课例设计：勾股定理的验证及简单应用

课例设计：勾股定理的验证及简单应用

课例设计：勾股定理的验证及简单应用 篇1

课例设计：股定理的验证及简单应用

●山东省博兴县纯化镇中学 张海生 邮编：256507 设计说明: 本节课的教学内容是人教2005版八年级数学下册 P72-75《18.1勾股定理》.一、教学目标

1、知识目标：

（１）经历用拼图法（“演段算法”）验证勾股定理的过程，进一步理解掌握勾股定理；

（２）了解勾股定理的历史，初步掌握勾股定理的简单应用.２、能力目标：

经历观察、归纳、猜想和验证的数学发现过程，发展合情合理的推理能力，沟通数学知识之间的内在联系，体会形数结合的思想； ３、情感目标：

（１）通过对勾股定理历史的了解和实例应用，体会勾股定理的文化价值.（２）通过获得成功的经验和克服困难的经历，增进数学学习的信心；对比介绍我国古代和西方数学家关于勾股定理的研究，对学生进行爱国主义教育.二、教学重点、难点

拼图验证勾股定理蕴涵着如“数形结合”等丰富的数学思想，同时还关注学生是否能与同伴进行有效的合作交流，关注学生是否积极的进行思考，关注学生能否探索出解决问题的方法，为了使这些要求在课堂中得到较好的体现，本节课重点确定为：通过拼图验证勾股定理及其在数学发展史中的作用；在勾股定理的应用过程中使学生获得一些研究问题与合作交流的方法经验.其中利用“数形结合”的方法验证勾股定理是本节难点.三、教学实录

１、创设情境 引入勾股定理

教师：上课开始，先请同学们欣赏一棵“美丽的勾股树”.漂亮吗？

学生：哇！太漂亮了！

（几何画板课件展示动态上图，同时闪烁画圈图形，这足以让学生震憾.第一步“预设”成功.创设的“美丽”却又“神秘”情境，能够充分地调动不同层次学生的“有意识注意”及积极主动性，激发他们的学习愿望和参与动机，体验 “数学的美”.）

教师：再请同学们欣赏伴随着我们的课本封面，从电脑中飞出的“弦图”.学生：课本封面？！（有的学生翻阅课本封面，说明对于此虽然“熟视”却又“无睹”.但是此时学生好像有所悟.以“课本封面弦图”创设情境，再一次让学生经历和感受“生活处处是数学”.）

教师：这两个图形中蕴藏着反映自然界规律的一条重要结论，它历史悠久，在数学的发展中起着重要的作用，现实中也有广泛的应用——勾股定理.（课件闪烁突出“弦图”，并从图片中分离出如上两图形.引出课题.）

2、勾股定理的探索及验证(1)猜想结论

教师：如图1、2所示，已知直角三角形的两条直角边是a、b，斜边长为c，猜想一下它的三边之间有怎样的数量关系呢？并运用图形验证你与同伴找到的结论.学生：a2+b2=c2„„勾股定理.（大部分学生几乎脱口而出.这也意味着学生已经预习，并且明确了老师前一环节所创设情境的目的.显然教师“预设”不成功.根据 “课堂现场”发生的情况，适时调整“预案”，舍去“发现结论”教师的启发，转为“结论验证”故事学生的讲解，以使教学活动收到更好的效果.）

教师：非常正确，是勾股定理.相信大家，已经阅读过有关勾股定理的知识！有谁能给同学们讲一下？！（顺水推舟）

(2)学生讲解 验证结论

学生1：相传2500年前，古希腊著名的数学家毕达哥拉斯，有一次在朋友家做客时，发现朋友家用砖铺成的地面(如右图)中反映了直角三角形三边的某种数量关系.相传为了庆祝这一定理的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵，因此这个定理又叫做“百牛定理”.进而我们也可以借助于“毕达哥拉斯”的方法，将图1放在方格纸中进行验证：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方.（学生很自信并争先恐后的给学生介绍.教师同时展示“预案”中的课件片段如图3.）

学生2：我知道：还有古巴比伦人在三千多年前也了解到这条定理.学生3：你们是不是有点“崇洋媚外”了.其实，我国早在三千多年前商高与周公的一段对话中就提到了“勾三，股四，弦五”，所以曾一度把它叫做“商高定理”或“勾股弦定理”.我国古代的数学家们不仅很早发现并应用勾股定理，而且尝试对勾股定理进行理论

性的证明.最早对勾股定理进行

证明的是三国时期的数学家赵爽.他在注解数学著作《周髀算经》提到，勾股术(即勾股的计算方法)是禹在治理洪水计算水位差的过程中发现的.赵爽创造了一幅“勾股圆方图” 即我们的图2来证明勾股定理，后来人们称它为“赵爽弦图”.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较

长的边称为股，斜边称为弦，所以，把它叫做勾股定理（师展示图4）

学生4：2002年在北京召开了第24届国际数学家大会，“赵爽弦图” 还成为大会会徽的图案呢！（师展示图5）.教师：太棒了！看来同学们是纵览古今中外，悉知勾股定理.老师真心希望同学们在学习知识的同时，还要注意这些故事的人文价值.毕达哥拉斯告诉我们：看似平淡无奇的现象有时却蕴藏着深刻的道理.赵爽给我们展示的我国的古代文明，相信现代文明下的你们，将来一定能发扬中华民族的智慧更好、更快、更强的建设我们的国家！学生：呵呵.（学生笑了）

(3)验证结论

教师：其实“赵爽弦图”„„ 学生5：老师，对于毕达哥拉斯的方法„我„我不是很明白„„您看„„（话没说完，被学生的提问打断了.笔者愕然，完全出乎意料之外，“预设”又一次失败.）教师：别着急！大家一块帮帮他吧！（学生1和同小组内的学生主动与学生5交流.其他的学生也交流起来！“这里应该没有什么问题？还是放手让学生合作探究出现的问题吧.说不定能碰撞出现思维的火花！”）教师：可以了吗？你能给大家介绍一下交流的结果吗？ 学生5：对于毕达哥拉斯的方法：由于等腰直角三角形是一种特殊的直角三角形.我们在一张学案纸上作出一

个等腰直角三角形，并分别以此直角三角形的三边为边向形外作三个正方形.按图6将蓝色小正方形分①、②、③、④剪下，然后拼成在红色大正方形上，正好覆盖，说明面积相等.即等腰直角三角形直角边的平方和等于斜边的平方.还可以按图7将①、②、③、④拼在红色大正方形周围进行验证.对于一般的直角三角形如图8也可以不利用网格线直接计算面积，而是直接把图形进行“割”和“补”验证.最大的正方形的面积是由以c为边长的正方形和四个直角三角形组成，即（a+b）22= c+4×1/2ab，进而验222证得出a+b=c.（学生实物投影展示自己的作图）教师：“人多力量大，众人拾柴火焰高”，“团队”的力量是无穷的.学习也是如此，对于不懂的问题一定要知道“合作”.其实老师刚才要讲的就是这种验证的方法.“赵爽弦图”是我国“演段算法”的起源.所谓“演段算法”，就是把图形作适当的 “分割”，然后进行 “移补凑合”而使问题得到解决的一种数学方法.这种方法对于大家应该不陌生，因为在学习整式的运算，中平方差公式、完全平方公式就是用拼222图如图推出(a+b)=a+2ab+b的.（课堂上老师大胆的放手让学生合作探究出现的问题，也许 是“教师的课堂智慧”吧.）

教师：再来展示一下古代数学家赵爽的证明思路.由（3）图知c= 1/2 ab×4+(b-a)，化简得c=a+b.（学生点头微笑，为赵爽的证明所折服.）正因为此，“赵爽弦图”才成为2002年在北京召开的了第24届国际数学家大会会徽图案.（学生又一次点头.可能是为古代数学家的聪明才智所动容.）2

222

2(3)拓广、延伸验证

教师：数学家确实伟大！其实数学家就在我们身边！学生：呵呵，不可能.（学生惊喜，但有点怀疑“老师是

激励我们吗？还是……”）

教师：学生5的图8中就有一种简单的方法.学生：不会吧！（就连学生老师学生1也不相信.此时教师只是在学生5的图8上轻轻一画，如图9.）学生：真的是!学生5真是不得了！（学生5的笑容表明：自信心提高了！）

教师：相信自己就是数学家！中国数学的发展还要靠大家的努力！加油！

教师：勾股定理的验证方法不胜枚举，据统计有400多种，仅由卢米斯1940年编写的《毕达哥拉斯定理》一书就搜集了370种证明方法.参与寻求方法的不仅是数学家还有总统呢！1876年4月1日，美国俄亥俄州共和党议员加菲尔德，颇有兴趣地《在新英格兰教育杂志》上发表了勾股定理的一个证明方法.据他说，这是一种思维体操，并且还调皮地声称，他的这个证明是得到两党议员“一致赞同的”.由于1881年加菲尔德当上了美国第二十届总统，这样，他曾提出的那个证明也就成了数学史上的一段佳话.学生: 能给我们介绍一下这位总统的证明方法吗? 师：可以.如图10所示.这就是这位总统用两个全等的直角三角形拼出的图形，大家不妨与上面的方法用全等的4个直角三角形

拼出来的图形对比一下，看有什么联系.学生：总统拼出的图形恰好是上面方法拼出的大正方形的一半.教师： 同学们不妨自己从图10中推导出勾股定理.学生6：图10形整体上拼成一个直角梯形.所以它的面积有两种表示方法: 既可以表示为 1/2(a+b)×

2(a+b)，又可以表示为 1/2 ab×2+ 1/2 c.对比两种表示

2方法可得 1/2(a+b)×(a+b)=1/2 ab×2+ 1/2 c.化简，222

可得a+b=c.教师：很好.同学们如果感兴趣的话，不妨自己也去寻找几种证明勾股定理的方法.（可以指导学生在Internet网查询浏览或到图书室查找相关资料；也可以给学生准备的阅读资料《勾股定理的证明》作为学案附件.）

教师：好，前面同学们验证了直角三角形三边满足的222

关系a+b=c.那么锐角三角形或钝角三角形的三边是否也满足这一关系呢?.观察图11，用数格子的方法判断图中两个三角形的三边关系是否也满足.教师：图11中的△ABC和△A′B′C′是什么三角形? 学生：不难看出△ABC中，∠BCA>90°.△ A′B′C′中，三个内角都是锐角，所以△ABC是钝角三角形，△A′B′C′是锐角三角形.教师：△ ABC的三边上“长”出三个正方形.谁来帮老师数一下每个正方形含有几个小格子? 学生7：以b为边长的正方形含有9个小格子，所以这个正方形的面积b 2=9个单位面积；以a为边长的正方形中含有8个小格子，所以这个正方形的面积a2

=8个单位面积；以c为边长的正方形中含有29个小格子，所以这个正方形的面积c2=29个单位面积.a2+b2=9+8=17，而c2=29，所以在钝角三角形ABC中，a2+b2≠c2.教师：那么在锐角三角形A′B′C′中又如何呢? 学生：以a为边长的正方形含5个小格子，所以a2

=5个单位面积；以b为边长的正方形含有8个小格子，所以b2=8个单位面积；以c为边长的正方形含9个小格子，所以c2=9个单位面积.而a2+b2

=5+8=13≠9，所以在锐角三角形 A′B′C′中，a2+b2≠c2

.(4)归纳定理 验证继续

教师：通过对上面两个图形的讨论我们可进一步认识到，只有在直角三角形中，三边a、b、c才有a2+b2=c

2(2 其中a、b是直角边，c为斜边)这样的关系成立.（板书勾股定理：如果直角三角形的两直角边长为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2）.学生8：老师，我发现在钝角三角形ABC中，虽然a2+b2≠c2，但它们之间也有一种关系: a2+b2c2.它们恒成立吗? 教师：这位同学很善于观察与思考，这两个结论对不对呢?同学们课后不妨验证一下，你一定会收获不小.3、勾股定理（应用）就在生活中

教师：同学们对于勾股定理的探究与验证非常成功！也知道了勾股定理是研究了直角三角形三边之间的数量关系.其实大家不知道发现了没有，勾股定理就在我们的生活中，并且应用非常广泛.例题：健妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机.晓健量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了.你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？

学生1：由于29英寸的电视机指的是其屏幕对角线长为74厘米.因此抽象出图形直角△ABC，其中AB=74.如果在△ABC中AC=46，BC=58，利用勾股定理得到：AB2= AC2+ BC，进一步求得AB的值，即可验证售货员是否搞错了.4、反悟课堂 简记收获

教师：太棒了！看来这节课，同学们不仅有效的探究、验证了勾股定理，而且能够运用勾股定理解决生活中的问题！相信一定收获颇丰！与同伴交流一下，并将自己的所得写在数学日记中.（日记摘录：①本节课探索、验证直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.②还利用勾股定理，解决生活中的问题.③方法归纳：一是数方格看图找关系，利用面积不变的方法；二是用直角三角形三边表示正方形的面积，“割补演段算法”.④知道了关于勾股定理相关历史、验证方法和人文价值.⑤我们一定要学习赵爽等古人的智慧，为我国数学的发展做出点贡献.⑥查阅资料知道：目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等．我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的．这个事实可以说明勾股定理的重大意义．尤其是在两千年前，是非常了不起的成就．勾股定理还有一个名字叫做“驴桥定理”，但是在课堂上老师没有讲到……）

5、带着勾股定理 走进生活

作业1：图（甲）所示，一个梯子AB长2.5m，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C的距离为1.5m，梯子滑动后停在DE的位置上，如图3（乙）所示，测得BD长为0.5m，求梯子顶端A下落了多少m.作业2：Internet网查询浏览有关勾股定理的知识 作业3：探究“勾股树”的奥秘.（与情境引入部分前后呼应.）

作者简介：

张海生，男，中学二级数学教师.山东省博兴县初中数学教学能手.从教10年来，教学成绩优异.撰写的多篇教育教学论文发表在《中国教师报》、《基础教育参考》、《上海教育》、《德育报》、《新课程研究》、《中国中学生报》、《现代教育导报》等国家、省级报刊杂志上.如《浅谈现代教育技术中的媒体应用问题》2006年发表于《基础教育参考》杂志，《再谈教材中的折叠问题》2007.3发表于《中学数学教学参考.初中版》，还有《让数学课堂冲满浓郁的文学色彩》发表在山东省教师教育学会会刊《创新教育》2008年第一辑发表等；辅导类文章200余篇发表在《中学生数理化》、《中学生数学》、《数学辅导报》、《少年智力开发报.数学专页》、《学苑新报》、《数学周报》上.并有50多个课件收录在教育部信息技术在教学中的应用重大课题研究成果《华夏教育软件系列中学数学多媒体课件人教课标版课时课件》中.2007年参与了市级课题“十一五”重点课题“实施教学案一体化 促进师生共同发展”的研究.山东省博兴县纯化镇中学

张海生 邮编：256507 E-MAIL: zhanghaisheng200412@yahoo.com.cn 联系电话:***