勾股定理的证明1

勾股定理的证明1（精选7篇）

勾股定理的证明1 篇1

新课程改革改变了教师的课程资源理念, “课本”已然成为教学的平台和知识的载体, 如何充分利用与开发课程资源, 实现知识的有效融合, 提高课堂教学的有效性成了教师必须直面的一个问题.本文以人教A教材高二上必修5《解三角形》正弦定理的证明为例, 谈点教学体会.

正弦定理:在一个三角形中, 各边和它所对角的正弦的比相等, 即$\frac{\text{a}}{sin\text{A}}=\frac{\text{b}}{sin\text{B}}=\frac{\text{c}}{sin\text{C}}.$

证法1 考察结论是否适合用于锐角三角形时, 可以发现csin B和bsin C实际上是锐角三角形AB边上的高.这样, 利用高的两个不同表示, 即寻找到证明定理的思路.

若C为锐角 (图1) , 过点A作AD⊥BC于D, 此时有

$\begin{array}{l}sin\text{B}=\frac{\text{A}\text{D}}{\text{c}}‚sin\text{C}=\frac{\text{A}\text{D}}{\text{b}}‚\\ \therefore \text{c}sin\text{B}=\text{b}sin\text{C}\end{array}$

, 即$\frac{\text{b}}{sin\text{B}}=\frac{\text{c}}{sin\text{C}}.$

$\begin{array}{l}\text{同}\text{理}\text{可}\text{得}\frac{\text{a}}{sin\text{A}}=\frac{\text{c}}{sin\text{C}}.\\ \therefore \frac{\text{a}}{sin\text{A}}=\frac{\text{b}}{sin\text{B}}=\frac{\text{c}}{sin\text{C}}.\end{array}$

若C为钝角 (图2) , 过点A作AD⊥BC, 交BC的延长线于D, 此时也有$sin\text{B}=\frac{\text{A}\text{D}}{\text{c}}$, 且$sin\text{C}=sin(180°-\text{C})=\frac{\text{A}\text{D}}{\text{b}}.$

同样可得$\frac{\text{a}}{sin\text{A}}=\frac{\text{b}}{sin\text{B}}=\frac{\text{c}}{sin\text{C}}.$

综上可知, 结论成立.

证法2 利用三角形的面积转换.由证法1的图像我们发现, 三角形的高可以转换为边和角的正弦值的积.

先作出三边上的高AD, BE, CF,

$\begin{array}{l}\text{则}\text{A}\text{D}=\text{c}sin\text{B}‚\text{B}\text{E}=\text{a}sin\text{C}‚\text{C}\text{F}=\text{b}sin\text{A}‚\\ \therefore \text{S}{}_{△\text{A}\text{B}\text{C}}=\frac{1}{2}\text{a}\text{b}sin\text{C}=\frac{1}{2}\text{a}\text{c}sin\text{B}=\frac{1}{2}\text{b}\text{c}sin\text{A}.\end{array}$

每项同除以$\frac{1}{2}$abc, 即得$\frac{\text{a}}{sin\text{A}}=\frac{\text{b}}{sin\text{B}}=\frac{\text{c}}{sin\text{C}}.$

证法3 充分挖掘三角形中的等量关系, 可以探索出不同的证明方法.我们知道向量也是解决问题的重要工具, 因此能否从向量的角度来证明这个结论呢?

在△ABC中, 有$\overrightarrow{\text{B}\text{C}}=\overrightarrow{\text{B}\text{A}}+\overrightarrow{\text{A}\text{C}}$.设C为最大角, 过点A作AD⊥BC于D (图3) , 于是$\overrightarrow{\text{B}\text{C}}\cdot \overrightarrow{\text{A}\text{D}}=\overrightarrow{\text{B}\text{A}}\cdot \overrightarrow{\text{A}\text{D}}+\overrightarrow{\text{A}\text{C}}\cdot \overrightarrow{\text{A}\text{D}}$.设$\overrightarrow{\text{A}\text{C}}$与$\overrightarrow{\text{A}\text{D}}$的夹角为α, 则

$0=|\overrightarrow{\text{B}\text{A}}|\cdot |\overrightarrow{\text{A}\text{D}}|\cdot cos(90°+\text{B})+|\overrightarrow{\text{A}\text{C}}|\cdot |\overrightarrow{\text{A}\text{D}}|cos\text{α}‚$

其中, 当∠C为锐角或直角时, α=90°-C;

当∠C为钝角时, α=C-90°.

故可得csinB-bsinC=0, 即$\frac{\text{b}}{sin\text{B}}=\frac{\text{c}}{sin\text{C}}.$

同理可得$\frac{\text{a}}{sin\text{A}}=\frac{\text{c}}{sin\text{C}}$.因此得证.

另证 过点A作$\mathit{j}\perp \overrightarrow{AC}$,

由向量的加法, 可得$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}.$

$\begin{array}{l}\text{则}\mathit{j}\cdot \overrightarrow{AB}=\mathit{j}(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB})‚\\ \therefore \mathit{j}\cdot \overrightarrow{AB}=\mathit{j}\cdot \overrightarrow{AC}+\mathit{j}\cdot \overrightarrow{CB}‚\\ |\mathit{j}||\overrightarrow{AB}|\cos (90°-A)=\\ 0+|\mathit{j}||\overrightarrow{CB}|\cos (90°-C)‚\end{array}$

∴csin A=asin C, 即$\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}.$

同理, 过点C作$\mathit{j}\perp \overrightarrow{BC}$, 可得$\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}.$

从而$\frac{a}{\text{s}\text{i}\text{n}A}=\frac{b}{\text{s}\text{i}\text{n}B}=\frac{c}{\text{s}\text{i}\text{n}C}.$

类似可推出, 当△ABC是钝角三角形时, 以上关系式仍然成立.

总之, 随着新课标课程改革的日渐深入, 作为教学的组织者, 教师应该在日常教学中, 努力挖掘和开发知识的内在联系, 善于引导学生拓展引申, 使已有的课程资源得到充分的开发与利用.培养学生观察问题、发现问题、探究问题、解决问题的能力, 获取更好的教学效果, 提高课堂教学的有效性.

浅谈勾股定理的证明方法 篇2

关键词：勾股定理；证明方法

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2015）07-217-01

何谓勾股定理？勾股定理又叫毕氏定理，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。据考证，人类对这条定理的认识已经超过了4000年。据史料记载，世上有300多个对此定理的证明。勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜。1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法。实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了20多种精彩的证法。这是数学中任何定理都无法比拟的。

本文中仅介绍勾股定理的证明方法中最为精彩的两种证明方法，据说分别来源于中国和希腊。

1、中国方法：画两个边长为 的正方形，如图，其中 为直角边， 为斜边。这两个正方形全等，故面积相等。 左图与右图各有四个与原直角三角形全等的三角形，左右四个三角形面积之和必相等。从左右两图中都把四个三角形去掉，图形剩下部分的面积必相等。左图剩下两个正方形，分别以 为边，右图剩下以 为边的正方形。 于是得 。

这就是我们几何教科书中所介绍的方法。既直观又简单，任何人都看得懂。

以上两个证明方法之所以精彩，是它们所用到的定理少，都只用到面积的两个基本观念： ⑴ 全等形的面积相等；⑵ 一个图形分割成几部分，各部分面积之和等于原图形的面积。这是完全可以接受的朴素观念，任何人都能理解。

值得指出的是，由于《几何原本》的广泛流传，欧几里得的证明是勾股定理所有证明中最为著名的。 为此，希腊人称之为“已婚妇女的定理”，法国人称之为“驴桥问题”，阿拉伯人称之为“新娘图”、“新娘的坐椅”。 在欧洲，又有人称之为“孔雀的尾巴”或“大风车”等，这些可能是从其几何图形得到的灵感吧

勾股定理的证明方法 篇3

勾股定理又叫毕氏定理:在一个直角三角形中,斜边边长的平方等于两条直角边边长平方之和.据考证,人类对这条定理的认识,少说也超过 4000 年!又据记载,现时世上 一共有超过 300 个对这定理的证明!勾股定理是几何学中的明珠,所以它充满魅力,千百年来,人们对它的证明趋之若鹜, 其中有著名的数学家,也有业余数学爱好者,有普通的老百姓,也有尊贵的政要权贵,甚至 有国家总统.也许是因为勾股定理既重要又简单,更容易吸引人,才使它成百次地反复被人 炒作,反复被人论证.1940 年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑, 其中收集了 367 种不同的证明方法.实际上还不止于此,有资料表明,关于勾股定理的证 明方法已有 500 余种,仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法

勾股定理是初等几何中的一个基本定理。这个定理有十分悠久的历史，两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，因为这个定理太贴近人们的生活实际，以至于古往今来，下至平民百姓，上至帝王总统都愿意探讨和研究它的证明．下面结合几种图形来进行证明。

一、传说中毕达哥拉斯的证法（图1）

左边的正方形是由1个边长为的正方形和1个边长为的正方形以及4个直角边分别为、，斜边为的直角三角形拼成的。右边的正方形是由1个边长为的正方形和4个直角边分别为、，斜边为的直角三角形拼成的。因为这两个正方形的面积相等(边长都是)，所以可以列出等式，化简得。

在西方，人们认为是毕达哥拉斯最早发现并证明这一定理的，但遗憾的是，他的证明方法已经失传，这是传说中的证明方法，这种证明方法简单、直观、易懂。

二、赵爽弦图的证法（图2）

第一种方法：边长为的正方形可以看作是由4个直角边分别为、，斜边为 的直 角三角形围在外面形成的。因为边长为的正方形面积加上4个直角三角形的面积等于外围正方形的面积，所以可以列出等式，化简得。

第二种方法：边长为的正方形可以看作是由4个直角边分别为、，斜边为 的

角三角形拼接形成的（虚线表示），不过中间缺出一个边长为

因为边长为的正方形面积等于4个直角三角形的面积加上正方形“小洞”的面积，所以可的正方形“小洞”。

以列出等式，化简得。

这种证明方法很简明，很直观，它表现了我国古代数学家赵爽高超的证题思想和对数学的钻研精神，是我们中华民族的骄傲。

三、美国第20任总统茄菲尔德的证法（图3）

这个直角梯形是由2个直角边分别为、，斜边为 的直角三角形和1个直角边为 的等腰直角三角形拼成的。因为3个直角三角形的面积之和等于梯形的面积，所以可以列出等式，化简得。

3.2勾股定理的“无字证明” 篇4

·教学目标

知识目标: 了解勾股定理的“无字证明”法，能通过拼图并根据面积等验证勾股定。能力目标: 通过拼图活动，尝试验证勾股定理，培养学生的动手实践和创新能力。情感目标: 让学生经历查询资料、自主探究、合作交流、观察比较、计算推理、动手

操作等过程，获得一些研究问题的方法，取得成功和克服困难的经验，培

养学生良好的思维品质，增进他们数学学习的信心。

· 教学重点: 了解勾股定理的“无字证明”法，分析和欣赏几种常见的验证勾股定理的方法。

·教学难点:通过拼图，探求验证勾股定理的“无字证明”法。

·教学方法:启发、合作交流和直观演示。

·教学过程:

（一）创设情境，引入新课

在精彩的几何学世界中，有着无数条定理，毕达哥拉斯定理（勾股定理）是其中最耀眼的一个。毕达哥拉斯定理被发现到至今已有五千多年的历史了，其证明方法至少有370多种，其中包括大物理学家爱因斯坦和大画家达•芬奇及美国总统詹姆士••阿•加菲尔德（James Abram Garfield,1831–1881）的证法.这真是科学史上的一大奇迹！它是人类科学发现中的一条基本定理，对科技的进步起了不可估量的作用。

在勾股定理的学习过程中，我们已经学会运用以下图形，验证著名的勾股定理：

整个大正方形的面积可以表示为里面小正方形的面积与四边上的４个直角三角形的面积之和，即为

(a+b)

由此可以推出勾股定理

a+b=c。

注意：这种根据图形可以极其简单地直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无优课轩资源网http://未经授权，本站资源禁止用于任何商业目的 2222=c+4（21ab），2学英语报社http://全新课标理念，优质课程资源 字证明”。

对于勾股定理，我们还可以找到一些用于“无字证明”的图形．昨天已布置同学们，查阅课本和其他有关书籍，上网查询各种相应的资料，现在我们进行交流。

（二）自主探索、合作交流

方法二： 整个大正方形的面积可以表示为里面小正方形的面积与四边

上的４个直角三角形的面积之和，即为

(a-b)

由此可以推出勾股定理

a+b=c．

方法三：美国总统詹姆士••阿•加菲尔德的证法

如图所示，在直角梯形ABCD中，∠A=90,E是AB上一

点,AE=BC=a,EB=AD=b，梯形的面积SABCD=S△AED+S△EBC+S△DCE b+ 4（12ab）=c, 2222DC11（BC+AD）AB=(a+b)(a+b)2

211S△AED=AEAD=ab 22

11S△EBC=EBBC=ab 22

11S△DCE=DEEC=c2 22

11112 于是(a+b)(a+b)=ab+ ab+c222 2

222 化简成：a+2ab+b=2ab+ c而SABCD=AEB

即：a2+b2= c2,由此证明了毕达哥拉斯定理。

方法四：刘徽的“出入相补法”

约公元 263 年，三国时代魏国的数学家刘徽为古籍《九章算

术》作注释时，用“出入相补法”证明了勾股定理.如图，证明

时不需用任何数学符号和文字，更不需进行运算，隐含在图中的勾股定理便清晰地呈现，整个证明单靠移动几块图形而得出，被

称为最美的“无字证明”法。

（三）自我评价、形成知识

我最大的收获；

我表现较好的方面；

我学会了哪些知识；

我还有哪些疑惑。

勾股定理证明 篇5

直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方这一特性叫做勾股定理或勾股弦定理，又称毕达哥拉斯定理或毕氏定理中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一。中国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理。在公元前1000多年，据记载，商高（约公元前1120年）答周公曰“故折矩，以为句广三，股修四，径隅五。既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。”因此，勾股定理在中国又称“商高定理”。在公元前7至6世纪一中国学者陈子，曾经给出过任意直角三角形的三边关系即“以日下为勾，日高为股，勾、股各乘并开方除之得邪至日。

以下即为一种证明方法：

如图，这个直角梯形是由2个直角边分别为、，斜边为 的直角三角形和1个直角边为的等腰直角三角形拼成的。

∵△ABE＋△AED＋△CED＝梯形ABCD

∴（ab+ab+c²）÷2＝(a+b)(a+b)/2 ∴

∴c²=a²+b²，即在直角三角形中，斜边长的平方等于两直角边的平方和

罗尔中值定理的证明及应用 篇6

微分中值定理是微分学的基本定理, 在数学分析中占有重要地位, 是研究函数在某个区间内的整体性质的有力工具。从费马定理开始, 经历了从特殊到一般, 从直观到抽象, 从强条件到弱条件的发展阶段.人们正是在这一发展的过程中, 逐渐认识到微分中值定理的普遍性.

罗尔中值定理是其他微分中值定理的基础, 而且该定理对判别根的存在性特别有效. 它是由法国数学家罗尔 (Rolle, 1652~1719) 在1691年首先提出的, 直到1846年经法国的另一位数学家完善成今天的形式.

以下就介绍罗尔中值定理的知识:

一、罗尔中值定理的证明

我们首先来观察一个图形, 见图1.

设图1中曲线弧AB是函数y=f (x) (x∈[a, b]) 的图形.这是一条连续的曲线弧, 除端点外处处具有不垂直于x轴的切线, 即 f (x) 在 (a, b) 内处处可导.且两端点处的纵坐标相等, 即 f (a) = (fb) .可以发现在曲线弧AB的最高点或最低点处, 曲线都有水平的切线. 如果记曲线弧AB的最高点C的横坐标为ξ, 则f' (ξ) =0.若我们用分析的语言把这一几何现象描述出来, 就得到了下面的罗尔 (Rolle) 定理.

罗尔定理若函数y=f (x) 满足:

(1) 在闭区间[a, b]上连续;

(2) 在开区间 (a, b) 内可导;

(3) 在区间端点处的函数值相等, 即 f (a) =f (b) ,

则在 (a, b) 内至少存在一点ξ, 使得f' (ξ) =0.

罗尔定理的几何意义是说:在每一点都可导的一段连续曲线上, 如果曲线的两端点高度相等, 则至少存在一条水平切线 (图 1) .

为了给出罗尔定理的严格证明, 我们首先需要学习下面的引理, 它称为费马 (Fermat) 定理.

费马定理设函数 (fx) 在点x0 的某邻域U (x0 ) 内有定义, 并且在x0 处可导, 如果对任意的x∈U (x0 ) , 有 (fx) ≤ (fx0 ) , 则f ('x0 ) =0.

分析为了利用函数值的大小关系得出导数的结论, 显然应该考虑使用导数的定义.

费马定理告诉我们, 若函数在x0 点可导, 且函数在x0 点处取得了局部的最大值或最小值, 则函数在点x0 处的导数一定为零, 即f' (x0 ) =0.

由图1知, 函数 f (x) 在ξ处取得了局部的最大值.因此, 根据费马定理不难证明罗尔定理.

罗尔定理的证明由于 f (x) 在[a, b]上连续, 所以 f (x) 在[a, b]上必定取得它的最大值M和最小值m.这样, 只有两种可能的情形:

(1) M=m.

此时对于任意的x∈[a, b], 必有f (x) =M.故对任意的x∈ (a, b) , 有f' (x) =0.因此, (a, b) 内任一点皆可作为我们找的ξ.

(2) M>m.

因为 f (a) =f (b) , 所以M和m中至少有一个不等于f (a) .不妨设M≠f (a) , 则在 (a, b) 内必有一点ξ, 使得f (ξ) =M.又因为对于任意的x∈[a, b], 有 f (x) ≤f (ξ) , 且f' (ξ) 存在.故由费马定理知, f' (ξ) =0.类似可证m≠f (a) 的情形.罗尔定理成立.

二、罗尔定理的应用

1.函数零 (值) 点问题.

例1设 (a, b) 为有限或无穷区间, f (x) 在 (a, b) 内可微, 且 (有限或±∞) , 试证:存在ξ∈ (a, b) , 使得f' (ξ) =0 (.推广了的罗尔定理)

证若f (x) 不恒等于A (有限数) , 则存在f' (x) =0, 问题自明.

若 (fx) =A, 则x0∈ (a, b) , 使得f (x0) ≠A, 下设 (fx0 ) >A (对 (fx0 )

若A=+∞ (或 -∞) , 则 (a, b) 内任取一点作x0 , 上面的推理保持有效.

例2证明方程x3+x-1=0在区间 (0, 1) 内只有一个实根.

证明存在性:令f (x) =x3+x-1, 函数 (fx) 在闭区间[0, 1]上连续, 且f (0) =-1<0, f (1) =1>0.由闭区间上连续函数的零值定理可知, 至少存在一点ξ∈ (0, 1) , 使得f (ξ) =0.

唯一性:假设函数f (x) 在开区间 (0, 1) 内有两个不同的实根, 设为x1 , x2 , 且x1

f' (x) =3x2+1, f (x1 ) =f (x2) =0.

于是, 函数f (x) 在[x1 , x2 ]上满足罗尔定理的条件, 故存在ξ∈ (x1 , x2 ) , 使得f' (ξ) =0.但是f' (ξ) =3ξ2+1>0, 矛盾.于是方程x3+x-1=0在区间 (0, 1) 内只有一个实根.

2.证明中值公式.

例3设 (fx) , g (x) , h (x) 在[a, b]上连续, 在 (a, b) 内可导, 试证存在ξ∈ (a, b) , 使得 (.2) 证记, 则F (x) 在[a, b]上连续, 在 (a, b) 内可导, F (a) =F (b) =0.应用罗尔定理可知, 存在ξ∈ (a, b) , 使得F' (ξ) =0.根据行列式性质, F' (ξ) =0即是式 (2) .

例4设f (x) 在[0, +∞) 上可导, 且0≤f (x) ≤x/ (1+x2) .试证:存在ξ>0, 使f' (ξ) = (1-ξ2) / (1+ξ2) 2.

余弦定理证明初探 篇7

关键词： 数形结合 双基 创新意识 创新精神

如何发挥高考题的教学功能，把握高三复习备考方向，提高解题教学的功效，是我们一线教师努力的目标。余弦定理的证明曾在以前高考考题中出现过，去年陕西卷再次出现，说明余弦定理的证明不但能考察学生对“双基”知识的掌握能力，更能激发学生对数学中“数形结合”思想方法的重视和挖掘，从而对老师和学生起到抛砖引玉的功效。下面就余弦定理给出不同证明方法。

方法一（向量法）如图，设 ，则 即 ，

方法七（面积法） 如图，以 的三边为边长向外作三个正方形， 三条

高的延长线将三个正方形分成6个矩形。

教学的根本目的在于提高学生探索和解决问题的能力，以不同的知识为切入点，对同一题目从不同角度审视，探求出不同的解决方案，可以开拓思路，沟通知识，权衡优劣，提高学生的解题效率，更能提高学生分析、解决问题的能力，培养创新意识和创新精神，这正是新课改所追求的目的。

参考教材：

（1）北师大版高中数学，《必修4》。

（2）罗增儒，《数学解题学引论》。