数学定理教学

数学定理教学（精选12篇）

数学定理教学 篇1

定理是数学基础知识的重要部分, 是数学规律的体现.所以, 定理教学是中学数学教学中的重要内容.要上好定理课, 要根据不同的数学定理, 精心做好教学设计, 设计要合乎学生心理要求和思维发展规律, 按学生认知结构规律进行教学, 强调学生主动参与寻求、发现和作出证明的过程.

一、建立合适的情景引出定理

在定理教学过程中, 教师要有意识地给学生创设条件, 有目的地提供一些供研究的素材, 并作出必要的启示或指引, 让学生自己进行思考, 通过演算、实践或观察、分析、推理等步骤, 自己探索规律, 建立猜想, 发现命题.这样不仅能激发学生的学习兴趣, 调动起学生学习的积极性;又可引导学生主动地发现数学定理, 从而加深对定理的理解.至于提供何种素材, 怎么样组织学生研究, 则要根据定理灵活处理.可以通过探究实践来引导学生发现和认识定理.例如, 教授“三角形内角和定理”, 首先要求每名学生在纸上任意作一个三角形, 剪开分成三部分, 然后把三角形三个内角拼在一起, 问学生:这三个内角和等于多少呢?由此引入三角形内角和定理.通过让学生动手操作, 创设问题情境, 激发学生的好奇心和求知欲, 从而积极主动地投入到探索学习中去;同时也为验证三角形内角和定理提供材料, 并且自然地引出了本节课要学习的内容.

二、认清定理的条件和结论

定理的条件是一个定理成立的必要前提条件, 不可缺少, 否则这个定理就不会成立, 更谈不上应用它来解题了, 结论也是一样.认清定理的条件和结论, 是掌握定理和应用它来解决实际问题的关键, 否则会产生严重的后果.例如, 判定两个三角形全等的方法有SSS, SAS, ASA, AAS, HL, 但是每个判定定理成立的条件都不一样, 学习全等三角形应注意出现以下几个问题:1.寻找对应边和对应角出错, 不能正确识别对应边和对应角, 因而不能看出两个三角形是如何重合的.2.利用三个角对应相等来判断全等, 这是错误的证法, 三个角对应相等的两个三角形不一定全等.3.利用两边及一边的对应角相等时出错, 实际上, SSA不能作为三角形全等的识别条件, 两边及一边的对应角相等的两个三角形不一定全等.

三、掌握定理的证明过程

恰当地引入, 发现定理后, 学生的兴趣被激发, 对证明有迫切感, 要抓住机会给予证明, 定理的证明是定理的重要组成部分, 它揭示了定理的来龙去脉, 因此学生应该掌握.在定理证明中, 教师要精心组织教学内容, 展现数学知识发生过程的思维活动, 为学生创设问题情境, 教给学生发现、创造的方法.例如, 用拼图的方法来帮助学生理解勾股定理.首先让学生在课前准备四个形状大小相同的直角三角形和一个边长与斜边相等的正方形.可让学生分组讨论并动手, 将它们拼在一起, 要求直角三角形的边与正方形的边重合但又不能有重叠的部分.要给足时间, 让学生的思维得到充分的展现.学生展示结果.一般可能会出现以下两种情况.让学生继续思考:你能根据图形的面积之间的关系说明a, b, c之间的关系吗?

如图1所示:∵S大正方形=c2,

如图2所示:∵S大正方形= (a+b) 2,

本证明着重引导学生根据实际问题画出数学图形, 让学生把与直角三角形有关的问题转化为直角三角形来解决, 通过利用勾股定理解决生活中的实际问题, 让学生感受数学源于生活又作用于生活, 数学是为生活服务的, 感受数学的应用价值.

四、设计适量的练习巩固定理

让学生明确定理的应用价值和使用范围, 对形成学生的有意注意, 提高学习积极性、目的性和应用知识的准确性都是十分必要的.但是对于定理的应用, 学生顺用比较容易, 逆用、变用则比较困难, 教材中逆用的习题并不多, 因此, 教师还要适当补充这方面的例题和习题, 注意培养学生解决问题的能力.

五、揭示定理之间的内在联系

中学数学中的许多定理彼此联系紧密, 容易混淆.为此, 在教学中讲授定理时, 应使学生了解每个定理在数学知识中的来龙去脉和发生过程.当教授完这些定理后, 还要注意及时揭示它们之间的内在联系, 使学生的知识系统化.这样做, 对于学生牢固掌握这些定理, 培养他们的辩证观点也是十分有利的.例如, 掌握好平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念, 了解它们之间的联系与区别, 因为各种平行四边形概念交错, 容易混淆, 常会出现“张冠李戴”的现象, 在应用它们的性质和判定的时候, 也常常会出现用错或多用或少用条件的错误.教学中要注意用“集合”的思想, 结合教科书中的关系图, 分清这些四边形的从属关系, 梳理它们的性质和判定方法, 是克服这一难点的关键.所以掌握平行四边形的概念、性质和判定, 并能应用这些知识解决问题, 是学好本章的关键.

参考文献

[1]龚运勤.数学课堂教学设计方法论[M].2008

[2]袁玉萍.试谈中学数学定理教学[J].中学数学课程辅导教学研究, 2011.

数学定理教学 篇2

浅谈数学定理的教学

数学教学中应重视数学定理的教学，以提高学生对数学的理解，提高学生的思维能力，下面就谈一谈我在数学定理教学中的几点体会。—，讲清楚定理的实际来源

由于数学本身具有理论的抽象性、逻辑的严谨性等特点,使学生望而生畏，事实上,初级中学不少数学概念等内容都可以找到它的实践原型。如：立体几何里的一个定理：若一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直。单单这样讲, 学生不易接受，讲清楚它们的来龙去脉,可使学生不会感到抽象乏味。可以告诉学生生活中就有这个定理的运用，砖匠在砌墙时都要先从上面挂一个铅垂线，然后沿着这条线往上砌墙，这样就可以确保墙面和地面

垂直，其实就是反映了这个定理的原理。

二、利用生动、直观的形象教学,提高学生抽象思维能力

学生的思维发展规律是由形象思维为主过度到经验型的抽象思维为主,并逐步向理论型的抽象思维发展。初中生对数学中抽象的概念、理论的学习往往由于社会实践经验相对缺乏,而停留在表面上的一知半解。因此,教学中要借助生动形象的直观教学,丰富学生的感性材料,把具体的东西和抽象的东西联系起来,调动学生的各种感觉器官,学会观察、分析、归纳,帮助学生的思维从具体上升到抽象,从而提高抽象思维能力,同时,通过学生的透彻思维,牢固掌握数学知识。如：立体几何里的定理：若两个相交平面都垂直于同一个平面，则它们的交线也垂直于这个平面。学生往往感到难以理解，其实我们教室的两个墙面和地面的位置关系就说明了这个定理。这样一来学生就有了直观的形象，就比较容易理解和掌握了。三，用具体的例子来说明

定理的最终掌握是会应用于解题，所以教师应通过例题的讲解来加深学生的理解和掌握，如：立体几何里的公理2：若两个平面有一个公共点，则这两个平面就有无数多个交点，且这些交点在一条直线上。这个定理的一个重要应用就是证明多点共线，教师可以举一个证明多点共线的题目，从而帮助学生对这个定理的理解和掌握。

谈谈初中数学“勾股定理”的教学 篇3

摘要：新课程标准对“勾股定理”教学第一课时提出了明确的课程目标：“体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单问题；”教师们根据这一课程目标又制定了第一课时的教学目标，知识技能：了解勾股定理的文化背景，体验勾股定理的探索过程；数学思考：在勾股定理的探索过程中，发展学生思维能力，体会数形结合的思想；解决问题

关键词：勾股定理 教学 运用

中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的第一章,就有这条定理的相关内容：周公问：“窃闻乎大夫善数也，请问古者包牺立周天历度。夫天不可阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出？”商高答：“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出九九八十一，故折矩以为勾广三，股修四，径隅五。既方其外，半之一矩，环而共盘。得成三、四、五，两矩共长二十有五，是谓积矩。故禹之所以治天下者，此数之所由生也。”就是说，矩形以其对角相折所称的直角三角形，如果勾（短直角边）为3，股（长直角边）为4，那么弦（斜边）必定是5。从上面所引的这段对话中，我们可以清楚地看到，我国古代的人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理这一重要的数学原理了。中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位。尤其是其中体现出来的“形数统一”的思想方法，更具有科学创新的重大意义。在教学中反思如下：

一、通过教学“勾股定理”的学习，培养学生学习数学的浓厚兴趣

在教学中我是这样引入新课的：教师用多媒体课件演示FLASH小动画片：“某楼房三楼失火，消防队员赶来救火，了解到每层楼高3米，消防队员取来6.5米长的云梯，如果梯子的底部离墙基的距离是2.5米，请问消防队员能否进入三楼灭火？”这样的问题设计有了一定的挑战性，其目的是为了激发学生的探究欲望，引导学生将实际问题转化为数学问题，也就是“已知一直角三角形的两边，求第三边？”的问题。学生会感到一些困难，从而老师指出学习了这节课的内容后，同学们就会有办法解决了。这种以实际问题作为切入点导入新课，不仅自然，而且也反映了“数学来源于生活”，把生活与学习数学紧密结合起来，从而提高了学生学习数学的兴趣。

新课标要求老师一定要改变角色，变主角为配角，把主动权交给学生，让学生提出问题，动手操作，小组讨论，合作交流，把学生想到的，想说的想法和认识都让他们尽情地表达，然后教师再进行点评与引导，这样做会有许多意外的收获，而且能充分发挥挖掘每个学生的潜能，久而久之，学生的综合能力就会与日剧增。

二、教学过程中，转变师生角色，让学生自主学习

学生学会了数学知识，却不会解决与之有关的实际问题，造成了知识学习和知识应用的脱节，感受不到数学与生活的联系，这是当今课堂教学存在的普遍问题，对于学生实践能力的培养非常不利的。“教师教，学生听，教师问，学生答，教室出题，学生做”的传统教学摸模式，已严重阻阻碍了现代教育的发展。这种教育模式，不但无法培养学生的实践能力，而且会造成机械的学习知识，形成懒惰、空洞的学习态度，形成数学的呆子，就像有的大学毕业生都不知道1平方米到底有多大？因此，新课标要求老师一定要改变角色，变主角为配角，把主动权交给学生，让学生提出问题，动手操作，小组讨论，合作交流，把学生想到的，想说的想法和认识都让他们尽情地表达，然后教师再进行点评与引导，这样做会有许多意外的收获，而且能充分发挥挖掘每个学生的潜能，久而久之，学生的综合能力就会与日剧增。

三、学习“勾股定理”，让学生体会数形结合的思想

教学中教师关注学生是否积极参加探索勾股定理的活动，关注学生能否在活动中积思考，能够探索出解决问题的方法，能否进行积极的联想（数形结合）以及学生能否有条理的表达活动过程和所获得的结论等;同时关注学生的拼图过程，鼓励学生结合自己所拼得的正方形验证勾股定理.注意引导学生体会数形结合的思想方法，培养应用意识。勾股定理描述的是直角三角形的三边关系，应用勾股定理的前提是这个三角形必须是直角三角形。应强调通过图形找出直角三角形三边之间的关系，要从代数表示联想到有关的几何图形，由几何图形联想到有关的代数表示。

勾股定理是人们在实践生活中通过图形的分割探讨图形之间面积的关系过程中总结出的一种规律性特征。在历史上经过数学家和数学爱好者的不懈努力，现在记载的方法有很多种，证明的思路主要是通过拼凑两个或多个面积相等的图形，再依照面积相等的关系，获得结果。这种用“面积法”验证勾股定理的方法更为直接、简洁。教学中要引导、鼓励学生要多动手探索、多观察，体验数学活动充满着探索与创造。按照教材中的方法证明这个定理：让同学们拿出四个全等的直角三角形，拼出如图1所示的正方形，大正方形的面积既可以表示为（a+b）²，四个全等的直角三角形的面积+小正方形的面积=c²+2ab形由此可以得出（a+b）²=c²+2ab，化简后即可得a²+b²=c²

根据需要，我们还可以将公式变形为：a²=c²-b²或b²=c²-a² ，从而可知，在Rt△中已知两边可求出第三边。

四、学与用结合，体会到“勾股定理”在生活中的实际运用

作为学生，除了考试,勾股定理很少用到.，但是工程技术人员用的比较多,比如修建房屋、修井、造车等等，就可以用勾股定理来计算,设计工程图纸也要用到勾股定理,也经常用到“勾股定理”。在教学中，教师要培养学生“数学来源于生活”，把生活与学习数学紧密结合起来的思想。例如：

例3如图2所示，一个猎人在O点处，发现一只野兔正在他的正前方60米处的A点，以每秒10米的速度沿直线向B点奔跑．已知猎枪子弹的飞行速度是610米／秒，请问若猎人向野兔正前方11米处瞄准并开枪，那么能否打中野兔？

分析：只要知道子弹与野兔是否同时到达B点即可。

解：由已知，AB=11，OA=60，OA⊥AB。

在Rt△BOA中，

BO²=Ab²+AO²=112+602=3721．

所以BO=61．

野兔从A点到B点用时（秒）。

子弹从O点飞到B点用时（秒）。

由于野兔与子弹到达B点的时间不相等，相差较大，故不能打中野兔。

初中数学几何概念和定理教学探析 篇4

一、重视概念和定理的引入方法

首先, 教师要在课堂教学中抓准时机, 将几何概念和定理自然地引出来, 进一步揭示其产生的基础和背景, 使学生能够在充分理解的基础上掌握和运用几何概念和定理。由于几何概念和定理是前人从生活中抽象出来的精辟的理性认知, 单纯让学生死记硬背, 教学效率必然不会理想。因此, 数学教师要选择恰当的时机来引入概念和定理, 并引导和帮助学生完成从感性认识到理性认识的过渡。而这就要求教师在课前做好充足的准备工作, 为学生提供丰富的直观资料。比如, 在平行线概念的教学中, 教师可以利用铁路两条笔直平行的铁轨、汽车行驶后留下的车轮印等来引出这一概念。在课堂的一开始, 教师可以先让学生观察铁轨和车轮印有什么共同之处, 并对其特点进行分析, 在此基础上引出平行线的概念, 最后让学生根据自己对概念的理解列举更多的实例, 巩固对知识的掌握。在引入几何概念和定理的过程中, 教师要注意, 生活实例并不是几何概念和定理, 有的生活实例遗漏了概念和定理的某些本质属性, 有的包括了非本质属性, 这就要求教师做好引导部分的教学, 防止学生对概念和定理的曲解, 走向另一个极端。

其次, 初中几何的各部分知识虽然是独立的, 但教材也遵循着循序渐进、逐步深入的原则来安排教学内容, 而且这些内容是具有系统性、联系性的。因此, 在几何概念和定理教学中, 教师不能生硬地灌输给学生, 而要在他们已经掌握了某些概念和定理的基础上引入新的学习内容, 让学生认识到新旧知识间的联系, 同时要揭示新旧知识间的矛盾, 使他们认识到学习新概念和定理的必要性。而这就要求初中数学教师在备课环节全面深入地分析新的几何概念和定理在整个系统中的位置和作用。

二、探索多种定理证明方法

几何是集思维和方法于一体的知识, 一个定理的证明往往有多种方法, 这些方法又常常涉及到许多数学知识。因此, 定理教学中不仅要考虑到定理证明的分析和综合, 还要考虑到其他可能的证法, 要有效地抓住定理教学的机会, 使学生综合运用所学知识, 同时培养他们的数学思维、渗透数学学习方法。具体的教学中, 首先, 教师要善于通过自己的行为影响、带动学生。如果教师在思想上十分重视定理证明的多样化, 必然在平时教学中表现出来, 学生受其影响在解决问题的时候就会从多个角度加以思考。事实上, 有些数学教师不会耐心引导学生去探究方法, 而是简单地讲解定理的意思或者选择一种最简单的证明方法传授给学生, 虽然从某种意义上讲达到了让学生易于理解的目的, 但是却使学生的思维被禁锢, 无法得到多方面的发展。久而久之, 必然导致学生觉得几何定理枯燥乏味, 加之几何定理学习本身具有抽象性, 就会使学生失去对几何定理学习的信心和耐心。其次, 在定理教学时, 教师要注意引导、启发学生去探索定理的其他证法, 这样既有利于加深学生对定理的理解, 又有利于培养学生综合运用知识的能力。此外, 教师还必须注意可能出现的错误证法, 究其错误原因, 防止或减少错误的发生。比如, 在讲三角形内角和定理的证明时, 我先启发学生发现第一种证明方法中蕴含的思想和方法, 然后给学生充分的时间去积极思考, 热烈讨论, 探索其他方法, 学生在探索的过程中不断体会本节课的中心数学思想——转化思想, 同时积极讨论使课堂气氛达到了高潮, 学生都争先恐后地表达自己的想法, 极大地带动了中下层学生课堂参与性。最令我高兴的是学生找到了六种证明方法, 还有一些学生找到的方法超出我的预料, 虽然是错误的但也带给无数的惊喜, 使我感叹学生的创造力和想象力。

三、抓住概念和定理的本质, 促进学生理解

几何定理是我们对研究对象的本质属性的概括, 措辞更是精炼, 每个字词都有其重要的作用。为了深刻领会概念和定理的含义, 教师不仅要注意对概念和定理论述时用词的严密性和准确性, 还要及时纠正学生用词不当及概念和定理认识上的错误, 这有利于培养学生严密的逻辑思维习惯, 使他们逐步养成对定义的深入钻研, 逐字逐句加以分析, 认真推敲的良好习惯。例如, 在讲解等腰三角形概念时, 一定要强调概念中的有两条边相等的“有”字, 而不是只有两条边相等的“只有”二字。前面的有两条边相等包括了两种情况:一是只有两条边相等的等腰三角形, 即腰与底不相等的等腰三角形;二是三条边相等的等腰三角形又叫等边三角形, 而后面的仅仅涉及到一种情况, 排除了等边三角形也是等腰三角形的这一特殊情况。又如, 不在同一直线上的三点确定一个圆, 若改写成三点确定一个圆, 得出一个新命题, 它既包括了三点在同一直线上又包括了三点不在同一直线上的两种情形, 而在同一直线上的三点不可能确定一个圆, 即圆上任意三点都不在同一直线上。所以将不在同一直线上三点确定一个圆写成三点确定一个圆是不成立的。因此, 在讲述此概念时应突出“不在同一直线上”这句话。

概念和定理是几何证明的基础, 有效的定理教学有助于学生对证明全面的理解;有利于教师使用较规范的数学语言表达证明过程, 有利于教师清晰而有条理地表述自己思想, 有利于激发学生对数学证明的兴趣心。新的教学理念对教师提出更高的要求, 作为教育工作者, 我们只有在教育教学的实践中多总结、多反思、大胆创新, 才能跟上时代的步伐!

摘要：随着初中新课程的改革, 初中数学的教学内容和方法也发生了很大的变化, 几何与代数成为初中数学教学内容的重要组成部分。不同于代数知识内容的简单性, 几何内容十分丰富, 涉及面广, 理论性强的原理、公式也较多, 证明过程复杂, 这就对学生的立体思维能力和想象能力提出了很高的要求, 也给教师的教学工作增加了难度。因此, 加强对初中数学几何概念和定理的研究, 探索有效的教学策略, 值得每一位数学教育工作者重视。

关键词：初中数学,几何定理,教学效率

参考文献

[1]朱宁.浅谈初中几何教学[J].教育教学论坛, 2011 (16) .

数学定理教学 篇5

【内容摘要】初中阶段的数学课程中，几何部分是一个绝对的教学重点，不少知识也是教学中的一个难点。在几何内容的教学中，如何能够让学生更好的理解相应的几何定理，这是很多教师都在不断探究的问题。针对几何定理的教学方法的选择非常重要，教师要选取一些更为合适的教学方法与教学理念，并且要以灵活的模式促进学生对于定理的理解与认知。这样才能够真正促进学生对于几何定理有更好的理解与吸收，并且让学生对于知识的掌握更加透彻。

【关键词】初中数学 教学 几何定理 策略

对于几何定理的教学中，教学策略的有效选择非常重要。教师要善于将抽象的知识具象化，将一些具体的内容融入到学生熟悉的生活中加以体验。这会让学生对于教学知识点更容易理解与接受，也能够化解很多理解上的障碍。在这样的基础上才能够提升知识教学的成效。

一、让学生在画图中体验几何定理

让学生在画图中来增进对于几何定理的体验，这是一种很好的教学模式，这也会让学生在知识的应用中深化对于很多定理的理解与吸收。初中阶段学生们接触到的大部分几何定理都不算太复杂，很多知识点都可以在生活中得以验证。这给学生的知识体验提供了很好的平台。教师可以创设一些好的教学活动，让学生在动手作图的过程中来对于很多定理有更为直观的感受。同时，这也是对于很多定理展开有效验证的教学过程，这些都会让学生对于知识点的掌握更加牢固。

例如，学到定理“三角形两边的和大于第三边”时，可以让学生用直尺画出任意一个三角形，并测量出三条边的长度，并按照定理进行计算，看结论是否与定理一致。又比如，学到定理“两直线平行，同位角相等”时，让同学们在纸上画出两条平行的直线，再画出一条同时与两条直线相交的直线，找出它们的同位角，用量角器进行测量，看结果是否相同。让学生自己来画图，这首先能够给学生的知识应用与实践提供良好的空间；同时，学生也可以在过程中对于很多内容展开检验。这些都会增进学生对于几何定理的理解与认知，并且能够让学生对于相应的知识点有更好的掌握。

二、注重对于学生想象力的激发

初中阶段的几何教学中学生们会逐渐接触到立体几何的内容，虽说很多知识点并不复杂，但是，对于初次接触的学生而言还是存在理解上的障碍。在立体几何知识的学习中，学生的空间想象能力非常重要，这是让学生能够更好的理解很多图形的特点以及变化规律的基础。正是因为如此，想要深化学生对于几何定理的理解与认知，教师要加强对于学生想象力的培养，这将会极大的提升学生的知识理解能力。教师可以将具体的知识点融入到学生熟悉的生活场景中加以讲授，这会为学生的想象力提供良好的平台，也会让学生对于很多内容有更好的领会。

几何定理的理论性和抽象性较强，在教学中，充分发挥学生的想象力也是加强定理记忆的一种好方法。在学到某些定理时，可以让同学们想一下生活中满足几何定理条件的事物，加深同学们对这条定理的印象。当记不起定理内容时，只要想起相应的事物就很容易想起定理的知识。比如，定理“平行线永远不会相交”的学习，就可以想象生活中存在平行关系的事物，比如平房的屋顶和地面，它们永远不会相交，所以平行线也不可能相交。这些都是很好的教学范例，能够极大的促进学生对于几何定理的理解与领会。教师要善于利用一些灵活的教学方法与教学模式，这对于促进学生的知识吸收将会很有帮助。

三、生活化几何定理的教学

生活化几何定理的教学同样是一个很好的突破口，这对于提升学生的知识掌握程度将会起到很大的推动。对于很多抽象的几何定理，想要让学生深化对其的理解与认知，最有效的办法就是将它融入到学生们熟悉的生活场景中加以体验。教师可以结合具体的教学内容创设一些生活化的教学情境，让学生们结合生活实例来对于相应的几何定理加以认知。这首先会降低知识理解上的难度，也会为学生的知识领会提供积极推动。在这样的教学过程中才能够帮助学生对于几何定理有更好的认知，这也是提升课堂教学效率的一种有效方式。

老师在备课时，要将定理知识与实际生活紧密联系起来，用我们生活中最普通的现象解释难懂的理论知识。比如，在学到“两条直线平行，内错角相等”这条定理时，可以利用多媒体课件，向同学们展示盘山公路两次拐弯平行时的内错角图示，引导学生进行多方位、多角度的思考。这种做法也会激发同学们对生活中类似现象的思考，提高他们在生活中发现、推导几何定理的能力。让几何定理的教学与学生熟悉的生活情境相结合，这是一种很有效的教学策略，这也是提升知识教学效率的一种有效模式。

结语

几何定理的教学是初中数学教学中的一个难点，如何能够有效的突破这个教学难点，这需要教师在教学方法上有灵活选择。教师可以让学生在画图中体验几何定理，也可以透过生活化的教学模式突破学生理解上的障碍，这些都是很好的教学模式。培养学生的想象力也非常重要，这同样能够深化学生对于几何定理的理解与认知，并且有效提升知识教学的效率。

【参考文献】

数学定理教学 篇6

圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

已知：在⊙O中，弧BC所对的圆周角是∠BAC，圆心角是∠BOC（如图一），求证：∠BAC= ∠BOC。

分析：圆周角∠BAC与圆心O的位置关系有三种：（1）圆心O在∠BAC的一条边AB（或AC）上（如图二）；（2）圆心O在∠BAC的内部（如图三）；（3）圆心O在∠BAC的外部（如图四）。

在第一种位置关系中，圆心角∠BOC恰为△AOC的外角，这时很容易得到结论；在第二、三两种位置关系中，均可作出过点A的直径，將问题转化为第一种情况，同样可以证得结论。这充分体现了一种重要的数学思想——化归思想。

数学问题的解决几乎都离不开化归，只是体现的形式有所不同。计算题是利用规定的运算法则进行化归，证明题是利用公理、定理或已经证明了的命题进行化归，应用题利用数学模型化归，因此，离开了化归，数学问题将无法解决。通过一定的转化过程，把待解决的问题转化为已经解决或比较容易解决的问题或这类问题的某种组合，这种思想被称之为化归思想。从化归的途径上来看，大致可以分为下面两种：

一、新知识向已有知识的转化

在初中阶段，有许多新知识的获得或新问题的解决都是通过转化为已知知识或已解决的问题来完成的，也就是将新知识向已有知识进行转化，从而使问题得到解决。下面就以解方程为例来进行分析。

解一元二次方程时有以下四种基本解法：

（一）如果方程的一边是关于X的完全平方式，另一边是个非负数，则根据平方根的意义将形如（x+m）2=n（n≥0）的方程转化为两个一次方程而得解，此为直接开平方法。

（二）如果将方程通过配方恒等变形，一边化为含未知数的完全平方式，另一边为非负数，则其后的求解可由思路一完成，此为配方法。

（三）如果方程一边能分解成两个一次因式之积，另一边为零，就可以得到两个因式分别为零的一次方程，它们的解都是原方程的解，此为因式分解法。

（四）如果以上三条思路受阻，便可把方程整理为一般形式，直接利用公式求解。

纵观以上四种方法，不难发现，方法一是依据平方根的意义将二次方程转化为一次方程，完成了由“二次”向“一次”的转化。方法二中的“配方”仅完成了方程的恒等变形，把问题转移到“可开方”上来，并未完成“降次转化”这一实质性工作，但已经为“二次”向“一次”转化创造了条件，因而习惯上称之为“配方法”，配方法的实质就是通过转化为开平方来解决的。方法三即因式分解法也顺利地实现了由“二次”转化为“一次”的目的。方法四即所谓公式法，对一般的一元二次方程，通过配方，转化为开平方求得一般结论，即求根公式。公式法实际上已将解方程转化成为代数式的求值问题，而公式的得到则是化归思想的典型体现。纵观整个初中教材，不难发现除了解方程问题，还有许多知识的转化都属于新知识向已有知识的转化。

二、一般情况向特殊情况的转化

本文开头圆周角定理的证明就是先解决特殊条件或特殊情况下的问题，然后通过恰当的化归方法把一般情况下的问题转化为特殊情况下的问题来解决，这也是顺利解决某些问题的一种重要的化归途径，特别是在中考题的最后一题中，往往也有许多时候是需要先解决特殊条件下的问题，然后再通过化归把一般情况下的问题转化为特殊条件下的情形来解决。

三、化归思想方法的教学策略

从上面的分析中，我们不难发现化归思想在初中数学的学习中有着举足轻重的作用，是一种非常重要的数学思想。那么如何在日常教学中更好的渗透和落实化归思想呢？

（一）夯实基础知识，完善知识结构是落实化归思想方法教学的基础。教学过程中，可从以下几个方面做起：

1、重视概念、公式、法则等基本数学模型的教学，为寻求化归目标奠定基础。从某种意义上说，中学数学教学实际上是数学模型的教学，建立数学模型是实现问题的规范化和程序化，运用模型的过程即是转化与化归的过程。

2、养成整理、总结数学方法的习惯，为寻求化归方法奠定基础。差生之所以拿到基本题没有思路，其根本原因是其知识结构残缺不全。

3、完善知识结构，为寻求化归方向奠定基础。在平时教学中帮助学生完善知识结构，例如做好单元小结，其中画知识结构图或列知识表是完善知识结构使知识系统化、板块化的有效方法之一。通过表格或网络图，知识之间的相互联系、依存关系一目了然，为问题的转化提供了准确的方向。

（二）培养化归意识，提高转化能力是实现化归思想方法教学的关键

数学是一个有机整体，它的各部分之间相互联系、相互依存、相互渗透，使之构成了纵横交错的立体空间，我们在研究数学问题的过程中，常需要利用这些联系对问题进行适当转化，使之达到简单化、熟悉化的目的。要实施转化，首先须明确转化的一般原理，掌握基本的化归思想和方法，并通过典型的问题加以巩固和练习。因此，在平时的教学中，我们不断教会学生解题，通过仔细的观察、分析，由问题的条件、图形特征和求解目标的结构形式联想到与其有关的定义、公式、定理、法则、性质、数学解题思想方法、规律以及熟知的相关问题解法，由此不断转化，建立条件和结论之间的桥梁，从而找到解题的思路和方法。

（三）掌握化归的一般方法，是实现数学化归思想方法教学的基本手段

化归的实质是不断变更问题，因此，可以从变形的成分这个方面去考虑，也可以从实现化归的常用方法直接去考虑。在实际运用中，这两个方面又是互相渗透、互相补充的。初中阶段常用的化归方法有恒等变换法，具体包括分解法、配方法、待定系数法等：其次是映射反演法，具体包括换元法、坐标法等。

（四）深入教材，反复提炼与总结是实现化归思想方法教学的基本途径

例说数学公式、定理的教学设计 篇7

问题是数学的心脏, 有了问题, 思维才有方向。在课堂教学中, 教师要适时设计一些具有层次性、针对性的问题, 让问题贯穿整个教学活动中, 进而促进学生积极思维.例如, 教学“三角形的中位线定理”时, 可以设计如下问题:

问题1:你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗?这四个全等三角形能拼凑成一个平行四边形吗?

学生想出了这样的方法:顺次连接三角形每两边的中点, 看上去就得到了四个全等的三角形.

问题2:你有办法验证吗?

生1: (如右图) 沿DE、DF、EF将画在纸上的△ABC剪开, 看所得三角形能否重合.

生2:分别测量四个三角形的三边长度, 判断是否可利用“SSS”来判定三角形全等.

生3:分别测量四个三角形对应的边及角, 判断是否可利用“SAS、ASA或AAS”来判定全等.

问题3:以上验证方法存在误差, 如何利用推理论证的方法验证呢?

值得注意的是:在实际教学中, 设计的问题必须具备启发性、探索性和开放性, 既要让学生能通过探索和学习达到基本要求, 又要注意问题的层次性.

二、以探究实现合作

新课标指出:“有效的数学学习不能单纯依赖模仿和记忆, 动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式.”因此, 在课堂教学中, 应以学生的自主探究、合作交流为主线, 鼓励学生积极主动地进行探究式学习.

例如, 教学“三角形的中位线定理”时, 可以引导学生进行以下证明.

已知:如右图, DE是ABC的中位线, 求证:DE//BC且

学生独立思考后教师启发:要证明两条直线平行, 可以利用“三线八角”的有关内容进行转化, 而要证明一条线段的长度等于另一条线段长度的一半, 则可采用将较短的线段延长一倍, 或者截取较长线段的一半的方法.

生1:如图, 延长DE到F使EF=DE, 连接CF.由△ADE≌△CFE (SAS) 得四边形DBCF为平行四边形, 得

生2:过点C作CF//AB交DE的延长线于点F.

生3:将ADE绕E点沿顺 (逆) 时针方向旋转180°, 使得点A与点C重合.

三、以创新见证奇迹

新教材中的有些探究活动具有很大的开放性, 有利于发挥学生的个性, 能充分体现探究创新性学习的特点.教师不能设定一个具体的“目标”让学生达到, 要允许学生走弯路, 走错路, 进而开放学生的探索思路.

例如, “三角形的中位线定理”学生创新证明如下:

生5:如图, 过点D作DF//BC交AC于点F, 则△ADF∽△ABC, 可得因此AE=AF, 即E点与F点重合, 所以

四、以拓展实现高效

数学中的很多内容都是密切联系、息息相关的, 只要教师在设计教学的过程中“瞻前顾后”, 就可以使得教学走向高效.

例如, 教学“三角形的中位线定理”, 就可以进行这样的拓展训练.

问题:任意一个四边形, 将其四边的中点依次连接起来, 所得新四边形有什么特征?证明你的结论. (学生积极思考发言, 师生共同完成题目.)

拓展:如果将上例中的“任意四边形”改为“平行四边形、矩形、菱形、正方形”, 结论会怎么样呢?

新课标下中学数学定理的探究教学 篇8

传统的教学思想认为, 教学活动就是纯客观知识的传递.对于定理的教学长期以来也是沿袭固定的教学模式:展示定理内容-分析证明-定理应用.这种教学模式有助于知识的系统掌握, 课堂进度也易于控制, 但没有充分考虑到学生已有的知识经验, 知识的传授只是简单的从外部给学生填灌, 将信息强加给学生, 教师的作用只是演绎、讲解, 学生也只是机械地接受和模仿, 学习始终处于被动的状态, 扼杀了学生的创造力.

新课标中淡化了定理的推理论证过程, 要求学生能够运用定理即可.因此我们在教学时就没必要再现当年的历史背景和具体过程, 但却可以通过实际问题或者借助于现代教育技术, 再现定理产生和发展的现实情景, 引导学生去探索, 去研究.这样, 学生为了获得对知识的理解, 就必须积极地去思考, 其思维活动就会处于非常活跃的状态, 对定理的理解就更深刻, 更牢固, 也易于应用.长此以往, 还能使学生的心智活动方式得到不断的改善和完善, 从而达到心智活动的质的变化, 促进智力的发展.实践表明, 采用探究式教学法可以极大地调动学生的学习积极性、主动性, 发展智力, 提高学生的学习兴趣.中学数学的许多定理如平行四边形, 菱形等的判定和性质定理, 均可采用这种探究推理的发现教学法, 会收到很好的教学效果.下面结合教学实践, 谈几点体会:

1 设计出能引发定理结论的教学情景, 通过观察和计算, 引导学生去猜测定理.

如学习勾股定理时, 可先让学生根据要求自制4个直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形.当学生完成拼图 (图1) 工作后, 再启发学生回答以下问题:

(1) 拼成的图形面积之间有什么关系?

(2) 如果设直角三角形的斜边为c, 两直角边分别为a, b, 大、小正方形的面积与每个直角三角形的面积分别怎样表示?

(3) 用数学式子将大正方形的面积用四个直角三角形的面积和小正方形的面积关系表示出来.

$\begin{array}{l}S{}_{\text{大}\text{正}\text{方}\text{形}}=c{}^2‚S{}_{\text{小}\text{正}\text{方}\text{形}}=(b-a){}^2‚\\ S{}_{\text{直}\text{角}\text{三}\text{角}\text{形}}=\frac{1}{2}ab,\\ S{}_{\text{大}\text{正}\text{方}\text{形}}=S{}_{\text{小}\text{正}\text{方}\text{形}}+4S{}_{\text{直}\text{角}\text{三}\text{角}\text{形}}.\end{array}$

(4) 合并得到什么结果?它揭示了直角三角形边与边之间具有什么关系?

$\begin{array}{l}S{}_{\text{大}\text{正}\text{方}\text{形}}=S{}_{\text{小}\text{正}\text{方}\text{形}}+4S{}_{\text{直}\text{角}\text{三}\text{角}\text{形}}\\ =(b-a){}^2+4\times \frac{1}{2}ab\\ =(a{}^2-2ab+b{}^2)+2ab\\ =a{}^2+b{}^2,\\ S{}_{\text{大}\text{正}\text{方}\text{形}}=c{}^2,\text{故}a{}^2+b{}^2=c{}^2.\end{array}$

学生很容易得出:直角三角形中, 两直角边的平方和等于斜边的平方.

2 利用学生的好学、好问、好动手的心理特点动手操作, 互相交流, 自主探索而发现定理

例如:三角形中位线定理的探究教学.

(1) 教师:能否将一张直角三角形纸片折成一个长方形? (要求重叠部分只能有两层纸) 让学生小组合作动手操作, 再打开纸片, 画出折痕, 标上字母, 并启发引导学生观察“这个图形 (图2) 有什么特点?你有什么发现?”

(2) 学生分组讨论, 交流后会发现:矩形DCFE的长和宽是直角边的一半, 即$DC=\frac{1}{2}AC,CF=\frac{1}{2}BC$;连结CE, 发现CE和折痕DE、EF将Rt△ABC分成4个全等的直角三角形:Rt△ADE≌Rt△CDE≌Rt△EFC≌Rt△EFB;两个等腰△ACE, △ECB;并且由折叠知:CE=AE=BE, 则$CE=\frac{1}{2}AB$.即直角三角形斜边中线等于斜边的一半.并且因折叠的是一个矩形, 故DE//CF且DE=CF, 又$CF=\frac{1}{2}BC$, 所以, DE//BC且$DE=\frac{1}{2}BC$.即在上述问题中, 直角三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半.

(3) 拿一张任意三角形纸片, 能否折成一个长方形?一般三角形是否也有上述结论? (要求重叠部分只能有两层纸) 学生折完后教师提问:在这个图形 (图3) 中, 线段之间位置、数量有什么关系, 有何发现?学生讨论, 分组交流.

有了 (2) 的铺垫, 学生会很容易由折叠得到:AG=GC′, BF=FC′, 故$DE=\frac{1}{2}AB$, 因折叠的四边形DEFG为矩形, 所以, DE//AB.

(4) 综合 (2) , (3) , 学生很容易得出结论:三角形中位线平行于第三边并且等于第三边的一半.及直角三角形斜边中线等于斜边的一半.

3 利用现代化的教学工具, 引导学生进行归纳推理而发现定理

在中学数学课中, 很多定理很难通过直观猜测得出, 也就很难设计出线条直观的定理来源.那么只要教师充分挖掘学生已有的知识, 充分利用现代化的教学工具, 计算机教学软件如Mathematicas软件, 智能数学教育平台, 几何画板等, 给学生提供更多的动手机会, 使学生由“听数学”转为“做数学”, 变被动地学习为主动的发现探索.通过几何图形的运动分步恰当地引导学生进行归纳推理也可以发现定理, 同时得出定理的证明方法.如切线判定定理的探究教学.

用“几何画板”作出如图4所示的图形:AB是⊙O的直径, 直线l经过点A, l与AB的夹角为∠ɑ.当拖动直线l时, 让学生思考:当l绕点A旋转时

(1) 随着α的变化, 点O到l的距离d如何变化?直线l与⊙O的位置关系如何变化?

(2) 当∠ɑ等于多少度时, 点O到l的距离等于半径?此时, 直线l与⊙O有怎样的位置关系?为什么?

(3) 细心的学生会发现在直线l的旋转过程中, 随着∠ɑ的由小变大, 点O到l的d距离也由小变大;当∠ɑ=90°时d达到最大, 此时d=r;之后当∠ɑ继续增大时, d逐渐变小.因此当∠ɑ=90° (即l⊥AB) 时, d=r, 这时直线l与⊙O相切.

(4) 学生自己总结得出结论:经过直径的一端 (或半径的外端) , 并且垂直于这条直径 (或半径) 的直线是圆的切线.

探究式教学法是从学生的心理特点出发, 遵循了学生的认识规律, 设计出直观的, 能引发学生猜想的教学情景, 组织学生直接观察, 动手实验, 计算或使用现代化的教学工具, 结合归纳推理的方法积极激发学生的求知欲引导学生大胆猜测;有了猜测, 就有了去探索、去研究的欲望, 在此基础上让学生进行归纳总结, 得出结论.这种归纳推理的探究教学法, 一方面学生体会到了定理的发现过程.另一方面锻炼了学生的发现思维能力和探究能力, 同时也是对定理的一个证明.整个过中, 学生一直处在主动探索, 积极思考的过中, 当探索到定理的结果是, 学生会体会到种成功的喜悦, 发现自己的能力, 提高了自心和兴趣.这种自信会激发他更进一步去索和创造.提高学习的积极性和主动性, 有于开发学生的智力, 培养探索精神和独立考能力.

例谈数学公式、定理课的教学设计 篇9

数学中公理、定理、公式、法则的学习, 也称为命题的学习, 是由美国心理学家D.P.奥苏倍尔提出的.数学命题的学习, 可以分为接受性学习和发现性学习, 接受性学习就是将所学习的数学命题直接呈现给学生, 这种学习可以是机械的, 也可以是有意义的, 如果所学习的新命题本身与学生已有的知识没有内在的逻辑联系, 学习者不得不进行机械记忆;如果学生没有建立新命题与已有的知识之间联系的心理倾向, 即使新命题本身与学生已有的知识之间存在着逻辑联系, 命题的学习也是机械的.如果新命题本身与学生已有的知识具有内在的逻辑意义, 并且学生具有理解命题意义的心理倾向, 那么这种学习就是有意义的学习.

发现性学习的特点是所学新命题的内容没有直接呈现给学生, 而是通过设计相应的问题情境引导学生进行“再发现”, 学生通过解决这些问题得到猜想, 通过检验和修正猜想, 从而获得新命题.发现性学习的过程一般要经历以下3个阶段:

①尝试阶段, 从问题开始, 在教师的指导、引导下, 学生运用一些科学的认识方法对问题进行一系列的研究, 提出假设;

②证明阶段, 学生在教师的引导启发下, 分析数学命题的条件和结论, 利用已有的知识经验, 探索并构造命题的证明, 在这个阶段, 学生不仅获得了命题的逻辑意义, 而且也得到了数学思想方法及证明策略和技巧;

③分化和评价阶段, 在这个阶段中, 学生把数学命题所反映的事实, 内容以及探究命题、证明命题所用数学思想方法、思维策略等纳入到自己原来的认知结构中去, 并对新命题进行评价.

2 数学命题教学的设计原则

传统的命题教学, 把学生看作是一个接受器, 教师更多是把数学命题直接呈现给学生, 缺少命题及其证明的发现过程, 缺乏对命题及其证明的反思过程, 重结论, 轻过程, 学生学习命题时, 常常是记住定理的内容, 对证明过程不重视, 更不用说去提炼其间蕴涵的数学思想方法, 丢掉了定理学习的精华部分.所以, 在数学命题的教学设计中, 必须重视下面几个要求:

1) 精心设置问题情境, 重视命题的发生过程.在数学教材中, 数学命题大都是用抽象的数学语言来描述的, 为我们提供的仅仅是数学命题的逻辑结论, 但“逻辑是论题的一种属性, 而非精神过程的属性”, 所以, 教师必须对数学家发现事物在数与形方面表现出的内在顺序和规律时的精神过程——即数学家是如何进行试验、联想、类比、猜想的, 进行分析, 并在教学情境中“还原”这种精神, 为学生创设一个“再发现”的过程, 使学生通过自己的思维活动主动的建构自己的数学理解, 使学生在“再创造”的过程中, 享受发现的快乐;使学生正确认识数学体系的形成过程, 从而建立数学是一种人类活动的观念, 正如布鲁纳所言:探索是数学教学的生命线.数学的发现是通过一些问题的解决来实现的, 所以, 问题的设置不仅要有利于激发学生的兴趣, 激活学生的思维, 而且要有助于学生形成猜想, 有助于学生通过解决问题来不断验证猜想的正确性.

2) 凸现数学思想方法, 重视命题的证明过程.数学命题的证明是对数学命题的逻辑真值的肯定.命题的推证过程, 揭示了命题产生的内因、它的逻辑依据, 因而也就揭示了它的本质, 同时, 命题推证过程蕴涵着丰富的方法论意义, 是学生学习推证思路的探求的重要途径, 也是学生获得数学思想和数学方法的重要手段.数学思想方法是数学学科的核心, 由于教材表现的是一个完整的证明过程, 是一个逻辑证明, 其中所蕴涵的思想方法需要教师的提炼和挖掘.

3) 注意条件模式的变式, 重视命题的应用过程.大量有关专家和新手解决问题的行为研究表明:专家解决熟悉的特定领域问题时, 往往表现为模式再认的问题解决方式, 专家之所以能够很快地解决常规问题是因为有大量的模式可供解决问题时作索引.所以, 数学命题证明的教学, 就要注意引导学生认识数学命题的条件模式, 学生常常在典型问题情境下对条件模式很熟悉, 随着问题情境的变化, 往往不能敏感地识别出应用命题的条件模式, 从而影响到有关数学命题的提取, 数学命题只有在条件模式被识别的情况下才能被应用于解决问题, 大部分数学问题不是利用一个数学命题就能够得到解决, 得到问题最后结果或结论的条件往往不是直接呈现在问题的已知之中, 而是需要根据问题的已知条件线索, 调用一系列数学命题进行推理, 才能得到问题解决的关键条件.所以, 在数学命题的教学设计中就要设计适当的数学问题来展示条件模式的各种变式, 并将命题的条件模式进行适当的扩充, 建立起命题之间的相互联系.

3 关于数学命题教学设计的案例

案例1 等差数列前n项和公式的教学设计.

1) 用故事激发兴趣, 探索推导方法.用数学家高斯计算1+2+3+…+100的故事引入等差数列的求和问题, 从而激发学生强烈的学习愿望, 并以高斯的计算方法为思路, 引导学生探索出公式的推导方法.从而架起数学家的思想与学生的思维之间的认知桥梁.

2) 以应用作为背景, 创设记忆情境.在课本中, 等差数列前n项和公式的推导是以计算堆成梯形的圆木的多少为背景的.因此我们的教学就要有效地利用这一应用背景, 为学生创设联想情境, 联想到梯形的面积公式通过求和公式和面积公式的相似性, 引发学生的联想记忆, 让 (上底+下底) ×高÷2的口诀为求和公式的记忆再立新功.

3) 从结构分析特征, 渗透函数观点.要使学生很好地掌握公式, 不仅要学生熟知其结构形式, 而且要从其结构形式分析其所具有的功能.$S{}_n=a{}_{1}n+\frac{1}{2}n(n-1)$, 当d≠0时, 不难发现Sn为n的二次函数, 从而使学生将数列的知识纳入更大的知识系统——函数之中, 用函数的观点解决数列问题, 有效地发挥知识系统的整体功能.

4) 从过程寻找规律, 总结数学方法.对于公式的教学不仅要掌握好其应用, 而且应该引导学生提炼推导数学公式的思想与方法.等差数列前n项和公式的推导方法是一种重要的数学方法——倒写相加法, 体现了整体代换、对称、方程等重要的数学思想, 应启发学生掌握好这种方法, 从而使学生的认知活动变得生动而富有情趣, 熟悉而又显得深刻.

案例2 等比数列前n项和公式的教学设计.

1) 以故事生趣, 激发求知欲望.兴趣是最好的老师, 一堂课的成败常常取决于学生对所学知识是否产生了浓厚兴趣.为此在等比数列前n项和公式的教学中, 我首先引出了国际象棋的故事.国际象棋的发明者卡克, 发明国际象棋后, 国王为了嘉奖他的功绩, 向他许允要什么给什么, 全国金银财宝任他挑, 但卡克却提出了这样一个请求:在他发明的国际象棋的方格上放上粮食, 第1格1粒, 第2格2粒, 第3格4粒, ……国际象棋有64格, 最后一格放263粒.国王听了, 觉得轻而易举, 但令手下一算, 结果却大得惊人, 全国所有的粮食都不够, 若铺在地面上可以把整个地球表面铺上3厘米厚的一层.这种惊奇的故事情境一下子象磁石吸引了学生的思维, 好奇心的驱使, 使他们迫不及待的想知道怎样算出需要这么多粮食.这样就水到渠成为学生引入了等比数列的求和问题, 从而使学生在迫切的要求下愉快学习.

2) 从定义联想, 发现证明方法.由于学生带着强烈的探索欲望, 期待着问题的解决, 在此我没有照本宣科地讲课本上的推法, 因为这种方法学生不易想到, 而是通过一系列问题的精心设计, 创造问题情境启迪学生发现比课本上更易想的方法:

a.等比数列的定义是什么?用等式表示.

学生很快回答出:

$\frac{a{}_2}{a{}_1}=\frac{a{}_3}{a{}_2}=\cdots =\frac{a{}_n}{a{}_{n-1}}=q.(1)$

b.由等式 (1) 与和式Sn=a1+a2+…+an可联想到什么?

学生很自然地联想到比例性质——等比定理, 并得出

$\frac{a{}_2+a{}_3+\cdots +a{}_n}{a{}_1+a{}_2+\cdots +a{}_{n-1}}=q.(2)$

c.在等式 (2) 中能不能用Sn简化分子、分母并且用a1, q表示出Sn?

学生很容易地找到:分母=Sn-an, 分子=Sn-a1, 从而 (2) 简化为$\frac{S{}_n-a{}_1}{S{}_n-a{}_n}=q$, 并兴高彩烈地解得

$S{}_n=\frac{a{}_1-a{}_n}{1-q}=\frac{a{}_1(1-q{}^n)}{1-q}.$

对定义的复习温故知新, 奠定基础, 由连等式与和式而产生的对等比定理的联想就瓜熟蒂落.从而有效地实现了新旧知识的同化.

3) 因结论设问培养严谨思维.等比数列前n项和公式的应用中学生最容易犯的错误是忽视q=1的情形而且屡纠屡错.为了对这点造成强烈刺激形成深刻印象, 我根据学生急于求出Sn而忽视q=1的情形的心理特点和思维习惯, 设计诧异情境, 欲擒故纵.问:由前面推得的等比数列前n项和公式$S{}_n=\frac{a{}_1(1-q{}^n)}{1-q}$是否完全正确?许多学生显出诧异的神情, 似乎不存在这样的问题, 我又让他们求特殊等比数列:2, 2, 2, …, 2的前n项和, 这时他们才恍然大悟, 不能忽视了q=1的情形, 从而有了刻骨铭心的认知:当q≠1时, $S{}_n=\frac{a{}_1(1-q{}^n)}{1-q}$;当q=1时, Sn=na1.为进一步强化严谨思维的训练和公式应用技能的训练, 我布置下列练习让学生做:

a.求1+2+22+…+263;

b.求数列a, a2, a3, …, an-1的前n项和;

c.求和$\left(x+\frac{1}{y}\right)+\left(x{}^2+\frac{1}{y{}^2}\right)+\cdots +\left(x{}^n+\frac{1}{y{}^n}\right).$

检查结果表明绝大多数学生计算正确.不仅认清了公式的结构特征, 而且能注意到当q是字母或代数式时根据q≠1和q=1的情形分类解答, 有效地训练了思维的严谨性.

4) 带疑念阅读, 剖析方法规律.由于公式的推导方法是学生自己发现的, 在欣喜之余困惑伴生, 课本上为什么不选用我们所发现的方法, 课本上的推法有什么特点?针对产生的疑念, 我明确地告诉学生课本上的推法叫“错位相减法”, 是一种十分重要的数列求和方法, 不仅可以推导出等比数列的求和公式, 而且可以解决一类特殊数列的求和问题, 这一席话又投石击水, 有的学生争忙翻开书要看一看这种方法, 抓住他们的探索欲望, 我与学生一起阅读课本的推法, 并引导他们总结这种方法的步骤:

①设和Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1;

②两边同乘q:qSn=a1q+a1q2+…+a1qn;

③两式相减得出: (1-q) Sn=a1-a1qn.从而当q≠1时, $S{}_n=\frac{a{}_1(1-q{}^n)}{1-q}$, 为了使学生进一步理解和掌握这种方法的应用, 我板书题目:求数列a, 2a2, 3a3, …, nan前n项和.让学生做.

通过分析发现此数列既非等差数列, 又非等比数列似乎不能求和, 我启发他们试一试能否用课本上的方法解.师生共同活动的结果, 使学生发现用这种方法就可将问题转化为等比数列的求和问题, 从而使学生以极强的欲望、极高的兴趣, 来深刻认识“错位相减法”.紧接着, 结合课堂练习:求和20+400+6000+80000+…+2n·10n, 与例题求数列a, 2a2, 3a3, …, nan前n项和与学生一起剖析了这类数列的构成规律, 即:若{an}是等差数列, {bn}是等比数列, 则由他们对应项的积组成的新数列{anbn}可用错位相减法求和.

由于教学过程的设计步步深入, 环环相扣, 不仅使学生很好地掌握了公式, 而且很好地掌握了推证公式的数学思想与方法, 从而使学生的能力得到培养, 思维得到发展.

数学定理教学 篇10

并且, 只有当x1=x2=…=xn=1时, 等号才成立.

证明 应用数学归纳法证明.

1.当n=1时结论显然成立.

2.假定n=k时成立, 证明当n=k+1时也成立.

设x1x2…xkxk+1=1, 不妨假设一般情况x1, x2, …, xk, xk+1均不相同, 那么x1, x2, …, xk, xk+1中必有值大于1的, 也有值小于1的同时存在, 我们不妨假设x1>1, 且xk+1<1 (其他形式证明方法类似) , 记x1xk+1=y1, 则y1x2·…·xk=1.

由归纳假设可得结论为y1+x2+…+xk≥k.

可见n=k+1时也成立.应用这个结论证明结论2.

命题2 (平均值定理) 若干个正数的几何平均值必不大于它们的算术平均值.

证明 设a1, a2, …, an为n个正数, 用p与q分别表示其n个数的几何平均值与算术平均值, 有

undefined

于是显然有结论undefined

由命题1的结论我们可知:

undefined

也即undefined

命题3 证明不等式undefined

证明 应用平均值定理证明.

n!=n· (n-1) (n-2) ·…·3·2·1.

由定理undefined,

而undefined,

即undefined,

也即undefined

例1 若a, b, c为三个正数, 且a+b+c=1, 确定undefined的最小值.

应用平均值定理求最小值.

解 由undefined, 可知

undefined

当且仅当undefined时等号成立.

undefined的最小值为undefined

例2 已知三角形三边长分别为3, 4, 5, P是三角形内一点, 确定P到达这三角形三边距离乘积的最大值.

应用平均值定理求最大值.

解 设P到长度为3, 4, 5的三边的距离分别为a, b, c, 假设三角形的面积为S, 则undefined

又由于undefined,

undefined

即undefined, 即为乘积的最大值.

关于平均值定理的教学过程中, 必须充分调动学生学习的积极性, 激发学生探究知识的主动性, 特别强调的是函数最值是数学中经常遇到的问题.平均值定理是解决某些不等式以及最值计算的非常重要的一种方法.然而在初等数学的教学过程中, 大多数学生掌握得并不好, 如何积极引导学生灵活运用相关知识, 解决实际问题是十分重要的.为此在实际应用中让学生从知识之间的联系入手进行联想找到问题的方法.当学生认识到它们之间的联系后, 通过探究解决此问题的最佳解法, 在解决实际问题的过程中必须突出教学重点.正确理解和使用平均值定理求某些函数的最值是教学难点.为突破难点, 只是教师单方面强调是远远不够的, 只有让学生通过自己去思考、去尝试、去发现, 才能大大加深学生对定理的正确理解.设计易错解法进行讨论能够使学生尝试失败, 并从失败中找到错误原因, 加深了对正确解法的理解, 真正把新知识纳入到原有认识结构中.教学中应不失时机地使学生认识到数学源于客观世界并反作用于客观世界.为增强学生的应用意识, 在平时教学中就应适当增加解答应用问题的教学.

摘要：通过平均值定理的介绍, 补充定理证明的预备知识, 并通过这一重要结论, 给出了平均值定理的一种证明方法, 最后应用平均值定理解决一些数学不等式问题.

关键词：平均值定理,数学归纳法,几何平均值,算术平均值

参考文献

[1]山东科技大学.算术平均值与几何平均值不等式的推广.大学数学, 2008 (4) .

高考数学巧遇拉格朗日中值定理 篇11

关键词：拉格朗日中值定理；高考题；不等式

拉格朗日中值定理及其证明

拉格朗日中值定理，若函数f满足如下条件:

（Ⅰ）f在闭区间［a，b］上连续;

（Ⅱ）f在开区间（a，b）内可导;

则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得 f′（ξ）=.

证明：设k=?圯f（b）－f（a）－k（b－a）=0.

构造辅助函数g（x）=f（x）－f（a）－k（x－a），则g′（x）=f′（x）－k.

由于g（x）在［a，b］连续，在（a，b）可导，g（a）=g（b）=0.

根据罗尔定理，存在ξ∈（a，b）使g′（ξ）=f′（ξ）－k=0，

即f′（ξ）=k=，定理得证.

例解拉格朗日中值定理思想在高考题的运用

例1 （2004年四川卷第22题）

已知函数f（x）=ln（1+x）－x，g（x）=xlnx.

（I）求函数f（x）的最大值;

（II）设0

解：（Ⅰ）略；

（Ⅱ）证?摇 先考虑要证的不等式0

由题意可知g（x）=xlnx，g′（x）=lnx+1，构造函数G（x）=g（a）+g（x）－2g（1）.

在（1）式中由于x是自变量，则相对来说a是一个固定的数，

对函数G（x）两边求导，则有G′（x）=g′（x）－2g′.

由于g（x）=xlnx，g′（x）=lnx+1，

则G′（x）=lnx+1－2ln+=lnx－ln.

当0

当x>a时，G′（x）>0，因此G（x）在（a，+∞）上为增函数.

从而，当x=a时，G（x）有极小值G（a）.

因此G（a）=0，由于b>a，所以G（b）>0，即0

设F（x）=G（x）－（x－a）ln2，则F′（x）=lnx－ln－ln2=lnx－ln（a+x）.

当x>0时，F′（x）<0，因此F（x）在（0，+∞）上为减函数.

因为F（a）=0，b>a，所以F（b）<0，即g（a）+g（b）－2g<（b－a）ln2.

综上，0

分析：这是应用拉格朗日中值定理思想的一个例子（以下的例题将省略此部分的分析），根据上述证明我们可以看到，g（x）可导，且据观察就可以看出原题可以换成

?摇g（a）+g（b）－2g=g（b）－g－g-g（a）

再进一步变形g（a）+g（b）－2g=×

此式中具有拉格朗日中值定理的形式，且在此式中有两个参数a和b，于是选定一个主元b，并构造出主元b的函数“G（b）=g（a）+g（b）－2g”，把函数化成我们所熟悉的以x为自变量的函数“G（x）=g（a）+g（x）－2g（）”，再对构造函数进行求导“G′（x）=g′（x）－2g′”，这个求导过程便是进一步靠近拉格朗日中值定理表达式的形式的方法.再通过函数G（x）的求导得出函数G（x）本身的性质:

“当0

当x>a时，G′（x）>0，因此G（x）在（a，+∞）上为增函数.

从而，当x=a时，G（x）有极小值G（a）.”

最终通过函数G（x）得出原不等式“0

评价：从题目问题中看，未能看到f（x）和g（x）的联系，两个小题没有本质上的联系，第（Ⅰ）题只是用到f（x）而没有用g（x），而第（Ⅱ）题不需要第（Ⅰ）题的结果也可以单独解出. 参考答案中要联系第（Ⅰ）题中的ln（1+x）－x<0（x>－1，且x≠0）才能求解第（Ⅱ）题，学生会较难想到要运用第一小题的结论，而且解第（Ⅰ）题需要花较多的时间，这使得有限的时间变得更少，这样，对于学生来说是一个挑战. 若运用拉格朗日中值定理不仅可以不用考虑第（Ⅰ）题的结论，而且可以运用拉格朗日中值定理较快接近证明的结果，不需要太多技巧，经过适当的步骤，就可以轻松的得到结论.

?摇可以运用拉格朗日中值定理来解决问题的高考题有：（在这里不一一具体解答）

1. （2006年四川卷理第22题）

已知函数f（x）=x2++alnx（x>0），f（x）的导函数是f′（x），对任意两个不相等的正数x1，x2，证明:

（Ⅰ）当a≤0时，>f.

2. （2007年高考全国卷Ⅰ第20题）

设函数f（x）=ex－e-x．?摇

（Ⅱ）若对所有x≥0都有f（x）≥ax，求a的取值范围．

3. （2007年安徽卷18题）

设a≥0，f（x）=x－1－ln2x+2alnx（x>0）.

（Ⅱ）求证:当x>1时，恒有x>ln2x－2alnx+1.

4. （2009年辽宁卷理21题）

已知函数f（x）=x2－ax+（a－1）lnx，a>1.

（Ⅱ）证明?摇若a<5，则对任意x1，x2∈（0，+∞），x1≠x2，有>－1.

5. （2010全国卷Ⅰ第20题）

已知函数f（x）=（x+1）lnx－x+1.

（Ⅱ）证明:（x－1）f（x）≥0.

总结

数学定理教学 篇12

一、揭示数学结论的形成过程

数学结论的发现实际上经历了曲折的猜想、试验、归纳等一系列探索过程, 这个过程是发现者的思维过程。教学时, 根据学生认知的特点和要求, 有选择地进行数学命题的再发现——引导学生重复或模拟结论的发现过程, 这不仅使学生了解原理结论的由来, 强化对命题具体内容的理解和记忆, 而且可以充分发挥学生学习的主观能动性, 培养学生科学发现的能力。

运用奥苏伯尔关于学科和认知结构的组织的假设及其“先行组织者”技术, 以理育情, 以趣激情, 使学生带着积极的情感去学习, 增强学习动机, 丰富思维、记忆等认知功能活动。接着是呈现“组织者”, 把教学过程变成渴望不断探索真理的带有感情色彩的意向活动。通过各种合适的方式创设情境, 从特例出发, 使学生从不同的侧面来观察、归纳和猜想特例的共性, 为运用公式、定理奠定基础。

1. 从实际生活的角度

例如, 为了使学生发现“两点之间线段最短”这一性质, 可以提出如下问题:人们平时走路, 当遇到四边形一类的地形时, 一般愿意走“对角线”, 而不愿沿着“边”走, 这是什么道理?

2. 实验的角度

例如, 以三角形中位线定理教学为例, 让学生口答四边形类别, 动手顺次连结各类四边形各边中点, 当发现所得图形都是平行四边形时, 他们惊奇了, 兴奋了, 不知所以然, 产生了认知冲突, 这时提出研究课题, 进而探究三角形的中位线在方向与数量上的特性。使用《几何画板》, 设置了动态显示△ABC的∠ADE、∠ABC、中位线DE与第三边BC的测算值, 让学生观察、想象, 归纳得出了三角形中位线的性质———三角形的中位线平行于第三边, 并且等于第三边的一半。

3. 反例式的角度

由于某些知识的负迁移作用, 学生常常会产生错误的猜想, 甚至想当然地把错误的猜想当做正确的公式或定理使用。为了避免学生的错误, 可用引入反例的方法, 提出新问题。例如, 从批判积的乘方公式的特例“ (ab) 2=a2b2”想当然地得出“ (a+b) 2=a2+b2”的错误, 提出完全平方公式。

4. 过渡性的角度

由于数学的系统性很强, 数学中有不少公式或定理可从旧知识到新知识的过渡中去猜想而提出。如, 梯形概念的引入, 可设计如下变式题组:

(1) 如图, 若四边形ABCD是平行四边形, 你能得到哪些结论?

(2) 如图, 在CD上取点E, 连结BE, 沿BE将△BCE切去, 得到四边形ABED, 则四边形ABED还是平行四边形吗?为什么?

(3) 说明四边形ABED中各边之间的关系。

(4) 用文字语言叙述四边形ABED的特征。

从而得到梯形的定义:一组对边平行, 另一组对边不平行的四边形叫做梯形。

二、揭示数学命题证明的探索过程

许多数学原理 (公式、定理等) 的推导、证明方法, 具有典型性, 往往代表了典型的解题方法和思想, 或者有益于学生对已学知识的深化巩固, 在实际教学中, 应将证明思路的探索过程尽可能地暴露在学生面前, 有的放矢地引导学生多角度探索思路, 多渠道推导公式、定理, 使学生在联系新旧知识、掌握正确的解题思路的同时, 逐步掌握分析问题和解决问题的思想方法。

1. 归纳探索

例如, 同底数幂的的公式推导, 可采取从特殊到一般的方式进行推导:23×22=

2. 实验探索

通过具体的直观实验 (剪纸、折叠、拼图、实物等) 对公式、定理进行推导。

例如, 三角形勾股定理的证明, 从a2+b2=c2引导学生联想到完全平方公式: (a+b) 2=a2+2ab+b2, 进而联想到完全平方公式的“面积”推导法, 再引导学生利用已准备好的几个全等的直角三角形拼图, 并利用拼图推导勾股定理。

在学生欢喜雀跃的小组合作后, 请学生代表展示拼图成果:

并请展示的同学解释图形的特点和如何推导。这里教师不失时机地指出:你们探索了5000多年前人类历史上的一个重大发现:勾股定理, 并用多媒体展示“勾股定理的发现和我国古代数学的伟大成就……”

在学生的探究过程中渗透了面积的割、补、拼等重要的数学思想方法, 在勾股定理的发现过程中, 学生用不同的拼图方法得出了不同的推导方法, 充分展示了学生自主建构新知识的过程。

3. 演绎探索

这是几何定理证明的最常用的方法, 证明时我们可变换观察角度, 进行一题多解的训练, 并对各种方法进行比较, 以增强学生的探索意识和创新能力。

例如等腰三角形的判定定理的证明可从以下途径进行:

已知:在△ABC中, ∠B=∠C, 试说明AB=AC的理由。

方法一:添顶角平分线AD, 说明△ABD≌△ACD;

方法二:添底边BC上的高AD, 说明△ABD≌△ACD;

方法三:添两底角的角平分线BE, CF, 先说明△BCE≌△CBF得BE=CF, 再说明△ABE≌△ACF;

方法四:添两腰上的高BE, CF, 先说明△BCE≌△CBF得BE=CF, 再说明△ABE≌△ACF;

方法五:不添辅助线, ∵∠A=∠A, BC=CB, ∠B=∠C, ∴△ABC≌△ACB, ∴AB=AC。

证法评价:方法五最简单, 但不易想到, 方法一、二简单且容易想到, 方法三、四较繁不宜提倡。

三、剖析命题特征, 进行语言变式

1. 对数学命题的语言互译

对几何定理的文字语言、图形语言、符号语言这三种数学语言进行互译, 符号语言译成文字语言后, 有助于弄清题意, 文字语言译成图形语言, 可以借助图形思考。对代数原理 (定理、公式等) 探求它们的几何意义, 从而培养学生“语言”转换能力和运用数形结合的思想, 提高分析问题、解决问题的能力。

例如:学了等腰三角形的判定定理后, 列成下表:

2. 分析数学命题的本质结构, 实现认知的具体化。

如认清公式、定理的条件与结论的制约关系, 它可以解决哪些方面的问题, 在某些复杂图形中识别和分解基本图形, 辨认变式图形等。

如运用直角三角形斜边上的中线定理可以证明线段的和、差、倍、分, 证明线段平行, 计算线段长度, 证明线段不等式等。具体应用时, 若题中有斜边的中点, 往往直接连结直角顶点与斜边中点应用直角三角形斜边上中线定理, 有时题中并无明确中点, 则应挖掘隐含条件, 寻找构造斜边的中点, 有时题中有中点, 却无完整的直角三角形, 则宜将直角三角形补充完整。

3. 命题的记忆

(1) 理解性记忆

例如, 30°、45°和60°的三角函数值的记忆, 可结合30°的直角三角形和等腰直角三角形的三边之间的关系来记忆, 有利于将机械记忆转化为理解记忆。

(2) 变通性记忆

例如将“完全平方公式”浓缩为口诀:“首平方, 尾平方, 两倍首尾中间放”等, 以形成深刻的印象, 帮助对公式的记忆。

(3) 系统性记忆

当要记忆的公式很多时, 可将这些公式进行逻辑整理抓住它们之间的内在联系, 将它们组织串联起来, 形成一个有序的知识网络, 便于记忆。

按逻辑关系进行整理记忆, 如垂径定理及推论的整理。

按功能进行整理记忆, 如有关圆的定理的整理。

需要指出, 数学原理的记忆离不开应用, 学而不用, 自然就记不住。

四、剖析命题结构, 进行变形变式

探求公式、定理的变形与推广形式, 充分体现公式、定理的转化和简化功能, 可以培养学生的应变能力和简捷思维、快速解题的能力。

例如, 完全平方公式的变式设计:

完全平方公式: (a+b) 2=a2+2ab+b2; (a-b) 2=a2-2ab+b2。

其变式为:

变式练习:

1. 已知:a+b=3, ab=1, 求: (1) (a-b) 2; (2) a2+b2。

2.已知:a-b=3, ab=1, 求: (1) (a+b) 2; (2) a2+b2。

3. 已知:a+b=1, a2+b2=3, 求ab。

4. 已知:a-b=1, a2+b2=3, 求ab。

五、一式多变, 重视命题的运用内化过程

根据现代认知学习论, 程序知识或智慧技能学习一般要经历三个阶段, 其发展的最后阶段是通过变式训练来实现操作技能的自动化。学校心理学指出:通过知识的应用, 既能够加深理解知识和促进知识的保持, 还可以形成一定的技能。

仍以“三角形的中位线”为例, 在三角形中位线性质的剖析及简单的直接计算应用后, 出示:

问题1:已知四边形ABCD中, E, F, G, H分别是AB, BC, CD, DA的中点。求证:四边形EFGH是平行四边形。

利用《几何画板》对例题作如下变式:

问题2: (1) 当对角线AC、BD垂直, 四边形EFGH是什么四边形?为什么?

(2) 当对角线AC=BD时, 四边形E-FGH是什么四边形?为什么?

问题3: (1) 如果四边形ABCD是矩形, 四边形EFGH的形状如何?

(2) 如果四边形ABCD是菱形, 四边形EFGH的形状如何?

(3) 如果四边形ABCD是正方形, 四边形EFGH的形状如何?

从问题1到问题3, 把课本上的一道例题变成一系列开放性问题, 引导学生观察思考, 猜想论证, 探究创新, 从中训练学生的思维, 培养他们的能力。

在推理论证后, 安排了一道实际测量问题:

问题4:有一条不能跨越的河流, 现需测量对岸两建筑物之间的距离, 请同学们设计一个测量方案。

由于学生已有前面的探索, 对三角形的中位线的性质有了正确的理解, 因此对这个实际问题很多学生能较快地联想到了三角形的中位线, 从而先去构划三角形, 利用三角形的中位线定理去解决问题。

又如“平方差公式”这一原理的掌握可从以下题组着手:

(1) 模仿练习。 (略)

(2) 辨别练习。下列各题能否运用平方差公式进行化简:

(3) 灵活应用练习。化简:

(4) 实际运用练习。计算:

(5) 变式运用练习。计算:

(2) 9972;

注:以上各练习目标的完成, 可视学生认知水平用1到2节课达成。

在数学公式、定理的教学中, 通过过程性的变式, 引导学生大胆猜想、有效探索, 克服思维定势, 激励思维的创造性, 找到解决问题的最佳方案, 使学生不仅学到新知识, 而且更重要的是培养他们的探索精神, 并逐渐掌握学习新知识的方法。

参考文献

[1]张四保.候永新.初中数学课堂教学课型.吉林大学出版社.2008年3月第1版

[2]郑洁.数学教学中如何暴露学生的思维过程.中小学数学 (初中教师版) .2003年第1￣2期