二项式定理教学

二项式定理教学（精选12篇）

二项式定理教学 篇1

实施新课程以来, 不断有人提出数学教学的有效性问题, 并随之而形成了若干以“有效”为热点的讨论话题.“有效数学课堂”也成为数学课程改革的关键词之一, 而要想达到“有效数学课堂”首先得把握数学课堂有效教学的起点.下面笔者就结合二项式定理的课堂教学片断, 谈谈如何把握数学课堂有效教学的起点.

【教学片断】

师: (a+b) 2的展开式是什么?

生: (a+b) 2=a2+2ab+b2.

师:好!怎么算的?

生1:利用乘法计算公式得到.即 (a+b) 2= (a+b) · (a+b) =a2+ab+ba+b2=a2+2ab+b2.

师:谢谢!那么 (a+b) 3的展开式呢?

笔者敏感地觉察到当前学生的学习需要是 (a+b) 3展开式的计算过程, 而有效课堂教学要求了解学生并应关注他们的具体需求.因此, 我立即组织学生投入到 (a+b) 3展开式的计算过程中去, 通过请学生上黑板演算, 让课堂教学真正进入有效教学的起点.

生2: (a+b) 3= (a+b) 2 (a+b) = (a2+2ab+b2) (a+b) =a3+3a2b+3ab2+b3.

师:很好!有哪位同学知道 (a+b) 4的展开式?

生3: (a+b) 4= (a+b) 3 (a+b) = (a3+3a2b+3ab2+b3) (a+b) =a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4.

师:对!我们可以依次写出 (a+b) 5、 (a+b) 6…的展开式.

生4:这样是不是很麻烦?能否找到一种方法可以直接写出 (a+b) n的展开式呢?

师:这个问题提得很好, 为了寻找方法, 我们改变一下思考角度, 先分析 (a+b) 4乘法的原始过程:

(a+b) 4= (a+b) (a+b) (a+b) (a+b) = ( ) a4+ ( ) a3b1+ ( ) a2b2+ ( ) a1b3+ ( ) b4.

为了便于学生探究, 笔者出示学生认知结构中已有的知识和经验:4个袋中有红球、白球各一个, 每次从4个袋子中各取一个球, 有什么样的取法?

生5: (1) 若每个袋子都不取白球, 共有C04种取法;

(2) 若只有一个袋子取白球, 共有C14种取法;

(3) 若只有两个袋子取白球, 共有C24种取法;

(4) 若只有三个袋子取白球, 共有C34种取法;

(5) 若每个袋子都取白球, 共有C44种取法.

师:很好!如果把括号看成袋子, 红球和白球分别看成a和b, 括号里应怎样填呢?

生6: (1) 若每个括号都不取b, 只有一种取法得到a4即C04种;

(2) 若只有一个括号取b, 共有C14种取法得到a3b1;

(3) 若只有两个括号取b, 共有C24种取法得到a2b2;

(4) 若只有三个括号取b, 共有C34种取法得到a1b3;

(5) 若每个括号都取b, 共有C44种取法得b4.

因此 (a+b) 4=C04a4+C14a3b+C24a2b2+C34a1b3+C44b4.

师:请同学们归纳并猜想 (a+b) n=?

生7:由n=1, 2, 3, 4时分别有2, 3, 4, 5项, 很容易猜出 (a+b) n的展开式有n+1项, 分别是an, an-1b, an-2b2, …, abn-1, bn等项, 系数分别是C0n, C1n, C2n, …, Cn-1n, Cnn, 所以整个展开式是: (a+b) n=C0nan+C1nan-1b1+C2nan-2b2+…+Cn-1nabn-1+Cnnbn (n∈N*) .

由于该展开式没有体现二项式定理展开式的特征项, 需要进一步引导.

师:各项a、b的指数之和是多少?体现展开式的项的特征的通项是多少?是第几项?请进一步写出准确的展开式.

生8:各项a、b的指数之和是n, 体现展开式的项的特征的通项是an-rbr, 是第r+1项, 因此: (a+b) n=C0nan+C1nan-1b1+C2nan-2b2+…+Crnan-rbr+…+Cnnbn (n∈N*) .

师:这就是我们这节课学习的二项式定理.

【反思】当学生走进数学课堂的时候, 他们对数学有了自己的认识和感受, 随后的学习也是在其已有知识经验的基础上进行的.因此, 了解学生的现有状况, 并从学生现有状况出发去实施教学, 是从事课堂有效教学的起点, 也是现代数学课堂教学的规定性要求.因此, 笔者结合这些学生已有的知识, 从最简单的、学生最熟悉的二项完全平方展开式开始, 用问题串的形式引导学生自主探索, 使学生自主探讨 (a+b) n的展开式是什么, 让学生感到这个问题是自己顺其自然想出来的, “不知不觉”中完成了二项式的证明.另外在教学过程中, 笔者根据学生的学习需要, 及时调整教学内容, 让学生能够有效学习.当然把握数学课堂有效教学的起点只是“有效数学课堂”的一部分, 而本文也只是截取了笔者教学实践中的一个片断来探讨如何把握数学课堂有效教学的起点, 对把握数学课堂有效教学起点进行研究从而最终达到“有效数学课堂”还有大量工作要做, 这都需要广大数学教育工作者更为深入的研究.

二项式定理教学 篇2

二项式定理是代数乘法公式的推广，这节课的内容安排在计数原理之后进行学习，一方面是因为它的证明要用到计数原理，可以把它作为计数原理的一个应用；另一方面是由于二项式系数是一些特殊的组合数，由二项式定理可导出一些组合数的恒等式，这对深化组合数的认识有好处．再者，二项式定理也为学习随机变量及其分布作准备，它是带领我们进入微分学领域大门的一把金钥匙．运用二项式定理还可以解决如整除、近似计算、不等式证明等数学问题．总之，二项式定理是综合性较强、具有联系不同内容作用的知识。

教学目标(1)理解二项式定理是代数中乘法公式的推广，能利用计数原理证明二项式定理，理解并掌握二项式定理；(2)通过二项式定理的“发现”和证明，培养观察、分析、归纳、推理能力，体会从特殊到一般的思维方式；(3)培养自主探究意思、合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，感受和体验数学的简洁美、和谐美和对称美。

教学重点：用计数原理分析abn的展开式，得到二项式定理。教学难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律。

创设情境教学余弦定理 篇3

关键词：余弦定理；解三角形；数学情境

“余弦定理”作为高中数学的主要内容，是解决有关斜三角形问题的两个重要定理之一，也是初中“勾股定理”内容的直接延拓。它是三角函数一般知识和平面向量知识在三角形中的具体运用，是解可转化为三角形计算问题等他数学问题以及解决生产、生活实际问题的重要工具，因此具有广泛的应用价值。

一、设计思路

布鲁纳指出，学生不是被动的、消极的知识的接受者，而是主动的、积极的知识的探究者。教师的作用是创设学生能够独立探究的情境，引导学生去思考，参与知识获得的过程。因此，做好“余弦定理”的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展等辩证观点，而且能培养学生的应用意识和实践操作能力，以及提出问题、解决问题等研究性学习的能力。

依据建构主义学说，教学不能无视学生的这些经验，另起炉灶，从外部装进新知识，而是要把学生现有的知识经验作为新知识的生长点，引导学生从原有的知识经验中“生长”出新的知识经验。我采用“情境—问题”教学模式，以“设置情境—提出问题—解决问题—反思应用”为主线，把从情境中探索和提出数学问题作为教学的出发点，以“问题”为红线组织教学，形成以提出问题与解决问题相互引发携手并进的“情境—问题”学习链，使学生真正成为提出问题和解决问题的主体，成为知识的“发现者”和“创造者”。

二、教学过程

1．设置情境

自动卸货汽车的车箱采用液压机构。设计时需要计算油泵顶杆BC的长度，已知车箱的最大仰角为60°，油泵顶点B与车箱支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为6°，AC的长为1.40m，计算BC的长（保留三个有效数字）。

2.启发思考

能否把这个实际问题抽象为数学问题？（数学建模）

在三角形ABC，已知AB＝1.95m，AC＝1.40m，∠BAC＝60°＋6°＝66°，求BC的长。这个问题的实质是在三角形中，已知两边和它们的夹角，求第三边。

（一般化）三角形ABC，知AC＝b，BC＝a，角C，求AB。

3．解决问题

我们以前遇到这种一般问题时，是从特殊图形入手，寻求答案或发现解法。据此可先在直角三角形中试探一下：直角三角形中c2=a2+b2（勾股定理，角C为直角）斜三角形ABC中，过A作BC边上的高AD，将斜三角形转化为直角三角形。（联想构造）

讨论：在锐角三角形ABC中，过A作AD垂直BC交BC于D，在直角三角形ADB中，AB2＝AD2＋BD2；在直角三角形ADC中，AD＝ACsinC，CD＝ACcosC，即AD＝bsinC，CD＝bcosC。

又BD＝BC－CD，即BD＝a－bcosC

∴c2=（bsinC）2+（a－bcosC）2=b2sin2C+a2－2abcosC+b2cos2C

=a2+b2－2abcosC

同理a2=b2+c2－2bccosA

b2=a2+c2－2accosB

在钝角三角形ABC中，不妨设角C为钝角，过A作AD垂直BC交BC的延长线于D，在直角三角形ADB中，AB2＝AD2＋BD2；在直角三角形ADC中，AD＝ACsin（π－C），CD＝ACcos（π－C），即AD＝bsinC，CD＝－bcosC，又BD＝BC＋CD，即BD＝a－bcosC

∴c2=（bsinC）2+（a－bcosC）2=b2sin2C+a2－2abcosC+b2cos2C

=a2+b2－2abcosC

同理a2=b2+c2－2bccosA，b2=a2+c2－2accosB

同理可证a2=b2+c2－2bccosA

b2=a2+c2－2accosB

4．反思应用

余弦定理揭示了三角形中任意两边与夹角的关系，那么余弦定理能够解决哪些问题？

知三求一，即已知三角形的两边和它们的夹角，可求另一边；已知三角形的三条边，求角。

请同学们用余弦定理解决开始提出的问题。（请一位同学将他的解题过程写在黑板上）

解：由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2ABACcosA

＝1.952＋1.402－2×1.95×1.40cos66°20′

＝3.571

∴BC≈1.89（m）

答：顶杆BC约长1.89m。

三、教学反思

二项式定理的引入与应用教学研究 篇4

一、二项式定理的发展历史

我国古代时期对于数学的研究,是中华民族的骄傲。二项式定理的学习可通过讲杨辉三角故事引入。早在我国南宋时期的1261年,数学家杨辉所著的《详解九章算法》就已经出现过二项式系数表,这一表被称为杨辉三角。二项式定理在中国被称为“杨辉三角”,它记载于杨辉的《详解九章算法》之中。在阿拉伯数学家卡西的著作《算数之钥》中也给出了一个二项式定理系数表,他所用的计算方法与贾宪的完全相同。在欧洲,德国数学家阿皮安努斯在他1527年出版的算数书的封面上刻有此图,但一般称之为“帕斯卡三角形”,因为帕斯卡在1654年也发现了这个结果。无论如何,二项式定理的发现,我国比欧洲至少早300年。1665年,这一年牛顿23岁。当时瘟疫流行,学校停课,牛顿在家中学习两年。他思想自由驰骋,在此期间把二项式定理推广到n位分数和负数的情形,给出了展开式。牛顿利用二项式展开这一重要工具,发明了微积分。

二、二项式定理的应用

二项式定理在组合理论、解决整除及余数等方面有广泛的应用。。这个公式所表示的定理称为二项式定理。其右边的多项式称(a+b)n的二项展开式,每一项系数(r=0,1,2…n)称为二项式系数;称为二项展开式的通项,用Tr+1表示,即展开式的r+1项,。

二项式系数性质如下:

(1)二项展开式中,与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等。(2)二项式系数的和等于2n。(a+b)n中分别令a=1,b=1,即可得。(3)如果二项式的幂指数是偶数,中间一项的二项式系数最大;如果二项式的幂指数是奇数,中间两项的二项式系数相等且最大。(4)二项式展开式中,偶数项系数和等于奇数项系数和,即。

了解二项式定理及其性质后,中职学生要学会如何应用二项式定理解决一些实际问题。下面介绍一些二项式定理在数学题及生活中的应用。

1. 用二项式定理求展开式

例1:求二项式(3x+2y)5的展开式。

解:由二项式定理可得

2. 用二项式定理求展开式中系数

例2:求(x2-1)(x+2)10展开式中含x10的系数。

解:由题可知,因式(x2-1)取x2和因式(x+2)10展开式中取x8可得含x10的项是,因式(x2-1)取(-1)和因式(x+2)10展开式中取x10可得含x10的项是,故(x2-1)(x+2)10的展开式中含x10项的系数为。

3. 用二项式定理求展开式中指定项例3:求展开式中常数项。

解:由题可知,因式展开式中取,因式(x2+2)取x2,展开式中有常数项;因式展开式中取-1,(x2+2)取2,式展开式中有常数项,所以展开式中常数项项为5+(-2)=3。

4. 二项式定理在整除问题中的应用

例4:用二项式定理证明32n+3-24n+37可被64整除。

证明:32n+3-24n+37=27(8+1)n-24n+37

因为括号内每一项都是自然数,和为自然数,所以上式是64的倍数,即32n+3-24n+37可被64整除。

5. 二项式定理在解决余数问题中的应用

例5:求5012除以7的余数。

解:。它的展开式中除末项外均能被7整除,其末项为1,故5012除以7的余数为1。

6. 二项式定理在计算近似值中的应用

例6:求0.9986的近似值(精确到0.001)。解:0.9986=(1-0.002)6

其中从第三项开始小于0.001,舍去。所以0.9986≈1-0.012=0.988.

7. 二项式定理在不等式证明中的应用

例7:,其中(n∈N*),n>1。证明:。

通项。

所以,。

8. 二项式定理在生活中的应用

例8:今天是星期一,再过290天是星期几?

解:依题可得。即290除以7的余数为1,所以,再过290天是星期二。.

三、结束语

二项式定理是中职数学教学的重要内容,但要在引起学生的兴趣上下功夫。中职学生的数学功底差,因而给学生上好二项式定理至关重要的。教师要以鼓励为主,增强学生的信心,以微笑的方式传达一种二项式定理不是很难学的感觉给学生。这样,在教师引领下,学生有了学习兴趣,就一定能学好二项式定理,提高中职学生的数学素养。

参考文献

[1]张建业,田志良.二项式定理的一个应用[J].河北工程技术高等专科学校学报.2005(01).

[2]刘淑霞,李元凤.关于二项式定理教学的研究[J].职业,2010(02).

二项式定理教学设计 篇5

一、教学目标： 1．知识技能：

（1）理解二项式定理的推导-------分步乘法计数原理的使用（2）掌握二项式定理极其简单应用 2．过程与方法

培养学生观察、分析、归纳猜想的能力，以及化归的意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式

二、教学重点、难点

重点：二项式定理的发现、理解和初步应用及通项公式 难点：展开式中某一项的二项式系数与该项的系数的区别

三、教学方法：师生互动，讲练结合

四、教 具：多媒体、电子白板

五、教学过程

(一)创设问题情境：

今天是星期二，8天后是星期几?82天后是星期几?8100天后是星期几呢？ 前面两个问题全班所有学生都能回答出来，最后一个问题大家都很迷惑，觉得很复杂，今天我们学习的这节课就是告诉我们如何快速准确知道答案，并且我们不用查日历就能知道未来任何一天是星期几。解决这一问题我们应用的就是二项式定理。

(二)引出问题：二项式定理研究的是(ab)n的展开式。

我们知道(ab)2a22abb2，那么：(ab)3=?(ab)4=?

(ab)100=?

更进一步：(ab)n=？(1)对(ab)2展开式的分析:(ab)2(ab)(ab)展开后其项的形式为：a2,ab,b2

00考虑b，每个都不取b的情况有1种，即c2 ,则a2前的系数为c2 1恰有1个取b的情况有c12种，则ab前的系数为c2 22恰有2个取b的情况有c2 种，则b2前的系数为c2 0222所以(ab)2a22abb2c2ac12abc2b

(2)探究1：推导(ab)3的展开式

(ab)3(ab)(ab)(ab)① 项：

a3

a2b

ab2

b3

013② 系数：C3

C3

C32

C3 0312233③ 展开式(ab)3c3ac3abc3ab2c3b

(3)探究2：仿照上述过程，推导(ab)4的展开式

0432223344(ab)4c4ac14abc4abc4abc4b 0312233与(ab)3c3ac3abc3ab2c3b

0222和(ab)2c2ac12abc2b

一起比较猜想：

0nn12n22knkknn(ab)ncnac1abcab...cab...cnnnnb(nN)

但这种归纳猜想是不完全归纳。

(4)探究3：请分析(ab)n的展开过程，证明猜想

...ab

...b ②系数：C

C

...C

...C ①项：

an

an1b

0n1nnkknknnn0nn12n22knkknn③展开式：(ab)ncnac1bcnab...cnab...cnb(nN)na(三)二项式定理的分析

0nn12n22knkknn(ab)ncnac1bcnab...cnab...cnb(nN)na①项数：共有n1项；

②次数：各项的次数都是n；

k③二项式系数：Cn(k0,1,2,...n)

knkk④ 二项展开式的通项：Tk1Cnab,(k0,1,2,...n)

（四）课堂练习1.写出(1x)n得展开式.2.写出(ab)n得展开式.（五）例题 例1.求(2x1x)6得展开式.（1）强调：对于形式较复杂的二项式，应先化简再展开.（2）针对(2x1x)6得展开式，提出下列问题

思考1：展开式的第二项的系数是多少？

思考2：展开式的第二项的二项式系数是多少？ 思考3：你能否直接求出展开式的第二项？ 思考4：你能否直接求出展开式的常数项？ 引出例2 例2（1）求(12x)7的展开式的第4项的系数和第4项的二项式系数

1

（2）x的展开式中x3的系数

x

（六）小结

（七）作业（提前板书）1.P374,5题

对“勾股定理”的教学反思 篇6

关键词：教学反思；勾股定理

反思之一：教学观念的转变。

“教师教，学生听，教师问，学生答，教师出题，学生做”的传统教学摸模式，已严重阻碍了现代教育的发展。这种教育模式，不但无法培养学生的实践能力，而且会造成机械的学习知识，形成懒惰、空洞的学习态度，形成数学的呆子，就像有的大学毕业生都不知道1平方米到底有多大？因此，《新课标》要求老师一定要改变角色，变主角为配角，把主动权交给学生，让学生提出问题，动手操作，小组讨论，合作交流，把学生想到的，想说的想法和认识都让他们尽情地表达，然后教师再进行点评与引导，这样做会有许多意外的收获，而且能充分发挥挖掘每个学生的潜能，久而久之，学生的综合能力就会与日剧增。

上这节课前教师可以给学生布置任务：查阅有关勾股定理的资料（可上网查，也可查阅报刊、书籍），提前两三天由几位学生汇总(教师可适当指导)。这样可使学生在上这节课前就对勾股定理历史背景有全面的理解，从而使学生认识到勾股定理的重要性，学习勾股定理是非常必要的，激发学生的学习兴趣，对学生也是一次爱国主义教育，培养民族自豪感，激励他们奋发向上，同时培养学生的自学能力及归类总结能力。

反思之二：教学方式的转变。

学生学会了数学知识，却不会解决与之有关的实际问题，造成了知识学习和知识应用的脱节，感受不到数学与生活的联系，这是当今课堂教学存在的普遍问题，对于学生实践能力的培养非常不利的。现在的数学教学到处充斥着过量的、重复的题目训练。

笔者认为真正的教学方式的转变要体现在这两个方面：一是要关注学生学习的过程。首先要关注学生是否积极参加探索勾股定理的活动，关注学生能否在活动中积思考，能够探索出解决问题的方法，能否进行积极的联想（数形结合）以及学生能否有条理的表达活动过程和所获得的结论等；同时要关注学生的拼图过程，鼓励学生结合自己所拼得的正方形验证勾股定理。二是要关注学生学习的知识性及其实际应用。本节课的主要目的是掌握勾股定理，体会数形结合的思想。现在情况是学生知道了勾股定理而不知道在实际生活中如何运用勾股定理，我们在学生了解勾股定理以后可以出一个类似于《九章算术》中的应用题：在平静的湖面上，有一棵水草，它高出水面3分米，一阵风吹来，水草被吹到一边，草尖与水面平齐，已知水草移动的水平距离为6分米，问这里的水深是多少？

教学方式的转变在关注知识的形成同时，更加关注知识的应用，特别是所学知识在生活中的应用，真正起到学有所用而不是枯燥的理论知识。这一点上在新课标中体现的尤为明显。

反思之三：多媒体的重要辅助作用。

课堂教学中要正确地、充分地引导学生探究知识的形成过程，应创造让学生主动参与学习过程的条件，培养学生的观察能力、合作能力、探究能力，从而达到提高学生数学素质的目的。多媒体教学的优化组合，在帮助学生形成知识的过程中扮演着重要的角色。

通过面积计算来猜想勾股定理或是通过面积割补来验证勾股定理并不是所有的学生都是很清楚，教者可通过多媒体来演示其过程不仅使知识的形成更加的直观化，而且可以提高学生的学习兴趣。

反思之四：转变教学的评价方式，提高学生的自信心。

评价对于学生来说有两种评价的方式。一种是以他人评价为基础的，另一种是以自我评价为基础的。每个人素质生成都经历着这两种评价方式的发展过程，经历着一个从学会评价他人到学会评价自己的发展过程。实施他人评价，完善素质发展的他人监控机制很有必要。每个人都要以他人为镜，从他人这面镜子中照见自我。但发展的成熟、素质的完善主要建立在自我评价的基础上，是以素质的自我评价、自我调节、自我教育为标志的。因此要改变单纯由教师评价的现状，提倡评价主体的多元化，把教师评价、同学评价、家长评价及学生的自评相结合。

在本节课的教学中，教者可以从多方面对学生进行合适的评价。如以学生的课前知识准备是一种态度的评价，上课的拼图能力是一种动手能力的评价，对所得结论的分析是对猜想能力的一种评价，对实际问题的分析是转化能力的一种评价等等。只有老师给予学生适时的适当的评价，才能使学生充分认识到自身的价值，从而达到提高学生学习自信心的目的，反过来自信心的提高又促使学生学习的积极性大幅度的提高，真正达到从他律转为自律的目的。也只有这样才能提高课堂的教学效果，提高学生的学习成绩。

高斯定理教学探讨 篇7

关键词：高斯定理,高斯面,电场强度

高斯定理是静电学中的一个重要定理，也是学生应该掌握的重点内容之一。对于高斯定理的理解和应用是学好静电场的关键，但在教学实践中发现学生对高斯定理认识模糊、缺乏深入透彻全面理解，不能灵活自如地应用高斯定理求静电场的电场强度。本文阐述了高斯定理理解和应用涉及的几个重要点，以使学生轻松地理解和应用该定理。

一、高斯定理理解特别需要注意的几个方面

在真空状态下，高斯定理的表述是：在真空中的静电场内，通过任意闭合曲面的电通量等于该闭合曲面所包围的电荷电量的代数和除以真空介电常数ε0。数学表述即：

在教学中首先应用库仑定律和场强叠加原理证明高斯定理，在推导证明过程重点强调理解电通量和立体角等大一学生感觉较繁难的知识点。具体推导见教材[1]，在此要重点讲述对高斯定理的理解应特别注意以下几点。

1. 高斯面S是静电场中的任意闭合曲面，但S面上不能有有限的电荷分布。取高斯面时，一般是根据对称性，使曲面的法线平行于该处的电场方向或使法线垂直于该处的电场方向。

2. 从高斯定理看电力线的性质：高斯定理说明正电荷是发出E通量的源，负电荷是吸收E通量的源。若闭合面内存在正(负)电荷，则通过闭合面的E通量为正(负)，表明有电力线从面内(面外)穿出(穿入)，即正(负)源电荷发射(吸收)电场线;若闭合面内没有电荷，则通过闭合面的E通量为零，意味着有多少电场线穿入就有多少电场线穿出，说明在没有电荷的区域内电场线不会中断，又若闭合面内静电荷为零，则有多少电场线进入面内终止于负电荷，就会有相同数目的电场线从面内正电荷出发到外面;在闭合面内，电荷空间分布的变化将改变闭合面上各点场强的大小和方向，但只要电量相同，就不会改变通过整个闭合面的E通量;在闭合面外，有无电荷及其如何分布，将会影响闭合面上各处场强的大小和方向，但对通过整个闭合面的E通量没有贡献，即面外电荷会影响通过闭合面的电场线的形状和分布，却不会改变通过闭合面的电场线的数目。

3. 利用库仑定律和叠加原理导出高斯定理，库仑定律在电荷分布已知情况下，能求出场强的分布;高斯定理在电场强度分布已知时，能求出任意区域的电荷;当电荷分布具有某种对称分布时，可用高斯定理求出这种电荷系的场强分布，而且这种方法在数学上比用库仑定律简便得多;对于静止电荷的电场，可以说库仑定律与高斯定理是等价的;但是，在研究运动电荷的电场或一般地随时间变化的电场时，库仑定律不再成立，而高斯定理却仍然有效。所以说：高斯定理是关于电场的普遍的基本规律。

二、高斯定理求电场步骤

高斯定理的一个重要应用，是用来计算带电体周围电场的电场强度。实际上，对称性不是应用高斯定理求场强的条件，对于具有对称性，且能应用高斯定理求场强的问题，由于具有对称性，总可选择合适的高斯面而使计算较为简便;但在某些非对称情况下，只要高斯定理中的能够进行积分，则无论电荷或电场分布是否具有对称性，均能应用高斯定理求电场强度。因此对称性不是应用高斯定理求场强的条件，应用高斯定理求场强的关键是看(1)左边的积分能否进行，过分强调对称性，往往导致忽视应用高斯定理求场强的数学条件，造成对高斯定理的误解，应用高斯定理求场强问题的步骤：

1.分析场强或电荷分布的特点，进行对称性分析和判断，即由电荷分布的对称性，分析场强分布的对称性，非对称情况下，判断能够进行积分，判断能否用高斯定理来求电场强度的分布，这一步是解题的关键，也是解题的难点。常见的对称性有球对称性包括均匀带电球面、球体、点电荷;轴对称性包括均匀带电的“无限长”圆柱面、圆柱体、细直线;面对称性包括均匀带电的“无限大”平面、平板。

2.根据场强分布的特点，作适当的高斯面，要求：(1)待求场强的场点应在此高斯面上，(2)穿过该高斯面的电通量容易计算。一般地，高斯面各面元的法线矢量平行或垂直，平行时,的大小要求处处相等，使得能提到积分号外面。

3.计算电通量和高斯面内所包围的电荷的代数和，最后由高斯定理求出场强。

本文对高斯定理理解和应用涉及的几个重要点进行总结，澄清了对高斯定理求电场方法模糊认识，对学生掌握理解和应用高斯定理可起到很好的促进作用。

参考文献

[1]马文蔚,周雨青,解希顺.物理学教程(第二版)(下册)[M].北京:高等教育出版社,2006.11:20.

微分中值定理的教学探讨 篇8

微分中值定理是微分学的基本定理, 也是微分学的理论基础.一般教科书在讲述这一部分时, 大多先后介绍费马 (Fermat) 引理、洛尔 (Rolle) 引理、拉格朗日 (Lagrange) 中值定理、柯西 (Cauchy) 中值定理等内容.这样处理, 逐步深入, 自然易懂, 已经成为公认的标准讲法.Rolle定理是证明Lagrange中值定理和Cauchy中值定理的预备定理, 以Rolle定理为基础, 通过引进适当的满足Rolle定理的辅助函数便可证明Lagrange中值定理和Cauchy中值定理, 然而, 教学中学生总感到老师给出的辅助函数不好想, 很突然, 很难.因而, 辅助函数的引入一直是教学上的一个难点.

从笔者多年的教学经验看, 在讲完Rolle定理后先不急于讲Lagrange中值定理和Cauchy定理, 而是先由Rolle定理为出发点引进一个推论, 它是Lagrange中值定理和Cauchy定理的高度概括, 可作为它们的预备定理, 利用它学生会很容易地发现并证明Lagrange中值定理和Cauchy定理, 起到事半功倍的作用.

先回顾一下Rolle定理:设函数f (x) 在闭区间[a, b]上连续, 在开区间 (a, b) 内可导, 且f (a) =f (b) , 则在该区间内至少存在一点ξ (a<ξ

现在设f (x) 与g (x) 在闭区间[a, b]上连续, 在开区间 (a, b) 内可导, 再加上什么条件, 函数f (x) -g (x) 就能满足Rolle定理的条件呢?由Rolle定理的条件知, 还需要添加以下条件:f (a) -g (a) =f (b) -g (b) , 即g (b) -g (a) =f (b) -f (a) , 这样由Rolle定理知, 在该区间内至少存在一点ξ (a<ξ

推论1设f (x) 与g (x) 在闭区间[a, b]上连续, 在开区间 (a, b) 内可导, g (b) -g (a) =f (b) -f (a) , 则在该区间内至少存在一点ξ (a<ξ

有了这一推论就可以引导学生去发现并证明Lagrange中值定理和Cauchy定理了.事实上, 设f (x) 在闭区间[a, b]上连续, 在开区间 (a, b) 内可导.若取, 它们的连续性与可导性是显然的, 又有f (x) 与g (x) 在闭区间[a, b]上有相同的增量g (b) -g (a) =f (b) -f (a) , 由推论1, 因而存在ξ∈ (a, b) 使得f′ (ξ) =g′ (ξ) , 即成立.由此可以得到:

Lagrange中值定理:设f (x) 与g (x) 在闭区间[a, b]上连续, 在开区间 (a, b) 内可导, 则在该区间内至少存在一点ξ (a<ξ

那么, 又如何发现Cauchy定理呢?设f (x) 与g (x) 在闭区间[a, b]上连续, 在开区间 (a, b) 内可导, 很明显, 函数[f (b) -f (a) ]g (x) 与函数[g (b) -g (a) ]f (x) 也在闭区间[a, b]上连续, 在开区间 (a, b) 内可导, 而且在[a, b]上有相同的增量[g (b) -g (a) ][f (b) -f (a) ], 由推论1, 因而存在ξ∈ (a, b) , 使得[f (b) -f (a) ]g′ (ξ) =[g (b) -g (a) ]f′ (ξ) … (1) .又若在 (a, b) 内g′ (x) ≠0, 必然g (a) ≠g (b) , (否则, 由Rolle定理g′ (x) 在 (a, b) 内有零点) , 由 (1) 得.由此可以得到:

Cauchy定理:若f (x) 与g (x) 在闭区间[a, b]上连续, 在开区间 (a, b) 内可导, g′ (x) ≠0, 则在该区间内至少存在一点ξ (a<ξ

很明显, 在Cauchy定理中若取g (x) =x又回到Lagrange中值定理的结论.另外, 由Rolle定理还可以得到以下推论.

推论2设f (x) 与g (x) 在闭区间[a, b]上连续, 在区间[a, b) 上有连续的n阶导数, 在开区间 (a, b) 内有n+1阶导数, 且g (b) -g (a) =f (b) -f (a) , f (k) (a) =g (k) (a) (k=1, 2, 3, …, n) , 则在[a, b]内至少存在一点ξ (a<ξ

推论2可以作为台劳定理的预备定理.

综合以上知识点, 下面给出一种微分中值定理巧妙简明、独具一格的证明方法.

微分中值定理设f (x) 与g (x) 在闭区间[a, b]上连续, 在开区间 (a, b) 内可导, 并且在 (a, b) 内g′ (x) ≠0, 则至少存在一点ξ (a<ξ

证明由在 (a, b) 内g′ (x) ≠0, 得到g (b) ≠g (a) , 令, 则有f (b) -f (a) =λg (b) -λg (a) , 或f (b) -λg (b) =f (a) -λg (a) , 作函数φ (x) =f (x) -λg (x) , x∈[a, b], 则φ (a) =φ (b) , 利用Rolle定理, 存在ξ∈ (a, b) , 使得φ′ (ξ) =0, 即, 证毕.

注在去掉条件g′ (x) ≠0的情形下, 则存在ξ∈ (a, b) , 使得[f (b) -f (a) ]g′ (ξ) =[g (b) -g (a) ]f′ (ξ) .

二、为了更好地理解和应用微分中值定理, 对其进行几点分析探讨

(1) 为了把证明简化且便于记忆, 也可以把Lagrange中值定理和Cauchy定理综合推广为如下的一般中值定理:若f (x) 与g (x) 在闭区间[a, b]上连续, 在开区间 (a, b) 内可导, 则在该区间内至少存在一点ξ (a<ξ

其证明既简单又容易想到.事实上, 只要对辅助函数φ (x) =[f (b) -f (a) ]g (x) -[g (b) -g (a) ]f (x) 在[a, b]上应用Rolle定理就可以得证.此时, 若g (x) =x, 就是Lagrange中值定理;若g′ (x) ≠0, 就是Cauchy定理.

(2) 微分中值定理的证明关键在于如何构造一个辅助函数, 很多高等数学和经济数学的教材中都是采用传统的辅助函数, 这个函数的引入, 主要是借助几何直观, 不妨归类为几何方法, 尽管有几何形象, 学生接受起来还是不易理解, 下面用演绎、推理的方法寻求所需的辅助函数F (x) .

在证明Lagrange中值定理时, 传统的方法是引入辅助函数:

假设F (x) 已得出, 它符合Rolle定理的条件, 则至少存在一点ξ∈ (a, b) , 使得F′ (ξ) =0… (4) , 由此可得:, 但其形式有较大差异, 为此将 (5) 式变为:式左边在没有求导数之前应为 (不是唯一的) , 如果想象中的辅助函数F (x) 确实存在的话, 可以假设是:, 经验证F (a) =F (b) , 即 (7) 式所确定的F (x) 为所需要的辅助函数. (7) 式与 (3) 式比较只是少了一串常数而已.同样, 可以用此方法推出证明Cauchy定理所需要的辅助函数

(3) 在微分学中还有一条关于导函数的达布中值定理:若f (x) 在[a, b]可导, 则f′ (x) 可以取到介于f′ (a) 与f′ (b) 之间的一切值. (参见菲赫金哥尔茨著《微积分学教程》一卷一分册) .根据这个定理就不难证明:若f (x) 在一区间上有原函数, 则f (x) 在该区间上有介质性.这一结论在积分中值定理中有广泛的应用.

(4) 关于微分中值定理, 还可给出以下结论.

定理1若f (x) 是[a, b]上的二次可微函数, 且f″ (x) >0, 则对任意的ξ∈ (a, b) , 必存在x0∈[a, b], 使得公式之一必成立.

因为f′ (x) 是单调递增的, 故有g (a)

戴维宁定理的教学随笔 篇9

一、让学生正确理解戴维宁定理的内容

正确理解戴维宁定理内容中的有源二端网络开路电压和无源二端网络等效输入电阻概念, 是掌握该定理的关键, 而学生在利用戴维宁定理解题时, 问题也常常出现在这两个环节上.

其一, 在求有源二端网络开路电压时, 存在的问题有两点: (1) 求出的电压Uab不是开路电压, 而是二端网络通路时的电源端电压.原因是学生没理解二端网络开路电压的含义, 没形成二端网络是不能求开路电压的. (2) 等效电压源的极性标错.原因是没能正确理解电压源极性应与Uoc电压方向一致的道理;更有甚者, UOC的参考方向都没标, 离开参考方向去求电流或电压, 则是毫无意义的.所以, 在突破这个教学难点时, 教师一定要强调学生画出二端网络的电路图, 标出开路电压UOC的参考方向, 然后按照路径法求两点间的电压.

其二, 在求无源二端网络等效输入电阻时, 出错的原因是: (1) 没有正确理解电源置零的含义.因此, 教师在讲授这个内容时, 应引导学生懂得:所谓电源置零就是让电源不工作, 既然都知道恒压源是给电路提供恒定电压的, 让它不工作, 也就是让它提供的电压为零, 那么应该如何处理这个恒压源?对于教师有意识提出的问题, 课堂上反应快的学生会抢着回答:“用导线代替”.教师应因势利导, 让这位学生讲述理由, 再让全班学生讨论是否有道理, 最终都会认可“用导线代替恒压源”, 学生也就会循序找到“恒流源置零就是把恒流源支路断开”这个结论了. (2) 个别学生懒得画电源置零后的电路图, 结果出现眼误或手误.所以, 在这时笔者都会告诫这些学生, 不要“聪明反被聪明误”, 千万要脚踏实地.

二、让学生明确戴维宁定理的使用场合

使用戴维宁定理的条件是有源二端网络必须是线性的, 待求支路可以是线性或非线性的.线性电路指的是含有电阻、电容、电感这些基本元件的电路;非线性电路指的是含有二极管、三极管、稳压管、逻辑电路元件等这些的电路.当满足上述条件时, 无论是直流电路还是交流电路, 只要是求解复杂电路中某一支路电流、电压或功率的问题, 就可以使用戴维宁定理.

三、让学生掌握戴维宁定理的解题步骤

戴维宁定理的解题思路是将复杂电路化为简单电路.

例1如图1所示电路, 试求电阻RL上的电流I.

看着电路图, 引导学生分析、归纳, 师生合作, 总结出戴维宁定理的解题思路, 如图2所示.在此思路下, 再归纳出了戴维宁定理的解题步骤:

1.把电路划分为待求支路和有源二端网络两部分, 如图1中的虚线.

2.断开待求支路, 形成有源二端网络 (要画图) , 求有源二端网络的开路电压UOC

.3.将有源二端网络内的电源置零, 保留其内阻 (要画图) , 求无源二端网络的等效输入电阻Rab.

4.画出有源二端网络的等效电压源, 其电压源电压为UOC (此时要注意电源的极性) , 内阻R0=Rab.

5.将待求支路接到等效电压源上, 利用欧姆定律求电流. (要画图) 如上题, 解题过程如下:

(1) 断开待求支路 (图3) , 求有源二端网络的开路电压UOC.

(2) 将有源二端网络中的电源置零 (图4) , 求无源二端网络的等效输入电阻Rab, 即R0.

(3) 画出有源二端网络的等效电源, 将待求支路接到等效电源上 (如图5) , 利用欧姆定律求电流..

摘要：众所周知, 《电工基础》是电类职业教育中的必修重点课程.在这门课中, “戴维宁定理”具有较强的应用性和实践性, 该部分内容的理解过程对于职业学校学生来说又颇为晦涩难懂, 这就决定了“戴维宁定理”既是电工技术这门课的教学的重点, 同时又是学生学习过程中难点.

关键词：戴维宁定理,开路电压,等效输入电阻

参考文献

[1]周绍敏.电工基础.北京:高等教育出版社, 2004.

正弦定理情境教学案例简析 篇10

一、教学过程

1. 设置情境

利用投影展示:一条河的两岸平行, 河宽d=1 km, 因上游突发洪水, 在洪峰到来之前, 急需将码头A处囤积的重要物资及人员用船转运到正对岸的码头B处或其下游1 km的码头C处.已知船在静水中的速度|v1|=5 km/h, 水流速度|v2|=3 km/h.

2. 提出问题

师:为了确定转运方案, 请同学们设身处地地考虑一下有关的问题, 将各自的问题经小组 (前后4人为一小组) 汇总整理后交给我.

待各小组将题纸交给老师后, 老师筛选几张有代表性的题纸通过投影向全班展示, 经大家归纳整理后得到5个问题: (1) 船应开往B处还是C处? (2) 船从A开到B, C分别需要多少时间? (3) 船从A到B, C的距离分别是多少? (4) 船从A到B, C时的 (5) 船应向什么方向开, 才能保证沿直线到达B, C?

师:大家讨论一下, 应该怎样解决上述问题?

大家经过讨论达成如下共识:要回答问题 (1) , 需要解决问题 (2) , 要解决问题 (2) , 需要先解决问题 (3) 和 (4) , 问题 (3) 用直角三角形知识可解, 所以重点是解决问题 (4) , 问题 (4) 与问题 (5) 是两个相关问题, 因此, 解决上述问题的关键是解决问题 (4) 和 (5) .

师:请同学们根据平行四边形法则, 先在练习本上作出与问题对应的示意图, 明确已知什么, 要求什么, 怎样求解.

生:船从A开往B的情况, 根据平行四边形的性质及解直角三角形的知识, 可求得船在河水中的速度大小|v|及v1与v2的夹角θ.

生:船从A开往C的情况, |AD|=|v1|=5, |DE|=|AF|=|v2|=3, 易求得∠AED=∠EAF=45°, 还需求θ及v.我不知道怎样解这两个问题, 因为以前从未解过类似的问题.

师:请大家想一下, 这两个问题的数学实质是什么?

部分学生:在三角形中, 已知两边和其中一边的对角, 求另一边的对角和第三边.

师:请大家讨论一下, 如何解决这两个问题?

生:在已知条件下, 若能知道三角形中两条边与其对角这4个元素之间的数量关系, 则可以解决上述问题, 求出另一边的对角.

生:如果另一边的对角已经求出, 那么第三个角也能够求出.只要能知道三角形中两条边与其对角这4个元素的数量关系, 则第三边也可求出.

生:在已知条件下, 如果能知道三角形中三条边和一个角这4个元素之间的数量关系, 也能求出第三边和另一边的对角.

师:同学们的设想很好, 只要能知道三角形中两边与它们的对角间的数量关系, 或者三条边与一个角间的数量关系, 则两个问题都能够顺利解决.下面我们先来解答问题:三角形中, 任意两边与其对角之间有怎样的数量关系?

3. 解决问题

师:请同学们想一想, 我们以前遇到这种一般问题时, 是怎样处理的?

众学生:先从特殊事例入手, 寻求答案或发现解法.直角三角形是三角形的特例, 可以先在直角三角形中试探一下.

师:请各小组研究“在Rt△ABC中, 任意两边及其对角这4个元素间有什么关系”?

多数小组很快得出结论:a=b=c.

sin Asin Bsin C

师:a=b=c在非Rt△ABC中是否成立?

sin Asin Bsin C

众学生:不一定, 可以先用具体例子检验.若有一个不成立, 则否定结论;若都成立, 则说明这个结论很可能成立, 再想办法进行严格的证明.

师:这是个好主意.请每个小组任意作出一个非Rt△ABC, 用量角器和刻度尺量出各边的长和各角的大小, 用计算器作为计算工具, 具体检验一下, 然后报告检验结果.

几分钟后, 多数小组报告结论成立, 只有一个小组因测量和计算误差, 得出否定的结论.教师在引导学生找出失误的原因后指出:此关系式在任意△ABC中都能成立, 请大家先考虑一下证明思路.

生:想法将问题转化成直角三角形中的问题进行解决.

生:因为要证明的是一个等式, 所以应先找到一个可以作为证明基础的等量关系.

师:在三角形中有哪些可以作为证明基础的等量关系呢?

学生七嘴八舌地说出一些等量关系, 经讨论后确定如下一些与直角三角形有关的等量关系可能有利用价值: (1) 三角形的面积不变. (2) 三角形同一边上的高不变. (3) 三角形外接圆直径不变.

师:据我所知, 从AC+CB=AB出发, 也能证得结论, 请大家讨论一下.

生:要想办法将向量关系转化成数量关系.

生:利用向量的数量积运算可将向量关系转化成数量关系.

生:还要想办法将有三个项的关系式转化成两个项的关系式.

生:因为两个垂直向量的数量积为0, 可考虑选一个与三个向量中的一个向量 (如向量AC) 垂直的向量与向量等式的两边分别作数量积.

师:同学们通过自己的努力, 发现并证明了正弦定理.正弦定理揭示了三角形中任意两边与其对角的关系, 请大家留意身边的事例, 正弦定理能够解决哪些问题.

二、教学总结

二项式定理教学 篇11

【关键词】初中数学 教学 几何定理 策略

对于几何定理的教学中，教学策略的有效选择非常重要。教师要善于将抽象的知识具象化，将一些具体的内容融入到学生熟悉的生活中加以体验。这会让学生对于教学知识点更容易理解与接受，也能够化解很多理解上的障碍。在这样的基础上才能够提升知识教学的成效。

一、让学生在画图中体验几何定理

让学生在画图中来增进对于几何定理的体验，这是一种很好的教学模式，这也会让学生在知识的应用中深化对于很多定理的理解与吸收。初中阶段学生们接触到的大部分几何定理都不算太复杂，很多知识点都可以在生活中得以验证。这给学生的知识体验提供了很好的平台。教师可以创设一些好的教学活动，让学生在动手作图的过程中来对于很多定理有更为直观的感受。同时，这也是对于很多定理展开有效验证的教学过程，这些都会让学生对于知识点的掌握更加牢固。

例如，学到定理“三角形两边的和大于第三边”时，可以让学生用直尺画出任意一个三角形，并测量出三条边的长度，并按照定理进行计算，看结论是否与定理一致。又比如，学到定理“两直线平行，同位角相等”时，让同学们在纸上画出两条平行的直线，再画出一条同时与两条直线相交的直线，找出它们的同位角，用量角器进行测量，看结果是否相同。让学生自己来画图，这首先能够给学生的知识应用与实践提供良好的空间；同时，学生也可以在过程中对于很多内容展开检验。这些都会增进学生对于几何定理的理解与认知，并且能够让学生对于相应的知识点有更好的掌握。

二、注重对于学生想象力的激发

初中阶段的几何教学中学生们会逐渐接触到立体几何的内容，虽说很多知识点并不复杂，但是，对于初次接触的学生而言还是存在理解上的障碍。在立体几何知识的学习中，学生的空间想象能力非常重要，这是让学生能够更好的理解很多图形的特点以及变化规律的基础。正是因为如此，想要深化学生对于几何定理的理解与认知，教师要加强对于学生想象力的培养，这将会极大的提升学生的知识理解能力。教师可以将具体的知识点融入到学生熟悉的生活场景中加以讲授，这会为学生的想象力提供良好的平台，也会让学生对于很多内容有更好的领会。

几何定理的理论性和抽象性较强，在教学中，充分发挥学生的想象力也是加强定理记忆的一种好方法。在学到某些定理时，可以让同学们想一下生活中满足几何定理条件的事物，加深同学们对这条定理的印象。当记不起定理内容时，只要想起相应的事物就很容易想起定理的知识。比如，定理“平行线永远不会相交”的学习，就可以想象生活中存在平行关系的事物，比如平房的屋顶和地面，它们永远不会相交，所以平行线也不可能相交。这些都是很好的教学范例，能够极大的促进学生对于几何定理的理解与领会。教师要善于利用一些灵活的教学方法与教学模式，这对于促进学生的知识吸收将会很有帮助。

三、生活化几何定理的教学

生活化几何定理的教学同样是一个很好的突破口，这对于提升学生的知识掌握程度将会起到很大的推动。对于很多抽象的几何定理，想要让学生深化对其的理解与认知，最有效的办法就是将它融入到学生们熟悉的生活场景中加以体验。教师可以结合具体的教学内容创设一些生活化的教学情境，让学生们结合生活实例来对于相应的几何定理加以认知。这首先会降低知识理解上的难度，也会为学生的知识领会提供积极推动。在这样的教学过程中才能够帮助学生对于几何定理有更好的认知，这也是提升课堂教学效率的一种有效方式。

老师在备课时，要将定理知识与实际生活紧密联系起来，用我们生活中最普通的现象解释难懂的理论知识。比如，在学到“两条直线平行，内错角相等”这条定理时，可以利用多媒体课件，向同学们展示盘山公路两次拐弯平行时的内错角图示，引导学生进行多方位、多角度的思考。这种做法也会激发同学们对生活中类似现象的思考，提高他们在生活中发现、推导几何定理的能力。让几何定理的教学与学生熟悉的生活情境相结合，这是一种很有效的教学策略，这也是提升知识教学效率的一种有效模式。

结语

几何定理的教学是初中数学教学中的一个难点，如何能够有效的突破这个教学难点，这需要教师在教学方法上有灵活选择。教师可以让学生在画图中体验几何定理，也可以透过生活化的教学模式突破学生理解上的障碍，这些都是很好的教学模式。培养学生的想象力也非常重要，这同样能够深化学生对于几何定理的理解与认知，并且有效提升知识教学的效率。

【参考文献】

[1] 王翠巧. 探析初中数学几何教学方法[J]. 学周刊，2013年02期.

[2] 吴才鑫. 浅析几何知识与初中数学教学[J]. 教育教学论坛，2013年34期.

[3] 丁焱鑫. 试谈初中数学几何教学[J]. 中学生数理化（高中版·学研版），2011年02期.

几何定理的分步设置有效教学 篇12

针对几何学科“从研究图形入手, 在教学中大量使用直观图形和教具引导学生观察、想象并绘制出图形, 从而培养学生的空间想象能力、识图能力、逻辑思维能力和推理论证的能力”这一特点, 我通过长期的教学实践, 采取“设疑引思、绘图猜想——推理验证、总结定理——理解定理、建立模型——层递运用、练习内化”四步教学程序, 使几何定理教学收效明显, 现介绍如下:

一、设疑引思、绘图猜想

几何教学中, 问题的提出不仅要紧扣教材, 更应该适宜于学生通过绘图观察、操作实验等形式直观地猜想、探索新知识。例如, “三角形内角和是180°, 如何验证?”“在圆中作垂直于弦的直径, 你会发现哪些相等的量?”等问题的提出既能激发学生探究兴趣, 又利于学生动手操作, 从实践中总结方法、结论, 寻求规律, 从而初步感知定理。同时, 教师在这一过程中要善于鼓励、引导学生大胆猜想, 让他们感觉猜想的合理性, 发展他们的直觉思维。

思维是在感性材料基础上产生的, 思维无论是多么抽象, 也只能来源于对个别事物的多次感知, 从多次感知中概括出它们共同的本质的特征。学生根据教师设置的问题, 通过绘图观察猜想, 或动手操作实践, 主动参与知识的发现过程, 直观感受知识必然使学生兴趣浓厚、印象深刻。

这期间, 学生势必会走一些弯路, 教师要对出现的普遍性问题及时指正, 让大家共同讨论, 找出合理成分与偏差, 探寻更正途径。比如, 作已知三角形中面积最大的圆时, 学生通过不断地尝试, 发现只有当圆与三角形各边都相切时, 面积最大, 但想准确作图却显得力不从心。这时教师就应当提醒学生作圆就应当从确定圆的条件出发进行思考, 学生自然就会把问题转化为确定圆心和半径这一具体目标上来, 从而使问题迎刃而解。

二、推理验证, 总结定理

学生根据图形, 结合已有知识经验对猜想结论进行证明, 确认其正确性, 并用自己的语言叙述得出的结论。从七嘴八舌的叙述大概意思, 到小组间互相交流, 形成共识, 再到结合图形通过修饰限制、调整语序等方式使语言表述逐步准确、规范, 进而得出定理。学生通过大胆猜测, 主动参与整个知识的发现、验证、总结过程而获得的知识认识更深刻, 理解就显得更主动、直接, 语言表述能力也更敏捷。例如, 角平分线判定定理“在角的内部, 并且到角两边距离相等的点, 在这个角的平分线上。”学生易由其性质定理的逆命题得到, 验证也不难, 但对“在角的内部”这一限制条件绝大多数同学只能从图形上直观感受, 并不能真正理解其含义。教师课前引导回顾概念:什么叫点到直线 (射线、线段) 的距离?就能很好地为定理的理解做好铺垫:“点到角的两边的距离”也就是“点到角的两边所在直线的距离”。因此, 符合条件的点的位置就有三处:这个角的平分线上, 这个角的对顶角的平分线上, 这个角的两个邻补角的平分线上。通过探索、讨论与辨析使学生真正理解“在角的内部”这一限制条件的必要性, 从而更准确、更深刻地理解定理。

三、理解定理, 建立模型

建立建模是不少老师容易忽视的重要一环, 教学中经常发现有的老师刚把定理总结出来就让学生用, 结果不少同学仍然用旧知识解答, 相当于把定理又证了一遍, 也有的学生能根据定理说出思路, 却不会书写推理过程。究其原因正是学生虽然默认了定理的正确性, 却不明白其用途与用法而导致。对定理的理解不能简单地只停留在语言文字的表面, 要进一步引导学生结合图形, 找出题设与结论, 用几何语言以推理的形式反映出定理内容, 使学生知道这个定理是用来干什么的和以后遇到类似图形怎么用。

四、层递运用、练习内化

要使学生从理解定理发展到能运用于实际, 形成技能技巧, 还必须引导他们动脑、动手, 进行反复练习才能达到。这就要求教师精心设计具有针对性、层次性、应用性的习题, 科学选择练习的内容和容量, 基础题、发展题、提高题由易到难, 相互衔接, 循序渐进。让学生从简单模仿到综合应用, 从独立思考到交流互动, 训练他们思维的敏捷性、灵活性与新颖性, 凭借有效的、多样化的训练, 巩固与强化对定理的学习和掌握。设计紧密联系实际的练习, 让学生深切感受数学的实用性, 在解决实际问题的过程中理解数学、热爱数学。

摘要：新课改形势下, 以学生为主体的课堂教学, 对教师的教学设计提出了更高的要求。针对几何推理这一初中数学难点, 本文从四个环节设置几何定理的教学, 有效训练和提高学生的几何素养。