二项式定理的基本应用

二项式定理的基本应用（通用12篇）

二项式定理的基本应用 篇1

平面向量问题在高中数学中一直以一种数学工具的形式出现, 在很多的数学内容中都涉及了这一问题, 与此同时在进行向量问题研究时, 很多其他的数学知识也被大量的应用, 从这点来看, 向量问题很好的体现出了数学知识间的相互联系和迁移.具体到向量问题, 在高考中的考查越来越频繁, 其中以平面向量基本定理的考查最为突出, 占据了高考向量内容的大部分内容.

所谓平面向量基本定理指的是:a, b是同一平面内的两个不共线的向量, 那么对于这一平面内的任一向量c来说, 有且仅有一组数x, y, 能够满足c=xa+yb, 在这其中a, b被称为这一平面内所有向量的一组基底.

对定理的理解:

(1) 实数对 (a, b) 存在的唯一性:平面内任一向量c均可以用给定的基底a, b线性表示成c=xa+yb, 且这种表示是唯一的, 其集合意义是任一向量都可以两个不平行的方向分解成两个向量的和, 且分解是唯一的.

(2) 基底的不唯一性:平面内任意两个向量, 只要不共线, 便可以作为平面内全体向量的一组基底.

(3) “定理”展性:“定理”以二维向量空间为依托, 可以拓广到n维向量空间.

从以往高考对平面向量定理的考查角度来说, 主要从以下几个方面进行考查:第一, a, b作为平面向量基底时的限制条件;第二, 对于定义中x, y存在的唯一性的理解与记忆;第三, 通过平面向量基本定理的定义, 解决向量的线性问题.这三方面的考查在高考中经常出现, 因此本文主要从这三点出发, 通过典型的实例对其进行讲解.

例1 已知f1, f2是某一平面向量的基底, 如果a=f1+λf2, b=-2λf1-f2同样也是一组平面向量的基底, 那么λ∈.

解析 从这道例题我们可以得到这样的限制条件, 因为a, b是平面向量的基底, 所以我们可以从平面向量基本定理的定义出发得到, a, b不能够共线, 用数学公式来表示就是b=μa (μ∈R) , 将已知的式子代入就可以得到-2λf1-f2=μ (f1+λf2) , 将式子整理后得到:-2λ=μ, -1=μλ.解这一方程组我们可以得到undefined, 因此这一例题的答案也就得到了, 即是undefined

总结 要想将两个向量当作是某个平面向量的基底, 就必须要满足这两个向量不共线这一个充分必要条件, 不共线的数学判别式为b=μa (μ∈R) 这个式子不成立, 在对平面向量的基本定理的理解时应该充分注意到这一点.将这一点作为平面向量最基础的知识, 牢牢掌握.

例2 在某一平面N中有这样两个向量a, b, 它们彼此不共线, 而向量c是平面N中的任意向量, 那么关于x的方程:ax2+bx+c=0的解的情况是____.

解析 通过题目的已知条件分析, 因为ax2+bx+c=0, 所以可得到c=-ax2-cx.又因为c是平面中的任意向量, 所以可以得到c=λa+μb, 并且对于特定的c而言, λ, μ是唯一的, 那么我们就可以得到-x=μ, -x2=λ, 经过整理后我们很容易能够得到-λ=μ2.又由于c是任意一个向量, 所以我们可以推出x最多只能有一个解.

总结 通常将这样平面向量与一元二次方程相结合的题目放在学生面前时, 学生常常会按照以前的思维定式根据所给的方程去求解其对应的Δ, 然后再根据Δ与0的关系来判断根的情况, 如果Δ大于0, 那么就有两个根, 如果Δ小于0, 那么就没有根, 如果Δ等于0, 那么就有两个相等的根.但是采用这样传统的方法并不能求得最终的结果, 经过分析不难看出产生这种错误思维的一个重要原因就是, 学生根本没有充分的理解和掌握平面向量基本定理的概念, 没有形成一种用向量的定理去分析问题的思维.因此, 学生在平时学习和做题的过程中应该充分的理解和掌握平面向量基本定理的概念, 并能够利用它进行一些相关题目的解答.

例3O是△ABC的外心, 并且这个三角形的边undefined, 如果undefined, 那么 (x, y) =____.

分析 经过分析我们可以作出上面的图形, 根据平行四边形法则, 也就是需要计算出平行四边形AMON的两条边AM, AN的长度就可以了, 我们可以利用三角形的有关知识对其进行求解.

解 根据余弦定理我们可以很容易得到:

undefined

undefined

undefined

∴该题目的结果undefined

总结 这一类型的问题是一种平面向量基本定理的基本应用方式, 关系到两个不共线的向量线性问题的使用方法, 通常情况下这种条件下有两种较为常用的方法, 即利用三角形的有关知识, 将平面向量的问题转换成几何性质的问题进行解答;另外一种就是创建一个平面直角坐标系, 将原有的集合问题转换成代数的形式, 这种方法是一种典型的数形结合的方法, 在数学中应用较为常见.学生在刚开始接触这道例题时很难找到相应的解题方法, 但是如果采用以上两种方法中的任意一种方法, 都可以轻易地找到突破口, 下面的关键问题就是在于运算上的准确性了.

上述例题经过简单的转化后还可以成为这样一道例题:

例4 已知O是三角形的外心, 且AB=2, AC=3, x+2y=1, 如果undefined, 且xy≠0, 那么cos∠BAC=____.

分析 这道题目利用集合的方法进行解答的话存在一定的困难, 因此我们可以考虑利用建立平面直角坐标系的方法进行求解.

解 设∠BAC=α, 点M, N分别为AB, AC的中点, 那么, B (2cosα, 2sinα) , C (3, 0) , 假设点undefined

∵已知ON⊥AB, 而且将AB平分,

undefined

点O的坐标为undefined

又 ∵已知undefined, 且xy≠0, 将其代入就可以得到方程组:undefined

又 ∵x+2y=1, 将其代入就可以得到undefined

上述这种解题方法在日常的练习中经常看到, 但是这种方法的运算量较大, 学生在具体运算的时候很容易出现错误, 尤其在考试的时候, 常常花费了大量的时间, 但是最后却在这道题上拿不到分.我们还可以利用下面这种更加简便的方法.

通过仔细观察x+2y=1这一式子, 我们能够联想到这样一个定理:undefined不共线, 那么要想使A, B, C三点共线的充分必要条件就是, 有这样一个实数组x, y, 能够使undefined, 与此同时满足x+y=1.

根据这一定理, 上述这一例题就可以这样来解:因为undefined, 又因为x+2y=1, 所以, 点O, B, M处于同一条直线上, 也就是说BM垂直平分AC, 所以, △BAC是一个等腰三角形, 那么根据余弦定理可知, undefined

总结 上述这一定理在向量问题中的应用较为广泛, 在多次的高考题目中都有出现和应用, 平面向量定理与共线向量定理二者相互结合应用, 能够使一些原本复杂的问题变得简单、明了, 对于学生灵活掌握向量问题有着重要的意义和作用.

4.平面向量基本定理除了上述的一些应用方法外, 在一些证明性的题目中也有广泛的应用.

例5 已知a, b, c三者都不为0, 并且 (a·b) c= (b·c) a=0, 证明:a//c.

证明 如果a, c两者之间不是相互平行, 那么由已知 (a·b) c= (b·c) a=0, 就能够得到a·b=b·c=0.又因为b=λ1a+λ2b (λ1, λ2∈R) , 在等式的两边同时与b做数量积就能够得到这样的等式b2=λ1 (a·b) +λ2 (b·c) =0, 那么很显然得到b=0, 这样与题目给出的已知条件正好相反.所以a//c.

例6 已知向量undefined和undefined是两个不共线的向量, 点P是直线P1P2上P1, P2以外的点, 并且满足undefined, 证明:x+y=1.

证明 ∵从已知可以看出, P1, P2, P三点在同一条线上,

∴就会存在这样一个数α∈R使得undefined, 亦即undefined.根据平面向量基本定理概念中实数对的唯一性, 我们可以得到以下方程组:undefined

总之, 向量是“形”与“数”的结合体, 用来表示一个既有大小又有方向的量, 是几何与代数知识的交会点.由于这种独特的“数形”特征, 决定了向量具有几何形式和代数形式的双重身份, 所以运用向量方法解题, 能使问题的解决形象化、算法化、简洁化.运用平面向量基本定理解决向量有关问题时, 关键是对于概念的深刻理解并注意灵活运用, 这样, 在夯实基础的同时, 将提高我们的综合运用能力和创新能力.

摘要：在高中数学教学中平面向量一直是一个重点内容, 这一部分的内容在数学各个方面都有较广的应用, 重视这一方面内容的学习对于学生数学成绩的提高有着重要的意义.本文主要从平面向量的基本定理出发, 利用各种教学中的实例, 针对其在向量内容中的应用进行探讨.

关键词：平面向量,基本定理,应用

参考文献

[1]唐兴中.平面向量基本定理及其应用.中学数学月刊, 2007 (9) .

[2]朱峰.平面向量基本定理的应用.中学数学月刊, 2003 (5) .

[3]钱照平.关于平面向量基本定理的几个结论.中学数学教学, 2009 (6) .

二项式定理的基本应用 篇2

1.知识与技能：

了解平面向量基本定理及其意义, 理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示；能够在具体问题中适当地选取基底,使其他向量都能够用基底来表示。

2.过程与方法：

让学生经历平面向量基本定理的探索与发现的形成过程,体会由特殊到一般和数形结合的数学思想，初步掌握应用平面向量基本定理分解向量的方法，培养学生分析问题与解决问题的能力。

3.情感、态度和价值观

通过对平面向量基本定理的学习,激发学生的学习兴趣,调动学习积极性,增强学生向量的应用意识,并培养学生合作交流的意识及积极探索勇于发现的学习品质.二、教学重点：平面向量基本定理.三、教学难点：平面向量基本定理的理解与应用.四、教学方法：探究发现、讲练结合五、授课类型：新授课

六、教 具：电子白板、黑板和课件

七、教学过程：

（一）情境引课，板书课题

由导弹的发射情境，引出物理中矢量的分解，进而探究我们数学中的向量是不是也可以沿两个不同方向的向量进行分解呢？

（二）复习铺路，渐进新课

在共线向量定理的复习中，自然地、渐进地融入到平面向量基本定理的师生互动合作的探究与发现中去，感受着从特殊到一般、分类讨论和数形结合的数学思想碰撞的火花，体验着学习的快乐。

（三）归纳总结，形成定理

让学生在发现学习的过程中归纳总结出平面向量基本定理，并给出基底的定义。

（四）反思定理，解读要点

反思平面向量基本定理的实质即向量分解，思考基底的不共线、不惟一和非零性及实数对的存在性和唯一性。

（五）跟踪练习，反馈测试

及时跟踪练习，反馈测试定理的理解程度。

（六）讲练结合，巩固理解

即讲即练定理的应用，讲练结合，进一步巩固理解平面向量基本定理。

（七）夹角概念，顺势得出

不共线向量的不同方向的位置关系怎么表示，夹角概念顺势得出。然后数形结合，讲清本质：夹角共起点。再结合例题巩固加深。

（八）课堂小结，画龙点睛

回顾本节的学习过程，小结学习要点及数学思想方法，老师的“教 ”与学生的“学”浑然一体，一气呵成。

（九）作业布置，回味思考。

布置课后作业，检验教学效果。回味思考，更加理解定理的实质。

七、板书设计：

1.平面向量基本定理：如果

是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，使

.2.基底：

(1)不共线向量

叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；

(2)基底：不共线，不唯一，非零

(3)基底给定，分解形式唯一，实数对

存在且唯一；

(4)基底不同，分解形式不唯一，实数对

可同可异。

例1 例2

3.夹角

：

（1）两向量共起点；

（2）夹角范围：

例3

4.小结

实数基本定理的等价性探讨 篇3

关键词:实数基本定理连续性 等价性

中图分类号:O171文献标识码:A文章编号:1674-098X(2011)01(b)-0132-01

1 引言

实数系六个基本定理:

定理1:(确界存在定理)有上界的非空数集必有上确界,有下界的非空数集必有下确界。

定理2:(单调有界定理)单调有界数列必有极限。

定理3:(区间套定理)设一无穷闭区间列适合下面两个条件:(Ⅰ)后一区间在前一区间之内,即对任一正整数,有,(Ⅱ)当时,区间列的长度所成的数列收敛于零,即,则区间的端点所成的两数列及收敛于同一极限,并且是所有区间的唯一公共点。

定理4:(有限覆盖定理)若开区间所成的区间集覆盖一个闭区间,则总可以从中选出有限个区间,使这有限个区间覆盖。

定理5:(致密性定理)任一有界数列必有收敛的子列。

定理6:(柯西收敛原理)数列有极限的必要与充分条件是:对任意给定的＞0,有一正整数,当时,有。

本文主要研究内容是在传统的论证方法的基础上,从一种新的角度去认识六个实数基本定理的等价性。由确界存在定理单调有界定理区间套定理有限覆盖定理致密性定理柯西收敛原理确界存在定理的循环推证,证明了这六个实数基本定理是等价的。

2 实数基本定理等价性的论证

2.1 确界存在定理单调有界有极限定理

单调有界定理具体可描述为:

若是单调增加的有界数列,则必有极限,且。

若是单调减少的有界数列,则必有极限,且

2.2 单调有界有极限定理区间套定理

证明:数列是单调增加且有上界,数列是单调减小且有下界。由单调有界定理得,数列收敛,即存在,且。同样,数列也收敛,存在,且。故对任何正整数,有,。又=。

设是它们的同一极限,由,可知是所有区间的一個公共点,且是唯一的。

2.3 区间套定理有限覆盖定理

证明(用反证法):设是区间的一个覆盖,但没有的有限子覆盖。记,二等分,则必有一区间没有的有限子覆盖,记其为。二等分,则必有一区间没有的有限子覆盖,记为。如此继续下去,得到一组实数的闭区间序列。且构成一个区间套,且每个都没有的有限子覆盖。则由区间套定理存在唯一的实数,使得。又由上区间套定理的证明可知,其中。故,使得,,即。设,则,所以即有覆盖。这与没有的有限子覆盖的构造矛盾,故必有的有限子覆盖。

2.4 有限覆盖定理致密性定理

证明(用反证法):设数列有界,即,且,有,。如果无收敛子数列,则对,使得只有有限个。如果不然,即,对,有中有无限个。选定,再选,使。再取,使。如此继续下去,便得到的一子数列。令,则有=。

从而,令则显然,由有限覆盖定理知,其中。而只包含的有限项。这与矛盾,所以必有收敛子数列。证毕。

2.5 致密性定理柯西收敛原理

证明:①必要性:设在实数系中,数列有极限存在,设,则,,使得只要,有。因此只要,就有。

②充分性:设在实数系中,数列满足:,,当时,有。事实上是有界的且有极限存在。证毕。

2.6 柯西收敛原理确界存在定理

证明:设是非空实数集的一个上界。因为实数集非空,故任取,有,现把闭区间两等分,若区间的中点是的上界,则令,=,否则令=,,于是得闭区间,其中也是的上界,且;用同样的方法对区间处理,将上述过程无限进行下去,于是得一闭区间列,当时有==,由柯西收敛准则知实数列收敛,不妨设。且易知即是的上确界。证毕。

同理可证“有下界的非空实数子集必有下确界”。

3 结语

实数系的这六个基本定理从不同的角度刻画了实数系的连续性。它们不仅是描述实数系连续性的不同数学表达形式,又是以后函数连续性质证明的理论基础。本文以单向循环的方式对实数连续性六个定理的等价性进行证明,旨在用完整而简明的思路说明实数连续性定理的相互等价关系,从而给出认识等价性的一种新视角。

参考文献

[1] 陈传璋,金福临,朱学炎,欧阳光中.数学分析[M].北京:高等教育出版社,1983(2):94-107.

[2] 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社,1993:56-62.

[3] 马红芳,喻雪.实数连续性命题的等价性[J].高等函授学报(自然科学版),2004,18(5)28-30.

[4] 毛羽辉.数学分析选论[M].北京:科学出版社,2003:10-20.

[5] 常庚哲,史济怀.数学分析教程[M].江苏:江苏教育出版社,1998:25-29.

[6] 刘玉琏,傅沛仁.数学分析讲义[M].北京:高等教育出版社,1992(3):124-135.

若干基本定理的新角度证明 篇4

关键词：矩阵的秩定理,有限开覆盖定理,欧拉定理,可数集,隐函数组定理

然而在教学中不是一件容易的事, 在本科教学中有好多学生对一些基本定理的理解显然不足, 没有自己的看法和思路, 甚至勉强承认书本中的逻辑式的证明, 对定理的本质没有一点“感觉”, 很难转化为自己的东西. 为此在比较了中西方许多教科书之后, 针对其中的一些基本定理, 摈弃一些传统的固定模式的证明, 从新角度给予阐释, 目的在于把命题的本质“自然”“看得见的”呈现在读者面前, 弄清楚是什么, 是怎么回事, 一旦明白了本质, 证明只是一件简单严格叙述的事情罢了, 从而帮助本科生更好地理解学习.

1. 矩阵的秩定理

矩阵的行秩和列秩相等.

这是高等代数里非常基本的性质定理之一, 大部分教材是通过客观的证明行秩小于等于列秩, 列秩小于等于行秩来证明行秩与列秩相等. 我们通过矩阵本身最基本的初等变换, 给出一种自然的看法.

让我们先看看最简单的一般形式的梯形矩阵吧.

这显然行秩等于列秩, 实际上就是1的个数. 那让我们再看看普通的矩阵:

和梯形矩阵 ( 1) 的关系.

很显然, 任何一个矩阵 ( 2) 都可以通过有限次初等变换变成 ( 1) .

那反过来呢? 因为初等变换的过程是可逆的, 所以由相对应的 ( 1) 反过来可以经过有限次初等变换成原来的 ( 2) .

因为梯形矩阵 ( 1) 的行秩与列秩是相等的, 故我们只需验证初等变换不改变行秩与列秩就可以了. 下面给出简单的证明.

2. 有限开覆盖定理

若为闭区间上的一个开覆盖, 则存在有限开覆盖.

这是数学分析教材里最基本的定理之一, 也是实数完备性定理之一. 实数的完备性可以说是数学中基础的基础.正确地理解实数的完备性无疑是本科生的重点和难点. 但是一般的教材里的证明都让学生感觉很生涩, 如果理解不到位还会让学生感觉只是逻辑的堆砌, 完全看不出生活中实数的自然性, 也不理解这样做的原因. 大部分教材如《数学分析》 ( 华东师范大学出版社) 里的证明一般都是用分割的方法, 我们考虑另一种形象的看法, 然后给出一个自然的证明.

实际上我们搞清楚定理在说什么就可以了. 什么是一个开覆盖? 条件说存在一个开覆盖, 承认存在开覆盖的同时实际上也承认了什么?

既然闭区间存在开覆盖, 那当然区间里任一点都存在相应的开区间覆盖它, 从而这个点和覆盖它的开区间的右边端点有个距离, 比如, 从点a开始, 任取一个覆盖它的开区间, 有个距离. 我们取所有这些距离里最大的, 也就上确界, 记为, 如果点仍落在闭区间内, 可以接着进行下去取最长的距离, 依次类推. 这时候只需注意到条件说存在开覆盖, 也就意味着这些不断取到的点总可以超过点b ( 想想为什么? 如果永远都到达不了点b, 又怎么会有开覆盖呢? 因为这已经是按照最大方式接近点b了) , 从而当然一定有限! 也就是说实际上这些暗含的信息是等价的, 搞清楚这些剩下的就是严格叙述的事了.

3. 可数个可数集的并是可数集

设一组集合, 若每个为可数集, 则为可数集.

这个命题是实变函数教材里最基本的命题之一, 关乎学生以后对分析的理解和运用. 虽然很简单, 但是事实是仍然有好多学生对集合论感觉很玄乎, 比如选择公理之类的, 以至于对这个命题也感觉可对可错. 这种想法实际上是不对的. 此命题是严格正确的, 证明方法有很多, 比如Rudin的数分析原理里的证明就是用下标标号法, 实际上还可以更直接的去看待这个问题, 可以“看得见的”去证明.

可数集的概念我们是用自然数集N来定义的, 那就直接考虑是否和N对等就行了. 下面有个很自然的看法.

4. 欧拉定理

V + F - E = X ( P) , V是多面体P的顶点个数, F是多面体P的面数, E是多面体P的棱的条数, X ( P) 是多面体P的欧拉示性数. 如果P可以同胚于一个球面 ( 可以通俗地理解为能吹胀成一个球面) , 那么X ( P) = 2. 特别的, P为凸多面体时, X ( P) = 2.

一般的教材中有很多证明, 比如《整体微分几何初步》 ( 沈一兵) , 用到微积分、微分形式等. 针对凸多面体, 下面给出一种自然的初等的看法.

参考文献

[1]常庚哲, 史济怀.数学分析教程.第三版.高等教育出版社.

[2]王萼芳, 石生明.高等代数.第三版.高等代数出版社.

[3]华东师范大学数学组.数学分析.第三版.华东师范大学出版社.

[4]Walter Rudin.The Principles Of Mathematics.Third Edition.机械工业出版社.

[5]沈一兵.整体微分几何初步.第一版.高等教育出版社.

[6]Artin.algebra.

[7]Vladimir A.Zorich.Mathematical Analysis I.Springer, 2010 (3) .

[8]Zberhard Zeidler.Applied Functional Analysis:Applications to Mathematical Physics.Spriner Third Edition.

平面向量基本定理(教学设计) 篇5

教学设计

教材分析：

分析基本定理在教材中的作用，让学生有目标性地学习． 教学目标：

1．通过作图法理解并掌握平面向量基本定理的内容及含义．

2．深刻理解向量的基底表示的意义及作用，会将平面内的任意一个向量用一组基底表示． 2．理解平面上两个向量的夹角的概念及范围，掌握平面内两个向量的位置关系． 3．会用平面向量基本定理解决向量相互表示的问题． 教学重难点：

重点：平面向量基本定理的内容，向量基底的意义及应用； 难点：平面向量基本定理的应用．

教学方法：CAI课件、图形模拟法、形成性归纳与总结． 课时安排：1课时． 教学过程： Ⅰ 新课导入

【回顾】：向量数乘运算．（重点回顾几何意义及作图方法）【图片】：

幻灯片1

（展示生活中许多结构与矢量的联系）

【引入】：物理中力的合成与分解．

幻灯片2

（展示物理学中力的合成与分解）

【问题】：力是物理学中的矢量，矢量也就是数学中的向量，那么平面内的任一向量a能否都可以表示成1e12e2的形式呢？

Ⅱ 新课讲授

一、知识点精讲 1．作图分析

幻灯片3 幻灯片4 2．形成结论

幻灯片5 幻灯片6 3．练习

幻灯片7 Ⅲ 课时小结

本节课学习了平面向量的基本定理，注意基本定理的应用与向量的互相表示，这是重点，也是难点，同时还是以后学习向量坐标运算以及空间向量的基础． Ⅳ 课后作业

（两个例题，巩固练习）

（归纳整理向量夹角的定义）

（动态展示向量的合成与分解）

（学生训练）

（归纳整理平面向量基本定理的内容）

微积分基本定理的解读与活用 篇6

一、对微积分基本定理的解读

1. 根据定积分的定义求定积分，往往比较困难，而利用上述定理求定积分比较方便.

2. 利用微积分基本定理计算定积分[abfxdx]的关键是找到满足[Fx=fx]的函数[Fx].通常，我们可以运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出[Fx].

3. 在微积分基本定理中，函数[Fx]叫做函数[fx]在区间[a,b]上的一个原函数.因为[[Fx+c]=Fx]（其中[c]为任意常数），所以[Fx+c]也是函数[fx]的原函数.求导数运算与求原函数运算互为逆运算.

二、微积分基本定理的活用

1. 计算定积分

例1 计算定积分：[0π2sin2x2dx].

分析 利用定积分的性质及微积分基本定理求定积分时，有时需先化简，再求积分.

解 [0π2sin2x2dx=0π21-cosx2dx]

[=0π212dx-0π2cosx2dx]

[=12xπ20-12sinxπ20=12π2-0-12sinπ2-sin0]

[=π4-12=π-24].

点拨 本题先利用降幂公式对被积函数进行降幂后，再利用定积分的性质及微积分基本定理进行计算.

例2 计算定积分：[-332x+3+3-2xdx].

分析 这类定积分不能直接积分，也不能换元转化，只能变换被积函数去掉其中的绝对值符号，应用定积分的性质，分区间讨论.

解 设[y=2x+3+3-2x=-4x x≤-32,6 -32

[∴-332x+3+3-2xdx]

[=-3-32-4xdx+-32326dx+3234xdx]

[=-2x2-32-3+6x32-32+2x2332]

[=-2×-322--2×-32+6×32]

[-6×-32+2×32-2×322=45.]

点拨 对于分段函数的定积分，可利用定积分的性质将其转化为各个小区间上的定积分的和.

2. 研究定积分中的参数问题

例3 已知[f(x)=ax2+bx+c(a≠0)]，且[f(-1)=2]，[f(0)=0]，[01f(x)dx=-2]，求[a]、[b]、[c]的值.

分析 根据三个条件列出三个方程，解方程组即可求出[a]、[b]、[c]的值．

解 由[f(-1)=2]得，[a-b+c=2]. ①

又[f(x)=2ax+b]，∴[f(0)=b=0]. ②

而[01f(x)dx=01(ax2+bx+c)dx]

[=(13ax3+12bx2+cx)10][=13a+12b+c=-2]．③

联立①②③，解得[a=6]，[b=0]，[c=-4]．

点拨 本题主要考查函数知识间的联系，同时考查了导数、定积分等基本运算能力．解答本题的方法是：根据题设条件，列出方程组，通过解方程组求[a]、[b]、[c]的值．

例4 设[fx=ax+b]，且[-11[fx]2dx=1]，求[fa]的取值范围.

解析 由[-11[fx]2dx=1]可知，

[-11ax+b2dx=-11a2x2+2abx+b2dx]

[=a23x3+abx2+b2x1-1=1].

即[2a2+6b2=3]且[-22≤b≤22].

于是[fa=a2+b=-3b2+b+32=-3b-162][+1912]，结合二次函数的图象知，[-22≤fa≤1912].

故[fa]的取值范围为[-22,1912].

点拨 先由[-11fx2dx=1]得到[2a2+6b2=3]，再由[2a2+6b2=3]得到[b]的取值范围，然后转化为关于[b]的二次函数的值域问题，注意定义域为[-22,22].

3. 求曲边梯形的面积

例5 由曲线[y=x2]和直线[x=0]，[x=1]，[y=t2]，[t∈(0,1)]所围成图形（如图阴影部分）面积的最小值为（ ）

A．[14] B．[13] C．[12] D．[23]

解析 [S=S1+S2=0t(t2-x2)dx+t1(x2-t2)dx]

[=(t2x-13x3)t0+(13x3-t2x)1t]

[=t3-13t3+13-t2-13t3+t3]

[=43t3-t2+13(0

由[S=4t2-2t=0]，解得[t=12]或[t=0]（舍去）．

当[t]变化时，[S]、[S]的变化情况如下表：

[[t]&[(0,12)]&[12]&[(12,1)]&[S]&-&[0]&[+]&[S]&↘&极小值[14]&↗&]

∴当[t=12]时，[S]取得极小值[14]，此极小值就是[S]的最小值，[Smin=14]．故选A．

点拨 本题利用定积分的几何意义、定积分的性质和微积分基本定理求出[S=43t3-t2+13(0

例6 如图所示，在一个边长为1的正方形[AOBC]内，曲线[y=x2]和曲线[y=x]围成一个叶形图（如图中阴影部分），向正方形[AOBC]内随机投一点（该点落在正方形[AOBC]内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是（ ）

A．[12] B．[13] C．[14] D．[16]

解析 全部事件的结果构成的区域面积为[S=1]，阴影部分的面积为[S0=01(x-x2)dx][=(23x32-13x3)10=13]，所以，所投点落在叶形区域内的概率为[13]．故选B．

点拨 本题是定积分与几何概型的交汇综合题，题目设计得小巧玲珑、韵味十足，体现了高考“出活题、考能力”的基本要求．

4. 求变速直线运动的路程

例7 一物体做变速直线运动，其[v-t]曲线如图所示，求该物体在[12s~6s]间的运动路程．

分析 由图可以看出物体在[0≤t<1]时做加速运动，[1≤t<3]时做匀速运动，[3≤t≤6]时也做加速运动，但加速度不同，也就是说[0≤t≤6]时，[v(t)]为一个分段函数，故应分三段求积分才能求出该物体在[12s~6s]间的运动路程．

解析 [v(t)=2t     (0≤t<1),2    (1≤t<3),13t+1  (3≤t≤6).]由变速直线运动的路程公式可得，

[s=126v(t)dt=1212tdt+132dt+36(13t+1)dt]

[=t2112+2t31+(16t2+t)63=494m．]

所以物体在[12s~6s]间的运动路程是[494m]．

点拨 用定积分解决变速直线运动的位移与路程问题时，将物理问题转化为数学问题是关键．做变速直线运动的物体所经过的路程[s]，等于其速度函数[v=v(t)(v(t)≥0)]在时间区间[[a,b]]上的定积分．因此，利用微积分基本定理求出[s=abv(t)dt]．而变速直线运动的速度函数往往是分段函数，故求积分时要利用积分的性质将其分成几段分别求．

5. 求变力所做的功

例8 如图所示，一物体沿斜面在拉力[F]的作用下由[A]经[B]，[C]运动到[D]，其中[AB=50m]，[BC=40m]，[CD=30m]，变力[F=14x+5 (0≤x≤90),20  (90

分析 从[A→B→C]是变力且力的方向与物体的运动方向不一致，故应先求出变力[F]在运动方向上的分力，从[C→D]是恒力且力的方向与物体的运动方向一致．

解析 在[AB]段运动时[F]在运动方向上的分力[F1=Fcos30°]，在[BC]段运动时[F]在运动方向上的分力[F2=Fcos45°]．

由变力做功公式得，

[W=050(14x+5)cos30°dx+5090(14x+5)cos45°dx]

[+20×30]

[=38(12x2+20x)500+28(12x2+20x)9050+600]

[=112534+4502+600≈1724J]．

点拨 解决这类问题的关键应弄清做功的力是恒力还是变力，而且要弄清力与物体的运动方向是否一致．

微积分基本定理新证 篇7

所以说, 无论是从数学思想性还是从数学实用性的角度来看, 微积分基本定理均可谓意义巨大、影响深远。

笔者将结合自身的教学实践系统地给出微积分基本定理的直观证明, 以便读者对该定理的理解更为清晰、透彻。

引理1若函数f4x4的导函数f′4x4≡0, x∈[a, b], 则必存在常数C, 使得fx4 4≡C, x∈[a, b]。

因为x1, x2是[a, b]上的任意两点, 所以上面的等式表明:

f4x4在[a, b]上函数值总是相等的, 也即是说, f4x4是闭区间[a, b]上的常值函数。

引理2若函数Fx4 4与Gx4 4均为函数fx4 4在闭区间[a, b]上的原函数, 则必存在常数C, 使得F4x4-G4x4≡C, x∈[a, b]。

证明∵F′x4=4fx4 4, G′x4=4fx4 4, x∈[a, b]

从而由引理1可知, 存在常数C,

使得Fx4-4Gx4 4≡C, x∈[a, b]。

引理3若函数f4x4在闭区间[a, b]上存在原函数, 则函数f4x4的所有原函数在闭区间上的增量均相等。

证明:只需证明函数f4x4的任意两个原函数在闭区间[a, b]上的增量相等即可。

设函数F4x4与G4x4为函数在闭区间上的任意两个原函数, 即有:

由引理2可知, 存在常数C, 使得F4x4-G4x4≡C, x∈[a, b]

由于f4x4在[a, b]上有界, 可设f4t4≤M, t∈[a, b]。

于是, 当△x>0时,

故Φ4x4在点x连续, 再由x的任意性, 可知Φ4x4在[a, b]上处处连续。

证明:对[a, b]上任一确定的x, 当△x≠0且x+△x∈[a, b]时, 由积分中值定理可知:

由于f4x4在点x连续, 故有:

注:本定理沟通了导数和定积分这两个从表面来看似乎不相干的概念之间的内在联系;同时也证明了“连续函数必有原函数”这一基本结论, 并以积分形式给出了连续函数f4x4的一个原函数。

注:积分上限函数Φ4x4与已知的F4x4作为闭区间[a, b]上连续函数f4x4的两个原函数, 那么它们在闭区间[a, b]上的增量就必然相等, 等式结论即为微积分基本公式, 也称牛顿—莱布尼兹公式。该思想简单而且直接, 从而简化了微积分基本定理的证法。微积分基本定理作为微积分中最重要的一个定理, 其特殊地位和实用价值不言而喻, 它使得一项比较繁琐的求定积分的问题 (按定义的话) 变得简洁, 尤为重要的是, 它清晰地构建了看似无关的积分与微分的密切关系, 从而使得二者统一为一个体系———微积分学。

参考文献

[1]同济大学数学系.高等数学.上册 (第六版) [M].北京:高等教育出版社, 2007.

二项式定理的基本应用 篇8

1 与“平面向量基本定理”教学相关的高等数学背景综述

1.1 向量理论是线性代数的理论基础,而线性代数是研究科技问题的重要数学工具

我们知道高中阶段数学学习是为学生进入高校学习服务的,高中阶段学习的很多内容都与大学阶段学习的数学内容有着重要的联系,是学习它们的基础,因此,高中数学教学必须站在高等数学的高度来审视教学的内容,用高观点来指导教学,这样,高中数学教学才能高屋建瓴,才能更为深刻.向量这一章的学习内容虽然是由物理学中的矢量引入,但是在它进入数学研究领域之后,有关它的理论研究却更为深刻,高等数学中的线性代数(Linear Algebra)的理论基础,一部分就来自于对向量及向量空间的研究.

线性代数做为数学的一个分支,它的研究对象是向量,向量空间(或称线性空间),线性变换和有限维的线性方程组.线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中.线性代数的主要内容是研究代数学中线性关系的经典理论.由于线性关系是变量之间比较简单的一种关系,而线性问题广泛存在于科学技术的各个领域,并且一些非线性问题在一定条件下,可以转化或近似转化为线性问题,因此线性代数所介绍的思想方法已成为从事科学研究和工程应用工作的必不可少的工具.由于计算机的飞速发展和广泛应用,许多实际问题可以通过离散化的数值计算得到定量的解决.于是作为处理离散问题的线性代数,成为理工类学科必备的数学基础.因此线性代数成为高等院校一些专业的重要数学基础课.

线性代数主要研究了三种对象:矩阵、方程组和向量.三种对象的理论是密切相关的,大部分问题在这三种理论中都有等价的表达.如果说与实际计算结合最多的是矩阵的观点,那么向量的观点则着眼于从整体性和结构性考虑问题,因而可以更深刻、更透彻地揭示线性代数中各种问题的内在联系和本质属性.由此可见,向量空间及其理论是构成线性代数基本理论的基石,向量理论中有一些重要的概念,其中包括极大线性无关组概念.

1.2“平面向量基本定理”是极大线性无关组定理的二维特例

文[1]给出如下定理:设向量组A:a1,a2,…,am线性无关,而向量组B:a1,a2,…,am,b线性相关,向量b必能由向量组A线性表示,且表示式是唯一的.

定义 如果n维向量组A:a1,a2,…,as中的一个线性无关的部分组A0:aj1,aj2,…,ajr(r≤s),r已达到最大可能,即如果除这r个向量以外向量组还有其他向量,那么任意r+1个向量构成的部分组均线性相关,则A0称为向量组A的极大无关组.一个向量组的极大无关组一般不唯一,但极大无关组所含向量的个数r是唯一确定的.极大无关组A0相当于向量组A的“代表”,因为向量组A的任一个向量都可由A0唯一表示,讨论向量组A的性质就转化为对A0的讨论,达到简化的目的.若记全体n维向量构成的向量组为Rn,显然,n个线性无关的n维向量都是Rn的极大无关组,其中n维单位坐标向量e1=(1,0,0,…,0)T,e2=(0,1,0,…,0)T,…,en=(0,0,0,…,1)T构成的向量组也是Rn的一个极大无关组.

现行教材中对平面向量基本定理的表述如下:如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2(文[2]).我们可以取二维单位向量e1=(1,0),e2=(0,1),作好为基底(二维极大无关组).

对照以上的定理、定义可以知道,“平面向量基本定理”只是n维向量空间中关于极大无关组内容的一个特例.“平面向量基本定理”中的“e1,e2是同一平面内不共线的两个向量”表明e1,e2是二维向量空间的一个极大无关组,按照极大线性无关组的定义及定理,“平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2使得a=λ1e1+λ2e2”显然成立.

高中阶段的数学教学必须为学生进入高校后的数学学习打好基础,从向量空间的角度来说,平面向量基本定理所涉及的内容是二维向量空间,它的几何背景就是学生最为熟悉的平面,平面向量在平面基底上的线性分解是有其物理学模型的,即力、速度、位移等的分解,这些都使得学生更易理解二维平面的线性相关,通过以上理论分析,我们可以知道,学生理解了平面向量基本定理,再学习后续空间向量基本定理以及n维向量空间中关于极大无关组内容时,就有了知识依托,利于他们后续知识的学习.所以我们必须正确地认识平面向量基本定理的教学的这个作用,使这一部分的教学真正能够发挥它的教育功效.

2“平面向量基本定理”在高中数学中的地位

2.1“平面向量基本定理”与高中数学其他内容的联系

“平面向量基本定理”是沟通“一维”与“三维”的桥梁,在学习这个定理之前,学生已经学习了“共线向量定理”:共线的向量有无数多个,在“选定一个非零向量a”的前提下,其他向量b均可用a唯一表示,即存在唯一的实数λ,使得b=λa成立.这样,共线的所有向量的运算都可以转化为向量a的运算.这是一维(直线)的情形,教学中可以由这个定理类比过渡到到二维(平面)的情形,可引导学生进行探究,学生理解了“平面向量基本定理”,可以深化对“共线向量定理”的认识,同时,利用升维类比,可以在后续学习中引导学生探讨三维(空间)的情形,为选修内容中“空间向量基本定理”的学习做好铺垫.“平面向量基本定理”也是联系“几何”与“代数”的纽带,根据“平面向量基本定理”,平面内每一个向量都与有序实数对(λ1,λ2)唯一对应,特别是在单位正交基底下进行的线性分解,使得平面向量的关系可由坐标的运算来表示,这样,平面中共线、垂直等关系都可转化为数值运算,而由于向量的自由平移特性,使得向量处理平面几何问题时,比解析几何更少的依赖图形本身的一些性质,用向量坐标的纯代数运算解决问题时也更少受到限制.同时,一些代数问题(如二维柯西不等式),可以通过构造向量,借助向量“形”的方面加以解决.这样,通过“平面向量基本定理”,向量成为沟通数与形的重要工具.

2.2“平面向量基本定理”的方法效应

在高中数学中,有一些常见的数学思想与方法,其中基本量方法就是一种重要的方法.文[3]中指出基本量方法是从整体分析和把握数学问题的一种方法,若某个数学对象F满足:(1)存在n个相互独立的量,使F唯一确定;(2)任何k个相互独立的量(k<n)都不能使F唯一确定.则称F的自由度是n.若F的自由度是n,G={g1,g2,…,gn}使F唯一确定,则称G是F的一组基.此时,gi(i=1,2,…,n)称为F的基本量.所谓基本量方法,其指导思想就是在解数学问题时,先确定数学对象F的基本量,然后用基本量去表示与问题有关的F的非基本量,使问题转化为仅仅涉及到基本量的寻求,从而减少未知量个数,以求获得问题的解.这种借助于基本量来解决问题的方法就叫做基本量方法.

从以上叙述可以看出,平面向量的基本量就是平面的基底(二维极大无关组),平面向量的自由度为2,利用“平面向量基本定理”,将平面内的所有向量的运算问题转化为基底的运算问题,这就是基本量方法.“平面向量基本定理”为学生展示了一个具有基本量方法的重要模型,因此教学中要向学生揭示定理中所蕴含的这种方法,并在后续学习具有这种方法的内容时(如等差数列、解三角形等),进行比较,让学生对这种方法有更为深刻地理解.

3“平面向量基本定理”教学的目标定位

通过以上的分析,笔者认为在平面向量基本定理的教学中,必须要让学生厘清以下问题:(1)平面的基底为什么要由两个基向量构成,为什么它们之间要有不共线的关系;(2)平面内的任意一个向量是否都可以由基向量进行线性分解;(3)平面向量在给定基底下的线性分解形式是否是唯一的.而我们的教学也应围绕着这三个方面重点展开.同时,我们还要通过教学,让学生体会定理中所蕴含的基本量方法,及化繁为简的思想内涵,体会数学中所蕴含的简捷之美.

4 学习者特征分析

本节内容是在高一年级进行教学,从知识角度来说,高中一年级的学生已经具备了物理学中矢量的分解与合成的知识,这可以成为本节课教学所依托的前知识经验.在本节课的之前,学生学习了向量的线性运算及“共线向量定理”,可以利用它与“平面向量基本定理”的升维类比关系引入课题.

从能力角度来看,高中一年级的学生已经具备了一定的理性认知、理性分析与理解能力,但对于较为抽象、严谨的数学定理表述语言还会有理解的困难,特别是对“平面向量基本定理”中“任意性”、“唯一性”等数学逻辑用语还不能达到深刻的认识,这就需要在教学中利用学生熟悉的语言,设计相应的问题链,分解学生的理解困难,引导学生达成对定理的理解.

高一年级的学生理性认识能力虽然在发展中,但在数学理解中仍较多地依赖直观,所以本节定理教学中,设计制做多媒体课件,如几何画板的应用,可以帮助学生产生直观感受,达到分解难点,帮助理解的作用.

数学课程标准中指出,数学教学要让学生逐步学会用数学的眼光观察世界,发展数学抽象、直观想象素养;用数学的思维分析世界,发展逻辑推理、数学运算素养;用数学的语言表达世界,发展数学建模、数据分析素养.学生这些能力的提升,素养的形成,来自于每堂课的教学之中,本节课亦然,在本节教学中需要设计相应的教学环节,让学生进行表达与交流,以提升他们的能力.

5“平面向量基本定理”(第一课时)教学设计

5.1 引言设计

老子云“道生一,一生二,二生三,三生万物”,这句话告诉我们,任何复杂的事物都有其简单而深刻的内涵.老子《道德经》中说“万物之始,大道至简,衍化至繁”.意思是说大道理(指基本原理、方法和规律)是极其简单的.把复杂冗繁的表象层层剥离之后就是事物最本质的大道理.在数学中,我们往往也在追求至简的“大道”.如笛卡尔曾经设想,能否将繁杂的生活中的问题都转化为数学问题,将所有数学问题都转化为代数问题,而将所有的代数问题都转化为方程问题,通过解方程,就能解决各种生活中的问题.笛卡尔的设想虽然失败了,但是他这种化繁为简的思想却是值得我们借鉴的.在向量的学习中,我们也是这样做的,前一节课我们学习了实数与向量的积,并学习了“共线向量定理”,共线向量定理告诉我们,直线上存在无数个向量,我们可以通过选定直线上一个非零向量a,而其他向量b均可用a唯一表示,即存在唯一的实数λ,使得b=λa成立.这样,共线的所有向量的运算都可以转化为向量a的运算,这样,就将直线上复杂的向量问题转化为有关一个向量的简单问题了.同样,平面内也存在无数个向量,它们是否也可以转化为用少量的几个向量来表示,从而将复杂的向量问题归结为这几个向量的运算问题,从而使问题简单化.

设计意图引言开门见山,直指平面向量基本定理的方法内涵,让学生一开始就明确本节课学习的目标,即探讨平面内的每一个向量是否都能用少量的几个向量来表示,这样引导学生在学习的开始就将注意力集中在平面基底的选取之上.通过引言,揭示了“共线向量定理”与“平面向量基本定理”的关系,同时还能让学生体会数学的追求就是至臻至简.

5.2 教学重点环节问题链及活动设计

见表1.

5.3 例题与练习设计

(3)你能利用以上表达式说明AE与CF的关系吗?

设计意图 平行四边形、三角形都是学生非常熟悉的平面图形,向量的加法法则也是在平行四边形和三角形当中加以定义的,所以设计以平行四边形、三角形为背景的例习题,是将学生置于了一种熟悉的情境下,学生理解与解决问题都较为容易.例题中的问题(1),(2),及练习题都是为了训练学生进一步熟悉将一个向量在基底上进行线性分解,但是难度是有所区分的.例题中的问题(3)可以帮助学生进一步认识“平面向量基本定理”的作用,即将平面内任一向量转化为基向量,利用基向量的关系、运算来解决问题.

5.4 结束语设计

同学们,今天这节课我们学习了“平面向量基本定理”,通过学习与练习,我们可以知道,利用“平面向量基本定理”,我们可以将平面内的任意一个向量表示为给定平面基底的唯一线性分解形式,即a=λ1e1+λ2e2,这样,平面内所有向量的运算都转化为了基向量的运算,从而起到了化繁为简的作用,这样的方法称为基本量方法,这是一种重要的数学方法,在今后的数学学习中,我们还会使用这种方法解决数学问题.同时,“平面向量基本定理”说明在给定基底下,平面内每一个向量都与有序实数对(λ1,λ2)产生了唯一的对应,这样,平面向量的问题可以借由数字运算来解决,这样起到了化“形”为“数”、简化思维的作用,平面向量的这个作用,我们在后续学习中将进一步体会到.

设计意图 结束语是在教师引导学生进行自我小结之后,由教师对本节内容进行的升华与提炼,它与引入语相互呼应,进一步点明“平面向量基本定理”的作用,以及向学生明示定理中所蕴含的思想方法,这使得学生更加深刻地理解了新知识的内涵,使他们对新知识的理解得以升华.

参考文献

[1]赵树嫄.线性代数(第4版)[M].北京:中国人民大学出版社,2000.

[2]人民教育出版社,课程教材研究所,中学数学课程教材研究开发中心.普通高中课程标准实验教科书数学必修4(第2版)[M].北京:人民教育出版社,2007.

[3]马明,马复.基本量方法[J].中学数学教学,1989,(5).

[4]马明,马复.基本量方法(续)[J].中学数学教学,1989,(6).

[5]黎栋材,王尚志.平面向量基本定理教学设计[J].数学通报,2015,(1).

二项式定理的基本应用 篇9

“微积分基本定理”是人教B版选修2-2第一章第1.4.2节的内容.这节课的教学重点就是微积分基本定理.三百年来, 微积分不仅对数学, 并且对整个人类文明也产生了不可估量的影响.

[教学设计的理念]

微积分基本定理是经历了几千年发展、蕴含了许多重要数学思想, 且逐步积淀成的重要定理.如何在一节课45分钟内, 让学生理解并掌握, 是我在备课时苦苦思索的问题.最后我大胆打破传统观念, 反其道而行之, 课堂上直接向学生展示出微积分基本定理, 将摸索过程转变为对定理的证明过程, 从而培养学生数学应用的意识, 提升数学素养, 以达到出奇制胜的目的.

[“微积分基本定理”的教学设计]

一、教材分析

(一) 地位和作用

微积分基本定理揭示了导数和定积分之间的内在联系, 可以毫不夸张地说, 微积分基本定理是微积分中最重要、最辉煌的成果, 是微积分学的核心.

(二) 教学目标

1. 知识与技能目标:

(1) 让学生经历定理的发现过程, 直观了解微积分基本定理的含义和几何意义, 并理解导数与定积分的互逆关系.

(2) 熟练地用微积分基本定理计算定积分, 使学生体会微积分基本定理的优越性, 理解微积分在数学史上举足轻重的地位.

2. 过程与方法目标:

(1) 通过生生、师生间的探讨、合作, 寻求并揭示导数和微积分之间的内在联系, 培养学生的洞察力和探究的能力.

(2) 经历定理的证明过程, 解题的思维过程, 发展学生有条理的思考与表达的能力, 提高逻辑思维能力.

3. 情感、态度与价值观目标:

(1) 通过学生的自主探究, 激发学生的求知欲, 让学生体会“以直代曲”———临渊羡鱼, 不如退而结网的数学思想.

(2) 让学生尝试数学研究的过程, 体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系, 培养学生辩证唯物主义观点, 提高理性思维能力.

(三) 教学重点和难点

教学重点:微积分基本定理.

教学难点:导数与微积分的关系, 利用微积分基本定理求函数的定积分.

二、教学方法

本节课以学生为主体, 倡导“自主、合作、探究”的学习方式, 教师在教学过程中注重引导, 及时捕捉学生情感和思维的兴奋点, 充分发挥学生的主观能动性, 主动发现以及对所学知识意义的主动构建.

三、教学过程

(一) 温故而知新

1. 复习提问:定积分的定义;定积分与曲边梯形面积间的关系.

2.求, 此题应用定积分与曲边梯形面积间的关系很容易解决.

3. 将由曲线y=sinx (0≤x≤2π) 和直线, y=0所围成图形的面积写成定积分的形式, 并求此定积分.

此题第 (1) 问是课本上节所学内容练习A的第4题, 将课本习题升华, 学生易于接受, 此题即求, 其所对的是一个曲边三角形的面积, 因为曲边三角形不是我们所熟知的规则图形, 故其面积并不好直接计算;而若用定积分定义来求解, 又需要一定的运算技巧, 由此引导学生学习新的定积分的求法, 给出求定积分的一个公式, 即牛顿-莱布尼茨公式

(二) 探索是一种快乐

在此环节, 教师引导学生证明牛顿-莱布尼茨公式.

1. 指出函数y=F (x) 的图象 (如图1) , 不妨假设这就是一座小山, y=F (x) dx的图象就是爬山的路线.

2.观察所要证明的公式, 左端是函数y=F (x) 的导函数在a到b上的积分, 已知函数在给定区间上的定积分实为一个和式的极限,

由此, 引发思考:此定积分应是哪一个和式的极限呢?

3.如何寻找在内所爬高度hk=GH的近似值呢? (如图2)

引导学生进一步分析公式, 公式左端的被积函数是F (x) 的导函数, 而F (x) 的导函数的几何意义是:函数F (x) 在点 (x, F (x) ) 处切线的斜率, 引导学生大胆尝试, 过E作曲线EH的切线EF.

……

教学中, 教师本着以学生发展为本的理念, 充分给学生想的时间、说的机会以及展示思维过程的舞台, 通过师生之间的合作和交流, 发展学生的数学观察能力和语言表达能力, 培养学生思维的发散性和严谨性.

(三) 发现是一种享受

微积分基本定理:如果F (x) =f (x) , 且f (x) 在[a, b]上可积, 则b乙af (x) dx=F (b) -F (a) , 其中F (x) 叫f (x) 的一个原函数.

问题1:这里的“一个”有什么特别的含义吗?

问题2:你认为求定积分的关键是什么?

教学中采用层层设问的方法, 引导学生去探究, 旨在提升学生的求知欲、探索欲, 活跃课堂气氛, 使学生保持良好、积极的情感体验。通过学生的自主探究, 帮助学生深入理解知识, 完善知识结构, 提升认知水平.

(四) 学会应用

计算:

在理解公式的基础上, 及时进行“短、平、快”的应用展现, 由学生独立思考, 进行口头分析, 充分展示学生的思维过程, 教师进行有针对性的讲解、板演.通过对例题的讨论交流, 让学生切身体会到利用微积分基本定理求定积分的优越性.

(五) 及时巩固

(六) 我总结, 我进步

1. 微积分基本定理;

2. 用微积分基本定理求函数定积分的步骤;

3. 用微积分基本定理求函数定积分的关键;

4.求定积分与求导函数之间的关系.

通过小结, 使学生对本节课的知识有一个全面的认识.通过总结、辨析和反思, 促进学生主动建构, 有助于学生形成知识模块, 优化知识体系.

(七) 自我检测

1.课后作业:课本43页练习B3;44页习题A2.

2.课后思考 (学而不思则罔) :

定积分的几何意义有何不同?

通过布置分层作业, 体现了差异发展教学, 既帮助学生进一步巩固本节内容, 规范学生的学习习惯, 同时又为学有余力的学生提供了进一步发展的空间.

[教学设计说明]

二项式定理的引入与应用教学研究 篇10

一、二项式定理的发展历史

我国古代时期对于数学的研究,是中华民族的骄傲。二项式定理的学习可通过讲杨辉三角故事引入。早在我国南宋时期的1261年,数学家杨辉所著的《详解九章算法》就已经出现过二项式系数表,这一表被称为杨辉三角。二项式定理在中国被称为“杨辉三角”,它记载于杨辉的《详解九章算法》之中。在阿拉伯数学家卡西的著作《算数之钥》中也给出了一个二项式定理系数表,他所用的计算方法与贾宪的完全相同。在欧洲,德国数学家阿皮安努斯在他1527年出版的算数书的封面上刻有此图,但一般称之为“帕斯卡三角形”,因为帕斯卡在1654年也发现了这个结果。无论如何,二项式定理的发现,我国比欧洲至少早300年。1665年,这一年牛顿23岁。当时瘟疫流行,学校停课,牛顿在家中学习两年。他思想自由驰骋,在此期间把二项式定理推广到n位分数和负数的情形,给出了展开式。牛顿利用二项式展开这一重要工具,发明了微积分。

二、二项式定理的应用

二项式定理在组合理论、解决整除及余数等方面有广泛的应用。。这个公式所表示的定理称为二项式定理。其右边的多项式称(a+b)n的二项展开式,每一项系数(r=0,1,2…n)称为二项式系数;称为二项展开式的通项,用Tr+1表示,即展开式的r+1项,。

二项式系数性质如下:

(1)二项展开式中,与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等。(2)二项式系数的和等于2n。(a+b)n中分别令a=1,b=1,即可得。(3)如果二项式的幂指数是偶数,中间一项的二项式系数最大;如果二项式的幂指数是奇数,中间两项的二项式系数相等且最大。(4)二项式展开式中,偶数项系数和等于奇数项系数和,即。

了解二项式定理及其性质后,中职学生要学会如何应用二项式定理解决一些实际问题。下面介绍一些二项式定理在数学题及生活中的应用。

1. 用二项式定理求展开式

例1:求二项式(3x+2y)5的展开式。

解:由二项式定理可得

2. 用二项式定理求展开式中系数

例2:求(x2-1)(x+2)10展开式中含x10的系数。

解:由题可知,因式(x2-1)取x2和因式(x+2)10展开式中取x8可得含x10的项是,因式(x2-1)取(-1)和因式(x+2)10展开式中取x10可得含x10的项是,故(x2-1)(x+2)10的展开式中含x10项的系数为。

3. 用二项式定理求展开式中指定项例3:求展开式中常数项。

解:由题可知,因式展开式中取,因式(x2+2)取x2,展开式中有常数项;因式展开式中取-1,(x2+2)取2,式展开式中有常数项,所以展开式中常数项项为5+(-2)=3。

4. 二项式定理在整除问题中的应用

例4:用二项式定理证明32n+3-24n+37可被64整除。

证明:32n+3-24n+37=27(8+1)n-24n+37

因为括号内每一项都是自然数,和为自然数,所以上式是64的倍数,即32n+3-24n+37可被64整除。

5. 二项式定理在解决余数问题中的应用

例5:求5012除以7的余数。

解:。它的展开式中除末项外均能被7整除,其末项为1,故5012除以7的余数为1。

6. 二项式定理在计算近似值中的应用

例6:求0.9986的近似值(精确到0.001)。解:0.9986=(1-0.002)6

其中从第三项开始小于0.001,舍去。所以0.9986≈1-0.012=0.988.

7. 二项式定理在不等式证明中的应用

例7:,其中(n∈N*),n>1。证明:。

通项。

所以,。

8. 二项式定理在生活中的应用

例8:今天是星期一,再过290天是星期几?

解:依题可得。即290除以7的余数为1,所以,再过290天是星期二。.

三、结束语

二项式定理是中职数学教学的重要内容,但要在引起学生的兴趣上下功夫。中职学生的数学功底差,因而给学生上好二项式定理至关重要的。教师要以鼓励为主,增强学生的信心,以微笑的方式传达一种二项式定理不是很难学的感觉给学生。这样,在教师引领下,学生有了学习兴趣,就一定能学好二项式定理,提高中职学生的数学素养。

参考文献

[1]张建业,田志良.二项式定理的一个应用[J].河北工程技术高等专科学校学报.2005(01).

[2]刘淑霞,李元凤.关于二项式定理教学的研究[J].职业,2010(02).

二项式定理的应用 篇11

考点1 考查对某项的二项式系数和系数的相关概念的正确理解

例1 （1）[（1+2x）n]的展开式中第[6]项与第[7]项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项；

（2）求[（2x+1x）4]的展开式中各项的二项式系数和及各项系数和.

分析 某项的二项式系数和系数是大家易混淆的两个概念；两者本质差别在：展开式中第[r+1]项的二项式系数是[Crn]（[r=0，1，2，…，n]），而第[r+1]项的系数是指经过化简整理后该项未知数前的最简系数（含正负）.

解 （1）[T6=C5n（2x）5]，[T7=C6n（2x）6]，依题意有[C5n25=C6n26?n=8].

∴[（1+2x）8]的展开式中，二项式系数最大的项为[T5=C48（2x）4=1120x4].

设第[r+1]项系数最大，则有

[Cr8?2rCr-18?2r-1，Cr8?2rCr+18?2r+1，?5r6].

∴[r=5]或[r=6]（∵[r∈0?，?1?，?2?，?…?，?8]）.

∴系数最大的项为：[T6=1792x5]，[T7=1792x6].

（2）该展开式的各项二项式系数和为

[C04]+[C14]+[C24]+[C34]+[C44]=[24]=16.

令二项式中变量[x=1]得各项系数之和为[34=81.]

点拨 二项式的考查注重基本概念，尤其是二项式系数和系数的相关问题. 而解决此类问题的关键是正确认识它们的本质区别.特别提醒：（1）求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，[n]为奇数时中间两项的二项式系数最大，[n]为偶数时，中间一项的二项式系数最大. 求展开式中系数最大的项需先判断各项系数的正、负情况，再列不等式组求解. （2）各项二项式系数和总是[C0n]+[C1n+…]+[Cnn]=[2n]；而各项系数和是令展开式中各变量都为1时所得的值.

考点2 利用通项公式解决特定项问题

例2 （1）二项式[x+12x4n]的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有的有理项；

（2）求[（1-x）3（1+x）10]的展开式中[x5]的系数；

（3）求[（x+1x+2）6]的展开式中的常数项.

分析 本题涉及到某项的系数、有理项及常数项，属典型的特定项问题，可以通过通项公式解决.

解 （1）该二项式的展开式的通项公式为：

[Tr+1=Crn（x）n-r12x4r=Crn12rx2n-3r4]

前三项的[r=0，1，2.] 得系数为：

[T1=1，T2=12C1n=12n，T3=14C2n=18n（n-1）]，

由已知：[2T2=T1+T3， n=1+18n（n-1）]，

∴[n=8].

通项公式为[Tr+1=Cr812rx16-3r4，r=0，1，2，…8，][Tr+1]为有理项，故[16-3r]是4的倍数，

∴[r=0，4，8.] 依次得有理项为

[T1=x4，T5=C48124x=358x，T9=C88128x-2=1256x-2.]

（2）[（1-x）3（1+x）10]展开式中的[x5]可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项：

用[（1-x）3]展开式中的常数项乘以[（1+x）10]展开式中的[x5]项，可以得到[C510x5]；用[（1-x）3]展开式中的[x1]项乘以[（1+x）10]展开式中的[x4]项可得到[（-3x）（C410x4）=-3C410x5]；用[（1-x）3]中的[x2]乘以[（1+x）10]展开式中的[x3]可得到[3x2?C310x3=3C310x5]；用 [（1-x）3]中的[x3]项乘以[（1+x）10]展开式中的[x2]项可得到[-3x3?C210x2=-C210x5]，合并同类项得[x5]项为： [（C510-C410+3C310-C210）x5=-63x5].

（3）（法一）由[x+1x+2=x+1x2]得

[（x+1x+2）5=x+1x12].

由[x+1x12]展开式的通项公式[Tr+1=Cr12（2）12-r1xr=Cr12x6-r]，可得展开式的常数项为[C612=924].

（法二）将[x+1x]整体看作一项得展开式的通项为[Tr+1=2rCr6（x+1x）6-r][（r=0，1，…，6）]当r=0，2，4，6时有常数项，依次再展开，合并同类项后得原二项式的常数项为[20C06C36+22C26C24+24C46C12+26=924].

点拨 二项式定理的考查以利用通项公式解决特定项问题居多，大多数难度不大；但也有形如（2）（3）这种多项式展开需要转化成二项式展开的问题. 解决此类问题的关键是：恰当运用因式分解、多项式乘法和合并同类项等代数运算技巧.

考点3 利用赋值思想解决系数和问题

例3 若[（3x-1）7=a7x7+a6x6+…+a1x+a0]，

求（1）[a1+a2+…+a7]；

（2）[a1+a3+a5+a7]；

（3）[a0+a2+a4+a6].

分析 通过对等式中的字母赋恰当的值，往往会得到此类问题的结果. 经常取的值有0、1、-1等.

解 （1）令[f（x）=（3x-1）7]，

当[x=0]，则[f（0）=][a0=-1]，

令[x=1]，

则[f（1）=27=][a7+a6+…+a1+a0=128]. ①

∴[a1+a2+…+a7=f（1）-f（0）=129].

（2）令[x=-1]，则

[f（-1）=-a7+a6-a5+a4-a3+a2-a1+a0=（-4）7]②

由[①-②2]得，

[a1+a3+a5+a7=12[128-（-4）7]=8256.]

（3）由[①+②2]得：

[a0+a2+a4+a6]

[=12[f（1）+f（-1）]][=12[128+（-4）7]=-8128].

点拨 （1）本题根据问题恒等式特点来用“特殊值”法求解. 这是一种重要的方法，它适用于恒等式的证明和代数式的求和. （2）一般地，对于多项式[f（x）=（q+px）n=ao+a1x+…+an-1xn-1+anxn，][f（x）]的各项的系数和为[f（1）]；常数项[a0=f（0）]；[f（x）]的奇数项的系数和为[12[f（1）+f（-1）]]. 偶数项的系数和为[12[f（1）-f（-1）]]. 赋值法不仅可以用来求二项展开式的系数和，对于展开式为多项式的代数式的系数和也能用此方法解决，如：[（1+x）5（1-2x）6]的展开式中各项的系数和仍然是令[x=1]得各项系数和为32.

考点4 利用二项展开式解决整除性问题

例4 （1）利用二项式定理证明：[32n+2-8n-9]是64的倍数；

（2）[230-3]除以[7]的余数 .

分析 （1）64是8的平方，问题相当于证明[32n+2-8n-9]是[82]的倍数，为了使问题向二项式定理贴近，变形[32n+2=9n+1=（8+1）n+1]，将其展开后各项含有[8k]，与[82]的倍数联系起来. （2）将[230]分解成含[7]的因数，然后用二项式定理展开，不含[7]的项就是余数.

解 （1）[32n+2-8n-9]

[=9n+1-8n-9=（8+1）n+1-8n-9]

[=8n+1+C1n+1?8n+…+Cn-1n+1?82+Cnn+1?8+1-8n-9]

[=8n+1+C1n+1?8n+…+Cn-1n+1?82+8（n+1）+1-8n-9]

[=8n+1+C1n+1?8n+…+Cn-1n+1?82]

[=（8n+1+C1n+1?8n-2+…+Cn-1n+1）?64]

上式是64的倍数，得证.

（2）[230-3][=（23）10-3][=（8）10-3][=（7+1）10-3]

[=C010710+C11079+…+C9107+C1010-3]

[=7×[C01079+C11078+…+C910]-2.]

又∵余数不能为负数，需转化为正数，

∴[230-3]除以[7]的余数为5.

点拨 证明整除性问题，或求余数问题. 关键是找准指数式中的底数和除数的联系，将指数式分拆成与除数有关联的两个数的和或差，再用二项式定理展开，要注意余数为非负数且不大于除数.

考点5 利用二项展开式证明组合恒等式或不等式问题

例5 （1）证明：[C0n+32C2n+34C4n+…+3nCnn][=2?4n-1][+2n-1]（[n]为偶数，[n∈N*]）

（2）求证：[3n>（n+2）?2n-1（n∈N*，n>2）]

分析 （1）注意分析等式左边式子的结构特征，刚好是某二项展开式的部分项，也要注意到3-1=2，3+1=4正好和指数式的底数吻合，从而构造[（1±3）n]展开. （2）思想同上.

解 （1）∵[n]为偶数，

∴[（1+3）n=C0n+3C1n+32C2n+…+3nCnn]，

[（1-3）n=C0n-3C1n+32C2n-…+3nCnn].

两式相加得

[4n+2n=2（C0n+32C2n+34C4n+…+3nCnn）]，

∴[C0n+32C2n+34C4n+…+3nCnn=2?4n-1+2n-1].

（2）[∵n∈N*且n>2]，

∴[3n=（2+1）n]展开至少有四项，即

[3n=（2+1）n2n+n?2n-1+2n+1>2n+n?2n-1]

[=（n+2）?2n-1]得证.

点拨 构造函数展开式进行赋值法，构造问题双解法、拆项法、倒序相加法、放缩法等都是证明一些组合数恒等式（或求和）、不等式的常用方法.

1. 若[（x+1x）n]的展开式中第3项与第7项的系数的二项式系数相等，则该展开式中[1x2]的系数为 .

2. 已知[（x+3x3）n]展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则[n]等于（ ）

A. 10 B. 5 C. 6 D. 7

3. 已知[（x+ax）（2x-1x）5]的展开式中各项系数和为2，则该展开式中的常数项（ ）

A. -40 B. -20 C. 20 D. 40

4. [（x2+2）（1x2-1）5]的展开式的常数项是（ ）

A. -3 B. -2 C. 2 D. 3

5. [（2+33）100]的展开式中有多少项是有理项的项数为（ ）

A. 16 B. 17 C. 18 D. 19

6. 设[（1+x）8=a0+a1x+…+a8x8]，则[a0， a1， ][a2，…，a8]中奇数的个数为（ ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

二项式定理的基本应用 篇12

数列求和是高中数学的教学重难点. 在新课标教材中, 直接推导并给出了等差数列的求和公式, 但是自然数作为一种特殊的等差数列, 其方幂和由于其复杂性, 只在讲解数学归纳法时才作为例题出现. 然而数学归纳法在处理计算问题时需要预先猜测出结果, 这种间接的方式无疑给解决问题带来了麻烦.

在初等数学的范畴内, 能否直接推导出自然数方幂和的求和公式? 或者一般地, 能否寻求一种直接的方法来计算自然数等幂和? 甚至更一般地, 找到对等差数列等幂和进行直接计算的通行通法?

2. 分析与准备

设n, m∈N+, 若等差数列{ an} 首项为a1, 公差为d, 则其通项公式

递推公式: an= an - 1+ d.

将等差数列{ an} 的m次幂{ anm} 的前n项和记为Snm, 则

一般地, 在求一些复杂数列的前n项和时, 我们希望能将其通项分解为两部分之差, 这样在求和时将会因中间项被抵消而实现化简.

注意到等差数列第n+1项递推公式的m+1次幂 (an+d) m+1在按照二项式定理展开后会出现am+1n, amn, …, an项, 移项后可得到am+1n+1-am+1n, 该式具有累加消项的作用;再注意到此时剩下的项除amn外次数都不会高于m-1, 这将有利于降次.因此考虑应用二项式定理来计算此类数列的前n项和.

定理1 ( 二项式定理)

推论1

证由等差数列递推公式及定理1 可得

再经移项即证.

3.等差数列等幂和

定理2

证由推论1 可得

于是

注1定理2 说明可将数列{ anm} 的前n项求和问题转化为求数列{ anm -1} 的前n项和, 并最终归结为求数列{ 1} 的前n项和. 实际上即是通过降次来使原问题迎刃而解.

例求数列{ n2} 的前n项和.

解由题意知数列an= n为等差数列, 且首项a1= 1, 公差d = 1.

根据定理2, 有

4. 小结

通过观察到 (an+d) m+1在按照二项式定理展开并移项后可得am+1n+1-am+1n, 其具有累加消项的作用, 同时剩下项除amn外次数都不会高于m-1, 于是应用二项式定理推导等差数列等幂和的求和公式, 实现化归, 化难为易.在整个过程中, 不仅体现了想象力、洞察力对于解题的重要性, 而且说明了化归思想在解决复杂问题时的指导性.

摘要：在初等数学范畴内, 为找到对等差数列等幂和进行直接计算的通行通法, 我们观察到等差数列递推公式的二项式展开式在移项后不仅具有累加消项的作用, 而且剩下项的次数降低, 于是应用二项式定理推导其求和公式, 最终将其化归为常值数列的求和问题.