几种简单证明勾股定理的方法

几种简单证明勾股定理的方法（精选14篇）

几种简单证明勾股定理的方法 篇1

几种简单证明勾股定理的方法

——拼图法、定理法 江苏省泗阳县李口中学沈正中

据说对社会有重大影响的10大科学发现，勾股定理就是其中之一。早在4000多年前，中国的大禹曾在治理洪水的过程中利用勾股定理来测量两地的地势差。迄今为止，关于勾股定理的证明方法已有500余种，各种证法融几何知识与代数知识于一体，完美地体现了数形结合的魅力。让我们动起手来，拼一拼，想一想，娱乐几种，去感悟数学

图的神奇和妙趣吧！

一、拼图法证明（举例12种）

拼法一：用四个相同的直角三角形（直角边为a、b，斜边为c）按图2拼法。

问题：你能用两种方法表示左图的面积吗？对比两种不同的表示方法，你发现了什么？

图

22分析图2：S正方形=（a+b）= c2 + 4×ab

2化简可得：a2+b2 = c2

拼法二：做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像左

图那样拼成两个正方形。

从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等.即

a2+b2+4×ab = c2+4×ab整理得a2+b2 = c2 2

2拼法三：用四个相同的直角三角形（直角边为a、b，斜边为c）按图3拼法。

问题：图3是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的。在图3中用同样的办法研究，你有什么发现？你能验证a2+b2=c2吗？

图

3图

4分析图3：S正方形= c2 =（a-b）2+ 4×ab 2化简可得：a2+b2 = c

2观察图

2、图3与图4的关系，并用一句话表示你的观点。

图4为图2与图3面积之和。拼法四：用两个完全相同的直角三角形（直角边为a、b，斜边为c）按图5拼法。

背景：在1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛

顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就

B

E

图

C

是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德（Garfield）．他发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在谈论着什么．由于好奇心的驱使，伽菲尔德向两个小孩走去，想搞清楚两个小

孩到底在干什么．只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形．于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到：“是5呀．”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味。

于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。

问题： 图5就是伽菲尔德总统的拼法，你知道他是如何验证的吗？你能用两种方法表示图5的面积吗？

伽菲尔德总统是这样分析的： S梯形ABCD=(a+b)2

2S梯形ABCD=S△ABE+ S△ECD+ S△AED=ab+ab+c2 222则有：(a+b)2=ab+ab+c22222化简可得：a2+b2 = c2

比较图5与图2，你有什么发现？ 图5面积为图2之半。

拼法五：用四个相同的直角三角形（直角边为a、b，斜边为c），拼成图6，得边长分别为a、b、c正方形。

问题：观察图6，你能发现边长分别为a、b、c的正方形吗？你能通验证到：a2+b2 = c2吗？

图

6分析：其实，图6可以转化为下面两图： 图a的面积可表示为：a2+b2+2×ab2图b的面积可表示为：c2+2×ab 2比较a、b两图，你发现了什么？

图

a

图b

a2+b2+2×ab = c+2×ab

2化简可得：a2+b2 = c2

D

拼法六：设直角三角形两直角边的长分别为a、b，斜边的长为c.作边长是a+b的正方形ABCD把正方形ABCD划分成左图所示的几个部

分，则该正方形ABCD的面

积为（a＋b）＝a2＋b2＋2ab；

再把正方形ABCD划分成右

图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为（a＋b）＝c2+4×ab

2由两正方形面积相等得a2＋b2＋2ab＝c2+4×ab整理得a2+b2 = c2 2

拼法七：用四个相同的直角三角形（直角边为a、b，斜边为c）拼成图7。

问题：你能把图7转化为图c吗？通过位置变换，你发现了什么？你能发现边长分别为a、b、c的正方

图7

图c

形吗？能否验证到：a2+b2 = c2呢？ 分析：图7的面积可表示为：c2+4×ab

2图c的面积可表示为：a2+b2+4×ab 2比较图c、图7，你发现了什么？

a2+b2+4×ab = c2+4×ab化简可得：a2+b2 = c2 2

2拼法八、九、十、十一、十二：制作一个五巧

板，如图8。

方法：先作一个直角三角形，直角边为a、b，斜边为c，以斜边为边长向内作正方形，并把正方形按图中实线分割为五个部分，这就是一个五巧板。

问题：运用五巧板，拼出图d、图e、图f、图

图8

a2+b2 = c2呢？你还有其它的拼法吗？

图d

图e

g，并仔细观察、比较，你发现了什么？能否验证到：

图g

图f

二、定理法证明（举例3种）

利用切割线定理证明

在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c.如图，以B为圆心a为半径作圆，交AB及AB的延长线分别于D、E，则BD = BE = BC = a.因为∠BCA = 90º，点C在⊙B上，所以AC是⊙B 的切线.由切割线定理，得

AC2=AE·AD＝(AB＋BE)(AB－BD)＝（c＋a）（c－a）＝c2－a2从而可得a2+b2 = c

2利用托勒密定理证明

在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c（如图）.过点A作AD∥CB，过点B作BD∥CA，则ACBD为矩形，矩形ACBD内接于一个圆.根据托勒密定理，圆内

接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有

AB·DC＝AD·BC＋AC·BD从而可得a2+b2 = c2

利用射影定理证明

如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.根据射影定理，得

AC2＝AD·AB，BC2＝BD·BA

即AC2＋BC2＝AD·AB＋BD·BA＝AB（AD＋BD）＝AB2从而得a2+b2 = c

2品味各种拼图，方法各异，妙趣横生，证明思路别具匠心，极富创新。它们充分运用了几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，深刻体现了形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特魅力。

几种简单证明勾股定理的方法 篇2

1. 柯西中值定理的内容

如果函数f (x) 及g (x) 满足:

(1) 在闭区间[a, b]上连续; (2) 在开区间 (a, b) 内可导;

(3) 对任一x∈ (a, b) , g′ (x) ≠0, 那么在 (a, b) 内至少有一点ξ, 使等式成立.

g (b) -g (a) g′ (ξ)

2. 柯西中值定理的证明

柯西中值定理证明方法的探讨与研究历来是一个引人注目的问题.一般常见的证明方法是构造辅助函数再根据罗尔定理加以证明.下面将给出关于这一定理的几种证明方法.

2.1 利用罗尔中值定理证明柯西中值定理

首先给出罗尔中值定理的内容如下:

如果函数f (x) 满足 (i) 在闭区间[a, b]上连续; (ii) 在开区间 (a, b) 内可导; (iii) 如果f (a) =f (b) , 那么在区间 (a, b) 内至少存在一点ξ (a<ξ

由罗尔中值定理知:存在ξ∈ (a, b) , 使得F′ (ξ) =0.

即命题得证.

2.2 利用拉格朗日中值定理证明柯西中值定理

试证用拉格朗日中值定理证明柯西中值定理.

证明由题可设, 任意的x∈ (a, b) , g′ (x) 存在且g′ (x) ≠0, 因此函数g (x) 严格单调, 不妨设g (x) , 在闭区间[a, b]上单调递增.令t=g (x) , 则t是闭区间[a, b]上的单调连续函数.记g (a) =A, g (b) =B.由反函数存在性定理和反函数倒数存在定理知, 存在单调递增且连续的反函数y=g-1 (t) , t∈[A, B]由f (x) 在[a, b]上连续可知, 在连续的复合函数y=f (g-1 (t) ) =h (t) , 根据方程求导公式有:故h′ (x) 在x∈[a, b]上连续, 即t∈[A, B]内存在.从而h (t) 在[A, B]上满足拉格朗日中值定理的条件, 因此至少存在一点t=g (ξ) ∈[A, B], 使得

又因为:

所以结合上面的式子我们可以得出:这样命题就得证.

2.3 用反向分析法证明柯西中值定理

反向分析法是从定理的理论出发, 进行一系列的反向思维分析, 寻找结论与条件之间的有机联系, 探索各种可能的证明途径和有效方法.

证明假设在开区间 (a, b) 内至少存在一点ξ, 使得等式成立, 依据等式的性质, 将这个等式改写为:

将 (1) 式看作某个导函数的值为0, 则就有

由此, 可以做一个辅助函数:通过检验, 可以发现, 函数Q (x) 符合罗尔中值定理的所有条件, 即Q (x) 在闭区间[a, b]上是连续的, 在开区间 (a, b) 内是可导的, 且Q (a) =Q (b) , 因此, 根据罗尔定理, 至少存在一点ξ∈[a, b], 使得Q′ (ξ) =0.所以等式成立, 且满足柯西中值定理的条件, 则柯西中值定理得证.

2.4 利用定积分法证明柯西中值定理

在高等数学教材中, 虽然微分中值定理和积分中值定理是相互独立的, 但它们之间也存在着必然的内在联系.下面我们就利用积分定理来证明.

考查函数φ (x) =[f (b) -f (a) ]f (x) -g (x) [g (b) -g (a) ], 由函数f (x) , g (x) 满足在闭区间[a, b]上连续可导的条件, 并且g (b) ≠g (a) , 以及f′ (x) , g′ (x) 不同时为0的条件.可知函数φ (x) 满足连续可积的条件, 并且φ′ (x) 也满足在闭区间[a, b]上连续, 且的值不受影响, 则可用牛顿-莱布尼茨公式可知又可以由积分中值定理得:

因为φ (b) =φ (a) , 所以φ′ (ξ) (b-a) =0.又因为a≠b, 所以有φ′ (ξ) =0, 这样就可以得到[f (b) -f (a) ]f′ (ξ) -g′ (ξ) [g (b) -g (a) ]=0, 这样我们的柯西中值定理就得证.

浅谈勾股定理的证明方法 篇3

关键词：勾股定理；证明方法

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2015）07-217-01

何谓勾股定理？勾股定理又叫毕氏定理，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。据考证，人类对这条定理的认识已经超过了4000年。据史料记载，世上有300多个对此定理的证明。勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜。1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法。实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了20多种精彩的证法。这是数学中任何定理都无法比拟的。

本文中仅介绍勾股定理的证明方法中最为精彩的两种证明方法，据说分别来源于中国和希腊。

1、中国方法：画两个边长为 的正方形，如图，其中 为直角边， 为斜边。这两个正方形全等，故面积相等。 左图与右图各有四个与原直角三角形全等的三角形，左右四个三角形面积之和必相等。从左右两图中都把四个三角形去掉，图形剩下部分的面积必相等。左图剩下两个正方形，分别以 为边，右图剩下以 为边的正方形。 于是得 。

这就是我们几何教科书中所介绍的方法。既直观又简单，任何人都看得懂。

以上两个证明方法之所以精彩，是它们所用到的定理少，都只用到面积的两个基本观念： ⑴ 全等形的面积相等；⑵ 一个图形分割成几部分，各部分面积之和等于原图形的面积。这是完全可以接受的朴素观念，任何人都能理解。

值得指出的是，由于《几何原本》的广泛流传，欧几里得的证明是勾股定理所有证明中最为著名的。 为此，希腊人称之为“已婚妇女的定理”，法国人称之为“驴桥问题”，阿拉伯人称之为“新娘图”、“新娘的坐椅”。 在欧洲，又有人称之为“孔雀的尾巴”或“大风车”等，这些可能是从其几何图形得到的灵感吧

勾股定理的证明方法 篇4

这种证明方法由于用了梯形面积公式和三角形面积公式，从而使证明更加简洁，它在数学史上被传为佳话。的平方=3的平方+4的平方

在图一中，DABC为一直角三角形，其中ÐA为直角。我们在边AB、BC和AC之上分别画上三个正方形ABFG、BCED和ACKH。过A点画一直线AL使其垂直於DE并交DE於L，交BC於M。不难证明，DFBC全等於DABD(S.A.S.)。所以正方形ABFG的面积=2´DFBC的面积=2´DABD的面积=长方形BMLD的面积。类似地，正方形ACKH的面积=长方形MCEL的面积。即正方形BCED的面积=正方形ABFG的面积+正方形ACKH的面积，亦即是AB2+AC2=BC2。由此证实了勾股定理。

这个证明巧妙地运用了全等三角形和三角形面积与长方形面积的关系来进行。不单如此，它更具体地解释了，「两条直角边边长平方之和」的几何意义，这就是以ML将正方形分成BMLD和MCEL的两个部分!

这个证明的另一个重要意义，是在於它的出处。这个证明是出自古希腊大数学欧几里得之手。

欧几里得(EuclidofAlexandria)约生於公元前325年，卒於约公元前265年。他曾经在古希腊的文化中心亚历山大城工作，并完成了著作《几何原本》。《几何原本》是一部划时代的著作，它收集了过去人类对数学的知识，并利用公理法建立起演绎体系，对后世数学发展产生深远的影响。而书中的第一卷命题47，就记载著以上的一个对勾股定理的证明。

图二中，我们将4个大小相同的直角三角形放在一个大正方形之内，留意大正方形中间的浅黄色部分，亦都是一个正方形。设直角三角形的斜边长度为c，其余两边的长度为a和b，则由於大正方形的面积应该等於4个直角三角形和中间浅黄色正方形的面积之和，所以我们有

(a+b)2=4(1/2ab)+c2

展开得a2+2ab+b2=2ab+c2

化简得a2+b2=c2

勾股定理五种证明方法 篇5

【证法1】

做8

个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等.即

11a2b24abc24ab22，整理得a2b2c2.【

证法2】（邹元治证明）

以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角

1ab2形的面积等于.把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上.∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF,∴ ∠AHE = ∠BEF.∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º.∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º.∴ 四边形EFGH是一个边长为c的正方形.它的面积等于c2.∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE,∴ ∠HGD = ∠EHA.∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º,∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º.又∵ ∠GHE = 90º,∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º.2ab∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于.∴ ab214abc

22222.∴ abc.【证法3】（梅文鼎证明）

做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为

c.把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上.过C作AC的延长线交DF于点P.∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,∴ ∠EGF = ∠BED，∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，∴ ∠BEG =180º―90º= 90º.又∵ AB = BE = EG = GA = c，∴ ABEG是一个边长为c的正方形.∴ ∠ABC + ∠CBE = 90º.∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,∴ ∠ABC = ∠EBD.∴ ∠EBD + ∠CBE = 90º.即∠CBD= 90º.又∵ ∠BDE = 90º，∠BCP = 90º，ABC = BD = a.∴ BDPC是一个边长为a的正方形.同理，HPFG是一个边长为b的正方形.设多边形GHCBE的面积为S，则

11a2b2S2ab,c2S2ab22,222∴abc.【证法4】（1876年美国总统Garfield证明）

以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角1ab2形的面积等于.把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE,∴ ∠ADE = ∠BEC.∵ ∠AED + ∠ADE = 90º, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90º.∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º.∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形，12c2它的面积等于.又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º,∴ AD∥BC.1ab

2∴ ABCD是一个直角梯形，它的面积等于2.1ab221ab1c2

22.∴ 2

222∴ abc.【证法5】（辛卜松证明）

DD

设直角三角形两直角边的长分别为a、b，斜边的长为c.作边长是a+b的正方形ABCD.把正方形ABCD划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD

222abab2ab；把正方形ABCD划分成上方右图所示的几个的面积为

部分，则正方形ABCD的面积为

几种简单证明勾股定理的方法 篇6

在考研数学中，有关中值定理问题的证明是一个比较难的考点，很多考生反映在做中值定理证明时没有思路，虽然看例题能明白，但自己做题时还是比较困难，之所以出现这种情况，主要原因在于这些同学没有掌握中值定理证明题的分析方法和技巧，没有掌握其证明规律，为了使大家能够掌握恰当的方法，下面中公考研数学辅导老师就以几个证明题为例来跟大家谈谈如何做分析证明题。

一、中值定理问题的证明分析方法

首先，做证明题同其它题一样，也要先仔细审题，认真解读题目的条件和要证的结论，理解其含义;

其次，做证明题需要先进行分析推理，分析的方向有两个，一个是根据题目的条件来向结论所在方向推导，另一个是由结论倒推条件，直到结论与条件挂上钩，二者联系在一起;

最后，也是做中值定理证明题不同于其它问题的地方，就是要充分理解各个中值定理的关键使用条件和方法，必要时作相应的辅助函数来进行证明。

二、中值定理问题证明实例

全国高校报录比汇总 全国高校报录比汇总

全国高校报录比汇总 全国高校报录比汇总

全国高校报录比汇总 全国高校报录比汇总

此等式变形为某一个函数的导数的形式，并以此函数作为辅助函数来证明结论。对于中值定理问题的证明，大家还应该多做一些练习题来进一步提高解题能力。最后预祝各位学子在2016考研中能实现自己的梦想。

从定理证明中学习证题方法 篇7

已知:如图1, 在梯形ABCD中, AD//BC, ∠B=∠C.求证:AB=CD.

分析一:怎样证明等腰梯形的判定定理, 同学们曾经学习“等边对等角”的定理, 如果能将梯形的两腰转化到一个三角形之中, 就可以用“等边对等角”的定理加以证明;同学们学过两直线平行, 同位角相等, 内错角相等的性质, 于是, 通过添加平行线的办法可以达到目的, 现列举以下几种证法。

证法一:如图1, 过点D作DE//AB交BC点E,

则∠1=∠B.

∵∠B=∠C,

∴∠1=∠C, 故DE=DC,

又∵DE=AB, ∴AB=DC.

证法二:如图2, 过点C作CE//AB交AD的延长线于点E,

∵CE//AB, AD//BC,

∴四边形ABCE为平行四边形,

∴CE=AB, ∠B=∠E,

又∵∠BCD=∠1, ∠B=∠BCD,

∴∠1=∠E,

故DC=CE.

又∵CE=AB,

∴AB=DC.

证法三:如图3, 取AD的中点H, 过点H作HE//AB交BC于E, HF//CD交BC于F.

∵AD//BC,

∴四边形ABEH与四边形HFCD都是平行四边形,

∴HE=AB, HF=CD.

∵∠1=∠B, ∠2=∠C, ∠B=∠C,

∴∠1=∠2, 故HE=HF,

∴AB=DC.

以上几种证法都是通过添加平行线构造平行四边形与三角形, 然后利用平行四边形和三角形的性质使问题得到解答, 这里, 我们再一次看到平行线在证明中的作用。

分析二:证明两条线段相等还可以通过证明两个三角形全等而得, 如果能添加辅助线正好成为两个三角形的两边, 再设法证这两个三角形全等即可, 由这种思考途径我们可以得到以下两种证法:

证法四:如图4, 作AE⊥BC, DF⊥BC, 垂足分别为E、F,

∵AD//BC,

∴AE=DF,

又∵∠B=∠C,

∴△ABE≌△DCF. ∴AB=DC.

证法五:如图5, 过两点B、C作AD的垂线, 垂足为EF

∵BE⊥EF, CF⊥EF, AD//BC,

∴BE=CF,

又∵∠1=∠ABC=∠BCD=∠2,

∴△BAE≌△CDF,

∴AB=DC.

分析三:由等角对等边的方法还可以得到该定理的另一种证法。

证法六:如图6, 延长BA与CD相交于点P,

∵AD//BC, ∠1=∠B, ∠1=∠C,

∴∠B=∠C, ∴∠1=∠2.

∴PB=PC, PA=PD.

∴PB-PA=PC-PD.

∴AB=DC.

浅谈证明不等式的几种方法 篇8

一、单调性证明不等式

若f(x0)=0而当x>x0时f’(x)≥0,且f(x)在x0点右连续(f’(x)不恒为零),则因f(x)单调增而有f(x)f(x)f(x0)=0(x>x0);若f(x0)=0,而当x>x0时f(x)≤0,且f(x)在x0点右连续(f’(x)不恒为零),则因f(x)单调减而有f(x)x0)。

例1:证明:

证明: 设

所以f(x)在(0,+∞)内严格递增。

有。从而。再考虑函数 ,有

故g(x)在(0,+∞)内严格递减。

有 。即 。

从而

用函数单调性证明不等式,一般步骤如下:

找一个函数f(x),研究f'(x)的正负;

找f(x)的起点或终点时的值。

二、用求极值的方法证明不等式

若 min f(x)≥0则f(x)≥0;若 max f(x)≤0,则f(x)≤0

例2:证明不等式1+xln(x+√1+x2)≥√1+x2x∈(-∞,+∞)。

证明:设函数f(x)=1+ln(x+√1+x2)-√1+x2,

则

令f(x)=0,得驻点x=0。当x>0时,f'(x)>0;当x<0时,

<0所以x=0是函数f(x)的唯一的极小值点。当x∈(-∞,+∞)时,恒有f(x)≥f’(x)=0。

即1+xln(x+√1+x2)≥√1+x2,x∈(-∞,+∞)。

三、函数的凹凸性证明不等式

设f(x)在,(a,b)内有定义,若对于任意的x1,x2∈(a,b),x1

则称f(x)在(a,b)是凸的,若式(*)中不等号相反,则称f(x)是凹的。

例3:证明:

证明:考虑函数f(x)=xlnx,f'(x)=lnx+1,。

故f(x)为(0,+∞)上的凸函数,从而 ;

即

所以

四、将不等式问题转化为函数问题

例4:设b>a>0,求证:

证明:设函数

所以函数f(x)在[a,+∞)上单调增加,

当x>a>0,有f(x)>f(a)>0

几种简单证明勾股定理的方法 篇9

1、自拍一般都是类似于大头贴似的，主要拍脸和上半身。所以想要自拍玩的好，那么脸部表情和肢体动作就要充分利用好。自拍时可以将手机在头顶斜上方持着，也可以略低于水平面，也可以斜下方持着。但最好身体和手机还有拍照对象有点角度，不要平行，否则会有很呆的感觉，又不是拍证件照对吧。

2、脸部表情：瞪眼、眯眼、闭眼、睁一只眼闭一只眼;嘟嘴、闭嘴、撇嘴等。

肢体动作：剪刀手、OK手势、托下巴、拍脸、下蹲、遮掩、呼喊、聆听等。

总之发挥你的想象力，尝试下各种自拍动作，可以发呆状、抓狂状、卖萌状、搞怪状，陶醉状看下不同的效果。自拍就是要大胆创意才好玩。

3、借助外物。看下萌妹子的自拍照，本来就已经很萌很可爱了，再加上萌萌的道具，瞬间觉得更萌了有木有。

看下第二张不同感觉的自拍，可爱的、性感的、耍宝的。

4、对着镜子自拍，

电脑资料

一个人拍全身照的话不用很辛苦的把手机举得老高，对着镜子就可以，注意看镜头哦!

5、多人自拍。你觉得自拍只能一个人玩吗?看下下面的妹子怎么玩的吧，和自己的闺蜜一起各种搞怪抢镜，画面感十足。

他拍

1、他拍的姿势就更多了，小编只介绍下自己觉得比较简单实用好看的姿势。

用手遮挡。这个动作超简单，只要你放松自己，越自然越好，然后用手去遮挡，记得虽然遮挡住了一些部位，但表情还是要有的哦，可不要板着脸。

2、趴着。很慵懒随意的趴着其实就是很漂亮的一个Poss了，有点小女人的性感，又有几分可爱，手上没有道具的话可以托腮，效果也不错哦。

3、站着。站着拍照时要注意腿部的动作，最好一脚前一脚后，会拉长腿部的视觉效果，也可以斜靠着，抬起一条腿。

4、头发。头发可以使一个女人显得更有女人味。可以轻吹海风也可以人造风或对着电扇，让头发在空中自由舞动，不同角度拍出来的感觉也不一样，可以看下下面的图片。

5、衣服。利用自己身上的衣服，掀起一角，不经意的一个动作都可以美美的，所以以后照相时不要直直的立着像站军姿一样。

注意事项

勾股定理的证明及应用 篇10

【重点】：

学习勾股定理的文化背景，欣赏历史上经典的勾股定理证明方法，体会其蕴含的创新思维，初步运用勾股定理分析处理具体问题

【难点】：

通过图示欣赏，还原推测图示所含的证明方法

【勾股文化学习】

勾股定理是欧式平面几何的一个核心结果，是三角学的出发点，与“黄金分割”一起被开普勒称为“几何学两个宝藏”。它在‘RT△的三条边之间建立了固定关系’，使人们对原来几何学的感性认识精确化，其中体现出来的“数形统一”的思想方法，启发了人类对数学的深入思考，促成了解析几何与三角学的建立，使数学的两大门类代数和几何结合起来，许多大科学家都认为勾股定理以及处理数据的数学方法深深地影响了现在许多学科的思考模式。

千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家、画家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单又实用，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法。实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。这是任何定理无法比拟的。

在西方国家，一般称勾股定理为毕达哥拉斯（前500）定理，因为人们相信是毕达哥拉斯最早提出并证明了这一定理。并且据说，他在发现这一结论时，欣喜若狂，杀牛百只以供奉神灵。因而这一定理又有了“百牛定理“的称法。在法国和比利时这个定理被称为“驴桥定理”。在中世纪的阿拉伯国家和印度，这一定理还有一个绰号，叫“新娘图”。至于绰号由来，现代人众说纷纭，莫衷一是。

在我国以前也称这一定理为毕达哥拉斯定理。五十年代初，曾展开过关于这一定理命名的讨论。有人主张叫“商高定理”。因这一结论的在我国最早是由西周初的商高提出的。在数学著作《周髀算经》(前1世纪)一书中，记载有商高(前1120)与周公的对话，其中商高提出了“勾三股四弦五”的说法。不过据推断，他还只是了解三边满足3：4：5关系的特例情况，普遍性的结论，由陈子(前716)提出。他说：“„„勾股各自乘，并而开方除之„„”这是普遍勾股定理在我国的最早记载。故有人主张应称为“陈子定理”。后来决定不用人名，而称为“勾股定理”。单就名称之多，勾股定理就可创下一项平面几何之最了。

今天有人戏称，勾股定理为‘宇宙大定理’，因为现在看来，世界上各民族都在差不多接近的时间内独立地发现了勾股定理及其逆定理。目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。据说我国著名数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种“语言”的。

勾股定理在每一个时代都会被当代的精英们给出新的内涵外延，从柏拉图寻求不定方程通解到费马大定理，到今天的分形勾股树(如右上两图)，每每读到这些智慧的创造都会让人神往。

„„

【勾股定理的证明】

观察下列图形，推测勾股定理的证明方法

1、下图是《几何原本》（公元前4世纪前后）中提供的一种证明方法，过A作AH⊥BC于H延长交FK于G．

可证明：

证明思路很多，较简捷的是过F作FP⊥AB于P

易证△FPB≌△CBA进而可知

而

2、下图最早是由我国三国时期数学家赵爽（东汉末至三国东吴人）提出的一种证法．

该图叫弦图，由图示可知

．

3、下图最早是由我国三国时魏国的数学家刘徽（公元三世纪）为注释《九章算术》时提出的一种证法“青朱入出图”，由图示．

边长为a、b的两个正方形，如图示裁割．

M补入 处，N补入处，Q补入

处

4、下图最早是由古代印度数学家婆什迦罗提出的一种证法．

图示的裁割线索很清晰，你试试给出解释．

„„

【勾股定理的应用】

1、已知在△ABC中，a，b，c分别是∠A、∠B，∠C的对边，且a=3，b=4，且b

错解：由勾股定理可得

分析：上面的解法受“勾

三、股

四、弦五”的影响，没有认真审题，错在没有注意到题目中的三角形是否为直角三角形。

正解：，又，∴，即4

评述：运用勾股定理解决问题时，必须是在直角三角形的条件下，不可不加分析就用勾股定理来进行计算。

2、已知：三角形两边的长分别是5和12，如果这个三角形是直角三角形，则其第三边长为_____，∴ x=13

错解：设第三边长为x，则由勾股定理可得：

分析：由于此题中己知直角三角形的两边长，但没有明确这两条边是直角边还是斜边，故需要分情况讨论

正解：当x为斜边时，x=13；当x为直角边时，故第三边长为13或。

评述：在运用勾股定理进行计算时，一定明确哪条是直角边，哪条是斜边，以防止运用不当。

3、利用勾股定理求线段长的简单应用

(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，①若a=7，b=24，则c=________；②若a=5，c=13，则b=________；

③若b=15，c=25，则a=________

(2)等腰直角三角形的斜边长为，则此直角三角形的腰长为________________

(3)在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，则斜边AB=________________，斜边AB上的高线长

为________________。(与面积的结合)

(4)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，且c+a=9，c-a=4，则b=________。

(5)如果一个直角三角形有一条直角边长为11，另两条边长为自然数，则这个直角三角形的周长是___

解析：（1）①

（2）2 ②

③

（3）AB=10，（4）

（5）设斜边长为c，另一直角边为a，则

∵ c、a为自然数

∴

∴ 周长为132

4、勾股定理在几何中的应用。

己知：△ABC中AB=AC=20，BC=32，D是BC上一点，且AD⊥AC，求BD的长。

解：过A作AE⊥BC于E。

∵ AB=AC，∴

在Rt△ABE中，AB=20，BE=16，∴

∴ AE=12

故在Rt△ADE中，设DE=x，则

∵ AD⊥AC于A，∴

解得，即，∴ BD=BE-DE=16-9=7

评述：勾股定理是解决直线形中线段计算问题的常用方法，题目中含有直角三角形别忘记使用，题目中没有给出直角三角形可以考虑作垂线构建直角三角形。

5、利用勾股定理解决实际问题

(1)平面上有A、B两点处有甲、乙两只蚂蚁，它们都发现C处有食物，已知点C在A的东南方向，在B的西南方向。甲、乙两只蚂蚁同时从A、B两地出发爬向C处，速度都是30cm／min。结果甲蚂蚁用了2 min，乙蚂蚁2分40秒到达C处分享食物，试问两只蚂蚁原来所处地点相距多远?

解析：首先结合题设画出图形，C在A东南，则A在C西北；C在B西南，则B在C东北

∴ 可知∠ACB=90°，依题设AC=60cm，BC=80cm

∴ AB=100cm

(2)如图A、B为两个村庄，AB、BC、CD为公路，BD为田地，AD为河宽，且CD与AD互相垂直。现要从点E处开设通往村庄A、村庄B的一条电缆，现在共有两种铺设方案：方案一：E→D→A→B；方案二：E→C→B→A。经测量得千米，BC=10千米，∠BDC=45°，∠ABD=15°。已知：地下电缆的修建费为2万元／千米，水下电缆的修建费为4万元／千米。

求：1)河宽AD(结果保留根号)；

2)公路CD的长：

3)哪种方案铺设电缆的费用低?请说明理由。

解析：过B作BF⊥AD交DA延长线于F

在Rt△ABF中可知∠BAF=60°，AB

∴ BF=6，在Rt△BFD中，知∠BDF=45°

∴ DF=BF=6

∴

过B作BG⊥CD于G，则BG=6，BC=10，有CG=8

∴ DC=CG+DG=14

设CE=x，则方案一、二费用分别为

由

∴ 当

当0＜CE＜

当CE=

6、画出长为的线段，可作图 可解得，＜CE＜14时，方案一较省

时，方案二较省 时，方案一、二均可．

解析：考虑到

线段AB为所求

考虑到，可作图

几种简单证明勾股定理的方法 篇11

14.1.2

勾股定理的验证及简单应用

新甸一初中

肜合雨

14.1.2

勾股定理的验证及简单应用

一、教材分析

1、教材所处的地位与作用

勾股定理是反映自然界规律的一条重要结论，它历史悠久，在数学的发展中起着重要的作用，现实中有广泛的应用。勾股定理的发现、验证及应用蕴涵着丰富的文化价值。它从边的角度进一步对直角三角形的特征进行了刻画。

本节是学生经历了勾股定理的发现这一探索过程后的进一步学习，它的主要内容是对勾股定理的拼图验证及简单应用。教材一开始要求学生运用四个全等的直角三角形进行拼图，来验证勾股定理的正确性，并不失时机地给学生介绍“弦图”，通过它让学生体会勾股定理的文化价值，在此基础上，让学生利用勾股定理来解决一些实际问题。

2、教学重、难点的确定

教学重、难点：重点：通过拼图验证勾股定理及勾股定理的应用过程，使学生获得一些研究问题与合作交流的方法经验。难点：利用数形结合的方法验证勾股定理。【设计意图】

关注学生是否能与同伴进行有效的合作交流； 关注学生是否积极的进行思考；

关注学生能否探索出解决问题的方法。

本节知识通过 “ 拼图实践—探索验证—分析结果—运用定理 ” 等活动过程，使学生进一步理解勾股定理，并从中学会思考，学会探索，学会运用，学会交流，体会知识反映出来的丰富的文化内涵，指导学生认识现实世界中蕴涵着的数学信息。

二、教学目标的确定

教学目标是一堂课的中心任务，它只有在丰富多彩的数学活动中才能充分实现。一堂课的教学目标应全面、适度、明确、具体，便于检测。据此特定目标为： 【知识目标】

（１）经历用拼图法验证勾股定理的过程，进一步理解掌握勾股定理；（２）了解勾股定理的历史，初步掌握勾股定理的简单应用。【能力目标】

经历观察、归纳、猜想和验证的数学发现过程，发展合情合理的推理能力，沟通数学知识之间的内在联系，体会形数结合的思想； 【情感目标】

（１）通过对勾股定理历史的了解和实例应用，体会勾股定理的文化价值。

（２）通过获得成功的经验和克服困难的经历，增进数学学习的信心。

三、教学方法的选择： 数学知识、数学思想和方法必须由学生在现实的数学活动实践中理解和发展；因此在教学中，以学生为本位，充分挖掘教材的空间，为学生搭建动手实践、自主探索、合作交流的平台；注重让学生经历数学知识的形成过程，充分调动学生的学习积极性，并通过这个过程，使学生体验学习成功的乐趣，在积极的思维中获取知识，发展能力。

四、教学程序的设计

1、创设情境，引入新课

情境的创设能够充分地调动学生的积极主动性，激发学生的学习愿望和参与动机，是引导学生主动学习的前提。

初步体会勾股定理的文化价值，为下一步的拼图作铺垫。

2、自主实践，探索验证

《课程标准》指出：“数学教学是数学活动的教学。”因此，在学习中要求学生分学习小组，动手实践，积极思考，获得技能与解决问题的方法。关注学生动手实践,关注学生主动探索与合作交流,关注学生积极思考,给学生思维表达的时间、空间，让学生经历探索知识的过程，并在这个过程中得到发展.两种拼图方案：

3、应用定理，解决问题

数学源于实践，运用于实践；

开放性处理教材，鼓励学生充分地发表意见，表现自我，让学生在教师营造的“创新土壤”中成为主人；

给学生思维以广阔的空间，培养学生从多角度运用所学知识寻求解决问题的能力。

4、巩固、延伸、拓展

《课程标准》要求我们的学生学会“尝试从不同的角度寻求解决问题的方法，并能有效地解决问题．”同时又提出“不同的人在数学上有不同的发展．”

练习上我立足于巩固，着眼于发展，同时兼顾差异，满足少数同学渴望发展的要求．

5、欣赏体会，丰富自我

向学生展示勾股定理的有关史料． 【设计意图】

勾股定理证明教案 篇12

教学目标:让学生了解勾股定理的来源，掌握直角三角形的边、角之间分别存在着的关系，学会勾股定理的证明，熟练地运用勾股定理解决实际问题，同时锻炼学生的逻辑思维能力和发散思维方式。

教学重点:勾股定理的推理过程

教学方式:教师讲课，发现探究法，课堂讨论，练习法。课时：1课时 教学过程：

1.引入

师：勾股定理是数学中一个伟大的发现，它由希腊的著名数学家毕达哥拉斯发现了这个定理，因此世界上许多国家都称勾股定理为“毕达哥拉斯”定理。为了庆祝这一定理的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵，因此这个定理又有人叫做“百牛定理”．在公元前1000多年，商高也发现了这一定理，因此勾股定理在中国又称“商高定理”。看来中国人比外国人还发现得早一点，那么，勾股定理到底是什么呢？想必大家都知道勾三股四玄五，那么是不是只有3.4.5才可以组成直角三角形呢？现在请同学们拿出直尺和笔在草稿纸上任意画一个直角三角形，然后测量其三条边a,b,c c a b 大家就算一下，当然肯定有些同学的三角形画的不标准或者是测量有误差使得它们不相等了。大家的结果是什么呢？ 同学发言。

2.师：大家可以多画几个直角三角形测量计算，看是否都成立。那么这个规律是不是适合所有的直角三角形呢？当然这需要严格的数学证明。请看下面

做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a, b,斜边长为c，再做三个边长分别为a ,b ,c 的正方形，把它们拼成像上图一样的两个正方形，从图上可以看出，这连个正方形的边长都是a+b , 所以面积相等，因此有：

即

这是我国汉代的数学家赵爽提出的证明方法，因此这个图又称“赵爽玄图”那么除了这个方法是不是还有其他的方法可以证明这个定理呢？大家请看下面图形：

正方形A、B、C的面积有什么关系？ 我们请同学来回答

同学发言。3.做一做：

（1）

求下列直角三角形中未知边的长。

（2）在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处。另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高_______。

（3）

4.小结： 勾股定理：

要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：

a.已知直角三角形的两边求第三边。

几种简单证明勾股定理的方法 篇13

姓名：成绩：

1．在四边形ABCD中，O是对角线的交点，下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）Ａ．AD∥BC, AD=BCＢ.AB=DC,AD=BC Ｃ．AB∥DC,AD=BC

Ｄ．OA=OC,OD=OB

2．如图，在平行四边形ABCD中，AD5，AB3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则线段BE，EC的长度分别为（）Ａ．2和

3Ｂ．3和

2Ｃ．4和

1Ｄ．1和

4E 3．如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O．下列结论中正确的个数有（）结论：①OAOC，②BADBCD，③ACBD，④BADABC180．

A

Ｄ．4个

第3题图

Ａ．1个Ｂ．2个Ｃ．3个

4.能够判别一个四边形是平行四边形的条件是（）

A.一组对角相等B.两条对角线互相垂直且相等C.两组对边分别相等D.一组对边平行 5.下列条件中不能确定四边形ABCD是平行四边形的是（）

A.AB=CD，AD∥BCB.AB=CD，AB∥CDC.AB∥CD，AD∥BCD.AB=CD，AD=BC 6.一个四边形的三个内角的度数依次如下选项，其中是平行四边形的是（）

A.88°，108°，88°B.88°，104°，108°C.88°，92°，92°D.88°，92°，88° 7.四边形ABCD中，AD∥BC，要判别四边形ABCD是平行四边形，还需满足条件（）

A.∠A+∠C=180°B.∠B+∠D=180°C.∠A+∠B=180°D.∠A+∠D=180° 8.以不在一条直线上的三点A、B、C为顶点的平行四边形共有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题

5．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD为平行四边形，则应添加的条件是

（添加一个条件即可）

6．在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，∠B=50,则∠A=_______,∠D=_________。7．如图，平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，已知AB=8cm，BC=6cm，△AOB的周长为18cm，那么△AOD的周长为__________。

如图2，BD是ABCD的对角线，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，求证：四边形AECF

为平行四边形.

D

第5题图

C

C

A第7题图

9．如图：平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，MN过点O与AB、CD

相交于M、N，你认为OM、ON有什么关系？为什么？

10．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，DE∥BC交AB于点E，EF∥AC交BC于F，试说明

BE=CF。

A

12.如图，D、E是△ABC的边AB和AC中点，延长DE到F，使EF=DE，连结CF.四边形BCFD是平行四边形吗？为什么？

13.如图，□ABCD的对角线AC、BD交于O，EF过点O交AD于E，交BC于F，G是OA的中点，H是OC的中点，四边形EGFH是平行四边形，说明理由

.三、如图3，田村有一口呈四边形的池塘，在它的四个角A、B、C、D处均种有一棵大核桃树.田村准备开挖池塘建养鱼池，想使池塘面积扩大一倍，又想保持核桃树不动，并要求扩建后的池塘成平行四边形的形状，请问田村能否实现这一设想？

初一常用几何证明的定理 篇14

平面直角坐标系各个象限内和坐标轴的点的坐标的符号规律：

（1）x轴将坐标平面分为两部分，x轴上方的纵坐标为正数；x轴下方的点纵坐标为负数。即第一、二象限及y轴正方向（也称y轴正半轴）上的点的纵坐标为正数；第三、四象限及y轴负方向（也称y轴负半轴）上的点的纵坐标为负数。

反之，如果点P（a，b）在x轴上方，则b>0；如果P（a，b）在x轴下方，则b<0。

(2)y轴将坐标平面分成两部分，y轴左侧的点的横坐标为负数；y轴右侧的点的横坐标为正数。即第二、三象限和x轴的负半轴上的点的横坐标为负数；第一、四象限和x轴正半轴上的点的横坐标为正数。

（3）规定坐标原点的坐标为（0，0）

（4