正弦定理教学设计1

2024-08-09

正弦定理教学设计1（共13篇）

正弦定理教学设计1 篇1

教学准备

1.教学目标

知识目标：理解并掌握正弦定理，能初步运用正弦定理解斜三角形；

技能目标：理解用向量方法推导正弦定理的过程，进一步巩固向量知识，体现向量的工具性

情感态度价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；

2.教学重点/难点

重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。

难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。

3.教学用具

多媒体

4.标签

正弦定理

教学过程讲授新课

在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有，又，则

.从而在直角三角形ABC中，思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）

可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：（证法一）如图1．1-3，当

ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根，则

.据任意角三角函数的定义，有CD=

同理可得，从而.类似可推出，当自己推导）ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后从上面的研探过程，可得以下定理

正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

[理解定理]（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使，；（2）

等价于。

从而知正弦定理的基本作用为：

①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如

；

②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如.一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。

评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。[随堂练习]第5页练习第1（1）、2（1）题。

课堂小结（由学生归纳总结）（1）定理的表示形式：

或，（2）正弦定理的应用范围：

①已知两角和任一边，求其它两边及一角； ②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。

课后习题

板书

正弦定理教学设计1 篇2

1.教材分析

三角形是贯穿义务教育和高中教育的几何课程内容,三角形知识和几何思维水平都是螺旋上升的。在学生初中学习过解直角三角形知识,高中学习过三角变换知识的基础上,正弦定理探索任意三角形的边长和角度之间的定量联系。之后,随着三角函数图像和性质的继续研究,可以处理三角形中的范围与最值问题。可见,正弦定理承前启后,是对初中三角形和圆的知识的又一次应用,也是坐标法作用的一次体现。其实,利用三角变换知识,可以证明正弦定理和余弦定理是等价的。正弦定理和余弦定理作为三角形边角关系的代数表达,沟通了代数和几何这两大数学分支的联系,给我们带来了极大的计算优势,尽享不作或少作辅助线之便捷。它既是对初中解直角三角形内容的延伸,也是解决测量、航行、几何及工业问题的重要工具,具有广泛的应用价值。正弦定理的实质是揭示了三角形对边和对角正弦的数量关系。正弦定理是解三角形基本的、有力的工具,也是几何计算的基础。

沪教版教材中正弦定理的证明主要有作高法、等面积法和外接圆法,囿于教材编写的顺序,向量方法不可用。

2.学情分析

我所任教班级的大多数学生对数学的兴趣较高,数学基础较好,有一定的推理能力和创新能力。从教育价值角度看,实验归纳和逻辑推理都重要,让学生经历“直观感知、特例猜想、操作确认、思辨论证”的理性认识事物的过程是可能的,也是必须的。正弦定理的学习必须让学生参与结论生成的全过程,加强学生推理论证能力的培养。

[问题提出]

本文拟结合沪教版高一年级第二学期数学教材中《正弦定理(1)》的教学设计,谈如何培养学生的几何思维能力。

[教学设计]

(一)教学目标

1.掌握用两边夹角表示三角形面积的公式,懂得三角形任一边与其对角正弦比值的几何意义,初步运用正弦定理解决一些简单的问题。

2.经历观察、猜想、证明的过程,掌握推导正弦定理的方法。

3.感受几何、三角、代数的多样统一,欣赏正弦定理的对称、美好、和谐,体验分类讨论、数形结合的思想。

(二)重点和难点

教学重点:正弦定理的发现与证明,正弦定理的简单应用。

教学难点:正弦定理的猜想和求证;已知两边和其中一边的对角求其他角时,解的个数的确定。

(三)教学过程

正弦定理教学的流程为:从实际问题懂得引进正弦定理的必要性→抽象概括出解三角形问题内涵及符号表征→猜想三角形边角关系的正弦定理→证明正弦定理→欣赏正弦定理→典型问题求解→反思总结,形成体系。在教学设计前,教师需要关注学生已经知道了什么?还需要知道什么?需要教师提供什么样的帮助?教师准备给学生哪些观点?培养学生哪些几何思维能力?正弦定理的教学始于观察,基于试验,成于逻辑推理,升华于数学审美。

活动1:创设情景,激发兴趣,引入课题

上海市浦东新区的滴水湖是圆形人工湖,为测量该湖的半径,测量小组的学生沿湖边依次选取A、B、C三根标杆,测得AB=200m,并用测角仪测得∠BAC=5°,∠BCA=4°,不作辅助线,请你帮他们求出:(1) AC;(2)滴水湖的直径(精确到1m)。测量滴水湖的直径问题,可以引导学生进入一个新天地。

设计意图:通过创设情景,让学生在情景中获取经历和体验,激发学习动机,引起探究的欲望。强调不作辅助线,原有解直角三角形的知识不够用了,自然需要寻找新的工具。

为了研究方便,抽象出数学模型,在ΔABC中,AB=200,∠BAC=5°,∠BCA=4°,求:(1)AC;(2)ΔABC的外接圆的直径2R。

设计意图:一切思维都是从问题开始的。你没办法教人思考,你只能教那些供人思考的东西。问题引领,思维就有方向了。

一般化:在ΔABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,三角形的边与角的三角比有什么关系?

a与A——对应,比过去的BC与∠A的对应更为方便、精确、简便,并且在思想上、时间上或论述的篇幅上都更为经济。

我们把三角形的三边和它们的对角叫做三角形的元素,已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。

设计意图:三角形作为平面几何最基本图形,可以放手让学生去抽象概括。在繁杂和简约之间,我们选择简约,作图标量简洁。符号化、形式化,这部分细小的教学内容具有丰富的求简思想。

提问:填写左下表,请你提出三角形任一条边及该边对角三角比关系的一个新结论。(说明:表格中的数据来源于课本70页的例1。)

设计意图:寻找一种能够自然地发现正弦定理的方法是困难的,过度引导和过度放手都不可取。我选择上述有一点测量误差的表格数据,只限于加减乘除运算和角的正弦,从简单到复杂,循序渐进,让学生去体验、去经历、去猜测、去交流,再去验证。学生想知道的不仅仅是已知的标准结果。教师若把猜想的部分隐瞒了,其实是把最有意义、最有启发的东西抽掉了。

活动2:特例引路,大胆猜想,“画板”支撑

提问:我们遇到一般问题时,是怎样处理的?

先从特殊事例入手,寻求答案或发现解法。先特殊、后一般是数学研究,也几乎是所有科学研究的规律,也是公民的重要素养之一。研究数学问题的程序是从简单到复杂。

从直角三角形入手分析,我借助《几何画板》进行动态数学实验(略)。设计意图:通过动态的几何图形演示,眼见为实,心悦诚服。在测量误差的范围内,让学生直观感受、、的不变性,延伸了有效的学习活动;让学生的思维保持积极探究的状态,丰富了学习方式,用较少的时间达到了相信猜想成立的效果。

活动3:言必有据,小心求证,滴水不漏

预案1:作高法

回归初中,从高入手,化“斜”为“直”,“高算”两次,分类讨论直角三角形、锐角三角形和钝角三角形,各个击破。这是学生最容易想到的方法。

预案2:等面积法

提问:如果不用三角形的高,还能表示三角形的面积吗?

在预案1中稍作变化,即得三角形面积公式。传统方法证明也需分类讨论。

在现实生活中,角和距离比较容易直接测量,借助笛卡尔坐标来计算比较方便。把三角形置于平面直角坐标系里去研究,面积公式证明有统一的坐标法(坐标法来源于三角比的坐标定义,不受三角形形状的限制,可作为普遍方法去掌握)。在教学中,教师应特别关注学生去想这个事情了没有。学生想出来更好,想不出来只要经历了、做过了也行。自然生成这一方法,需要复习任意角的概念,需要回忆研究方法的变化——放在平面直角坐标系下研究,选用几何代数化的方法。思维的起点是坐标,借助坐标表示高和面积,是对简洁美的追求。坐标法是一种几何意识,考虑角度不同,统一而灵活。学生想不出来,教师可直接给出坐标法。这是建构这一正弦定理和余弦定理坐标法推导的统一模型。多年教学实践表明,此时的学生们几何知识结构单一,虽然已经学了很多三角知识，但往往受困于三角公式繁多,想不到用坐标法统一证明三角形面积公式,需要教师采用讲授法为主的教学方式。

预案3:外接圆法

圆是最完美的平面图形。把三角形放到它的外接圆内来考察,三角形的边长成了弦长,三角形的内角转化成了圆周角,探究三角形的边角关系成了探索三角形外接圆中弦长与圆周角的关系,不难得出,并且也需分类讨论;揭示了两者比值不仅相等,而且为2R,指出了正弦定理为什么不取这一更简洁形式的原因。

提问:如何命名这一定理?

设计意图:如果学生能真正理解正弦定理及证明方法,就掌握了三角形边角转化的方法,形成了扩充和扩展自己几何、代数、三角知识结构的能力。在这里多花一些教学时间是值得的。

活动4:欣赏定理,运用定理,升华认识

文字语言:三角形中的任意一条边长与对角正弦的比值为常数2R。

符号语言:。

图形语言:略。

有边又有角,要么边化角,要么角化边。边角转换借半径,正弦定理的有用变形如下。

品味三角形各边与其对角的正弦严格对应,上下对称,体现了对称美、和谐美。正弦定理的建构,既是审美的过程,也是塑造美的过程。

设计意图:正弦定理体现了混乱中见有序,复杂中见简洁,多样中见统一的美感。边与角是辩证统一的,让学生感受到三角形边角关系的和谐性、统一性,欣赏正弦定理成了一种享受。

课堂练习:在ΔABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,(1).若∠A=45°,∠B=75°,b=8,求a;(2)若BC=12,∠A=60°,∠B=45。,求AC;(3)若a=3,,∠A=60。,求∠B。

由,知:①在已知两角(可知三个角）一边的情况下必选择正弦定理:②在已知两边及一边的对角的情况下,可选择正弦定理,再根据角A的范围或A+B+C=π确定角A;③。

活动5:学生先交流学习心得,教师后传授治学经验

今天我们研究了三角形中一类边角等量关系。

我们是如何研究的?

研究结果有什么用?

还有其他的变式关系吗?

一个定理,两种应用,三种证法。

正弦定理角边齐,角边转换借半径。

两角一边用正弦,两角对边慎处理。

体验:几何法化斜为直,分类作高法——辛苦;解析法事半功倍,统一坐标法——美妙。

设计意图:作为数学教师,课上要时刻关注学生的行为、思想、感情,锤炼学生喜爱的教学语言。亲其师,信其道,这是最重要的。

[自我反思]

今天认识正弦定理的一小步是明天提升几何思维能力的一大步,况且这一小步包含了众多的方法论内涵。“教学有法,而无定法”是由教学方法既有科学性,又有艺术性这一双重特性所决定的。每次教学正弦定理,我都或多或少、或明或暗有新的感悟。本课借用滴水湖问题宣情泄绪,效果较好。面对课堂教学实际,猜测这个正弦定理结论的开放度还不够高。现代教学的本质特征是探究与建构,表现为一系列有效的教学活动,让学生获得理性思维和情感体验。教师最重要的是在教学过程中确立学生的主体地位以及在教学中对学生情感、态度的关注和过程评价。巧妙创设情景,加强与信息技术的融合,关注科学性、思想性、艺术性、实效性,始终是课堂教学的内在要求。

[专家点评]

基于对教材内容的理解和研究,曹东辉老师撰写的教学设计有着比较丰厚的理论支撑,教学结构具有相当强的逻辑关系,教学过程以学生思维为主线,层分缕析、抽丝剥茧,充分体现出了体验与感悟。

三角形是数学学科中的基本图形,对三角形边角关系的研究纵贯初中和高中数学教学,横穿代数几何,既是核心概念知识,也是数学思想方法的重要载体。这一课例以“在高中数学教学中培养学生的几何思维能力”为标题,将教学的关注点聚焦于思维能力的培养,既有“以小见大”的立意,也有“从小到大”的发展。

《正弦定理》教学设计篇3

【教学对象】高二学生

【教材分析】正弦定理是高中《数学》必修五的第一章第一节，是高中生学习解三角形的第一个重要工具。同时为学习余弦定理做准备，起到十分重要的作用。

【学情分析】本课的教学对象设定为中等水平的高二学生。学习本课前，学生需要掌握前面已学过的三角函数知识。

【教学目标】

知识与技能：（1）理解正弦定理概念和公式的本质；（2）会正弦定理解决两个基本的解三角形问题。

过程与方法：（1）通过提出对以前知识的疑问，培养学生严谨的逻辑思维能力；（2）通过猜想——探究——证明的过程学习正弦定理，提高学生的探究意识。

情感态度价值观：（1）体会到数学的普适性的美；（2）体会数学公式的结构不变性与字母可变性。

【教学重点】证明正弦定理的过程以及如何应用正弦定理解三角形。

【教学难点、关键】正弦定理的本质。

【教学方法】引导探究、实例运用。

【教学过程设计】

一、回顾旧知

1、三角形中“大边对大角”的描述是真的吗？

提问让学生思考，产生认知疑惑。教师引导学生回答问题，发现根据现已掌握的知识似乎只有在直角三角形中，才可以通过理论证明“大边对大角”。

2、老师继续引导学生严谨证明在直角三角形中大边对大角

老师引导学生，证明不能似乎好像，必须有严谨的证明才可以，并板书证明过程：

斜边>任一直角边（由勾股定理可得）设直角边分别为a，b，且分别对应角A，B，斜边为c，那么a=c*sinA，b=c*sinB，又A，B是锐角，所以角越大时边越大，边越大时角越大，故“大边对大角”。

设计意图：先造成学生认知上的疑惑，通过老师不断地引导培养学生严谨的数学思维能力。

二、在一般三角形中猜想并证明正弦定理

利用已知在直角三角形中的证明可以得到：a/sinA=c=b/sinB，其中c可以写作c/sinC猜测在一般三角形中也有这样的等式成立

先让学生自己任意画一个三角形，任意标出三角形的三个顶点A，B，C，其中角A，B，C，分别对应边a，b，c，再根据教师的引导共同证明猜想。黑板上演示证明的全过程，让学生清楚地看到正弦定理对任意三角形都成立的全过程。

板书演示：（略）

老师让同学之间相互交流看看对方画的三角形是否一样，可以发现这样的猜想对任意的三角形都是成立的，老师继续提示在证明过程中也没有任何限制三角形形状的地方，所这样的猜想对三角形有普适性。老师揭示刚刚所证明的猜想就是今天要学习的正弦定理。

设计意图：通过证明向学生们揭示正弦定理的普适性，让学生们感受到数学定理的伟大。

三、正弦定理的本质

例题：已知三角形三边为分别为m，n，l其对应角分别是O，P，Q，请写出该三角形的正弦定理表达式。

由刚刚学习的正弦定理可知m/sinO=n/sinP=l/sinQ。老师让同学间相互出题，随意变换三角形的三边字母及其对应角的字母解决问题。在解决这些问题时学生对正弦定理的认识有进一步了解。可以发现运用正弦定理公式时不是简单的套用字母的运算，而要分析公式的真正含义再结合题意进行运用。学生总结或通过老师揭示正弦定理的实质。

设计意图：通过简单例题引发同学们的思考，使同学掌握正弦定理的本质，体会公式的字母可变性与结构不变性，并感受到数学以不变应万变的魅力。

四、正弦定理的应用

老师引导学生利用正弦定理证明“大边对大角”：直角三角形的情况在课堂一开始就已经证明过；在锐角三角形中，所有的角均为锐角，故角度越大其正弦值越大，那么由正弦定理的实质（任意三角形中每一边与其对应角的正弦值之比为定值）可以得到其对应边的值也越大，反之亦然，故而锐角三角形中有“大边对大角”；类似地，在钝角三角形中的两个锐角及其对应边，自然是有“大边对大角”的，那么钝角的正弦值是不是大于其中任一锐角的正弦值呢？给学生一定的思考空间后，老师提示三角形的内角和为180o，所以钝角的正弦值等于其余两个锐角和的正弦值，那么钝角的正弦值肯定大于其中任一锐角的正弦值，同理“大边对大角”在钝角三角中也成立。

正弦定理除了可以证明“大边对大角”，还有什么应用呢？

例题：已知△ABC的三角形∠A=60°，∠B=45°，AB=3，求△ABC的周长L

先让学生们独立做题，最后由老师板书提示：

周长L=AC+BC+AB

=sinA（AB/sinC）+sinB*（AB/sinC）+AB

=（sinA+sinB+sinC）AB/sinC.

总结，任意三角形只要是任意给出两角和一边都可以计算出其余的值。

例题：1.已知△ABC的三角形∠A=60°，CB=5，AB=3，求△ABC的周长L

例题：2.已知△ABC的三角形∠A=60°，AC=4，AB=3，求△ABC的周长L

学生自行做题，发现例2无法解出。总结，任意三角形中任给两边和其中一边的对应角才可以利用正弦定理计算出其余的量。

正弦定理教学设计1 篇4

一、基础过关

1．在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝44°，则此三角形解的情况为

A．无解B．两解C．一解()D．解的个数不确定

()π2．在△ABC中，BC＝1，B＝，当△ABC3时，sin C等于3

213B.13 132393213D.13

3．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c2，b6，B＝120°，则a等于()

6B．23D.2

()4．若△ABC的内角A、B、C满足6sin A＝4sin B＝3sin C，则cos B等于

1543B.43151611D.16

5．在△ABC中，AB＝2，AC6，BC＝1＋3，AD为边BC上的高，则AD的长是________．

6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，b＝2，sin B＋cos B2，则角A的大小为________．

7．在△ABC中，若a2＝bc，则角A是

A．锐角B．钝角

()C．直角D．60°()8．在△ABC中，已知a4＋b4＋c4＝2c2(a2＋b2)，则角C为

A．30°B．60°C．45°或135°D．120° 9．已知△ABC的面积为23，BC＝5，A＝60°，则△ABC的周长是________．

10．已知△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知m＝(sin C，sin Bcos A)，n＝(b,2c)，且m·n＝0.(1)求A的大小；(2)若a＝23，c＝2，求△ABC的面积S的大小．

batan Ctan C11．在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.若6cos C，求＋abtan Atan B的值．

312．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a＝2，cos B若b＝4，5

求sin A的值；(2)若△ABC的面积为4，求b、c的值．

13．在△ABC中,a，b，c分别为内角A,B,C的对边，且2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C.(1)求A的大小；(2)若sin B＋sin C＝1，试判断△ABC的形状．

14．已知△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知m＝(sin C，sin Bcos A)，n＝(b,2c)，且m·n＝0.(1)求A的大小；(2)若a＝23，c＝2，求△ABC的面积S的大小．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，4sin2的度数．(2)若a3，b＋c＝3，求b和c的值．

B＋C7cos 2A＝(1)求A2

2答案

1．B 2.A 3.D 4.D 5.3 6.π6

7．证明 sin Acos B－cos Asin B

sin C＝sin Asin B

sin C·cos B－sin C·cos A

＝aa2＋c2－b2bb2＋c2－a2

c2ac－c2bc＝a2－b2

c＝左边．

a2－b2sinA－B

c＝sin C8．解(1)由已知，根据正弦定理得

2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，所以cos A12，故A＝120°.(2)由①得sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin Bsin C，又sin B＋sin C＝1，故sin B＝sin C＝12.因为0°＜B＜90°，0°＜C＜90°，故B＝C.所以△ABC是等腰的钝角三角形．

9．A 10.C 11.12

12．解(1)∵m·n＝0，∴bsin C＋2csin Bcos A＝0.∵b

sin Bc

sin C∴bc＋2bccos A＝0.∵b≠0，c≠0，∴1＋2cos A＝0.∴cos A＝－12.∵0＜A＜π，∴A2π3(2)在△ABC中，∵a2＝b2＋c2－2bccos A，∴12＝b2＋4－4bcos 2π3∴b2＋2b－8＝0.∴b＝－4(舍)或b＝2.∴△ABC的面积S＝12bcsin A13．解由baab＝6cos C得b2＋a2＝6abcos C.①

tan Ctan Csin Ccos Acos B化简整理得2(a2＋b2)＝3c2，将切化弦，得(＋tan Atan Bcos Csin Asin B

sin Csin C＝cos Csin Asin B

sin2C＝cos Csin Asin B

根据正、余弦定理得

sin2C2c2

＝4.cos Csin Asin B322－c2

正弦定理教学设计1 篇5

（一）教学目标

正弦定理、余弦定理体现了三角形中边角之间的相互关系，学会在测量学、运动学、力学、电学等许多领域有着广泛的应用．培养学生空间想象能力和运算能力.教学过程: 解斜三角形应用题的一般步骤：

（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图

（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型

（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解 [例题分析]

例

3、某人在M汽车站的北偏西20的方向上的A处，观察到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶。公路的走向是M站的北偏东40。开始时，汽车到A的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A的距离缩短了10千米。问汽车还需行驶多远，才能到达M汽车站？

课时5巩固练习

1.如图，要测量河对岸A、B两点间的距离，今沿河岸选取相距40米的C、D两点，测得∠ACB=60°，∠BCD=45°，∠ADB=60°，∠ADC=30°，则AB的距离是 2．一船以226km/h的速度向正北方向航行,在A处看灯塔S在船的北偏东45,1小时30分钟后航行到B处看灯塔S在船的南偏东15,则灯塔S与B之间的距离为.3、如图，两条道路OA、OB相交成60角，在道路OA上有一盏路灯P，00

第1题

OP10米，若该灯的有效照明半径是9米，则道路OB上被路灯有效照明的路段长度是米。

第3题

4.已知△ABC中,BC=2,AB+AC=3,中线AD的长为y,若以AB的长为x,则y与x的函数关系式是 ,并指出自变量x的取值范围.5.某观察站C在城A的南20西的方向,由城A出发的一条公路,走向是南40东,在C处测得距C为31千米的公路B上有一人正沿公路向A城走去,走了20千米之后,到达D处,此时C、D之间的距离为21千米,试问此人还要走几千米可到达A城?

C 0

正弦定理教学反思篇6

教学反思

（二）——关于《正弦定理》这一节课的教学反思

1．本节课虽然在教师的引导下，完成了教学任务，但是一味地为了完成任务而忽略了对学生正确思维的展开和引导.上好一堂课不仅有好的教学设计，还应有灵活应变的能力，只有从思想上真正转变为以学生的发展为根本，才不会为了进度而将学生强拉进自己事先设计好的轨道.正是教学有法，又无定法.2．问题是思维的起点，是学生主动探索的动力.本节课通过对课本引例的解决、展开，引导学生在问题解决中发现结论.符合认识问题的思维规律，对激发学生探究问题兴趣是非常有益的.3．正弦定理的证明方法很多，如利用三角形的面积公式、利用三角形的外接圆、利用向量证明等，本节课将斜三角形的边角关系转化为直角三角形的边角关系导出正弦定理，从学生的“最近发展区”入手去设计问题，思路自然，是学生们易于接受的一种证明方法.但在具体的推导时，要注意尊重学生思维的发展的过程，这是一种理念，也是一种能力.在教学设计和课堂教学中应充分了解学生、研究学生，备课不仅是备知识，更重要的是备学生.作为教师只有真正树立以学生的发展为本的教学理念，才能尊重学生思维过程的发生、发展，才能从学生的生活经验和已有知识背景出发，创设合理的教学情境，才能为学生提供充分的数学活动和交流的机会，使学生从单纯的知识接受者转变为数学学习的主人.

正弦定理教学设计1 篇7

第一稿

[引言]在直角三角形中, 由三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数, 可以由已知的边和角求出未知的边和角。那么斜三角形有一样的性质吗?

[讲解新课]正弦定理:在任一个三角形中, 各边和它所对角的正弦比相等, 即 (R为△ABC外接圆半径) 。

1.在直角三角形中

如图1所示

即

2.在斜三角形中

证明一: (等积法) 在任意△ABC中,

两边同除以即得:

证明二: (外接圆法)

如图2所示,

同理

证明三: (向量法)

过A作单位向量j軆垂直于A軆軆C, 如图3、图4所示, 由A軆軆C+C軆軆B=A軆軆B两边同乘以单位向量j軆得j軆· (A軆軆C+C軆軆B) =j軆·A軆軆B, 则j軆·A軆軆C+j軆·C軆軆B=j軆·A軆軆B∴j軆·A軆軆C cos90°+j軆·C軆軆B cos (90°-C) =j軆·A軆軆Bcos (90°-A)

∴asin C=csin A∴

同理, 若过C作j軆垂直于

设计意图:在搜集到的参考资料中看到了好多不同的证明方法, 各种方法又各自包含了不同的证明思想和知识体系, 所以让学生通过这些方法体会数学的思维魅力。

自评:没贯彻好新课程理念, 在新课程实施的过程中, 学生的学习方式正由传统的接受式学习向探究式学习转变, 这就要求教师必须从传授知识的角色向学生发展的促进者转变, 从知识的传递者向学生学习的组织者、引导者转变, 正确引导学生在探究过程中学会学习, 在学习过程中学会探究。数学教育不仅要使学生获得必要的数学基础知识和基本技能, 还应培养学生主动参与和乐于探究从而获取新知的能力, 形成自主意识、探索欲望、开拓创新的激情和积极进取的人生态度。

第二稿

[创设情景]固定△ABC的边CB及∠B, 使边AC绕着顶点C转动。思考:∠C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系?

显然, 边AB的长度随着其对角∠C的增大而增大, 能否用一个等式把这种关系精确地表示出来呢?

[探索研究]在初中, 我们已学过如何解直角三角形, 下面就来探讨直角三角形中角与边的等式关系。在Rt△ABC中, 设BC=a, AC=b, AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义, 有, 又, 则从而在直角三角形ABC中, 有

思考:那么对于任意的三角形, 以上关系式是否仍然成立?

(由学生讨论、分析)

可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况:

当△ABC是锐角三角形时, 设边AB上的高是CD, 根据任意角三角函数的定义, 有CD=asin B=bsin A, 则, 同理可得

设计意图:设计双边、多边活动, 以交流式、探究式和启发式作为基本学法和教法, 激发学生探究兴趣和继续学习的兴趣。

自评:1.没吃透《学科教学指导意见》, 本章节的课标内容有两个, 一是通过对任意角三角形边长和角度关系的探索, 掌握正弦定理、余弦定理, 并能解决一些三角形问题, 二是能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算关系有关的问题。本章共三小节, 其中的应用举例和实习作业就各占了一节, 所以本章要体现的一个重要的思想就是应用于实际生活。

2.没贯彻好新课程理念, “数学是有用的”, 本章节就是体现这一理念的非常好的一个载体。而我设计的情景太理论化, 显得比较枯燥, 学生的探究欲望不会非常强烈, 并且也没有利用好这个载体, 让学生真切体会“数学是有用的”, 从而激发学习兴趣, 发自内心地想学好数学。

第三稿

第四稿

捷克著名的教育家夸美纽斯说过这样一句话:“找出一种教育方法, 使教师因此而可以少教, 但是学生多学。”我们今天的这种课堂改革便是这样一种改革。而要想真正达到这样的效果上好一堂课, 细致、全面的备课是个极其重要的前提。

通过对教案的多次修改经历, 我认为要想备好一节课需要做到以下几点:

1.吃透新教材, 尽量与教材编著者思维同步, 领悟教材改版的原因, 体会教材编写者的智慧所在。吃透教材就能整体把握文本内容在本章中的地位, 以确立本节课的整体目标。整体目标的确立不一定体现在教案当中, 但它却始终要在准备人的心中, 指导整个备课学案的书写。如符合社会现状的背景的设计, 体现“数学是有用的”。

2.根据学生特点, 设计符合学生认知规律的问题, 精心设计问题, 学生才能理解老师的出题意图, 才能在课堂上有话说, 有内容讲, 才能有课堂上的有效生成。如工程上测量角度的仪器简介之后, 再提出“请你根据该地的城市规划图, 设计一个计算方案。”学生不会不知所云, 一头雾水。

3.关注每一个学生, 尊重个体差异, 体现课堂民主, 让每个学生都能真正参与到课堂探究中去。如对不同类型方案设计的点评环节。

4.重视学生的可持续发展, “授之以鱼, 不如授之以渔”。如在课堂上展示完整的用数学解决问题的过程, 发现问题→数学建模→解决问题。又如在课堂上展示完整的科学发现的过程, 特例归纳→一般猜想→特例验证→严格证明。再如在课堂上展示信息技术在研究中的强大功能, 对学生以后继续发展和研究起了潜移默化的教育作用。

正弦定理的多种证法篇8

这个定理的证法十分丰富.为了简单,仅以锐角三角形为例作简要说明.直角三角形的情形非常简单,钝角三角形的情形与锐角三角形类似.

1.三角形高法

asinB,bsinA是△ABC的边c上的高;asinC,csinA是△ABC的边b上的高;且bsinC,csinB是△ABC的边a上的高.

根据这个结论,正弦定理证明如下:

作锐角三角形ABC的高CD,则CD=asinB=bsinA.

所以asinA=bsinB，同理bsinB=csinC.

因此asinA=bsinB=csinC.

2.三角形外接圆法

asinA,bsinB,csinC都等于△ABC的外接圆直径.

根据这个结论,正弦定理证明如下:

过点C作锐角三角形ABC的外接圆直径CD,连结DB.根据同弧所对的圆周角相等及直径所对的圆周角是直角,得∠A=∠D,∠DBC=90°,CD=2R(R为△ABC的外接圆半径).

所以sinA=sinD=CBCD=a2R.所以asinA=2R.

同理bsinB=2R,csinC=2R.

因此asinA=bsinB=csinC=2R.

3.三角形面积法

12absinC,12bcsinA,12acsinB都等于△ABC的面积.

根据这个结论,正弦定理证明如下:

作锐角三角形ABC的高CD，则CD=asinB.所以三角形ABC的面积S=12AB•CD=12acsinB.

同理S=12absinC,S=12bcsinA,

所以12bcsinA=12acsinB=12absinC,

同除以12abc,再取倒数,有asinA=bsinB=

csinC.

4.向量数量积法

把asinB,bsinA分别变形为acosπ2-B,bcosπ2-A,在锐角三角形ABC中,作高CD,则a|CD|cosπ2-B,b|CD|cosπ2-A分别是向量CB,CA与向量CD的数量积.

利用这个结论,正弦定理证明如下:

作锐角三角形ABC的高CD.

因为AB=CB-CA，所以0=AB•CD=(CB-CA)•CD,

所以CB•CD=CA•CD,

所以a|CD|cosπ2-B=b|CD|cosπ2-A,

即asinB=bsinA.所以asinA=bsinB.

同理bsinB=csinC.

因此asinA=bsinB=csinC.

应当注意,以上的四种证法仅仅证明了在锐角三角形ABC中，有asinA=bsinB=csinC.用以上的四种证法证明正弦定理都必须分直角三角形、锐角三角形和钝角三角形三种情况进行讨论.

5.如果想避开分类讨论,可以把三角形放在平面直角坐标系中,利用坐标法.

证明如下:

以C为原点,以射线CA为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,且使点B落在x轴的上方,则AC边上的高即为B点的纵坐标.根据三角函数的定义,B点的纵坐标h=asinC.

所以三角形ABC的面积S=12bh=12absinC,

同理S=12acsinB,S=12bcsinA,

所以12bcsinA=12acsinB=12absinC，

同除以12abc,再取倒数，

有asinA=bsinB=csinC.

这种证法之所以避开了分类讨论,是因为利用了一般三角函数的定义；前面的四种几何证法都需要分类讨论,因为它们仅仅利用了锐角三角函数的定义.这个方法是证明正弦定理最简单的方法,体现了坐标法的优越性.

正弦定理教学设计及反思篇9

及反思

【教学课题】1.1.1正弦定理（第一课时）

【教学背景】本节课所面对的是普通高中招生中最后的一批学生，学习成绩较差，中考成绩大多在280分左右。自身缺少良好的学习习惯和一定的数学学习能力。因此在教学设计时，以基础知识，基本方法的学习和应用为主。在教学过程中，采用了以学生互动探究为主的“五二五”教学模式，以提高学生的学习兴趣。

【教析分析】本章是高中数学必修5的第一章第一节内容，是初中解直角三角形的拓展和延续，重点揭示了三角形边、角之间的数量关系。运用它可以解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。在高考中也常与三角函数、平面向量等知识结合在一起考考察。

【学习目标】通过对任意三角面积的探索，理解正弦定理的内容及其推导过程；能够通过观察、归纳、猜想，由特殊到一般得到正弦定理，体验数学发现与创造的历程；掌握正弦定理并能够运用正弦定理解决一些简单的求边角问题。

【学习重点】正弦定理的几种形式。

【学习难点】正弦定理的推导与证明。

【学习方法】自主学习、合作探究

【教学手段】多媒体辅助教学

【学习过程】

一、复习引入

在直角三角形中是如何定义边角关系？

任意三角形的高怎么求？

二、合作探究

（要求：学生先独立思考，再以小组为单位交流讨论结果，并派代表展示本组的讨论结果。）探究一：在△ABC中,分别以a,b,c为底边，求出相应边的高，并求出△ABC的面积。

结论：对任意△ABC都有===.探究二：你能利用三角形的面积公式，做适当的变形，探寻出各角与其对边的关系吗？

探究三：正弦定理说明在一个三角形中，各边与所对角的正弦的比相等，你能想办法求出这个比值吗？

三、阅读教材，记忆公式

我们利用正弦定理可以解决一些怎样的解三角形问题？

已知求;

已知求.四、小组合作，成果展示（要求：一、三、五组先做第一题再做第二题词，二、四、六组先做第二题再做第一题；每组派两位同学到黑板上板书，一位同学讲解。评价标准：书写规范，内容准确，声音洪亮，思路清晰。）

1、在中，a=3,b=3 ,B=60,求a边所对角的正弦值。

2、在中，A=60，B=75，a=10,求边c。

五、课堂小结

（学生小结，相互补充。）

六、能力提升

在ABC中，已知A450,a2,b2,求B。

七、检测评价

长江作业本2，3，4，5题。【教学反思】

本节课较好的完成了教学任务，实现了教学目标。在教学过程设计上充分考虑了学生的实际情况，从复习初中所学的直角三角形的边角关系引入，为学生接下来探究三角形的面积做好铺垫和引导。而不会让学生感到很突兀，不知道从哪个角度入手。我的这个引入设计看上去很简单，但却是有心之作，是以学生为中心的一个设计。从后面对三角形面积的探究来看，这一个引入做的还是很成功的。

本节课的第一个探究环节是对三角形面积公式的研究推导，学生先独立思考再小组交流讨论，让他们有了一定的结论和方法之后再交流讨论，很好的保护了学生自主学习的空间，又给予了他们展示自己解决问题能力的机会，同时学会了倾听别人的想法，让基础较差的同学在交流中得到点拨，成绩较好的同学在争论中加深了自己对问题的理解和思考。最后由学生展示探究结果，教师给予适当的评价和鼓励，让学生有学习的成就感，让他们有了继续学习的动力和兴趣。

本节课的第二个探究环节是由三角形的面积公式变形推导出正弦定理，这一环节比较简单，操作性强，学生一点就通。正弦定理的证明方法有很多，比如利用三角形全等、三角形的外接圆、向量法等，本节课我对教材做了改编，利用三角形的面积公式来推导正弦定理，思路自然，目标明确，易于学生接受和探究。在具体推导时，要注重学生思维的发展过程，这是数学的灵魂。

a的值。这一环节对于学生来说是一个难点。在sinA

a教学中恰当的使用了多媒体技术，利用几何画板探寻比值的值，由动到静，取得了很好sinA本节课的第三个探究环节是探寻比值的效果。也让学生感受到了数学是很有趣的。

在完成了正弦定理的推导之后，设计了两个简单的求边角问题。让学生进一步熟悉正弦定理的形式和结构特征。并让学生在每组的黑板上板书并讲解，即促使学生养成规范答题的习惯，又提升了数学语言的表达能力，还反馈了本节课的学习效果。

三面角的正弦定理及其应用篇10

本文现将三面角的正弦定理及其应用简介如下, 供高中教师教学参考.

一、三面角的正弦定理

设α、β、γ是三面角的三个平面角, 而A、B、C是它们所对的二面角.则

$\frac{\sin α}{s i n A} = \frac{\sin β}{s i n B} = \frac{\sin γ}{s i n C} .$

证明:如图1, 在三面角的棱c上, 截取线段SC, 使其长等于1, 从C点向角 (ab) 所在的平面作垂线, 设C′为这条垂线的垂足, 过C点作平面垂直于棱a或棱a的延长线, 并与棱a交于点A, 又过C点作平面垂直于棱b或棱b的延长线, 并与棱b交于点B.

现在让我们计算垂线CC′的长度.由直角三角形SCB (角B是直角) , 可以得出, CB=1·sinα.

现在用直角三角形CBC′ (角C′是直角) 来求垂线CC′的长度.

CC′=CBsinB=sinαsinB.

垂线CC′的长度还可用其他方法来求, 即利用直角三角形ACS和直角三角形CAC′, 来计算垂线CC′的长度, 引时可以得出:CC′=sinβsinA.

由上述垂线长CC′的两个表达式, 可以得到:sinαsinB=sinβsinA.

由此可以得到 $\frac{\sin α}{s i n A} = \frac{\sin β}{s i n B} .$

同理可得关系式 $\frac{\sin β}{s i n B} = \frac{\sin γ}{s i n C} .$

所以 $\frac{\sin α}{s i n A} = \frac{\sin β}{\sin Β} = \frac{\sin γ}{s i n C} .$

二、三面角正弦定理的应用

例1 求证:三棱锥的体积与其底面的选择无关.

证明:如图2, 首先, 我们证明:三棱锥的体积与选择哪一个侧面作为底面无关.设D-ABC是一个三棱锥.以α、β、γ表示三棱锥顶点D的三个面角, 即以α表示∠BDC, 以β表示∠ADC, 以γ表示∠ADB, 以a、b、c表示D为顶点的三面角的各个二面角, 即用a表示棱DA的二面角, 用b表示棱DB的二面角, 用c表示棱DC的二面角.

现在自顶点A向棱DC作垂线AE, 并自顶点A向侧面BDC作垂线AO.我们取侧面BDC为三棱锥的底面, 则

底面积 $S = \frac{1}{2} D B \cdot D C \cdot \sin α .$

三棱锥的高为H=AO=AE·sinc=

DA·sinβsinC.因而, 三棱锥的体积为:

$V = \frac{1}{6} D A \cdot D B \cdot D C \cdot \sin α \sin β \sin c .$

如果取侧面ADB为三棱锥的底面, 同理可求出三棱锥体积的另一表达式为:

$V = \frac{1}{6} D A \cdot D B \cdot D C \cdot \sin α \cdot \sin γ \cdot \sin b .$

在上面所得出的关于三棱锥体积的两个表达式中, 只有因子sinβsinc和sinγsinb不同, 但这两个因子是相等的.事实上, 根据正弦定理, 对以D为顶点的三面角, 可有

$\frac{\sin β}{s i n b} = \frac{\sin γ}{s i n c} .$

由此得出:sinβsinc=sinγsinb.

因而, 可得出如下结论:

三棱锥的体积与其底面的选择无关.

例2 证明:若对于任意三面角V-ABC和过顶点V的任一直线VO.设平面AVO与BVC、BVO与CVA、CVO与BVA的交线分别为VX、VY、VZ, 则

$\begin{array}{l} \frac{\sin ∠ B V X}{\sin ∠ X V C} \cdot \\ \frac{\sin ∠ C V Y}{\sin ∠ Y V A} \cdot \frac{\sin ∠ A V Ζ}{\sin ∠ Ζ V B} = 1 . \end{array}$

证明:如图3, 考虑三面角V-ABX和截面VCO在三面角V-ABX中, 简记二面角X-VC-O为C, C-VO-X为O, A-VZ-O为Z, 则二面角B-VZ-O为π-Z.在三面角V-BZC中, 将由正弦定理得到:

$\frac{\sin ∠ B V C}{\sin ∠ Ζ V B} = \frac{\sin (π - Ζ)}{s i n C} = \frac{\sin Ζ}{s i n C} . ①$

同理, 在三面角V-XOC中,

$\frac{\sin ∠ X V Ο}{\sin ∠ C V X} = \frac{s i n C}{\sin Ο} . ②$

在三面角V-ZOZ中,

$\frac{\sin ∠ A V Ζ}{\sin ∠ Ο V A} = \frac{\sin Ο}{\sin Ζ} . ③$

将①②③相乘, 并约简后得到:

$\frac{\sin ∠ B V C}{\sin ∠ C V X} \cdot \frac{\sin ∠ X V Ο}{\sin ∠ Ο V A} \cdot \frac{\sin ∠ A V Ζ}{\sin ∠ Ζ V B} = 1 .$

同理, 对于三面角V-AXC和截面VBO, 可得到 $\frac{\sin ∠ C V Y}{\sin ∠ Y V A} \cdot \frac{\sin ∠ A V Ο}{\sin ∠ Ο V X} \cdot \frac{\sin ∠ X V B}{\sin ∠ B V C} = 1$ .将上面两式相乘并约简, 即可得到所要证明的等式.

例3 设在三面角V-ABC中, 二面角B-VA-C的分角面 (平分此二面角的平面) 与面BVC交于VD, 则 $\frac{\sin ∠ B V D}{\sin ∠ D V C} = \frac{\sin ∠ B V A}{\sin ∠ C V A} .$

证明:如图4, 二面角B-VA-D和D-VA-C都等于 $\frac{A}{2}$ , 记二面角B-DV-A为D, 则二面角C-DV-A等于π-D, 在三面角V-ABD中, 由正弦定理, 得

$\begin{array}{l} \frac{\sin ∠ B V D}{\sin \frac{A}{2}} = \\ \frac{\sin ∠ A V B}{s i n D} ‚ \end{array}$

即 $\frac{\sin ∠ B V D}{\sin ∠ A V B} = \frac{\sin \frac{A}{2}}{s i n D} .$

而在三面角V-ADC中, 有

$\frac{\sin ∠ D V C}{\sin \frac{A}{2}} = \frac{\sin ∠ A V C}{\sin (π - D)} = \frac{\sin ∠ A V C}{s i n D} .$

从而 $\frac{\sin ∠ D V C}{\sin ∠ A V C} = \frac{\sin \frac{A}{2}}{s i n D} .$

故 $\frac{\sin ∠ B V D}{\sin ∠ A V B} = \frac{\sin ∠ D V C}{\sin ∠ A V C}$ ,

即, $\frac{\sin ∠ B V D}{\sin ∠ D V C} = \frac{\sin ∠ A V B}{\sin ∠ A V C} .$

说明:此结论, 类似于平面几何中的三角形内角平分线的性质定理.

综上所述可见:应用三面角的正弦定理解题, 不仅简洁明快, 解题过程简化, 而且避免了繁杂的计算, 易于思考, 易于求解, 若用“常规”方法求解, 则繁琐困难, 且构图复杂, 因而熟悉该定理的应用, 很有必要.

正弦定理与余弦定理的证明篇11

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（R为三角形外接圆的半径）

正弦定理(Sine theorem)

（1）已知三角形的两角与一边，解三角形

（2）已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形

（3）运用a：b：c=sinA：sinB：sinC解决角之间的转换关系直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦。

证明

步骤1

在锐角△ABC中，设BC=a，AC=b，AB=c。作CH⊥AB垂足为点HCH=a·sinB

CH=b·sinA

∴a·sinB=b·sinA

得到a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中,b/sinB=c/sinC

步骤2.证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

如图，任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.作直径BD交⊙O于D.连接DA.因为在同圆或等圆中直径所对的圆周角是直角，所以∠DAB=90度因为在同圆或等圆中同弧所对的圆周角相等，所以∠D等于∠ACB.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

类似可证其余两个等式。

余弦定理的证明：

在任意△ABC中

做AD⊥BC.∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c根据勾股定理可得：

AC^2=AD^2+DC^2

b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2

b^2=(sinB*c)^2+a^2-2ac*cosB+(cosB)^2*c^2b^2=(sinB^2+cosB^2)*c^2-2ac*cosB+a^2

b^2=c^2+a^2-2ac*cosB

《正弦定理》教案篇12

湖南师范大学数计院数学一班李雪

教材：人民教育出版社高中数学必修五第一章第一节

学生：高一年级学生

教学课时：8分钟

一、教材分析：

《正弦定理》是人教版教材必修五第一章《解三角形》的第一节内容，也是三角形理论中的一个重要内容，与初中学习的三角形的边和角的基本关系有密切的联系，是解三角形重要手段之一，也是解决实际生活中许多测量问题的工具。在此之前，学生已经学习过了三角形的相关性质，它是后续课程中解三角形的理论依据，因此熟练掌握正弦定理能为接下来学习解三角形打下坚实基础，并能在实际应用中灵活变通。

二、教学目标

1.知识与技能

理解并掌握正弦定理的证明，能初步运用正弦定理解三角形。

2.过程与方法

探索正弦定理的证明过程，由特殊到一般，数学归纳的思想证明结论。灌输数学建模的思想，学会在给定情境中建立数学模型。

3.情感、态度与价值观

通过对公式证明过程的探究与发现，提高学生对数学的兴趣，树立学好数

1学的信心，让学生感受数学公式的整洁对称美和与其数学的实际应用价值。

三、教学重点、难点：

重点：正弦定理的内容及其证明。

难点：正弦定理的探索及证明，由特殊到一般归纳出正弦定理，掌握正弦定理的内容及其证明方法。

四、教学过程：

1.探究假设

在直角三角形中，证明过程： abc成立，对其进行证明。sinAsinBsinC

得出结论：abc sinAsinBsinC

探究问题：这个结论是否能推广到一般三角形？若成立，给出理由。若不成立，能否举出反例呢？

2.验证假设

 首先在锐角三角形中进行讨论（板书）

验证过程：

过C点作AB边的垂线CD，sinACD

得到：b

sinBCD

CDbsinA

asinB b

sinBa

sinA

同理，过A点作BC边的垂线AE，sinCAE

得到：b

sinBAE

AEbsinCcsinB b

sinBc

sinC

得出结论：a

sinAb

sinBc

sinC

 再次在钝角三角形中进行讨论

3.得出结论：

正弦定理（laws of sines）: 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等.即：任意三角形中，a

sinAb

sinBc

sinC成立

4.例题详解：

例：AC=, BC=1,B=120o，求角A的度数。

解：由正弦定理可知

代入数据得：

故：

故A=150o或者30o

sin

BBC

sinA

sinA=

15.课堂小结：

 正弦定理abc及其证明 sinAsinBsinC

 正弦定理的简单应用

6.课后思考：

已知两边和其中一边的对角,求其他边和角时,三角形的解是唯一的吗？

正弦定理学生用篇13

学习目标：

①发现并掌握正弦定理及其证明方法；②会用正弦定理解决三角形中的简单问题。预习自测

1.正弦定理的数学表达式

2.一般地,把三角形的三个角A,B,C和它们的对边叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做.3．利用正弦定理可以解决两类三角形的问题(1)(2)

问题引入：

1、在任意三角形行中有大边对大角，小边对小角的边角关系.是否可以把边、角关系准确量化？

2、在ABC中，角A、B、C的正弦对边分别是a,b,c，你能发现它们之间有什么关系吗？结论★：。

二合作探究：

1、探究一：在直角三角形中，你能发现三边和三边所对角的正弦的关系吗？

2、探究二：能否推广到斜三角形？（先研究锐角三角形，再探究钝角三角形）

3、探究三：你能用其他方法证明吗？

4、正弦定理：

5、正弦定理的应用（能解决哪类问题）：

三例题讲解

例1 已知在ABC中，c10,A450,C300,求a,b和B

例2 ABC中，c6,A450,a2,求b和B,C

例3（1）在ABC中，b3,B600,c1,求a和A,C

（2）b40,c20,C45,解这个三角形

absinC，并运用此结论解决下面问题：

2（1）在ABC中，已知a2，b3，C150，求SABC；

（2）在ABC中，已知c10，A45，C30，求b和SABC；

例

4、仿照正弦定理的证法一，证明SABC

（3）在△ABC中，已知a＝2，cosC＝S△ABC＝43，则b＝________.四课堂练习：

4根据条件解三角形：

（1）c10,A45,C30,求边a,b.(2)A30,B120,b12,求边a,c.(3)a16,b163,A30,求角B，C和边c.(4)b13,a26,B30,解这个三角形。（5）b40,c20,C45,解这个三角形(6)c1，b

3，B60，求a,A，C。

1.1.2解三角形的进一步讨论学案

【学习目标】1.掌握已知三角形的两边及其中一边的对角时对解个数的讨论；2.三角形各种形状的判断方法；【学习重难点】1.已知三角形的两边及其中一边的对角时对解个数的讨论；三角形各种形状的判断方法。

一、情景问题：

我们在解三角形时可以会出现一些我们预想不到的结果，现在请大家思考下面问题：在ABC中，已知a22cm,b25cm,A133，解三角形。

二、探索研究：

探究一．在ABC中，已知a,b,A，讨论三角形解的情况

结论：

探究二你能画出图来表示上面各种情形下的三角形的解吗？

三、例题讲解

三角形解的情况的判定：

例1.根据下列条件，判断解三角形的情况(1)a＝20，b＝28，A＝120°.(2)a＝28，b＝20，A＝45°；(3)c＝54，b＝39，C＝115°；(4)b＝11，a＝20，B＝30°；



[变式练习1]

（1）在ABC中，已知a80，b100，A450，试判断此三角形的解的情况。（2）在ABC中，若a1，c，C400，则符合题意的b的值有_____个。

2（3）在ABC中，axcm，b2cm，B450，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x的取值范围。

正弦定理的变形：例2.在ABC中，A,B,C的对边分别是a,b,c，已知3acosAccosBbcosC.求cosA的值；

例3.在ABC中,已知

[变式练习2]

1.△ABC中，sinAsinBsinC，则△ABC为（）

A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形

2.已知ABC满足条件acosAbcosB，判断ABC的类型。

四.尝试小结

abc

,判断ABC的形状． cosAcosBcosC

五、课后作业：

1．在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，a＝2，则b等于()

62C.3D．26 2．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b等于()

32A．42B．43C．6D.3．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，A＝60°，a＝43，b＝42，则角B为()

A．45°或135°B．135°C．45°D．以上答案都不对 4．在△ABC中，a∶b∶c＝1∶5∶6，则sinA∶sinB∶sinC等于()

A．1∶5∶6B．6∶5∶1C．6∶1∶5D．不确定 5．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若A＝105°，B＝45°，b2，则c＝()

1A．1B.C．224cos Ab

6．在△ABC中，若，则△ABC是()

cos Ba

A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰三角形或直角三角形

7．已知△ABC中，AB3，AC＝1，∠B＝30°，则△ABC的面积为()

33333B.C.或3D.或 242

428．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若c＝，b＝，B＝120°，则a等于()

6B．2C.3D.2π

9．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a＝1，c＝3，C＝则A＝________.4310．在△ABC中，已知a＝，b＝4，A＝30°，则sinB＝________.11．在△ABC中，已知∠A＝30°，∠B＝120°，b＝12，则a＋c＝________.12．在△ABC中，a＝2bcosC，则△ABC的形状为________．

a＋b＋c

13．在△ABC中，A＝60°，a＝63，b＝12，S△ABC＝183，则________，sinA＋sinB＋sinC

c＝________.ABC中，sin2A = sin2B +sin2C，则△ABC的形状为

15、在ABC中，若B60，b76,a14，则A=。

16、在ABC中，已知a



【正弦定理教学设计1】推荐阅读：

1正弦定理学案06-15