正弦定理证明六法

正弦定理证明六法（共4篇）

正弦定理证明六法 篇1

新课程改革改变了教师的课程资源理念, “课本”已然成为教学的平台和知识的载体, 如何充分利用与开发课程资源, 实现知识的有效融合, 提高课堂教学的有效性成了教师必须直面的一个问题.本文以人教A教材高二上必修5《解三角形》正弦定理的证明为例, 谈点教学体会.

正弦定理:在一个三角形中, 各边和它所对角的正弦的比相等, 即$\frac{\text{a}}{sin\text{A}}=\frac{\text{b}}{sin\text{B}}=\frac{\text{c}}{sin\text{C}}.$

证法1 考察结论是否适合用于锐角三角形时, 可以发现csin B和bsin C实际上是锐角三角形AB边上的高.这样, 利用高的两个不同表示, 即寻找到证明定理的思路.

若C为锐角 (图1) , 过点A作AD⊥BC于D, 此时有

$\begin{array}{l}sin\text{B}=\frac{\text{A}\text{D}}{\text{c}}‚sin\text{C}=\frac{\text{A}\text{D}}{\text{b}}‚\\ \therefore \text{c}sin\text{B}=\text{b}sin\text{C}\end{array}$

, 即$\frac{\text{b}}{sin\text{B}}=\frac{\text{c}}{sin\text{C}}.$

$\begin{array}{l}\text{同}\text{理}\text{可}\text{得}\frac{\text{a}}{sin\text{A}}=\frac{\text{c}}{sin\text{C}}.\\ \therefore \frac{\text{a}}{sin\text{A}}=\frac{\text{b}}{sin\text{B}}=\frac{\text{c}}{sin\text{C}}.\end{array}$

若C为钝角 (图2) , 过点A作AD⊥BC, 交BC的延长线于D, 此时也有$sin\text{B}=\frac{\text{A}\text{D}}{\text{c}}$, 且$sin\text{C}=sin(180°-\text{C})=\frac{\text{A}\text{D}}{\text{b}}.$

同样可得$\frac{\text{a}}{sin\text{A}}=\frac{\text{b}}{sin\text{B}}=\frac{\text{c}}{sin\text{C}}.$

综上可知, 结论成立.

证法2 利用三角形的面积转换.由证法1的图像我们发现, 三角形的高可以转换为边和角的正弦值的积.

先作出三边上的高AD, BE, CF,

$\begin{array}{l}\text{则}\text{A}\text{D}=\text{c}sin\text{B}‚\text{B}\text{E}=\text{a}sin\text{C}‚\text{C}\text{F}=\text{b}sin\text{A}‚\\ \therefore \text{S}{}_{△\text{A}\text{B}\text{C}}=\frac{1}{2}\text{a}\text{b}sin\text{C}=\frac{1}{2}\text{a}\text{c}sin\text{B}=\frac{1}{2}\text{b}\text{c}sin\text{A}.\end{array}$

每项同除以$\frac{1}{2}$abc, 即得$\frac{\text{a}}{sin\text{A}}=\frac{\text{b}}{sin\text{B}}=\frac{\text{c}}{sin\text{C}}.$

证法3 充分挖掘三角形中的等量关系, 可以探索出不同的证明方法.我们知道向量也是解决问题的重要工具, 因此能否从向量的角度来证明这个结论呢?

在△ABC中, 有$\overrightarrow{\text{B}\text{C}}=\overrightarrow{\text{B}\text{A}}+\overrightarrow{\text{A}\text{C}}$.设C为最大角, 过点A作AD⊥BC于D (图3) , 于是$\overrightarrow{\text{B}\text{C}}\cdot \overrightarrow{\text{A}\text{D}}=\overrightarrow{\text{B}\text{A}}\cdot \overrightarrow{\text{A}\text{D}}+\overrightarrow{\text{A}\text{C}}\cdot \overrightarrow{\text{A}\text{D}}$.设$\overrightarrow{\text{A}\text{C}}$与$\overrightarrow{\text{A}\text{D}}$的夹角为α, 则

$0=|\overrightarrow{\text{B}\text{A}}|\cdot |\overrightarrow{\text{A}\text{D}}|\cdot cos(90°+\text{B})+|\overrightarrow{\text{A}\text{C}}|\cdot |\overrightarrow{\text{A}\text{D}}|cos\text{α}‚$

其中, 当∠C为锐角或直角时, α=90°-C;

当∠C为钝角时, α=C-90°.

故可得csinB-bsinC=0, 即$\frac{\text{b}}{sin\text{B}}=\frac{\text{c}}{sin\text{C}}.$

同理可得$\frac{\text{a}}{sin\text{A}}=\frac{\text{c}}{sin\text{C}}$.因此得证.

另证 过点A作$\mathit{j}\perp \overrightarrow{AC}$,

由向量的加法, 可得$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}.$

$\begin{array}{l}\text{则}\mathit{j}\cdot \overrightarrow{AB}=\mathit{j}(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB})‚\\ \therefore \mathit{j}\cdot \overrightarrow{AB}=\mathit{j}\cdot \overrightarrow{AC}+\mathit{j}\cdot \overrightarrow{CB}‚\\ |\mathit{j}||\overrightarrow{AB}|\cos (90°-A)=\\ 0+|\mathit{j}||\overrightarrow{CB}|\cos (90°-C)‚\end{array}$

∴csin A=asin C, 即$\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}.$

同理, 过点C作$\mathit{j}\perp \overrightarrow{BC}$, 可得$\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}.$

从而$\frac{a}{\text{s}\text{i}\text{n}A}=\frac{b}{\text{s}\text{i}\text{n}B}=\frac{c}{\text{s}\text{i}\text{n}C}.$

类似可推出, 当△ABC是钝角三角形时, 以上关系式仍然成立.

总之, 随着新课标课程改革的日渐深入, 作为教学的组织者, 教师应该在日常教学中, 努力挖掘和开发知识的内在联系, 善于引导学生拓展引申, 使已有的课程资源得到充分的开发与利用.培养学生观察问题、发现问题、探究问题、解决问题的能力, 获取更好的教学效果, 提高课堂教学的有效性.

正弦定理证明六法 篇2

1.在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，且等于其外接圆半径的两倍，即

abc2R sinAsinBsinC

证明：如图所示，过B点作圆的直径BD交圆于D点，连结AD BD=2R, 则 D=C，DAB90 在RtABD中 A sinCsinDc 2RD

b c c2R sinCab同理：2R,2R

sinAsinBabc所以2R

sinAsinBsinC2.变式结论

1）a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC 2）sinAC

a

B abc ,sinB,sinC2R2R2R3）asinBbsinA,asinCcsinA,csinBbsinC 4）a:b:csinA:sinB:sinC

例题

在ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c，若(3bc)cosAacosC，求cosA的值.解：由正弦定理 a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC得

(3sinBsinC)cosAsinAcosC

正弦定理证明六法 篇3

第一稿

[引言]在直角三角形中, 由三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数, 可以由已知的边和角求出未知的边和角。那么斜三角形有一样的性质吗?

[讲解新课]正弦定理:在任一个三角形中, 各边和它所对角的正弦比相等, 即 (R为△ABC外接圆半径) 。

1.在直角三角形中

如图1所示

即

2.在斜三角形中

证明一: (等积法) 在任意△ABC中,

两边同除以即得:

证明二: (外接圆法)

如图2所示,

同理

证明三: (向量法)

过A作单位向量j軆垂直于A軆軆C, 如图3、图4所示, 由A軆軆C+C軆軆B=A軆軆B两边同乘以单位向量j軆得j軆· (A軆軆C+C軆軆B) =j軆·A軆軆B, 则j軆·A軆軆C+j軆·C軆軆B=j軆·A軆軆B∴j軆·A軆軆C cos90°+j軆·C軆軆B cos (90°-C) =j軆·A軆軆Bcos (90°-A)

∴asin C=csin A∴

同理, 若过C作j軆垂直于

设计意图:在搜集到的参考资料中看到了好多不同的证明方法, 各种方法又各自包含了不同的证明思想和知识体系, 所以让学生通过这些方法体会数学的思维魅力。

自评:没贯彻好新课程理念, 在新课程实施的过程中, 学生的学习方式正由传统的接受式学习向探究式学习转变, 这就要求教师必须从传授知识的角色向学生发展的促进者转变, 从知识的传递者向学生学习的组织者、引导者转变, 正确引导学生在探究过程中学会学习, 在学习过程中学会探究。数学教育不仅要使学生获得必要的数学基础知识和基本技能, 还应培养学生主动参与和乐于探究从而获取新知的能力, 形成自主意识、探索欲望、开拓创新的激情和积极进取的人生态度。

第二稿

[创设情景]固定△ABC的边CB及∠B, 使边AC绕着顶点C转动。思考:∠C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系?

显然, 边AB的长度随着其对角∠C的增大而增大, 能否用一个等式把这种关系精确地表示出来呢?

[探索研究]在初中, 我们已学过如何解直角三角形, 下面就来探讨直角三角形中角与边的等式关系。在Rt△ABC中, 设BC=a, AC=b, AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义, 有, 又, 则从而在直角三角形ABC中, 有

思考:那么对于任意的三角形, 以上关系式是否仍然成立?

(由学生讨论、分析)

可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况:

当△ABC是锐角三角形时, 设边AB上的高是CD, 根据任意角三角函数的定义, 有CD=asin B=bsin A, 则, 同理可得

设计意图:设计双边、多边活动, 以交流式、探究式和启发式作为基本学法和教法, 激发学生探究兴趣和继续学习的兴趣。

自评:1.没吃透《学科教学指导意见》, 本章节的课标内容有两个, 一是通过对任意角三角形边长和角度关系的探索, 掌握正弦定理、余弦定理, 并能解决一些三角形问题, 二是能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算关系有关的问题。本章共三小节, 其中的应用举例和实习作业就各占了一节, 所以本章要体现的一个重要的思想就是应用于实际生活。

2.没贯彻好新课程理念, “数学是有用的”, 本章节就是体现这一理念的非常好的一个载体。而我设计的情景太理论化, 显得比较枯燥, 学生的探究欲望不会非常强烈, 并且也没有利用好这个载体, 让学生真切体会“数学是有用的”, 从而激发学习兴趣, 发自内心地想学好数学。

第三稿

第四稿

捷克著名的教育家夸美纽斯说过这样一句话:“找出一种教育方法, 使教师因此而可以少教, 但是学生多学。”我们今天的这种课堂改革便是这样一种改革。而要想真正达到这样的效果上好一堂课, 细致、全面的备课是个极其重要的前提。

通过对教案的多次修改经历, 我认为要想备好一节课需要做到以下几点:

1.吃透新教材, 尽量与教材编著者思维同步, 领悟教材改版的原因, 体会教材编写者的智慧所在。吃透教材就能整体把握文本内容在本章中的地位, 以确立本节课的整体目标。整体目标的确立不一定体现在教案当中, 但它却始终要在准备人的心中, 指导整个备课学案的书写。如符合社会现状的背景的设计, 体现“数学是有用的”。

2.根据学生特点, 设计符合学生认知规律的问题, 精心设计问题, 学生才能理解老师的出题意图, 才能在课堂上有话说, 有内容讲, 才能有课堂上的有效生成。如工程上测量角度的仪器简介之后, 再提出“请你根据该地的城市规划图, 设计一个计算方案。”学生不会不知所云, 一头雾水。

3.关注每一个学生, 尊重个体差异, 体现课堂民主, 让每个学生都能真正参与到课堂探究中去。如对不同类型方案设计的点评环节。

4.重视学生的可持续发展, “授之以鱼, 不如授之以渔”。如在课堂上展示完整的用数学解决问题的过程, 发现问题→数学建模→解决问题。又如在课堂上展示完整的科学发现的过程, 特例归纳→一般猜想→特例验证→严格证明。再如在课堂上展示信息技术在研究中的强大功能, 对学生以后继续发展和研究起了潜移默化的教育作用。

向量证明正弦定理 篇4

目录

1证明2全向量证明

证明

过A做OA⊥平面BpC于O。过O分别做OM⊥Bp于M与ON⊥pC于N。连结AM、AN。显然，∠pB=∠AMO，Sin∠pB=AO/AM;∠pC=∠ANO，Sin∠pC=AO/AN。另外，Sin∠CpA=AN/Ap，Sin∠ApB=AM/Ap。则Sin∠pB/Sin∠CpA=AO×Ap/(AM×AN)=Sin∠pC/Sin∠ApB。同理可证Sin∠pA/Sin∠BpC=Sin∠pB/Sin∠CpA。即可得证三面角正弦定理。

全向量证明

如图1，△ABC为锐角三角形，过点A作单位向量j垂直于向量AC，则j与向量AB的夹角为90°-A，j与向量CB的夹角为90°-C

由图1，AC+CB=AB(向量符号打不出)

在向量等式两边同乘向量j,得·

j·AC+CB=j·AB

∴│j││AC│cos90°+│j││CB│cos(90°-C)

=│j││AB│cos(90°-A)

∴asinC=csinA

∴a/sinA=c/sinC

同理，过点C作与向量CB垂直的单位向量j，可得

c/sinC=b/sinB

∴a/sinA=b/sinB=c/sinC

2步骤

1记向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三边AB,BC,CA为向量a,b,c

∴a+b+c=0

则i(a+b+c)

=i·a+i·b+i·c

=a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)

=-asinC+csinA=0

接着得到正弦定理

其他

步骤2.在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足为点H

CH=a·sinB

CH=b·sinA

∴a·sinB=b·sinA

得到a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中，b/sinB=c/sinC

步骤3.证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.作直径BD交⊙O于D.连接DA.因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度

因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

类似可证其余两个等式。

3用向量叉乘表示面积则s=CB叉乘CA=AC叉乘AB

=>absinC=bcsinA(这部可以直接出来哈哈，不过为了符合向量的做法)

=>a/sinA=c/sinC

2011-7-1817:16jinren92|三级