式

我们利用正弦定理可以解决一些怎样的解三角形问题？

已知求;

已知求.四、小组合作，成果展示（要求：一、三、五组先做第一题再做第二题词，二、四、六组先做第二题再做第一题；每组派两位同学到黑板上板书，一位同学讲解。评价标准：书写规范，内容准确，声音洪亮，思路清晰。）

1、在中，a=3,b=3 ,B=60,求a边所对角的正弦值。

2、在中，A=60，B=75，a=10,求边c。

五、课堂小结

（学生小结，相互补充。）

六、能力提升

在ABC中，已知A450,a2,b2,求B。

七、检测评价

长江作业本2，3，4，5题。【教学反思】

本节课较好的完成了教学任务，实现了教学目标。在教学过程设计上充分考虑了学生的实际情况，从复习初中所学的直角三角形的边角关系引入，为学生接下来探究三角形的面积做好铺垫和引导。而不会让学生感到很突兀，不知道从哪个角度入手。我的这个引入设计看上去很简单，但却是有心之作，是以学生为中心的一个设计。从后面对三角形面积的探究来看，这一个引入做的还是很成功的。

本节课的第一个探究环节是对三角形面积公式的研究推导，学生先独立思考再小组交流讨论，让他们有了一定的结论和方法之后再交流讨论，很好的保护了学生自主学习的空间，又给予了他们展示自己解决问题能力的机会，同时学会了倾听别人的想法，让基础较差的同学在交流中得到点拨，成绩较好的同学在争论中加深了自己对问题的理解和思考。最后由学生展示探究结果，教师给予适当的评价和鼓励，让学生有学习的成就感，让他们有了继续学习的动力和兴趣。

本节课的第二个探究环节是由三角形的面积公式变形推导出正弦定理，这一环节比较简单，操作性强，学生一点就通。正弦定理的证明方法有很多，比如利用三角形全等、三角形的外接圆、向量法等，本节课我对教材做了改编，利用三角形的面积公式来推导正弦定理，思路自然，目标明确，易于学生接受和探究。在具体推导时，要注重学生思维的发展过程，这是数学的灵魂。

a的值。这一环节对于学生来说是一个难点。在sinA

a教学中恰当的使用了多媒体技术，利用几何画板探寻比值的值，由动到静，取得了很好sinA本节课的第三个探究环节是探寻比值的效果。也让学生感受到了数学是很有趣的。

在完成了正弦定理的推导之后，设计了两个简单的求边角问题。让学生进一步熟悉正弦定理的形式和结构特征。并让学生在每组的黑板上板书并讲解，即促使学生养成规范答题的习惯，又提升了数学语言的表达能力，还反馈了本节课的学习效果。

正弦定理与余弦定理应用谈 篇6

一、可以转化正弦余弦定理的问题

例1在△ABC中,若9a2+9b2=19c2,求

分析:通过将P化简,就可以结合正弦定理、余弦定理求解.

正弦定理、余弦定理有,,,代入P中，得到

又由已知有,代入上式得到

评注:对于某些三角问题,通过观察是需要找出边和角之间的关系,则不妨尝试采用三角形的方法,再用正弦定理和余弦定理,得出新颖而简捷的解法.

变式题:在△ABC中,如果

答案:，则，所以，所以

二、可以构造成正弦余弦定理的问题

例2求sin220°+cos250°+sin20°cos50°的值.

分析:注意到该三角函数式与余弦定理形式相似,可以构造三角形来解决.

解:sin220°+cos250°+sin20°sin40°的结构与三角形中的余弦定理形式相似,通过构造一个内角分别为20°,40°,120°的三角形,且使其外接圆的半径为1,那么由正弦定理知道这个三角形的三边分别为sin20°,sin40°,sin120°,再由余弦定理有sin2120°=sin220°+sin240。-2sin20°sin40。.cosl20°，从而sin220。+cos250°+sin20°cos50°=

评注:有些三角函数问题,观察其构造形式与三角形中的余弦定理形式相似,则这时也尝试通过利用正弦定理和余弦定理进行解决问题.

变式题:求值:sin285°+sin280°-2sin85°sin80°sin75°.

答案:在△ABC中,设∠A=85°,∠B=80°,∠C=15°,外接圆半径为R,

三、可以通过变形为正弦余弦定理的问题

例3已知α、β、γ都是锐角,且满足sin2求α+β+γ的值.

分析:该题同样也通过构造来解决.

解:已知等式变形为

上式与余弦定理类似,通过构造△ABC,使

根据正弦定理有,

而C>90°,α、β都是锐角,那么A、B、、都是锐角,则,,故A+B+C=

评注:注意到三角函数式的形式类似于余弦定理,则可以通过构造三角形,并结合正弦定理解决.

变式题:在任意一个△ABC中,求证:a(sinB-sinC)+b(sinC-siiL4)+c(sinA-sinB)=0.

答案：左式=2/?sirb4(sinB-sinC)+2RsinB(sinC-sinA)+2/fsinC(sinA-sin8)=2R[sinAsinB-sinAsinC+sinfisinC-sinBsinA+sinCsinA-sinCsinB]=0.

四、可利用正余弦定理解决的函数问题

例4在平面上有A、B、P、Q四个点,A、B为定点,,P、Q为动点,且AP=PQ=QB=1,记△ABP与△PQB的面积分别为S、T;(1)求S2+T2的取值范围;(2)当S2+T2取最大值时,判断△APB的形状.

分析:本题主要通过余弦定理来研究函数知识,已知条件中有两个三角形的面积,应该想办法把两个三角形联系起来,可以分别在△APB与△PQB中由余弦定理得出PB的关系解决.

解:(1)在△ABP与△PQB中,由余弦定理可以得到:PB2=AB2+AP2-2AB·APcosA

PB2=BQ2+PQ2-2BQ•PQcosQ=1+1-2cosQ=2-2cosQ,

所以,即,

所以

因为-10,

所以S2+T2的取值范围是;

(2)由(1)可以知道当时,S2+T2的最大值为,此时,所以,故当S2+T2取最大值时,△APB是等腰三角形.

点评:此题的关键是想办法建立两个三角形之间的关系,从而得出函数S2+T2的表达式,利用函数知识求解.

练习:若△ABC的三边长为a、b、c,且f(x)=b2x2+(b2+c2-a2)x+c2,判断f(x)的图象与x轴的位置关系.

正弦定理的多种证法 篇7

这个定理的证法十分丰富.为了简单,仅以锐角三角形为例作简要说明.直角三角形的情形非常简单,钝角三角形的情形与锐角三角形类似.

1.三角形高法

asinB,bsinA是△ABC的边c上的高;asinC,csinA是△ABC的边b上的高;且bsinC,csinB是△ABC的边a上的高.

根据这个结论,正弦定理证明如下:

作锐角三角形ABC的高CD,则CD=asinB=bsinA.

所以asinA=bsinB，同理bsinB=csinC.

因此asinA=bsinB=csinC.

2.三角形外接圆法

asinA,bsinB,csinC都等于△ABC的外接圆直径.

根据这个结论,正弦定理证明如下:

过点C作锐角三角形ABC的外接圆直径CD,连结DB.根据同弧所对的圆周角相等及直径所对的圆周角是直角,得∠A=∠D,∠DBC=90°,CD=2R(R为△ABC的外接圆半径).

所以sinA=sinD=CBCD=a2R.所以asinA=2R.

同理bsinB=2R,csinC=2R.

因此asinA=bsinB=csinC=2R.

3.三角形面积法

12absinC,12bcsinA,12acsinB都等于△ABC的面积.

根据这个结论,正弦定理证明如下:

作锐角三角形ABC的高CD，则CD=asinB.所以三角形ABC的面积S=12AB•CD=12acsinB.

同理S=12absinC,S=12bcsinA,

所以12bcsinA=12acsinB=12absinC,

同除以12abc,再取倒数,有asinA=bsinB=

csinC.

4.向量数量积法

把asinB,bsinA分别变形为acosπ2-B,bcosπ2-A,在锐角三角形ABC中,作高CD,则a|CD|cosπ2-B,b|CD|cosπ2-A分别是向量CB,CA与向量CD的数量积.

利用这个结论,正弦定理证明如下:

作锐角三角形ABC的高CD.

因为AB=CB-CA，所以0=AB•CD=(CB-CA)•CD,

所以CB•CD=CA•CD,

所以a|CD|cosπ2-B=b|CD|cosπ2-A,

即asinB=bsinA.所以asinA=bsinB.

同理bsinB=csinC.

因此asinA=bsinB=csinC.

应当注意,以上的四种证法仅仅证明了在锐角三角形ABC中，有asinA=bsinB=csinC.用以上的四种证法证明正弦定理都必须分直角三角形、锐角三角形和钝角三角形三种情况进行讨论.

5.如果想避开分类讨论,可以把三角形放在平面直角坐标系中,利用坐标法.

证明如下:

以C为原点,以射线CA为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,且使点B落在x轴的上方,则AC边上的高即为B点的纵坐标.根据三角函数的定义,B点的纵坐标h=asinC.

所以三角形ABC的面积S=12bh=12absinC,

同理S=12acsinB,S=12bcsinA,

所以12bcsinA=12acsinB=12absinC，

同除以12abc,再取倒数，

有asinA=bsinB=csinC.

这种证法之所以避开了分类讨论,是因为利用了一般三角函数的定义；前面的四种几何证法都需要分类讨论,因为它们仅仅利用了锐角三角函数的定义.这个方法是证明正弦定理最简单的方法,体现了坐标法的优越性.

正弦定理与余弦定理的证明 篇8

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（R为三角形外接圆的半径）

正弦定理(Sine theorem)

（1）已知三角形的两角与一边，解三角形

（2）已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形

（3）运用a：b：c=sinA：sinB：sinC解决角之间的转换关系直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦。

证明

步骤1

在锐角△ABC中，设BC=a，AC=b，AB=c。作CH⊥AB垂足为点HCH=a·sinB

CH=b·sinA

∴a·sinB=b·sinA

得到a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中,b/sinB=c/sinC

步骤2.证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

如图，任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.作直径BD交⊙O于D.连接DA.因为在同圆或等圆中直径所对的圆周角是直角，所以∠DAB=90度因为在同圆或等圆中同弧所对的圆周角相等，所以∠D等于∠ACB.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

类似可证其余两个等式。

余弦定理的证明：

在任意△ABC中

做AD⊥BC.∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c根据勾股定理可得：

AC^2=AD^2+DC^2

b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2

b^2=(sinB*c)^2+a^2-2ac*cosB+(cosB)^2*c^2b^2=(sinB^2+cosB^2)*c^2-2ac*cosB+a^2

b^2=c^2+a^2-2ac*cosB

《正弦定理》教案 篇9

一、教学目标分析

1、知识与技能：通过对锐角三角形中边与角的关系的探索，发现正弦定理；掌握正弦定理的内容及其证明方法；能利用正弦定理解三角形以及利用正弦定理解决简单的实际问题。

2、过程与方法：让学生从实际问题出发，结合以前学习过的直角三角形中的边角关系，引导学生不断地观察、比较、分析，采取从特殊到一般以及合情推理的方法发现并证明正弦定理，使学生体会完全归纳法在定理证明中的应用；让学生在应用定理解决问题的过程中更深入的理解定理及其作用。

3、情感态度与价值观：面向全体学生，创造平等的教学氛围，通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，发现并证明正弦定理。从发现与证明的过程中体验数学的探索性与创造性，让学生体验成功的喜悦，激发学生的好奇心与求知欲。培养学生处理解三角形问题的运算能力和探索数学规律的推理能力，并培养学生坚忍不拔的意志、实事求是的科学态度和乐于探索、勇于创新的精神。

二、教学重点、难点分析

重点：通过对锐角三角形边与角关系的探索，发现、证明正弦定理并运用正弦定理解决一些简单的三角形度量问题。

难点：①正弦定理的发现与证明过程；②已知两边以及其中一边的对角解三角形时解的个数的判断。

三、教法与学法分析

本节课是教材第一章《解三角形》的第一节，所需主要基础知识有直角三角形的边角关系，三角函数相关知识。在教法上，根据教材的内容和编排的特点，为更有效的突出重点，突破难点，教学中采用探究式课堂教学模式，首先从学生熟悉的锐角三角形情形入手，设计恰当的问题情境，将新知识与学生已有的知识建立起密切的联系，通过学生自己的亲身体验，使学生经历正弦定理的发现过程，激发学生的求知欲，调动学生主动参与的积极性，引导学生尝试运用新知识解决新问题，即在教学过程中，让学生的思维由问题开始，通过猜想的得出、猜想的探究、定理的推导等环节逐步得到深化。教学过程中鼓励学生合作交流、动手实践，通过对定理的推导、解读、应用，引导学生主动思考、总结、归纳解答过程中的内在规律，形成一般结论。在学法上，采用个人探究、教师讲解，学生讨论相结合的方法，让学生在问题情境中学习，自觉运用观察、类比、归纳等思想方法，体验数学知识的内在联系，重视学生自主探究，增强学生由特殊到一般的数学思维能力，形成实事求是的科学态度和严谨求真的学习习惯。

四、学情分析

对于高一的学生来说，已学的平面几何，解直角三角形，三角函数等知识，有一定观察分析、解决问题的能力，但对前后知识间的联系、理解、应用有一定难度，因此思维灵活性受到制约。同时，由于学生目前还没有学习习近平面向量，因此，对于正弦定理的证明方法——向量法，本节课没有涉及到。根据以上特点，教师恰当引导，提高学生学习主动性，多加以前后知识间的联系，带领学生直接参与分析问题、解决问题并品尝劳动成果的喜悦。

五、教学工具

多媒体课件

六、教学过程 创设情境，导入新课

兴趣是最好的老师。如果一节课有个好的开头，那就意味着成功了一半。上课一开始，我先提出问题：

工人师傅的一个三角形模型坏了，只剩下如图所示的部分，AB的长为1m，但他不知道AC和BC的长

是多少而无法去截料，你能告诉师傅这两边的长度吗？ 教师：请大家思考，看看能否用过去所学过的知识解决

这个问题？（约2分钟思考后学生代表发言）学生活动一:

（教师提示）把这个实际问题抽象为数学模型——那就是“已知三角形中的两角及夹边，求另外两边的长”，本题是通过三角形中已知的边和角来求未知的边和角的这个过程，我们把它习惯上叫解三角形，要求边的长度，过去的做法就是把未知的边必须要放在直角三角形中，利用勾股定理或三角函数进行求解，即本题的思路是：“把一般三角形转化为直角三角形”，也就是要“作高”。

学生：如图，过点A作BC边上的高,垂直记作D

然后,首先利用题目中的已知数据求出角C的大小,接着把题目中的相关数据和角C的值代入上述等式,即可求出b,即AC的值,然后可利用AC、AB、角B、角C的值和三角函数知识可分别求出CD和BD的长度，把所求出的CD和BD的长度相加即可求出BC的长度。教师：这位同学的想法和思路非常好，简直是一位天才

（同时再一次回顾该同学具体的做法）

教师：能否像求AC的方法一样对BC进行求解呢？ 学生：可以

教师：那么具体应该怎么做呢？

学生：过点B向AC作高，垂直记作E，如图：

接下来，只需要将相关的数据代入即可求出BC的长度 教师：总结学生的做法

通过作两条高线后，即可把AC、BC的长度用已知的边和角表示出来

接下来，只需要将题目中的相关数据代入，本题便迎刃而解。定理的发现：

oo教师：如果把本题目中的有关数据变一下，其中A＝50，B＝80大家又该怎么做

呢？

学生1：同样的做法（仍得作高）

学生2：只需将已知数据代入上述等式即可求出两边的长度 教师：还需要再次作高吗？ 学生：不用

教师：对于任意的锐角三角形中的“已知两角及其夹边，求其他两边的长”的问

题是否都可以用上述两个等式进行解决呢？ 学生：可以

教师：既然这两个等式适合于任意的锐角三角形，那么我们只需要记住这两个

等式，以后若是再遇见锐角三角形中的这种问题，直接应用这两个等式 并进行代入求值即可。

教师：大家看看，这两个等式的形式是否容易记忆呢？ 学生：不容易

教师：能否美化这个形式呢？

学生：美化之后可以得到：

（定理）

教师：锐角三角形中的这个结论，到底表达的是什么意思呢？ 学生：在锐角三角形中，各边与它所对角的正弦的比相等

教师：那么锐角三角形中的这个等式能否推广到任意三角形中呢？那么接下来就

让我们分别来验证一下，看看这个等式在直角三角形和钝角三角形中是否 成立。定理的探索：

教师：大家知道，在直角三角形ABC中：若 则：

所以：

故：

即： 在直角三角形中也成立

教师：那么这个等式在钝角三角形中是否成立，我们又该如何验证呢？请大家思考。

学生活动二：验证

教师（提示）：要出现sinA、sinB的值

必须把A、B放在直角三角形中

即就是要作高（可利用诱导公式将

在钝角三角形中是否成立

转化为）

学生：学生可分小组进行完成，最终可由各小组组长

汇报本小组的思路和做法。（结论成立）

教师：我们在锐角三角形中发现有这样一个等式成立，接下来，用类比的方法对

它分别在直角三角形和钝角三角形中进行验证，结果发现，这个等式对于

任意的直角三角形和任意的钝角三角形都成立，那么我们此时能否说：“这

个等式对于任意的三角形都成立”呢？ 学生：可以

教师：这就是我们这节课要学习的《正弦定理》（引出课题）定理的证明

教师：展示正弦定理的证明过程

证明：（1）当三角形是锐角三角形时，过点A作BC边

上的高线，垂直记作D，过点B向AC作高，垂直记作E，如图：

同理可得：

所以易得

（2）当三角形是直角三角形时；

在直角三角形ABC中：若 因为：

所以：

故：

即：

（3）当三角形是钝角三角形时（角C为钝角）

过点A作BC边上的高线，垂直记作D

由三角形ABC的面积可得 即：

故：

所以，对于任意的三角形都有

教师：这就是本节课我们学习的正弦定理（给出定理的内容）

（解释定理的结构特征）

思考：正弦定理可以解决哪类问题呢？ 学生：在一个等式中可以做到“知三求一” 定理的应用

教师：接下来，让我们来看看定理的应用（回到刚开始的那个实际问题，用正弦

定理解决）（板书步骤）

成立。

随堂训练

学生：独立完成后汇报结果或快速抢答

教师：上述几道题目只是初步的展现了正弦定理的应用，其实正弦定理的应用相

当广泛，那么它到底可以解决什么问题呢，这里我送大家四句话：“近测

高塔远看山，量天度海只等闲；古有九章勾股法，今看三角正余弦.”

以这四句话把正弦定理的广泛应用推向高潮）

课堂小结：

1、知识方面：正弦定理：

2、其他方面：

过程与方法：发现

推广

猜想

验证

证明

（这是一种常用的科学研究问题的思路与方法，希望同学们在今

后的学习中一定要注意这样的一个过程）

数学思想：转化与化归、分类讨论、从特殊到一般

作业布置： ①书面作业：P52

②查找并阅读“正弦定理”的其他证明方法（比如“面积法”、“向量法”等）

③思考、探究：若将随堂训练中的已知条件改为以下几种情况，结果如何？

板书设计：

1、定理：

2、探索：

3、证明：

4、应用：

正弦定理教学设计 篇10

“二倍角的正弦、余弦、正切”的课堂教学内容较多，分三课时，主要的公式有倍角公式、半角公式、和差化积公式、积化和差公式，以下是对第一课时的教学设计。

以往对于本节课的教学感觉是公式多、逻辑性强，但并不难讲，往往是把公式在黑板上给学生推导出来，让学生强化记住，然后会用公式解决问题就达到目的了，结果教师和学生都感到很枯燥乏味。

按照《数学课程标准》的要求，学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程．那么，如何在教学中体现这个过程，怎样才能使学生积极主动地学习，让学生养成独立思考、积极探索的习惯呢?

一、创设问题情境，激发学生的学习兴趣

以本章引言中与学生的生活直接相关的绿地面积问题引入新课，培养学生数学建模思想，激发学生的学习兴趣。

S＝a²·2sinθcosθ这是以θ为自变量的函数，当θ取什么值时使s达到最大呢?

在上节课的基础上，提问正弦、余弦、正切的和角公式，欲扬先抑，温故而知新。

二、公式推导

在正弦、余弦、正切的和角公式的基础上请学生推导出：

循序而渐进，在已有知识的基础上将一般化归为特殊，新知识的提出和学习符合学生的认知规律。

提出问题：除以上的用单角的三角函数表示倍角的三角函数公式外，你还能够写出更多的公式吗?

给学生充分的自由，引导学生去探索，对于倍角的余弦、正切，学生一定能写出更多的公式，教师给予鼓励。(学生很可能会发现万能公式和二倍角的余弦公式的其他形式。)让学生体验数学公式发现和创造的历程，发展他们的创新意识．

三、例题探索

给学生时间阅读教材中的例题，培养学生的阅读自学能力，发现问题、解决问题的能力和数学应用意识。

求2a的正弦、余弦、正切。

提出：如果改变条件，已知角的余弦或正切，其他条件不变，怎样解?

把问题交给学生，源于课本又不拘泥于课本，找学生在黑板上演示，其他同学在做完后评议，对于一部分学生进行的是学习形式化表达的训练，对于全体学生则强调对公式本质的认识，特别是对于万能公式的运用一定会给很多学生留下深刻的印象，但不做进一步的强调，尽量达到一题多解，培养学生的发散思维。

例题2

提出问题：请问你在阅读的过程中发现了什么问题?

给学生时间考虑、讨论，培养合作交流的学习方式．学生很有可能发现不了问题。

在教材的证明过程中说“原式等价于

请同学们考虑以上两个式子等价吗?

对于三角恒等变换主要从变角、变名、变式着手．由于三角函数式一般都是复合函数，角是中间变量，所以对三角函数式变换中的角的处理显得特别重要，一定要注意角的范围。

引导学生去发现等式(1)与(2)中角的范围是否一样。

教材中说(1)式与(2)式等价，对吗?怎样证明才能使角的范围不变呢?

教材对于这个例题的处理我觉得欠妥当．把要证明的等式中的角的范围缩小了，并不是等价变换．而且这个问题也是学习三角中最容易出现的错误，通过这个教材中的错误教育学生用批判的态度学习，进一步研究正确的解法，由学生给出，学生的学习兴趣高涨，注意力高度集中。

让学生经历观察发现、归纳类比、抽象概括，提高学生的数学思维能力，对课本中的每个习题达到举一反三、一题多解，培养学生的发散思维及思维的灵活性。

四、课堂练习

引言中习题的解决．前后呼应，满足学生的表现欲．

五、总结反思

1．学生总结倍角公式．

2．与学生共同总结倍角公式与和(差)角公式的内在联系

3．对于由学生创造出的公式给予鼓励和肯定．

4．强调在运用公式解题的过程中要注意的地方，

如：角的范围等，同时鼓励一题多解，从不同的角度观察问题。

在本节课的教学设计中，以实际生活中的例子为引子，遵循情境性原则和实践性原则，由学生阅读课本，去探索和发现问题，不单纯地教课本，而是用课本来教，体现开放性原则，师生共同发现问题、解决问题，交互合作，体现交互性原则，通过对于例题的深入发掘，培养学生思维的发散性、灵活性，引导学生勇于用怀疑的、批判的目光去看待数学，这样才能有所突破，有所创新，培养学生的创造性思维．

丰富学生的学习方式、改进学生的学习方法是高中数学课程追求的基本理念，作为教师如何在《数学课程标准》下改进教学方式、提高课堂教学效率?深入发掘教材、钻研教学理念是最好的途径，而师生互动的课堂教学又是进一步提高教学水平的平台，厚积而薄发，学无止境，教也无涯，让今天比昨天教得更好，

(作者单位：伊春市第一中学)

三面角的正弦定理及其应用 篇11

本文现将三面角的正弦定理及其应用简介如下, 供高中教师教学参考.

一、三面角的正弦定理

设α、β、γ是三面角的三个平面角, 而A、B、C是它们所对的二面角.则

$\frac{\sin \alpha }{\text{s}\text{i}\text{n}A}=\frac{\sin \beta }{\text{s}\text{i}\text{n}B}=\frac{\sin \gamma }{\text{s}\text{i}\text{n}C}.$

证明:如图1, 在三面角的棱c上, 截取线段SC, 使其长等于1, 从C点向角 (ab) 所在的平面作垂线, 设C′为这条垂线的垂足, 过C点作平面垂直于棱a或棱a的延长线, 并与棱a交于点A, 又过C点作平面垂直于棱b或棱b的延长线, 并与棱b交于点B.

现在让我们计算垂线CC′的长度.由直角三角形SCB (角B是直角) , 可以得出, CB=1·sinα.

现在用直角三角形CBC′ (角C′是直角) 来求垂线CC′的长度.

CC′=CBsinB=sinαsinB.

垂线CC′的长度还可用其他方法来求, 即利用直角三角形ACS和直角三角形CAC′, 来计算垂线CC′的长度, 引时可以得出:CC′=sinβsinA.

由上述垂线长CC′的两个表达式, 可以得到:sinαsinB=sinβsinA.

由此可以得到$\frac{\sin \alpha }{\text{s}\text{i}\text{n}A}=\frac{\sin \beta }{\text{s}\text{i}\text{n}B}.$

同理可得关系式$\frac{\sin \beta }{\text{s}\text{i}\text{n}B}=\frac{\sin \gamma }{\text{s}\text{i}\text{n}C}.$

所以$\frac{\sin \alpha }{\text{s}\text{i}\text{n}A}=\frac{\sin \beta }{\sin {\rm B}}=\frac{\sin \gamma }{\text{s}\text{i}\text{n}C}.$

二、三面角正弦定理的应用

例1 求证:三棱锥的体积与其底面的选择无关.

证明:如图2, 首先, 我们证明:三棱锥的体积与选择哪一个侧面作为底面无关.设D-ABC是一个三棱锥.以α、β、γ表示三棱锥顶点D的三个面角, 即以α表示∠BDC, 以β表示∠ADC, 以γ表示∠ADB, 以a、b、c表示D为顶点的三面角的各个二面角, 即用a表示棱DA的二面角, 用b表示棱DB的二面角, 用c表示棱DC的二面角.

现在自顶点A向棱DC作垂线AE, 并自顶点A向侧面BDC作垂线AO.我们取侧面BDC为三棱锥的底面, 则

底面积$S=\frac{1}{2}DB\cdot DC\cdot \sin \alpha .$

三棱锥的高为H=AO=AE·sinc=

DA·sinβsinC.因而, 三棱锥的体积为:

$V=\frac{1}{6}DA\cdot DB\cdot DC\cdot \sin \alpha \sin \beta \sin c.$

如果取侧面ADB为三棱锥的底面, 同理可求出三棱锥体积的另一表达式为:

$V=\frac{1}{6}DA\cdot DB\cdot DC\cdot \sin \alpha \cdot \sin \gamma \cdot \sin b.$

在上面所得出的关于三棱锥体积的两个表达式中, 只有因子sinβsinc和sinγsinb不同, 但这两个因子是相等的.事实上, 根据正弦定理, 对以D为顶点的三面角, 可有

$\frac{\sin \beta }{\text{s}\text{i}\text{n}b}=\frac{\sin \gamma }{\text{s}\text{i}\text{n}c}.$

由此得出:sinβsinc=sinγsinb.

因而, 可得出如下结论:

三棱锥的体积与其底面的选择无关.

例2 证明:若对于任意三面角V-ABC和过顶点V的任一直线VO.设平面AVO与BVC、BVO与CVA、CVO与BVA的交线分别为VX、VY、VZ, 则

$\begin{array}{l}\frac{\sin \angle BVX}{\sin \angle XVC}\cdot \\ \frac{\sin \angle CVY}{\sin \angle YVA}\cdot \frac{\sin \angle AV{\rm Z}}{\sin \angle {\rm Z}VB}=1.\end{array}$

证明:如图3, 考虑三面角V-ABX和截面VCO在三面角V-ABX中, 简记二面角X-VC-O为C, C-VO-X为O, A-VZ-O为Z, 则二面角B-VZ-O为π-Z.在三面角V-BZC中, 将由正弦定理得到:

$\frac{\sin \angle BVC}{\sin \angle {\rm Z}VB}=\frac{\sin (\text{π}-{\rm Z})}{\text{s}\text{i}\text{n}C}=\frac{\sin {\rm Z}}{\text{s}\text{i}\text{n}C}.①$

同理, 在三面角V-XOC中,

$\frac{\sin \angle XV{\rm O}}{\sin \angle CVX}=\frac{\text{s}\text{i}\text{n}C}{\sin {\rm O}}.②$

在三面角V-ZOZ中,

$\frac{\sin \angle AV{\rm Z}}{\sin \angle {\rm O}VA}=\frac{\sin {\rm O}}{\sin {\rm Z}}.③$

将①②③相乘, 并约简后得到:

$\frac{\sin \angle BVC}{\sin \angle CVX}\cdot \frac{\sin \angle XV{\rm O}}{\sin \angle {\rm O}VA}\cdot \frac{\sin \angle AV{\rm Z}}{\sin \angle {\rm Z}VB}=1.$

同理, 对于三面角V-AXC和截面VBO, 可得到$\frac{\sin \angle CVY}{\sin \angle YVA}\cdot \frac{\sin \angle AV{\rm O}}{\sin \angle {\rm O}VX}\cdot \frac{\sin \angle XVB}{\sin \angle BVC}=1$.将上面两式相乘并约简, 即可得到所要证明的等式.

例3 设在三面角V-ABC中, 二面角B-VA-C的分角面 (平分此二面角的平面) 与面BVC交于VD, 则$\frac{\sin \angle BVD}{\sin \angle DVC}=\frac{\sin \angle BVA}{\sin \angle CVA}.$

证明:如图4, 二面角B-VA-D和D-VA-C都等于$\frac{A}{2}$, 记二面角B-DV-A为D, 则二面角C-DV-A等于π-D, 在三面角V-ABD中, 由正弦定理, 得

$\begin{array}{l}\frac{\sin \angle BVD}{\sin \frac{A}{2}}=\\ \frac{\sin \angle AVB}{\text{s}\text{i}\text{n}D}‚\end{array}$

即$\frac{\sin \angle BVD}{\sin \angle AVB}=\frac{\sin \frac{A}{2}}{\text{s}\text{i}\text{n}D}.$

而在三面角V-ADC中, 有

$\frac{\sin \angle DVC}{\sin \frac{A}{2}}=\frac{\sin \angle AVC}{\sin (\text{π}-D)}=\frac{\sin \angle AVC}{\text{s}\text{i}\text{n}D}.$

从而$\frac{\sin \angle DVC}{\sin \angle AVC}=\frac{\sin \frac{A}{2}}{\text{s}\text{i}\text{n}D}.$

故$\frac{\sin \angle BVD}{\sin \angle AVB}=\frac{\sin \angle DVC}{\sin \angle AVC}$,

即, $\frac{\sin \angle BVD}{\sin \angle DVC}=\frac{\sin \angle AVB}{\sin \angle AVC}.$

说明:此结论, 类似于平面几何中的三角形内角平分线的性质定理.

综上所述可见:应用三面角的正弦定理解题, 不仅简洁明快, 解题过程简化, 而且避免了繁杂的计算, 易于思考, 易于求解, 若用“常规”方法求解, 则繁琐困难, 且构图复杂, 因而熟悉该定理的应用, 很有必要.

《正弦定理》 评课 篇12

高三年

曾灿波

本节课基本上实现了教学目标，从正弦定理的发现、向量法证明及正弦定理的简单应用实现了知识目标，并在教学过程中培养学生观察、分解和应用所学知识解决问题的能力。通过设置情境，培养学生的独立探究意识，激发学生的学习兴趣。下面就该教师的教学过程谈几点个人体会：

在引入阶段，教师通过PPT展示了学生熟知的三国人物及一个小故事，由此引入分别在河两岸的两点间的距离的测量问题。由此激发学生对于本节课所学内容的期待，教师的表情，肢体语言丰富，拉近了师生间的距离。

在新课阶段，通过教师的引导与学生的探究发现：正弦定理在直角三角形中是成立的。由此提出了一个问题：任意三角形中，这一结论是否成立。

在探究一般结论的过程中，教师把主要精力集中在锐角三角形的情形，通过向量工具证明了正弦定理在锐角三角形中也成立。对于钝角三角形的情形，教师稍做提示，留有余地，给学生课后思考、探究的空间。

整个教学过程体现了由特殊到一般的思想，符合学生的认识规律。教师通过引入三角形的外接圆，用几何法证明了正弦定理中式子的比值等于该三角形个接圆半径的两倍。由此体现了数形结合的思想，证明过程直观明了。在板书写出正弦定理后，教师与同学一起分析了正弦定理的两个简单应用1、2、已知三角形两角及任一边，求其它几何要素； 已知两边及其中一边的对角，求其它几何要素。

本节课的第一个例子实际上是第1种类型的应用，在分析完第一个例题之后，教师回归引入中的问题，让学生设计一个方案测量不可到达两点间的距离，愚以为这个环节可放到本节课最后再来进行。第二个例题就是第2种类型的应用，也是本节课的难点所在。在第二例的解决过程中会碰到三角形有两解的问题。在本例的教学过程，愚认为应该在适当的提示之后给学生充分的思考和解决问题的时间，在学生充分思考并有部分同学犯了错之后，再来展示解题过程并强调最后的三角形两解问题可能会给学生留下更深刻的印象。而这样的处理方法同样适用于本例的变式。

本例变式1仍然是第2种类型的应用，而此时三角形只有一解，需要利用相关知识（如三角形大边对大角等）进行判断并舍去一解。变式2仍然是第2种类型的另外一种结果。

通过上述例题的分析，教师再次归纳了正弦定理的两种重要应用。并在上述例2及变式的基础上对第2种类型的问题作了详细的讨论及总结。在这一过程中利用了几何画板的动态过程给学生最直观的展示，从几何方面深化学生的认识，做到数形结合，从而进一步突破难点。当然如果能利用几何画板的点追踪或者轨迹功能，效果可能会现好。本节课的课堂总结如果能花更多的时间强调一下重点及难点，相信会有更好的效果。

教师在课堂小结后给了学生充分的课堂练习的时间，并巡视完成情况，对其中存在的问题进行讲评。

正弦定理教学设计 篇13

一、选择题

1．在△ABC中，A＝60°，B＝75°，a＝10，则c＝()

A．52B．102C.6

3D．6

2．(2010·茂名调研)已知a，b，c是△ABC三边之长，若满足等式(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则角C的大小为()

A．60°B．90°C．120°D．150°

3．在△ABC中，已知sin Acos B＝sin C，那么△ABC一定是()

A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．正三角形

4．△ABC中，AB＝3，AC＝1，∠B＝30°，则△ABC的面积等于()A.33

4C.23D.32或3

45．(2010·上海卷)若△ABC的三个内角满足sin A∶sin B∶sin C＝5∶11∶13，则△ABC()

A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形

C．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形

6．在△ABC中，如果lg a－lg c＝lg sin B＝－lg 2，并且B为锐角，则△ABC的形状是（A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形

二、填空题

7．在△ABC中，2b＝a＋c，∠B＝30°，△ABC的面积为3

2b等于________．

8．(2010·广东卷)已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝3，A＋C＝2B，则sin A＝________.9．(2010·山东卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a2，b＝2，sin B＋cos B＝，则角A的大小为________．

10．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若三角形的面积S＝1(a2＋b24－c2)，则角C的度数是________．

11．已知△ABC三边满足a2＋b2＝c2－3ab，则此三角形的最大内角为________．

三、解答题

正弦信号发生器的设计与研制 篇14

正弦波是频率成分最为单一的一种信号, 因这种信号的波形是数学上的正弦曲线而得名。任何复杂信号——例如音乐信号, 都可以看成由许许多多频率不同、大小不等的正弦波复合而成。由于不同的波形, 通过傅里叶变换, 都可以变换成由各种频率和幅值的正弦波, 所以正弦波在信息传输等领域有着重要的作用, 通过产生正弦波来研究和分析其主要的参数特征具有很重要的意义。

1系统总体设计框图

系统的总结设计框图如图1.1所示, 以ATmege16位核心, 外接矩阵按钮和LCD显示电路, 采用专用的DDS芯片AD9850产生正弦波。AD9850是采用DDS技术、高度集成化的器件, 当它在并行工作方式时, 有8根数据线、3根控制线与单片机相连。芯片AD9850产生的信号再通过信号放大器AD827把幅值放大到要求的电压幅值。

2硬件电路的设计

2.1单片机最小系统

ATmega16是基于增强的AVR RISC结构的低功耗8位CMOS微控制器。由于其先进的指令集以及单时钟周期指令执行时间, ATmega16的数据吞吐率高达1 MIPS/MHz, 从而可以缓减系统在功耗和处理速度之间的矛盾。

ATmega16 AVR内核具有丰富的指令集和32个通用工作寄存器。所有的寄存器都直接与算逻单元 (ALU) 相连接, 使得一条指令可以在一个时钟周期内同时访问两个独立的寄存器。这种结构大大提高了代码效率, 并且具有比普通的CISC微控制器最高至10倍的数据吞吐率。

Atmege16只需要加上复位电路就可以构成一个单片机最小系统, 但是如果使用外部晶振, 则还需要晶振电路。

2.2 DDS集成芯片AD9850

(1) AD9850芯片简介

AD9850采用先进的DDS技术, 在内部集成了32位相位累加器、14位正/余弦查询表和高性能的10位D/A转换器以及一个高速比较器。通过并口或串口写入的频率控制字来设定相位累加器的步长大小, 相位累加器输出的数字相位通过查找正/余弦查询表得到所需频率信号的采样值, 然后通过D/A变换, 输出所需频率的正弦波信号。还可以通过高速比较器将该正弦波信号转换成方波, 作为时钟信号输出。

另外AD9850还包含40位频率/相位控制字, 可通过并行或串行方式送入器件:并行方式指连续输入5次, 每次同时输入8位 (1个字节) ;串行方式则是在一个管脚完成40位串行数据流的输入。这40位控制字中有32位用于频率控制, 5位用于相位控制, 1位用于掉电控制, 2位用于选择工作方式。

(2) AD9850模块电路的设计

系统采用并行输入的方式来实现其功能。AD9850控制简单, 可用8位并行口直接输入频率、相位等控制数据。

在并行输入方式下, 通过8位总线D0~D7将外部控制字输入到寄存器, 在W-CLK (字输入时钟) 的上升沿装入第一个字节, 并把指针指向下一个输入寄存器, 连续5个W-CLK的上升沿读入5个字节数据到输入寄存器后, W-CLK的边沿就不再起作用。然后在FQ-UD (频率更新时钟) 上升沿到来时将这40位数据从输入寄存器装入到频率/相位寄存器, 这时DDS输出频率和相位更新一次, 同时把地址指针复位到第一个输入寄存器以等待下一次的频率/相位控制字输入。

AD9850模块电路图如图2.1所示。

2.3输出放大电路AD827

由于DDS集成芯片产生的正弦信号幅值一般都比较小, 为了达到输出端带上50Ω电阻时输出端的电压峰-峰值Vopp≥1V的要求, 在DDS模块的输出端接上一级放大电路。为了使系统输出的信号最高频率为15MHz, 所用到的运放的带宽必须很宽。选用的是宽带的高速运放AD827, 其内部集成了两个运放 (AD827) 。电路图如图2.1所示。为了消除高次谐波, 在放大电路前加入了一级低通滤波电路, 其截至频率在20MHz左右。输出信号经过滤波后送到放大电路, 通过调节电位器可以得到符合要求的电压幅值。为了提高电路带负载能力后接了一个电压跟随器。

2.4键盘设置输入

2.4.1步进100Hz的按键输入

频率的设置上我们采用了两种频率输入方式, 第一种是在固定的初始频率下, 采用步进100Hz的方法设置两个按键 (UP、DOWM) 。

2.4.2矩阵键盘频率设置输入

矩阵键盘频率设置输入是第二种频率输入方式, 它可以随意设置输入频率的大小, 减少对单片机IO口的占用, 使用灵活, 方便。

2.5 LCD1602显示输出

本设计采用点阵字符型液晶显示器LCD1602, 分辨率较高, 显示范围较广, 同时支持数字和字符显示。液晶显示模块具有体积小、功耗低、显示内容丰富等特点, 现在字符型液晶显示模块已经是单片机应用设计中最常用的信息显示器件了。1602通用型液晶模块可以显示2行16个字符, 有8位数据总线D0-D7, 和RS、R/W、EN三个控制端口, 工作电压为5V, 并且带有字符对比度调节和背光。

2.6电源的设计

由于采用外部开关电源, 所以只需要设置电源的接口, 在设置电源接口时增加了指示灯和滤波电容, 在电源入口处并联了一个0.01u F小电容和一个220u F的大电容, 这样可以滤除低频和高频信号的干扰, 使电源的电压更加稳定和可靠。

3软件设计

软件的总体设计流程图如图3.1所示, 系统通过读取外部按钮设定的频率值, 然后单片机输出特定的指令配置AD9850, 最后输出要求频率和幅值的正弦波形。

4结论