1正弦定理学案

1正弦定理学案（共12篇）

1正弦定理学案 篇1

1．1．1正弦定理学案

学习目标

通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。用具：计算器 [探索研究]

首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,例2．在ABC中，已知a=

2，b=3，A=45，解三角形

O

abc

根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sinA，sinB，又siCn1,c

c

c

A

则

a

b

c

sinA



sinB



sinC

c从而在直角三角形ABC中，a



b

c

sinA

sinB



sinC

(图1．1-2)

思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：

从上面的研探过程，可得以下定理

正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

a

sinA



b

sinB



c

sinC

[理解定理]

正弦定理的基本作用为：

①；

②。

一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。

[例题分析]

例1．在ABC中，已知A=45O，B=30O，c=10cm，解三角形。解：

例3在三角形ABC中，若a2tanB=b2

tanA,判断三角形形状

[随堂练习]

1三角形ABC中，a=4,A=450,B=60O,求b2在三角形ABC中A=60O,a=4,b=42求b

[补充练习]已知ABC中，sinA:sinB:sinC1:2:3，求a:b:c

[课堂小结]

（1）定理的表示形式：（2）正弦定理的应用范围：

①②

1正弦定理学案 篇2

1.教材分析

三角形是贯穿义务教育和高中教育的几何课程内容,三角形知识和几何思维水平都是螺旋上升的。在学生初中学习过解直角三角形知识,高中学习过三角变换知识的基础上,正弦定理探索任意三角形的边长和角度之间的定量联系。之后,随着三角函数图像和性质的继续研究,可以处理三角形中的范围与最值问题。可见,正弦定理承前启后,是对初中三角形和圆的知识的又一次应用,也是坐标法作用的一次体现。其实,利用三角变换知识,可以证明正弦定理和余弦定理是等价的。正弦定理和余弦定理作为三角形边角关系的代数表达,沟通了代数和几何这两大数学分支的联系,给我们带来了极大的计算优势,尽享不作或少作辅助线之便捷。它既是对初中解直角三角形内容的延伸,也是解决测量、航行、几何及工业问题的重要工具,具有广泛的应用价值。正弦定理的实质是揭示了三角形对边和对角正弦的数量关系。正弦定理是解三角形基本的、有力的工具,也是几何计算的基础。

沪教版教材中正弦定理的证明主要有作高法、等面积法和外接圆法,囿于教材编写的顺序,向量方法不可用。

2.学情分析

我所任教班级的大多数学生对数学的兴趣较高,数学基础较好,有一定的推理能力和创新能力。从教育价值角度看,实验归纳和逻辑推理都重要,让学生经历“直观感知、特例猜想、操作确认、思辨论证”的理性认识事物的过程是可能的,也是必须的。正弦定理的学习必须让学生参与结论生成的全过程,加强学生推理论证能力的培养。

[问题提出]

本文拟结合沪教版高一年级第二学期数学教材中《正弦定理(1)》的教学设计,谈如何培养学生的几何思维能力。

[教学设计]

(一)教学目标

1.掌握用两边夹角表示三角形面积的公式,懂得三角形任一边与其对角正弦比值的几何意义,初步运用正弦定理解决一些简单的问题。

2.经历观察、猜想、证明的过程,掌握推导正弦定理的方法。

3.感受几何、三角、代数的多样统一,欣赏正弦定理的对称、美好、和谐,体验分类讨论、数形结合的思想。

(二)重点和难点

教学重点:正弦定理的发现与证明,正弦定理的简单应用。

教学难点:正弦定理的猜想和求证;已知两边和其中一边的对角求其他角时,解的个数的确定。

(三)教学过程

正弦定理教学的流程为:从实际问题懂得引进正弦定理的必要性→抽象概括出解三角形问题内涵及符号表征→猜想三角形边角关系的正弦定理→证明正弦定理→欣赏正弦定理→典型问题求解→反思总结,形成体系。在教学设计前,教师需要关注学生已经知道了什么?还需要知道什么?需要教师提供什么样的帮助?教师准备给学生哪些观点?培养学生哪些几何思维能力?正弦定理的教学始于观察,基于试验,成于逻辑推理,升华于数学审美。

活动1:创设情景,激发兴趣,引入课题

上海市浦东新区的滴水湖是圆形人工湖,为测量该湖的半径,测量小组的学生沿湖边依次选取A、B、C三根标杆,测得AB=200m,并用测角仪测得∠BAC=5°,∠BCA=4°,不作辅助线,请你帮他们求出:(1) AC;(2)滴水湖的直径(精确到1m)。测量滴水湖的直径问题,可以引导学生进入一个新天地。

设计意图:通过创设情景,让学生在情景中获取经历和体验,激发学习动机,引起探究的欲望。强调不作辅助线,原有解直角三角形的知识不够用了,自然需要寻找新的工具。

为了研究方便,抽象出数学模型,在ΔABC中,AB=200,∠BAC=5°,∠BCA=4°,求:(1)AC;(2)ΔABC的外接圆的直径2R。

设计意图:一切思维都是从问题开始的。你没办法教人思考,你只能教那些供人思考的东西。问题引领,思维就有方向了。

一般化:在ΔABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,三角形的边与角的三角比有什么关系?

a与A——对应,比过去的BC与∠A的对应更为方便、精确、简便,并且在思想上、时间上或论述的篇幅上都更为经济。

我们把三角形的三边和它们的对角叫做三角形的元素,已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。

设计意图:三角形作为平面几何最基本图形,可以放手让学生去抽象概括。在繁杂和简约之间,我们选择简约,作图标量简洁。符号化、形式化,这部分细小的教学内容具有丰富的求简思想。

提问:填写左下表,请你提出三角形任一条边及该边对角三角比关系的一个新结论。(说明:表格中的数据来源于课本70页的例1。)

设计意图:寻找一种能够自然地发现正弦定理的方法是困难的,过度引导和过度放手都不可取。我选择上述有一点测量误差的表格数据,只限于加减乘除运算和角的正弦,从简单到复杂,循序渐进,让学生去体验、去经历、去猜测、去交流,再去验证。学生想知道的不仅仅是已知的标准结果。教师若把猜想的部分隐瞒了,其实是把最有意义、最有启发的东西抽掉了。

活动2:特例引路,大胆猜想,“画板”支撑

提问:我们遇到一般问题时,是怎样处理的?

先从特殊事例入手,寻求答案或发现解法。先特殊、后一般是数学研究,也几乎是所有科学研究的规律,也是公民的重要素养之一。研究数学问题的程序是从简单到复杂。

从直角三角形入手分析,我借助《几何画板》进行动态数学实验(略)。设计意图:通过动态的几何图形演示,眼见为实,心悦诚服。在测量误差的范围内,让学生直观感受、、的不变性,延伸了有效的学习活动;让学生的思维保持积极探究的状态,丰富了学习方式,用较少的时间达到了相信猜想成立的效果。

活动3:言必有据,小心求证,滴水不漏

预案1:作高法

回归初中,从高入手,化“斜”为“直”,“高算”两次,分类讨论直角三角形、锐角三角形和钝角三角形,各个击破。这是学生最容易想到的方法。

预案2:等面积法

提问:如果不用三角形的高,还能表示三角形的面积吗?

在预案1中稍作变化,即得三角形面积公式。传统方法证明也需分类讨论。

在现实生活中,角和距离比较容易直接测量,借助笛卡尔坐标来计算比较方便。把三角形置于平面直角坐标系里去研究,面积公式证明有统一的坐标法(坐标法来源于三角比的坐标定义,不受三角形形状的限制,可作为普遍方法去掌握)。在教学中,教师应特别关注学生去想这个事情了没有。学生想出来更好,想不出来只要经历了、做过了也行。自然生成这一方法,需要复习任意角的概念,需要回忆研究方法的变化——放在平面直角坐标系下研究,选用几何代数化的方法。思维的起点是坐标,借助坐标表示高和面积,是对简洁美的追求。坐标法是一种几何意识,考虑角度不同,统一而灵活。学生想不出来,教师可直接给出坐标法。这是建构这一正弦定理和余弦定理坐标法推导的统一模型。多年教学实践表明,此时的学生们几何知识结构单一,虽然已经学了很多三角知识，但往往受困于三角公式繁多,想不到用坐标法统一证明三角形面积公式,需要教师采用讲授法为主的教学方式。

预案3:外接圆法

圆是最完美的平面图形。把三角形放到它的外接圆内来考察,三角形的边长成了弦长,三角形的内角转化成了圆周角,探究三角形的边角关系成了探索三角形外接圆中弦长与圆周角的关系,不难得出,并且也需分类讨论;揭示了两者比值不仅相等,而且为2R,指出了正弦定理为什么不取这一更简洁形式的原因。

提问:如何命名这一定理?

设计意图:如果学生能真正理解正弦定理及证明方法,就掌握了三角形边角转化的方法,形成了扩充和扩展自己几何、代数、三角知识结构的能力。在这里多花一些教学时间是值得的。

活动4:欣赏定理,运用定理,升华认识

文字语言:三角形中的任意一条边长与对角正弦的比值为常数2R。

符号语言:。

图形语言:略。

有边又有角,要么边化角,要么角化边。边角转换借半径,正弦定理的有用变形如下。

品味三角形各边与其对角的正弦严格对应,上下对称,体现了对称美、和谐美。正弦定理的建构,既是审美的过程,也是塑造美的过程。

设计意图:正弦定理体现了混乱中见有序,复杂中见简洁,多样中见统一的美感。边与角是辩证统一的,让学生感受到三角形边角关系的和谐性、统一性,欣赏正弦定理成了一种享受。

课堂练习:在ΔABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,(1).若∠A=45°,∠B=75°,b=8,求a;(2)若BC=12,∠A=60°,∠B=45。,求AC;(3)若a=3,,∠A=60。,求∠B。

由,知:①在已知两角(可知三个角）一边的情况下必选择正弦定理:②在已知两边及一边的对角的情况下,可选择正弦定理,再根据角A的范围或A+B+C=π确定角A;③。

活动5:学生先交流学习心得,教师后传授治学经验

今天我们研究了三角形中一类边角等量关系。

我们是如何研究的?

研究结果有什么用?

还有其他的变式关系吗?

一个定理,两种应用,三种证法。

正弦定理角边齐,角边转换借半径。

两角一边用正弦,两角对边慎处理。

体验:几何法化斜为直,分类作高法——辛苦;解析法事半功倍,统一坐标法——美妙。

设计意图:作为数学教师,课上要时刻关注学生的行为、思想、感情,锤炼学生喜爱的教学语言。亲其师,信其道,这是最重要的。

[自我反思]

今天认识正弦定理的一小步是明天提升几何思维能力的一大步,况且这一小步包含了众多的方法论内涵。“教学有法,而无定法”是由教学方法既有科学性,又有艺术性这一双重特性所决定的。每次教学正弦定理,我都或多或少、或明或暗有新的感悟。本课借用滴水湖问题宣情泄绪,效果较好。面对课堂教学实际,猜测这个正弦定理结论的开放度还不够高。现代教学的本质特征是探究与建构,表现为一系列有效的教学活动,让学生获得理性思维和情感体验。教师最重要的是在教学过程中确立学生的主体地位以及在教学中对学生情感、态度的关注和过程评价。巧妙创设情景,加强与信息技术的融合,关注科学性、思想性、艺术性、实效性,始终是课堂教学的内在要求。

[专家点评]

基于对教材内容的理解和研究,曹东辉老师撰写的教学设计有着比较丰厚的理论支撑,教学结构具有相当强的逻辑关系,教学过程以学生思维为主线,层分缕析、抽丝剥茧,充分体现出了体验与感悟。

三角形是数学学科中的基本图形,对三角形边角关系的研究纵贯初中和高中数学教学,横穿代数几何,既是核心概念知识,也是数学思想方法的重要载体。这一课例以“在高中数学教学中培养学生的几何思维能力”为标题,将教学的关注点聚焦于思维能力的培养,既有“以小见大”的立意,也有“从小到大”的发展。

必修5 正弦定理1 篇3

【学习要求】

1．发现并掌握正弦定理及证明方法。

2．会初步应用正弦定理解斜三角形．

3．三角形的面积公式

【学习过程】

1.正弦定理证明方法：（1）定义法（2）向量法（3法四：法一：（等积法）在任意斜△ABC当中，S△ABC=absinCacsinBbcsinA.两边同除以abc即得：

法三：（外接圆法）

如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ,∴CD2R.同理2R =＝.可将正弦定理推广为：abc== =2R（R为△ABC外接圆半sinAsinBsinC12121212abc==.sinAsinBsinC径）.2.正弦定理：在一个三角形中，各边与它所对角的正弦的比相等，都

等于这个三角形的外接圆的直径，即

注意：正弦定理本质是三个恒等式：

三角形的元素：a,b,c,,,C

已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫解三角形。

3.定理及其变形 ：（1）sinA:sinB:sinC=a:b:c；

abcabc(2)====2R； sinAsinBsinCsinAsinBsinC

（3）a=2RsinA,；b=_2RsinB ；c=2RsinC；

abc（4）sinA=；sinB=；sinC=.2R2R2R

4.正弦定理可以解决的问题：

（1）_已知两角和任意一边，求其他两边和一角；（唯一解）abc=== 2RsinAsinBsinCabcbac，, =.sinAsinCsinCsinBsinCsinB

（2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和两角．（常见：大一小二）

5.常用面积公式：

对于任意ABC，若a，b，c为三角形的三边，且A,B,C为三边的对角，则三角形的面积为：

111①SABC_____ha(ha表示a边上的高）.②SABCabsinCacsinB____________ 22

2例1：在ABC中，已知A45,B30,c10,求b.例2：在ABC中，已知A45,a2,b2,求B

例3：在ABC中，已知B45,a,b2,求A,C和c

总结：（1）已知两角和任意一边，求解三角形时，注意结合三角形的内角和定理求出已知边的对角；应用正弦定理时注意边与角的对应性

（2）应用正弦定理时注意边与角的对应性;注意由sinC求角C时，讨论角C为锐角或钝角的情况.例4不解三角形，判断下列三角形解的个数．

(l)a=5,b=4，A=120（2）a =7,b=l4,A= 150(3)a =9,b=l0,A= 60（4）c=50,b=72,C=135练习：

1、在△ABC中，一定成立的是

A、acosAbcosBB、asinAbsinBC、asinBbsinAD、acosBbcosA

2．在△ABC中，若∠A:∠B:∠C=1:2:3,则a:b:c3．已知在△ABC中，a=10，∠A=60°，b=10，则cosB=___________.4．在△ABC中，已知a2,b2,A30，解三角形。

5.（1）在ABC中，已知b,B600,c1,求a和A,C

（2）ABC中，c,A450,a2,求b和B,C

1正弦定理学案 篇4

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第 5 课时：§1.3 正弦定理、余弦定理的应用（1）

【三维目标】：

一、知识与技能

1.能把一些简单的实际问题转化为数学问题，并能应用正弦定理、余弦定理及相关的三角公式解决这些问题；

2.体会数学建摸的基本思想，应用解三角形知识解决实际问题的解题一般步骤：①根据题意作出示意图；②确定所涉及的三角形，搞清已知和未知；③选用合适的定理进行求解；④给出答案。

3.了解常用的测量相关术语（如：仰角、俯角、方位角、视角及坡度、经纬度等有关名词和术语的确切含义）；综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决与测量学、航海问题等有关的实际问题；

4．能够从阅读理解、信息迁移、数学化方法、创造性思维等方面，多角度培养学生分析问题和解决问题的能力

5．规范学生的演算过程：逻辑严谨，表述准确，算法简练，书写工整，示意图清晰。

二、过程与方法

通过复习、小结，使学生牢固掌握两个定理，熟练运用。

三、情感、态度与价值观

激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力 【教学重点与难点】：

重点：（1）综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些实际问题；

（2）掌握求解实际问题的一般步骤． 难点：根据题意建立数学模型，画出示意图 【学法与教学用具】：

1.学法：让学生回忆正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形，让学生尝试绘制知识纲目图。生活中错综复杂的问题本源仍然是我们学过的定理，因此系统掌握前一节内容是学好本节课的基础。解有关三角形的应用题有固定的解题思路，引导学生寻求实际问题的本质和规律，从一般规律到生活的具体运用，这方面需要多琢磨和多体会。【授课类型】：新授课 【课时安排】：1课时 【教学思路】：

一、创设情景，揭示课题

总结解斜三角形的要求和常用方法

（1）利用正弦定理和三角形内角和定理，可以解决以下两类解斜三角形问题： ①已知两角和任一边，求其它两边和一角；

②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求其它的边和角（2）应用余弦定理解以下两类三角形问题： ①已知三边求三内角；

②已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两个内角

二、研探新知,质疑答辩，排难解惑，发展思维

例1（教材P18例1）如图1-3-1，为了测量河对岸两点A,B之间的距离，在河岸这边取点C,D，测

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

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得ADC85，BDC60，ACD47，BCD72，CD100m.设A,B,C,D在同一平面内，试求A,B之间的距离（精确到1m）.解：在ADC中，ADC85，ACD47，则DAC48.又DC100，由正弦定理，得

DCsinADC100sin85AC134.05m.sinDACsin48在BDC中，BDC60，BCD72，则DBC48.又DC100，由正弦定理，得 DCsinBDC100sin60BC116.54m.sinDBCsin48在ABC中，由余弦定理，得

图AB2AC2BC22ACBCcosACB134.052116.5422134.05116.54cos7247

3233.95，所以 AB57m 答A,B两点之间的距离约为57m.本例中AB看成ABC或ABD的一边，为此需求出AC，BC或AD，BD，所以可考察ADC和BDC，根据已知条件和正弦定理来求AC，BC，再由余弦定理求AB.例2（教材P18例2）如图1-3-2，某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，测出该渔轮在方位角为45，距离为10nmile的C处，并测得渔轮正沿方位角为105的方向，以

9nmile/h的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以21nmile/h的速度前去营救.求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间（角度精确到0.1，时间精确到1min）.解：设舰艇收到信号后xh在B处靠拢渔轮，则AB21x，BC9x，又AC10，ACB45180105120.由余弦定理，得ABACBC2ACBCcosACB，2即21x109x2109xcos120.222222化简，得36x9x100，解得xh40min（负值舍去）.32图1-3-2

BCsinACB9xsin12033由正弦定理，得sinBAC，所以BAC21.8，方位角为

AB21x1

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4521.866.8.答：舰艇应沿着方向角66.8的方向航行，经过40min就可靠近渔轮.本例是正弦定理、余弦定理在航海问题中的综合应用.因为舰艇从A到B与渔轮从C到B的时间相同，所以根据余弦定理可求出该时间，从而求出AB和BC；再根据正弦定理求出BAC.例3 如图，要测底部不能到达的烟囱的高AB，从与烟囱底部在同一水平直线上的C,D两处，测得烟囱的仰角分别为3512和4928，CD间的距离是11.12m，已知测角仪高1.52m，求烟囱的高。

四、巩固深化，反馈矫正

1．在四边形ABCD中，已知ADCD,AD10,AB14,BDA600,BCD1350，求BC的长 2.在四边形ABCD中，ABBC,CD33,ACB300,BCD750,BDC450,求AB的长 3.四边形ABCD中，ABBC,ADDC，且EAF600,BC5,CD2，求AC

4.我炮兵阵地位于A处，两观察所分别设于C、D，已知ACD为边长等于a的正三角形。当目标出现于B，测得CDB450,ACD750（A、B在CD两侧），试求炮击目标的距离AB。

5.把一根长为30CM的木条锯成两段，分别作钝角三角形ABC的两边AB和BC，且ABC120，如何锯断木条，才能使第三边AC最短？

0

五、归纳整理，整体认识

1.解斜三角形应用题的一般步骤：

（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图

（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型

（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解

2．测量的主要内容是求角和距离，教学中要注意让学生分清仰角、俯角、张角、视角和方位角及坡度、经纬度等概念，将实际问题转化为解三角形问题.3．解决有关测量、航海等问题时，首先要搞清题中有关术语的准确含义，再用数学语言（符号语言、图形语言）表示已知条件、未知条件及其关系，最后用正弦定理、余弦定理予以解决.六、承上启下，留下悬念

七、板书设计（略）

八、课后记：

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正弦定理余弦定理练习 篇5

一、选择题

1、已知ABC中，a4,b43,A300,则B=（）

A.300B.300或1500 C.600D.600或12002、已知ABC中，AB6,A300,B1200,则SABC()

A.9B.18C.93D.1833、已知ABC中，a:b:c1:3:2，则A:B:C（）

A.1:2:3B.2:3:1C.1:3:2D.3:1:24、已知ABC中，sinA:sinB:sinCk:(k1):2k(k0)，则k的取值范围是（）

A.2,B.,0C.二、填空题

1、已知ABC中，B300,AB23,AC2,则SABC

2、已知ABC中，b2csinB,则角

3、设ABC的外接圆的半径为R，且AB4,C450,则R=

4、已知SABC32,b2,c3,则角1,02D.1,2 A=

5、已知ABC中，B450,C600,a2(31)，则SABC

三、简答题

01、在ABC中，若B30,AB23,AC2,求SABC.2、已知ABC中，C60,BCa,ACb,ab6.(1)写出ABC的面积S与a的函数关系式；(2)当a等于多少时，Smax？并求出Smax.23、已知ABC中，aa2(bc),a2b2c3,若sinC:sinA4:，求a,b,c.04、a,b,c是ABC的三内角A,B,C的对边，4sin

正弦定理情境教学案例简析 篇6

一、教学过程

1. 设置情境

利用投影展示:一条河的两岸平行, 河宽d=1 km, 因上游突发洪水, 在洪峰到来之前, 急需将码头A处囤积的重要物资及人员用船转运到正对岸的码头B处或其下游1 km的码头C处.已知船在静水中的速度|v1|=5 km/h, 水流速度|v2|=3 km/h.

2. 提出问题

师:为了确定转运方案, 请同学们设身处地地考虑一下有关的问题, 将各自的问题经小组 (前后4人为一小组) 汇总整理后交给我.

待各小组将题纸交给老师后, 老师筛选几张有代表性的题纸通过投影向全班展示, 经大家归纳整理后得到5个问题: (1) 船应开往B处还是C处? (2) 船从A开到B, C分别需要多少时间? (3) 船从A到B, C的距离分别是多少? (4) 船从A到B, C时的 (5) 船应向什么方向开, 才能保证沿直线到达B, C?

师:大家讨论一下, 应该怎样解决上述问题?

大家经过讨论达成如下共识:要回答问题 (1) , 需要解决问题 (2) , 要解决问题 (2) , 需要先解决问题 (3) 和 (4) , 问题 (3) 用直角三角形知识可解, 所以重点是解决问题 (4) , 问题 (4) 与问题 (5) 是两个相关问题, 因此, 解决上述问题的关键是解决问题 (4) 和 (5) .

师:请同学们根据平行四边形法则, 先在练习本上作出与问题对应的示意图, 明确已知什么, 要求什么, 怎样求解.

生:船从A开往B的情况, 根据平行四边形的性质及解直角三角形的知识, 可求得船在河水中的速度大小|v|及v1与v2的夹角θ.

生:船从A开往C的情况, |AD|=|v1|=5, |DE|=|AF|=|v2|=3, 易求得∠AED=∠EAF=45°, 还需求θ及v.我不知道怎样解这两个问题, 因为以前从未解过类似的问题.

师:请大家想一下, 这两个问题的数学实质是什么?

部分学生:在三角形中, 已知两边和其中一边的对角, 求另一边的对角和第三边.

师:请大家讨论一下, 如何解决这两个问题?

生:在已知条件下, 若能知道三角形中两条边与其对角这4个元素之间的数量关系, 则可以解决上述问题, 求出另一边的对角.

生:如果另一边的对角已经求出, 那么第三个角也能够求出.只要能知道三角形中两条边与其对角这4个元素的数量关系, 则第三边也可求出.

生:在已知条件下, 如果能知道三角形中三条边和一个角这4个元素之间的数量关系, 也能求出第三边和另一边的对角.

师:同学们的设想很好, 只要能知道三角形中两边与它们的对角间的数量关系, 或者三条边与一个角间的数量关系, 则两个问题都能够顺利解决.下面我们先来解答问题:三角形中, 任意两边与其对角之间有怎样的数量关系?

3. 解决问题

师:请同学们想一想, 我们以前遇到这种一般问题时, 是怎样处理的?

众学生:先从特殊事例入手, 寻求答案或发现解法.直角三角形是三角形的特例, 可以先在直角三角形中试探一下.

师:请各小组研究“在Rt△ABC中, 任意两边及其对角这4个元素间有什么关系”?

多数小组很快得出结论:a=b=c.

sin Asin Bsin C

师:a=b=c在非Rt△ABC中是否成立?

sin Asin Bsin C

众学生:不一定, 可以先用具体例子检验.若有一个不成立, 则否定结论;若都成立, 则说明这个结论很可能成立, 再想办法进行严格的证明.

师:这是个好主意.请每个小组任意作出一个非Rt△ABC, 用量角器和刻度尺量出各边的长和各角的大小, 用计算器作为计算工具, 具体检验一下, 然后报告检验结果.

几分钟后, 多数小组报告结论成立, 只有一个小组因测量和计算误差, 得出否定的结论.教师在引导学生找出失误的原因后指出:此关系式在任意△ABC中都能成立, 请大家先考虑一下证明思路.

生:想法将问题转化成直角三角形中的问题进行解决.

生:因为要证明的是一个等式, 所以应先找到一个可以作为证明基础的等量关系.

师:在三角形中有哪些可以作为证明基础的等量关系呢?

学生七嘴八舌地说出一些等量关系, 经讨论后确定如下一些与直角三角形有关的等量关系可能有利用价值: (1) 三角形的面积不变. (2) 三角形同一边上的高不变. (3) 三角形外接圆直径不变.

师:据我所知, 从AC+CB=AB出发, 也能证得结论, 请大家讨论一下.

生:要想办法将向量关系转化成数量关系.

生:利用向量的数量积运算可将向量关系转化成数量关系.

生:还要想办法将有三个项的关系式转化成两个项的关系式.

生:因为两个垂直向量的数量积为0, 可考虑选一个与三个向量中的一个向量 (如向量AC) 垂直的向量与向量等式的两边分别作数量积.

师:同学们通过自己的努力, 发现并证明了正弦定理.正弦定理揭示了三角形中任意两边与其对角的关系, 请大家留意身边的事例, 正弦定理能够解决哪些问题.

二、教学总结

正弦定理和余弦定理的复习 篇7

教材：正弦定理和余弦定理的复习《教学与测试》76、77课

目的：通过复习、小结要求学生对两个定理的掌握更加牢固，应用更自如。过程：

一、复习正弦定理、余弦定理及解斜三角形 解之：x62 22(622)3bca13622 当c时cosA222

二、例一 证明在△ABC中asinA=bsinB=csinC=2R，其中R是三角形外接圆半径

证略 见P159 注意：1．这是正弦定理的又一种证法(现在共用三种方法证明)2.正弦定理的三种表示方法(P159)例二 在任一△ABC中求证：a(sinBsinC)b(sinCsinA)c(sinAsinB)0

证：左边=2RsinA(sinBsinC)2RsinB(sinCsinA)2RsinC(sinAsinB)

=2R[sinAsinBsinAsinCsinBsinCsinBsinAsinCsinAsinCsinB]=0=右边

例三 在△ABC中，已知a3，b2，B=45 求A、C及c

解一：由正弦定理得：sinAasinB3sin453b22 ∵B=45<90

即b

当A=60时C=7cbsinC2sinsinB7562sin452 当A=120时C=15

cbsinC2sin156sinBsin4522 解二：设c=x由余弦定理 b2a2c22accosB 将已知条件代入，整理：x26x10

22bc22622(31)22从而A=60

C=75

当c622时同理可求得：A=120 C=15

例四 试用坐标法证明余弦定理 证略见P161

例五 在△ABC中，BC=a, AC=b, a, b是方程x223x20的两个根，且

2cos(A+B)=1 求 1角C的度数 2AB的长度 3△ABC的面积

解：

1cosC=cos[

(A+B)]=

cos(A+B)=∴C=120

2由题设：ab23ab2

∴AB

2=AC2

+BC

2AC•BC•osCa2b22abcos120

a2b2ab(ab)2ab(23)2210 即AB=10

3S1113△ABC=2absinC2absin12022232

例六 如图，在四边形ABCD中，已知AD

CD, AD=10, AB=14，BDA=60BCD=135

求BC的长

D

C

解：在△ABD中，设BD=x

则BA2BD2AD22BDADcosBDA

A

B ，即142x2102210xcos60 整理得：x210x960

解之：x116 x26（舍去）由余弦定理：

BCBD16sin3082

∴BCsinCDBsinBCDsin135

例七（备用）△ABC中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角，1求最大角 2

求以此最大角为内角，夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积。解：1设三边ak1,bk,ck1 kN且k1

a2b2c2k4∵C为钝角 ∴cosC0解得1k4

2ac2(k1)∵kN ∴k2或3 但k2时不能构成三角形应舍去

1当k3时 a2,b3,c4,cosC,C109

42设夹C角的两边为x,y xy4

1515(x24x)44SxysinCx(4x)当x2时S最大=15

三、作业：《教学与测试》76、77课中练习

a2b2b2c2c2a20 补充：1．在△ABC中，求证：

cosAcosBcosBcosCcosCcosAD A

2．如图ABBCD=75

BC CD=33 BDC=45

ACB=30

求AB的长(112)

B

正弦定理证明 篇8

a/sinA=b/sinB 同理，在△ABC中，b/sinB=c/sinC 步骤2.证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

如图，任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.作直径BD交⊙O于D.连接DA.因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度 因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R a/SinA=BC/SinD=BD=2R 类似可证其余两个等式。2.三角形的余弦定理证明：平面几何证法： 在任意△ABC中 做AD⊥BC.∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a 则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c 根据勾股定理可得： AC^2=AD^2+DC^2 b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2 b^2=sin^2B*c^2+a^2+cos^2B*c^2-2ac*cosB b^2=(sin^2B+cos^2B)*c^2-2ac*cosB+a^2 b^2=c^2+a^2-2ac*cosB cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac 3 在△ABC中，AB=c、BC=a、CA=b 则c^2=a^2+b^2-2ab*cosC a^2=b^2+c^2-2bc*cosA b^2=a^2+c^2-2ac*cosB 下面在锐角△中证明第一个等式，在钝角△中证明以此类推。过A作AD⊥BC于D，则BD+CD=a 由勾股定理得：

c^2=(AD)^2+(BD)^2，(AD)^2=b^2-(CD)^2 所以c^2=(AD)^2-(CD)^2+b^2 =(a-CD)^2-(CD)^2+b^2 =a^2-2a*CD +(CD)^2-(CD)^2+b^2 =a^2+b^2-2a*CD 因为cosC=CD/b 所以CD=b*cosC 所以c^2=a^2+b^2-2ab*cosC 题目中^2表示平方。2 谈正、余弦定理的多种证法 聊城二中 魏清泉

正、余弦定理是解三角形强有力的工具，关于这两个定理有好几种不同的证明方法.人教A版教材《数学》(必修5)是用向量的数量积给出证明的，如是在证明正弦定理时用到作辅助单位向量并对向量的等式作同一向量的数量积，这种构思方法过于独特，不易被初学者接受.本文试图通过运用多种方法证明正、余弦定理从而进一步理解正、余弦定理，进一步体会向量的巧妙应用和数学中“数”与“形”的完美结合.定理：在△ABC中，AB=c,AC=b,BC=a,则(1)(正弦定理)= =;(2)(余弦定理)c2=a2+b2-2abcos C, b2=a2+c2-2accos B, a2=b2+c2-2bccos A.一、正弦定理的证明

证法一：如图1，设AD、BE、CF分别是△ABC的三条高。则有 AD=b•sin∠BCA，BE=c•sin∠CAB，CF=a•sin∠ABC。

所以S△ABC=a•b•csin∠BCA =b•c•sin∠CAB =c•a•sin∠ABC.证法二：如图1，设AD、BE、CF分别是△ABC的3条高。则有 AD=b•sin∠BCA=c•sin∠ABC，BE=a•sin∠BCA=c•sin∠CAB。证法三：如图2，设CD=2r是△ABC的外接圆 的直径，则∠DAC=90°，∠ABC=∠ADC。

证法四：如图3，设单位向量j与向量AC垂直。因为AB=AC+CB，所以j•AB=j•(AC+CB)=j•AC+j•CB.因为j•AC=0，j•CB=| j ||CB|cos(90°-∠C)=a•sinC，j•AB=| j ||AB|cos(90°-∠A)=c•sinA.二、余弦定理的证明

1正弦定理学案 篇9

第一稿

[引言]在直角三角形中, 由三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数, 可以由已知的边和角求出未知的边和角。那么斜三角形有一样的性质吗?

[讲解新课]正弦定理:在任一个三角形中, 各边和它所对角的正弦比相等, 即 (R为△ABC外接圆半径) 。

1.在直角三角形中

如图1所示

即

2.在斜三角形中

证明一: (等积法) 在任意△ABC中,

两边同除以即得:

证明二: (外接圆法)

如图2所示,

同理

证明三: (向量法)

过A作单位向量j軆垂直于A軆軆C, 如图3、图4所示, 由A軆軆C+C軆軆B=A軆軆B两边同乘以单位向量j軆得j軆· (A軆軆C+C軆軆B) =j軆·A軆軆B, 则j軆·A軆軆C+j軆·C軆軆B=j軆·A軆軆B∴j軆·A軆軆C cos90°+j軆·C軆軆B cos (90°-C) =j軆·A軆軆Bcos (90°-A)

∴asin C=csin A∴

同理, 若过C作j軆垂直于

设计意图:在搜集到的参考资料中看到了好多不同的证明方法, 各种方法又各自包含了不同的证明思想和知识体系, 所以让学生通过这些方法体会数学的思维魅力。

自评:没贯彻好新课程理念, 在新课程实施的过程中, 学生的学习方式正由传统的接受式学习向探究式学习转变, 这就要求教师必须从传授知识的角色向学生发展的促进者转变, 从知识的传递者向学生学习的组织者、引导者转变, 正确引导学生在探究过程中学会学习, 在学习过程中学会探究。数学教育不仅要使学生获得必要的数学基础知识和基本技能, 还应培养学生主动参与和乐于探究从而获取新知的能力, 形成自主意识、探索欲望、开拓创新的激情和积极进取的人生态度。

第二稿

[创设情景]固定△ABC的边CB及∠B, 使边AC绕着顶点C转动。思考:∠C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系?

显然, 边AB的长度随着其对角∠C的增大而增大, 能否用一个等式把这种关系精确地表示出来呢?

[探索研究]在初中, 我们已学过如何解直角三角形, 下面就来探讨直角三角形中角与边的等式关系。在Rt△ABC中, 设BC=a, AC=b, AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义, 有, 又, 则从而在直角三角形ABC中, 有

思考:那么对于任意的三角形, 以上关系式是否仍然成立?

(由学生讨论、分析)

可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况:

当△ABC是锐角三角形时, 设边AB上的高是CD, 根据任意角三角函数的定义, 有CD=asin B=bsin A, 则, 同理可得

设计意图:设计双边、多边活动, 以交流式、探究式和启发式作为基本学法和教法, 激发学生探究兴趣和继续学习的兴趣。

自评:1.没吃透《学科教学指导意见》, 本章节的课标内容有两个, 一是通过对任意角三角形边长和角度关系的探索, 掌握正弦定理、余弦定理, 并能解决一些三角形问题, 二是能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算关系有关的问题。本章共三小节, 其中的应用举例和实习作业就各占了一节, 所以本章要体现的一个重要的思想就是应用于实际生活。

2.没贯彻好新课程理念, “数学是有用的”, 本章节就是体现这一理念的非常好的一个载体。而我设计的情景太理论化, 显得比较枯燥, 学生的探究欲望不会非常强烈, 并且也没有利用好这个载体, 让学生真切体会“数学是有用的”, 从而激发学习兴趣, 发自内心地想学好数学。

第三稿

第四稿

捷克著名的教育家夸美纽斯说过这样一句话:“找出一种教育方法, 使教师因此而可以少教, 但是学生多学。”我们今天的这种课堂改革便是这样一种改革。而要想真正达到这样的效果上好一堂课, 细致、全面的备课是个极其重要的前提。

通过对教案的多次修改经历, 我认为要想备好一节课需要做到以下几点:

1.吃透新教材, 尽量与教材编著者思维同步, 领悟教材改版的原因, 体会教材编写者的智慧所在。吃透教材就能整体把握文本内容在本章中的地位, 以确立本节课的整体目标。整体目标的确立不一定体现在教案当中, 但它却始终要在准备人的心中, 指导整个备课学案的书写。如符合社会现状的背景的设计, 体现“数学是有用的”。

2.根据学生特点, 设计符合学生认知规律的问题, 精心设计问题, 学生才能理解老师的出题意图, 才能在课堂上有话说, 有内容讲, 才能有课堂上的有效生成。如工程上测量角度的仪器简介之后, 再提出“请你根据该地的城市规划图, 设计一个计算方案。”学生不会不知所云, 一头雾水。

3.关注每一个学生, 尊重个体差异, 体现课堂民主, 让每个学生都能真正参与到课堂探究中去。如对不同类型方案设计的点评环节。

4.重视学生的可持续发展, “授之以鱼, 不如授之以渔”。如在课堂上展示完整的用数学解决问题的过程, 发现问题→数学建模→解决问题。又如在课堂上展示完整的科学发现的过程, 特例归纳→一般猜想→特例验证→严格证明。再如在课堂上展示信息技术在研究中的强大功能, 对学生以后继续发展和研究起了潜移默化的教育作用。

正弦定理学生用 篇10

学习目标：

①发现并掌握正弦定理及其证明方法；②会用正弦定理解决三角形中的简单问题。预习自测

1.正弦定理的数学表达式

2.一般地,把三角形的三个角A,B,C和它们的对边叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做.3．利用正弦定理可以解决两类三角形的问题(1)(2)

问题引入：

1、在任意三角形行中有大边对大角，小边对小角的边角关系.是否可以把边、角关系准确量化？

2、在ABC中，角A、B、C的正弦对边分别是a,b,c，你能发现它们之间有什么关系吗？ 结论★：。

二 合作探究：

1、探究一：在直角三角形中，你能发现三边和三边所对角的正弦的关系吗？

2、探究二：能否推广到斜三角形？（先研究锐角三角形，再探究钝角三角形）

3、探究三：你能用其他方法证明吗？

4、正弦定理：

5、正弦定理的应用（能解决哪类问题）：

三例题讲解

例1 已知在ABC中，c10,A450,C300,求a,b和B

例2 ABC中，c6,A450,a2,求b和B,C

例3（1）在ABC中，b3,B600,c1,求a和A,C

（2）b40,c20,C45,解这个三角形

absinC，并运用此结论解决下面问题：

2（1）在ABC中，已知a2，b3，C150，求SABC；

（2）在ABC中，已知c10，A45，C30，求b和SABC；

例

4、仿照正弦定理的证法一，证明SABC

（3）在△ABC中，已知a＝2，cosC＝S△ABC＝43，则b＝________.四 课堂练习：

4根据条件解三角形：

（1）c10,A45,C30,求边a,b.(2)A30,B120,b12,求边a,c.(3)a16,b163,A30,求角B，C和边c.(4)b13,a26,B30,解这个三角形。（5）b40,c20,C45,解这个三角形(6)c1，b

3，B60，求a,A，C。

1.1.2解三角形的进一步讨论学案

【学习目标】1.掌握已知三角形的两边及其中一边的对角时对解个数的讨论；2.三角形各种形状的判断方法； 【学习重难点】1.已知三角形的两边及其中一边的对角时对解个数的讨论；三角形各种形状的判断方法。

一、情景问题：

我们在解三角形时可以会出现一些我们预想不到的结果，现在请大家思考下面问题：在ABC中，已知a22cm,b25cm,A133，解三角形。

二、探索研究：

探究一．在ABC中，已知a,b,A，讨论三角形解的情况

结论：

探究二 你能画出图来表示上面各种情形下的三角形的解吗？

三、例题讲解

三角形解的情况的判定：

例1.根据下列条件，判断解三角形的情况(1)a＝20，b＝28，A＝120°.(2)a＝28，b＝20，A＝45°；(3)c＝54，b＝39，C＝115°；(4)b＝11，a＝20，B＝30°；



[变式练习1]

（1）在ABC中，已知a80，b100，A450，试判断此三角形的解的情况。（2）在ABC中，若a1，c，C400，则符合题意的b的值有_____个。

2（3）在ABC中，axcm，b2cm，B450，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x的取值范围。

正弦定理的变形：例2.在ABC中，A,B,C的对边分别是a,b,c，已知3acosAccosBbcosC.求cosA的值；

例3.在ABC中,已知

[变式练习2]

1.△ABC中，sinAsinBsinC，则△ABC为（）

A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形

2.已知ABC满足条件acosAbcosB，判断ABC的类型。

四.尝试小结

abc

,判断ABC的形状． cosAcosBcosC

五、课后作业：

1．在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，a＝2，则b等于()

62C.3D．26 2．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b等于()

32A．42B．43C．6D.3．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，A＝60°，a＝43，b＝42，则角B为()

A．45°或135°B．135°C．45°D．以上答案都不对 4．在△ABC中，a∶b∶c＝1∶5∶6，则sinA∶sinB∶sinC等于()

A．1∶5∶6B．6∶5∶1C．6∶1∶5D．不确定 5．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若A＝105°，B＝45°，b2，则c＝()

1A．1B.C．224cos Ab

6．在△ABC中，若，则△ABC是()

cos Ba

A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰三角形或直角三角形

7．已知△ABC中，AB3，AC＝1，∠B＝30°，则△ABC的面积为()

33333B.C.或3D.或 242

428．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若c＝，b＝，B＝120°，则a等于()

6B．2C.3D.2π

9．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a＝1，c＝3，C＝则A＝________.4310．在△ABC中，已知a＝，b＝4，A＝30°，则sinB＝________.11．在△ABC中，已知∠A＝30°，∠B＝120°，b＝12，则a＋c＝________.12．在△ABC中，a＝2bcosC，则△ABC的形状为________．

a＋b＋c

13．在△ABC中，A＝60°，a＝63，b＝12，S△ABC＝183，则________，sinA＋sinB＋sinC

c＝________.ABC中，sin2A = sin2B +sin2C，则△ABC的形状为

15、在ABC中，若B60，b76,a14，则A=。

16、在ABC中，已知a



1正弦定理学案 篇11

一、选择题

1．在△ABC中，A＝60°，B＝75°，a＝10，则c＝()

A．52B．102C.6

3D．6

2．(2010·茂名调研)已知a，b，c是△ABC三边之长，若满足等式(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则角C的大小为()

A．60°B．90°C．120°D．150°

3．在△ABC中，已知sin Acos B＝sin C，那么△ABC一定是()

A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．正三角形

4．△ABC中，AB＝3，AC＝1，∠B＝30°，则△ABC的面积等于()A.33

4C.23D.32或3

45．(2010·上海卷)若△ABC的三个内角满足sin A∶sin B∶sin C＝5∶11∶13，则△ABC()

A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形

C．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形

6．在△ABC中，如果lg a－lg c＝lg sin B＝－lg 2，并且B为锐角，则△ABC的形状是（A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形

二、填空题

7．在△ABC中，2b＝a＋c，∠B＝30°，△ABC的面积为3

2b等于________．

8．(2010·广东卷)已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝3，A＋C＝2B，则sin A＝________.9．(2010·山东卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a2，b＝2，sin B＋cos B＝，则角A的大小为________．

10．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若三角形的面积S＝1(a2＋b24－c2)，则角C的度数是________．

11．已知△ABC三边满足a2＋b2＝c2－3ab，则此三角形的最大内角为________．

三、解答题

球面正弦,余弦定理证明 篇12

平面几何中的三角形全等判定条件说明了平面三角形的唯一性，到了平面三角学，把这种唯一性定理提升到有效能算的角边函数关系。其中最基本的就是三角形的余弦定理：设三角形 ABC 的三条边分别是 a、b、c，它们的对角分别是、、，则

其中，分别表示 的余弦。

三角形的正弦定理：设三角形 ABC 的三条边分别是 a、b、c，它们的对角分别是、、，则。

类似地，球面三角形也有有效能算的边角函数关系，其中最主要的结果就是球面三角的正弦定理和余弦定理。

为证明球面三角余弦定理，我们介绍有关向量的另一种乘积—外积。两向量a与b的外积是一个矢量，记做a×b，它的模是|a×b|=|a||b|它的方向与a,b都垂直，并且按a,b,a×b这个顺序构成右手标架。对于向量的外积，有拉格朗日恒等式成立。

a×b）·(a’×b’)=(a·a’)·(b·b’)－(a·b’)·(b·a’)

定理4.1（球面三角余弦定理）在单位球面上，对于任给球面三角形三边和三角

恒满足下述函数关系，其(a,b),（证法一）证明：如图4-1所示，图4-1 是单位球面上的三点，以a,b,c分别表示单位长向量三角形,则球面的三角角度和三边边长分别可以用空间向量a,b,c表达如下：

是b,c之间夹角的弧度，所以cos=b·c,同理有cos=a·c, cos=a·b。是“a,b所张的平面”和“a,c所张的平面”之间的夹角，所以a×b和a×c之间的夹角，即

（a×b）·(a×c)=| a×b|·|a×c|cosA=同理亦有（b×c）·(b×a)=（c×a）·(c×b)=由（a×b）·(a×c)=所以同理可证

=cos－

也等于

当单位球面上的球面三角形三边都小于三角余弦定理。证明如下： 取球面三角形

时，可以用平面三角余弦定理证明球面，将各顶点与球心O连接，过顶点A作b,c边的切线，分别

和两个平交OC,OB的延长线于N,M,由此得到两个平面直角三角形面三角形

。在中，根据平面三角形的余弦定理，有。

同理在因此即中

即即得同理可证

（证法2）证明：设球心为O，连接OA、OB、OC，则。

图4-2 过点A做的切线交直线OB于D，过点A做的切线，交直线OC于E，连接DE（如图4-2所示）。显然，ADAO，AE

AO，在直角三角形OAD中，AO=1，AD=，OD=在直角三角形OAE中，AE=

。，OE=。

注意。在三角形ODE中，利用平面三角形的余弦定理（定理3.1），„„（1）

在三角形ADE中，„„（2）

因为（1）式与（2）式左端相等，所以右端也相等，经化简整理，即得。

类似地可以得到另外两式。

当三角形有一个内角为直角时，比如，则由球面三角余弦定理有

。这恰好是平面几何中的勾股定理在球面几何中的对应物，但形式上有了很大差别。我们称之为球面勾股定理。

定理4.2（球面三角正弦定理）在单位球面上，对于任给球面三角形三边和三角

恒满足下述函数关系

证明：因为上述三个比值都是正的，所以我们只要证明

恒成立。

由球面三角余弦定理，得

同理可证，所以。

一般地，易证在半径为r的球面上，对于任给球面三角形，其三边和三角恒满足下述函数关系

和，其当形时，上述关系式会变成什么形式呢？如图，当的三边

可以看作直线段，所以

，时，球面三角所以， ,代入上述关系式，当，时对式子取极限，整理得：

这恰好是平面三角余弦定理和正弦定理。在实际使用时，考虑到所给条件的不同及计算的方便，我们常常需要不同形式的球面三角公式，这些公式本质上都能以球面正弦定理和余弦定理加以变换而得到。前面通过研究极对偶三角形的关系我们证明了球面几何中特有的全等条件AAA,在球面三角中有反映这一特有全等条件的三角公式。

定理4.3（角的余弦公式）在单位球面上，对于任给球面三角形和三角

恒满足下述函数关系，其三边

证明：由的极对偶三角形的余弦定理

利用上节定理3.1将中相应的元素代入上式即有