几种常见的证明方法

2024-12-14

几种常见的证明方法（精选12篇）

几种常见的证明方法篇1

数列和不等式都是高中数学重要内容, 这两个重点知识的联袂、交汇融合, 更能考查学生对知识的综合理解与运用的能力.这类交汇题充分体现了“以能力立意”的高考命题指导思想和“在知识网络交汇处”设计试题的命题原则.下面就介绍数列不等式证明的几种方法, 供复习参考.

一、巧妙构造, 利用数列的单调性

例1 对任意自然数n, 求证: $(1 + 1) (1 + \frac{1}{3}) \cdot \dots \cdot (1 + \frac{1}{2 n - 1}) > \sqrt{2 n + 1} .$

$\begin{array}{l} 证明 ∶ 构造数列 a_{n} = (1 + 1) (1 + \frac{1}{3}) \cdot \dots \cdot \\ (1 + \frac{1}{2 n - 1}) \cdot \frac{1}{\sqrt{2 n + 1}} \end{array}$

, 则 $\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \frac{2 n + 2}{\sqrt{(2 n + 1) (2 n + 3)}} = \frac{2 n + 2}{\sqrt{(2 n + 2)^{2} - 1}} > \frac{2 n + 2}{2 n + 2} = 1 .$

所以an+1>an, 即{an}为单调递增数列.

所以 $a_{n} \geq a_{1} = \frac{2}{\sqrt{3}} > 1$ , 即

$(1 + 1) (1 + \frac{1}{3}) \cdot \dots (1 + \frac{1}{2 n - 1}) > \sqrt{2 n + 1} .$

点评:某些问题所给条件隐含数列因素或证明与自然数有关的不等式问题, 均可构造数列, 通过数列的单调性解决.

二、放缩自然, 顺理成章

例2 已知函数f (x) =x3+x2, 数列{xn} (xn>0) 的首项x1=1, 以后每项按如下方式取定:曲线y=f (x) 在点 (xn+1, f (xn+1) ) 处的切线与经过 (0, 0) 和 (xn, f (xn) ) 两点的直线平行.

求证:当n∈N*时:

(1) x $_{n}^{2}$ +xn=3x $_{n + 1}^{2}$ +2xn+1;

$(2) (\frac{1}{2})^{n - 1} \leq x_{n} \leq (\frac{1}{2})^{n - 2} .$

证明: (1) 因为f′ (x) =3x2+2x, 所以曲线y=f (x) 在 (xn+1, f (xn+1) ) 处的切线斜率为

k=3x $_{n + 1}^{2}$ +2xn+1.

又因为过点 (0, 0) 和 (xn, f (xn) ) 两点的斜率为k=x $_{n}^{2}$ +xn, 所以结论成立.

(2) 因为函数h (x) =x2+x, 当x>0时单调递增, 则有x $_{n}^{2}$ +xn=3x $_{n + 1}^{2}$ +2xn+1≤4x $_{n + 1}^{2}$ +2xn+1= (2xn+1) 2+ (2n+1) ,

所以xn≤2n+1, 即 $\frac{x_{n + 1}}{x_{n}} \geq \frac{1}{2}$ , 因此

$x_{n} = x_{1} \cdot \frac{x_{2}}{x_{1}} \cdot \frac{x_{3}}{x_{2}} \dots \frac{x_{n}}{x_{n - 1}} \geq (\frac{1}{2})^{n - 1};$

又因为x $_{n}^{2}$ +xn=3x $_{n + 1}^{2}$ +2xn+1≥2x $_{n + 1}^{2}$ =2xn+1=2 (x $_{n + 1}^{2}$ +xn+1) .

令Yn=x $_{n}^{2}$ +xn, 则 $\frac{Y_{n + 1}}{Y_{n}} \leq \frac{1}{2}$ , 且Y1=2.

所以 $Y_{n} = Y_{2} \cdot \frac{Y_{2}}{Y_{1}} \cdot \frac{Y_{3}}{Y_{2}} \dots \frac{Y_{n}}{Y_{n - 1}} \geq (\frac{1}{2})^{n - 2}$

因此, $x_{n} \leq x_{n}^{2} + x_{n} \leq (\frac{1}{2})^{n - 2}$

所以 $(\frac{1}{2})^{n - 1} \leq x_{n} \leq (\frac{1}{2})^{n - 2}$

点评:本题是数列、函数、不等式、解析几何、导数等多知识点的综合题, 在证题过程中多次运用放缩, 放缩自然, 推理逻辑严密, 顺理成章, 巧妙灵活.

三、导数引入, 更显神威

例3 求证: $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{n} < \ln n < 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{n + 1}, n \in Ν^{*}$

证明:令 $a_{n} = \frac{1}{n + 1}, b_{n} = \frac{1}{n}$ , 且当n≥2时, Sn-1=lnn, Sn=n+1 (n+1) , 所以 $C_{n} = S_{n} - S_{n - 1} = \ln (n + 1) - \ln n = \ln \frac{n + 1}{n}$ .要证明原不等式, 只须证

$\begin{array}{l} \frac{1}{n + 1} < \ln \frac{n + 1}{n} < \frac{1}{n} \Leftrightarrow \frac{1}{x + 1} < \\ \ln \frac{x + 1}{x} < \frac{1}{x}, x \geq 1 . \end{array}$

设 $f (x) = \ln \frac{x + 1}{x} - \frac{1}{x + 1},$

所以 $f^{'} (x) = \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x} + \frac{1}{(x + 1)^{2}} = \frac{- 1}{x (x + 1)^{2}} < 0 .$

令 $\frac{x + 1}{x} = t$ , 则 $\frac{1}{x} = t - 1$ ,

所以 $\frac{t - 1}{t} < \ln t < t - 1 (t > 1) .$

设 $h (t) = \ln t - \frac{t - 1}{t}, h^{'} (t) = \frac{t - 1}{t^{2}} > 0,$

所以h (t) 在 (1, +∞) 上为增函数

所以h (t) >h (1) =0, 即

$h (t) = \ln t - \frac{t - 1}{t} > 0 .$

所以 $\ln t > \frac{t - 1}{t},$

所以 $\ln \frac{x + 1}{x} > \frac{1}{x + 1}$

同理可证lnt<t-1, 即 $\ln \frac{x + 1}{x} < \frac{1}{x}$

$\begin{array}{l} 所以 \frac{1}{x + 1} < \ln \frac{x + 1}{x} < \frac{1}{x}, 即 \frac{1}{n + 1} < \\ \ln \frac{n + 1}{n} < \frac{1}{n} \end{array}$

.对上式中的n分别取1, 2, 3, …, n-1, 得

$\begin{array}{l} \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{n} < \ln n < 1 + \\ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{n + 1} . \end{array}$

点评:导数进入中学数学新教材, 为解决数列与不等式的交汇问题展示了新的思路和广阔的空间, 其解题方法新颖独特, 尤其是对数、指数次幂形式出现的一类问题, 更显导数在解题中的工具性和独特的神威.

四、裂项求和, 简捷明了

例4 设Sn是数列{an}的前n项和, 且 $S_{n} = \frac{4}{3} a_{n} - \frac{1}{3} \times 2^{n + 1} + \frac{2}{3} (n = 1, 2, 3, \dots)$

(1) 求数列{an}的首项a1, 及通项an;

(2) 设 $Τ_{n} = \frac{2^{n}}{S_{n}} (n = 1, 2, 3, \dots)$ , 证明

$\sum_{i = 1}^{n} Τ_{i} < \frac{3}{2} .$

解: (1) 首项a1=2, an=4n-2n (n=1, 2, 3, …) (过程略) .

(2) 证明:将an=4n-2n代入 $S_{n} = \frac{4}{3} a_{n} - \frac{1}{3} \times 2^{n + 1} + \frac{2}{3},$

得 $S_{n} = \frac{4}{3} (4^{n} - 2^{n}) - \frac{1}{3} \times 2^{n + 1} + \frac{2}{3} = \frac{2}{3} (2^{n + 1} - 1) (2^{n} - 1)$ ,

$\begin{array}{l} 则 Τ_{n} = \frac{2^{n}}{S_{n}} = \frac{3}{2} \cdot \frac{2^{n}}{(2^{n + 1} - 1) (2^{n} - 1)} \\ = \frac{3}{2} (\frac{1}{2^{n} - 1} - \frac{1}{2^{n + 1} - 1}) . \end{array}$

所以 $\sum_{i = 1}^{n} Τ_{i} = \frac{3}{2} [(\frac{1}{2 - 1} - \frac{1}{2^{2} - 1}) + (\frac{1}{2^{2} - 1)} - \frac{1}{2^{3} - 1}) + \dots + (\frac{1}{2^{n} - 1} - \frac{1}{2^{n + 1} - 1})] = \frac{3}{2} (\frac{1}{2 - 1} - \frac{1}{2^{n + 1} - 1}) = \frac{3}{2} (1 - \frac{1}{2^{n + 1} - 1}) < \frac{3}{2} .$

点评:本题通过对 $Τ_{} n = \frac{2^{n}}{S_{n}}$ 的变形, 利用裂项求和法化为“连续相差”形式, 从而达到证题目的, 整个证题过程简捷明了.

五、独辟蹊径, 灵活变通

独辟蹊径指处事有独创的新方法, 对问题不局限于一种思路和方法, 而是善于灵活变通, 独自开辟新思路、新方法.

例5 已知函数 $f (x) = \frac{x + 3}{x + 1} (x \neq - 1)$ .设数列{an}满足a1=1, an+1=f (an) , 数列{bn}满足 $b_{n} = | a_{n} - \sqrt{3} |, S_{n} = b_{1} + b_{2} + \dots + b_{n} (n \in Ν^{*})$

(1) 求证: $b_{n} \leq \frac{(\sqrt{3} - 1)^{n}}{2^{n - 1}};$

(2) 求证: $S_{n} < \frac{2 \sqrt{3}}{3} .$

证明: (1) 证法1:由 $(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1) = 2$ , 得 $\frac{(\sqrt{3} - 1)^{n}}{2^{n - 1}} = \frac{2}{(\sqrt{3} + 1)^{n}}$

令 $C_{n} = (\sqrt{3} + 1)^{n} b_{n}$ , 则只须证Cn≤2;易知C1=2, 只须证Cn+1≤Cn.

$\begin{array}{l} 由分析法 ∶ C_{n + 1} \leq C_{n} \Leftrightarrow (\sqrt{3} + 1)^{n + 1} b_{n + 1} \leq (\sqrt{3} + 1)^{n} b_{n} \Leftrightarrow (\sqrt{3} + 1) | a_{n + 1} - \sqrt{3} | \leq | a_{n} - \sqrt{3} | \Leftrightarrow (\sqrt{3} + 1) | \frac{a_{n} + 3}{a_{n} + 1} - \sqrt{3} | \leq | a_{n} - \sqrt{3} | \Leftrightarrow \\ | \frac{2}{a_{n} + 1} | \leq 1 \Leftrightarrow | a_{n} + 1 | \geq 2 . \end{array}$

因为 $a_{n} = \frac{a_{n - 1} + 3}{a_{n - 1} + 1} = 1 + \frac{2}{a_{n - 1} + 1} (n \geq 2), a_{1} = 1$ ,

所以an≥1⇒|an+1|≥2, 得证.

证法2:由于f (x) =x得f (x) 的两个不动点为 $\pm \sqrt{3}$ .又 $a_{n + 1} = f (a_{n}) = \frac{a_{n} + 3}{a_{n} + 1}$ , 所以

$\begin{array}{l} a_{n + 1} - \sqrt{3} = \frac{a_{n} + 3}{a_{n} + 1} - \sqrt{3} = \frac{(1 - \sqrt{3}) (a_{n} - \sqrt{3})}{a_{n} + 1} \\ a_{n + 1} + \sqrt{3} = \frac{a_{n} + 3}{a_{n} + 1} + \sqrt{3} \\ = \frac{(1 + \sqrt{3}) (a_{n} + \sqrt{3})}{a_{n} + 1} . \end{array}$

所以 $\frac{a_{n + 1} - \sqrt{3}}{a_{n + 1} + \sqrt{3}} = \frac{(1 - \sqrt{3}) (a_{n} - \sqrt{3})}{(1 + \sqrt{3}) (a_{n} + \sqrt{3})}$

所以 $\frac{a_{n} - \sqrt{3}}{a_{n} + \sqrt{3}} = \frac{1 - \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}} \cdot \frac{a_{n - 1} - \sqrt{3}}{a_{n - 1} + \sqrt{3}} = (\frac{1 - \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}})^{2} \cdot \frac{a_{n - 2} - \sqrt{3}}{a_{n - 2} + \sqrt{3}} = \dots = (\frac{1 - \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}})^{n - 1} \cdot \frac{a_{1} - \sqrt{3}}{a_{1} + \sqrt{3}} = (\frac{1 - \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}})^{n}$ ,

由上可求得 $b_{n} = | a_{n} - \sqrt{3} | = \frac{2 \sqrt{3} (\sqrt{3} - 1)^{n}}{(1 + \sqrt{3})^{n} - (1 - \sqrt{3})^{n}}$ ,

因此只需证 $\frac{\sqrt{3}}{(1 + \sqrt{3})^{n} - (1 - \sqrt{3})^{n}} < \frac{1}{2^{n}}$ ,

即证: $2^{n} \sqrt{3} < (1 + \sqrt{3})^{n} - (1 - \sqrt{3})^{n} .$

$\begin{array}{l} 又 (1 + \sqrt{3})^{n} - (1 - \sqrt{3})^{n} \\ = 2 (C_{n} \sqrt[1]{3} + C_{n}^{3} (\sqrt{3})^{3} + C_{n}^{6} (\sqrt{3})^{5} + \dots) \\ = 2 \sqrt{3} (C_{n}^{1} + C_{n}^{3} \cdot 3 + C_{n}^{5} \cdot 3^{n} + \dots) \\ = \sqrt{3} [(C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + C_{n}^{2} + \dots + C_{n}^{n}) + 2 (C_{n}^{3} \cdot 2 + C_{n}^{5} \cdot 8 + \dots)] \\ = \sqrt{3} [2^{n} + 2 (C_{n}^{3} \cdot 2 + C_{n}^{5} \cdot 8 + \dots)] > 2^{n} \cdot \sqrt{3} ‚ 得证 . \end{array}$

(2) 由 (1) 知, $b_{n} \leq \frac{(\sqrt{3} - 1)^{n}}{2^{n - 1}}$

$\begin{array}{l} 所以 S_{n} = b_{1} + b_{2} + \dots + b_{n} \leq (\sqrt{3} - 1) + \frac{(\sqrt{3} - 1)^{2}}{2} + \dots + \frac{(\sqrt{3} - 1)^{n}}{2^{n - 1}} = (\sqrt{3} - 1) \cdot \frac{1 - (\frac{\sqrt{3} - 1}{2})^{n}}{1 - \frac{\sqrt{3} - 1}{2}} \\ < (\sqrt{3} - 1) \cdot \frac{1}{1 - \frac{\sqrt{3} - 1}{2}} = \frac{2}{3} \sqrt{3} . \end{array}$

故对任意 $n \in Ν^{*}, S_{n} < \frac{2}{3} \sqrt{3} .$

点评:本题 (1) 中法1通过构造新数列 $C_{n} = (\sqrt{3} + 1)^{n} \cdot b_{n}$ , 将复杂的问题转化为证数列{Cn}为递减数列, 进而用分析法展示出证明思路的的魅力;法2则是独辟蹊径利用“不动点”, 求出通项公式, 借助二项式定理放缩给出证明.其解题过程灵活变通.

几种常见的证明方法篇2

——拼图法、定理法江苏省泗阳县李口中学沈正中

据说对社会有重大影响的10大科学发现，勾股定理就是其中之一。早在4000多年前，中国的大禹曾在治理洪水的过程中利用勾股定理来测量两地的地势差。迄今为止，关于勾股定理的证明方法已有500余种，各种证法融几何知识与代数知识于一体，完美地体现了数形结合的魅力。让我们动起手来，拼一拼，想一想，娱乐几种，去感悟数学

图的神奇和妙趣吧！

一、拼图法证明（举例12种）

拼法一：用四个相同的直角三角形（直角边为a、b，斜边为c）按图2拼法。

问题：你能用两种方法表示左图的面积吗？对比两种不同的表示方法，你发现了什么？

图

22分析图2：S正方形=（a+b）= c2 + 4×ab

2化简可得：a2+b2 = c2

拼法二：做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像左

图那样拼成两个正方形。

从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等.即

a2+b2+4×ab = c2+4×ab整理得a2+b2 = c2 2

2拼法三：用四个相同的直角三角形（直角边为a、b，斜边为c）按图3拼法。

问题：图3是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的。在图3中用同样的办法研究，你有什么发现？你能验证a2+b2=c2吗？

图

3图

4分析图3：S正方形= c2 =（a-b）2+ 4×ab 2化简可得：a2+b2 = c

2观察图

2、图3与图4的关系，并用一句话表示你的观点。

图4为图2与图3面积之和。拼法四：用两个完全相同的直角三角形（直角边为a、b，斜边为c）按图5拼法。

背景：在1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛

顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就

图

是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德（Garfield）．他发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在谈论着什么．由于好奇心的驱使，伽菲尔德向两个小孩走去，想搞清楚两个小

孩到底在干什么．只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形．于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到：“是5呀．”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味。

于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。

问题：图5就是伽菲尔德总统的拼法，你知道他是如何验证的吗？你能用两种方法表示图5的面积吗？

伽菲尔德总统是这样分析的： S梯形ABCD=(a+b)2

2S梯形ABCD=S△ABE+ S△ECD+ S△AED=ab+ab+c2 222则有：(a+b)2=ab+ab+c22222化简可得：a2+b2 = c2

比较图5与图2，你有什么发现？图5面积为图2之半。

拼法五：用四个相同的直角三角形（直角边为a、b，斜边为c），拼成图6，得边长分别为a、b、c正方形。

问题：观察图6，你能发现边长分别为a、b、c的正方形吗？你能通验证到：a2+b2 = c2吗？

图

6分析：其实，图6可以转化为下面两图：图a的面积可表示为：a2+b2+2×ab2图b的面积可表示为：c2+2×ab 2比较a、b两图，你发现了什么？

图

图b

a2+b2+2×ab = c+2×ab

2化简可得：a2+b2 = c2

拼法六：设直角三角形两直角边的长分别为a、b，斜边的长为c.作边长是a+b的正方形ABCD把正方形ABCD划分成左图所示的几个部

分，则该正方形ABCD的面

积为（a＋b）＝a2＋b2＋2ab；

再把正方形ABCD划分成右

图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为（a＋b）＝c2+4×ab

2由两正方形面积相等得a2＋b2＋2ab＝c2+4×ab整理得a2+b2 = c2 2

拼法七：用四个相同的直角三角形（直角边为a、b，斜边为c）拼成图7。

问题：你能把图7转化为图c吗？通过位置变换，你发现了什么？你能发现边长分别为a、b、c的正方

图7

图c

形吗？能否验证到：a2+b2 = c2呢？分析：图7的面积可表示为：c2+4×ab

2图c的面积可表示为：a2+b2+4×ab 2比较图c、图7，你发现了什么？

a2+b2+4×ab = c2+4×ab化简可得：a2+b2 = c2 2

2拼法八、九、十、十一、十二：制作一个五巧

板，如图8。

方法：先作一个直角三角形，直角边为a、b，斜边为c，以斜边为边长向内作正方形，并把正方形按图中实线分割为五个部分，这就是一个五巧板。

问题：运用五巧板，拼出图d、图e、图f、图

图8

a2+b2 = c2呢？你还有其它的拼法吗？

图d

图e

g，并仔细观察、比较，你发现了什么？能否验证到：

图g

图f

二、定理法证明（举例3种）

利用切割线定理证明

在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c.如图，以B为圆心a为半径作圆，交AB及AB的延长线分别于D、E，则BD = BE = BC = a.因为∠BCA = 90º，点C在⊙B上，所以AC是⊙B 的切线.由切割线定理，得

AC2=AE·AD＝(AB＋BE)(AB－BD)＝（c＋a）（c－a）＝c2－a2从而可得a2+b2 = c

2利用托勒密定理证明

在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c（如图）.过点A作AD∥CB，过点B作BD∥CA，则ACBD为矩形，矩形ACBD内接于一个圆.根据托勒密定理，圆内

接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有

AB·DC＝AD·BC＋AC·BD从而可得a2+b2 = c2

利用射影定理证明

如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.根据射影定理，得

AC2＝AD·AB，BC2＝BD·BA

即AC2＋BC2＝AD·AB＋BD·BA＝AB（AD＋BD）＝AB2从而得a2+b2 = c

浅谈证明不等式的几种方法篇3

一、单调性证明不等式

若f(x0)=0而当x>x0时f’(x)≥0,且f(x)在x0点右连续(f’(x)不恒为零),则因f(x)单调增而有f(x)f(x)f(x0)=0(x>x0);若f(x0)=0,而当x>x0时f(x)≤0,且f(x)在x0点右连续(f’(x)不恒为零),则因f(x)单调减而有f(x)x0)。

例1:证明:

证明: 设

所以f(x)在(0,+∞)内严格递增。

有。从而。再考虑函数 ,有

故g(x)在(0,+∞)内严格递减。

有。即。

从而

用函数单调性证明不等式,一般步骤如下:

找一个函数f(x),研究f'(x)的正负;

找f(x)的起点或终点时的值。

二、用求极值的方法证明不等式

若 min f(x)≥0则f(x)≥0;若 max f(x)≤0,则f(x)≤0

例2:证明不等式1+xln(x+√1+x2)≥√1+x2x∈(-∞,+∞)。

证明:设函数f(x)=1+ln(x+√1+x2)-√1+x2,

则

令f(x)=0,得驻点x=0。当x>0时,f'(x)>0;当x<0时,

<0所以x=0是函数f(x)的唯一的极小值点。当x∈(-∞,+∞)时,恒有f(x)≥f’(x)=0。

即1+xln(x+√1+x2)≥√1+x2,x∈(-∞,+∞)。

三、函数的凹凸性证明不等式

设f(x)在,(a,b)内有定义,若对于任意的x1,x2∈(a,b),x1

则称f(x)在(a,b)是凸的,若式(*)中不等号相反,则称f(x)是凹的。

例3:证明:

证明:考虑函数f(x)=xlnx,f'(x)=lnx+1,。

故f(x)为(0,+∞)上的凸函数,从而 ;

即

所以

四、将不等式问题转化为函数问题

例4:设b>a>0,求证:

证明:设函数

所以函数f(x)在[a,+∞)上单调增加,

当x>a>0,有f(x)>f(a)>0

克莱姆法则的几种证明方法篇4

可以分两步:第一步证明解的存在性, 即证明是线性方程组 (*) 的解, 第二步证明解的唯一性, 即证明是线性方程组 (*) 的唯一解。本文就解的存在性和解的唯一性分别列出了三种不同的证明方法, 在这三种方法中各选一种即可证明克莱姆法则.

一、解的存在性

证法三:将线性方程组 (*) 写成矩阵形式:AX=b, 因为

二、解的唯一性

证法三:D=A≠0, A的行阶梯形矩阵A的秩为n, 故线性方程组 (*) 的有唯一解.

参考文献

[1]刘金旺, 夏学文.线性代数 (修订版) [M].上海:复旦大学出版社, 2008:17-18.

[2]同济大学数学教研室.工程数学——线性代数[M].北京:高等教育出版社, 1982:21-22.

[3]陈维新.线性代数简明教程[M].北京:科学出版社, 2007:27-28.

不等式的几种证明方法及简单应用篇5

本科毕业论文（设计）

题目：不等式的几种证明方法及简单应用

学生：孙振学号： 200940520131学院：数学与计算科学学院专业：信息与计算专业

入学时间： 2009年9月10日指导教师：荆科职称：学士完成日期：年月日

（空一行）

论文题目（格式：居中，三号黑体，加粗，标题不超过20字，不用非公知公用的缩写、化学式等）

（空一行）

——副标题（格式：居中，小三号黑体，加粗）

摘要（五号黑体，加粗）：□□□□五号楷体□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□（五号楷体，行距16磅）关键词（五号黑体，加粗）：词１；词２；．．．．．．词５（五号楷体）

（空一行）

Title（格式：居中，四号Time New Roman字加粗，行间距20磅，句首字母和专有名词首字母大写）

（空一行）

Abstract: □□□□□□□□□□□□□□。（五号Time New Roman体，行距16磅）

Key words: word1；word２；．．．．．．word5（一一对应）（格式：五号Time New Roman体）

（空一行）

目录（格式：黑体四号字，字间空出4个半角字符，加粗，居中）

1（第1章）引言（绪论）................1 1.1（第1章第1节）题名............1 1.1（第1章第2节）题名............2 2（第2章）题名..........2 2.1（第2章第1节）题名............5 2.2（第2章第2节）题名............6 2.2.1（第2章第2节第1目）题名.............7 2.2.2（第2章第2节第2目）题名...................8

......5（第5章）结论（结束语）..............25 参考文献.................26 附录A...........28 附录B...........32......致谢.............36

（格式：宋体小四号，加粗，分散对齐，行间距20磅，一、二、三级标题序号与题名间均空出1个半角字符）

（空一行）

1一级标题（格式：宋体小四号，加粗，左对齐，标题序号与题名间空出2个半角字符）□□□□宋体小四号字□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□。（格式：宋体小四号，首行缩进4个半角字符，行距20磅）1.1二级标题（格式：宋体小四号，左对齐，标题序号与题名间空出2个半角字符）□□□□宋体小四号字□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□。1.2二级标题

□□□□宋体小四号字□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□。

1.2.1三级标题（格式：宋体小四号，左对齐，标题序号与题名间空出2个半角字符）

□□□□宋体小四号字□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□。

1.2.2.1四级标题（格式：宋体小四号，左对齐，标题序号与题名间空出2个半角字符）□□□□宋体小四号字□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□。2一级标题

□□□□宋体小四号字□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□。

......5结论（结束语）

□□□□宋体小四号字□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□。

参考文献：（格式：宋体四号字，加粗，左对齐，左缩进4个半角字符）

（文献按正文部分标注的序号依次列出)（格式：宋体五号字，左对齐，左缩进4个半角字符，行距16磅）

示例：

[1] 廖荣宝，朱云，吴佳，等．对高校化学教材中杂化轨道理论的一点认识[J]．阜阳师范学

院学报（自然科学版），2009，26（4）：69-72．（期刊：主要责任者．文献题名[J]．刊名，出

版年，卷数（期数）：起止页码．作者项3个人内全部写出，第4个人及其后著为“，等”）

[2] 周公度，段连运．结构化学[M]．4版.北京：北京大学出版社，2007：164-164．（专著：

主要责任者．文献题名[M]．译者．版本（第1版不著录）．出版地：出版者，出版年：起止页码．作者项同上）

[3] 王兆骞，陈欣，马琨，等．红壤坡地水土流失的监控方法研究[C]//李萍萍．生态学

研究进展——王兆骞教授农业生态学学术思想研讨会文集．镇江：江苏大学出版社，2011：59-67．（论文集：析出文献主要责任者．文献题名[C]//论文集编者名．论文集名．出版地：

出版者，出版年：起止页码．作者项同上）

[4] 石秦．高等教育校园中具有地域特色的空间营造——以西安建筑科技大学草堂校区为

例[D]．西安：西安建筑科技大学建筑学院，2008．（学位论文：作者名．题名[D]．保存地点：

保存单位（高校标注到学院或系），年份．）

[5]李国云．本地化服务才是高校信息系统的死角[EB/OL]．[2008-05-12]..（电子文献：网址加http://；网址前加日期，先发布日期，用圆括号；后下载日期，用中括号；给出的年-月-日，年为4位，月、日为2位；网址后加点）

[6] GB/T 6532-86，原油及其产品的盐含量测定法[S]．（技术标准：标准编号，标准名称[S]．）[7] 姜锡洲．一种温热外敷药制备方案：中国，88105607.3[P]．1989-07-26．（专利：专利申请

者或所有者．专利题名：专利国别，专利编号[P]．公告日期或公布日期．）

[8] 冯西桥．核反应堆压力管道与压力容器的LBB分析[R]．北京：清华大学核能技术设计

研究院，1997．（报告：主要责任者．文献题名[R]．出版地：出版者，出版年．）

[9] 谢希德．创造学习的新思路[N]．人民日报，1998-12-25（10）．（报纸：主要责任者．文献题

名[N]．报纸名，出版日期（版次）．）

[10] Katharine A F, Stefan W K, Craig A C, ea al.Simulating the hydrological response to

predicted climate change on a watershed in southern Alberta, Canada [J].Climatic Change, 2011, 105(3-4): 555-576.对于汉语拼音著者，姓与名全写，名不缩写，名的首字母大写、其余小写，双名连写、不加连字符．作者项3人内全部写出，第4人及其后著为“, et al”．期刊名称标明全称，不缩写．）

附录A（格式：黑体四号字，加粗，左对齐）

标题（格式：黑体四号字，加粗，居中）

□□□□宋体小四号字□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□。（格式：宋体小四号，首行缩进4个半角字符，行距20

磅）

附录B（格式：黑体四号字，加粗，左对齐）

标题（格式：黑体四号字，加粗，居中）

磅）

致谢（格式：黑体四号字，加粗，居中）

□□□□宋体小四号字□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□

□□□□□□□□□□□□□□□□。（内容一般不超过300字。格式：宋体小四号，首行缩

进4个半角字符，行距20磅）

表例：

表1NanoDrop ND-1000测定RNA质量

实验组对照组

1.8

51.98

2.05

2.1

4147.84 140.1

220

40956.8 5 604.8

（格式：表中文字五号，中文宋体，英文、数字Time New Roman体）

图例：

图2含二甲氨基查尔酮基团的三硫代碳酸酯在不同溶剂中的荧光光谱图

（格式：图题五号字，中文黑体，英文及数字Time New Roman体）

（格式：图中数字、字母、符号一般为小五号，图例为六号，中文用宋体，英文及数字用Time New Roman

体）

公式：

fw(V1,,Vn)



j

1wiVj[1(1ti),1fi]（1）

i1

（格式：图题五号字，中文黑体，英文及数字Time New Roman体）

常见的几种高中政治复习方法介绍篇6

学生在学完一定教学内容后，有目的地及时复习和巩固知识的学习方法。其优点在于可加深和巩固对教学内容的理解，防止通常在学习后发生的急速遗忘。根据遗忘曲线，识记后的两三天，遗忘速度最快，然后逐渐缓慢下来。因此，对刚学过的知识，应及时复习。随着记忆巩固程度的提高，复习次数可以逐渐减少，间隔的时间可以逐渐加长。再者，政治课教学是以传授知识、接着能力、提高觉悟为教学任务的学科，不能搞突击复习，应日积月累，循序渐进，使学生逐步掌握马克思主义理论能学会实际运用。及时复习，首先强调及时，“趁热打铁”，学过即习，方为及时。然后，设计多种练习题型，从不同角度提出问题，调动学生积极思维，使所学知识在头脑中留下痕迹，形成记忆，达到理解、掌握教材之目的。切忌在学习之后很久才去复习，这样，所学知识会遗忘殆尽，就等于重新学习。

二、循环复习法

循环往复，不断重复，加深理解与记忆的一种复习方法。这种方法可用于固定的内容的复习，也适用于累加知识的复习。比如，多次复习一章、一单元或一本书的内容，每次复习都不是简单机械地重复，而是螺旋式上升，不断获得新收获。学了第一节，及时复习；学过第二节，再将第一、二节的内容全部复习一遍，如此类推，建立新旧知识间的联系，提高熟练程度。循环复习法在功效上优于及时复习法，可以弥补其零散、不系统的缺陷，加强知识的内在逻辑性、系统性。再者，循环复习法又具有一定难度，要求学生从概念、原理的掌握，到应用理论，联系实际，做到每增加一次复习，对于能力培养和知识掌握就是一个提高。循环复习的目的在于熟练。通常，识记材料的性质、学习的程度和学习的方法是影响遗忘的因素。一般说来，熟练的动作，遗忘最慢；学习程度越高，遗忘就越慢；形象的材料比较容易长久保持。政治课的概念、原理，多数是抽象的理性知识，缺乏形象直观性，不易被学生所接受。有效的方法是增加学习强度。据研究，过度学习50%，记忆效果最佳。学习程度提高还会促进学生运用知识的熟练性、准确性和灵活性。

三、比较分析法

政治课教学中正确认识和区分基本概念、原理的方法，同时又是识记教学内容的复习方法。比较，是根据一定的标准以确定事物异同的思维过程。分析，是把事物的整体分解为若干部分或方面，把事物整体的个别特征或个别属性分解出来的过程。具体地讲，比较分析法就是通过对教学内容的相同点、不同点的对比，通过对客观事物的去粗取精、去伪存真、由此及彼、由表及里的改造制作，客观、全面、深刻地认识事物的方法。运用这种方法，对客观事物既能看到它的下面，也能看到它的反面；既看到它的主体，也看到与它相联系的外部条件；既分析现象，出能透过现象看到它的本质；既能认识它的现状，出能比较准确地预见它的未来。比较分析法是政治课复习的重要思维程序。在复习时，一定要注意教材内在的逻辑联系，把教材各部分内容进行分析与比较，使学生从整体上把握知识，集会教材内容的精神实质，并从其内在联系中加深理解和灵活运用有关理论知识。比较分析法在政治课教学中的应用主要体现在各类练习题的解答上，例如：比较题，分析判断题，理解题，说明题等。在练习中，训练基本功，培养运用理论分析说明实际问题的能力。它要求学生具有一定的分析能力，熟悉复习步骤，按照各类习题的解答方式，由简单到复杂、由易到难地进行。必要时，教师应给予正确的诱导和概括性的结论。比较分析法是一种具体的、实用性的复习方法，在时间安排上没有明确规定，可同及时复习法、小结复习法、总结复习法交叉使用，形成立体复习网络。

四、综合归类与概括提炼法

综合，是在认识让把事物的各个部分或不同特性、不同方面结合起来的过程。它与分析是两种相反的思维过程，二者紧密联系，不可分割。综合以分析为前提，没有分析，认识就无法深入；分析后又必须综合，没有综合，就无法把握事物的整体。综合同样是政治课教学中不可缺少的重要一环。通过比较、分析，找出事物之间的相同点和不同点，根据这些异同点，对事物加以分类、综合，最后得出事物普遍特征的方法就是综合归类与概括提炼法。综合归类与概括提炼法在政治课复习中的主要作用是：

①系统地掌握基本概念和基本原理。教师可按照一定标准，把基本概念、原理归类，集中复习。这样分类集中复习，不但记忆牢固，而且明确其所属，便于应用。

②有利于理论联系实际，在熟练掌握马列主义基础知识并能灵活运用的基础上，进行理论联系实际的综合复习，不仅可以巩固所学知识，而且能够提高分析问题、认识问题的能力和理论联系的水平，更重要的是，在理论联系实际的运用中，提高学生的思想觉悟。

③从众多的感性材料中，抽象、概括出理性结论，锻炼学生的抽象、概括能力，也有利于理性结论的掌握。综合与概括提炼法要求高、难度大，不仅局限于某一节课的内容，而且要根据知识体系，进行跨度较大的综合训练，故它适用于高年级、抽象思维能力的学生。

总之，它是一种侧重培养分析问题、解决问题能力的复习方法，运用得法，会收到良好的效果。

五、总结复习法

大型锻件几种常见缺陷的防止方法篇7

锻件质量与原材料质量(对大型锻件来说即钢锭质量)、锻造工艺及热处理工艺有着密切关系。2006年12月以来,我公司对生产的大型锻件中的628件进行了超声波探伤,其中有120件存在不同的缺陷,占探伤件数的19%。这些缺陷主要有:内部组织偏析、夹杂60件,占50%;白点10件,占8.3%;粗晶31件,占26%;表裂7件,占5.8%,其余还有因折叠、内裂、龟裂、钢锭沿横断面裂或者因组织不合要求而报废的。此外,轴承钢因网状碳化物超级等也造成一些锻件报废。

2 非金属夹杂物

这种缺陷的比例最大。主要是原材料带来的硫化物、硅酸盐及其他氧化物。即在冶炼浇注过程中化学反应形成的夹杂物及在金属熔炼和浇注时耐火材料或砂子等外来夹杂物落入钢液中。钢锭中非金属夹杂物的含量、分布与冶炼钢锭有关,锻造只能使其分散,即分布趋于均匀细小,而不能减少其数量。

(1)非金属夹杂物除了使锻件性能降低之外,也会引起锻件裂纹。如35Cr Mo(5t)在锻造中间工序产生裂纹,这在很大程度上是由于在晶界上分布低熔点夹杂(如硫化物等)过多,锻造时引起热脆现象,致使断裂而降低了钢锭的锻造性能。

(2)在夹杂的含量、种类、大小、分布状况诸因素中以夹杂的大小和分布对锻件性能影响最大。从锻件断裂处分析多呈链状或团状存在。

(3)夹杂物在钢锭中的分布是不均匀的,危害最大的是分布在钢锭底部的负偏析区,在锭身和冒口的交界处。

根据以上分析,减少夹杂物的根本途径是在冶炼浇注过程中尽量减少夹杂物的来源,对钢液中已形成的夹杂应尽量使其浮到冒口区。在锻造过程中虽不能消除钢中夹杂,但可利用合理的锻造工艺使粗大的夹杂减少,使密集的夹杂分散,即减少其危害。具体做法是:

(1)加热:钢锭加热时,对重要零件进行高温扩散退火,实际上是有效的(夹杂多伴随着偏析);

(2)变形过程中采用满砧送料,大压下量锻造,使有利于钢锭中心夹杂产生变形而后空隙焊合,可能时作“宽砧”锻造;

(3)造成有利于锻合缺陷的压应力状态;

(4)根据零件的受力情况及纤维分布要求,采用相应的锻造工艺,譬如同时要求轴向和切向性能时,需要镦粗-拔长工序;

(5)水口端、冒口端要有足够的切除量;

(6)镦粗量:尽量使镦粗比增大,最好为i=2;

(7)选择适当的锻造比。

3 粗晶

通过对2561-29主轴的剖析看:在断口上肉眼就能看到粗大晶粒,遍及全部断口。金属材料的晶粒大小不是一成不变的,由于经受的工艺过程不同,晶粒大小与形状可在很大范围内变化,因此,对材料力学性能带来很大影响。一般情况下,随着晶粒细化,可以提高钢的屈服强度、疲劳强度,同时钢具有很高的塑性和冲击韧性,特别是塑性。在发现粗晶的锻件中从材料实验的结果看,强度指标下降不多,而塑性指标明显下降,尤其是冲击韧性,由4.5~4.0kg·m/cm2下降至1.5kg·m/cm2左右。

对热加工过程来说,变形温度、保温时间和变形程度是影响晶核生成速度和长大速度的基本参数。在加热条件下,原子的活动能力增加,随着加热温度升高,原子的扩散能力就不断增加,晶粒长大的趋势加剧,细晶粒极易变为粗晶粒,即加热温度愈高,粗晶愈严重;高温保温时间愈长,粗晶现象愈容易出现,并较严重,但没有加热温度影响大;粗晶可以热变形消除,原始加热温度愈高,所需变形程度愈大,一旦发现粗晶,对于有相变的钢可以用相应的热处理予以改善。

面对粗晶可以采取以下措施:

(1)关于锻造前加热温度和保温时间:严格控制在平衡图固相线AE以下150℃~250℃。由于钢锭凝固时,得到的原始晶粒组织比较稳定,过热倾向少,其始锻温度比同种钢坯及钢材高20℃~50℃。保温时间不宜过长,要根据锭型决定,不应超过最大温度时间。

(2)锻造变形可以打碎粗大的奥氏体晶粒,细化组织,消除粗晶,因此,锻造时大的变形量是消除粗晶的有效措施。在生产中应注意的几个问题:

(1)锻造过程中应尽量避免出现锻件上只有加热而不变形的部分(这种现象比较常见)。

(2)在决定最后一次的加热温度时,要根据剩余变形量(剩余锻比)大小决定,以免由于终锻温度过高,引起晶粒长大;或者变形程度过小,锻造变形力过小传递不到锻件中心。一般认为:锻比在1.3~1.5时最高加热温度1150℃~1120℃;锻比在1.1~1.3时最高加热温度1050℃~1000℃;锻比在≤1.1时最高加热温度1000℃~950℃。

(3)在锻造变形时,避免小压下量变形工艺。

(3)锻件检验中,发现粗晶时,由于已经达到要求的尺寸和要求外形,可采用热处理方法消除。对探伤发现粗晶的锻件进行再次正火处理晶粒度都可有明显的改善。采用高温正火或正常正火温度下进行一次或二次热处理。

4 白点

白点是由于钢中的氢气和组织应力共同作用下产生的。产生白点缺陷的锻件材质主要是合金结构钢,从发现白点的情况看是偶然的,情况比较复杂,虽然数量不多,也值得对锻后冷却工艺进行分析。但是,如何在保证锻件不产生白点的前提下,尽量缩短扩氢时间是亟待解决的问题。要防止白点就应设法除氢和消除组织应力。除氢的根本措施是从冶炼工艺开始,如冶炼过程中氢含量超过2ppm,就要在锻后制定去氢的冷却规范,决不允许锻后直接冷却到室温。

综上所见,出现白点的原因有:

(1)过冷温度控制不当,因为产生白点多在150℃~300℃之间;

(2)热处理工艺是针对一般的含氢量制定的,而有些钢在冶炼过程中含氢量就较高,致使原热处理工艺不能满足去氢的需要;

(3)不应过分强调缩短热处理周期,而缩短回火保温时间,从统计资料看,白点多发生在锻件的中心部位,原因是去氢时间不足。

为有效防止白点,对热处理工艺作如下改进:

(1)适当延长过冷温度保温时间,氢在该温度扩散速度最大,效果最好,原则是3h/100mm。

(2)等温保温时间在过冷的基础上可以缩短,一般取5h~6h/100mm。因为从实践和资料上看,在这一阶段扩散出的氢并不多,主要目的是消除由于过冷而产生的组织应力。

5 其他缺陷

5.1 裂纹

裂纹是短粗的裂口,不规则的密布于表面,裂纹内有氧化现象,两侧脱碳严重,晶粒也很粗大。

(1)因过烧产生的裂纹:过烧是在晶粒边界出现熔化。一般在氧化气氛中加热的钢由于高温状态氧化更剧烈,以及氧化过程中的放热,使钢锭表面温度比炉温高,从而产生过烧。生产中曾偶尔发生,但如果在加热过程中使炉内温度尽量均匀,特别是不使火焰直接喷向钢锭表面,是完全可以避免的。现行的措施是:

(1)注意装炉位置合理;

(2)改造加热炉体机构,改变烧嘴高低位置,喷出火焰分散。

(2)因铜脆产生的裂纹:如钢中含铜量过高(>0.2%)时,在高温锻造时,极易在表面产生网状裂纹。这是由于铜较铁难以氧化,而且扩散过程很慢,因此,在氧化铁皮下形成一层富铜的金属层,当加热温度超过1100℃时,富铜的金属熔化并渗到钢的晶粒边界,使晶粒之间联系减弱,在热变形时金属表面便产生网状裂纹。

5.2 网状碳化物

对轧辊钢和轴承钢,在锻造过程中应尽量避免产生严重的网状碳化物,尤其是轴承钢用来制作轴承圈时。因为轴承圈在工作时承受着点或线的高度集中的周期变化载荷,容易产生疲劳和磨损,所以要求有高的均匀的强度和硬度。这就必须使轴承钢的组织均匀,不应有网状碳化物,网状碳化物使强度、韧性、耐疲劳性和耐磨性降低,易使局部金属剥落,大大缩短使用寿命。

我厂轴承钢的锻造工艺和热处理规范中都特别强调尽量避免网状碳化物超级。

网状碳化物是在锻造和冷却过程中形成的,所以,首先控制终锻温度,从实际结果看,终锻温度在900℃以上时没有网状碳化物析出,而大量析出的温度范围是800℃~750℃。我厂生产的轴承圈尺寸较大,若900℃以上终锻,一是终锻温度过高不利于成形,另外需要快冷,使操作不便,所以都严格控制在800℃~750℃终锻,并在这个温度下,使锻件整体上都有变形。按这样生产后,经试验,锻件网状碳化物均为2级,全部合格。其次,一旦出现网状碳化物超级,采用高温正火处理,也有效果,但不理想。

参考文献

[1]中国机械工程学会塑性工程学会.锻压手册(锻造)第一卷第3版.北京:机械工业出版社,2008.

几种常见的证明方法篇8

1. 利用微分中值定理

在定积分不等式的证明问题中, 如果已知函数具有高阶导数, 并且给出了函数的零点, 可以考虑利用微分中值定理, 对相关的表达式进行转化.

例1设f ( x) 在[0, 1]上有连续的二阶导数, f ( 0) =f ( 1) = 0, 当x ∈ ( 0, 1) 时, f ( x) ≠ 0, 证明:

证明记M = maxx∈[0, 1]f ( x) , 由已知条件, 存在c ∈ ( 0, 1) , 使f ( c) = M. 由拉格朗日中值定理, 有

于是有

从而

2. 利用积分中值定理

如果给定的积分表达式中, 定积分的系数恰好是积分区间长度的倒数, 那么, 首先考虑利用积分中值定理, 消去积分号, 对积分表达式进行简化处理.

例2设a > 0, f ( x) 在[0, a]上有连续的导函数,

3. 利用分部积分法

如果被积函数含有导数的形式, 可以考虑利用分部积分法对定积分进行转化, 而这往往又需要结合其他的一些变形技巧.

例3设f ( x) 在[0, 1]上有连续的导函数, 证明

所以

故

4. 利用换元积分法

如果被积函数中含有sin ( t2) 或cos ( t2) 这类无法直接求出原函数的因子, 可以考虑利用换元积分法进行转化.

证明作变换t2= x, 则

5. 利用Cauchy不等式

利用基本不等式, 如Cauchy不等式, 也可以证明另外一些不等式.

例5设f ( x) 在[0, 1]上有连续的导函数, 且f ( 0) =f ( 1) = 0, 则对任意的 ξ ∈ ( 0, 1) , 都有

6. 利用辅助函数

如果被积函数中出现函数与其导数的和或差, 往往可以借助因子ex或e- x, 构造辅助函数, 再利用定积分的基本性质进行处理.

例6设f ( x) 在[0, 1] 上连续可导, 且f ( 0) = 0, f ( 1) = 1, 证明:

证明构造辅助函数F ( x) = e- xf ( x) , 则

以上例子利用各种不同的方法证明了具有不同特征的绝对值积分不等式. 但还有很多其他形式的此类不等式尚未讨论, 在遇到的时候需要具体分析. 在证明积分不等式时, 往往需要综合运用多种不同的方法和知识点来解决, 这也需要多思考, 多总结, 在不断的练习和实践中提高学生的分析和解决问题的能力.

摘要：通过实例, 分别介绍了微分中值定理、积分中值定理、分部积分法、换元积分法、基本不等式以及构造辅助函数等在绝对值积分不等式证明中的应用.

关键词：定积分,积分不等式,中值定理,分部积分,换元积分

参考文献

[1]同济大学数学系.高等数学 (上册) [M].6版.北京:高等教育出版社, 2007.

[2]王钦, 李睿芳.一个特定型定积分不等式的若干推广[J].大学数学, 2013, 29 (1) :106-110.

[3]殷建峰.一些特殊积分不等式证明的探讨[J].兰州文理学院学报 (自然科学版) , 2014, 28 (1) :23-26.

[4]肖应雄, 高峰.一类积分不等式及其推广应用[J].湖北工程学院学报, 2014, 34 (6) :112-115.

[5]李志飞.积分不等式的证明[J].高等数学研究, 2014, 17 (6) :50-51.

几种常见的证明方法篇9

1 小儿疝气矫正术麻醉方法讨论

此麻醉实验是结合山西省儿童医院2009年至今小儿疝气手术中的30例患者开展进行的, 其中男女患者比例各半, 年龄构成从1~10岁, 术前身体状况良好, 无感冒等不良症状。

1.1 麻醉方法

手术前30min, 对患儿进行肌注咪唑安定0.02mg/kg, 东莨菪碱0.06mg/kg。小儿入室哭闹, 不配合开放静脉者, 肌注氯胺酮5mg/kg, 入睡后抱入手术室行静脉穿刺。开放静脉后缓慢推注力蒙欣让小儿入睡为止, 手术开始静注氯胺酮2mg/kg, 然后用微量泵持续输注力蒙欣输注速度为2~4mg/ (kg·h) , 术中根据麻醉深浅间断静注氯胺酮1mg/kg。在手术结束前停止给药或者降低给药剂量。

1.2 机能观察

小儿疝气矫正手术一般进行2.5h左右, 在实施麻醉后5min左右, 患者BP、HR均有所上升, 与术前比较有显著性差异。麻醉30min之后, BP、HR与术前比较无显著性差异。手术之后, 患者不良反应不明显, 其中, 有4例患者在术后呼吸道分泌物有所增加, 1例舌后坠, 并无恶心、呕吐, 术后躁动病例出现。

1.3 结果分析

氯胺酮是一种具有镇静、镇痛和麻醉作用的静脉麻醉药, 但其单独使用, 可能引起较多的精神症状, 伴随有明显的升压效应, 手术视野渗血模糊, 围术期小儿呼吸道分泌物多等症状。但其与力蒙欣合用就可以减轻或消除了单一用药的不良反应。异丙酚作为一种新型静脉麻醉药, 对心血管有明显的抑制作用, 心肌收缩力、前负荷及外周阻力下降, 引起血压下降和脉率减缓。静脉注射力蒙欣2~2.5mg/kg, 血压下降25%~40%, 抵消了氯胺酮升高血压作用, 力蒙欣诱导剂量对心率的影响不明显。

2 小儿扁桃体或腺样体切除术麻醉方法讨论

此麻醉实验同样是是结合山西省儿童医院2008年至今小儿扁桃体或腺样体切除术中的30例患者开展进行的, 其中男女比例各半, 年龄构成从1~9岁, 术前身体状况良好。

2.1 麻醉方法

首先对患儿进行静脉注射咪唑安定0.1mg/kg, 维库溴胺0.1 m g/k g, 芬太尼3μg/kg, 进行麻醉诱导, 然后完成气管插管, 输液泵输入瑞芬太尼0.1μg/ (kg·min) , 丙泊酚5mg/ (kg·h) 维持麻醉, 常规静推2~5mg地塞米松以减轻咽喉部组织水肿, 注意同患儿交流, 并且同时连接面罩吸氧, 心电监护, 手术结束前5min停止泵入瑞芬太尼及丙泊酚, 同时给予芬太尼1μg/kg达到镇痛的目的, 手术之后清理口腔分泌物使气道干净, 脱氧下血氧饱和度 (SPO2) 不低于96%拔出气管导管, 自主呼吸恢复后潮气量>7m L/kg, 术中连续监测患儿SPO2、心电图、血压、心律。

2.2 机能观察

小儿扁桃体或腺样体切除术一般进行15min~1h, 从停止用药到拔管时间为7~20min。术后待患儿意识逐步恢复后, 患儿意识恢复情况表现为, 2例患儿表现为轻微疼痛;1例患者哭诉口腔疼痛难忍, 对患者加用曲马多镇痛后能合作冷静下来;还有27例患者表现出更加剧烈的不适反应。

2.3 结果分析

丙泊酚是一种短效静脉麻醉药, 是无常用的静脉麻醉药物, 其特点是起效快、持续时间短、苏醒迅速而平稳。但丙泊酚无镇痛作用, 因此常合用阿片类镇痛药如芬太尼等以加强镇痛效果。瑞芬太尼是一种新型、短效的阿片类麻醉镇痛药, 起效快, 镇痛作用强, 半衰期短, 在体内被非特异性酯酶迅速水解, 代谢清除快, 故瑞芬太尼合用丙泊酚静脉麻醉可以达到更好的效果。

3 讨论

在手术之后, 麻醉尚未清醒的苏醒期患儿常有躁动不安, 意识模糊, 应适当予以加床挡保护约束, 严格防止引流管脱出或敷料被拉扯等情况发生。苏醒期躁动的主要原因是疼痛。麻醉后还应观察膀胱充盈情况, 膀胱过分胀满也会引起患儿躁动不安, 应予以留置导尿。

参考文献

[1]全身麻醉[J].国外科技资料目录 (医药卫生) , 1999 (1) .

[2]夏瑞莲, 郭晓秀.全身麻醉的护理配合[J].内蒙古医学杂志, 2004 (9) .

几种常见的纹波噪声测试方法比较篇10

电源的纹波分为整流纹波和开关纹波两部分。整流纹波的频率为100Hz左右, 是AC工频的2倍, 由整流器整流产生的 (即由一次电源模块传导到后级电源输出网络的) ;开关纹波 (PWM frequency ripple) 是开关电源工作本身产生的, 其频率为开关电源的开关频率, 由开关管开通和关断产生的。

电源的噪声分为开关噪声和随机噪声。开关噪声是由开关管开通和关断而引起的电压尖峰;随机噪声一般是由其他干扰以及后级负载产生的反灌噪声而引起的。

2 测试纹波与噪声的方法

2.1 利用普通无源探头

由于单板上存在开关电源 (极有可能不止一个) , 且开关电源的开关管通断会在空间产生大量的电磁辐射, 而示波器探头的长地线与探针在电路板接触处所形成的“环”太大, 会很容易把空间中的大量电磁干扰引入测量电路。一个简单的改善方法就是尽可能减小地线长度, 将地线和探头前端在测试中所形成的环尽量小, 测试配置如图2:

2.2 利用差分探头

对于无源探头, 除了探头的地线是与示波器机壳相连通的, 同时示波器的机壳又与输入电源的接地端相连接。如果直接使用无缘探头测试输出端, 可能造成地回路电流, 因此影响测量结果。因此, 差分探头是更适宜的检测方法。另实际使用时, 差分探头与电路板接触处所造成的“环”相比于无源探头来说要小的多, 所以它比较不容易被周围的噪声耦合进来, 进而在示波器上可以得出比较准确的纹波与噪声值。

2.3 利用同轴电缆+隔离电容

图4中, 示波器采用DC耦合模式, 其端接阻抗设置成R, 耦合电容的容值设置为C。外加的隔直电容与示波器阻抗构成了一个无源高通滤波器, 具体等效示意图如下:

图5中, C为隔直电容值, R为示波器阻抗设置值, Vin为主板/子卡上的电源网络信号, Vout为主板/子卡上的电源网络信号经过隔直电容后进入示波器的AC分量, 也就是纹波与噪声部分。

根据对电路的推导, 上面高通滤波器的电压增益和相角分别为:

其中, , 是高通滤波器低频截止频率, f为信号频率。当选定了示波器的端接阻抗R与隔直电容C后, 低频截止频率fL就固定了。由公式1可以看出, 当值最接近1的时候, Vout的大小几乎等于Vin, 而值只与f、fL的比值有关。经过计算, 当f/fL=7时, , 误差大约为1%。

经过计算, 下面为选用的几个典型的耦合电容值以及对应50Ω、1MΩ时的低频截止频率以及对应误差为1%的频率列表:

一般而言, 开关电源的开关频率在几十KHZ到几MHZ之间, 因此对于开关纹波的测试而言选用“示波器50Ω端接阻抗+BNC同轴电缆+耦合电容”的方式是合适的;对于整流纹波而言, 采用“示波器AC耦合+无源1:1探头+示波器1MΩ端接阻抗”的方式则比较准确。

3 测试方法的比较

(1) 使用无源探头, 由于探针与地线的环路太大 (即便使用图2中配置) , 很容易被周围环境中的噪声干扰。当采用无源探头并设置示波器20MHz的带宽限制时, 只适合于电源模块本身输出纹波的测试。因此, 除了测试开关电源本身所产生的低频段的纹波外, 不推荐此种测试方法进行测试电源网络的噪声值。

(2) 使用差分探头的方法相比无源探头而言效果有较大改善, 其测试的结果比较精确, 因此可推荐用来进行板载电源的纹波与噪声测试。使用时需要注意差分探头的输入范围要求, 防止损坏差分探头。

(3) 使用同轴电缆+隔离电容的方法比较普遍适用于电源的纹波和噪声测试中, 同轴电缆本身的自屏蔽结构决定了它不容易被空间的无关噪声所干扰, 且同轴电缆直接焊接在单板上, 可以做到单板附近噪声耦合进测试装置环路的可能性尽可能小。整个测试环境搭配比较方便, 推荐使用。

参考文献

[1]Abraham I.Pressman、Keith Billings、Taylor Morey《Switching Power Supply Design》

[2]王宏生《谈工程上对纹波与噪声测试的几个误区》

[3]同金、马煜峰《直流电源输出的纹波和噪声的测量》

常见的几种电脑密码破解方法探讨篇11

关键词：电脑；软件；硬件；破解密码

中图分类号：TP393 文献标识码：A 文章编号：1674-7712 （2012） 18-0020-02

在维护和使用电脑时，经常会遇到各种密码丢失的问题，这里，就为广大电脑用户准备了一些破解密码的方法，但是希望大家用在正确的途径上。不同地方的密码设置不一样，反之密码的破解方法也不一样，下面就介绍几种日常生活中常用到的密码破解方法。开机密码是我们最先要遇到的因此我们就先从CMOS密码破解讲起。虽然CMOS种类各异，但它们的加密方法却基本一致。一般破解的方法主要从“硬”和“软”两个方面来进行。

一、CMOS密码破解

使用电脑，首先需要开机。因此开机密码是我们最先要遇到的。虽然CMOS种类各异，但它们的加密方法却基本一致。一般破解的方法主要从“硬”和“软”两个方面来进行。

（一）硬件解除方法。硬件方法解除CMOS密码原理是将主板上的CMOSRAM进行放电处理，使存储在CMOSRAM中的参数得不到正常的供电导致内容丢失，从而起到解除CMOS密码的目的。常见的方法有以下三种：

1.电池短接法。CMOS电池插座分为正负两极，将它们短接就可以达到放电的目的。首先将主板上的CMOS供电电池取出，然后使用可以有导电性能的物品（螺丝刀、镊子等导电物品），短接电池插座上的正极和负极就能造成短路，从而达到CMOS放电的目的。

2.跳线短接法。对大多数主板，都设计有CMOS放电跳线以方便用户进行放电操作，这是最常用的CMOS放电方法。该放电跳线一般为三针，位于主板CMOS电池插座附近，并附有电池放电说明。在主板的默认状态下，会将跳线帽连接在标识为“1”和“2”的针脚上，从放电说明上可以知道为“Normal”，即正常的使用状态。只要把跳线设置为“2”和“3”的针脚上，CMOS放电就在瞬间完成了，结束后要把跳线还原到原始状态。

3.改变硬件配置法。当丢失CMOS密码时，可以先尝试改动机器的硬件配置后再重新启动。因为启动时如果系统发现新的硬件配置与原来的硬件配置不相同，可能会允许直接进入CMOS重新设置而不需要密码。改动硬件配置的方法很简单，比如拔去一根内存条或安装一块不同型号的CPU（当然要主板支持）、更换一块硬盘等等。

（二）软件解除方法。严格地说，“软”解除CMOS密码没有“硬”解除方法那么彻底，但也十分奏效。CMOS密码根据需要，可设为普通级用户密码和超级用户级密码两种。前者只是限制对BIOS的修改，可以正常启动电脑和运行各类软件，而后者则对进入电脑和BIOS完全禁止。

1.利用Debug命令破除Setup密码。如果计算机能正常引导，只是不能进入BIOS设置，也就说机器设置了Setup密码。这种密码设置主要是为了防止未授权用户设置BIOS，但可以利用DOS状态下的Debug命令向端口70H和71H发送一个数据，手工清除该密码，具体操作如下：

C：＼>DEBUG—0 70 10-O 71 01-Q或者C：＼>DEBUG—0 70 2e—O 71 00-O 70 2f—O 71 00-Q重新启动计算机后，就可以直接进入CMOS修改设置，而不再询问密码了。

注意70和71是CMOS的两个端口，可以向它们随意写入一些错误数据（如20、16、17等），就会破坏CMOS里的所有设置。

2.工具软件破解密码。利用BiosPwds.exe工具软件可以很轻松地得知BIOS的密码。使用上相当简单，执行后会有BiosPwds的界面，只需单击界面上的（获取密码]按钮即会将BIOS各项信息显示于BiosPwds的界面上，包括BIOS版本、BIOS日期、使用密码、通用密码等，这时便可以很轻松地得知BIOS密码。

二、破解系统密码

系统密码是你登录到操作系统时所使用到的密码，它为你的计算机提供了一种安全保护，可以使你的计算机免受非法用户的使用，从而保障电脑和机密数据的安全。

（一）Windows98/ME的系统登录密码。现在几乎没有电脑再用Windows98/ME这两个系统了，再说它们的系统密码可以取消直接进入系统。

（二）Windows2000密碼。启动盘启动电脑或引导进入另一操作系统（如Windows98），找到文件夹“X：＼Documents and Settings＼Administrator”（X为Windows2000所在磁盘的盘符），将此文件夹下的“Cookies”文件夹删除，然后重新启动电脑，即可以空密码快速登录Windows2000。

（三）破解Windows XP的密码。在启动Windows XP时按F8键选择带命令行的安全模式，使用net命令可以对用户身份进行操作。具体步骤如下：使用命令“net user ZJH/add”添加一名为ZJH的用户，使用命令“net localgroup administrators ZJH/add”将用户ZJH提升为管理员，重新启动电脑，用ZJH身份登录，最后对遗忘密码的用户进行密码修改即可。

（四）破解Windows VISTA。请先将Windows Vista安装盘放入光驱，重新启动计算机，在CMOS中进行设置以光驱启动。

1.当出现安装界面时，请单击“Repair your computer”（修复系统），在随后弹出的对话中选择“Command Prompt”（命令提示符）。在调用了系统的命令提示符窗口后，请输入“mmc.exe”命令并按回车键，系统将会调用出控制台。

nlc202309021002

2.随后选择文件-“添加/删除管理单元”，系统将再次弹出一对话框。在该对话框左侧窗口内选中“本地用户和组”，然后再单击“添加”按钮。此时，系统将把“本地用户和组”添加到“控制台节点”，单击“确定”按钮完成添加过程。

3.添加完毕后，系统返回到控制台操作界面，单击左侧窗口中的“本地用户和组”，然后再单击“用户”，系统将在右侧窗口中列出当前所有用户。右键单击你要破解的登录用户，选择“设置密码”在弹出的“为帐户设置密码”对话框中，单击“继续按钮”。

4.系统弹出设置新密码的窗口。而此时Vista系统并不需要用户输入以前的密码，而是直接可以设置新的密码。在输入新的密码后，单击确定按钮，系统会弹出一对话框，提示设置成功.

（五）破解Windows7的密码。Windows 7操作系统发布时间不长，但是现在几乎所有的品牌机都自带了Windows 7系统，所以windows 7操作系统登入密码破解问题就成为比较常见的问题，希望大部分计算机工作者都能掌握。操作过程如下所述：

1.进入CMD命令提示符模式，将OSK.EXE和CMD.EXE拷贝到别的地方

2.如果Windows 7装在E盘，请根据个人情况自行改动，执行以下命令：

copy e：＼windows＼system32＼osk.exe e：＼

copy e：＼windows＼system32＼cmd.exe e：＼

3.然后利用深度WinPE v3.0自带的暴力删除工具Unlocker将OSK.EXE删除（在CMD中无法删除，Windows 7有系统保护），然后再利用CMD命令提示符，将CMD.exe拷贝到SYSTEM32目录中，并命名为OSK.EXE。

4.copy e：＼cmd.exe e：＼windows＼system32＼osk.exe

5.重新启动计算机，在登陆界面下，点击左下角辅助工具，选择On-Screen Keyboard。

6.命令提示符就出现了，用Net User命令，就可以将用户密码更改掉。

这样你就完成了windows 7操作系统登入密码破解。

三、破解几个常用软件密码

现在很多用户都为了自己的文件不被人看到，都会利用各种方式对文件进行加密，时间长了连自己都忘记了密码，还有就是对加密了的文件使无权阅读的人无法轻松打开这些重要资料，下面就让我们一块看一下几个常用软件密码的解除：

（一）破解office2003文档密码。经常使用office2003办公软件的用户都喜欢给文档添加密码，这样一来就可以很好的防范资料泄露，特别是一些很重要的资料和文件，一定要很好的做好保护措施。但是添加密码的文件多了，难免会将一些文件的密码忘掉，这种情况不是没有，但万一发生了这种事情我们该如何是好呢？下面就介绍Office Password Recovery Toolbox，它是一款可以瞬间破解Word、Excel和Access文档密码的工具，一般情况下解密过程不超过5秒，而且操作简单，无需设置。但是使用该件需要连接到互联网，因为要向软件服务器发送少量的数据并解密，不过不会造成信息的泄露。

（二）破解WPS系列密码。如果你是合法用户，在忘却密码时，启动WPS程序，点击“文件”/“密碼设置”菜单，在出现的密码设置对话框中可以看到原密码会自动以“”号的方式出现在“密码”文本框中，点击“清除”按钮，再在随后出现的提示框中点击“确认”按钮，该加密文件的密码已经被清除了。以后再次打开该文件就不再需要输入密码了。

如果你不是合法用户就只能借助有关工具进行破解。现在破解WPS密码的软件很多，但论其功能强大，破解速度快就要数国产的Edward’sWPS2000PasswordRecovery了，该工具破解WPS密码采用的是破解密码的常见的方法——穷举法。

（三）破解文件夹密码。为了文件管理的安全、可靠，一般都会对文件夹进行加密，但现实生活中我们需要设置和记住的密码实在太多了，设置简单了容易被破解，设置复杂了，时间久了，我们会淡忘，下面就介绍两种常见的文件夹解密方法。

1.系统解密法。对文件夹和文件加密，可以保护它们免受未许可的访问。加密文件系统（EFS）是Windows的一项功能，用于将信息以加密格式存储在硬盘上。加密是Windows提供用于保护信息安全的最强保护措施，解密文件夹或文件的步骤是，首先，打开资源管理器，右键单击要解密的文件夹或文件，然后单击“属性”；其次，单击“常规”选项卡，然后单击“高级”；最后，清除“加密内容以便保护数据”复选框，单击“确定”，然后再次单击“确定”。

2.软件破解法。文件夹的加密和解密过程一般都是相反的，现在解密文件夹的软件很多，一般就是用什么软件加密，就用什么软件来破解是最好的，但往往事与愿违，有时还需要用不用的软件来破解密码，常用的破解软件有文件夹万能解密器v8.6绿色破解版，它可以破解各种软件加密的密码。

（四）破解RAR密码。遗忘了RAR压缩包密码后，你可下载一个CRARK软件来对其进行破解，它主要通过命令行来实现对RAR压缩包的密码进行破解。使用时一般只需直接使用“CRARK RAR压缩包文件名”命令，利用缺省参数即可进行破解。

四、破解网络密码

网络正悄然而迅速地走进我们的日常生活。但作为普通的网络用户，人们都有一种共同的忧虑，就是网络的安全隐患。于是不得不对个人网络活动采取有效的保护措施——加上各种密码。但这些密码一旦遗忘，成为我们进行工作的大碍。下面是一些有关网络密码的破解技巧。

（一）破解上网账号与密码。作为日常上网的工具，每个人都需要在上网时进行上网账号与密码的设置，这样才能登录网络。利用一些工具软件获得账号并不是很难的事情，甚至可以说是一件轻而易举的事情。这里我们借助一个叫GetIP的工具，这是个由国人刘骥设计开发的“口令密码”识别软件。GetIP能够帮助我们将那些代表口令的密码“***”号还原成真实的口令。GetIP使用十分简单，运行GetIP.exe可执行文件，出现程序界面，将鼠标指向“点击（放大镜）处并拖动”，用鼠标拖着移动到想要得知的密码处，真实的密码口令就会立即反应到“文本”框中。

（二）破解IE分级审查密码。IE浏览器提供了分级审查功能，它可以在用户的设置下对某些网页进行过滤，只有知道分级审查功能密码的用户才能查看相关网页的信息。如果遗忘了分级审查功能的密码，不但不能访问受到限制的站点，而且不能更改已有的限制级别，重装IE也没有用，怎么办？启动注册表编辑器，找到“HKEY_LOCAL_MACHINE＼SOFTWARE＼Microsoft＼Windows＼Current Version＼policies＼Ratings”子键，找到一个名叫“KEY”的键值项，它就是用户设置IE分级审查口令（数据已经加密），用户只需删除该键值就可以取消分级审查口令，然后重新设置IE分级审查密码即可。

五、结束语

破解电脑密码在日常生活中已经非常常见了，对于电脑维修和管理员来说特别重要，必须掌握透彻，仅仅掌握以上介绍的几种还远远不够，针对不同的情况还要有自己的见解，才能应付维护维修和电脑管理中遇到的问题。对于普通的用户也要了解以上几种常见的密码破解方法，以后自己遇到一些简单的密码破解不用求人。

参考文献：

[1]Thom Hogan.PC软硬件技术资料大全[M].北京：清华大学出版社，1993.

[2]王恒青.微机BIOS与CMOS实用详解[M].北京：清华大学出版社，1999.

[3]冠群创作室.精通BIOS与Windows注册表[M].北京：机械工业出版社，2001.

[4]赵红霞.计算机中十二种常用密码破解方法[J].内江科技，2007，2.

[5]胡小红.计算机密码破解原理与应用[J].警察技术，2006，4.

[6]何伊圣.提高密码安全性的策略[J].信息安全与技术，2010，10.

[作者简介]左继怀（1977-），男，云南大理人，硕士研究生，云南经济管理职业学院讲师，主要从事计算机教学类教学、电子政务的研究。

几种常见的证明方法篇12

1 利用微分学方法来解题

在微分学方法的探讨与应用中, 常用的方法有函数的单调性、函数的极限、函数的凹凸性, 以及微分中值定理等, 现就其应用及约束条件进行阐述。

1.1 利用函数的单调性来解题

1.2 利用函数的极限法来求证

1.3 利用函数的凹凸性来求证

1.4 利用拉格朗日中值定理来求证

2 利用积分学方法来解题

在利用定积分求证不等式过程中, 还可以利用定积分中值定理来消去不等式的积分号, 从其他项的大小比较中来求证。例如:当函数f (x) 是连续且单调递减时, 求证当0<λ<1时, 存在。首先对不等式进行移项, 转变为

3 利用其他方法来解题

另外, 在不等式的证明过程中, 还可以利用概率论方法来求解。如当取值范围在0和1之间时, 可以将不等式转化为若干独立的事件概率, 以便于求证。例如:当0<a<1, 0<b<1时, 试求证0≤a+b-ab≤1。对于题设中的a, b来说, 可以看作是两个独立的事件, 当P (A) =a, P (B) =b时, 很容易得出0≤a+b-ab≤1。

4 结语

不等式证明的方法在高等数学教学中应用较多, 在实际解题中应该根据具体情况来具体分析。掌握必要的不等式解题方法和技巧, 可以更好地在高等数学的理论运用中扩散思维, 把握问题的本质, 有助于不等式的求证。

参考文献

[1]宫莉.高等数学中证明不等式的方法和技巧[J].高等函授学报 (自然科学版) , 2010 (01) .

[2]杨黎霞.微分学中不等式的证明[J].高等数学研究, 2011 (01) .

【几种常见的证明方法】推荐阅读：