二项式定理教学设计

二项式定理教学设计（精选12篇）

二项式定理教学设计 篇1

二项式定理从古代到现在一直是重要的研究内容,在中职阶段主要要求学生初步认识二项式定理,教材针对二项式乘方的展开式进行介绍与研究。本文对于二项式定理及其应用进行基本的研究,以帮助中职学生提高二项式定理的学习兴趣,在解决二项式定理问题上有一个全面的认识,更加全面地了解和掌握解决二项式定理问题的方法。

一、二项式定理的发展历史

我国古代时期对于数学的研究,是中华民族的骄傲。二项式定理的学习可通过讲杨辉三角故事引入。早在我国南宋时期的1261年,数学家杨辉所著的《详解九章算法》就已经出现过二项式系数表,这一表被称为杨辉三角。二项式定理在中国被称为“杨辉三角”,它记载于杨辉的《详解九章算法》之中。在阿拉伯数学家卡西的著作《算数之钥》中也给出了一个二项式定理系数表,他所用的计算方法与贾宪的完全相同。在欧洲,德国数学家阿皮安努斯在他1527年出版的算数书的封面上刻有此图,但一般称之为“帕斯卡三角形”,因为帕斯卡在1654年也发现了这个结果。无论如何,二项式定理的发现,我国比欧洲至少早300年。1665年,这一年牛顿23岁。当时瘟疫流行,学校停课,牛顿在家中学习两年。他思想自由驰骋,在此期间把二项式定理推广到n位分数和负数的情形,给出了展开式。牛顿利用二项式展开这一重要工具,发明了微积分。

二、二项式定理的应用

二项式定理在组合理论、解决整除及余数等方面有广泛的应用。。这个公式所表示的定理称为二项式定理。其右边的多项式称(a+b)n的二项展开式,每一项系数(r=0,1,2…n)称为二项式系数;称为二项展开式的通项,用Tr+1表示,即展开式的r+1项,。

二项式系数性质如下:

(1)二项展开式中,与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等。(2)二项式系数的和等于2n。(a+b)n中分别令a=1,b=1,即可得。(3)如果二项式的幂指数是偶数,中间一项的二项式系数最大;如果二项式的幂指数是奇数,中间两项的二项式系数相等且最大。(4)二项式展开式中,偶数项系数和等于奇数项系数和,即。

了解二项式定理及其性质后,中职学生要学会如何应用二项式定理解决一些实际问题。下面介绍一些二项式定理在数学题及生活中的应用。

1. 用二项式定理求展开式

例1:求二项式(3x+2y)5的展开式。

解:由二项式定理可得

2. 用二项式定理求展开式中系数

例2:求(x2-1)(x+2)10展开式中含x10的系数。

解:由题可知,因式(x2-1)取x2和因式(x+2)10展开式中取x8可得含x10的项是,因式(x2-1)取(-1)和因式(x+2)10展开式中取x10可得含x10的项是,故(x2-1)(x+2)10的展开式中含x10项的系数为。

3. 用二项式定理求展开式中指定项例3:求展开式中常数项。

解:由题可知,因式展开式中取,因式(x2+2)取x2,展开式中有常数项;因式展开式中取-1,(x2+2)取2,式展开式中有常数项,所以展开式中常数项项为5+(-2)=3。

4. 二项式定理在整除问题中的应用

例4:用二项式定理证明32n+3-24n+37可被64整除。

证明:32n+3-24n+37=27(8+1)n-24n+37

因为括号内每一项都是自然数,和为自然数,所以上式是64的倍数,即32n+3-24n+37可被64整除。

5. 二项式定理在解决余数问题中的应用

例5:求5012除以7的余数。

解:。它的展开式中除末项外均能被7整除,其末项为1,故5012除以7的余数为1。

6. 二项式定理在计算近似值中的应用

例6:求0.9986的近似值(精确到0.001)。解:0.9986=(1-0.002)6

其中从第三项开始小于0.001,舍去。所以0.9986≈1-0.012=0.988.

7. 二项式定理在不等式证明中的应用

例7:,其中(n∈N*),n>1。证明:。

通项。

所以,。

8. 二项式定理在生活中的应用

例8:今天是星期一,再过290天是星期几?

解:依题可得。即290除以7的余数为1,所以,再过290天是星期二。.

三、结束语

二项式定理是中职数学教学的重要内容,但要在引起学生的兴趣上下功夫。中职学生的数学功底差,因而给学生上好二项式定理至关重要的。教师要以鼓励为主,增强学生的信心,以微笑的方式传达一种二项式定理不是很难学的感觉给学生。这样,在教师引领下,学生有了学习兴趣,就一定能学好二项式定理,提高中职学生的数学素养。

参考文献

[1]张建业,田志良.二项式定理的一个应用[J].河北工程技术高等专科学校学报.2005(01).

[2]刘淑霞,李元凤.关于二项式定理教学的研究[J].职业,2010(02).

[3]潘秀明.“二项式定理”的教学设计与分析[J].上海中学数学,2014(03).

二项式定理教学设计 篇2

高二数学：×××

二项式定理是选修2－3的1.3节的第一课时，本节课是在学习了排列组合的基础上学习的，并为后面学习概率中的二项分布奠定了基础，所以它是承上启下的一节课。根据本节教材特点及学生的认知结构确定本节课的教学重点为：二项定理的推导及通项公式的运用。由于二项式定理的导出对学生来讲有一定的难度所以确定本节课的难点为：二项式定理的推导。

在教学中，采用“四步骤八环节”的教学模式，把整个课堂分为创设情境，导入设疑；自学释疑，同伴互助；训练操作，反馈矫正；延伸迁移，归纳小结。让学生体会研究问题的方式方法，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式，让学生体验定理的发现和创造历程．

设计亮点

一、导入

结合今天周三，高考是周几，延伸到再过810天的那一天是星期几的问题，将计算方法归纳到用7除的余数问题，特殊到一般：8=7+1，82=（7+1）2=72+2*7+1，83=（7+1）3=73+3*72+3*7+1,那810=（7+1）10又如何展开呢？，将810转化为（7+1）10的展开式问题，导入新课研究（a+b）n的展开式。学生思考研究方法，易得特殊到一般。

二、难点的突破

本节难点是二项式定理的推导，我做了以下自学，合作的活动安排来让学生完成探究： 1．引导学生对写出的（a+b）

2、（a+b）

3、（a+b）4的展开式进行下列四个方面的探究：项数；各项次数；字母a、b指数的变化规律；各项系数；猜测（a+b）5的展开式中含哪些项？（a+b）n的展开式中含哪些项？学生思考学生小组讨论，自由发表见解.注：从学生的回答中看出学生能归纳出展开式的项数，次数及每一项中a,b组合的规律，但是说不对每一项的系数。正是教学设计中预设的。用面下方法解决。

2、设计合作探究问题：（a+b)2展开的过程中是如何体现分类加法和分步乘法两个计数原理的？怎么从排列组合的角度解释（a+b)2展开式中每一项的系数？类比归纳完善（a+b)5展开式每一项的系数，（a+b)n展开式每一项的系数？学生自主思考，合作交流完成二项式定理的突破。

三、分析定理的结构特点 挖掘内涵

１、展开式的项数；学生回答5次，9次，m-1次的展开式共多少项？

２、通项；学生回答展开式中第1项，第5项，第8项,第k项,第k+1项分别是什么，从而归纳出通项。

３、二项式系数与项的系数.强调新的名词“二项式系数”，结合学生大胆写出（a-b)n展开式，并说出第7项的系数及二项式系数，自己体会。

四、尝试应用

定理给出后，课本的2个例题略显复杂，所以我给出几个简单小题来巩固定理：（2x+1)4展开式,（x-1-2)5展开式中含x-3的项。再让学生对例一，例二进行演板。预设：

1、学生会展开，不会化简。

2、对通项的作用不明确，不熟悉。解决方法：学生展示，学生改错并提出更好的办法，并总结做题方法。

五、延伸和小结

在完成本节任务外，延伸我重点还是放在定理的挖掘中，采用定理的逆用，及求二项式系数的和。巩固定理的同时挖深定理内涵。小结上让学生总结知识，数学思想方法，典型题目及解题方法等。不足之处：

我认为在师生互动环节中再多一些效果会更好。但是我认为这样面对学生的展示课,难以操作.因为让学生自主学习,必须课前作充分的准备,学生带着问题到课堂上进行汇报和交流,师生共同释疑、纠错.否则,对于有一定难度的数学课,在课堂上先自主、合作、探究，再来答疑、解惑，就没有足够的时间了.即使可以操作, 自主、合作、探究也是走走过场, 没有实际效果.语文与数学有不同特点,在数学课堂上如何让学生讨论、思考值得深入研究。有些知识非得老师参与并详尽的启发学生思考得到，而这样做就又好像不是学生学出来的，而是教出来的。以后这方面多想办法，在组织学生活动高效方面下功夫。

总之，本节课遵循学生的认识规律，由特殊到一般，由感性到理性．重视学生的参与过程，问题引导，师生互动．重在培养学生观察问题，发现问题，归纳推理问题的能力，从而形成自主探究的学习习惯．学完二项式定理后，二项式定理及通项公式的运用就是以后学习的重点。

创设情境教学余弦定理 篇3

关键词：余弦定理；解三角形；数学情境

“余弦定理”作为高中数学的主要内容，是解决有关斜三角形问题的两个重要定理之一，也是初中“勾股定理”内容的直接延拓。它是三角函数一般知识和平面向量知识在三角形中的具体运用，是解可转化为三角形计算问题等他数学问题以及解决生产、生活实际问题的重要工具，因此具有广泛的应用价值。

一、设计思路

布鲁纳指出，学生不是被动的、消极的知识的接受者，而是主动的、积极的知识的探究者。教师的作用是创设学生能够独立探究的情境，引导学生去思考，参与知识获得的过程。因此，做好“余弦定理”的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展等辩证观点，而且能培养学生的应用意识和实践操作能力，以及提出问题、解决问题等研究性学习的能力。

依据建构主义学说，教学不能无视学生的这些经验，另起炉灶，从外部装进新知识，而是要把学生现有的知识经验作为新知识的生长点，引导学生从原有的知识经验中“生长”出新的知识经验。我采用“情境—问题”教学模式，以“设置情境—提出问题—解决问题—反思应用”为主线，把从情境中探索和提出数学问题作为教学的出发点，以“问题”为红线组织教学，形成以提出问题与解决问题相互引发携手并进的“情境—问题”学习链，使学生真正成为提出问题和解决问题的主体，成为知识的“发现者”和“创造者”。

二、教学过程

1．设置情境

自动卸货汽车的车箱采用液压机构。设计时需要计算油泵顶杆BC的长度，已知车箱的最大仰角为60°，油泵顶点B与车箱支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为6°，AC的长为1.40m，计算BC的长（保留三个有效数字）。

2.启发思考

能否把这个实际问题抽象为数学问题？（数学建模）

在三角形ABC，已知AB＝1.95m，AC＝1.40m，∠BAC＝60°＋6°＝66°，求BC的长。这个问题的实质是在三角形中，已知两边和它们的夹角，求第三边。

（一般化）三角形ABC，知AC＝b，BC＝a，角C，求AB。

3．解决问题

我们以前遇到这种一般问题时，是从特殊图形入手，寻求答案或发现解法。据此可先在直角三角形中试探一下：直角三角形中c2=a2+b2（勾股定理，角C为直角）斜三角形ABC中，过A作BC边上的高AD，将斜三角形转化为直角三角形。（联想构造）

讨论：在锐角三角形ABC中，过A作AD垂直BC交BC于D，在直角三角形ADB中，AB2＝AD2＋BD2；在直角三角形ADC中，AD＝ACsinC，CD＝ACcosC，即AD＝bsinC，CD＝bcosC。

又BD＝BC－CD，即BD＝a－bcosC

∴c2=（bsinC）2+（a－bcosC）2=b2sin2C+a2－2abcosC+b2cos2C

=a2+b2－2abcosC

同理a2=b2+c2－2bccosA

b2=a2+c2－2accosB

在钝角三角形ABC中，不妨设角C为钝角，过A作AD垂直BC交BC的延长线于D，在直角三角形ADB中，AB2＝AD2＋BD2；在直角三角形ADC中，AD＝ACsin（π－C），CD＝ACcos（π－C），即AD＝bsinC，CD＝－bcosC，又BD＝BC＋CD，即BD＝a－bcosC

∴c2=（bsinC）2+（a－bcosC）2=b2sin2C+a2－2abcosC+b2cos2C

=a2+b2－2abcosC

同理a2=b2+c2－2bccosA，b2=a2+c2－2accosB

同理可证a2=b2+c2－2bccosA

b2=a2+c2－2accosB

4．反思应用

余弦定理揭示了三角形中任意两边与夹角的关系，那么余弦定理能够解决哪些问题？

知三求一，即已知三角形的两边和它们的夹角，可求另一边；已知三角形的三条边，求角。

请同学们用余弦定理解决开始提出的问题。（请一位同学将他的解题过程写在黑板上）

解：由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2ABACcosA

＝1.952＋1.402－2×1.95×1.40cos66°20′

＝3.571

∴BC≈1.89（m）

答：顶杆BC约长1.89m。

三、教学反思

二项式定理教学设计 篇4

【教学片断】

师: (a+b) 2的展开式是什么?

生: (a+b) 2=a2+2ab+b2.

师:好!怎么算的?

生1:利用乘法计算公式得到.即 (a+b) 2= (a+b) · (a+b) =a2+ab+ba+b2=a2+2ab+b2.

师:谢谢!那么 (a+b) 3的展开式呢?

笔者敏感地觉察到当前学生的学习需要是 (a+b) 3展开式的计算过程, 而有效课堂教学要求了解学生并应关注他们的具体需求.因此, 我立即组织学生投入到 (a+b) 3展开式的计算过程中去, 通过请学生上黑板演算, 让课堂教学真正进入有效教学的起点.

生2: (a+b) 3= (a+b) 2 (a+b) = (a2+2ab+b2) (a+b) =a3+3a2b+3ab2+b3.

师:很好!有哪位同学知道 (a+b) 4的展开式?

生3: (a+b) 4= (a+b) 3 (a+b) = (a3+3a2b+3ab2+b3) (a+b) =a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4.

师:对!我们可以依次写出 (a+b) 5、 (a+b) 6…的展开式.

生4:这样是不是很麻烦?能否找到一种方法可以直接写出 (a+b) n的展开式呢?

师:这个问题提得很好, 为了寻找方法, 我们改变一下思考角度, 先分析 (a+b) 4乘法的原始过程:

(a+b) 4= (a+b) (a+b) (a+b) (a+b) = ( ) a4+ ( ) a3b1+ ( ) a2b2+ ( ) a1b3+ ( ) b4.

为了便于学生探究, 笔者出示学生认知结构中已有的知识和经验:4个袋中有红球、白球各一个, 每次从4个袋子中各取一个球, 有什么样的取法?

生5: (1) 若每个袋子都不取白球, 共有C04种取法;

(2) 若只有一个袋子取白球, 共有C14种取法;

(3) 若只有两个袋子取白球, 共有C24种取法;

(4) 若只有三个袋子取白球, 共有C34种取法;

(5) 若每个袋子都取白球, 共有C44种取法.

师:很好!如果把括号看成袋子, 红球和白球分别看成a和b, 括号里应怎样填呢?

生6: (1) 若每个括号都不取b, 只有一种取法得到a4即C04种;

(2) 若只有一个括号取b, 共有C14种取法得到a3b1;

(3) 若只有两个括号取b, 共有C24种取法得到a2b2;

(4) 若只有三个括号取b, 共有C34种取法得到a1b3;

(5) 若每个括号都取b, 共有C44种取法得b4.

因此 (a+b) 4=C04a4+C14a3b+C24a2b2+C34a1b3+C44b4.

师:请同学们归纳并猜想 (a+b) n=?

生7:由n=1, 2, 3, 4时分别有2, 3, 4, 5项, 很容易猜出 (a+b) n的展开式有n+1项, 分别是an, an-1b, an-2b2, …, abn-1, bn等项, 系数分别是C0n, C1n, C2n, …, Cn-1n, Cnn, 所以整个展开式是: (a+b) n=C0nan+C1nan-1b1+C2nan-2b2+…+Cn-1nabn-1+Cnnbn (n∈N*) .

由于该展开式没有体现二项式定理展开式的特征项, 需要进一步引导.

师:各项a、b的指数之和是多少?体现展开式的项的特征的通项是多少?是第几项?请进一步写出准确的展开式.

生8:各项a、b的指数之和是n, 体现展开式的项的特征的通项是an-rbr, 是第r+1项, 因此: (a+b) n=C0nan+C1nan-1b1+C2nan-2b2+…+Crnan-rbr+…+Cnnbn (n∈N*) .

师:这就是我们这节课学习的二项式定理.

二项式定理教学反思 篇5

本节课的教学重点是“使学生掌握二项式定理的形成过程”，在教学中，采用“问题DD探究”的教学模式，把整个课堂分为呈现问题、联系组合问题、总结规律、应用规律四个阶段。让学生体会研究问题的方式方法，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式，让学生体验定理的发现和创造历程。

本节课的难点是用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律。在教学中，设置了对多项式乘法的再认识，引导学生运用计数原理来解决项数问题，明确每一项的特征，为后面二项展开式的推导作铺垫。再以为对象进行探究，引导学生用计数原理进行再思考，分析各项以及项的个数，这也为推导的展开式提供了一种方法，使学生在后续的学习过程中有“法”可依。

教材的探求过程将归纳推理与演绎推理有机结合起来，是培养学生数学探究能力的极好载体。教学过程中，让学生充分体会到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现解决一般问题的方法。教学中我特别注重区分系数与二项式系数及运用通项意识凡涉及到展开式的项及其系数等问题，常是先写出其通项公式，然后再据题意进行求解。

例1展开式中第三项的是______。

第三项的系数是______

第三项的二项式系数是______

例2(2)求展开式中x3的系数，则______。

解析：由通项公式，得，

由，解得。

本节课的亮点：

引入组合问题，为归纳项数，项得次数，项的形式及项的系数作了很好的铺垫，数学思想、方法和数学文化得到了较好的体现。引导学生运用计数原理来解决特征，为后续学习作准备。二项式系数的对称美，“特殊出发、发现规律、猜想结论、”的科学方法，都带给学生积极的情感体验和无尽的思考。

不足之处：

学生在数学课堂中的参与度不够。我认为，像这样面对新学生的录像课，难以操作。因为让学生自主学习，必须课前作充分的准备，学生带着问题到课堂上进行汇报和交流，师生共同释疑、纠错。否则，对于有一定难度的数学课，在课堂上先自主、合作、探究，再来答疑、解惑，就没有足够的时间了。即使可以操作，自主、合作、探究也是走走过场，没有实际效果。语文与数学有不同特点，在数学课堂上如何让学生讨论、思考值得深入研究。

关于切线长定理应用的教学反思 篇6

它的应用形式：

∵PA、PB分别切圆O于A、B

∴PA=PB ∠BPO=∠APO

在初中数学教材上，这是一个综合性比较强的图形，它贯穿了很多的初中几何知识点 ，包括

① 等腰三角形的性质

∵PA=PB ∠BPO=∠APO

∴BE=AEOP⊥AB

这其实就是等腰三角形“三线合一”

②三对全等三角形 Rt△OBP≌Rt△OAP,

Rt△OBE≌Rt△OAE Rt△EBP≌Rt△EAP

利用切线长定理或三角形全等可以得：

∠BOP=∠AOP ∠EBP=∠EAP∠OBP=∠OAP

以及线段BE=BAOA=OB PA=PB

③实际上这六个直角三角形连起来相似

Rt△OBP∽Rt△OAP∽ Rt△OBE∽Rt△OAE∽Rt△EBP∽Rt△EAP

④有射影定理的基本图形，所以又出现了一些相等关系的等式OB²=OE•OP =OA EB²=OE•EP= EB²

⑤有OP⊥AB以及切线的性质OA⊥AP,OB⊥BP这就引出了更重要的知识点:三个垂直关系

OA⊥AP,OB⊥BP，OP⊥AB

可以列出图形的面积关系。

即SAPBO=OA•AP=OB•BP=OP•AB

⑥在圆O中有OP⊥AB这就引出了圆中更重要的定理出现了垂径定理

∵在圆O中OP⊥AB

∴NB=NABM=MA

⑦事实上利用切线的性质OA⊥AP,OB⊥BP可以得到四边形OAPB四点共圆

⑧如果在圆周上任意取一点Q（或Q′） 有可以把圆中的圆心角、圆周角定理联系起来，这样图中∠APB、∠OPA、∠OPB、∠Q、∠AOB、∠BOA、∠OBA、∠OAB、∠EBP、可以已知其一可求其他

⑨当然过AB任意点做切线后图中又出现两组切线长MB=MT,NT=NA，于是有△PMN的周长=PA+PB=2PA

高斯定理教学探讨 篇7

关键词：高斯定理,高斯面,电场强度

高斯定理是静电学中的一个重要定理，也是学生应该掌握的重点内容之一。对于高斯定理的理解和应用是学好静电场的关键，但在教学实践中发现学生对高斯定理认识模糊、缺乏深入透彻全面理解，不能灵活自如地应用高斯定理求静电场的电场强度。本文阐述了高斯定理理解和应用涉及的几个重要点，以使学生轻松地理解和应用该定理。

一、高斯定理理解特别需要注意的几个方面

在真空状态下，高斯定理的表述是：在真空中的静电场内，通过任意闭合曲面的电通量等于该闭合曲面所包围的电荷电量的代数和除以真空介电常数ε0。数学表述即：

在教学中首先应用库仑定律和场强叠加原理证明高斯定理，在推导证明过程重点强调理解电通量和立体角等大一学生感觉较繁难的知识点。具体推导见教材[1]，在此要重点讲述对高斯定理的理解应特别注意以下几点。

1. 高斯面S是静电场中的任意闭合曲面，但S面上不能有有限的电荷分布。取高斯面时，一般是根据对称性，使曲面的法线平行于该处的电场方向或使法线垂直于该处的电场方向。

2. 从高斯定理看电力线的性质：高斯定理说明正电荷是发出E通量的源，负电荷是吸收E通量的源。若闭合面内存在正(负)电荷，则通过闭合面的E通量为正(负)，表明有电力线从面内(面外)穿出(穿入)，即正(负)源电荷发射(吸收)电场线;若闭合面内没有电荷，则通过闭合面的E通量为零，意味着有多少电场线穿入就有多少电场线穿出，说明在没有电荷的区域内电场线不会中断，又若闭合面内静电荷为零，则有多少电场线进入面内终止于负电荷，就会有相同数目的电场线从面内正电荷出发到外面;在闭合面内，电荷空间分布的变化将改变闭合面上各点场强的大小和方向，但只要电量相同，就不会改变通过整个闭合面的E通量;在闭合面外，有无电荷及其如何分布，将会影响闭合面上各处场强的大小和方向，但对通过整个闭合面的E通量没有贡献，即面外电荷会影响通过闭合面的电场线的形状和分布，却不会改变通过闭合面的电场线的数目。

3. 利用库仑定律和叠加原理导出高斯定理，库仑定律在电荷分布已知情况下，能求出场强的分布;高斯定理在电场强度分布已知时，能求出任意区域的电荷;当电荷分布具有某种对称分布时，可用高斯定理求出这种电荷系的场强分布，而且这种方法在数学上比用库仑定律简便得多;对于静止电荷的电场，可以说库仑定律与高斯定理是等价的;但是，在研究运动电荷的电场或一般地随时间变化的电场时，库仑定律不再成立，而高斯定理却仍然有效。所以说：高斯定理是关于电场的普遍的基本规律。

二、高斯定理求电场步骤

高斯定理的一个重要应用，是用来计算带电体周围电场的电场强度。实际上，对称性不是应用高斯定理求场强的条件，对于具有对称性，且能应用高斯定理求场强的问题，由于具有对称性，总可选择合适的高斯面而使计算较为简便;但在某些非对称情况下，只要高斯定理中的能够进行积分，则无论电荷或电场分布是否具有对称性，均能应用高斯定理求电场强度。因此对称性不是应用高斯定理求场强的条件，应用高斯定理求场强的关键是看(1)左边的积分能否进行，过分强调对称性，往往导致忽视应用高斯定理求场强的数学条件，造成对高斯定理的误解，应用高斯定理求场强问题的步骤：

1.分析场强或电荷分布的特点，进行对称性分析和判断，即由电荷分布的对称性，分析场强分布的对称性，非对称情况下，判断能够进行积分，判断能否用高斯定理来求电场强度的分布，这一步是解题的关键，也是解题的难点。常见的对称性有球对称性包括均匀带电球面、球体、点电荷;轴对称性包括均匀带电的“无限长”圆柱面、圆柱体、细直线;面对称性包括均匀带电的“无限大”平面、平板。

2.根据场强分布的特点，作适当的高斯面，要求：(1)待求场强的场点应在此高斯面上，(2)穿过该高斯面的电通量容易计算。一般地，高斯面各面元的法线矢量平行或垂直，平行时,的大小要求处处相等，使得能提到积分号外面。

3.计算电通量和高斯面内所包围的电荷的代数和，最后由高斯定理求出场强。

本文对高斯定理理解和应用涉及的几个重要点进行总结，澄清了对高斯定理求电场方法模糊认识，对学生掌握理解和应用高斯定理可起到很好的促进作用。

参考文献

[1]马文蔚,周雨青,解希顺.物理学教程(第二版)(下册)[M].北京:高等教育出版社,2006.11:20.

《勾股定理》教学设计 篇8

一、教学目标

知识与技能目标:了解利用拼图验证勾股定理的方法, 培养学生正确的观察事物、分析事物能力, 理解并掌握勾股定理及其证明;学会利用勾股定理求直角三角形的边长。

过程与方法目标:通过拼图验证勾股定理的方法, 体会数形结合的思想, 在学生经历“观察—猜想—归纳—验证”勾股定理的过程中, 培养学生推理能力, 体会数形结合和从特殊到一般的逻辑推理思想。

情感态度与价值观目标:通过对勾股定理历史了解, 感受数学文化, 感受数学来源于生活的道理, 激发学生的学习兴趣;在探究活动中, 培养学生的合作交流意识和探索精神。

教学重点:勾股定理的探讨与验证。

教学难点:用拼图方法证明勾股定理。

教学方法:本节课采用学生合作探究的学习方法, 在学生充分讨论探究的基础上共同得出结论:a2+b2=c2。

二、教学准备

教具:配套课堂使用的教学多媒体课件。展示合适的砖铺地面的图纸, 相同规格的等腰直角三角形片、普通的直角三角形片若干张, 拼图板, 三角板等。

学具:相同规格的等腰直角三角形片、普通的直角三角形片若干张、拼图板。

三、教学过程

1.设置情景, 引入新课

首先利用多媒体创设情境, 利用多媒体大屏幕演示勾股定理推导图片, 通过欣赏图片, 激发学生学习兴趣, 自然引出本节课的课题。

活动1:创设情境→激发兴趣。用多媒体课件在大屏幕上展示2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会场及本届大会会徽的图案。它象一个转动的风车, 挥舞着手臂, 欢迎来自世界各国的数学家们 (如图1、图2) 。其中, 四边形ABCD和EFGH都是正方形。

教师:同学们, 你们见过这个图案吗?

教师通过多媒体展示2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会场及第24届国际数学家大会会徽图案, 引导学生观察图2。

教师:同学们, 你们听说过“勾股定理”吗?第24届国际数学家大会会徽图案是由我国汉代的赵爽在用来证明勾股定理的“赵爽弦图”加工而来的。

学生讨论, 回答问题。

活动2:故事场景→发现新知。教师通过讲述故事来激发学生学习兴趣, 引导学生进入学习状态。教师讲述故事、展示图片。引导学生分析情景, 提出问题。你是怎样观察这个砖铺的现场的?

教师讲解:毕达哥拉斯是古希腊著名的数学家。相传在2500年以前, 他在朋友家做客时, 发现朋友家用地砖铺成的地面反映了直角三角形的三边之间的某种数量关系。同学们, 请你也来观察下图3、图4、图5中的地面砖, 看看能发现些什么?

教师通过多媒体课件, 在大屏幕上展示如图3、图4、图5的图形。

学生讨论回答。

活动3:归纳总结, 得出结论。教师引导学生从基本砖铺材料、图形单元、位置形态进行观察:铺设材料是正方形砖块, 其中, 丰富的图案都是由等腰直角三角形色块作为基本单元构成。由于对角线的作用, 通过进一步地观察或者手工拼图可以发现用等腰直角三角形拼正方形的基本方法 (充分展示出了等腰直角三角形与正方形的结构关系) 。

在课堂上开展分组活动, 让学生亲手操作:对正方形进行剪切、拼贴然后再将它们关联 (由正方形的边长关系到等腰直角三角形的边长关系) 起来从而实现真正意义上的发现——合围 (以等腰直角三角形的三边为边长建立正方形, 而且它们之间有面积关系) 。请学生们观察教师手里拿的等腰直角三角形形状的三角板有什么特点?等腰直角三角形的三条边有什么关系。教师通过多媒体大屏幕展示课件 (如图6) , 引导学生观察三个正方形面积的关系。

学生讨论之后, 教师通过大屏幕展示图7, 归纳得出三个面积S1、S2、S3之间的数量关系:S1+S2=S3, 进而得出等腰直角三角形三条边的关系。

等腰直角三角形三条边的关系:两直边的平方和等于斜边的平方。

活动4:深入探究, 总结规律。教师通过多媒体课件在大屏幕上演示图8。

教师:请同学们思考一下, 普通的直角三角形的三条边是否也有这个特点呢?引导学生把注意力从地面图案转移到正方形网格图上, 让学生感知正方形网格图的实用性与便捷性。

在教师的指导下, 师生共同完成图8。在学生充分讨论后得出结论:

直角三角形三边关系:两直角边的平方和等于斜边的平方。

2.合作探究, 验证定理

归纳命题。如果直角三角形的两个直角边长分别是a, b, 斜边长是c, 那么, a2+b2=c2 (如图9) 。

证明方法1, 利用面积证明:S大正方形= (a+b) 2=1/2ab×4+c2, 既a2+b2=c2。

教师用4个全等的直角三角形教具, 拼成如图10的正方形。让学生剪出4个全等的直角三角形, 拼成如图10的正方形。同时, 教师通过多媒体课件在大屏幕上演示图9、图10、图11, 引导学生观察。

证:S大正方形= (a+b) 2=a2+2ab+b2

S大正方形=c2+4×1/2ab=c2+2ab

∵S大正方形=S大正方形

∴a2+2ab+b2=c2+2ab

∴a2+b2=c2

即在直角三角形中, 两直角边的平方和等于斜边的平方。

证明方法2, 利用面积证明:S大正方形=C2=1/2ab×4+ (b-a) 2, 即a2+b2=c2。

将四个全等直角三角形图片拼成如图12的图形。

师生共同用4个全等的直角三角形拼成如图12的图形。同时, 教师通过多媒体课件在大屏幕演示图12、图13。

证:S大正方形=c2

S大正方形=4×1/2ab+ (b-a) 2=a2+b2

∵S大正方形=S大正方形

∴c2=a2+b2

即a2+b2=c2

即在直角三角形中, 两直角边的平方和等于斜边的平方。

通过以上的验证, 得出直角三角形三边关系。

勾股定理。如果直角三角形两直角边分别为a, b, 斜边为c, 那么, a2+b2=c2, 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 (如图14) 。

勾股定理的由来。我国是最早发现勾股定理的国家之一, 据《周髀算经》记载:公元前1100年人们已经知道“勾广三, 股修四, 径隅五”。故将此定理命名为勾股定理。

3.学以致用, 利用定理

多媒体大屏幕演示, 先让学生讨论, 然后共同解答问题。

(1) (如图15) 在直角三角形ABC中, ∠C=90°, 如果a=3, b=4, 那么c=__。

(2) (如图15) 在直角三角形ABC中, 已知:c=10, a=6, 求b。

(3) (如图16) 已知:c=13, a=5, 求阴影面积。

(4) 求图17中正方形A的面积。

4.补充练习, 巩固定理

利用多媒体大屏幕演示问题, 先让学生讨论, 然后解答问题。

(1) (如图15) 在直角三角形ABC中, ∠C=90°, 如果a=6, b=8, 那么c=__。

(2) 求图18中正方形B的面积。

5.总结反思

(1) 通过学习这节课你有哪些收获?

(2) 通过学习这节课你感受到了什么?

(3) 通过学习这节课你体验到了什么?

6.布置作业

(1) 利用 (如图19) 推导勾股定理。

(2) 直角三角形的两边分别是3和4, 求第三边。

微分中值定理的教学探讨 篇9

微分中值定理是微分学的基本定理, 也是微分学的理论基础.一般教科书在讲述这一部分时, 大多先后介绍费马 (Fermat) 引理、洛尔 (Rolle) 引理、拉格朗日 (Lagrange) 中值定理、柯西 (Cauchy) 中值定理等内容.这样处理, 逐步深入, 自然易懂, 已经成为公认的标准讲法.Rolle定理是证明Lagrange中值定理和Cauchy中值定理的预备定理, 以Rolle定理为基础, 通过引进适当的满足Rolle定理的辅助函数便可证明Lagrange中值定理和Cauchy中值定理, 然而, 教学中学生总感到老师给出的辅助函数不好想, 很突然, 很难.因而, 辅助函数的引入一直是教学上的一个难点.

从笔者多年的教学经验看, 在讲完Rolle定理后先不急于讲Lagrange中值定理和Cauchy定理, 而是先由Rolle定理为出发点引进一个推论, 它是Lagrange中值定理和Cauchy定理的高度概括, 可作为它们的预备定理, 利用它学生会很容易地发现并证明Lagrange中值定理和Cauchy定理, 起到事半功倍的作用.

先回顾一下Rolle定理:设函数f (x) 在闭区间[a, b]上连续, 在开区间 (a, b) 内可导, 且f (a) =f (b) , 则在该区间内至少存在一点ξ (a<ξ

现在设f (x) 与g (x) 在闭区间[a, b]上连续, 在开区间 (a, b) 内可导, 再加上什么条件, 函数f (x) -g (x) 就能满足Rolle定理的条件呢?由Rolle定理的条件知, 还需要添加以下条件:f (a) -g (a) =f (b) -g (b) , 即g (b) -g (a) =f (b) -f (a) , 这样由Rolle定理知, 在该区间内至少存在一点ξ (a<ξ

推论1设f (x) 与g (x) 在闭区间[a, b]上连续, 在开区间 (a, b) 内可导, g (b) -g (a) =f (b) -f (a) , 则在该区间内至少存在一点ξ (a<ξ

有了这一推论就可以引导学生去发现并证明Lagrange中值定理和Cauchy定理了.事实上, 设f (x) 在闭区间[a, b]上连续, 在开区间 (a, b) 内可导.若取, 它们的连续性与可导性是显然的, 又有f (x) 与g (x) 在闭区间[a, b]上有相同的增量g (b) -g (a) =f (b) -f (a) , 由推论1, 因而存在ξ∈ (a, b) 使得f′ (ξ) =g′ (ξ) , 即成立.由此可以得到:

Lagrange中值定理:设f (x) 与g (x) 在闭区间[a, b]上连续, 在开区间 (a, b) 内可导, 则在该区间内至少存在一点ξ (a<ξ

那么, 又如何发现Cauchy定理呢?设f (x) 与g (x) 在闭区间[a, b]上连续, 在开区间 (a, b) 内可导, 很明显, 函数[f (b) -f (a) ]g (x) 与函数[g (b) -g (a) ]f (x) 也在闭区间[a, b]上连续, 在开区间 (a, b) 内可导, 而且在[a, b]上有相同的增量[g (b) -g (a) ][f (b) -f (a) ], 由推论1, 因而存在ξ∈ (a, b) , 使得[f (b) -f (a) ]g′ (ξ) =[g (b) -g (a) ]f′ (ξ) … (1) .又若在 (a, b) 内g′ (x) ≠0, 必然g (a) ≠g (b) , (否则, 由Rolle定理g′ (x) 在 (a, b) 内有零点) , 由 (1) 得.由此可以得到:

Cauchy定理:若f (x) 与g (x) 在闭区间[a, b]上连续, 在开区间 (a, b) 内可导, g′ (x) ≠0, 则在该区间内至少存在一点ξ (a<ξ

很明显, 在Cauchy定理中若取g (x) =x又回到Lagrange中值定理的结论.另外, 由Rolle定理还可以得到以下推论.

推论2设f (x) 与g (x) 在闭区间[a, b]上连续, 在区间[a, b) 上有连续的n阶导数, 在开区间 (a, b) 内有n+1阶导数, 且g (b) -g (a) =f (b) -f (a) , f (k) (a) =g (k) (a) (k=1, 2, 3, …, n) , 则在[a, b]内至少存在一点ξ (a<ξ

推论2可以作为台劳定理的预备定理.

综合以上知识点, 下面给出一种微分中值定理巧妙简明、独具一格的证明方法.

微分中值定理设f (x) 与g (x) 在闭区间[a, b]上连续, 在开区间 (a, b) 内可导, 并且在 (a, b) 内g′ (x) ≠0, 则至少存在一点ξ (a<ξ

证明由在 (a, b) 内g′ (x) ≠0, 得到g (b) ≠g (a) , 令, 则有f (b) -f (a) =λg (b) -λg (a) , 或f (b) -λg (b) =f (a) -λg (a) , 作函数φ (x) =f (x) -λg (x) , x∈[a, b], 则φ (a) =φ (b) , 利用Rolle定理, 存在ξ∈ (a, b) , 使得φ′ (ξ) =0, 即, 证毕.

注在去掉条件g′ (x) ≠0的情形下, 则存在ξ∈ (a, b) , 使得[f (b) -f (a) ]g′ (ξ) =[g (b) -g (a) ]f′ (ξ) .

二、为了更好地理解和应用微分中值定理, 对其进行几点分析探讨

(1) 为了把证明简化且便于记忆, 也可以把Lagrange中值定理和Cauchy定理综合推广为如下的一般中值定理:若f (x) 与g (x) 在闭区间[a, b]上连续, 在开区间 (a, b) 内可导, 则在该区间内至少存在一点ξ (a<ξ

其证明既简单又容易想到.事实上, 只要对辅助函数φ (x) =[f (b) -f (a) ]g (x) -[g (b) -g (a) ]f (x) 在[a, b]上应用Rolle定理就可以得证.此时, 若g (x) =x, 就是Lagrange中值定理;若g′ (x) ≠0, 就是Cauchy定理.

(2) 微分中值定理的证明关键在于如何构造一个辅助函数, 很多高等数学和经济数学的教材中都是采用传统的辅助函数, 这个函数的引入, 主要是借助几何直观, 不妨归类为几何方法, 尽管有几何形象, 学生接受起来还是不易理解, 下面用演绎、推理的方法寻求所需的辅助函数F (x) .

在证明Lagrange中值定理时, 传统的方法是引入辅助函数:

假设F (x) 已得出, 它符合Rolle定理的条件, 则至少存在一点ξ∈ (a, b) , 使得F′ (ξ) =0… (4) , 由此可得:, 但其形式有较大差异, 为此将 (5) 式变为:式左边在没有求导数之前应为 (不是唯一的) , 如果想象中的辅助函数F (x) 确实存在的话, 可以假设是:, 经验证F (a) =F (b) , 即 (7) 式所确定的F (x) 为所需要的辅助函数. (7) 式与 (3) 式比较只是少了一串常数而已.同样, 可以用此方法推出证明Cauchy定理所需要的辅助函数

(3) 在微分学中还有一条关于导函数的达布中值定理:若f (x) 在[a, b]可导, 则f′ (x) 可以取到介于f′ (a) 与f′ (b) 之间的一切值. (参见菲赫金哥尔茨著《微积分学教程》一卷一分册) .根据这个定理就不难证明:若f (x) 在一区间上有原函数, 则f (x) 在该区间上有介质性.这一结论在积分中值定理中有广泛的应用.

(4) 关于微分中值定理, 还可给出以下结论.

定理1若f (x) 是[a, b]上的二次可微函数, 且f″ (x) >0, 则对任意的ξ∈ (a, b) , 必存在x0∈[a, b], 使得公式之一必成立.

因为f′ (x) 是单调递增的, 故有g (a)

动能定理的模式教学探究 篇10

一、加强备课, 利用解题模式解典型例题

动能定理的表述为合外力做的功等于物体动能的变化.这里的合外力指物体受到的所有外力的合力, 包括重力.在解题过程中, 方程式中动能的改变表述无太多变化, 通常是物体的末动能与初动能的差值, 其表达式为

其中v1是物体的初速度, v2是物体的末速度.利用动能定理解题的关键是求合力所做的功 (总功) .在解题时, 首先应找出总功的表达式.在一般情况下应用动能定理解题的模式有三个.

1. 如果物体所受各力都是恒力而且作用的位移相同

时, 这种解题模式是先求合力, 然后求合力所做的功, 令它等于物体动能的改变.

例如, 质量为2 t的汽车在水平路上从静止发动, 匀加速到20 m/s的过程中前进的位移是20 m, 已知汽车所受的阻力是车重的0.2倍, 求汽车发动机的牵引力.

这个物体只受两个力作用, 其中一个力是动力 (F1) 未知待求, 另一个力为阻力 (F2) 等于物重的0.2倍, 而物体动能的变化已知.对于这种模式动能定理的表达式为:

2. 如果物体所受的各力中有变力, 则应该先求各力

所做的功, 总功为各力做功的代数和, 令它等于物体动能的改变.

例如, 在离地面高为A处竖直上抛一质量为m的物块, 抛出时的速度为v1, 当它落到地面时速度为v2, 用g表示重力加速度, 则在此过程中物块克服空气阻力所做的功等于什么?

在这个题目中, 空气阻力即为变力, 它做的功 (Wf) 和重力做的功 (WG) 的代数和等于物体动能的改变.对于这种模式的动能定理的表达式为:

此过程, 物体的初末位置高度相同, WG=0, 即可求出物块克服空气阻力所做的功.

3. 如果物体所受各力都是恒力但作用的位移不相同

时, 或是某个力分段作用, 这种解题模式是分段求出各力做功, 所有功的代数和等于物体动能的改变.

例如, 如图1所示, 斜面倾角为α, 长为L, AB段光滑, BC段粗糙, 且BC=2 AB.质量为m的木块从斜面顶端无初速下滑, 到达C端时速度刚好减小到零.求物体和斜面BC段间的动摩擦因数μ.

物体所受重力和摩擦力做功, 都是恒力, 重力做功是全过程, 而摩擦力做功只在BC段, 故可对全过程应用动能定理.对于这种模式的动能定理表达式为:.

二、激发学生积极思考主动提问并共同讨论

在授课时, 总结出模式后, 教师应用典型的练习, 激发和鼓励学生积极思考、大胆设想、大胆提问, 为学生自主参与课堂提供机会, 充分确立学生的主体性.对提出有创造性的、新颖的、适合大多数学生问题的学生表扬, 以利唤起学生的主体意识, 激发学生的学习兴趣, 激活课堂气氛, 促进学生生动活泼地学习, 逐步培养学生的发散思维和创造能力.

三、及时总结, 突出模式, 总结规律.

最后, 教师以知识框架图作为板书, 用形象直观的方式让学生整体把握所学内容, 把握联系, 分清主次, 抓住关键, 抓住重点.用知识框架图小结, 有助于学生对所学知识的巩固和深化, 有助于学生课后复习, 有助于学生记忆和应用.

微积分基本定理教学新探 篇11

关键词： 微积分基本定理 数学史 发现式教学法

定积分作为一种和式的极限按照极限计算的方法求值是十分困难的.即使对于最简单的函数，按照定积分定义计算和式极限也是困难和复杂的，因此必须找到计算定积分和式极限的一般方法.在17世纪后期，两位天才的数学家牛顿和莱布尼兹分别找到了计算方法——微积分基本定理.正是由于微积分基本定理的发现，才诞生了对近代社会产生巨大影响的微积分.

教学中可通过两个特殊的例子，引导学生猜想.

一、观察

1669年，牛顿在他的朋友中散发了题为《运用无穷多项方程的分析学》的小册子.其中，牛顿不仅给出了求一个变量对于另一个变量的瞬时变化率的一般方法，而且证明了面积可以由变化率的逆过程得到.因为面积也是用无穷小面积的和来表示从而获得的，所以牛顿证明了这样的和能由求变化率的逆过程得到，这个事实就是我们现在所讲的微积分基本定理.在1675年11月的一篇手稿中，莱布尼兹已深刻认识到？蘩与d的互逆关系，在笔记中断言：作为求和过程的积分是微分的逆.实际上已初步给出了微积分基本定理，在1686年莱布尼兹在《博学学报》上发表了微积分历史上第一篇积分学论文《深奥的几何与不可分量及无限的分析》，论述了积分与微分的互逆关系.

五、微积分基本定理的表述

微积分的基本定理是牛顿、莱布尼兹发现的，但都没有给出严格的证明.事实上在当时的历史条件下，也不可能给出严格的证明.关于微积分基本定理的严格证明及表述直到一百多年后，才由柯西（Augustin Lonis Cauchy ， 1789—1857）完成.数学知识的形成与发展是一种渐进累积但不是线性发展的过程.

六、微积分基本定理的应用

牛顿-莱布尼茨公式给出了计算定积分无穷和的一般方法，对某些无穷和的极限也可考虑将其转换为积分和，再利用牛顿-莱布尼茨公式计算.由于定积分计算转化为了不定积分运算，不定积分的运算法则也可转换为相应的定积分运算法则.但在应用微积分基本定理时要特别注意适用条件——被积函数在积分区间上连续.

七、结语

高等数学的教学改革无论是在理论层面还是在实践层面都有许多问题没有解决.本文对微积分基本定理的教学做了一些教学探索，希望对广大教师有所启迪.

参考文献：

例说数学公式、定理的教学设计 篇12

问题是数学的心脏, 有了问题, 思维才有方向。在课堂教学中, 教师要适时设计一些具有层次性、针对性的问题, 让问题贯穿整个教学活动中, 进而促进学生积极思维.例如, 教学“三角形的中位线定理”时, 可以设计如下问题:

问题1:你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗?这四个全等三角形能拼凑成一个平行四边形吗?

学生想出了这样的方法:顺次连接三角形每两边的中点, 看上去就得到了四个全等的三角形.

问题2:你有办法验证吗?

生1: (如右图) 沿DE、DF、EF将画在纸上的△ABC剪开, 看所得三角形能否重合.

生2:分别测量四个三角形的三边长度, 判断是否可利用“SSS”来判定三角形全等.

生3:分别测量四个三角形对应的边及角, 判断是否可利用“SAS、ASA或AAS”来判定全等.

问题3:以上验证方法存在误差, 如何利用推理论证的方法验证呢?

值得注意的是:在实际教学中, 设计的问题必须具备启发性、探索性和开放性, 既要让学生能通过探索和学习达到基本要求, 又要注意问题的层次性.

二、以探究实现合作

新课标指出:“有效的数学学习不能单纯依赖模仿和记忆, 动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式.”因此, 在课堂教学中, 应以学生的自主探究、合作交流为主线, 鼓励学生积极主动地进行探究式学习.

例如, 教学“三角形的中位线定理”时, 可以引导学生进行以下证明.

已知:如右图, DE是ABC的中位线, 求证:DE//BC且

学生独立思考后教师启发:要证明两条直线平行, 可以利用“三线八角”的有关内容进行转化, 而要证明一条线段的长度等于另一条线段长度的一半, 则可采用将较短的线段延长一倍, 或者截取较长线段的一半的方法.

生1:如图, 延长DE到F使EF=DE, 连接CF.由△ADE≌△CFE (SAS) 得四边形DBCF为平行四边形, 得

生2:过点C作CF//AB交DE的延长线于点F.

生3:将ADE绕E点沿顺 (逆) 时针方向旋转180°, 使得点A与点C重合.

三、以创新见证奇迹

新教材中的有些探究活动具有很大的开放性, 有利于发挥学生的个性, 能充分体现探究创新性学习的特点.教师不能设定一个具体的“目标”让学生达到, 要允许学生走弯路, 走错路, 进而开放学生的探索思路.

例如, “三角形的中位线定理”学生创新证明如下:

生5:如图, 过点D作DF//BC交AC于点F, 则△ADF∽△ABC, 可得因此AE=AF, 即E点与F点重合, 所以

四、以拓展实现高效

数学中的很多内容都是密切联系、息息相关的, 只要教师在设计教学的过程中“瞻前顾后”, 就可以使得教学走向高效.

例如, 教学“三角形的中位线定理”, 就可以进行这样的拓展训练.

问题:任意一个四边形, 将其四边的中点依次连接起来, 所得新四边形有什么特征?证明你的结论. (学生积极思考发言, 师生共同完成题目.)

拓展:如果将上例中的“任意四边形”改为“平行四边形、矩形、菱形、正方形”, 结论会怎么样呢?