勾股定理逆定理的应用

勾股定理逆定理的应用（精选16篇）

勾股定理逆定理的应用 篇1

勾股定理逆定理的五种应用

“如果一个三角形的三条边长分别为a、b、c，且有，那么这个三角形是直角三角形。”这就是勾股定理的逆定理。它是初中几何中极其重要的一个定理，有着广泛的应用。下面举例说明。

一.用于判断三角形的形状

例1.如图1，中，求证：，是直角三角形，证明：由已知得：，即c是最长边

是直角三角形

二.用于求角度

例2.如图2，点P是等边求的度数

内一点，且，，解：因结PP”，则，以点B为定点，将

旋转到达的位置，连为等边三角形

在中

由勾股定理的逆定理知三.用于求边长 例3.如图3，在，中，D是BC边上的点，已知，，求DC的长。

解：在 中，由可知

又由勾股定理的逆定理知 在中

四.用于求面积 例4.如图4，已知ABCD的面积。，AB＝3，BC＝4，CD＝12，DA＝13。求四边形

解：连结AC，在在中

中，由勾股定理得

由勾股定理的逆定理知

五.用于证明垂直

例5.如图5，已知正方形ABCD中，，求证：

证明：连结FC，设AF＝1，则DF＝3，在、、中，由勾股定理的逆定理知即

勾股定理逆定理的应用 篇2

一、可以转化正弦余弦定理的问题

例1在△ABC中,若9a2+9b2=19c2,求

分析:通过将P化简,就可以结合正弦定理、余弦定理求解.

正弦定理、余弦定理有,,,代入P中，得到

又由已知有,代入上式得到

评注:对于某些三角问题,通过观察是需要找出边和角之间的关系,则不妨尝试采用三角形的方法,再用正弦定理和余弦定理,得出新颖而简捷的解法.

变式题:在△ABC中,如果

答案:，则，所以，所以

二、可以构造成正弦余弦定理的问题

例2求sin220°+cos250°+sin20°cos50°的值.

分析:注意到该三角函数式与余弦定理形式相似,可以构造三角形来解决.

解:sin220°+cos250°+sin20°sin40°的结构与三角形中的余弦定理形式相似,通过构造一个内角分别为20°,40°,120°的三角形,且使其外接圆的半径为1,那么由正弦定理知道这个三角形的三边分别为sin20°,sin40°,sin120°,再由余弦定理有sin2120°=sin220°+sin240。-2sin20°sin40。.cosl20°，从而sin220。+cos250°+sin20°cos50°=

评注:有些三角函数问题,观察其构造形式与三角形中的余弦定理形式相似,则这时也尝试通过利用正弦定理和余弦定理进行解决问题.

变式题:求值:sin285°+sin280°-2sin85°sin80°sin75°.

答案:在△ABC中,设∠A=85°,∠B=80°,∠C=15°,外接圆半径为R,

三、可以通过变形为正弦余弦定理的问题

例3已知α、β、γ都是锐角,且满足sin2求α+β+γ的值.

分析:该题同样也通过构造来解决.

解:已知等式变形为

上式与余弦定理类似,通过构造△ABC,使

根据正弦定理有,

而C>90°,α、β都是锐角,那么A、B、、都是锐角,则,,故A+B+C=

评注:注意到三角函数式的形式类似于余弦定理,则可以通过构造三角形,并结合正弦定理解决.

变式题:在任意一个△ABC中,求证:a(sinB-sinC)+b(sinC-siiL4)+c(sinA-sinB)=0.

答案：左式=2/?sirb4(sinB-sinC)+2RsinB(sinC-sinA)+2/fsinC(sinA-sin8)=2R[sinAsinB-sinAsinC+sinfisinC-sinBsinA+sinCsinA-sinCsinB]=0.

四、可利用正余弦定理解决的函数问题

例4在平面上有A、B、P、Q四个点,A、B为定点,,P、Q为动点,且AP=PQ=QB=1,记△ABP与△PQB的面积分别为S、T;(1)求S2+T2的取值范围;(2)当S2+T2取最大值时,判断△APB的形状.

分析:本题主要通过余弦定理来研究函数知识,已知条件中有两个三角形的面积,应该想办法把两个三角形联系起来,可以分别在△APB与△PQB中由余弦定理得出PB的关系解决.

解:(1)在△ABP与△PQB中,由余弦定理可以得到:PB2=AB2+AP2-2AB·APcosA

PB2=BQ2+PQ2-2BQ•PQcosQ=1+1-2cosQ=2-2cosQ,

所以,即,

所以

因为-10,

所以S2+T2的取值范围是;

(2)由(1)可以知道当时,S2+T2的最大值为,此时,所以,故当S2+T2取最大值时,△APB是等腰三角形.

点评:此题的关键是想办法建立两个三角形之间的关系,从而得出函数S2+T2的表达式,利用函数知识求解.

练习:若△ABC的三边长为a、b、c,且f(x)=b2x2+(b2+c2-a2)x+c2,判断f(x)的图象与x轴的位置关系.

勾股定理及其逆定理的应用 篇3

一、 直接应用

三、构造应用

例３（2006年湖南省常德市中考试题）如图３，P是等边三角形ABC

内的一点，连接PA、PB、PC，以BP为边作∠PBQ＝60°，且BQ=BP，连接CQ.

（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论．

（2）若PA:PB:PC=3:4:5，连接PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．

解析：（1）猜想：AP=CQ.

证明：在△ABP与△CBQ中，因为AB=CB，BP=BQ，∠ABC=∠PBQ=60°，所以∠ABP=∠ABC-∠PBC=∠PBQ -∠PBC=∠CBQ，所以△ABP≌△CBQ，所以AP=CQ.

（2）由PA∶PB∶PC=3∶4∶5，可设PA=3a,PB=4a，PC=5a，连接PQ，在△PBQ中，由于PB=BQ=4a，且∠PBQ= 60°，所以△PBQ为正三角形，所以PQ=4a.于是在△PQC中，因为PQ2+QC2=PQ2+PA2=16a2+9a2=25a2=PC2，所以△ＰQＣ是直角三角形.

说课稿——勾股定理的应用 篇4

—— 蚂蚁怎么走最快（初中数学八年级）

学情分析：在本节内容之前，学生已经准确的理解了勾股定理及其逆定理的内容并能运用它们解决一些数学问题。同时也已具备有一定的合作交流意识和能力。但探究问题的能力有限，对生活中的实际问题与勾股定理的联系还不明确，还不能抽象出相应的数学模型，自主学习能力尚有待加强。

教学内容分析：本节课是在学习了勾股定理及其逆定理之后以“蚂蚁怎么走最近”为思考内容，用勾股定理及其逆定理解决实际问题的一种应用，同时，“对蚂蚁怎样走最近”这个问题不仅是勾股定理的应用，而且体现了二、三维图形的转化，对发展空间观念很有好处，蚂蚁从棱柱下地面上的一点要爬到与之相对的上底面上的一点，且要求所走的距离最短，看上去是一个曲面上的路线问题，但实际上可通过棱柱的侧面展开而转化为平面上的路线问题.教学目标

教学知识目标：能运用勾股定理及直角三角形的判别条件(即勾股定理的逆定理)解决简单的实际问题.能力训练要求：

1.学会观察图形，勇于探索图形间的关系，培养学生的空间观念.2.在将实际问题抽象成几何图形过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想.情感与价值观要求：

1.通过有趣的问题提高学习数学的兴趣.2.在解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性，体现人人都学有用的数学.教学重点难点：

重点：探索、发现给定事物中隐含的勾股定理及其逆及理，并用它们解决生活实际问题。

难点：利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题。

教学过程

一、创设问题情境，引入新课：

前几节课我们学习了勾股定理，你还记得它有什么作用吗？

例如：欲登12米高的建筑物，为安全需要，需使梯子底端离建筑物5米，至少需多长的梯子？

根据题意，(如图)AC是建筑物，则AC=12米，BC=5米，AB是梯子的长度.所以在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2=122+52=132；AB=13米.所以至少需13米长的梯子.二、讲授新课：①、蚂蚁怎么走最近

出示问题：有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米．在圆行柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，需要爬行的的最短路程是多少？(π的值取3)．

（1）学生可以自己做一个圆柱，尝试从A点到B点沿圆柱的侧面画出几条路线，思考哪条路线最短呢？

（2）如图，将圆柱侧面剪开展开成一个长方形，从A点到B 点的最短路线是什么? 3）蚂蚁从A点出发，想吃到B点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？我们知道，圆柱的侧面展开图是一长方形.好了，现在咱们就用剪刀沿母线AA′将圆柱的侧面展开(如下图).不难发现，学生可能想到的走法：(1)A→A′→B；(2)A→B′→B；(3)A→D→B；(4)A—→B.哪条路线是最短呢？第(4)条路线最短.因为“两点之间的连线中线段最短”.变形： ②、在一个外长30cm、宽40 cm、高50 cm的木箱的外底部A处有一只蚂蚁,它在外壁上绕行了一周半最终到达上端顶点B处,试探蚂蚁爬行的最短路程.练习题：

如图所示的木箱中，如果在箱外的A处有一只蚂蚁.（1）它要在箱壁上爬行到箱内的D处，至少要爬多远？（2）它要在箱壁上爬行到箱内的C处，至少要爬多远？

结束语：本节课的教学设计，依据了《新课程标准》的要求，立足于学生的认知基础来选择身边的素材进行教学，使教学内容充满趣味性和吸引力，使学生在轻松愉悦的学习氛围中理解了用勾股定理解决际问题的方法，体现数学与生活的紧密联系。

1.经历探索蚂蚁爬行的最短路径，培养学生解决实际问题的能力。2.在空间立体几何图形的展开中培养学生的实际动手能力和数学建模思维。

《勾股定理的应用》教学设计 篇5

【教学目标】

1、知识与技能目标

能运用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题.2、能力达成目标

（1）会用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题,逐步培养“数形结合”和“转化”数学能力。（2）发展学生的分析问题能力和表达能力。

3、情感态度目标

（1）在提升分析问题能力和完整表达解题过程能力的同时，感受“数形结合”和“转化”的数学思想，体会数学的应用价值和渗透数学思想给解题带来的便利。

（2）积极参加数学学习活动，增强自主、合作意识，培养热爱科学的高尚品质。

【教学重点】勾股定理及直角三角形的判定条件的应用(在应用中概括出这两者在应用方面的区别,增强这两个定理的区分和应用能力)【教学难点】分析思路，渗透数学思想

【学情分析】学生已经学习了勾股定理、直角三角形的判定条件、平面展开图等知识，具备了应用勾股定理及直角三角形的判定条件的基本能力，但对无理数缺乏“形”的认识，需要提高勾股定理及直角三角形的判定条件的综合应用的能力，因此，本节课着重培养学生对无理数缺乏“形”的认识，对勾股定理及直角三角形的判定条件的综合应用的能力。通过本节课的学习，能够对勾股定理及直角三角形的判定条件进行综合应用。【教具准备】多媒体电脑 【教学过程】

（一）创设情景，引入新课；

引入华罗庚提出的:把勾股定理送到外星球,与外星人进行数学交流,„„。来激发学生对勾股定理学习的乐趣

（二）引入实例，体会勾股定在现实生活中的作用，体现数学来源于现实生活

如放映的：可爱的小鸟、帮一帮消防员、电视的大小问题，这些都是现实生活中体现勾股定理应用的很好的例子。进而引入勾股定理的应用。

（三）实战濱示

生活中路径最短问题转化为几何中的解直角三角形问题，即勾股定理的应用。先演示在长方体中，小蚂蚁吃农食物这个情境问题，在分析问题的过程中由学生讨论分析会出现几种情况，最后师生共同总结，合作完成，不但很好地应用了勾股定理，而且还巩固了把几何体展开为平面图形的知识，体现了数形结合的数学思想。

（四）变式训练 把长方体转化成圆柱，爬的路径由半周到一周，让学生自行完成，然后讨论结果的正确性。(五)轻松一分钟

观看图片，聪明的葛藤，让学生引发联想植物的聪明性，进而引入更深一点的问题，还是体现数学来源于现实生活，由看到的问题引出实际要解决的问题。(六)深度挖掘

由绕一圈到两圈，最后提出问题：到多圈该怎么处理？学生课后自行讨论完成。给学生以自己思考的空间，体现不同的学生在数学上有不同的发展。

（七）练习，以上面的形式分层次出现

（八）感悟与反思（让学生来小结本节课的内容）：

1、通过这节课的学习活动你有哪些收获？

2、对这节课的学习，你还有什么想法吗？

（九）作业：见卷子

勾股定理应用说课稿 篇6

旦马中学 沈俊山

一．教材内容分析：

本课时是人教版版八年级（下）§18《勾股定理》部分的“勾股定理”第二课时内容。本节课是应用结论解决应用问题，教材中通过2个例题安排学习内容。勾股定理作为数学学习的工具，掌握好本节课内容对其他知识内容的学习创造良好的条件。通过学生积极参与数学活动，培养学生敢于面对数学学习中的困难并有独立克服困难和运用知识解决问题的能力，进一步体会数学的应用价值。

二．课例的设计思想：

教学中通过发现学生问题，用温故知新的方式解决问题。尤其是在知识点上通过设置追问，落实每个同学对知识的盲点，弥补对知识点掌握的不足，对学生合情推理、逻辑论证进行全方位思维训练。

课例的设计思路是：对于例1的教学通过情景创设将问题深入并解决。培养学生数形结合的思想。

例2是勾股定理及直角三角形判定定理的综合应用，重点在于培养学生的演绎推理能力。教学中侧重于学生的观察、分析和说理。

练习题的设计再次训练学生运用勾股定理解决实际问题的能力。

教学方法：教学中通过设置小组讨论的办法，让学生通过交流合作解决老师提出的问题，落实本课的学习目标。

三、教学过程设计

1、教学目标： 知识与能力目标：（1）股定理进行相关计算（2）能运用勾股定理的数学模型解决现实世界中的实际问题

2、方法与情感目标：

通过从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型，初步掌握转化与数形结合的思想方法。培养学生合作、交流的意识和品质，让学生感受探究的苦中之趣。

3、教学重点：运用勾股定理解决实际问题

4、教学难点： 际问题转化建模与勾股定理的灵活运用

5、教学流程：先从上节课知识复习勾股定理的相关计算，再有笑话一则引入实际问题的解决，然后设置两道探究题进行探究，最后设置习题进行练习，检查上课效果。最后结本节课知识，再次回顾本节课目标，布置作业。四．课后反思：

成功之处：

1、完成教学目标，教学任务。

2、每一位同学都能积极参与探究问题，发挥了组长带领组员学习的作用，教师只起到指导作用，基本上沿用我校“学生学、教师导、学生动”的模式。不足之处：

1、学生的积极性、激情程度不高，没有很好发挥小组的团队合作精神。

2、数字计算能力较差，在开根号时用时太多

3、学生准备不充分，计算机没带

总之，在上课的过程中有好多不足之处，希望各位领导和老师提出宝贵的意见和建议，一便在今后的教学中更加完善自己！

动量定理的应用 篇7

一、用动量定理解释现象

例1.如图, 把重物G压在纸带上, 用一水平力缓慢拉动纸带, 发现重物会随着纸带运动, 若迅速拉动纸带, 重物几乎不动, 解释这些现象的正确说法是: (CD)

A.缓慢拉动纸带时, 重物和纸带间的摩擦力大

B.迅速拉动纸带时, 重物和纸带间的摩擦力小

C.缓慢拉动纸带时, 纸带给重物的冲量大

D.迅速拉动纸带时, 纸带给重物的冲量大

解析:在缓慢拉动时, 两物体之间的摩擦力是静摩擦力, 在迅速拉动时, 它们之间的作用力是滑动摩擦力, 静摩擦力小于滑动摩擦力, 因此一般情况是:慢拉摩擦力小, 快拉摩擦力大。A、B错。缓拉纸带时, 摩擦力虽小, 但作用时间很长, 故重物获得的冲量很大。迅速拉动纸带时, 摩擦力虽大, 但作用时间很短, 故重物获得的冲量很小。C、D正确。

评析:用动量定理解释的现象一般分为两类:一类是物体的动量变化一定, 此时力的作用时间越短, 力就越大;力的作用时间越长, 力就越小。另一类, 作用力一定, 力的作用时间越长, 动量变化越大;力的作用时间越短, 动量变化越小。分析问题时, 要把哪个量一定、哪个量变化搞清楚。

二、用动量定理解决变力问题

例2.在强度为B的匀强磁场中, 一个电量为q的粒子 (重力不计) , 以速度v在垂直于磁场方向上做半径为R的圆周运动, 则粒子在运动的二分之一周期内, 洛仑兹力的冲量大小为: (B)

解析:粒子在做圆周运动过程中, 由洛仑兹力提供向心力, qv B=m v2/R根据动量定理, I=△P=m v- (-m v) =2m v=2q BR, 因此B正确。

评析:用I=Ft求的是恒力的冲量, 本题中洛仑兹力是变力, 因此I=Ft不能用, 变力的冲量只能通过动量定理求解。

三、用动量定理求解平均力问题

例3.质量为60K g的建筑工人, 不慎从高空跌下, 由于弹性安全带的保护作用, 最后使人悬挂在空中, 已知弹性安全带缓冲时间为1.2s, 安全带原长5m, 求安全带所受的平均作用力。 (g=10m/s2)

解析:人开始下落为自由落体运动, 下落到弹性安全带原长时的速度为:v02=2gh, 得:vo=10m/s。取人为研究对象, 在人和安全带作用的过程中, 人受到重力m g和安全带的平均冲力F, 取力F方向为正方向, 由动量定理得: (F-m g) t=0- (-m v0)

F=m g+m v0/t=1100N (方向竖直向上) , 安全带所受的平均作用力F'=1100N (方向竖直向下) 。

评析:弹性安全带的作用力实际是一个变力, 若求一段时间内的平均值, 则按恒力来处理, 可按动量定理求解。

四、用动量定理解决图像问题

例4.水平推力F1和F2分别作用于水平面上原来精致的、等质量的a、b两物体上, 作用一段时间后撤去推力, 物体将继续运动一段时间停下, 两物体的v-t图像如图所示, 已知图中线段A B∥CD, 则 (A C)

A.F1的冲量小于F2的冲量

B.F1的冲量等于F2的冲量

C.两物体受到的摩擦力大小相等

D.两物体受到的摩擦力大小不相等

解析:由v-t图像可知, 撤去F后, 只受摩擦力的作用, 因为A B‖CD, 说明ab加速度相同, 所以fa=fb。由图像可知:F1>F2但t1<t2, 用I=Ft无法计算F1和F2的大小关系。但根据动量定理I=△PF1t1-μm gt B=0 F2t2-μm gt D=0, 因为t B<t D, 所以F1t1<F2t2, 故选A C。

评析:本题是图像问题, 既考查了对图像的认识, 也考查了动量定理应用的妙处。

五、用动量定理解决光学问题

科学家设想在未来的航天事业中用太阳帆来加速星际宇宙飞船, 按照近代光的粒子说, 光由光子组成, 飞船在太空中张开太阳帆, 使太阳光垂直射到太阳帆上, 太阳帆面积为S, 太阳帆对光的反射率为100%, 设太阳帆上每单位面积每秒到达n个光子, 每个光子的动量为p, 如飞船总质量为m, 求飞船的加速度的表达式。

解析:

设经过时间为t, 则时间t内的光子数为:N=nst (1)

对光子由动量定理:Ft=N p- (-N p) (2)

对飞船:F=m a (3)

由 (1) (2) (3) 联立:a=2nsp/m

评析:动量定理不仅适用于宏观低速的运动, 对于微观现象和高速运动仍然适用。

摘要：应用动量定理比应用牛顿定律解题有独到的优越性, 并且应用非常广泛。

勾股定理的应用检测题 篇8

1 如图1，圆柱形玻璃容器高18 cm，底面周长为60 cm，在外侧距下底1 cm的点Ｓ处有一只蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形玻璃容器的上口外侧距开口处1 cm的点F处有一只苍蝇，若蜘蛛要想吃到苍蝇，它需走的最短路线的长度是（）.

A 32 cm B 33 cm

C. 34 cm D. 35 cm

2. 小明想测量教学楼的高度．他用一根绳子从楼顶垂下，发现绳子垂到地面后还多了2 ｍ，当他把绳子的下端拉开6 m后，发现绳子下端刚好接触地面，则教学楼的高为（）.

A. 8 mB. 10 m

C. 12 mD. 14 m

3. 如果梯子的底端离建筑物9 ｍ，那么15 ｍ长的梯子可以到达建筑物的高度是（）.

A. 10 mB. 11 m

C. 12 mD. 13 m

4. 直角三角形三边的长分别为3、4、ｘ，则ｘ可能取的值有（）.

A. 1个B. 2 个C. 3个D. 无数多个

5 直角三角形有一条直角边的长为13，另外两边的长也是自然数，那么它的周长为（）.

A. 182B. 170

C. 169D. 以上都不对

二、填空题

6 在△ABC中，∠ACB = 90°，AB = 10，AC= 8，CD⊥AB于D，则AD =

7 如图2，为修建铁路需凿通隧道AC，测得∠C =90°，AB = 5 km，BC = 4 km.若每天开凿隧道03 km，则需天才能把隧道凿通.

8 如下页图3，一棱长为3 cm的正方体，把所有的面都分成3 × 3个小正方形，其边长都是1 cm．设一蚂蚁每秒爬行2 cm，则它从下底面A点沿正方体表面爬行到右侧面的B点，至少需要花s

9 有一圆柱形油罐，如图4，要从底部A点开始环绕油罐建梯子，使梯子正好到达A点正上方的B点.已知油罐的底面周长为12 m，高AB是5 m，则梯子最短需要m

10 如图5，为了求出位于湖两岸的A、B两点之间的距离，一个观测者在点C处设桩，使△ABC恰好为直角三角形，其中∠B为直角通过测量，得知AC长为160 m，BC长为128 m，则点A、B之间的距离为m.

三、解答题

11 某工厂的大门形状如图6，四边形ABCD是长方形，上部是以AD为直径的半圆，其中AB = 23 m，AD = 2 m.现有一辆装满货物的卡车，高29 m，宽17 m．这辆卡车能否通过厂门？请说明理由.

12 在一棵树的10 m高处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树20 m的A处，另一只猴子爬到树顶后跳向A处.如果两只猴子经过的距离相等，试求这棵树有多高．

13 一货轮以每小时30海里的速度向正北方向行驶，货轮在A处观察到灯塔C在北偏西30°处，20 min后货轮行至B处，此时灯塔C在北偏西60°处.已知灯塔C周围8海里内有暗礁，问：货轮沿原方向行驶会不会有触礁的危险？

14 如图７，有一直立标杆，它的上半部被风从B处吹折，标杆顶端着地处 C 离杆脚2 m.修好后又被风吹折，因新折断的D处比前一次低05 m，故标杆顶端着地处 E 离杆脚比前一次远1 m．求原标杆的高.

15 长方体盒子A1B1Ｃ1Ｄ1 － A2B2Ｃ2Ｄ2如图8所示，其中A1A2 = 20 ｃｍ，A2B2 =10 ｃｍ，B1C1 = 5 ｃｍ.一只蚂蚁要沿长方体盒子表面从A2点爬到C1点，那么沿哪条路线爬行最近？

高一数学《正弦定理的应用》教案 篇9

正弦定理的应用

教学目标

（一）知识与技能目标

会利用正弦定理求解简单的斜三角形边角问题．

（二）过程与能力目标

(1)通过用向量的方法证明正弦定理，体现向量的工具性，加深对向量知识应用的认识．

(2)通过启发、诱导学生发现和证明正弦定理的过程，培养学生观察与分析、归纳与猜想、抽象与概括等逻辑思维能力．

（三）情感与态度目标

通过三角函数、正弦定理、向量数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一． 教学重点

正弦定理的应用． 教学难点

正弦定理在解三角形时的应用思路． 教学过程

一、复习

正弦定理： abc2R sinAsinBsinC变 式

(1)a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC；(2)sinA : sinB : sinC = a : b : c；

(3)S ABC111absinCbcsinA acsinB 222正弦定理可以解决三角形问题：

1.两角和任意一边，求其它两边和一角；

2.两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角.二、应用

例 1.在ABC中，已知a20,b28,A40, 求B(精确到1)和c(保留两个有效数字).例 2.在ABC中，已知a60,b50,A38, 求B(精确到1)和c(保留两个有效数字).湖南省长沙市第一中学 数学教案 高一（下）第五章平面向量

归纳：在△ABC中，已知a, b和A时解三角形的各种情况： 1.当A为锐角时：

Ca

b

AB

a

CbAaBCbAB2aaB1CbAab一解aBa=bsinA一解bsinA

CabAab无解BCbAaBa > b一解练习

在ABC中，已知A30,b4,试分别讨论下列情况的解的个数(1)a1,(2)a1,(3)a3,(4)a4,(5)a5.例 3.在ABC中, 若a2tanBb2tanA, 试判断这个三角形的形状.例 4.在ABC中，若B30，AB23，AC2，求ABC的面积.课堂小结：

已知三角形的两边及其中一边的对角，其解的6种情况.作业：

勾股定理逆定理的应用 篇10

注释

① 华东师范大学数学系.数学分析(第四版).高等教育出版社：122.

勾股定理在生活中的应用 篇11

首先，来看看古代人是怎样应用勾股定理的.

例1 数学家程大位，在所著的《算法统宗》里有一道秋千问题：

平地秋千未起，踏板一尺立地，送行两步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉，良工高士素好奇，算出索长有几？

他的意思是：当秋千静止时，秋千的踏板离地的距离为1尺，将秋千的踏板往前推两步（这里的每一步为5尺），秋千的踏板与人一样高，这个人的身高为5尺，当时秋千的绳索是直线状态，现问这个秋千的绳索有多长？

【分析】首先根据题意画出图形，再在直角三角形中运用勾股定理构建方程求解.

说明：本题的关键是构造出直角三角形，利用勾股定理解决问题.

例3 如图3，长方体的底面边长分别为1 cm和3 cm，高为6 cm. 如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要______cm；如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要______cm.

【分析】要求最短细线的长，得先确定最短线路，于是，可画出长方体的侧面展开图，利用两点之间线段最短，结合勾股定理求得.若从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，即相当于长方体的侧面展开图的一边长由3+1+3+1变成n（3+1+3+1），同样可以用勾股定理求解.

解：如图4，依题意，得从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B时，最短距离为AB，此时，由勾股定理，得AB==10，即所用细线最短为10 cm.

若从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，则长方体的侧面展开图的一边长由3+1+3+1变成n（3+1+3+1），即8n，由勾股定理，得=，即所用细线最短为 cm，或2 cm.

说明：对于从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B的最短细线不能理解为就是n个底面周长.

最后，勾股定理在交通问题中的应用.

例4 在某段限速公路BC上（公路视为直线），交通管理部门规定汽车的最高行驶速度不能超过60千米/时，并在离该公路100米处设置了一个监测点A. 在如图5所示的直角坐标系中，点A位于y轴上，测速路段BC在x轴上，点B在A的北偏西60°方向上，点C在A的北偏东45°方向上，另外一条高等级公路在y轴上，AO为其中的一段.

（1） 求点B和点C的坐标；

（2） 若一辆大货车在限速路上由C处向西行驶，一辆小汽车在高等级公路上由A处向北行驶，设两车同时开出且小汽车的速度是大货车速度的2倍，求两车在匀速行驶过程中的最近距离是多少？

【分析】（1） 要求点B和点C的坐标，只要分别求出OB和OC即得.

（2） 为了求解，可设大货车行驶到某一时刻行驶了x米，则此时小汽车行驶了2x米，于是利用勾股定理可求出两车距离关于x的表达式进而求得.

解：（1） 在Rt△AOB中，因为∠BAO=60°，所以∠ABO=30°，所以OA=AB，而OA=100，所以AB=200，由勾股定理，得OB===100. Rt△AOC中，∠CAO=45°，所以OC=OA=100.

所以B（-100，0），C（100，0）.

（2） 设大货车行驶到某一时刻行驶了x米，则此时小汽车行驶了2x米，且两车的距离为y==，显然，当x=60时，y有最小值是=20米，即两车相距的最近距离为20米.

说明：本题在求最近距离时，一定要注意正确理解代数式的意义，注意到（x-60）2的最小值是0.

其实，“生活中处处有数学”，只要我们平时留心身边的实际问题，就会有所发现，再借助学过的知识建立数学模型，便可顺利解决.

动能定理的具体应用 篇12

动能定理:物体受到的合力做功, 等于物体动能的改变量。合外力对物体做正功, 物体的动能就增加, 物体动能的增加量等于合外力对物体所做的功。合外力对物体做负功, 物体的动能就减小, 物体动能的减少量等于物体克服合外力所做的功。

当物体受到的各个力均为恒力时, 且每个力都自始至终作用在物体上时, 利用上述方法比较方便, 但如果物体受到了变力的作用, 所受力当中有一个或几个不是自始至终作用在物体上的时候, 上述作题的方法就存在着一定的局限性。所以动能定理还有另外一种叙述。

动能定理:物体所受各个力做功的代数和, 等于物体动能的变化量

作题的方法与步骤:

1、在物体运动的过程中选取两个状态, 一个是初状态, 一个是未状态。这两个状态不是任意选的, 一般是题目给出一定条件的某一位置和题目要求计算的另一位置。

2、分析物体在初、未状态之间运动时都受到了哪些力, 将这些力全部列出来。

3、根据这些力的特点, 采取不同的方法将它们做的功求解出来。我们常见到的力有以下几种: (1) 恒力做的功——恒力做的功只与恒力与恒力方向上的位移有关, 跟物体运动的具体路径无关, 它等于恒力的大小与恒力方向上位移的大小的乘积。

(2) 方向不变, 大小跟物体的位移成正比或成线性关系的力所做的功, 可用这个力的平均值乘以物体的位移来求解。

(3) 利用力和位移的关系图象和位移轴所围成的面积来求功。

(4) 大小不变、方向始终跟物体运动的速度方向在一条直线上的变力所做的功, 可用这个力的大小跟物体运动的路程相乘来求解。

(5) 做功功率恒定的变力所做的功, 可用功率和做功时间相乘来求解。

(6) 无能量损失的碰撞中, 弹力做的总功为零。

(7) 无法求解的功, 可以先表示出来。

4、将所有做功的代数和等于物体动能的改变量。要注意功的正、负, 动能的改变量等于未动能减去初动能。

例1:物体从斜面上的A点由静止开始滑下, 进入水平面后滑行到B点静止, 已知物体于接触面间的动摩擦因数为μ, A、B之间的水平距离为L, 求物体下滑时的高度?

分析:物体运动过程中受到重力、弹力和摩擦力的作用, 其中重力做正功, 摩擦力做负功, 弹力不做功, 它们做的功分别为:

WG=mghWf=- (μmgcosθs1+μmgs2) =-μmgL

根据动能定理知:WG+Wf=0

所以h=μL

该题中涉及到两种性质的力做功, 一个是恒力做的功, 另一个是大小不变方向始终和物体运动方向相反的摩擦力做的功。

例2:物体从高为h处由静止释放, 和地面发生无能量损失的碰撞, , 若物体运动过程中受到的空气阻力恒为物体所受重力的k倍, 求物体运动的总路程是多少?

分析:物体在运动过程中受到三个力的作用, 分别是重力、空气阻力和地面的弹力, 已知物体受到的重力做正功, 阻力做负功, 地面的弹力做的总功为零。而重力是恒力, 所做的功只与竖直高度有关, 阻力是一个大小不变, 方向始终跟物体运动方向相反的力, 所以由动能定理知:

WG+Wf=mgh-kmgs=0

undefined

例3:质量为m的物体从固定在地面上的轻质弹簧上端h高处, 由静止释放, 将弹簧压缩x而到达最低点, 求弹簧的倔强系数是多少?

分析:物体在运动过程中受到三个力的作用, 分别是重力、弹力, 在整个过程中重力和弹力做的功是:

WG=mg (h+x)

undefined

由动能定理知undefined

undefined

例4:物体沿竖直放置的, 半径为R=0.8m圆型轨道的内侧做圆周运动, 当质量这m=1kg的物体在最低点的速度v0=7m/s时, 它恰好能通过最高点, 求在这半个圆周上运动时阻力对物体所做的功?

分析:物体从圆周的最低点向最高点运动的过程中, 受到三个力的作用, 分别是重力、弹力和阻力, 弹力对物体不做功, 由动能定理知:

undefined

undefined

例5:质量为M=500t的机车, 以恒定的功率从静止开始运动, 经t=5min, 在平直轨道上行驶了s=2.25km, 速度达到最大值vm=15m/s, 试求:

(1) 机车的功率

(2) 机车运动过程中所受的平均阻力

分析:机车在运动过程中受到四个力作用, 分别是重力、支持力、牵引力、阻力。重力和支持力对运动的机车不做功, 牵引力是一个做功功率不变的力, 它做的功等于功率和做功时间的乘积。所以:

undefined

又因为机车运动的最后阶段是匀速, 所以:undefined

联立求解得:

三垂线定理的证明及应用教案 篇13

教学目的

使学生掌握三垂线定理及其应用，同时培养学生观察、猜想和论证能力．

教学过程

一、复习和新课引入

师：我们已经学习过直线与平面的垂直关系，请大家回答几个问题：

(1)直线与平面垂直的定义．

(2)直线与平面垂直的判定定理．

(3)何谓平面的斜线、斜线在平面上的射影．

生：略．

师：(板书)设斜线l∩α=O，作出l在平面α上的射影．

(师生共同完成图1．学生叙述画法，教师画图，再次深化概念．)

[平面的垂线、斜线及斜线在平面上的射影是三垂线定理的基础，引导学生温故而知新是十分必要的．]

二、猜想与发现

师：根据直线和平面垂直的定义，我们知道，平面内的任意一条直线都和平面的垂线垂直．现在我们想一想，平面内的任意一条直线是否也都和平面的一条斜线垂直呢？

(演示教具：用两根铁丝在桌面上演示，学生容易看出平面内的任意一条直线，并不一定和平面的一条斜线垂直．)

师：那么，是否平面内的所有直线都不和平面的一条斜线垂直呢？

[演示教具：如图2，设直线l(铁丝)和平面α(桌面)斜交，使直线m(铁丝)和l垂直，把直线m沿直线l平行移动到平面α内的n的位置，此时学生发现平面α内有直线与平面的斜线垂直．]

师：如果我们把铁丝m在平面内平行移动，使其到不同的位置(直线)，那么，这些直线与铁丝l垂直吗？

[学生根据“两条异面直线所成的角”的原理也很快判定这些直线与l(铁丝)垂直．]

师：平面内一条直线具备什么条件，才能和平面的一条斜线垂直呢？即怎样判定平面内的直线与平面的一条斜线垂直呢？

[指导学生用三角板和铅笔在桌面上搭成模型(如图3)，使铅笔与三角板的斜边垂直，引导学生观察猜想发现规律．经过实验，发现铅笔和三角板在平面α内的直角边垂直时便与斜边垂直．]

师：(启发)如何归结为数学问题呢？(学生们恍然大悟，终于发现了，平面内的一条直线如果和平面的斜线的射影垂直就和平面的斜线垂直．)

师：实验得出的结果是否正确还得进行证明．

[引入新课是课堂教学的重要环节．新课引入得好，这节课就成功了一半，教师根据教与学的实际，提出问题，创设情境，引导学生观察、猜想，发现新知识，从而调动了学生的积极性，培养了学生的探索能力，体现了教师为主导、学生为主体的教学思想．]

三、证明

师：现在我们把由实验发现的结论表达成命题的形式．

(学生叙述，教师板书．)

已知：如图4，PA、PO分别是平面α的垂线和斜线，AO是PO在平面α上

求证：a⊥PO．

师：这是证明两条直线互相垂直的问题．在立体几何中怎样证明两条直线互相垂直呢？

(学生思考、议论，教师归纳．)

师：常用的方法是证明一条直线垂直于另一条直线所在的平面．现在要证明a⊥平面PAO呢？只要证明a⊥平面PAO内的两条相交直线即可．

证明(师生共同完成．)

师：这个命题的证明，体现了“由线面垂直证线线垂直”的方法．这个方法很重要，大家要给以足够的重视．

上述命题反映了平面内的一条直线、平面的斜线和斜线在这个平面内的射影这三者之间的垂直关系．这就是有名的三垂线定理．下面请大家根据已知条件和结论，把三垂线定理完整地表达出来．(学生叙述，教师板书．)

三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．

[这样由具体到抽象地研究问题，能够培养学生的概括能力．从“猜想”到“证明”是质的升华！是学习数学必须具备的重要素质，引导学生证明猜想结果，总结定理，比直接给出定理记得牢，理解得深刻，又能培养学生的能力．]

四、剖析定理

师：(逐字逐句地阅读定理，同时圈点重要字眼，并提出下面几个问题让学生讨论．)

(1)本定理的证明过程是对水平位置的平面α而进行的．那么定理对其他位置的平面是否成立？并说明理由．

(2)直线a是平面α内垂直于AO的任意一条直线，a和斜线PO的位置关系有几种？反映三垂线定理的图形有几种可能的情况？并画出图形．

(学生分组讨论，教师巡回指导，适时点拨，解答疑难，启发诱导，掌握讨论情况，然后教师总结．)

师：(1)三垂线定理对任意位置的平面都成立．因为定理中并没有水平平面的限制．定理的实质是研究平面内的一条直线与这个平面的斜线及斜线在这个平面内的射影三者的垂直关系，与平面的位置无关．

(2)因为a是平面α内的任意一条直线，所以a与斜线PO的位置关系有两种情况：一是不过斜足O的异面垂直；一是过斜足O的相交垂直．反映三垂线定理的图形有四种情况(如图5)．

以上四种情况的图形在证题时都是经常遇到的，应该灵活运用三垂线定理．a不过斜足O时的情况容易被忽略，这是证题时确定三垂直关系的一个难点，应当给以足够的重视．

[剖析定理是几何教学中的一个重要环节．通过剖析，可以加深对定理的理解，为应用定理奠定基础，这是提高教学质量的重要措施．]

五、定理的应用

[定理的应用是学习定理的重要环节．它既能巩固所学知识又能培养能力．]

师：请同学们证明下题：

已知：如图6，O是△ABC的垂心，PO⊥平面 ABC，连结PA．求证：BC⊥PA．

(学生思考后，教师分析．)

ABC，所以，要证明BC⊥PA，只要证明BC垂直PA在平面ABC上的射影即可．那么，怎样确定PA的射影呢？

请大家把证明过程写在练习本上．

(同时指定一学生上黑板板演．)

生：(板演)因为PO、PA是平面的垂线和斜线，连结AO且延长交BC于D(图7)，则AO是PA在平面ABC上的射影．又O是△ABC的垂心，所以AD⊥BC，由三垂线定理可得 BC⊥PA．

师：请谈谈证明的思路．

生：先找出平面的垂线、斜线以及这条斜线在平面上的射影，„„．

师：他回答完整吗，生：应先确定一个平面及平面内的一条直线．

师：这点补充得好！三垂线定理是证明空间两条直线互相垂直的重要方法．应用三垂线定理的思维过程是：

“一定”——定平面及平面内的一条直线；

“二找”——找这个平面的垂线、斜线及斜线在这个平面上的射影；

“三证”——证明平面内的一条直线与射影垂直．

[在复杂图形中应用三垂线定理时，需要先确定反映三垂线定理的基本图形，然后才能着手证明，因而掌握三垂线的证题步骤是十分必要的．]

师：我们来研究第二道题．(板书．)

已知：正方体ABCD－A1B1C1D1．

求证：(1)A1C⊥BC1；(2)A1C⊥平面C1DB．

先考虑A1C⊥BC1如何证明？

(在此指导下，学生们通过认真观察，独立思考，确定平面BCC1B1及平面内的一条直线BC1，A1B1是平面BCC1B1的垂线，A1C是斜线，从而找到了反映三垂线定理的基本图形．连结B1C，用三垂线定理证明A1C⊥BC1．)

证明略．

师：把第(1)小题作为条件证明第(2)小题，只需再证A1C⊥BD就可以了．

[学生连结AC，顺利地证明了A1C⊥BD，第(2)小题的证明就水到渠成了．证明过程是：

师：在数学证明中，相同的证明方法可用“同理可证”代替推理过程．但必须注意推理的严密性．例如，上面的证明过程中，要防止漏掉 BC1∩DB=B．(证明时，有些同学漏掉了这一点，经教师指导才改正，“同理”的运用也是如此．)

[讲定理的应用时，关键是选好例题．这两道题的安排是由易到难，第一道题是直接应用定理，第二道题难度增大，要求学生在复杂的图形中通过观察和分析确定反映三垂线定理的基本图形，再应用定理，以培养学生灵活应用定理的能力．]

六、小结

(师生共同进行．)

(1)本节课的教学可概括为四个字：猜、证、剖、用，即猜想平面内的直线与平面的斜线垂直的特征；证明三垂线定理；剖析定理的内容；应用定理证题．

(2)叙述三垂线定理的内容，定理的证明方法是证明空间两条直线互相垂直的基本方法，称为线面垂直法．

(3)此定理是空间两条直线垂直的判定定理，与平面的位置无关．运用定理的步骤是：“一定、二找、三证明”．

七、课外作业

课本习题：略．

补充题：

写出三垂线定理的逆定理，并加以证明．

课后扎记

学生们反映这样讲定理好，记得牢，理解得深刻．不仅学习了知识，而且培养了能力．从学生的作业来看，书写规范，推理正确，这反映学生对此定理掌握得好，运用得好．这类课型是体现教师为主导、学生为主体的教学思想的好形式．

勾股定理的逆定理 篇14

例1 如果一个三角形的三边长分别为

则这三角形是直角三角形

证明：∵

∴

∵∠C=

例2 已知：如图，四边形ABCD中，∠B= ，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13求四边形ABCD的面积

解：连结AC

∵∠B= ，AB=3，BC=4

∴

∴AC=5

∵

∴

∴∠ACD=

例3 如图，已知：CD⊥AB于D，且有

求证：△ACB为直角三角形

证明：∵CD⊥AB

∴

又∵

∴

∴△ABC为直角三角形

以上例题，分别由学生先思考，然后回答.师生共同补充完善.(教师做总结)

4、课堂小结：

(1)逆定理应用时易出现的错误：分不清哪一条边作斜边(最大边)

(2)判定是否为直角三角形的一种方法：结合勾股定理和代数式、方程综合运用.

5、布置作业：

a、书面作业P131#9

b、上交作业：已知：如图，△DEF中，DE=17，EF=30，EF边上的中线DG=8

求证：△DEF是等腰三角形

板书设计：

探究活动

分别以直角三角形三边为直径作三个半圆，这三个半圆的面积之间有什么关系?为什么?

提示：设直角三角形边长分别为

勾股定理逆定理的应用 篇15

在教学“勾股定理应用题型”时, 我深刻地体会了“让我参与, 我会理解”的内涵.

数学教学中“空间图形”一直是学生最难理解、最难掌握的知识, 其主要原因在于学生的空间想象能力贫乏, 再加上学生理解能力的局限.新课程四大学习领域之一“空间与图形”教学目标中明确提出, 通过动手操作, 让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型的过程, 对“空间与图形”的原理, 进行解释与应用, 进而使学生获得对数学理解的同时, 在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展.

“勾股定理的应用举例”一节中有这样一道题:

如果一只蚂蚁从长方体的顶点A出发, 沿长方体的表面爬到对角顶点C1处 (三条棱长如图所示) , 问怎样走路线最短?最短路线长为多少?

解这道题需要很强的空间想象能力, 并且在长、宽、高取值不同的情况下, 结果会发生变化, 最短路线也会改变, 要求学生不断探索, 才能寻得最终答案.当初, 我在教这一节内容的时候, 并没有意识到会有这么多种变化, 费了很大的力气.但是, 不管我怎么讲, 怎么比划, 总有学生理解不了, 我只好将结论告诉学生, 希望他们能记住.看到学生茫然的表情, 我心里很不是滋味……

后来的实践证明, 我的这种教学效果不好, 不少学生在考试中遇到这类题依然茫然, 得分率不高.我陷入了思考, 感觉我讲得已经很透彻了, 不应该不理解啊, 问题出在哪呢?

我把这个问题和多名同行进行了交流, 他们也有这方面的困惑, 感觉讲得很透了, 但是效果不好.会不会是我们的教学方法不好?我们思考了教学的整个过程, 找到了原因:老师讲的太多, 与学生缺少互动.在教几何图形尤其是立体图形的题目中, 不光要给学生看, 还要让学生参与进来, 动手操作, 亲身体验探索的过程, 感受得出结论的成功喜悦.

我们总是目中无人, 一味地讲;我们总抱怨在“对牛弹琴”, 可什么样的“牛”能从早晨到晚上一动不动端坐在教室里, 而且还要一遍遍咀嚼那些食之无味弃之可惜, 既没营养又不新鲜的知识?谁愿意承认那些东西原本就味同嚼蜡, 可我们却奉为人类的智慧精华?

后来, 我在执教“勾股定理的应用举例”一节中进行了一点尝试.课前让每个小组准备一个长、宽、高分别为4分米、2分米和1分米的长方体纸盒, 课堂上出示问题:

如果一只蚂蚁从课前准备的长方体的顶点A出发, 沿长方体的表面爬到对角顶点C1处 (三条棱长如图所示) , 问怎样走路线最短?最短路线长为多少?

问题展现后, 就有同学想到根据“两点之间线段最短”, 需要将长方体展开成平面图形.如何展开呢?问题再一次摆在同学们的面前.同学们的动手操作与小组间的合作开始了.给每个小组五分钟的时间, 男生负责展开图形, 女生负责拼接图形, 组长负责将自己组的结果展示在自己组的黑板上, 看看哪个组的方法又多又快.各组分别行动, 很快黑板上就出现了下面几种不同的做法.

究竟哪种方法的路线最短呢?同学们再一次低下头独立动手计算.

图1中, AC21=42+ (1+2) 2=25

图2中, AC21= (4+2) 2+12=37

图3中, AC21= (1+4) 2+22=29

很明显, 路线1即为所求.

是不是每一个长方体都需要这样展开呢?新的问题又出现了.

于是, 我把题中的几个数字换了一下, 让学生根据以上的操作经验来解决.结果发现, 好多同学不需要展开就能直接用笔演算出了正确答案.经过探究和验证, 学生们发现:

长、宽、高中, 较短的两条边的和作为一条直角边, 最长的边作为另一条直角边, 斜边长即为最短路线长.

这是学生自己通过参与动手操作、探索, 而总结出来的结论, 是课堂自主生成, 是学生自主学习的成果.学生参与其中, 感受成功的愉悦, 增强了学习的自信心, 不再觉得数学课堂是枯燥无味的.

在后续的练习中, 我有意识地考查了这一类题型.这次没有让我失望, 全班大部分同学都能快速而准确地写出解题的步骤.由此看出, “让学生参与”的效果是非常明显的, 学生参与了才会真正懂得原理, 掌握方法, 并且印象深刻.

魏书生老师曾说过:“学生的能力是学出来的, 不是老师教出来的.”“教师要树立为学生服务的思想, 为学生服务, 就不强迫学生适应自己, 而努力研究学生的学习心理、原有的知识水平、接受能力, 以使自己的教学适应学生的需要.”“要建立互助的师生关系, 教师要做学生学习的帮助者, 同时也要坚信每位学生都不仅能帮助自己完成教学任务, 而且能帮助自己提高教学水平.”这些话无不说明学生是学习的主体, 教师要根据学生的实际情况设计科学合理的教学策略, 努力提高学生的课堂参与度, 激发学生的学习热情, 培养学生自主学习的能力, 和学生一起享受学习的过程, 体验成功的喜悦.最终, 老师和学生共同进步, 学生学会了学习的方法, 能够主动学习, 教师提高了自身的教学业务水平, 更新了教育教学观念.

通过对这一类勾股定理应用题型教学方法改进的尝试和思考, 我深深地体会到“教学方法的改变只是表面, 而教学理念的转变才是根本”, 只有让学生参与其中, 学生才会真正地理解, 他们才是课堂上真正的主人.

摘要：数学课堂教学必须要有学生的参与, 有了学生的广泛参与课堂就会变得生动, 知识就会变得易懂, 学生就能真正理解.

关键词：数学,参与,理解

参考文献

[1]曾宪勇.浅谈动手操作在几何教学中的作用[J].雅安职业技术学院学报, 2008 (1) .

动量定理的应用 篇16

关键词：动量定理；应用；变力问题；图像问题；光学问题

合外力的冲量是动量变化的原因，合外力的冲量是对时间的积累，与物体的初末动量无关。应用动量定理比应用牛顿定律解题有独到的优越性，且应用广泛。

一、用动量定理解释现象

例1.如图，把重物G压在纸带上，用一水平力缓慢拉动纸带，发现重物会随着纸带运动，若迅速拉动纸带，重物几乎不动，解释这些现象的正确说法是：（CD）

A.缓慢拉动纸带时，重物和纸带间的摩擦力大

B.迅速拉动纸带时，重物和纸带间的摩擦力小

C.缓慢拉动纸带时，纸带给重物的冲量大

D.迅速拉动纸带时，纸带给重物的冲量大

解析：在缓慢拉动时，两物体之间的摩擦力是静摩擦力，在迅速拉动时，它们之间的作用力是滑动摩擦力，静摩擦力小于滑动摩擦力，因此一般情况是：慢拉摩擦力小，快拉摩擦力大。A、B错。缓拉纸带时，摩擦力虽小，但作用时间很长，故重物获得的冲量很大。迅速拉动纸带时，摩擦力虽大，但作用时间很短，故重物获得的冲量很小。C、D正确。

评析：用动量定理解释的现象一般分为两类：一类是物体的动量变化一定，此时力的作用时间越短，力就越大；力的作用时间越长，力就越小。另一类，作用力一定，力的作用时间越长，动量变化越大；力的作用时间越短，动量变化越小。分析问题时，要把哪个量一定、哪个量变化搞清楚。

二、用动量定理解决变力问题

例2.在强度为B的匀强磁场中，一个电量为q的粒子（重力不计），以速度v在垂直于磁场方向上做半径为R的圆周运动，则粒子在运动的二分之一周期内，洛仑兹力的冲量大小为：（B）

A.πqBR B.2qBR ?摇C.■BR D.qBR

解析：粒子在做圆周运动过程中，由洛仑兹力提供向心力，qvB=mv2/R根据动量定理，I=△P=mv-（-mv）=2mv=2qBR，因此B正确。

评析：用I=Ft求的是恒力的冲量，本题中洛仑兹力是变力，因此I=Ft不能用，变力的冲量只能通过动量定理求解。

三、用动量定理求解平均力问题

例3.质量为60Kg的建筑工人，不慎从高空跌下，由于弹性安全带的保护作用，最后使人悬挂在空中，已知弹性安全带缓冲时间为1.2s，安全带原长5m，求安全带所受的平均作用力。（g=10m/s2）

解析：人开始下落为自由落体运动，下落到弹性安全带原长时的速度为：v02=2gh，得：vo=10m/s。取人为研究对象，在人和安全带作用的过程中，人受到重力mg和安全带的平均冲力F，取力F方向为正方向，由动量定理得：（F-mg）t=0-（-mv0）

F=mg+mv0/t=1100N（方向竖直向上），安全带所受的平均作用力F'=1100N（方向竖直向下）。

评析：弹性安全带的作用力实际是一个变力，若求一段时间内的平均值，则按恒力来处理，可按动量定理求解。

四、用动量定理解决图像问题

例4.水平推力F1和F2分别作用于水平面上原来精致的、等质量的a、b两物体上，作用一段时间后撤去推力，物体将继续运动一段时间停下，两物体的v-t图像如图所示，已知图中线段AB∥CD，则（AC）

A.F1的冲量小于F2的冲量

B.F1的冲量等于F2的冲量

C.两物体受到的摩擦力大小相等

D.两物体受到的摩擦力大小不相等

解析：由v-t图像可知，撤去F后，只受摩擦力的作用，因为AB‖CD，说明ab加速度相同，所以fa=fb。由图像可知：F1>F2但t1

评析：本题是图像问题，既考查了对图像的认识，也考查了动量定理应用的妙处。

五、用动量定理解决光学问题

科学家设想在未来的航天事业中用太阳帆来加速星际宇宙飞船，按照近代光的粒子说，光由光子组成，飞船在太空中张开太阳帆，使太阳光垂直射到太阳帆上，太阳帆面积为S，太阳帆对光的反射率为100%，设太阳帆上每单位面积每秒到达n个光子，每个光子的动量为p，如飞船总质量为m，求飞船的加速度的表达式。

解析：

设经过时间为t，则时间t内的光子数为：N=nst ①

对光子由动量定理：Ft=Np-（-Np） ②

对飞船：F=ma ③

由①②③联立：a=2nsp/m