勾股定理的发现及证明

勾股定理的发现及证明（共12篇）

勾股定理的发现及证明 篇1

勾股定理的证明及应用

【重点】：

学习勾股定理的文化背景，欣赏历史上经典的勾股定理证明方法，体会其蕴含的创新思维，初步运用勾股定理分析处理具体问题

【难点】：

通过图示欣赏，还原推测图示所含的证明方法

【勾股文化学习】

勾股定理是欧式平面几何的一个核心结果，是三角学的出发点，与“黄金分割”一起被开普勒称为“几何学两个宝藏”。它在‘RT△的三条边之间建立了固定关系’，使人们对原来几何学的感性认识精确化，其中体现出来的“数形统一”的思想方法，启发了人类对数学的深入思考，促成了解析几何与三角学的建立，使数学的两大门类代数和几何结合起来，许多大科学家都认为勾股定理以及处理数据的数学方法深深地影响了现在许多学科的思考模式。

千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家、画家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单又实用，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法。实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。这是任何定理无法比拟的。

在西方国家，一般称勾股定理为毕达哥拉斯（前500）定理，因为人们相信是毕达哥拉斯最早提出并证明了这一定理。并且据说，他在发现这一结论时，欣喜若狂，杀牛百只以供奉神灵。因而这一定理又有了“百牛定理“的称法。在法国和比利时这个定理被称为“驴桥定理”。在中世纪的阿拉伯国家和印度，这一定理还有一个绰号，叫“新娘图”。至于绰号由来，现代人众说纷纭，莫衷一是。

在我国以前也称这一定理为毕达哥拉斯定理。五十年代初，曾展开过关于这一定理命名的讨论。有人主张叫“商高定理”。因这一结论的在我国最早是由西周初的商高提出的。在数学著作《周髀算经》(前1世纪)一书中，记载有商高(前1120)与周公的对话，其中商高提出了“勾三股四弦五”的说法。不过据推断，他还只是了解三边满足3：4：5关系的特例情况，普遍性的结论，由陈子(前716)提出。他说：“„„勾股各自乘，并而开方除之„„”这是普遍勾股定理在我国的最早记载。故有人主张应称为“陈子定理”。后来决定不用人名，而称为“勾股定理”。单就名称之多，勾股定理就可创下一项平面几何之最了。

今天有人戏称，勾股定理为‘宇宙大定理’，因为现在看来，世界上各民族都在差不多接近的时间内独立地发现了勾股定理及其逆定理。目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。据说我国著名数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种“语言”的。

勾股定理在每一个时代都会被当代的精英们给出新的内涵外延，从柏拉图寻求不定方程通解到费马大定理，到今天的分形勾股树(如右上两图)，每每读到这些智慧的创造都会让人神往。

„„

【勾股定理的证明】

观察下列图形，推测勾股定理的证明方法

1、下图是《几何原本》（公元前4世纪前后）中提供的一种证明方法，过A作AH⊥BC于H延长交FK于G．

可证明：

证明思路很多，较简捷的是过F作FP⊥AB于P

易证△FPB≌△CBA进而可知

而

2、下图最早是由我国三国时期数学家赵爽（东汉末至三国东吴人）提出的一种证法．

该图叫弦图，由图示可知

．

3、下图最早是由我国三国时魏国的数学家刘徽（公元三世纪）为注释《九章算术》时提出的一种证法“青朱入出图”，由图示．

边长为a、b的两个正方形，如图示裁割．

M补入 处，N补入处，Q补入

处

4、下图最早是由古代印度数学家婆什迦罗提出的一种证法．

图示的裁割线索很清晰，你试试给出解释．

„„

【勾股定理的应用】

1、已知在△ABC中，a，b，c分别是∠A、∠B，∠C的对边，且a=3，b=4，且b

错解：由勾股定理可得

分析：上面的解法受“勾

三、股

四、弦五”的影响，没有认真审题，错在没有注意到题目中的三角形是否为直角三角形。

正解：，又，∴，即4

评述：运用勾股定理解决问题时，必须是在直角三角形的条件下，不可不加分析就用勾股定理来进行计算。

2、已知：三角形两边的长分别是5和12，如果这个三角形是直角三角形，则其第三边长为_____，∴ x=13

错解：设第三边长为x，则由勾股定理可得：

分析：由于此题中己知直角三角形的两边长，但没有明确这两条边是直角边还是斜边，故需要分情况讨论

正解：当x为斜边时，x=13；当x为直角边时，故第三边长为13或。

评述：在运用勾股定理进行计算时，一定明确哪条是直角边，哪条是斜边，以防止运用不当。

3、利用勾股定理求线段长的简单应用

(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，①若a=7，b=24，则c=________；②若a=5，c=13，则b=________；

③若b=15，c=25，则a=________

(2)等腰直角三角形的斜边长为，则此直角三角形的腰长为________________

(3)在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，则斜边AB=________________，斜边AB上的高线长

为________________。(与面积的结合)

(4)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，且c+a=9，c-a=4，则b=________。

(5)如果一个直角三角形有一条直角边长为11，另两条边长为自然数，则这个直角三角形的周长是___

解析：（1）①

（2）2 ②

③

（3）AB=10，（4）

（5）设斜边长为c，另一直角边为a，则

∵ c、a为自然数

∴

∴ 周长为132

4、勾股定理在几何中的应用。

己知：△ABC中AB=AC=20，BC=32，D是BC上一点，且AD⊥AC，求BD的长。

解：过A作AE⊥BC于E。

∵ AB=AC，∴

在Rt△ABE中，AB=20，BE=16，∴

∴ AE=12

故在Rt△ADE中，设DE=x，则

∵ AD⊥AC于A，∴

解得，即，∴ BD=BE-DE=16-9=7

评述：勾股定理是解决直线形中线段计算问题的常用方法，题目中含有直角三角形别忘记使用，题目中没有给出直角三角形可以考虑作垂线构建直角三角形。

5、利用勾股定理解决实际问题

(1)平面上有A、B两点处有甲、乙两只蚂蚁，它们都发现C处有食物，已知点C在A的东南方向，在B的西南方向。甲、乙两只蚂蚁同时从A、B两地出发爬向C处，速度都是30cm／min。结果甲蚂蚁用了2 min，乙蚂蚁2分40秒到达C处分享食物，试问两只蚂蚁原来所处地点相距多远?

解析：首先结合题设画出图形，C在A东南，则A在C西北；C在B西南，则B在C东北

∴ 可知∠ACB=90°，依题设AC=60cm，BC=80cm

∴ AB=100cm

(2)如图A、B为两个村庄，AB、BC、CD为公路，BD为田地，AD为河宽，且CD与AD互相垂直。现要从点E处开设通往村庄A、村庄B的一条电缆，现在共有两种铺设方案：方案一：E→D→A→B；方案二：E→C→B→A。经测量得千米，BC=10千米，∠BDC=45°，∠ABD=15°。已知：地下电缆的修建费为2万元／千米，水下电缆的修建费为4万元／千米。

求：1)河宽AD(结果保留根号)；

2)公路CD的长：

3)哪种方案铺设电缆的费用低?请说明理由。

解析：过B作BF⊥AD交DA延长线于F

在Rt△ABF中可知∠BAF=60°，AB

∴ BF=6，在Rt△BFD中，知∠BDF=45°

∴ DF=BF=6

∴

过B作BG⊥CD于G，则BG=6，BC=10，有CG=8

∴ DC=CG+DG=14

设CE=x，则方案一、二费用分别为

由

∴ 当

当0＜CE＜

当CE=

6、画出长为的线段，可作图 可解得，＜CE＜14时，方案一较省

时，方案二较省 时，方案一、二均可．

解析：考虑到

线段AB为所求

考虑到，可作图

线段CD为所求

勾股定理的发现及证明 篇2

微分中值定理是微分学的基本定理, 在数学分析中占有重要地位, 是研究函数在某个区间内的整体性质的有力工具。从费马定理开始, 经历了从特殊到一般, 从直观到抽象, 从强条件到弱条件的发展阶段.人们正是在这一发展的过程中, 逐渐认识到微分中值定理的普遍性.

罗尔中值定理是其他微分中值定理的基础, 而且该定理对判别根的存在性特别有效. 它是由法国数学家罗尔 (Rolle, 1652~1719) 在1691年首先提出的, 直到1846年经法国的另一位数学家完善成今天的形式.

以下就介绍罗尔中值定理的知识:

一、罗尔中值定理的证明

我们首先来观察一个图形, 见图1.

设图1中曲线弧AB是函数y=f (x) (x∈[a, b]) 的图形.这是一条连续的曲线弧, 除端点外处处具有不垂直于x轴的切线, 即 f (x) 在 (a, b) 内处处可导.且两端点处的纵坐标相等, 即 f (a) = (fb) .可以发现在曲线弧AB的最高点或最低点处, 曲线都有水平的切线. 如果记曲线弧AB的最高点C的横坐标为ξ, 则f' (ξ) =0.若我们用分析的语言把这一几何现象描述出来, 就得到了下面的罗尔 (Rolle) 定理.

罗尔定理若函数y=f (x) 满足:

(1) 在闭区间[a, b]上连续;

(2) 在开区间 (a, b) 内可导;

(3) 在区间端点处的函数值相等, 即 f (a) =f (b) ,

则在 (a, b) 内至少存在一点ξ, 使得f' (ξ) =0.

罗尔定理的几何意义是说:在每一点都可导的一段连续曲线上, 如果曲线的两端点高度相等, 则至少存在一条水平切线 (图 1) .

为了给出罗尔定理的严格证明, 我们首先需要学习下面的引理, 它称为费马 (Fermat) 定理.

费马定理设函数 (fx) 在点x0 的某邻域U (x0 ) 内有定义, 并且在x0 处可导, 如果对任意的x∈U (x0 ) , 有 (fx) ≤ (fx0 ) , 则f ('x0 ) =0.

分析为了利用函数值的大小关系得出导数的结论, 显然应该考虑使用导数的定义.

费马定理告诉我们, 若函数在x0 点可导, 且函数在x0 点处取得了局部的最大值或最小值, 则函数在点x0 处的导数一定为零, 即f' (x0 ) =0.

由图1知, 函数 f (x) 在ξ处取得了局部的最大值.因此, 根据费马定理不难证明罗尔定理.

罗尔定理的证明由于 f (x) 在[a, b]上连续, 所以 f (x) 在[a, b]上必定取得它的最大值M和最小值m.这样, 只有两种可能的情形:

(1) M=m.

此时对于任意的x∈[a, b], 必有f (x) =M.故对任意的x∈ (a, b) , 有f' (x) =0.因此, (a, b) 内任一点皆可作为我们找的ξ.

(2) M>m.

因为 f (a) =f (b) , 所以M和m中至少有一个不等于f (a) .不妨设M≠f (a) , 则在 (a, b) 内必有一点ξ, 使得f (ξ) =M.又因为对于任意的x∈[a, b], 有 f (x) ≤f (ξ) , 且f' (ξ) 存在.故由费马定理知, f' (ξ) =0.类似可证m≠f (a) 的情形.罗尔定理成立.

二、罗尔定理的应用

1.函数零 (值) 点问题.

例1设 (a, b) 为有限或无穷区间, f (x) 在 (a, b) 内可微, 且 (有限或±∞) , 试证:存在ξ∈ (a, b) , 使得f' (ξ) =0 (.推广了的罗尔定理)

证若f (x) 不恒等于A (有限数) , 则存在f' (x) =0, 问题自明.

若 (fx) =A, 则x0∈ (a, b) , 使得f (x0) ≠A, 下设 (fx0 ) >A (对 (fx0 )

若A=+∞ (或 -∞) , 则 (a, b) 内任取一点作x0 , 上面的推理保持有效.

例2证明方程x3+x-1=0在区间 (0, 1) 内只有一个实根.

证明存在性:令f (x) =x3+x-1, 函数 (fx) 在闭区间[0, 1]上连续, 且f (0) =-1<0, f (1) =1>0.由闭区间上连续函数的零值定理可知, 至少存在一点ξ∈ (0, 1) , 使得f (ξ) =0.

唯一性:假设函数f (x) 在开区间 (0, 1) 内有两个不同的实根, 设为x1 , x2 , 且x1

f' (x) =3x2+1, f (x1 ) =f (x2) =0.

于是, 函数f (x) 在[x1 , x2 ]上满足罗尔定理的条件, 故存在ξ∈ (x1 , x2 ) , 使得f' (ξ) =0.但是f' (ξ) =3ξ2+1>0, 矛盾.于是方程x3+x-1=0在区间 (0, 1) 内只有一个实根.

2.证明中值公式.

例3设 (fx) , g (x) , h (x) 在[a, b]上连续, 在 (a, b) 内可导, 试证存在ξ∈ (a, b) , 使得 (.2) 证记, 则F (x) 在[a, b]上连续, 在 (a, b) 内可导, F (a) =F (b) =0.应用罗尔定理可知, 存在ξ∈ (a, b) , 使得F' (ξ) =0.根据行列式性质, F' (ξ) =0即是式 (2) .

例4设f (x) 在[0, +∞) 上可导, 且0≤f (x) ≤x/ (1+x2) .试证:存在ξ>0, 使f' (ξ) = (1-ξ2) / (1+ξ2) 2.

三角形垂顶径定理的发现与证明 篇3

为方便读者对比阅读，仍沿用文[1]的字母.

三角形垂顶径定理如图1或2，设△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，三条高线分别为AE、BF、CG，又R、H分别为外接圆半径及垂心，三个垂顶距HA=u，HB=v，HC=w，则R是一元三次方程4x3-（u2+v2+w2）x±uvw=0的一个正实数根（对钝角和锐角三角形ABC，uvw前分别取正负号，直角三角形正负均可）.

证明

如图1或2，连接BO交外接圆O于M，再连

接AM和MC，则有MA⊥AB，MC⊥BC，又因CH⊥AB，AH⊥BC（垂心性质），所以AM∥HC，AH∥MC，所以四边形AMCH为平行四边形，故有MC=AH=u，AM=HC=w.又在Rt△ABM和Rt△BMC中，

AB=BM2-AM2，BC=BM2-MC2即c=4R2-w2，a=4R2-u2，同理可证AC=b=4R2-v2.在圆内接四边形ABCM中，由托勒密定理得，

AM·BC+MC·AB=BM·AC，即w4R2-u2

+u4R2-w2=2R4R2-v2，移项得w4R2-u2=2R4R2-v2-u4R2-w2

化简整理得，

R2[4R2-（u2+v2+w2）]2=（uvw）2. ①

以下分三种情况：

（1）如图1，对于锐角三角形ABC及其外接圆O，在Rt△BHE中，∠BEH=90°，∠BHE为锐角，故其补角∠AHB必为钝角，所以cos∠AHB<0，又在△AHB中，由余弦定理得，c2-u2-v2=-2uvcos∠AHB>0，又c2=4R2-w2，故4R2-（u2+v2+w2）>0，此时，由①得R[4R2-（u2+v2+w2）]=uvw，于是4R3-（u2+v2+w2）R-uvw=0. ②

（2）同理，如图2，对于钝角三角形ABC及其外接圆O，在Rt△BHE中，∠BHE为锐角，故cos∠BHA>0，在△AHB中，仿上由余弦定理得，4R2-（u2+v2+w2）=-2uvcos∠BHA<0.

故由①得R[4R2-（u2+v2+w2）]=-uvw，

于是4R3-（u2+v2+w2）R+uvw=0.③

（3）如图3，对于直角△ABC，其直角顶点B与其垂心H重合.

所以HA=u，HB=v=0，HC=w，斜边AC=2R.

将它们代入②或③，②、③均成立，（注意到勾股定理u2+w2=AC2=4R2）

综合②、③得，4R3-（u2+v2+w2）R±uvw=0（△ABC为钝角和锐角三角形时，uvw前分别取正负号），直角三角形正负均可）.

垂顶径定理获证.由于定理涉及的三次方程求解较为复杂，留给读者解决，若求出此根，将重新改写文[1]的三角形面积公式.

参考文献

验证勾股定理的证明 篇4

几何学里有一个非常重要的定理，在我国叫 “勾股定理”或“商高定理”，在国外叫“毕达哥拉斯定理”。相传毕达哥拉斯发现这个定理后欣喜若狂，宰了100头牛大肆庆贺了许多天，因此这个定理也叫“百牛定理”。勾股定理不仅是最古老的数学定理之一，也是数学中证法最多的一个定理。但是，在现实中，有什么方法，可以证明勾股定理呢？看着三角形的边边角角让我想到七巧板，拼图。

于是我动手做了几个五巧板，如下图：

b 然后，利用这些五巧板我做了以下实验：

1）用两副五巧板，将其中的一副拼成一个以c为边长的正方形；将另一副拼成两个边长分别为a、b的正方形。

523 b 4 5a

S1、S2、S3、S4、S5组成；

S1、S3组成；

S2、S4、S5

2）用上面的两副五巧板，还可以拼出如下所示的图形：5 353

a

勾股定理的10种证明范文 篇5

1.传说中毕达哥拉斯的证法

将一个大正方形分成一个边长为a正方形，一个边长为b的正方形和四个全等三角形（如上图），再讲这些图形拼接成一个新的正方形。

勾股定理的十六种证明方法 篇6

我们刚刚学了勾股定理这重要的知识，老师告诉我们，勾股定理的证明方法非常得多，其数量之大足可以撰写出一部书来，我对知识的探求欲望被激发了出来，随即到网络上查找了勾股定理的证明方法，现在我收集到了几种。

【证法1】（课本的证明）

做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等.即

11a2b24abc24ab22，整理得a2b2c2.这是课本上面为我们提供的毕达哥拉斯的证明方法，我在网络上查阅资料发现：毕达哥拉斯是西方公认的发现勾股定理的数学家，因此，我们可以在外国的一些资料上发现，勾股定理在西方被称为毕达格拉斯定理。

【证法2】（邹元治证明）

1ab2以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于.把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上.∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF,∴ ∠AHE = ∠BEF.∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º.∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º.∴ 四边形EFGH是一个边长为c的正方形.它的面积等于c2.∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE,∴ ∠HGD = ∠EHA.∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º.又∵ ∠GHE = 90º,∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º.2ab∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于.∴

ab214abc22222.∴ abc.这个证明对我来讲也很好理解，它利用了全等三角形的性质和因式分解的知识，这对于我们初

二的学生来说，是能够领会的。

【证法3】（赵爽证明）以a、b 为直角边（b>a），以c为斜 边作四个全等的直角三角形，则每个直角

C

1ab2三角形的面积等于.把这四个直角三

角形拼成如图所示形状.∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE,∴ ∠HDA = ∠EAB.∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º，∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º，∴ ABCD是一个边长为c

∵ EF = FG =GH =HE = b―a , ∠HEF = 90º.ba∴ EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于.1

24abbac2

2∴.222

∴ abc.赵爽的证明课本上也给出了，它不仅仅是单纯的对勾股定理的证明，更体现了我国古人在知识探求上的不懈努力和卓越成就。

【证法4】（1876年美国总统Garfield证明）

ab2以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于.把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE,∴ ∠ADE = ∠BEC.∵ ∠AED + ∠ADE = 90º, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90º.∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º.∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形，12c

它的面积等于2.又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º, ∴ AD∥BC.ab

2∴ ABCD是一个直角梯形，它的面积等于2.ab221ab1c2

22.∴ 2

∴ abc.就连美国总统也给出了一种证明，这难道不能说明勾股定理的普遍性么？其中还有一个故事。1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使，伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是伽菲尔德便问他们在干什么？那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答道：“是5呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩说：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心里很不是滋味。，伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他出的难题。他经过反复思考与演算，终于弄清了其中的道理，并给出了上面介绍的简洁的证明方法。

【证法5】（欧几里得证明）

做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结 BF、CD.过C作CL⊥DE，交AB于点M，交DE于点 L.∵ AF = AC，AB = AD，K∠FAB = ∠GAD，∴ ΔFAB ≌ ΔGAD，1

2a

∵ ΔFAB的面积等于2，ΔGAD的面积等于矩形ADLM 的面积的一半，∴ 矩形ADLM的面积 =a.同理可证，矩形MLEB的面积 =b.∵ 正方形ADEB的面积

= 矩形ADLM的面积 + 矩形

222222

∴ cab，即 abc.欧几里德的经典证明方法！！！！！

！！！！！！！！！！！！

！！！！！！！！！！！！！！！！

【证法6】（利用相似三角形性质证明）

如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.在ΔADC和ΔACB中，∵ ∠ADC = ∠ACB = 90º，∠CAD = ∠BAC，∴ΔADC ∽ ΔACB.AD∶AC = AC ∶AB，同理可证，ΔCDB ∽ ΔACB，从而有 BCBDAB.22222

2∴ ACBCADDBABAB，即 abc.即ACADAB.这个证明非常好啊，郑樑成天和我讲相似三角形，这也是妙处之所在啊！

【证法6】（利用反证法证明）

如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分

别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.22222

2假设abc，即假设 ACBCAB，则由

ABADBDAB2ABAB==

ABADABBD 22

可知 ACABAD，或者 BCABBD.即 AD：

AC≠AC：AB，或者 BD：BC≠BC：AB.在ΔADC和ΔACB中，∵ ∠A = ∠A，∴ 若 AD：AC≠AC：AB，则

∠ADC≠∠ACB.在ΔCDB和ΔACB中，∵ ∠B = ∠B，∴ 若BD：BC≠BC：AB，则 ∠CDB≠∠ACB.又∵ ∠ACB = 90º，∴ ∠ADC≠90º，∠CDB≠90º.222

这与作法CD⊥AB矛盾.所以，ACBCAB的假设不能成立.222

∴ abc.与上题有异曲同工之妙！

从上面的六种证明里面，我们不难看出：每一种定理都凝聚了前人的努力与智慧，每一种定理都少不了前人对知识的不懈探究，每一种定理都蕴藏了前人独特的智慧……因此我们今天学习勾股定理，不但要学会利用它进行计算、证明和作图，更要学习和了解它的历史，了解其中体现出来的“形数结合”、“形数统一”的思想方法，这对我们今后的数学发展和科学创新都将具有十分重大的意义。

勾股定理的发现及证明 篇7

第一稿

[引言]在直角三角形中, 由三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数, 可以由已知的边和角求出未知的边和角。那么斜三角形有一样的性质吗?

[讲解新课]正弦定理:在任一个三角形中, 各边和它所对角的正弦比相等, 即 (R为△ABC外接圆半径) 。

1.在直角三角形中

如图1所示

即

2.在斜三角形中

证明一: (等积法) 在任意△ABC中,

两边同除以即得:

证明二: (外接圆法)

如图2所示,

同理

证明三: (向量法)

过A作单位向量j軆垂直于A軆軆C, 如图3、图4所示, 由A軆軆C+C軆軆B=A軆軆B两边同乘以单位向量j軆得j軆· (A軆軆C+C軆軆B) =j軆·A軆軆B, 则j軆·A軆軆C+j軆·C軆軆B=j軆·A軆軆B∴j軆·A軆軆C cos90°+j軆·C軆軆B cos (90°-C) =j軆·A軆軆Bcos (90°-A)

∴asin C=csin A∴

同理, 若过C作j軆垂直于

设计意图:在搜集到的参考资料中看到了好多不同的证明方法, 各种方法又各自包含了不同的证明思想和知识体系, 所以让学生通过这些方法体会数学的思维魅力。

自评:没贯彻好新课程理念, 在新课程实施的过程中, 学生的学习方式正由传统的接受式学习向探究式学习转变, 这就要求教师必须从传授知识的角色向学生发展的促进者转变, 从知识的传递者向学生学习的组织者、引导者转变, 正确引导学生在探究过程中学会学习, 在学习过程中学会探究。数学教育不仅要使学生获得必要的数学基础知识和基本技能, 还应培养学生主动参与和乐于探究从而获取新知的能力, 形成自主意识、探索欲望、开拓创新的激情和积极进取的人生态度。

第二稿

[创设情景]固定△ABC的边CB及∠B, 使边AC绕着顶点C转动。思考:∠C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系?

显然, 边AB的长度随着其对角∠C的增大而增大, 能否用一个等式把这种关系精确地表示出来呢?

[探索研究]在初中, 我们已学过如何解直角三角形, 下面就来探讨直角三角形中角与边的等式关系。在Rt△ABC中, 设BC=a, AC=b, AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义, 有, 又, 则从而在直角三角形ABC中, 有

思考:那么对于任意的三角形, 以上关系式是否仍然成立?

(由学生讨论、分析)

可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况:

当△ABC是锐角三角形时, 设边AB上的高是CD, 根据任意角三角函数的定义, 有CD=asin B=bsin A, 则, 同理可得

设计意图:设计双边、多边活动, 以交流式、探究式和启发式作为基本学法和教法, 激发学生探究兴趣和继续学习的兴趣。

自评:1.没吃透《学科教学指导意见》, 本章节的课标内容有两个, 一是通过对任意角三角形边长和角度关系的探索, 掌握正弦定理、余弦定理, 并能解决一些三角形问题, 二是能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算关系有关的问题。本章共三小节, 其中的应用举例和实习作业就各占了一节, 所以本章要体现的一个重要的思想就是应用于实际生活。

2.没贯彻好新课程理念, “数学是有用的”, 本章节就是体现这一理念的非常好的一个载体。而我设计的情景太理论化, 显得比较枯燥, 学生的探究欲望不会非常强烈, 并且也没有利用好这个载体, 让学生真切体会“数学是有用的”, 从而激发学习兴趣, 发自内心地想学好数学。

第三稿

第四稿

捷克著名的教育家夸美纽斯说过这样一句话:“找出一种教育方法, 使教师因此而可以少教, 但是学生多学。”我们今天的这种课堂改革便是这样一种改革。而要想真正达到这样的效果上好一堂课, 细致、全面的备课是个极其重要的前提。

通过对教案的多次修改经历, 我认为要想备好一节课需要做到以下几点:

1.吃透新教材, 尽量与教材编著者思维同步, 领悟教材改版的原因, 体会教材编写者的智慧所在。吃透教材就能整体把握文本内容在本章中的地位, 以确立本节课的整体目标。整体目标的确立不一定体现在教案当中, 但它却始终要在准备人的心中, 指导整个备课学案的书写。如符合社会现状的背景的设计, 体现“数学是有用的”。

2.根据学生特点, 设计符合学生认知规律的问题, 精心设计问题, 学生才能理解老师的出题意图, 才能在课堂上有话说, 有内容讲, 才能有课堂上的有效生成。如工程上测量角度的仪器简介之后, 再提出“请你根据该地的城市规划图, 设计一个计算方案。”学生不会不知所云, 一头雾水。

3.关注每一个学生, 尊重个体差异, 体现课堂民主, 让每个学生都能真正参与到课堂探究中去。如对不同类型方案设计的点评环节。

4.重视学生的可持续发展, “授之以鱼, 不如授之以渔”。如在课堂上展示完整的用数学解决问题的过程, 发现问题→数学建模→解决问题。又如在课堂上展示完整的科学发现的过程, 特例归纳→一般猜想→特例验证→严格证明。再如在课堂上展示信息技术在研究中的强大功能, 对学生以后继续发展和研究起了潜移默化的教育作用。

感悟两种勾股定理证明方法的关联 篇8

从不同的角度表示大正方形的面积：

角度1：S=（a+b）2；

角度2：S=4×■ab+c2.

于是有（a+b）2=4×■ab+c2.

整理得：a2+b2=c2. 即勾股定理获得验证.

接着学习教材第81页“探索”时，我利用图2再次验证勾股定理，请看：

设长方形的长、宽分别为a、b，则可以从不同的角度表示梯形ABCD的面积：

角度1：S=■（a+b）·（a+b）=■（a+b）2；

角度2：S=2×■ab+■c2.

于是有■（a+b）2=2×■ab+■c2.

整理得：a2+b2=c2. 即勾股定理获得验证.

验证之后，我很好奇，为什么利用这两个图形都能验证，并且验证过程几乎“相似”（在上述演算中只是多了个“■”），再对比图1、图2仔细一看，果然，图2是图1的“一半”！请看图3.

原来这两个问题是一致的，只是取了大正方形的一半. 老师经常讲数学都是关联的，这两种验证勾股定理的方法，看来也是关联在一起的！

刘老师点评：勾股定理尽显人类的智慧，又是数形结合的典范. 这篇短文发现教材上两种验证勾股定理在思路上的一致性（顺便指出，方法二即是1876年美国总统Garfield的证法），并用一个图形实现了他们在“形”上的沟通，很好！确如小作者在文末所说的，“数学是关联的”. 就这篇短文所体现出来的“关联”有很多理解的角度：第一，勾股定理反映了数、形之间有关联；第二，不同证明方法之间是关联的；第三，图形的整体与局部往往也是关联的.

勾股定理证明方法 篇9

【证法1】(梅文鼎证明)

做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c.把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上.过C作AC的延长线交DF于点p.∵D、E、F在一条直线上,且RtΔGEF≌RtΔEBD,∴∠EGF=∠BED，∵∠EGF+∠GEF=90°，∴∠BED+∠GEF=90°，∴∠BEG=180º―90º=90º.又∵AB=BE=EG=GA=c，∴ABEG是一个边长为c的正方形.∴∠ABC+∠CBE=90º.∵RtΔABC≌RtΔEBD,∴∠ABC=∠EBD.∴∠EBD+∠CBE=90º.即∠CBD=90º.又∵∠BDE=90º，∠BCp=90º，BC=BD=a.∴BDpC是一个边长为a的正方形.同理，HpFG是一个边长为b的正方形.设多边形GHCBE的面积为S，则,∴.【证法2】(项明达证明)

做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a)，斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.过点Q作Qp‖BC，交AC于点p.过点B作BM⊥pQ，垂足为M;再过点

F作FN⊥pQ，垂足为N.∵∠BCA=90º，Qp‖BC，∴∠MpC=90º，∵BM⊥pQ，∴∠BMp=90º，∴BCpM是一个矩形，即∠MBC=90º.∵∠QBM+∠MBA=∠QBA=90º，∠ABC+∠MBA=∠MBC=90º，∴∠QBM=∠ABC，又∵∠BMp=90º，∠BCA=90º，BQ=BA=c，∴RtΔBMQ≌RtΔBCA.同理可证RtΔQNF≌RtΔAEF.【证法3】(赵浩杰证明)

做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a)，斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形.分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG，∵EF=DF-DE=b-a，EI=b，∴FI=a，∴G,I,J在同一直线上，∵CJ=CF=a，CB=CD=c，∠CJB=∠CFD=90º，∴RtΔCJB≌RtΔCFD，同理，RtΔABG≌RtΔADE，∴RtΔCJB≌RtΔCFD≌RtΔABG≌RtΔADE

∴∠ABG=∠BCJ,∵∠BCJ+∠CBJ=90º,∴∠ABG+∠CBJ=90º,∵∠ABC=90º,∴G,B,I,J在同一直线上，【证法4】(欧几里得证明)

做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结

BF、CD.过C作CL⊥DE，交AB于点M，交DE于点

L.∵AF=AC，AB=AD，∠FAB=∠GAD，∴ΔFAB≌ΔGAD，∵ΔFAB的面积等于，ΔGAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半，∴矩形ADLM的面积=.同理可证，矩形MLEB的面积=.∵正方形ADEB的面积

=矩形ADLM的面积+矩形MLEB的面积

∴，即.勾股定理的别名

勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用。正因为这样，世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究，因此有许多名称。

我国是发现和研究勾股定理最古老的国家。我国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理。在公元前1000多年，据记载，商高(约公元前1120年)答周公曰“勾广三，股修四，经隅五”，其意为，在直角三角形中“勾三，股四，弦五”.因此，勾股定理在我国又称“商高定理”.在公元前7至6世纪一中国学者陈子，曾经给出过任意直角三角形的三边关系即“以日下为勾，日高为股，勾、股各乘并开方除之得邪至日。

在法国和比利时，勾股定理又叫“驴桥定理”。还有的国家称勾股定理为“平方定理”。

在陈子后一二百年，希腊的著名数学家毕达哥拉斯发现了这个定理，因此世界上许多国家都称勾股定理为“毕达哥拉斯”定理.为了庆祝这一定理的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵，因此这个定理又有人叫做“百牛定理”.前任美国第二十届总统加菲尔德证明了勾股定理(1876年4月1日)。

证明

这个定理有许多证明的方法，其证明的方法可能是数学众多定理中最多的。路明思(ElishaScottLoomis)的pythagoreanproposition一书中总共提到367种证明方式。

勾股定理五种证明方法 篇10

【证法1】

做8

个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等.即

11a2b24abc24ab22，整理得a2b2c2.【

证法2】（邹元治证明）

以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角

1ab2形的面积等于.把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上.∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF,∴ ∠AHE = ∠BEF.∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º.∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º.∴ 四边形EFGH是一个边长为c的正方形.它的面积等于c2.∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE,∴ ∠HGD = ∠EHA.∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º,∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º.又∵ ∠GHE = 90º,∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º.2ab∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于.∴ ab214abc

22222.∴ abc.【证法3】（梅文鼎证明）

做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为

c.把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上.过C作AC的延长线交DF于点P.∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,∴ ∠EGF = ∠BED，∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，∴ ∠BEG =180º―90º= 90º.又∵ AB = BE = EG = GA = c，∴ ABEG是一个边长为c的正方形.∴ ∠ABC + ∠CBE = 90º.∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,∴ ∠ABC = ∠EBD.∴ ∠EBD + ∠CBE = 90º.即∠CBD= 90º.又∵ ∠BDE = 90º，∠BCP = 90º，ABC = BD = a.∴ BDPC是一个边长为a的正方形.同理，HPFG是一个边长为b的正方形.设多边形GHCBE的面积为S，则

11a2b2S2ab,c2S2ab22,222∴abc.【证法4】（1876年美国总统Garfield证明）

以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角1ab2形的面积等于.把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE,∴ ∠ADE = ∠BEC.∵ ∠AED + ∠ADE = 90º, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90º.∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º.∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形，12c2它的面积等于.又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º,∴ AD∥BC.1ab

2∴ ABCD是一个直角梯形，它的面积等于2.1ab221ab1c2

22.∴ 2

222∴ abc.【证法5】（辛卜松证明）

DD

设直角三角形两直角边的长分别为a、b，斜边的长为c.作边长是a+b的正方形ABCD.把正方形ABCD划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD

222abab2ab；把正方形ABCD划分成上方右图所示的几个的面积为

部分，则正方形ABCD的面积为

勾股定理的发现及证明 篇11

那么,在教学过程中,如何引导学生去探索和发现定理呢?笔者根据多年的教学经验,总结归纳为如下三种方法。

一、 实验—猜想—论证

人类思维是感性认识的基础上形成的理性认识,通过 “实验”,学生获得了事物表面的、外部联系的认识,取得了感性的材料,再“将丰富的感觉材料加以去粗取精、去伪存真、由此及彼、由表及里的改造制作功夫”,从而产生一个认识过程的突变,做出了猜想,最后,从理论上给予论证。如“角平分线性质定理”的教学,我是这样设计的:

1.老师:同学们,大家知道,许多定理都是用发现它的人的姓氏来命名的,如勾股定理,外国人称为毕达哥拉斯定理,你们想发现定理,想用自己的姓氏来命名定理吗?(这段引言的目的是激发学生的探索欲望)

2.提问与练习

① 角平分线的定义是什么?

② 任意画∠AOB,再画出这个角的平分线OC;

③ 点到直线的距离的定义是什么?

④ 在∠AOB的平分线OC上任取一点P,画出点P到∠AOB两边的距离PD、PE。再在OC上任取另一点P`,画出点P`到∠AOB两边的距离P`D`、P`E`。

3.指导学生实验

① 分别度量点P、P`到∠AOB两边的距离,并且比较它们的大小关系;

② 要求学生再在∠AOB的平分线OC上任取一些不同的点,并且按上述要求自己独立操作完成。、

4.引导学生猜想

① 要求学生自己整理、分析数据,写出实验结论,并与他人交换意见、互相议论;

② 在这个基础上,老师再引导学生进行分析和综合、抽象和概括,于是猜想:在角平分线上的点到这个角两边的距离相等。

5.指导学生论证

① 引导学生按照证明命题的一般步骤对猜想进行严格的推理论证;

② 命题为真,指出这是角平分线的性质定理。

二、类比—猜想—论证

波利亚说:“所谓类比就是指明类似的关系。”他又说:“类比是个伟大的引路人。”法国数学家拉普拉斯也说:“在数学里,发现真理的主要工具是归纳和类比。”可见,类比是具有创造性的一种思想方法。

平面几何所研究的对象中,存在着许多在属性上相同或相似的两个或两类对象。因此,在教学时,我就指导学生通过已知的一类对象的性质去类比、去猜想另一类对象的性质,得到相应的猜想,然后再经过推理论证发现定理。如讲授相似多边形的性质定理“相似多边形的周长的比等于相似比”时,我是这样设计的:

1.提问与练习

① 相似三角形和相似多边形的定义分别是什么?

② 分别用图形和式子表示一对相似三角形和一对相似多边形的周长、面积以及相似多边形中的对应对角线、对应三角形。

③ 叙述相似三角形的性质定理

2.引导学生进行类比和猜想

① 老师提问:同学们,请根据相似三角形的有关性质去猜一猜,相似多边形有哪些性质?

② 让学生互相议论,老师进行适当的点拨

③ 老师提问学生,把所得到的猜想一一叙述出来,板书“相似多边形的周长的比等于相似比。

3. 指导学生论证

① 对上述命题进行严格推理论证。

② 命题为真,指出这是相似多边形的一个性质定理。

三、写出定理的逆命题——论证

将一个数学命题的题设和结论交换后,得到它的逆命题,再证明其真伪,这是人们从相反方向去观察、分析问题的一种思维方式,经常进行这种训练,既能使学生正确理解数学命题结构之间的关系,又培养了学生的逆向思维和创造性思维。

许多平面几何定理,都有逆定理,因此,在教学时,我有意识引导学生将这些定理的逆命题写出来,然后进行严格的推理论证,若逆命题为真,便得到逆定理,如等腰三角形的判定定理和平行四边形的判定定理等,我都用这种方法指导学生去发现,即引导学生写出等腰三角形的性质定理和平行四边形的性质定理的逆命题,再推理论证便分别得到它们的判定定理。

质点几何定理证明的机器实现 篇12

几何定理机器证明是自动推理领域内的一个热门课题.1977年, 吴文俊先生提出的“吴法”[1,2,3,4]使得几何定理机器证明的研究取得了重大进展.通常, 几何定理机器证明方法可分为三大类:代数法, 人工智能法和几何不变量法.代数法的优点是证明效率高, 缺点是可读性差;人工智能法虽然可读性好但效率低、不完备;几何不变量法的可读性介于代数法和人工智能法之间, 证明效率与代数法也在伯仲之间.

质点几何使用了比几何不变量更抽象的对象———质点, 作为基本几何元素.莫绍揆先生在文献[5]中系统地阐述了质点几何的理论和方法.质点几何支持对点直接进行线性运算, 在处理仿射几何问题时较方便, 为发展出一种可读性更好、效率更高的几何定理机器证明方法提供了可操作的依据.

邹宇等人采用质点几何作为模型, 在质点几何的基础上, 通过调用函数搜索质点在点表中的位置, 从而调用向量表中相应位置数组进行运算, 建立了能处理希尔伯特交点类命题的仿射几何机器证明算法MPM, 发展了基于几何点的可读机器证明方法[6,7].

本文是在参考文献[6]的工作基础上, 针对其只是对质点所一一对应的数组做运算而非质点本身消点运算的问题, 作了纯质点代数运算.消点过程比邹宇的数组法简明.每一步消点过程都有相应的质点关系式输出, 每个质点关系式又对应于相应的几何信息, 消点过程结束, 质点关系也就都明确了, 再利用待定系数法而非数组计算法来判定结论语句是否成立, 使得每一个步骤的几何意义都非常明确.建立了能处理构造型几何定理的证明器MMP, 并通过Matlab语言实现机器证明.

1 质点几何

1.1 预备知识

质点几何使用了质点作为基本的几何元素.莫绍揆先生在《质点几何学》一书中系统地阐述了质点几何的理论和方法.质点几何支持对点直接进行线性运算, 在处理仿射几何问题时较方便, 为发展出可读性更好、效率更高的几何定理机器证明方法提供了依据.

质点是一个既有位置又有质量的基本几何元素, 其质量为一个实数, 可正可负以及零.质点几何的创新之处在于质点均有质量.当质量为非零实数时, 质点表示一个点, 或者其对应的位置;当质量为零时, 质点表示一个矢量, 或者其对应的方向.

通常, 用小写希腊字母ω, ξ, ψ, …表示质点, 用大写英文字母A, B, C, …表示平面上的点, 用小写英文字母a, b, c, …表示实数, 将位于点P处质量为m (m≠0) 的质点记作m P.在不引起混淆的情况下, 将位于点P质量为1的单位质点1P也简记成P.质点几何中常用的基本定理和运算律主要有:

1) 实数r与质点ω的数乘决定唯一质点rω.

2) 两质点ω1, ω2的和决定唯一质点ω1+ω2.

3) 若P1, P2, P3是质点平面的一组基, 则该平面上的任一点P都可以由这组基点线性表示, 即必存在3个和为1的实数k1, k2和k3, 使得P=k1P1+k2P2+k3P3.

4) 点P在直线AB上当且仅当存在一个实数k使得P=k A+ (1-k) B.

5) A, B, C三点共线当且仅当存在实数m和n, 使得m A+n B+ (1-mn) C=0.

6) 直线AB平行直线CD当且仅当存在一个实数k使得A-B=k (C-D) .

7) 对任意质点ω1, ω2和ω3, 任意实数a和b, 有如下运算律:

ω1+ω2=ω2+ω1 (交换律) ;

a (bω1) = (ab) ω1, ω1+ (ω2+ω3) = (ω1+ω2) +ω3 (结合律) ;

aω1+bω1= (a+b) ω1, aω1+aω2=a (ω1+ω2) (分配律) .

1.2 构造型质点几何命题

质点法不是利用尺规作要证定理的几何图形, 而是使用一种叫做“构图语句”作图步骤按题中的已知条件一步一步地向图中引入新点, 直到作出几何图形中全部的点为止.

构造型几何命题的前提能用有限的构图语句序列C0, C1, …, Cn描述, 这里的构图语句C0必须是初始构图语句, 其他构图语句即后继构图语句中出现的质点, 除了新引进的质点外, 其余的都必须是前面的构图语句所引进过的质点.

质点法使用引入点的“构图语句”来描述要证定理的前提, 本文主要构图语句有以下几条:

C0:Free Points (X, Y, Z) :在平面上任作不共线三点X, Y, Z

C1:Free Point (X) :在平面上任作一点X

C2:Point On Line (X, A, B) :在直线AB上任作一点X

C3:Midpoint (X, A, B) :作线段AB的中点X

C5:Translation (X, A, B, C) :作过点A且平行线段BC的直线上一点X

C6:Intersection (X, A, B, C, D) :作AB, CD两直线的交点X

2 证明器的设计

2.1 证明器的架构

MMP证明器主要由模块Mmprove、Loadgs和Cinter组成.

当要利用该证明器证明几何定理时, 首先将要证明的几何命题转化成相应的构图语句存储在文本文件中, Matlab通过调用模块Mmprove中的Loadgs读取该文本文件, 并利用模块Loadgs将构图语句转化成相应的消点公式, 来实现消点过程, 其中求两直线交点的消点公式还需要交点模块Cinter的辅助, 依据质点几何的基本原理和法则完成证明器的实现.

2.2 Loadgs模块

2.2.1 几何命题的输入

证明器MMP的模块Mmprove顺次阅读构图语句, 调用相应的消点公式生成, 显示质点关系式, 几何定理结论以结论等式的形式输出

Loadgs模块将文本文件中的含有待定系数x的结论质点等式 (EQ标识所在的行) 读入到符号变量eq中, 将要验证的待定系数的值 (XV标识所在的行) 读入到符号变量xv中.xv的取值为“exit”, 表示xv的值只要存在就可以.若xv的值是数或符号表达式, 则表示结论质点等式中的待定系数取此值才成立, 否则不成立.

Loadgs模块将初始构图语句Free Points (A, B, C) 引入的3个点A、B和C存储到基点列表base.构图语句序列中的其它后续语句所引入的点都可直接或间接地用前面已引入的点线性表示出来.将这些质点关系式称为构图语句所引入点的消点公式.Loadgs模块根据质点几何中的有相关的基本命题, 可以直接求出下列构图语句所引入点的消点公式:

Free Point (X) 所引入点X的消点公式:

Point On Line (X, A, B) 所引入点X的消点公式:

Midpoint (X, A, B) 所引入点X的消点公式:

DPDP (X, A, B, λ) 所引入点X的消点公式:

Translation (X, A, B, C) 所引入点X的消点公式:

上述消点公式中的a和b都是表示实数的符号变量, λ是实数或为表示实数的符号变量, X1, X2和X3是质点平面的一组基点.

2.2.2 消点公式

在质点平面上任作三个线性无关的单位质点X, Y和Z.将这三个单位质点选定为其所在的质点平面的一组基后, 那么构图语句序列中的其它语句所作的点都可直接或间接地用这组基线性表示出来,

这些质点公式分别叫做构图语句所作点X的消点公式.具体情况如下:

这里, a和b都是取值为实数的符号变量, λ、u0和v0是取值为实数的符号常量, 这些值决定了点X在平面上的确切位置.

2.3 Cinter模块

在上述消点公式中只有消点公式 (epf6) 需要复杂计算得到.下面给出求消点公式 (epf6) 的Cinter模块, 该模块使用前面构图语句所作点的消点公式列表epfs和3个基点, 求两直线AB和CD交点X的消点公式 (epf6) 中的u0和v0.

将消点公式列表epfs中新引进的质点Xi (i=1, …, n) 依次存储到初始值为空的元胞数组points中, 建立方程eq=u A+ (1-u) B-v C- (1-v) D.依次检验元胞数组points中质点Xi (i=1, …, n) 是否为eq中的符号常量, 若Xj是的话, 则用对应的消点公式epfsj替换掉Xj, 继续循环, 直至eq没有质点Xi (i=1, …, n) 出现, 此时eq只由基点的关系式表示.设基点对应系数分别用E1, E2和E3表示, 令Ei=0 (i=1, 2, 3) , 解此方程组得u0和v0的值.

3 Matlab实验

我们用Matlab编写程序实现了MMP证明器, 下面是利用该证明器解题的例子.

(高斯线定理) 设A、B、C、D是平面上的四点, E是AB、CD的交点, F是AC、BD的交点, P、Q、R分别是AD、BC、EF的中点, 则P、Q、R三点共线.

在文本文件中输入:

Free Point D

XV exist

下面是Matlab程序给出的实现过程:

消点过程:

消点结束后, 令EQ=0, 写成f1 (x) A+f2 (x) B+f3 (x) C=0形式.

这里, 系数fi (a, b) 都是a和b的线性表达式, 其中i=1, 2, 3.因A, B和C线性无关, 可得

这是一个含有3个一元一次方程的超定线性方程组, 由所作几何图形的合理性可知该方程组的解是存在的.解一元一次方程f1 (x) =0, 求出其解, 分别带入方程f2 (x) =0和f3 (x) =0中, 经验算f2 (x0) =0和f3 (x0) =0成立, 则原方程组有且仅有唯一解.

待定系数x值存在, P, Q, R三点共线.

4 结论

本文在质点几何基本定理和法则的基础上, 总结归纳质点法解题的特点, 建立了能处理仿射几何定理机器证明的消点过程, 并利用待定系数的方法而非数组计算法来判定定理结论是否成立, 使得每一个质点关系式的几何意义都非常明确.本文基于质点法处理几何点本身, 易于扩展和融合, 形成了具有完全性的消点过程.由于可以对点直接进行运算, 质点法的消点过程比面积法或向量法简明, 并通过Matlab程序实现.

本文的质点法是继面积法之后又一个能对构造性几何命题生成可读证明的完全的消点过程.运行结果显示, 本文的方法不仅效率高, 程序自动生成的证明条理简明清晰、语义简洁易懂、几何意义明确、储存信息丰富, 可读性强.此外, 由于可以对点直接进行运算, 质点法的算法和编程比面积法或向量法都要简明.本文基于点的可读机器证明的研究为扩展和融合其他已有的可读证明方法提供了基础, 也为几何的研究提供了一个新的工具.

随着计算机技术的发展和机器证明方法的不断改进, 几何定理可读证明的研究成果为研制的智能几何软件如几何专家、超级画板等提供了更广阔的平台.

摘要：本文针对质点法生成的目标关系式的过程不简明, 缺少明显几何意义的问题, 提出了一种具有较高可读性算法的几何定理证明器MMP.首先, 直接从消点公式推导目标关系式, 该方法不再使用质点坐标而直接对质点进行运算;其次, 利用三个模块架构证明器, 形成了具有完全性的消点过程;最后, 利用待定系数法判定结论语句.由于可以对点直接进行运算, 该证明器的消点过程比原有质点法具有明显的几何意义和较高运算效率.

关键词：质点几何,证明器,消点法,机器证明,自动推理

参考文献

[1]吴文俊.初等几何判定问题与机械化证明[J].中国科学 (A) , 1977, 6:507-516.

[2]Wu W T.On the decision problem and the mechanization of theorem-proving in elementary geometry[J].Scientia Sinica.1978, 21:159-172.

[3]Wu W T.Mechanical theorem proving in geometries:Basic principles[M].Springer, New York, 1994.

[4]Wu W T.Mathematics Mechanization[M].Science Press, Kluwer, 2000.

[5]莫绍揆.质点几何学[M].重庆:重庆出版社, 1992.

[6]邹宇.几何代数基础与质点几何的可读机器证明[D].广州:广州大学, 2010.