神奇的勾股定理（精选9篇）
神奇的勾股定理 篇1
勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”, 是初等几何中的一个基本定理.那么大家知道多少勾股定理的别称呢?我可以告诉大家, 有:毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理、驴桥定理和埃及三角形等.所谓勾股定理, 就是指“在直角三角形中, 两条直角边的平方和等于斜边的平方”.这个定理有着十分悠久的历史, 几乎所有文明古国 (希腊、中国、埃及、巴比伦、印度等) 对此定理都有所研究.
勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理, 相传是古希腊数学家、哲学家毕达哥拉斯于公元前550年首先发现的.但毕达哥拉斯对勾股定理的证明方法已经失传.著名的希腊数学家欧几里得在巨著《几何原本》 (第Ⅰ卷, 命题47) 中给出一个很好的证明. (右图为欧几里得和他的证明图)
中国古代对这一数学定理的发现和应用, 比毕达哥拉斯早得多.中国最早的一部数学著作———《周髀算经》的开头, 记载着一段周公向商高请教数学知识的对话.周公问:“我听说您对数学非常精通, 我想请教一下:天没有梯子可以上去, 地也没法用尺子去一段一段丈量, 那么怎样才能得到关于天地的数据呢?”商高回答说:“数的产生来源于对方和圆这些形体的认识.其中有一条原理:当直角三角形的勾为三, 股为四时, 弦必定是五.这个定理还是大禹在治水的时候就总结出来的呢.” (原文为:折矩, 以为勾广三, 股修四, 径隅五.……故禹之所以治天下者, 此数之所生也.) 如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话, 那么周公与商高的对话则可以确定在公元前1100年左右的西周时期, 比毕达哥拉斯要早了五百多年.其中所说的勾3股4弦5, 正是勾股定理的一个应用特例.所以现在数学界把它称为“勾股定理”是非常恰当的.
在稍后一点的《九章算术》一书中 (约在公元50至100年间) , 勾股定理得到了更加规范的一般性表达.书中的《勾股章》说:“把勾和股分别自乘, 然后把它们的积加起来, 再进行开方, 便可以得到弦.”《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉以来的数学成就, 共收集了246个数学的应用问题和各个问题的解法, 列为九章.中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理, 而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明.
赵爽“勾股圆方图”
最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽.赵爽创制了一幅“勾股圆方图”, 用形数结合的方法给出了勾股定理的详细证明.赵爽的这个证明可谓别具匠心, 极富创新意识.在这幅“勾股圆方图”中, 以弦为边长得到的正方形ABDE是由4个相同的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的.每个直角三角形的面积为ab/2, 中间的小正方形边长为b-a, 则面积为 (b-a) 2.于是便可得如下的式子:
他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系, 既具严密性, 又具直观性, 为中国古代以形证数、形数统一, 代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范.
刘徽“青朱出入图”
同一时代的数学家刘徽也是沿用赵爽的方法给出“青朱出入图”, 将青、朱两块移出, 拼入, 便很简单地证明了勾股定理.
刘徽在证明勾股定理时用的也是以形证数的方法, 只是具体的分合移补略有不同.刘徽的证明原来也有一幅图, 可惜图已失传, 只留下一段文字:“勾自乘为朱方, 股自乘为青方, 令出入相补, 各从其类, 因就其余不动也, 合成弦方之幂.开方除之, 即弦也.”后人根据这段文字补了一张图.
神奇的勾股定理 篇2
例1 如果一个三角形的三边长分别为
则这三角形是直角三角形
证明：∵
∴
∵∠C＝
例2 已知：如图，四边形ABCD中，∠B＝ ，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13求四边形ABCD的面积
解：连结AC
∵∠B＝ ，AB＝3，BC＝4
∴
∴AC＝5
∵
∴
∴∠ACD＝
例3 如图，已知：CD⊥AB于D，且有
求证：△ACB为直角三角形
证明：∵CD⊥AB
∴
又∵
∴
∴△ABC为直角三角形
以上例题，分别由学生先思考，然后回答．师生共同补充完善．（教师做总结）
4、课堂小结：
（1）逆定理应用时易出现的错误：分不清哪一条边作斜边（最大边）
（2）判定是否为直角三角形的一种方法：结合勾股定理和代数式、方程综合运用．
5、布置作业：
a、书面作业P131＃9
b、上交作业：已知：如图，△DEF中，DE＝17，EF＝30，EF边上的中线DG＝8
求证：△DEF是等腰三角形
板书设计：
探究活动
分别以直角三角形三边为直径作三个半圆，这三个半圆的面积之间有什么关系？为什么？
提示：设直角三角形边长分别为
数学好玩之神奇勾股 篇3
通过本次活动，我对常见的勾股数进行仔细观察，大大激发了对勾股数研究的兴趣，也发现了勾股数一些内在的规律. 这些规律可以帮助我们迅速辨别一组数是否勾股数，省去很多复杂的计算，真的好神奇哟！
现在我将本次活动中发现的规律整理出来和大家一起分享：
1. 勾股数中的三个数不能全是奇数.
2. 勾股数里的三个数要么全是偶数，要么只有一个偶数（即不可能出现只有两个偶数的情况）. 奇数的平方为奇数，偶数的平方为偶数，而奇数+奇数=偶数，因此当两条直角边都为奇数时，斜边为偶数，当两条直角边都为偶数时，斜边为偶数，当两条直角边为一奇一偶时，斜边为奇数.
勾股的奇妙之处还不仅仅在于此. 若有x=m2-n2，y=2mn，z=m2+n2，则此三个式子可组成一个勾股数生成器，理由一试即知.
（m2-n2）2+（2mn）2
=m4+n4-2m2n2+4m2n2
=m4+n4+2m2n2
=（m2+n2）2.
完全满足x2+y2=z2的形式.
所以，在这三个式子中，m、n各任取一正整数（m>n），一组勾股数就会诞生. 举一例：若m=2，n=1，则经典的“3，4，5”就出现了.
当然，其奇妙之处远远不止如此. 勾股定理的证明多种多样，从《几何原本》的证明到《九章算术》的证明，各有千秋. 另外，人们从勾股定理出发开平方、开立方、求圆周率，无理数也从此被人们发现. 它还被用在“最短距离”“三维空间”等方面，各个领域皆有涉及.
勾股定理的立体推广 篇4
证法一、设OA, OB, OC的长分别为a, b, c∠ACB=θ, 则:
在△ABC中, 由余弦定理得:
从而
由三角形面积公式得:
即
证法二、这个结论还可用向量的向量积和数量积证明如下。为此先证以下结论:
设:a, b, c是两两垂直的 (非零) 向量, 则有:
事实上
则由向量积的几何意义有
同理
所以由向量积的几何意义有
所以 (*) 式实际上是:
所以
证法三、分别以棱OA, OB, OC所在的直线为x轴, y轴, z轴建立空间直角坐标系。设i, j, k, 分别为x轴, y轴, z轴正方向上的单位向量, 由向量积的坐标表示:对空间直角坐标系下向量x= (x1, y1, z1) , y= (x2, y2, z2) , 有
设A, B, C三点的坐标分别为A (a, 0, 0) , B (0, b, 0) , C (0, 0, c) 。
所以
从而由证法二知S2△ABC=S2△OAB+S2△OBC+S2△OAC得证。
参考文献
[1]梅向明, 黄敬之.微分几何.北京:高等教育出版社.
勾股定理的应用 篇5
勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用有：（1）已知直角三角形的两边求第三边（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系。求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题
2、如何判定一个三角形是直角三角形（1）先确定最大边（如c）（2）验证c与a+b则△ABC不是直角三角形。
3、勾股数 满足c=a+b的三个正整数，称为勾股数 如（1）3，4，5；（2）5，12，13；
（3）6，8，10；（4）8，15，17（5）7，24，25（6）9, 40, 412、三角形的三边长为abcba2)(22+=+,则这个三角形是()
A.等边三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.锐角三角形
3.已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）
（A）25（B）14（C）7（D）7或25
6.将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是()（A）钝角三角形
（B）锐角三角形（C）直角三角形（D）等腰三角形.7.如图小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD的面积是()
（A）25（B）12.5（C）9（D）8.54、将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱 形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则h的取 值范围是（）．
A．h≤17cmB．h≥8cmC．15cm≤h≤16cmD．7cm≤h≤16cm3、如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2m，梯子的顶端B到地面的距离为7m，现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于3m．同时梯子的顶端B下降 至B′，那么BB′（）．
A．小于1mB．大于1mC．等于1mD．小于或等于1m11、如图，甲船以16海里/时的速度离开港口，向东南航行，乙船在同时同地向西南方向航行，已知他们离开港口一个半小时后 分别到达B、A两点，且知AB＝30海里，问乙船每小时航行多少 海里
古人对勾股定理的研究 篇6
古埃及人在4500年前建造金字塔和测量尼罗河泛滥水退去后的土地时, 就广泛地使用了勾股定理.古巴比伦 (公元前1800到前1600年) 的数学家也提出许多勾股数组.数学史上普遍认为最先证明这个定理的是古希腊数学家、哲学家———毕达哥拉斯, 所以很多数学书上把此定理称为毕达哥拉斯定理.中国古代称直角三角形的直角边为勾和股, 斜边为弦, 故此定理称为勾股定理.
勾股定理是中国古代天文观测实践中立竿测影的重大发现, 在中国古代数学、天文历法和工程中运用极其广泛, 影响深远.中国古代数学家称直角三角形为勾股形, 把直角三角形中较短的直角边叫做勾, 较长的直角边叫做股, 斜边叫做弦, 因而更普遍地称为勾股定理.
《周髀算经》中记录商高同周公的一段对话.书上记载:“……故折矩, 勾广三, 股修四, 径隅五.既方之, 外半其一矩, 环而共盘, 得成三四五.两矩共长二十有 (通“又”) 五, 是谓积矩.”所以又被称为“商高定理”.三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理做出了详细注释, 又给出了另外一个证明.
在公元前7至6世纪, 周公以后的学者陈子曾经给出过任意直角三角形的三边关系, 即“以日下为勾, 日高为股, 勾、股各乘并开方除之得斜至日”.
在陈子后一二百年, 希腊的著名数学家毕达哥拉斯发现了这个定理, 因此, 世界上许多国家都称勾股定理为“毕达哥拉斯定理”, 传说中为了庆祝这一定理的发现, 毕达哥拉斯学派杀了一百头牛感谢神灵, 因此这个定理又有人叫做“百牛定理”.
“勾股定理”中的数学思想 篇7
请在每题后的直线上填出该例运用了何种数学思想.
【例1】已知一个直角三角形的两边长分别为3和4,求第三边长.
【点评】在题目没有指明斜边、直角边的情况下,要先确定斜边、直角边.
本例运用了＿＿(填数学思想)
【例2】已知,如图,折叠长方形的一边AD使点D落在BC边的点F处,已知AB=8cm,BC=10 cm,求ED的长.
【分析】先求出BF、CF,再设EF=ED=x,则CE=8-x,在Rt△CEF中可根据勾股定理列方程.
【点评】折叠问题的本质是轴对称(全等性、对称性),要找出隐含的折叠前后的位置关系和数量关系,然后再应用勾股定理列方程.
本例运用了＿＿(填数学思想).
【例3】如图,用硬纸板做成了两个全等的直角三角形,两直角边的长分别为a和b,斜边长为c,又做了一个以c为直角边的等腰直角三角形,你能将它们拼成一个能证明勾股定理的图形吗?(1)如果能,请你画出拼好的示意图,写出它是什么图形?(2)用这个图形证明勾股定理.(3)假设有若干个两直角边的长分别为a和b的直角三角形,你能运用它们拼出其他能证明勾股定理的图形吗?如果能,请画出拼后的示意图.(无需证明)
【分析】勾股定理的证明要运用拼图法来做,以形求数,数形结合.
(1)解:如图,可拼成直角梯形.
(3)解:可以,所拼图形如下:
【点评】这道题关键要熟练掌握课本勾股定理证明涉及的几种常见的图形以及证明过程和等面积法,抓住＿＿思想.
【例4】如图有两棵树,一棵高7米,另一棵高2米,两树相距24米,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,至少飞了多少米?
【分析】首先要把实际问题化为包含直角三角形的数学问题,再联系图形直接用勾股定理解答.
答:小鸟至少飞了25米.
【点评】解答勾股定理的实际应用题,首先要审清题意,然后找出试题情景中涉及的直角三角形,再结合勾股定理便可以求出了.
本例运用了＿＿(填数学思想).
【例5】如图,在等腰△ABC中,∠ACB=90°,D、E为斜边AB上的点,且∠DCE=45°.
求证:DE2=AD2+BE2.
【分析】要证明三边的关系,就要将边转移到一个三角形中,可以通过旋转构造直角三角形,运用勾股定理.
证明:把△ACD绕点C逆时针旋转90°得△BCF,则△ACD≌△BCF,BF=AD,CF=CD,∠CBF=∠CAD=45°,∠DCF=90°.∵∠DCF=90°,∠DCE=45°,∴∠DCE=∠FCE=45°,∵CF=CD,∠DCE=∠FCE=45°,CE=CE,∴△CDE≌△CFE,∴FE=DE,∵在等腰△ABC中,∠ACB=90°,∴∠CBA=45°,∴∠EBF=∠CBA+∠CBF=90°,在Rt△EBF中,由勾股定理得:FE2=BF2+BE2,∵FE=DE,BF=AD,∴DE2=AD2+BE2.
【点评】勾股定理是求线段关系的一种很重要的方法,若图形缺少直角条件,可通过作辅助垂线的方法,构造直角三角形.这题关键要利用旋转变换,将三边转移到一个三角形中,并构造直角三角形.
勾股定理——数形结合的纽带 篇8
一、勾股定理在直角三角形中的直接运用
例1 (2014·珠海市) 如图1, 在等腰Rt△OAA1中, ∠OAA1=90°, OA=1, 以OA1为直角边作等腰Rt△OA1A2, 以OA2为直角边作等腰Rt△OA2A3……则OA4的长度为______.
【分析】利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理分别求出各边长, 进而得出答案.
解:∵△OAA1为等腰直角三角形, OA=1,
∵△OA1A2为等腰直角三角形,
∵△OA2A3为等腰直角三角形,
∵△OA3A4为等腰直角三角形,
答案:4.
【点评】此题主要考查了等腰直角三角形的性质以及勾股定理, 熟练应用勾股定理是解题关键.
二、勾股定理在梯形中的综合运用
A.8 B.9
【分析】利用勾股定理列式求出AE, 再根据两直线平行, 内错角相等可得∠DAE=90°, 然后利用勾股定理列式计算即可得解.
故选C.
【点评】本题考查了梯形、勾股定理, 是基础题, 熟记定理并确定所求的边所在的直角三角形是解题的关键.
三、勾股定理在图形变换中的运用
1.勾股定理在旋转变换中的运用
∴图中阴影部分的面积等于:
【点评】此题主要考查了旋转的性质以及等腰直角三角形的性质等知识, 得出AD、AF、DC′的长是解题关键.
2.勾股定理在翻折变换中的运用
例4 (2014·达州市) 如图4, 折叠矩形纸片ABCD, 使点B落在边AD上, 折痕EF的两端分别在AB、BC上 (含端点) , 且AB=6 cm, BC=10 cm.则折痕EF的最大值是______cm.
【分析】判断出点F与点C重合时, 折痕EF最大, 根据翻折的性质可得BC=B′C, 然后利用勾股定理列式求出B′D, 从而求出AB′, 设BE=x, 根据翻折的性质可得B′E=BE, 表示出AE, 在Rt△AB′E中, 利用勾股定理列方程求出x, 再利用勾股定理列式计算即可求出EF.
解:如图5, 点F与点C重合时, 折痕EF最大,
由翻折性质得, B′C=BC=10 cm,
在Rt△B′DC中,
设BE=x, 则B′E=BE=x,
在Rt△AB′E中,
在Rt△BEF中,
【点评】本题考查了翻折变换的性质、勾股定理的应用, 难点在于判断出折痕EF最大的情况, 并利用勾股定理列方程求出BE的长, 作出图形更形象直观.
四、阅读型题———勾股定理的证明
例5 (2014·温州市) 勾股定理神秘而美妙, 它的证法多样, 其巧妙各有不同, 其中的“面积法”给了小聪以灵感.他惊喜地发现:当两个全等的直角三角形如图6或图7摆放时, 都可以用“面积法”来证明.下面是小聪利用图6证明勾股定理的过程:
将两个全等的直角三角形按图6所示摆放, 其中∠DAB=90°, 求证:a2+b2=c2.
证明:连接DB, 过点D作BC边上的高DF, 则DF=EC=b-a,
又∵S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB
请参照上述证法, 利用图7完成下面的证明:
将两个全等的直角三角形按图7所示摆放, 其中∠DAB=90°.
求证:a2+b2=c2.
【分析】首先连接BD, 过点B作DE边上的高BF, 则BF=b-a, 表示出S五边形ACBED, 进而得出答案
证明:如图8, 连接BD, 过点B作DE边上的高BF, 则BF=b-a,
例谈勾股定理的应用要点 篇9
一、分清直角边和斜边
直角三角形的三边关系并不是任意的, 在公式c2= a2+ b2中, c所表示的是斜边, a, b分别是直角三角形的两条直角边, 也就是斜边的平方等于两条直角边的平方的和. 很多学生在解决问题时没有分清这三个字母的区别, 在给图形标上字母的时候没有注意正确性和对应性, 在实际问题中没有认真分析不同字母所表示的是哪条边, 很容易就导致错误.
例1在直角三角形中, ∠A = 90°, a = 13 cm, b = 5 cm, 求以c为边长的正方形的面积.
错解根据c2 = a2 + b2 得:c2 = 132 + 52 = 194. -
所以, 所求正方形的面积为194 cm2.
分析导致这种错误是因为学生们在看到字母之后没有加以分析, 而直接代入到公式中进行计算, 忽略了实际问题中字母所表示的具体量. 公式中的字母c是代表斜边, 但在本题中, 由于条件∠A = 90°, 直角所对的边a才是斜边, 因此公式应为c2= a2- b2= 132- 52= 144, 所求正方形的面积为144 cm2.
二、明确勾股定理的适用条件
在一些三角形的三边问题中, 要使用勾股定理进行解答, 首先要确保该三角形是直角三角形. 其他任意三角形并不适用勾股定理, 部分学生很容易忽视这一点. 不管是不是直角三角形, 看到关于边的问题就乱用勾股定理, 同样也是错误的.
例2在一个边长为整数的△ABC中, AC = 4 cm, BC = 3 cm, 且AB > AC, 求第三条边AB的长.
错解根据勾股定理可得:
分析出现上面这种错误是因为学生们一看到关于三角形的边长问题就想到了勾股定理, 而没有仔细分析这个三角形是否能利用勾股定理来解决, 忽视了勾股定理的适用条件. 在这道题中, 由于没有说明三角形是直角三角形, 那我们只能根据一般三角形的三边关系来求出第三边, 根据“两边之和大于第三边”得到, 即4 < AB < 7, 又因为AB的长度是一个整数, 所以AB的值可以是5 cm或6 cm.
三、对不明确的三边关系要全面考虑
在一些直角三角形中, 如果题目没有明确说明哪条边是斜边或哪个角是直角, 那么就要仔细分析和全面考虑可能存在的情况, 很多学生会忽略这一点.
例3在一个直角三角形中, 有两条边分别为3 cm和4 cm, 那么这个三角形的周长是多少?
错解设三角形的斜边为c, 则c2 = a2 + b2 = 32 + 42, 解得c = 5, 所以三角形的周长:3 + 4 + 5 = 12 (cm) .
分析很多学生认为这道题目很简单, 直接口算都能搞定, 因为给出的这组勾股数很典型, 马上能想到另一条边为5.造成这种错误的原因主要就是学生们在分析这个问题的时候没有全面考虑, 根据平时常见的勾股数3, 4, 5, 直接就把3, 4当成了两条直角边的长度, 然后利用勾股定理求出斜边的长. 在这里, 题目并没有指出哪一条边是直角边或斜边. 因此, 斜边存在两种情况, 可以是所求的第三条边是斜边, 也可以是长度为4的这条边为斜边, 那么本题的答案就有两种情况. 除了上面解答中的这种, 还有c2= 42- 32, 解得三角形的周长为
四、对三角形的高的位置要做好分类
三角形的高可以在三角形内, 也可以在三角形外, 很多没有给出图形的一些题目, 需要学生们自己画图, 那就要注意不能只画特殊三角形, 也要考虑到一些很普通的三角形. 我们都习惯画一些锐角三角形, 比较少画钝角三角形, 而三角形的高, 我们也习惯把它画在三角形内, 就因为这样, 在解题中常常会漏掉一些情况.
例4在△ABC中, AB = 20, AC = 15, BC边上的高 为12, 求△ABC的周长.
分析上述解法是不全面的, 这也是很多学生都会犯的错误, 学生们的思维定式导致他们只画出了图1的形式, 而忽略了图2的形式, 在图2中, 三角形的高在三角形外, 此时三角形为一个钝角三角形, 而BC的长刚好是BD - CD = 16 - 9 = 7 , 则三角形的周长为20 + 15 + 7 = 42. 因此, 本题有两个解, 分别是60和42.