《勾股定理》教学反思

《勾股定理》教学反思（共12篇）

《勾股定理》教学反思 篇1

勾股定理教学反思

数学组 李杰

勾股定理是中学数学几个重要定理之一，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，它紧密联系了数学中两个最基本的量——数与形，能够把形的特征（三角形中一个角是直角）转化成数量关系（两条直角边的平方和等于斜边的平方）勾股定理是一坛陈年佳酿，品之芬芳，余味无穷，堪称数形结合的典范，在理论上占有重要地位.。同时勾股定理的探索和证明蕴含着丰富的数学思想和研究方法，是培养学生思维品质的载体。它对数学发展具有重要作用。

本节课的基本教学思路：情境导入-探索结论-验证结论-初步应用结论-应用结论解决实际问题．具体而言：

利用愉快的拼图游戏、创设出一种愉悦的学习情境，诱发学生的学习情趣；让学生时常感受到“数学真奇妙！”，从而产生“我也想试一试！”的心理。让学生享受数学的有趣。

借助生活情境，使学生体会到我们的生活中蕴涵着丰富的数学问题，感受数学学习在生活中的作用。让学生享受数学的有用。

让学生享受数学的精彩：创设一切机会让学生学会思考，乐于思考、善于思考，在教学中有意识地安排一些问题让学生多途径思考，发现答案有多种多样；让他们体味出更多的精彩！享受数学的成功：“教育教学的本质就是帮助学生成功。”一次成功的机会却可以十倍地增强学生的信心；因此，课堂上教师应毫不吝啬自己鼓励的眼神、赞许的话语。

教学重点

勾股定理的探索过程．

教学难点

将边不在格线上的图形转化为边在格线上的图形，为便于计算图形面积．采用拼接，割补，平移的方法突破难点。学生易于接受，体现转化划归解决问题的思想。

导入新课，是课堂教学的重要一环。“好的开始是成功的一半”，在课的起始阶段，迅速集中学生的注意力，把他们的思绪带进特定的学习情境中，为激发学生浓厚的学习兴趣和强烈的求知欲，我创设了一个大树被台风吹断的情景。

在探究直角三角形三边关系时，通过网格中的直角边长为1的等腰直角三角形来分析，分析以边为边长的正方形面积之间的关系，因为图形特殊，学生容易从中得出关系。然后在将图形换为直角边长为3、4的情形，引导分析关系，再推广到一般的情形，最终得到结论。这里的做法由特殊到一般。步步推进，使学生易于接受。教学中我以教师为主导，以学生为主体，以知识为载体，以培养能力为重点。为学生创设“做数学、玩数学”的教学情境，让学生从“学会”到“会学”，从“会学”到“乐学”。、转变教学方式，让学生探索、研究、体会学习过程。

除了探究出勾股定理的内容以外，本节课还适时地向学生展现勾股定理的历史，激发学生爱国热情，培养学生的民族自豪感和探索创新的精神．

练习设计我立足巩固，着眼发展，兼顾差异，满足学生渴望发展要求。在教学应用勾股定理时，老是运用公式计算，学生感觉会比较厌倦，为了吸引学生注意力，活跃课堂气氛，拓宽学生思路，运用多媒体出示了一道实际问题：即学校草地问题。同学们一看，兴趣来了。使数学教学变得生机勃勃，学生喜欢数学，热爱数学。即巩固了知识，又对学生进行了品德教育。一举两得。

《勾股定理》教学反思 篇2

一、教学“勾股定理”, 培养学生学习数学的浓厚兴趣

新课标要求老师一定要转变角色, 变主角为配角, 把主动权交给学生, 让学生提出问题, 动手操作, 小组讨论, 合作交流, 然后教师再进行点评与引导, 这样做会有许多意外的收获, 并且能充分挖掘每个学生的潜能, 久而久之, 学生的综合能力就会逐渐增强.

我是这样引入新课的:教师举例:“某楼房三楼失火, 消防队员赶来救火, 了解到每层楼高3米, 消防队员取来10米长的云梯, 如果梯子的底部离墙基的距离是3米, 请问消防队员能否进入三楼灭火?”这样的问题设计有一定的挑战性, 其目的是激发学生的探究欲望, 引导学生将实际问题转化为数学问题, 也就是“已知一直角三角形的两边, 求第三边”的问题.学生感到困难, 老师指出:学习了这节课的内容后, 同学们就会有办法解决了.这样以实际问题作为切入点导入新课, 不仅自然, 而且反映了“数学来源于生活”, 把生活与学习数学紧密结合起来, 从而提高了学生学习数学的兴趣.

二、教学“勾股定理”, 让学生体会教学联系实际

我们在教学中都会有这样的体会:学生学会了数学知识, 却不会解决与之有关的实际问题, 造成了知识学习和知识应用的脱节, 感受不到数学与生活的联系.这也是当前课堂教学存在的普遍问题, 对于学生实践能力的培养非常不利.因此, 新课标要求老师一定要转变角色, 变主角为配角, 把主动权交给学生, 让学生提出问题, 动手操作, 小组讨论, 合作交流, 让他们尽情地表达, 然后教师再进行点评与引导, 这样做能充分发掘每个学生的潜能, 久而久之, 学生的综合能力就会逐渐提高.除了考试, 勾股定理在生活中很少用到, 但是工程技术人员用得比较多, 如家装时, 工人为了判断一个墙角是否标准直角.可以分别在墙角向两个墙面量出30cm, 40cm并标记在一个点, 然后量这两点间的距离是否是50cm.如果超出一定误差, 则说明墙角不是直角.在教学中, 教师要培养学生“数学来源于生活”, 把生活与学习数学紧密结合起来的思想.

例如:小明的妈妈买了一部29英寸 (74厘米) 的电视机, 小明量了电视机的屏幕后, 发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽, 他觉得一定是售货员搞错了.你同意他的想法吗?你能解释这是为什么吗?

解答:我们通常所说的29英寸或74厘米的电视机, 是指其荧屏对角线的长度.我们利用勾股定理可以迅速地计算出对角线的长度.

∵58+46=5480, 74=5476, 5480>5476,

∴售货员没有搞错。

三、教学“勾股定理”, 让学生体会数形结合的思想

在教学过程中, 转变师生角色, 让学生自主学习.注意引导学生体会数形结合的思想方法, 培养应用意识.勾股定理描述的是直角三角形的三边关系, 应用勾股定理的前提是这个三角形必须是直角三角形.应强调通过图形找出直角三角形三边之间的关系, 要从代数表示联想到有关的几何图形, 由几何图形联想到有关的代数表示.

勾股定理是人们在实践生活中, 通过图形的分割探讨图形之间面积的关系过程中总结出的一种规律性特征.在历史上经过数学家和数学爱好者的不懈努力, 现在记载的方法有很多种, 证明的思路主要是通过拼凑两个或多个面积相等的图形, 再依照面积相等的关系, 获得结果.这种用“面积法”验证勾股定理的方法更为直接、简洁.教学中要引导、鼓励学生多动手探索、多观察, 体验数学活动中充满着探索与创造.

例如:由四个全等三角形拼成的大正方形, 求大正方形的面积是多少?

计算方法一:正方形边长为 (a+b) , 则面积为 (a+b) 2.

计算方法二:正方形由四个直角三角形和一个正方形构成, 则面积等于各个部分面积之和为.

这时, 我们可以利用上面的结论验证勾股定理:

由两种方法算出的面积相等, 得出

化简后得到a2+b2=c2

总之, 数学是自然科学中的一门基础学科。作为从事基础数学教育的工作者, 我们有责任把学生领入数学科学的殿堂最有效的方法, 就是在日常数学教学中增加“学校数学”与“生活数学”的联系, 使学生从“知之者”变成为“乐之者”, 则事半功倍, 收效甚丰.

摘要：勾股定理是初中数学中的重要定理之一.它揭示了一个直角三角形三条边之间的数量关系, 是解决直角三角形问题的主要依据之一, 在生产生活实际中应用很广泛.对勾股定理的探索, 有助于提高学生学习兴趣, 发展学生的思维能力, 体会数形结合的思想, 解决实际应用问题.

关键词：勾股定理,数学学习兴趣,实际应用,数形结合思想

参考文献

[1]陆书环.数学教育学概论.北京:航空工业出版社, 1997.

对“勾股定理”的教学反思 篇3

关键词：教学反思；勾股定理

反思之一：教学观念的转变。

“教师教，学生听，教师问，学生答，教师出题，学生做”的传统教学摸模式，已严重阻碍了现代教育的发展。这种教育模式，不但无法培养学生的实践能力，而且会造成机械的学习知识，形成懒惰、空洞的学习态度，形成数学的呆子，就像有的大学毕业生都不知道1平方米到底有多大？因此，《新课标》要求老师一定要改变角色，变主角为配角，把主动权交给学生，让学生提出问题，动手操作，小组讨论，合作交流，把学生想到的，想说的想法和认识都让他们尽情地表达，然后教师再进行点评与引导，这样做会有许多意外的收获，而且能充分发挥挖掘每个学生的潜能，久而久之，学生的综合能力就会与日剧增。

上这节课前教师可以给学生布置任务：查阅有关勾股定理的资料（可上网查，也可查阅报刊、书籍），提前两三天由几位学生汇总(教师可适当指导)。这样可使学生在上这节课前就对勾股定理历史背景有全面的理解，从而使学生认识到勾股定理的重要性，学习勾股定理是非常必要的，激发学生的学习兴趣，对学生也是一次爱国主义教育，培养民族自豪感，激励他们奋发向上，同时培养学生的自学能力及归类总结能力。

反思之二：教学方式的转变。

学生学会了数学知识，却不会解决与之有关的实际问题，造成了知识学习和知识应用的脱节，感受不到数学与生活的联系，这是当今课堂教学存在的普遍问题，对于学生实践能力的培养非常不利的。现在的数学教学到处充斥着过量的、重复的题目训练。

笔者认为真正的教学方式的转变要体现在这两个方面：一是要关注学生学习的过程。首先要关注学生是否积极参加探索勾股定理的活动，关注学生能否在活动中积思考，能够探索出解决问题的方法，能否进行积极的联想（数形结合）以及学生能否有条理的表达活动过程和所获得的结论等；同时要关注学生的拼图过程，鼓励学生结合自己所拼得的正方形验证勾股定理。二是要关注学生学习的知识性及其实际应用。本节课的主要目的是掌握勾股定理，体会数形结合的思想。现在情况是学生知道了勾股定理而不知道在实际生活中如何运用勾股定理，我们在学生了解勾股定理以后可以出一个类似于《九章算术》中的应用题：在平静的湖面上，有一棵水草，它高出水面3分米，一阵风吹来，水草被吹到一边，草尖与水面平齐，已知水草移动的水平距离为6分米，问这里的水深是多少？

教学方式的转变在关注知识的形成同时，更加关注知识的应用，特别是所学知识在生活中的应用，真正起到学有所用而不是枯燥的理论知识。这一点上在新课标中体现的尤为明显。

反思之三：多媒体的重要辅助作用。

课堂教学中要正确地、充分地引导学生探究知识的形成过程，应创造让学生主动参与学习过程的条件，培养学生的观察能力、合作能力、探究能力，从而达到提高学生数学素质的目的。多媒体教学的优化组合，在帮助学生形成知识的过程中扮演着重要的角色。

通过面积计算来猜想勾股定理或是通过面积割补来验证勾股定理并不是所有的学生都是很清楚，教者可通过多媒体来演示其过程不仅使知识的形成更加的直观化，而且可以提高学生的学习兴趣。

反思之四：转变教学的评价方式，提高学生的自信心。

评价对于学生来说有两种评价的方式。一种是以他人评价为基础的，另一种是以自我评价为基础的。每个人素质生成都经历着这两种评价方式的发展过程，经历着一个从学会评价他人到学会评价自己的发展过程。实施他人评价，完善素质发展的他人监控机制很有必要。每个人都要以他人为镜，从他人这面镜子中照见自我。但发展的成熟、素质的完善主要建立在自我评价的基础上，是以素质的自我评价、自我调节、自我教育为标志的。因此要改变单纯由教师评价的现状，提倡评价主体的多元化，把教师评价、同学评价、家长评价及学生的自评相结合。

在本节课的教学中，教者可以从多方面对学生进行合适的评价。如以学生的课前知识准备是一种态度的评价，上课的拼图能力是一种动手能力的评价，对所得结论的分析是对猜想能力的一种评价，对实际问题的分析是转化能力的一种评价等等。只有老师给予学生适时的适当的评价，才能使学生充分认识到自身的价值，从而达到提高学生学习自信心的目的，反过来自信心的提高又促使学生学习的积极性大幅度的提高，真正达到从他律转为自律的目的。也只有这样才能提高课堂的教学效果，提高学生的学习成绩。

勾股定理教学反思 篇4

本节课把学生的探索活动放在首位，一方面要求学生在教师引导下自主探索，合作交流，另一方面要求学生对探究过程中用到的数学思想方法有一定的领悟和认识.从而教给学生探求知识的方法，教会学生获取知识的本领.并确立了如下的教学目标：

1、学生经历从数到形再由形到数的转化过程，经历探求三个正方形面积间的关系转化为三边数量关系的过程。并从过程中让学生体会数形结合思想，发展将未知转化为已知，由特殊推测一般的合情推理能力。

2、让学生经历图形分割实验、计算面积的过程，尝试从不同的角度寻求解决问题的方法，并能有效地解决问题，积累解决问题的经验，在过程中养成独立思考、合作交流的学习习惯;通过解决问题增强自信心，激发学习数学的兴趣。

3、通过老师的介绍，体会一种新的证明的方法——面积证法。并在老师的介绍中感受勾股定理的丰富文化内涵，激发生的热爱祖国悠久文化的思想感情，培养他们的民族自豪感。

勾股定理复习课教学反思 篇5

1.开始设计的问题：①勾股定理的图形证明，②直角三角形的判定及联想，③知识综合应用。通过对这些问题的回答，达到梳理本章内容，建立一定知识体系的目的。关注了学生运用例子说明自己对有关知识的理解，而不是简单复述教科书上的结论。

2.设计的题目既考察了对基本知识的掌握情况，又注重了综合课的特点，注重对所学知识的综合利用。

3.设计的问题尽量与实际问题有联系，体现了数学来源于实际，又应用于生活实际，这一点符合新课标的要求。

不足之处：

1.设计题目多，不够精，时间紧，没能按时完成。

2.教师不善于运用激励性的语言去激发学生学习的兴趣，导致有些学生还是没有掌握相关的知识点。

《勾股定理的逆定理》教学反思 篇6

在这节课的学习，我采用了学生为主体，教师引导的教学方式。首先由教师创设情境，提出问题，让学生回顾思考;然后由学生运用勾股定理的逆定理的知识解决实际问题，使学生自始至终感悟、体验、尝试到了知识的运用过程，品尝着成功后带来的乐趣。例如例题学习：某港口位于东西方向的海岸线上。“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里。如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗?

这是一个勾股定理逆定理的.应用题，我通过引导学生理解题意、画图分析、运用勾股定理的逆定理加以解答。分析和解答过程如下：

分析：我们根据题意画出图形可以看出，由于“远航”号的航向已知，如果求出两艘轮船的航向所成的角，就能知道“海天”号的方向了。

解：根据题意画出如下图形PQ=16×1.5=24PR=12×1.5=18QR=30∵242+182=302即PQ2+PR2=QR2∴∠RPQ=90°由“远航”号沿东北方向航行可知：∠QPS=45°∴∠RPS=45°即“海天”号沿西北方向航行。

在解决这个问题的过程中，不仅使学生学到获取知识的思想和方法，同时也体会到在解决问题的过程中与他人合作的重要性，而且为学生今后获取知识以及探索、发现和创造打下了良好的基础，更增强了学生敢于实践、勇于探索、不断创新和努力学习数学知识的信心和勇气。

《勾股定理》教学反思 篇7

“正弦定理”是《普通高中课程标准数学教科书·数学 (必修5) 》 (苏教版) 第一章“解三角形”第1节的内容, 它是对初中三角形的边角关系以及解直角三角形内容的延拓, 也是三角函数、平面向量等知识在三角形中的具体运用.作为单元的起始课, 应该在学生已有的三角形、平面几何、三角函数、向量等知识的基础上, 通过对三角形边角关系的量化探究, 发现并掌握正弦定理, 从而解决简单的三角形几何度量和测量问题, 并为后续内容的学习作知识与方法上的准备.

“正弦定理”的教学一直是一线教师研究探讨的课例, 但是大多都是通过情境问题, 引入测量问题, 进而由直角三角形归纳、探究定理的成立.笔者认为, 这样的引入有些牵强, 其实测量出三角形的两边及一边对角, 完全可以用平面几何知识, 作高, 构造直角三角形解决测量问题.数学发展过程中真实的探究过程不一定是通过测量中遇到了问题, 再想到探究此定理的存在, 而应该是通过直角三角形的性质推广到一般三角形的这种由特殊到一般的思想的体现, 基于以上思考, 笔者改变了一般的情境引入, 基于学生已有的知识, 通过问题解决, 引发学生对一般三角形中结论的探索, 这也是培养学生思维的创造性的重要方式.下面谈谈本节课的教学实践与反思, 以期同行指正.

1 教学实录

环节1:回顾旧知, 奠定基础

问题1 初中我们学习了三角形的一些知识, 在△ABC中, A, B, C的对边分别是a, b, c, 则三边和三角之间有何关系?

生1:两边之和大于第三边, 如:a+b>c, a+c>b, ……

生2:大边对大角, 大角对大边, 如:a>bA>B.

生3:三角形内角和为180°, sin (A+B) =sin C, ……

设计意图这些知识均为学生熟知, 通过回顾, 唤醒学生已有的知识, 为后面的定理猜想、证明做好基本知识的铺垫.

问题2 已知△ABC中, AB=4, ∠C=90°, ∠B=45°, 则AC=____.

由直角三角形性质, 学生易得

问题3 将∠C=90°改为∠C=60°, 结果如何?改为∠C=120°, 结果又如何?

引例已知 △ABC中, AB=4, ∠B=45°.若∠C=60°, 则AC=__;若∠C=120°, 则AC=__.

(学生通过平面几何知识, 作CD⊥AB, 在直角三角形中分别求出AD , 进而求出AC.)

追问:你是如何想到作高?作用是什么?

设计意图引例将角度稍作变式, 从学生熟悉的直角自然过渡到一般的锐角、钝角, 从而引起学生的认知冲突, 激发学生获取新知识的欲望.这样促使学生在问题解决的过程中不断回顾已有的知识结构, 将新问题与已有知识对比, 转化为直角三角形的知识求解, 体会证明定理的本质:构造直角, 也为后面定理的证明埋下伏笔.同时在解决问题的过程中渗透转化与化归这一重要数学思想.

问题4 由引例可知, 我们需要寻求一般三角形中边、角的定量关系.直角三角形是特殊的三角形, 其很多性质我们已经熟悉, 那么在直角三角形中, 如图1, △ABC中, ∠C=90°, 三边和三角有怎样的关系?

生4:A+B=90°, c2=a2+b2;sin A=a/c, sin B=b/c, 即边长c可以化为

师:数学上讲究的和谐美、统一美, 式 (1) 可以写成

设计意图直角三角形是初中阶段研究比较多的几何图形, 从特殊三角形入手, 很自然地引导学生思考能否将结论过渡到一般三角形, 另外, 也可以让学生体会一下数学的和谐美、统一美, 注重数学的文化教育.

环节2:借助特例, 印证猜想

问题5 式 (2) 在一般三角形中是否成立呢?

生 (众) :可以先举几个例子试试.

学生跃跃欲试, 纷纷举出特例:

若∠A, ∠B, ∠C分别为60°, 60°, 60°, 对应的边长a∶b∶c为1∶1∶1, 对应角的正弦值分别为

若∠A, ∠B, ∠C分别为30°, 30°, 120°, 对应的边长a∶b∶c为对应角的正弦值分别为

通过特例观察发现结论成立.

设计意图特殊到一般是一种重要的思想方法, 这里再一次引导学生在解决陌生问题时, 可以先用特例探路.另外, 学生的充分交流, 各种思想的碰撞, 更加有助于发现问题的本质, 为后续定理的形成和证明打下基础.

追问:任意角是否成立?

借助几何画板演示任意三角形中上述各边角关系比值的变化, 拖动三角形的任意顶点, 比值仍然为定值, 如图2.

设计意图通过几何画板演示, 验证此结论的正确性, 充分发挥现代教育技术在数学教学中的作用.

环节3:证明猜想, 形成定理

问题6 几何画板演示是正确的, 然而有图未必有真相, 数学上讲究的是严谨的证明, 在一般三角形中如何证明?

(学生思考, 交流, 由于有了前面引例的铺垫, 将一般三角形转化为直角三角形的思路不难得到)

生5:由于已知正弦定理在直角三角形里是成立的, 故想到将斜三角形转化为直角三角形解决, 化“斜”为“直”, 通过作高即可解决.

生5:不妨设 △ABC为锐角三角形, 则过点A作AD⊥BC于D, 如图3, 此时有

所以csin B=bsin C,

即

同理过点B作BE⊥AC于E, 可得

所以

追问:当△ABC是钝角三角形结论还成立吗?

生5:成立的, 设角C为钝角, 过点A作AD ⊥BC, 交BC的延长线于点D, 如图4, 则有

且

由此, 得

同理可得

故有

师:通过证明我们发现, 在一个三角形中, 有成立, 我们称之为正弦定理.你能用语言表述出来吗?

生 (众) :在三角形中, 各边与它所对角的正弦的比值相等, 即

设计意图定理形成伊始, 让学生用语言概括, 一方面是为了让学生能更深入的理解定理, 另一方面, 培养学生的抽象概括能力, 让学生真正深度参与到课堂中去.

问题7 证明定理的本质是构造直角, 除了作高, 还有哪些方法可以构造直角?

(生思考后交流)

生6:可以通过建系, 引入坐标.如图5, 以A为原点, 以射线AB的方向为x轴正方向建立直角坐标系, C点在y轴上的射影为C′, 则

OC′=BC·sin B=asin B,

即asin B=bsin A,

即

同理

即得

师:很好.利用坐标关系对OC′的长度采用“算两次”的思想, 建立等式.

设计意图让学生进一步对比这两种证明方法, 发现其中的相同之处, 更能抓住定理证明的本质, 体会引入坐标其实也是构造直角的一种方式, 进一步渗透转化与化归的思想方法.

问题8 上面证法中, 通过作高或建系构造直角证明了定理.我们知道, 三角与向量是密不可分的, 若引入向量, 还可以怎么证明? (学生陷入沉思无果)

追问:怎样将此向量关系转化为数量关系?

生 (众) :作数量积.

追问:很好, 那如何转化?

(学生小组思考、交流、讨论, 教师巡视)

启发:所证变形后得到什么?你会联想到向量的什么知识?

生7:即证asin B-bsin A=0, asinCcsin A=0等, 要使等式为0, 在向量关系中, 应该是数量积为0, 那应该要构造垂直向量.

师:在三角形中怎样出现垂直向量?

生 (众) :作高.

师:哪位学生上来证明一下?

生8:不妨设∠C为最大角, 过B作BD⊥AC于D, 如图6, 因为所以

即

所以

即

同理, 过C作CD′⊥AB, 可得

所以

师:刚才大家的证明是假设∠C为锐角或直角时定理是成立的, 那么当∠C为钝角时同理可得, 大家课后完成.

设计意图让学生体会垂直在向量中的运用以及三角与向量是密不可分的, 可以通过向量来解决三角中的很多问题, 为以后解决三角、向量一类综合问题打下坚实的基础.

师:大家刚才用了几种不同的方法证明这个定理, 其本质都是构造直角, 转化到直角三角形中去解决.

问题9 根据刚才的证明, 三个比值均为同一个常数, 那这个常数有没有几何意义呢?能否从特例三角形中猜想得到呢?

(学生从特殊的直角三角形和等边三角形中得出结论, 此常数恰好为外接圆的直径2R)

追问:能否利用这个比例常数均等于外接圆直径来证明正弦定理?

(学生尝试通过三角形的外接圆来构造直角三角形)

生9:如图7, 锐角三角形ABC中, ∠A=∠D, 所以

同理

在钝角三角形中同理可得, 此处略, 同学们课后完成.

设计意图通过研究探讨比值的几何意义来引导学生用构造外接圆的方法证明, 不仅使得证明过程自然合理, 而且加深了学生对定理的理解, 更加体现了定理的价值.

环节4:解读定理, 深化理解

问题10刚才用了几种方法证明了此定理, 并且知道了比值的意义, 因此, 此定理可以写成:你能否用自己的语言来归纳公式的一些特点.

学生思考, 教师点拨、引导, 共同总结.定理的结果是一个比值 (边与对角正弦的比值) ;三个比值相等;注意边角对应性;三角函数的名称是正弦 (即正弦定理名称的由来) .

追问你能给出此公式的几种变形吗?

(1) a=2Rsin A, b=2Rsin B, c=2Rsin C;

(3) a∶b∶c∶=sin A∶sin B∶sin C;

由合分比的性质, 我们还可以得到:

设计意图正弦定理的作用是把边的关系转化为角的关系, 也可以把角的关系转化为边的关系, 即通过边角互换, 使许多问题得以解决.让学生给出定理变形, 进一步让学生加深对定理这种功能的理解.

环节5:定理运用, 熟练技能

学生根据定理很快可以解决问题3的引例.

设计意图定理的直接运用, 对其在题中的运用有了初步了解, 并与前面的问题遥相呼应, 体现了学以致用的原则.

问题11 在问题3的引例中, 已知了三角形的怎样的边角关系?利用正弦定理可以求出哪些边角?你能总结出利用正弦定理可以求出哪类三角形问题? (学生思考总结)

(1) 已知两角一边, 求其它两边一角.如

(2) 已知两边和其中一边的对角, 求其它的边和角.

师:从刚才解题的过程中, 我们已知两角和一角的对边, 解出了其余的边和角, 我们把这个过程称之为解三角形.

设计意图给学生介绍解三角形概念, 形成完整的知识结构.

例1已知:△ABC中, A=30°, a=20, C=45°, 求B, b, c.

(学生思考回答解题思路, 教师板书, 规范解题步骤)

解因为A=30°, c=45°, 所以

B=180°- (A+C) =105°,

又

所以

设计意图进一步熟悉定理的运用, 规范解题步骤.

例2在△ABC中, b=6, A=60°, 求B.

解因为sin B=1/2, B=30°或150°, 又因为a>b, 所以B=30°.

例3 在△ABC中, c=槡6, A=45°, a=2, 求b和B, c.

解因为所以

因为csin A<a<c, 所以C有两解, 则C=60°或120°.

所以当C=60°时, B=75°,

当C=120°时, B=15°,

设计意图在解三角形时, 涉及到已知正弦值求角的问题, 结果可能会出现一解、两解、无解的情况.如何利用好“大边对大角”, 利用好数形结合思想, 是例2和例3的目的, 也有助于学生掌握分类讨论的数学思想.

环节6:回顾反思, 提炼思想

教师、学生共同总结主要内容.主要是学生尝试小结, 教师及时补充提炼, 形成“三个一”:

一次经历:经历了正弦定理的内容的探索过程、证明方法及运用.

一次收获:收获了正弦定理的内容及其变形运用;sin Asin Bsin C正弦定理的应用范围;证明正弦定理的多种方法等等.

一次体会:体会了分类讨论、数形结合、转化与化归等数学思想在解题中的运用.

设计意图通过师生共同总结, 理清所学内容、形成知识框架, 学生收获的不仅仅是正弦定理这一基础知识, 而且体验了知识的生成过程, 感受了数学思想方法的运用, 培养学生的归纳总结能力和语言表达能力, 促进学生数学思维能力的提升.

2教学反思

2.1基于学生学情, 追求自然合理

要使课堂教学本真、有效, 那么就应该以钻研教材、理解学生、研究学情开始.课堂教学的主体是学生, 而学生的认知水平参差不齐, 所以课堂教学如果不深入钻研教材、研究学情、理解学生, 就无法做到因材施教、有的放矢.正弦定理从发现、证明到应用, 每一步都需要大量的思考、必要的运算、各种信息的整合、思维方向的调整, 直到抽象概括出定理.课堂上每一个问题的提出, 都是学生思维活动的开始, 教师只需在思维发展的十字路口, 当好引导者, 适时点拨、启发、指导, 探究活动就能取得实效.例如, 正弦定理的引入立足于学生已有的知识, 力求朴实自然;在正弦定理的证明探究中, 根据已有知识经验, 学生能想到构造直角三角形来证明定理, 但对向量法和坐标法证明定理学生基本想不到, 教师应通过精心预设引导提示语实现想法的自然性, 引导、追问、启发学生如何想到用向量法和坐标法证明定理, 怎样用向量法和坐标法证明定理.

2.2 基于“四基”达成, 注重问题引领

教育部2011年版义务教育数学课标中提出了“四基”, 即数学的基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验.在基础知识的积累过程中, 通过对基本技能的演练, 逐步形成思想方法, 并从中获得基本活动经验, 从而形成一个能力立体结构图.强调数学教学是问题引领的数学活动的教学, 学生在各种数学活动中生成、拓展、提升与交流数学活动经验的过程, 同时也是获得数学基础知识、基本技能与基本思想的过程.“四基”之间密切联系, 互相促进, 形成一个有机整体.本课例中, 课堂上通过教师问题引导, 让定理的证明过程逐步展开, 并能够引导学生积极思考, 能有效地表达自己的观点, 形成自己的理解力.例如, 引导学生用构造外接圆的方法证明定理时, 先让学生猜想比值的几何意义, 再构造外接圆去证明定理就显得自然、合理, 并且在讨论过程中教会学生如何发现问题、分析问题、解决问题, 学会如何进行比较、分析、综合, 从而学会思考问题的方法, 发展数学思维能力.我们在平时的教学中, 面对一些新出现的问题, 都能为学生构建前后一致逻辑连贯的学习过程, 想学生的困难、思路, 那么以后学生遇到类似问题时就会有自己的解决办法, 提升自学能力, 让学生学会学习和思考, 从而培养学生的认知力.

2.3 基于过程“建构”, 立足思维参与

波利亚说:“学习东西最好的途径是亲自去发现它, 最富有成效的学习是自己去探索、去发现”.新课程强调的是过程学习, 倡导学生在经历和体验中获得知识, 让学生自己去“发现数学”.为了有好的成绩, 为了学生能“熟能生巧”, 教学中往往会花费大量时间搞“题海战术”来强化, 导致课堂教学过于重结论, 轻过程.在数学概念公式定理的教学中, 往往采用的所谓“掐头去尾烧中段”的方法, 把学生强化成只会套用公式的解题机器, 这样的学生面对新问题就束手无策.

本节课立足点是想尽可能的展示问题的发生、发展、完善、应用等过程, 以问题为导向设计教学情境, 促使学生去思考问题, 去发现问题, 也尽可能让学生自主探究、加强学生间的思想碰撞.例如, 通过引例的展示, 引起学生对新问题与已有知识的认知冲突, 再通过对直角三角形性质的一般化的探究, 进而发现并逐步证明定理, 让学生经历了整个知识形成的过程, 感受到创新的快乐, 激发学生学习数学的兴趣, 体会数学的自然美.

参考文献

《勾股定理》教学反思 篇8

[关键词] 勾股定理；直角三角形；关系；问题

勾股定理是初中数学教学的一个重点、难点问题，笔者在教学设计中首先从其内容出发，阐述勾股定理的教育价值和学科作用，接着就该节内容的课堂组织策略进行分析.

勾股定理的内容

搞清楚勾股定理的内容是有效实施教学的前提，具体的可以从代数和几何两个角度进行叙述.

1. 代数角度的叙述

文字表征：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

符号表征：a2+b2=c2（a，b和c分别表示两直角边和斜边）.

2. 几何角度的叙述

文字表征：一个直角三角形，以两直角边为边的两个正方形的面积之和等于以斜边为边的正方形的面积.

图像表征：如图1所示.

勾股定理的教育价值

一个知识的教育价值是多方面的，对于勾股定理这个内容，其教育价值和学科价值有如下几个方面：

1. 文化价值

从数学史上看，人们发现勾股定理、验证勾股定理及应用勾股定理的过程蕴涵着丰富的文化价值，我们在教学过程中注重这些数学史、研究过程，有助于激发学生的数学学习兴趣，在学习过程中体悟其存在的意义和实际价值.

2. 学科价值

从勾股定理的内容来看，其同时具有代数和几何的双重特征，是初中数学阶段几何与代数之间问题研究的一个重要桥梁，从勾股定理的证明方法来看，“演绎法”“变换法”和“代数法”三种方法教给学生，尤其是学生通过学习变换法（拼图法），能够帮助他们感受和理解运动与变换.

知识的教育价值不仅仅表现在概念和规律本身，在教学中还应该渗透知识探究和被发现的过程. 勾股定理的发现、验证整个过程均蕴含着丰富的、可渗透的思维素材，和学生一起探索和证明勾股定理，能够丰富学生的学习经验，感悟数学学习和不断探索未知的价值：

（1）学生在探索过程中，探究图形基本元素之间的关系、几何结构，而这一过程必然涉及空间推理和演算，从中学生能够感悟到数形结合的思想方法，同时体会推理和证明的力量.

（2）学生通过勾股定理的探索和证明，会自然而然地形成一种意识，那就是要了解我们生存的空间，必须要学习更多的数学工具，并合理地应用.

勾股定理知识系统内结构分析

数学知识具有较强的系统性和完整性，置于知识系统中，勾股定理与其他知识有着怎样的联系，学生在学习进程中又有怎样的连贯性呢？

1. 知识间的横向联系

《勾股定理》在初中阶段与其他数学知识内容密切联系，如无理数、三角函数、方程、四边形、圆等知识.

2. 知识间的纵向联系

从学生的学习进程来看，初中之前，学生在小学阶段对三角形的三边关系有了一个初步的了解：两边之和大于第三边；步入初中，学习勾股定理内容前，学生通过探索也对直角三角形的性质有了一定的了解：“斜边上的中线等于斜边的一半，30°角所对直角边是斜边的一半. ”

那么，勾股定理在这里又有怎样的作用呢？学习了这一内容后，学生可以进一步从边的角度来定量地刻画直角三角形的特征，由此进一步深化学生对直角三角形的认知.

学生从初中步入高中阶段后呢？勾股定理有没有其价值呢？学生在高中将要继续学习任意三角形中边长与角度之间的数量关系，在学习和理解正弦定理和余弦定理时，需要用到勾股定理，可以将勾股定理视作为余弦定理的一种特殊情况.

整个学习过程对直角三角形边角的关系，是从定性到定量，从一般到特殊再到一般的思维进程.

帮助学生学会勾股定理的教学策略

如何帮助学生学会勾股定理呢？

1. “探索→猜想→证明”法

笔者发现当前有部分教师在和学生探究勾股定理时采用的方法是：首先让学生测量直角三角形三条边的长，接着要求学生猜想三条边长之间存在怎样的数量关系，在学生猜想出三边之间的平方关系后，再证明勾股定理.

这样的方式有怎样的缺点呢？

笔者曾经也尝试过这种方式，看似逻辑性很好，但是关键在于学生不容易猜想出三边之间的平方关系，猜想卡壳了，后面的证明就出不来了. 为什么会出现这样的困难呢？原因有二：一是学生在测量时本身就有误差；二是从思维角度来看，学生的确很难想到平方关系.

2. 利用方格纸进行探究

提供如图2、图3所示的方格纸.

首先，让学生计算直角三角形三边的平方分别是多少，只要能计算出三边的平方，直角三角形三边之间的平方关系就很容易猜想出来.

这个时候学生会遇到怎样的困难呢？

因为直角三角形边长的平方实际上就是每边上的正方形的面积. 其中正方形1和正方形2的面积可以通过数方格的方法直接数出来，而斜边上正方形（正方形3）的面积的计算则有一定的困难.

新的问题又出现了，怎么办呢？方法又有两个.

（1）“割”，如图4、图5所示.

（2）“补”，如图6、图7所示.

《勾股定理》教学反思 篇9

在本节课的教学中主要要引导学生掌握两种数学思想方法：

1．数形结合的思想方法

我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．

在本节课的教学中，我们将探索直角三角形的三边之间的关系，并运用所得的结论解决问题，这里体现了“数形”结合的思想．

2．转化的思想方法

在分析解决问题的过程中，将实际问题转化为勾股定理及其逆定理这一模型，为分析问题和解决问题创造有利条件．

3．方程的思想方法

在求有关线段的长度时，利用直角三角形这一基本图形，运用勾股定理及其逆定理巧设未知数，建立方程达到解决问题的目的．

反思成功的原因：第一、教学方法有了创新，采取了互动式教学，对学生来说很新奇．第二、采用填空式方式，将难点分散降低．第三、鼓励每个学生，给每个学生展示自己的机会，调动中下等学生，给他们机会发言．

《余弦定理》教学反思 篇10

教科书直接从三角形三边的向量出发，将向量等式转化为数量关系，得到余弦定理，言简意赅，简洁明快，但给人感觉似乎跳跃较大，不够自然，因此在创设问题情境中加了一个铺垫，即让学生想用向量方法证明勾股定理，再由特殊到一般，将直角三角形推广为任意三角形，余弦定理水到渠成，并与勾股定理统一起来，这一尝试是想回答：一个结论源自何处，是怎样想到的。正弦定理和余弦定理源于向量的加减法运算，其实向量的加减法的三角法则和平行四四边形法则从形上揭示了三角形的边角关系，而正弦定理与余弦定理是从数量关系上揭示了三角形的边角关系，向量的数量积则打通了三角形边角的数形联系，因此用向量方法证明正、余弦定理比较简洁，在证明余弦定理时，让学生自主探究，寻找新的证法，拓展思维，打通余弦定理与正弦定理、向量、解析几何、平面几何的联系，在比较各种证法后体会到向量证法的优美简洁，使知识交融、方法熟练、能力提升。

数学教学的主要目标是激发学生的潜能，教会学生思考，让学生变得聪明，学会数学的发现问题，具有创新品质，具备数学文化素养是题中之义，想一想，成人工作以后，有多少人会再用到余弦定理，但围绕余弦定理学生学到的发现方法、思维方式、探究创造与数学精神则会受用不尽。数学教学活动首先应围绕培养学生兴趣、激发原动力，让学生想学数学这门课，同时指导学生掌握数学学习的一般方法，具备终身学习的基础。教师要不断提出好的数学问题，还要教会学生提出问题，培养学生发现问题的意识和方法，并逐步将发现问题的意识变成直觉和习惯，在本节课中，通过余弦定理的发现过程，培养学生观察、类比、发现、推理的能力，学生在教师引导下，自主思考、探究、小组合作相互交流启发、思维碰撞，寻找不同的证明方法，既培养了学生学习数学的兴趣，同时掌握了学习概念、定理的基本方法，增强了学生的问题意识。其次，掌握正确的学习方法，没有正确的学习方法，兴趣不可能持久，概念、定理、公式、法则的学习方法是学习数学的主要方法，学习的过程就是知其然，知其所以然、举一反三的过程，学习余弦定理的过程正是指导学生掌握学习数学的良好学习方法的范例，引导学生发现余弦定理的来龙去脉，掌握余弦定理证明方法，理解余弦定理与其他知识的密切联系，应用余弦定理解决其他问题。在余弦定理教学中，寻求一题多解，探究证明余弦定理的多种方法，指导一题多变，改变余弦定理的形式，如已知两边夹角求第三边的公式、已知三边求角的余弦值的公式，启发学生一题多想，引导学生思考余弦定理与正弦定理的联系，与勾股定理的联系、与向量的联系、与三角知识的联系以及与其他知识方法的联系，通过不断改变方法、改变形式、改变思维方式，夯实了数学基础，打通了知识联系，掌握了数学的基本方法，丰富了数学基本活动经验，激发了数学创造思维和潜能。

《勾股定理》教学反思 篇11

一、方程思想

方程思想是从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，运用定义、公式、性质、定理和已知条件、隐含条件，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组等数学模型，从而使问题得到解决的思想方法.在勾股定理教学中，教师要注重培养学生方程思想，让学生学会设直角三角形的一边为x，再用x的代数式表示其他边，然后根据“勾2+股2=弦2”列出方程，最后解决问题.

【例1】 如图1，△ABC是直角三角形，DE是AB的垂直平分线，若AC=4cm，BC=3cm，求CE的长.

解：设CE=xcm，∵AC=4cm，

∴AE=AC-CE=（4-x）cm，

通过以上设计的例题教学，一方面增强了学生探究的兴趣，另一方面也训练了学生如何将实际问题转化为数学问题，即建模的能力.如此设计例题教学符合建构主义学习观，符合高中阶段学生的思维特征，能促进学生创造性思维能力的培养，让例题教学的质量更高.

四、化归思想

化归思想是指在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决问题的一种方法.教育家波利亚曾经说过：“解数学题转化是关键，就是把那些陌生的、较为困难或复杂抽象的数学问题，通过某种转化方式转化为某些熟悉的、已经解决的或容易解决的数学问题.”因此，教师在教学过程中要注意渗透转化思想，从而提高学生应用勾股定理解决实际问题的能力.

【例4】 如图4，一块长、宽、高分别是6cm、4cm、3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路线的长是（ ）.

连接EF，在Rt△EBF中，根据勾股定理得

BE2+BF2=EF2.

∵∠DCE=45°，

∴∠2+∠4=∠4+∠3=45°，即∠DCE=∠ECF，

∴△CDE≌△CFE，

∴DE=EF，

∴DE2=AD2+BE2.

勾股定理这章蕴含了多种数学思想，而数学思想是对数学知识和方法的本质认识，是对数学规律的理性认识，是数学教学的灵魂.因此，教师在勾股定理教学中要注意数学思想的渗透，让学生掌握这些基本的数学思想方法，从而提高他们的解题能力.endprint

数学思想方法是人们对数学知识内容本质的认识，是人们学习和应用数学知识过程中思维活动的向导.勾股定理是数学中的一个重要定理，因此在教学过程中要注意渗透以下五种思想，从而提高学生的解题能力.

一、方程思想

方程思想是从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，运用定义、公式、性质、定理和已知条件、隐含条件，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组等数学模型，从而使问题得到解决的思想方法.在勾股定理教学中，教师要注重培养学生方程思想，让学生学会设直角三角形的一边为x，再用x的代数式表示其他边，然后根据“勾2+股2=弦2”列出方程，最后解决问题.

【例1】 如图1，△ABC是直角三角形，DE是AB的垂直平分线，若AC=4cm，BC=3cm，求CE的长.

解：设CE=xcm，∵AC=4cm，

∴AE=AC-CE=（4-x）cm，

通过以上设计的例题教学，一方面增强了学生探究的兴趣，另一方面也训练了学生如何将实际问题转化为数学问题，即建模的能力.如此设计例题教学符合建构主义学习观，符合高中阶段学生的思维特征，能促进学生创造性思维能力的培养，让例题教学的质量更高.

四、化归思想

化归思想是指在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决问题的一种方法.教育家波利亚曾经说过：“解数学题转化是关键，就是把那些陌生的、较为困难或复杂抽象的数学问题，通过某种转化方式转化为某些熟悉的、已经解决的或容易解决的数学问题.”因此，教师在教学过程中要注意渗透转化思想，从而提高学生应用勾股定理解决实际问题的能力.

【例4】 如图4，一块长、宽、高分别是6cm、4cm、3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路线的长是（ ）.

连接EF，在Rt△EBF中，根据勾股定理得

BE2+BF2=EF2.

∵∠DCE=45°，

∴∠2+∠4=∠4+∠3=45°，即∠DCE=∠ECF，

∴△CDE≌△CFE，

∴DE=EF，

∴DE2=AD2+BE2.

勾股定理这章蕴含了多种数学思想，而数学思想是对数学知识和方法的本质认识，是对数学规律的理性认识，是数学教学的灵魂.因此，教师在勾股定理教学中要注意数学思想的渗透，让学生掌握这些基本的数学思想方法，从而提高他们的解题能力.endprint

数学思想方法是人们对数学知识内容本质的认识，是人们学习和应用数学知识过程中思维活动的向导.勾股定理是数学中的一个重要定理，因此在教学过程中要注意渗透以下五种思想，从而提高学生的解题能力.

一、方程思想

方程思想是从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，运用定义、公式、性质、定理和已知条件、隐含条件，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组等数学模型，从而使问题得到解决的思想方法.在勾股定理教学中，教师要注重培养学生方程思想，让学生学会设直角三角形的一边为x，再用x的代数式表示其他边，然后根据“勾2+股2=弦2”列出方程，最后解决问题.

【例1】 如图1，△ABC是直角三角形，DE是AB的垂直平分线，若AC=4cm，BC=3cm，求CE的长.

解：设CE=xcm，∵AC=4cm，

∴AE=AC-CE=（4-x）cm，

通过以上设计的例题教学，一方面增强了学生探究的兴趣，另一方面也训练了学生如何将实际问题转化为数学问题，即建模的能力.如此设计例题教学符合建构主义学习观，符合高中阶段学生的思维特征，能促进学生创造性思维能力的培养，让例题教学的质量更高.

四、化归思想

化归思想是指在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决问题的一种方法.教育家波利亚曾经说过：“解数学题转化是关键，就是把那些陌生的、较为困难或复杂抽象的数学问题，通过某种转化方式转化为某些熟悉的、已经解决的或容易解决的数学问题.”因此，教师在教学过程中要注意渗透转化思想，从而提高学生应用勾股定理解决实际问题的能力.

【例4】 如图4，一块长、宽、高分别是6cm、4cm、3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路线的长是（ ）.

连接EF，在Rt△EBF中，根据勾股定理得

BE2+BF2=EF2.

∵∠DCE=45°，

∴∠2+∠4=∠4+∠3=45°，即∠DCE=∠ECF，

∴△CDE≌△CFE，

∴DE=EF，

∴DE2=AD2+BE2.

《勾股定理》教学设计 篇12

一、教学目标

知识与技能目标:了解利用拼图验证勾股定理的方法, 培养学生正确的观察事物、分析事物能力, 理解并掌握勾股定理及其证明;学会利用勾股定理求直角三角形的边长。

过程与方法目标:通过拼图验证勾股定理的方法, 体会数形结合的思想, 在学生经历“观察—猜想—归纳—验证”勾股定理的过程中, 培养学生推理能力, 体会数形结合和从特殊到一般的逻辑推理思想。

情感态度与价值观目标:通过对勾股定理历史了解, 感受数学文化, 感受数学来源于生活的道理, 激发学生的学习兴趣;在探究活动中, 培养学生的合作交流意识和探索精神。

教学重点:勾股定理的探讨与验证。

教学难点:用拼图方法证明勾股定理。

教学方法:本节课采用学生合作探究的学习方法, 在学生充分讨论探究的基础上共同得出结论:a2+b2=c2。

二、教学准备

教具:配套课堂使用的教学多媒体课件。展示合适的砖铺地面的图纸, 相同规格的等腰直角三角形片、普通的直角三角形片若干张, 拼图板, 三角板等。

学具:相同规格的等腰直角三角形片、普通的直角三角形片若干张、拼图板。

三、教学过程

1.设置情景, 引入新课

首先利用多媒体创设情境, 利用多媒体大屏幕演示勾股定理推导图片, 通过欣赏图片, 激发学生学习兴趣, 自然引出本节课的课题。

活动1:创设情境→激发兴趣。用多媒体课件在大屏幕上展示2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会场及本届大会会徽的图案。它象一个转动的风车, 挥舞着手臂, 欢迎来自世界各国的数学家们 (如图1、图2) 。其中, 四边形ABCD和EFGH都是正方形。

教师:同学们, 你们见过这个图案吗?

教师通过多媒体展示2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会场及第24届国际数学家大会会徽图案, 引导学生观察图2。

教师:同学们, 你们听说过“勾股定理”吗?第24届国际数学家大会会徽图案是由我国汉代的赵爽在用来证明勾股定理的“赵爽弦图”加工而来的。

学生讨论, 回答问题。

活动2:故事场景→发现新知。教师通过讲述故事来激发学生学习兴趣, 引导学生进入学习状态。教师讲述故事、展示图片。引导学生分析情景, 提出问题。你是怎样观察这个砖铺的现场的?

教师讲解:毕达哥拉斯是古希腊著名的数学家。相传在2500年以前, 他在朋友家做客时, 发现朋友家用地砖铺成的地面反映了直角三角形的三边之间的某种数量关系。同学们, 请你也来观察下图3、图4、图5中的地面砖, 看看能发现些什么?

教师通过多媒体课件, 在大屏幕上展示如图3、图4、图5的图形。

学生讨论回答。

活动3:归纳总结, 得出结论。教师引导学生从基本砖铺材料、图形单元、位置形态进行观察:铺设材料是正方形砖块, 其中, 丰富的图案都是由等腰直角三角形色块作为基本单元构成。由于对角线的作用, 通过进一步地观察或者手工拼图可以发现用等腰直角三角形拼正方形的基本方法 (充分展示出了等腰直角三角形与正方形的结构关系) 。

在课堂上开展分组活动, 让学生亲手操作:对正方形进行剪切、拼贴然后再将它们关联 (由正方形的边长关系到等腰直角三角形的边长关系) 起来从而实现真正意义上的发现——合围 (以等腰直角三角形的三边为边长建立正方形, 而且它们之间有面积关系) 。请学生们观察教师手里拿的等腰直角三角形形状的三角板有什么特点?等腰直角三角形的三条边有什么关系。教师通过多媒体大屏幕展示课件 (如图6) , 引导学生观察三个正方形面积的关系。

学生讨论之后, 教师通过大屏幕展示图7, 归纳得出三个面积S1、S2、S3之间的数量关系:S1+S2=S3, 进而得出等腰直角三角形三条边的关系。

等腰直角三角形三条边的关系:两直边的平方和等于斜边的平方。

活动4:深入探究, 总结规律。教师通过多媒体课件在大屏幕上演示图8。

教师:请同学们思考一下, 普通的直角三角形的三条边是否也有这个特点呢?引导学生把注意力从地面图案转移到正方形网格图上, 让学生感知正方形网格图的实用性与便捷性。

在教师的指导下, 师生共同完成图8。在学生充分讨论后得出结论:

直角三角形三边关系:两直角边的平方和等于斜边的平方。

2.合作探究, 验证定理

归纳命题。如果直角三角形的两个直角边长分别是a, b, 斜边长是c, 那么, a2+b2=c2 (如图9) 。

证明方法1, 利用面积证明:S大正方形= (a+b) 2=1/2ab×4+c2, 既a2+b2=c2。

教师用4个全等的直角三角形教具, 拼成如图10的正方形。让学生剪出4个全等的直角三角形, 拼成如图10的正方形。同时, 教师通过多媒体课件在大屏幕上演示图9、图10、图11, 引导学生观察。

证:S大正方形= (a+b) 2=a2+2ab+b2

S大正方形=c2+4×1/2ab=c2+2ab

∵S大正方形=S大正方形

∴a2+2ab+b2=c2+2ab

∴a2+b2=c2

即在直角三角形中, 两直角边的平方和等于斜边的平方。

证明方法2, 利用面积证明:S大正方形=C2=1/2ab×4+ (b-a) 2, 即a2+b2=c2。

将四个全等直角三角形图片拼成如图12的图形。

师生共同用4个全等的直角三角形拼成如图12的图形。同时, 教师通过多媒体课件在大屏幕演示图12、图13。

证:S大正方形=c2

S大正方形=4×1/2ab+ (b-a) 2=a2+b2

∵S大正方形=S大正方形

∴c2=a2+b2

即a2+b2=c2

即在直角三角形中, 两直角边的平方和等于斜边的平方。

通过以上的验证, 得出直角三角形三边关系。

勾股定理。如果直角三角形两直角边分别为a, b, 斜边为c, 那么, a2+b2=c2, 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 (如图14) 。

勾股定理的由来。我国是最早发现勾股定理的国家之一, 据《周髀算经》记载:公元前1100年人们已经知道“勾广三, 股修四, 径隅五”。故将此定理命名为勾股定理。

3.学以致用, 利用定理

多媒体大屏幕演示, 先让学生讨论, 然后共同解答问题。

(1) (如图15) 在直角三角形ABC中, ∠C=90°, 如果a=3, b=4, 那么c=__。

(2) (如图15) 在直角三角形ABC中, 已知:c=10, a=6, 求b。

(3) (如图16) 已知:c=13, a=5, 求阴影面积。

(4) 求图17中正方形A的面积。

4.补充练习, 巩固定理

利用多媒体大屏幕演示问题, 先让学生讨论, 然后解答问题。

(1) (如图15) 在直角三角形ABC中, ∠C=90°, 如果a=6, b=8, 那么c=__。

(2) 求图18中正方形B的面积。

5.总结反思

(1) 通过学习这节课你有哪些收获?

(2) 通过学习这节课你感受到了什么?

(3) 通过学习这节课你体验到了什么?

6.布置作业

(1) 利用 (如图19) 推导勾股定理。

(2) 直角三角形的两边分别是3和4, 求第三边。