压轴戏-压轴戏的故事-压轴戏的寓意-压轴戏的意思

2024-05-09

压轴戏-压轴戏的故事-压轴戏的寓意-压轴戏的意思（共12篇）

压轴戏-压轴戏的故事-压轴戏的寓意-压轴戏的意思篇1

从课堂教学设计的角度来说, 这也是一个值得讨论的话题。好比做事, 有“虎头蛇尾”之嫌, 意思是, 开始时声势很大, 到后来马马虎虎, 有始无终必然留下遗憾;又比如写文章, 有“虎头猪肚豹尾”之说, 意思是, 文章的结尾要像豹子的尾巴一样漂亮有力。课堂教学也是这个道理。若干年前, 在普教圈子里, 交流课堂教学经验, 有所谓“高潮”说, 意思是, 一堂课, 犹如戏剧, 要有高潮, 尤其是一堂课的尾声阶段, 形成高潮才显得精彩。这里的所谓“高潮”, 无非是一种类比, 当然不能等同于戏剧的“高潮”, 也不必追求戏剧一般的“高潮”效果。笔者认为, 如果我们不是太苛刻于语言表达是否“精确”的话, 就课堂教学的完整结构而言, “高潮”的见解是有些道理的, 无疑也是课堂教学追求的一个目标:教学能够吸引学生, 才能使学生保持对于教学内容的兴趣, 才能实现教学的预期目标。我们不妨设想, 一堂课的主体部分有声有色, 课的压轴部分仍然有“戏”, 这是为整个教学过程实现预期目标增色啊!

笔者在组织上海市闸北区的小学探究型课程教研活动中, 也时常对课堂教学的“压轴”部分表示关注、提出要求, 教师们展示的公开课, 有一些“压轴”部分还算有“戏”的例子, 姑且拿来说说。

一、“压轴”呼应“伊始”, 唤起责任意识

(三泉路小学杨莉老师执教的小学五年级《说说洋快餐》的尾声阶段——)

PPT课件:出示中式快餐店、洋快餐店的经营场景图。

教师:中式食物品种丰富, 可以满足我们的不同需求。然而我们经常会看到, 一些中式快餐店的生意并没有洋快餐的生意好, 这是什么原因呢?你能通过今天对洋快餐的分析研究, 学习洋快餐的成功经验, 为我们的中式快餐店提些建议吗?

学生:经常推出一些新的食物, 吸引消费者。/可以像洋快餐那样多做些广告。/在外卖打包服务上可以多向洋快餐学习。/安排小孩活动的场所, 吸引儿童去吃。/发放优惠券, 凭券购买有优惠……

课后讨论的时候, 很多教师都感叹, 杨老师的“压轴戏”, 有首尾形成呼应的巧妙啊!在本课时的开始阶段, 杨老师有“为什么这些人肚子饿的时候喜欢选择吃洋快餐”的提问, 学生的即兴回答又成为了“压轴戏”环节“为中式快餐店提些建议”的内容, 洋为中用, 民族快餐业的发展显然也需要学习别人的成功经验。这样的“压轴戏”, 让本课时“中式快餐的营养价值好过洋快餐”的讨论和分析, 升华到了“唤起支持民族餐饮业发展的责任意识”的高度。看似简简单单的“提些建议”, 其实是蕴涵着教学设计的巧妙和升华主题的意图的。

二、拓宽认识视野, 强化护眼意识

(乌镇路小学陈蓓艳老师执教的小学三年级《护眼习惯巧养成》的尾声阶段——)

教师:这里还有一些眼镜, 也是起到保护眼睛作用的, 所以, 它们都叫做“护目镜”。你知道, 在不同的情况下, 该选用哪种护目镜吗?

PPT课件:出示8种眼镜, 出示电焊、日食、潜水、雪山、电脑、敲打、野外、医生等场景。

本课时教学的主体部分, 是引导学生认识近视眼的成因、交流保护眼睛的计划、动手制作“好坐姿保持绳”、知道形成好习惯对于预防近视眼发生的意义。很明显, 陈老师的“压轴戏”是要拓宽学生的眼界。从课堂教学的实际反应来看, 学生尽管知道一些电焊、潜水等场景下的护眼要求, 还是对众多的护目镜表示出了新鲜感:原来在生活的不少情景中, 都必须做好保护眼睛的工作啊!如果没有这样的“压轴戏”, 学生的认识视野恐怕就只能局限于学校生活和家庭生活了。

三、感受年岁变化, 激起敬老情怀

(笔者“下水”执教的小学四年级《社区老人状况调查》的尾声阶段——)

教师:在结束今天这节课的教学的时候, 吴老师想介绍大家认识一位名叫“光仔”的小朋友, 他10岁了, 和我们一样大。10岁的小朋友, 会想老年人的问题吗?肯定不会!后来, 他喝下了一个流浪汉给的神奇药水后, 在短短的时间内, 发生了很大的变化……

PPT课件:以连续重叠播映图片方式展示“光仔”10岁、15岁、20岁、25岁、30岁、35岁、40岁、45岁、50岁、55岁、60岁、70岁、80岁的变化。 (图片选自香港故事片《童梦奇缘》)

教师:如果是你, 获得了这样的体验, 你会产生怎么样的想法?

引导学生围绕“社区老人状况”来确定调查内容、编写采访提纲、参与模拟采访活动是本课时教学的主体部分。在教学进程中, 学生交流了社区老人的生活状况, 认识了老年人老有所为的境界, 了解了社会各方敬老助老的具体工作内容。课后, 学生将要进行调查活动。笔者的朴素想法是:只有激起了学生的敬老爱老情怀, 然后展开调查活动, 才更有利于产生教育实践活动的积极意义。其时, 正值香港故事片《童梦奇缘》上映未久, 选择这样一组图片, 希望让学生有一些“设身处地”的“换位”感受。从课堂的实际反应来看, 学生的情绪被引向了“高潮”, 想想也是, 谁都会有老的那一天啊!如果没有这样的“压轴戏”, 虽然教学过程已经很完整, 但在学生参与教学活动的情绪上, 显然不能同日而语。

四、提示行为方式, 提升主题价值

(童园实验小学朱妍老师执教的小学四年级《低碳世博知多少》的尾声阶段——)

教师:低碳方式逐渐走入我们的生活, 有心人归纳了“21项低碳生活方式”, 朱老师收集了一些, 你觉得哪些是我们现在就能够做到的?

PPT课件:以连续播映方式展示一组图片: (1) 点亮节能灯, 省电看得清; (2) 电脑屏幕暗一点, 节能又护眼; (3) 饮水机不要一直开, 闲置断电省能源; (4) 用完电器拔插头, 省电又安全; (5) 使用普通冰箱要及时除霜, 尽量减少开门次数, 将冷冻室内需解梯常步行, 锻炼身体还节能……

这一课时的教学在学生计算机房里进行, 教学的主体部分是围绕上海世博会场馆建设方面的一系列低碳手段, 引导学生学习用“搜索引擎”“关键词”的方式来了解和认识。看得出, 朱老师的“压轴戏”是要强化低碳理念的现实意义, 呈现的内容都紧密联系学生的日常生活, 从学生能够理解并能够做得到的内容出发, 来影响学生的日常行为方式。从课堂教学的实际反应来看, 不少学生都能即时交流自己能够做到的“低碳生活方式”。如果没有这样的“压轴戏”, 虽然教学过程的主体部分仍然完整, 但总是会留有脱离学生日常生活“空对空”的遗憾。

还可以举出许多类似的例子。

在班级授课制条件下的课堂教学发展到今天, 可以毫不夸张地说, 一堂课是否成功、精彩, 很大程度上, 压轴是否有“戏”, 也有着举足轻重的作用。以上述几个课例而言, 短短几分钟的“压轴戏”, 唤起学生的责任意识, 拓宽学生的认识视野, 激起学生的敬老情怀, 提示学生的行为方式……如此种种都是一堂课教学的“画龙点睛”之笔啊!

让课堂教学的压轴有“戏”, 从教学设计的角度来说, 倒也不是十分困难的事情。大体上, 可以从与教学内容建立联系的角度以进行“拓展”“应用”的方式来展开设计, 比如上述课例中的“护目镜”是“护眼”的拓展, “低碳生活方式”是“上海世博会低碳理念”在日常生活中的应用。总的来说, 对“压轴戏”设计的基本要求可以概要表述为:拓宽眼界, 加深理解, 促进行为, 形成能力。至于《说说洋快餐》课例形成的“压轴”呼应“伊始”效果, 《社区老人状况调查》课例营造的体验年龄变化氛围, 还涉及了一些教学设计的技巧问题, 也是一个很值得作进一步探究的话题。

讨论课堂教学的压轴是否有“戏”, 丝毫不意味着对整堂课教学设计的轻视。从本质上说, “压轴戏”的本身就是一堂课整体设计的有机组成部分。讨论“压轴戏”, 希望课堂教学的压轴部分仍然有“戏”, 是希望我们的课堂教学有声有色、活力常在, 以使学生对于学习内容始终兴趣盎然、兴致勃勃。

中考数学压轴题整理篇2

【分情况讨论，抓住特殊图形的面积，多运用勾股定理求高，构造梯形求解】

【出现边与边的比，构造相似求解】

【当图形比较复杂的时候，要学会提炼出基础图形进行分析，如此题中可将两个三角形构成的平行四边形提取出来分析，出现两个顶点，结合平行四边形性质和函数图像性质，找出不变的量，如此题中N点的纵坐标不变，为-3，为突破口从而求解】

已知△ABC是等边三角形．

（1）将△ABC绕点A逆时针旋转角θ（0°＜θ＜180°），得到△ADE，BD和EC所在直线相交于点O．

①如图a，当θ=20°时，△ABD与△ACE是否全等？（填“是”或“否”），∠BOE=度；

②当△ABC旋转到如图b所在位置时，求∠BOE的度数；

【旋转，平移，轴对称的题目，要将动态转化为静态求解，运用全等和相似的方法】

【通过旋转把条件进行转移，利用与第一题相同的方法做辅助线，采用构造直角三角形的方法求解】

如下数表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答．

（1）表中第8行的最后一个数是_________，它是自然数_______的平方，第8行共有________个数；

（2）用含n的代数式表示：第n行的第一个数是_______，最后一个数是_________，第n行共有个数__________；

（3）求第n行各数之和．

【利用三角函数求解】

如图所示，已知A点从（1，0）点出发，以每秒1个单位长的速度沿着x轴的正方向运动，经过t秒后，以O、A为顶点作菱形OABC，使B、C点都在第一象限内，且∠AOC=60°，又以P（0，4）为圆心，PC为半径的圆恰好与OA所在的直线相切，则t=_____________．

【提取基础图形，此题将三角形提取出来，构造直角三角形，利用30°所对的边是斜边的一半，设未知数求解】

【要求是否能构造成直角三角形，构造包含欲求三角形的三边的另外三个直角三角形，利用勾股定理求出三条边，再运用勾股定理，分三种情况求解】

如图，正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，将△AEF绕顶点A旋转，在旋转过程中，当BE=DF时，∠BAE的大小可以是___________．

当遇到求是否构成等腰三角形，等边三角形，等腰直角三角形，直角三角形时，在坐标轴中，设未知数求解；如设点A为（x,y）或设点A为（0，m），多寻找可用相似表示的边，运用相似的面积比，周长比，高之比，边之比求解

中考数学几何证明压轴题篇3

(2)E是梯形内一点，F是梯形外一点，且∠EDC=

∠FBC，DE=BF，试判断△ECF的形状，并证

明你的结论；

(3)在（2）的条件下，当BE：CE=1：2，∠DCBEC=135°时，求sin∠BFE的值.2、已知：如图，在□ABCD 中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G．

（1）求证：△ADE≌△CBF；

（2）若四边形 BEDF是菱形，则四边形AGBD

是什么特殊四边形？并证明你的结论．

F3、如图13－1，一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O（点O也是BD中点）按顺时针方向旋转．

（1）如图13－2，当EF与AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观察或测

量BM，FN的长度，猜想BM，FN满足的数量关系，并证明你的猜想；

（2）若三角尺GEF旋转到如图13－3所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长

线相交于点M，线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时，（1）中的猜

想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

A(B(E)图13－1 图13－

2图13－

31.[解析]（1）过A作DC的垂线AM交DC于M,则AM=BC=2.又tan∠ADC=2,所以DM

(2)等腰三角形.证明：因为DEDF,EDCFBC,DCBC.所以，△DEC≌△BFC 21.即DC=BC.2

所以，CECF,ECDBCF.所以，ECFBCFBCEECDBCEBCD90 即△ECF是等腰直角三角形.（3）设BEk,则CECF

2k，所以EF.因为BEC135，又CEF45，所以BEF90.所以BF3k 所以sinBFEk1.3k3

2.[解析]（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠1＝∠C，AD＝CB，AB＝CD ．

∵点E、F分别是AB、CD的中点，∴AE＝11AB，CF＝CD ． 22

∴AE＝CF

∴△ADE≌△CBF ．

（2）当四边形BEDF是菱形时，四边形 AGBD是矩形．

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC ．

∵AG∥BD，∴四边形 AGBD 是平行四边形．

∵四边形 BEDF 是菱形，∴DE＝BE ．

∵AE＝BE，∴AE＝BE＝DE ．

∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．

∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，∴2∠2＋2∠3＝180°．

∴∠2＋∠3＝90°．

即∠ADB＝90°．

∴四边形AGBD是矩形 3[解析]（1）BM=FN．

证明：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，∴ ∠ABD =∠F =45°，OB = OF．

又∵∠BOM=∠FON，∴ △OBM≌△OFN ． ∴ BM=FN．

（2）BM=FN仍然成立．

（3）证明：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，∴∠DBA=∠GFE=45°，OB=OF．

∴∠MBO=∠NFO=135°．

初中解数学压轴题技巧篇4

解数学压轴题可分为五个步骤：1.认真默读题目，全面审视题目的所有条件和答题要求，注意挖掘隐蔽的条件和内在联系，理解好题意;2.利用重要数学思想探究解题思路;3.选择好解题的方法正确解答;4.做好检验工作，完善解题过程;5.当思维受阻、思路难觅时，要及时调整思路和方法，并重新审视题意，既要防止钻牛角尖，又要防止轻易放弃.

二、解动态几何压轴题的策略

近几年的数学中考试卷中都是以函数和几何图形的综合作为压轴题，用到圆、三角形和四边形等有关知识，方程与图形的综合也是常见的压轴题.动态几何问题是一种新题型，在图形的变换过程中，探究图形中某些不变的因素，把操作、观察、探求、计算和证明融合在一起.动态几何题解决的策略是：把握运动规律，寻求运动中的特殊位置;在“动”中求“静”，在“静”中探求“动”的一般规律.通过探索、归纳、猜想，获得图形在运动过程中是否保留或具有某种性质.简析：本题是一个双动点问题，是中考动态问题中出现频率最高的题型，这类题的解题策略是化动为静，注意运用分类思想.

三、巧用数学思想方法解分类讨论型压轴题

一道导数压轴题突破的过程篇5

在复习函数与导数时, 笔者给学生做了一道大市调研试卷的压轴题, 效果不是特别理想, 很多学生做对第1问, 第2问就无从下手或半途而废了.在解导数综合题时, 方法是否得当, 常常是问题能否顺利解决的关键所在.在解题时学生一般从条件出发, 观察试验, 向前推进, 但经常是阻碍重重, 失去方向, 只能望题兴叹.如何进行有效的引导, 教会学生突破导数的压轴题呢?笔者在教学中发现, 应在方法的突破和细节的处理上下功夫.以下笔者摘录教学片段和大家共同探讨.

例题 (2009年南京市高考模拟试题) 已知定义在实数集R上的偶函数f (x) 的最小值为3, 且当x≥0时, f (x) =3ex+a (a为常数) .

(Ⅰ) 求函数f (x) 的解析式;

(Ⅱ) 求最大的整数m (m>1) , 使得存在实数t, 对任意的x∈[1, m], 都有f (x+t) ≤3ex.

本题难度接近高考, 考查的是函数与导数中的典型方法和基本技能, 第1问较简单, 第2问和不等式结合且字母较多, 再加上“存在”和“任意”的表述, 难度较大.如何突破, 教学过程如下.

2教学片段

2.1经历了思维的困境, 对方法进行反思

教师出示问题, 请同学快速做答, 因为第1问较容易, 学生很快完成, 但第2问明显卡壳, 推进缓慢, 教师巡视.

师: (15分钟后) 大部分同学都有了自己的想法, 但能成功解决的并不多, 现在请大家谈谈自己的想法和做法.

生1:第1问我很快得出结果, 过程如下:

因为y=ex是增函数, 所以当x≥0时, f (x) 也是增函数.

又因为f (x) 是偶函数, 所以

f (x) min=f (0) =3+a,

又f (x) 最小值是3, 故3+a=3, a=0.

当x<0时, 因为-x>0, 所以

f (x) =f (-x) =3e-x.

综上知,

师:很好, 即使是压轴题, 第1问我们都应该能很好地解决的.那第2问呢?

生2:第2问我尝试特殊化, 将端点代入f (1+t) ≤3e得到一些不等关系, 过程如下:

因为x∈[1, m]时, 有f (x+t) ≤3ex, 故

f (1+t) ≤3e.

当1+t≥0时, 3e1+t≤3e, e1+t≤e, 1+t≤1, -1≤t≤0;

当1+t<0时, 同理可得, -2≤t<-1.

从而-2≤t≤0.

同样地, 由f (m+t) ≤3em及m≥2, 得

$e^{t} \leq \frac{e m}{e^{m}} .$

由t的存在性知, 上述关于t的不等式在区间[-2, 0]上必有解.

到这里我就不知道怎么解了.

师:巡视过程中我发现很多同学用这种方法, 都是取两个端点代入, 但大部分同学都和生2一样无法继续突破, 那么就用这种方法, 如何有效突破难点呢?请大家继续思考!

2.2解法突破的过程

2.2.1导数开路, 零点帮忙, 巧渡难关

过了10分钟, 有同学举手.

生3:我也是用生2的方法, 得到关于t的不等式 $e^{t} \leq \frac{e m}{e^{m}}$ 在区间[-2, 0]上必有解.

因为et在区间[-2, 0]上的最小值为e-2, 所以 $e^{- 2} \leq \frac{e m}{e^{m}}$ , 即

em-e3×m≤0. (1)

令g (x) =ex-e3x, x∈[2, +∞) , 则g′ (x) =ex-e3, 由g′ (x) =0, 得x=3.

当2≤x<3时, g′ (x) <0, g (x) 是减函数;

当x>3时, g′ (x) >0, g (x) 是增函数.

故g (x) 的最小值是g (3) =-2e3<0.

又g (2) =-e2 (1-2e) <0,

g (4) =e3 (e-4) <0,

而 g (5) =e3 (e2-5) >0.

由此可见, 方程g (x) =0在区间[2, +∞) 上有唯一解m0∈ (4, 5) , 且

当2≤x≤m0时, g (x) ≤0;

当x>m0时, g (x) >0.

即在x∈[2, +∞) 时满足不等式 (1) 的最大实数解是m0.

而当t=-2, x∈[1, m0]时,

f (x-2) -3ex=3e (e|x-2|-1-x) .

在x∈[1, 2]时, 因为e|x-2|-1=e1-x≤1, 所以f (x-2) -3ex≤0;

在x∈ (2, m0]时,

$\begin{array}{l} f (x - 2) - 3 e x = 3 e (e^{x - 3} - x) \\ = \frac{3}{e^{2}} (e^{x} - e^{3} x) = \frac{3}{e^{2}} \times g (x) \leq 0 . \end{array}$

综上所述, m的最大整数值是4.

师:很好!生3构造函数, 然后利用导数求最值, 结合零点定理逐步缩小并确定m的值.这种突破的方法在函数与导数的综合题中经常用到, 希望同学们能熟练掌握!

2.2.2先猜后证, 正反结合, 旗开得胜

生4:我感觉整数m的值不会太大, 所以我通过特殊值先猜出m的值为4, 再进行证明, 非常高兴我成功了!过程如下:

满足条件的最大整数m为4.

先证m=4符合题意.

取t=-2, 当x∈[1, 2]时, 因为f (x-2) =3e|x-2|=3e2-x≤3e, 3ex≥3e, 所以

f (x-2) ≥3ex;

当x∈ (2, 4]时,

$\begin{array}{l} f (x + t) - 3 e x = f (x - 2) - 3 e x \\ = 3 e (e^{x - 3} - x) = \frac{3}{e^{2}} (e^{x} - e^{3} x) . \end{array}$

令g (x) =ex-e3x, 则g′ (x) =ex-e3.

由g′ (x) =0, 得x=3.

当2≤x<3时, g′ (x) <0, g (x) 是减函数;

当3<x≤4时, g′ (x) >0, g (x) 是增函数.

故g (x) 的最大值是g (2) 和g (4) 中的较大者.

因为g (2) =-e2 (1-2e) <0, g (4) =e3 (e-4) <0, 故g (x) <0.

即当x∈ (2, 4]时, f (x+t) -3ex<0.

再证m≥5时不符合题意.

因为不等式f (x+t) ≤3ex对x=1成立, 所以必有t∈[-2, 0].因为

f (5+t) -15e=3e (e4·et-5)

≥3e (e4·e-2-5) >0,

所以f (5+t) >15e.这说明x=5时f (x+t) ≤3ex不成立.

综上所述, m的最大整数值是4.

师:生4的成功告诉我们不是每道题都是顺题而解, 有时我们可以先猜后证, 这样我们相当于先得到结果, 占据了主动, 目标就十分明确, 更加有信心完全解决问题.对于一些较难问题, 这种突破方法屡见不鲜, 应加以足够的重视!

2.2.3恒等变形, 变量分离, 出奇制胜

生5:我通过变形转化为非常基本的问题, 更加简捷易懂.

由 (Ⅰ) 得到

$f (x) = {\begin{cases} 3 e^{x} ‚ x \geq 0 ‚ \\ 3 e^{- x} ‚ x ＜ 0 ‚ \end{cases}$

我想这不就是绝对值函数吗, 得到f (x) =3e|x|.代入f (x+t) ≤3ex, 得到3e|x+t|≤3ex, 由题3e|x+t|≤3ex对x∈[1, m]恒成立, 即

|x+t|≤1+ln x,

-1+ln x≤x+t≤1+ln x,

-1-ln x-x≤t≤1+ln x-x.

令g (x) =-1-ln x-x, 则

$\begin{array}{l} g^{'} (x) = - \frac{1}{x} - 1 ＜ 0 ‚ \\ g (x)_{\max} = g (1) = - 2 ； \end{array}$

令h (x) =1+ln x-x, 则

$\begin{array}{l} h^{'} (x) = \frac{1}{x} - 1 \leq 0 ‚ \\ h (x)_{\min} = h (m) = 1 + \ln m - m . \end{array}$

要使t存在, 只要-2≤1+ln m-m, 即

ln m-m+3≥0.

令k (m) =ln m-m+3, 则

$k^{'} (m) = \frac{1}{m} - 1 \leq 0 .$

所以k (m) 在 (1, +∞) 上为单调减函数, 且

k (3) =ln 3>0,

k (4) =ln 4-1>0,

k (5) =ln 5-2<0.

所以满足条件的最大整数m的值为4.

师:十分精彩!生5的做法简捷明了, 既避免了分类讨论, 又将这一较难问题转化成十分基本的问题.关注细节的变化, 威力往往是巨大的, 难点的突破显得那么自然, 那么通俗易懂, 这是我们突破难点的非常高的境界.

3教后反思

面对具体问题, 特别是压轴题, 学生本身潜意识就有一点恐惧的心理, 教师要灵活选择教学方式, 舍得在课堂上花时间让学生暴露自己的思维过程, 分析其思维受阻原因及对策, 发现不足, 扬长避短.较难问题往往不止一种解法, 高考试卷的压轴题经常有10种左右的解法, 每一种解法都是一个思维的结果, 然而教师往往忽视思维形成的过程, 学生只能作为教师解题的观察者和欣赏者, 并没有切身的体会, 思维能力没有得到真正的提高.教师应引导学生进行解题后的反思, 不仅能有效地帮助学生巩固知识、技能, 而且对提高学生思维品质有特殊功效.

反思的内容主要有:

①解题涉及的知识方法有哪些?它们之间有何联系?解题过程能否简化?解题方法能否优化?哪些步骤上容易发生错误?原因何在?如何防止?

②解题时用了哪些思维方法?解法是如何分析而来的?解法是否具有普遍意义?有何规律?

③解决问题的关键何在?如何进行突破?是否还有其他不同的解法?在找到多种解法的前提下, 哪种方法最优?最合理?其中的道理是什么?

④在解题过程中最初遇到哪些困难?后来又是如何解决的?

相信通过这样的思考, 学生的能力一定会得到很大的提高.

参考文献

[1]陈久贵.数学探究的鲜活资源——一道课本习题的数学探究案例[J].数学通报, 2008, (4) .

[2]张雪松.对生成性教学中两个问题的探讨[J].中国数学教育, 2010, (3) .

[3]汪国华.数学教学的“本原性”[J].中学数学教学参考, 2008, (12) .

压轴戏-压轴戏的故事-压轴戏的寓意-压轴戏的意思篇6

例12013年上海市黄浦区中考模拟第24题

已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图像经过点P(0, 1)与Q(2, －3)．

（1）求此二次函数的解析式；

（2）若点A是第一象限内该二次函数图像上一点，过点A作x轴的平行线交二次函数图像于点B，分别过点B、A作x轴的垂线，垂足分别为C、D，且所得四边形ABCD恰为正方形．

①求正方形的ABCD的面积； ②联结PA、PD，PD交AB于点E，求证：△PAD∽△PEA．

动感体验请打开几何画板文件名“13黄浦24”，拖动点A在第一象限内的抛物线上运动，可以体验到，∠PAE与∠PDA总保持相等，△PAD与△PEA保持相似．

请打开超级画板文件名“13黄浦24”，拖动点A在第一象限内的抛物线上运动，可以体验到，∠PAE与∠PDA总保持相等，△PAD与△PEA保持相似．

思路点拨

1．数形结合，用抛物线的解析式表示点A的坐标，用点A的坐标表示AD、AB的长，当四边形ABCD是正方形时，AD＝AB．

2．通过计算∠PAE与∠DPO的正切值，得到∠PAE＝∠DPO＝∠PDA，从而证明△PAD∽△PEA．

满分解答

（1）将点P(0, 1)、Q(2, －3)分别代入y＝－x2＋bx＋c，得

c1,b0,解得 c1.42b13.

所以该二次函数的解析式为y＝－x2＋1．

（2）①如图1，设点A的坐标为(x, －x2＋1)，当四边形ABCD恰为正方形时，AD＝AB．

此时yA＝2xA．解方程－x2＋1＝2x，得x1所以点A

1．因此正方形ABCD的面积等于1)]212

②设OP与AB交于点F，那么PFOPOF11)31)2．

PF所以tanPAE1．

AF又因为tanPDAtanDPO

1，OP

所以∠PAE＝∠PDA．

又因为∠P公用，所以△PAD∽△PEA．

图1图

2考点伸展

事实上，对于矩形ABCD，总有结论△PAD∽△PEA．证明如下：

如图2，设点A的坐标为(x, －x2＋1)，那么PF＝OP－OF＝1－(－x2＋1)＝x2．

PFx2

所以tanPAEx．

AFx

又因为tanPDAtanDPO

x，OP

所以∠PAE＝∠PDA．因此△PAD∽△PEA．

例22013年江西省中考第24题

某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：（1）操作发现：

在等腰△ABC中，AB＝AC，分别以AB、AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连结MD和ME，则下列结论正确的是__________（填序号即可）．

①AF＝AG＝

AB；②MD＝ME；③整个图形是轴对称图形；④MD⊥ME．

2（2）数学思考：

在任意△ABC中，分别以AB、AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连结MD和ME，则MD与ME有怎样的数量关系？请给出证明过程；

（3）类比探究：

在任意△ABC中，仍分别以AB、AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连结MD和ME，试判断△MDE的形状．答：_________．

图

1动感体验

请打开几何画板文件名“13江西24”，拖动点A可以改变△ABC的形状，可以体验到，△DFM≌△MGE保持不变，∠DME＝∠DFA＝∠EGA保持不变．

请打开超级画板文件名“13江西24”，拖动点A可以改变△ABC的形状，可以体验到，△DFM≌△MGE保持不变，∠DME＝∠DFA＝∠EGA保持不变．

思路点拨

1．本题图形中的线条错综复杂，怎样寻找数量关系和位置关系？最好的建议是按照题意把图形规范、准确地重新画一遍．

2．三个中点M、F、G的作用重大，既能产生中位线，又是直角三角形斜边上的中线． 3．两组中位线构成了平行四边形，由此相等的角都标注出来，还能组合出那些相等的角？

满分解答

（1）填写序号①②③④．

（2）如图4，作DF⊥AB，EG⊥AC，垂足分别为F、G．

因为DF、EG分别是等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE斜边上的高，所以F、G分别是AB、AC的中点．

又已知M是BC的中点，所以MF、MG是△ABC的中位线．

所以MF

1AC，MGAB，MF//AC，MG//AB． 2

2所以∠BFM＝∠BAC，∠MGC＝∠BAC．

所以∠BFM＝∠MGC．所以∠DFM＝∠MGE．

因为DF、EG分别是直角三角形ABD和直角三角形ACE斜边上的中线，所以EG

AC，DFAB． 22

所以MF＝EG，DF＝NG．

所以△DFM≌△MGE．所以DM＝ME．

（3）△MDE是等腰直角三角形．

图4图5

考点伸展

第（2）题和第（3）题证明△DFM≌△MGE的思路是相同的，不同的是证明∠DFM＝∠MGE的过程有一些不同．

如图4，如图5，∠BFM＝∠BAC＝∠MGC．

高考数学函数压轴题解题技巧篇7

函数值域常见求法和解题技巧

函数的值域与最值是两个不同的概念，一般说来，求出了一个函数的最值，未必能确定该函数的值域，反之，一个函数的值域被确定，这个函数也未必有最大值或最小值.

但是，在许多常见的函数中，函数的值域与最值的求法是相通的、类似的.关于求函数值域与最值的方法也是多种多样的，但是有许多方法是类似的，归纳起来

常用的方法有：观察法、配方法、换元法、反函数法、判别式法、不等式法、利用函数的单调性、利用三角函数的有界性、数形结合法等，在选择方法时，要注意所给函数表达式的结构，不同的结构选择不同的解法。

函数奇偶性的判断方法及解题策略

确定函数的奇偶性，一般先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系，常用方法有：①利用奇偶性定义判断;②利用图象进行判断，若函数的图象关于原点对称则函数为奇函数，若函数的图象关于轴对称则函数为偶函数;

③利用奇偶性的一些常见结论：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，偶奇奇，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇，偶奇奇;④对于偶函数可利用，这样可以避免对自变量的繁琐的分类讨论。

2高中数学考试技巧

掌握时间

由于，基础中考能力，所以要注重解题的快法和巧法，能在30分钟左右，完成全部的选择填空题，这是夺取高分的关键。

在平时当中一定要求自己选择填空一分钟一道题。用数学思想方法高速解答选择填空题。

后三难尽量多得分

第二段是解答题的前三题，分值不到40分。这样前两个阶段的总分在110分左右。第三段是最后“三难”题，分值不到40分。“三难”题并不全难，难点的分值只有12分到18分，平均每道题只有4分到6分。首先，应在“三难”题中夺得12分到20分，剩下最难的步骤分在努力争取。

后3题不是只做第一问的问题，而应该猜想评分标准，按步骤由前向后争取高分。

先易后难

所以，只做选择，填空和前三道大题是不够全面的。因为，后“三难”题中的容易部分比前面的基础部分还要容易，所以我们应该志在必得。在复习的时候，根据自己的情况，如果基础较好那首先争取选择，填空前三道大题得满分。然后，再提高解答“三难”题的能力，争取“三难”题得分20分到30分。这样，你的总分就可以超过130分，向145分冲刺。

3高中数学备考技巧

缺步解答——化繁为简，能做多少算多少，如果遇到一个很困难的数学问题，确实啃不动，一个聪明的解题策略是，将它们分解为一系列的步骤，或者是一个个小问题，先解决问题的一部分，能解决多少就解决多少，能演算几步就写几步，尚未成功不等于失败。特别是那些数学解题层次明显的题目，或者是已经程序化了的方法，每进行一步得分点的演算都可以得分，最后结论虽然未得出，但分数却已过半，因为判卷是不只看结果的。

一道大题中第一题的答案是下一题的条件。很多同学在做数学压轴题时都忽略了一个重要条件，就是第一小题的答案。一般第一小题很简单，第二题很难，有的同学忽略了第一题答案可以作为下一题条件这个重要因素

所以耗时很久也解答不出来。建议考生罗列题目给出的条件时，一定要把第一小题的答案也考虑进去。当然，不是每个数学压轴大题都是这样的，也有很多压轴题的不同小题给出不同条件，希望考生们能够根据实际情况随机应变。

高考数学压轴题，像一块硬骨头，要敢于“啃”，不要惧怕。数学压轴题往往有两问或者三问，第一问通常比较容易，要做好第一问，同时也为做好后面的问题打下基础。对后面的问题，即使不能够写出完整的解答过程，也要大胆的去做，能做多少是多少，要把自己的想法写出来。

4高中数学做题技巧

填空题

填空题和选择题同属客观性试题，它们有许多共同特点：其形态短小精悍，考查目标集中，答案简短、明确、具体，不必填写解答过程，评分客观、公正、准确等等。不过填空题和选择题也有质的区别。首先，表现为填空题没有备选项。因此，解答时既有不受诱误的干扰之好处，又有缺乏提示的帮助之不足，对考生独立思考和求解，在能力要求上会高一些

长期以来，填空题的答对率一直低于选择题的答对率，也许这就是一个重要的原因。其次，填空题的结构，往往是在一个正确的命题或断言中，抽去其中的一些内容(既可以是条件，也可以是结论)，留下空位，让考生独立填上，考查方法比较灵活。在对题目的阅读理解上，较之选择题，有时会显得较为费劲。当然并非常常如此，这将取决于命题者对试题的设计意图。

选择题

1)解法多样化：与其他学科比较，“一题多解”的现象在数学中表现突出。尤其是数学选择题，由于它有备选项，给试题的解答提供了丰富的有用信息，有相当大的提示性，为解题活动展现了广阔的天地，大大地增加了解答的途径和方法。常常潜藏着极其巧妙的解法，有利于对考生思维深度的考查。

解答题

解答题与填空题比较，同属提供型的试题，但也有本质的区别。首先，解答题应答时，考生不仅要提供出最后的结论，还得写出或说出解答过程的主要步骤，提供合理、合法的说明。填空题则无此要求，只要填写结果，省略过程，而且所填结果应力求简练、概括和准确。其次，试题，解答题比起填空题要丰富得多。

一道可用逆向思维解的中考压轴题篇8

善于学习的小敏查资料知道:对应角相等, 对应边成比例的两个梯形, 叫做相似梯形。他联想到“平行于三角形一边的直线和其他两边相交, 所构成的三角形与原三角形相似”, 提出如下两个问题, 你能帮助解决吗?

问题一:平行于梯形底边的直线截两腰所得的小梯形和原梯形是否相似? (1) 从特殊情形入手探究。假设梯形ABCD中, AD∥BC, AB=6, BC=8, CD=4, AD=2, MN是中位线 (如图1) 。根据相似梯形的定义, 请你说明梯形AMN D与梯形ABCD是否相似? (2) 一般结论:平行于梯形底边的直线截两腰所得的小梯形与原梯形 (填“相似”或“不相似”或“相似性无法确定”, 不要求证明) 。

问题二:平行于梯形底边的直线截两腰所得的两个小梯形是否相似? (1) 从特殊平行线入手探究。梯形的中位线截两腰所得的两个小梯形______ (填“相似”或“不相似”或“相似性无法确定”。不要求证明) 。 (2) 从特殊梯形入手探究。同上假设, 梯形ABCD中, AD∥BC, AB=6, BC=8, CD=4, AD=2, 你能找到与梯形底边平行的直线PQ (点P, Q在梯形的两腰上, 如图2) , 使得梯形APQ D与梯形PBCD相似吗?请根据相似梯形的定义说明理由。 (3) 一般结论:对任意梯形 (如图3) , 一定______ (填“存在”或“不存在”) 平行于梯形底边的直线PQ, 使截得的两个小梯形相似。若存在, 则确定这条平行线位置的条件是AP/PB=______ (不妨设AD=a, BC=b, AB=c, CD=d, 不要求证明) 。

压轴戏-压轴戏的故事-压轴戏的寓意-压轴戏的意思篇9

如何看待“毒奶粉”，“瘦肉精”地沟油“”染色馒头“”毒豆芽“”问题？答案汇总1：

这些现象都体现了一种职业道德缺失在各类企业中的严重程度。究其原因，主要有以下几种：

一、企业文化低落，导致企业在追求高额利润的时候，忘却了发展自身所需承担的社会责任。

二、企业发展方式跟不上时代发展的要求，但企业又必须以营利为生，故采用成本低下的方式，不惜以危害消费者权益甚至人身安全的方式进行生产加工。

三、行政管理监督及质量技术监督力度不足，也正因此，大量不合格的生活消费品才能进入流通市场，引发消费危害。

因此，可以从三个方面去减少和杜绝这种现象。一是提高企业文化的质量。二是转变企业发展方式。三是加强各类监督。答案汇总2：

1、严厉打击，对于制假贩假的产业链重罚，从源头开始治理

2、形成长效的监督监察机制，特别是对于质检部门的监察体系进行整改，防止权利的寻租行为

3、健全举报机制，发动全体群众的力量

4、通过各种媒体，宣传辨别防御此类产品的基本方法和手段，避免受害

答案汇总3：

这些一系列的食品安全问题，充分暴露了一下几个方面的问题：

1、无良企业利益熏心，诚信、道德的缺失，不遵守法律法规，漠视生命。

2、监管部门监管不到位，执法不严，监管力度不够。

3、关于食品安全的法制制度还不健全，打击力度不够。

4、销售过程中，超市商店未起到相应的监督职责。针对以上问题主要有以下对策：

1、加强对食品企业、私人作坊的监查力度，严厉打击违法现象。

2、监管部门要牢固树立“为人民负责”的责任心，真正做到执法到位，监测到位。

3、加强对企业个人诚信教育，道德教育，树立正确的诚信道德观。

4、建立健全食品安全法律法规，建立长效的规范机制。

5、健全媒体、群众对食品安全的监督、举报、曝光的监督举报机制。答案汇总4：

题中所述的问题食品泛滥的现象，现在在全国普遍存在。是一种不正常的社会现象，如不采取有力措施解决，会造成严重的社会影响。对此我有以下看法：首先，我认为产生这种社会现象的原因有：

1、暴利的诱惑，引诱不法商贩铤而走险，不择手段，眼里只有利益。导致制假，贩假泛滥。

2、食品行业的诚信体系接近崩溃，商人心中的道德标准一降再降，导致商人眼里除了利益再无他物。

3、政府有关部门未尽职尽责，没有有力打击这些黑心商贩。导致奸商胆子越来越大。其次，问题食品泛滥会造成以下影响：

1、问题食品会诱发各种恶性疾病的高发，使人民金钱、肉体双痛苦。

2、整个行业劣币驱逐良币，引发行业的崩溃。

3、部分政府机关的不作为，影响了党和政府的形象。

八年级勾股定理压轴题篇10

1.(6分)如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=7，BC=24，CD⊥AB于D.

(1)求AB的长;

(2)求CD的长.

2.(6分)如图，已知AB=13，BC=14，AC=15，AD⊥BC于D，求AD长.

3.(6分)某开发区有一空地ABCD，如图所示，现计划在空地上种草皮，经测量，∠B=90°，AB=3m，BC=4 m，AD=12 m，CD=13 m，若每种植1平方米草皮需要100元，问总共需要投入多少元?

4.(6分)如图，两点A，B都与平面镜相距4米，且A，B两点相距6米，一束光由A点射向平面镜，反射之后恰好经过B点，求B点与入射点间的距离.

5.(6分)如图，一块长方体砖宽AN=5 cm，长ND=10 cm，CD上的点B距地面的高BD=8 cm，地面上A处的一只蚂蚁到B处吃食，需要爬行的最短路径是多少?

6.(8分)探索与研究：

方法1：如图(a)，对任意的符合条件的直角三角形绕其锐角顶点旋转90°所得，所以∠BAE=90°，且四边形ACFD是一个正方形，它的面积和四边形ABFE面积相等，而四边形ABFE面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和，根据图示写出证明勾股定理的过程;

方法2：如图(b)，是任意的符合条件的两个全等的Rt△BEA和Rt△ACD拼成的，你能根据图示再写一种证明勾股定理的方法吗?

7.(8分)(1)如图(1)，在四边形ABCD中，BC⊥CD，∠ACD=∠ADC.

求证：AB+AC> ;

压轴戏-压轴戏的故事-压轴戏的寓意-压轴戏的意思篇11

类型一“双动点”问题

例1 (2009年江苏28)如图1,已知射线DE与x轴和y轴分别交于点D(3,0)和点E(0,4).动点C从点M(5,0)出发,以1个单位长度/秒的速度沿x轴向左作匀速运动,与此同时,动点P从点D出发,也以1个单位长度/秒的速度沿射线DE的方向作匀速运动.设运动时间为t秒.

(1)请用含t的代数式分别表示出点C与点P的坐标;

(2)以点C为圆心、t个单位长度为半径的圆C与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),连接PA、PB.

①当圆C与射线DE有公共点时,求t的取值范围;

②当△PAB为等腰三角形时,求t的值.

简析:第(1)问是一个双动点的情境,由MC=t,得C(5-t,0),通过相似不难得到P的坐标为.第(2)问创设了动圆的运动(几何图形的运动,这类问题出现得较少),圆心C在运动、半径在改变,处理的方法是转化为圆C与x轴两交点A与B的运动,,AM=.第①小问,当圆C的圆心C由点M(5,0)向左运动,使点A到点D并随圆C继续向左运动时,有·当点C在点D左侧时,过点C作CF⊥射线DE,垂足为F,则由∠CDF=∠EDO,得△CDF～△EDO,则.解得.由,即,解得.

所以当圆C与射线DE有公共点时,t的取值范围为.

其实本问可从极端情况入手:情形1点△与点D重合;情形2点△在点D左侧,圆C与DE相切,用相似解决.

如图2.第②问应分为三种情况.当P△=△B时,过P作PQ丄x轴,垂足为Q,有

PA2=PQ2+AQ2=t)2.所以=t2,即9t2+72t+80=0.解得.

当PA=PB时,有PC⊥AB,所以.解得t3=5.

当PB=AB时,有即7t2-8t-80=0.解得t4=4,(不合题意,舍去).所以当△P△B是等腰三角形时,,或t=4,或t=5,或.此问中,等腰三角形的分类(策略:有时可借助尺规作图来操作)学习后并不难掌握,难点在如何用t的代数式表示PA、PB(勾股定理、相似三角形是解决的基础)以及对运算提出了极高的要求,提高较繁运算的能力很重要(更重要的是能做到以简驭繁).此外,对于整体图形的运动处理的策略是抓住关键点,转化为点的运动.

类型二“单动点”问题

例2 (2010年江苏泰州28)在平面直角坐标系中,直线y=kx+b(k为常数且k≠0)分别交x轴、y轴于点A,B,圆O半径为个单位长度.

(1)如图3甲,若点A在x轴正半轴上,点B在y轴正半轴上,且OA=OB.①求△的值;②若b=4,点P为直线y=kx+b上的动点,过点P作圆0的切线PC、PD,切点分别为C、D,当PC⊥PD时,求点P的坐标.

(2)若,直线y=kx+b将圆周分成两段弧长之比为1:2,求b的值.(图3乙供选用)

简析:(1)①由OA=OB=b,不难求得k的值;△的坐标为(b,0),代入y=kx+bkk=-1.②问属于“单动点问题”,随着点P在直线△B上运动,两切点C、D也随之在圆上运动·解决本题的关键在于运动过程中寻找不变的几何关系,探求动态中的静态,始终把握在变化中不动的量将函数的变量放在同一组关系中建立联系,从而建立方程、不等式、函数模型去求解·经过思考发现无论点P怎样运动,四边形ODPC始终是正方形,过P作x轴的垂线,垂足为F,连结OD.

因为PC、PD是圆O的两条切线,∠CPD=90°,所以,因为△PDO=90°,△POD=∠OPD=45°,

所以OD=,OP.

因为P在直线y=-x+4上,设P(m,-m+4),则OF=m,PF=-m+4,

因为∠PFO=90°,OF2+PF2=PO2,

所以,解得m=1或3,所以P的坐标为(1,3)或(3,1);

(2)分两种情形,或.

直线y=kx+b将圆周分成两段弧长之比为1:2,可知其所对圆心角为120°,如图4,画出弦心距OC,可得弦心距,又因为直线y=kx+b中,所以直线与x轴交角的正切值为,即,所以,进而可得,即直线与x轴交于点(,0).所以直线与y轴交于点(,0),所以b的值为.

当直线与x轴、y轴的负半轴相交,同理可求得b的值为.

综合以上得:b的值为.

压轴戏-压轴戏的故事-压轴戏的寓意-压轴戏的意思篇12

精讲解读篇

因动点产生的相似三角形问题

1．如图，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=x2的对称轴绕着点P（0，2）顺时针旋转45°后与该抛物线交于A、B两点，点Q是该抛物线上一点．（1）求直线AB的函数表达式；

（2）如图①，若点Q在直线AB的下方，求点Q到直线AB的距离的最大值；（3）如图②，若点Q在y轴左侧，且点T（0，t）（t＜2）是射线PO上一点，当以P、B、Q为顶点的三角形与△PAT相似时，求所有满足条件的t的值．

2．如图，已知BC是半圆O的直径，BC=8，过线段BO上一动点D，作AD⊥BC交半圆O于点A，联结AO，过点B作BH⊥AO，垂足为点H，BH的延长线交半圆O于点F．（1）求证：AH=BD；

（2）设BD=x，BE•BF=y，求y关于x的函数关系式；

（3）如图2，若联结FA并延长交CB的延长线于点G，当△FAE与△FBG相似时，求BD的长度．

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3．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB过点A（3，0）、B（0，m）（m＞0），tan∠BAO=2．

（1）求直线AB的表达式；（2）反比例函数y=的图象与直线AB交于第一象限内的C、D两点（BD＜BC），当AD=2DB时，求k1的值；

（3）设线段AB的中点为E，过点E作x轴的垂线，垂足为点M，交反比例函数y=的图象于点F，分别联结OE、OF，当△OEF∽△OBE时，请直接写出满足条件的所有k2的值．

4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=7，点D是边CA延长线的一点，AE⊥BD，垂足为点E，AE的延长线交CA的平行线BF于点F，连结CE交AB于点G．

（1）当点E是BD的中点时，求tan∠AFB的值；

（2）CE•AF的值是否随线段AD长度的改变而变化？如果不变，求出CE•AF的值；如果变化，请说明理由；

（3）当△BGE和△BAF相似时，求线段AF的长．

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5．如图，平面直角坐标系xOy中，已知B（﹣1，0），一次函数y=﹣x+5的图象与x轴、y轴分别交于点A、C两点，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过点A、点B．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）点P是该二次函数图象的顶点，求△APC的面积；

（3）如果点Q在线段AC上，且△ABC与△AOQ相似，求点Q的坐标．

6．已知：半圆O的直径AB=6，点C在半圆O上，且tan∠ABC=2AC上一点，联结DC（如图）（1）求BC的长；，点D为弧（2）若射线DC交射线AB于点M，且△MBC与△MOC相似，求CD的长；（3）联结OD，当OD∥BC时，作∠DOB的平分线交线段DC于点N，求ON的长．

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7．如图，已知二次函数y=x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（3，﹣1），点C（0，﹣4），顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴与点D，交该二次函数图象于点B，连结BC．

（1）求该二次函数的解析式及点M的坐标；

（2）若将该二次函数图象向上平移m（m＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部（不包含△ABC的边界），求m的取值范围；（3）点P时直线AC上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与△BCD相似，请直接写出所有点P的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）．

因动点产生的等腰三角形问题

8．如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，点E是∠BAC角平分线上一点，过点E作AE的垂线，过点A作AB的垂线，两垂线交于点D，连接DB，点F是BD的中点，DH⊥AC，垂足为H，连接EF，HF．（1）如图1，若点H是AC的中点，AC=2（2）如图1，求证：HF=EF；

（3）如图2，连接CF，CE．猜想：△CEF是否是等边三角形？若是，请证明；若不是，说明理由．，求AB，BD的长；

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9．已知，一条抛物线的顶点为E（﹣1，4），且过点A（﹣3，0），与y轴交于点C，点D是这条抛物线上一点，它的横坐标为m，且﹣3＜m＜﹣1，过点D作DK⊥x轴，垂足为K，DK分别交线段AE、AC于点G、H．（1）求这条抛物线的解析式；（2）求证：GH=HK；

（3）当△CGH是等腰三角形时，求m的值．

10．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，sinA=，点P是边BC上的一点，PE⊥AB，垂足为E，以点P为圆心，PC为半径的圆与射线PE相交于点Q，线段CQ与边AB交于点D．（1）求AD的长；

（2）设CP=x，△PCQ的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）过点C作CF⊥AB，垂足为F，联结PF、QF，如果△PQF是以PF为腰的等腰三角形，求CP的长．

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11．如图（1），直线y=﹣x+n交x轴于点A，交y轴于点C（0，4），抛物线y=x2+bx+c经过点A，交y轴于点B（0，﹣2）．点P为抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线PD，过点B作BD⊥PD于点D，连接PB，设点P的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；

（2）当△BDP为等腰直角三角形时，求线段PD的长；

（3）如图（2），将△BDP绕点B逆时针旋转，得到△BD′P′，当旋转角∠PBP′=∠OAC，且点P的对应点P′落在坐标轴上时，请直接写出点P的坐标．

12．综合与探究

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx﹣8与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为（﹣2，0），（6，﹣8）．（1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点B和点E的坐标；

（2）试探究抛物线上是否存在点F，使△FOE≌△FCE？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m），直线PB与直线l交于点Q，试探究：当m为何值时，△OPQ是等腰三角形．

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因动点产生的直角三角形问题

13．已知，如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，BC=11，CD=6，tan∠ABC=2，点E在AD边上，且AE=3ED，EF∥AB交BC于点F，点M、N分别在射线FE和线段CD上．（1）求线段CF的长；

（2）如图2，当点M在线段FE上，且AM⊥MN，设FM•cos∠EFC=x，CN=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；

（3）如果△AMN为等腰直角三角形，求线段FM的长．

14．如图，在矩形ABCD中，点O为坐标原点，点B的坐标为（4，3），点A、C在坐标轴上，点P在BC边上，直线l1：y=2x+3，直线l2：y=2x﹣3．（1）分别求直线l1与x轴，直线l2与AB的交点坐标；

（2）已知点M在第一象限，且是直线l2上的点，若△APM是等腰直角三角形，求点M的坐标；

（3）我们把直线l1和直线l2上的点所组成的图形为图形F．已知矩形ANPQ的顶点N在图形F上，Q是坐标平面内的点，且N点的横坐标为x，请直接写出x的取值范围（不用说明理由）．

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因动点产生的平行四边形问题

15．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y=kx+b与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．

（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）；

（2）点E是直线l上方的抛物线上的一点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；

（3）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．

16．如图，在矩形OABC中，OA=5，AB=4，点D为边AB上一点，将△BCD沿直线CD折叠，使点B恰好落在OA边上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系．

（1）求点E坐标及经过O，D，C三点的抛物线的解析式；

（2）一动点P从点C出发，沿CB以每秒2 个单位长的速度向点B运动，同时动点Q从E点出发，沿EC以每秒1个单位长的速度向点C运动，当点P到达点B时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，DP=DQ；（3）若点N在（2）中的抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使得以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．

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17．如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴交于点E．

（1）求直线AD的解析式；

（2）如图1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求△FGH周长的最大值；

（3）点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是以AM为边的矩形．若点T和点Q关于AM所在直线对称，求点T的坐标．

18．如图，点A和动点P在直线l上，点P关于点A的对称点为Q，以AQ为边作Rt△ABQ，使∠BAQ=90°，AQ：AB=3：4，作△ABQ的外接圆O．点C在点P右侧，PC=4，过点C作直线m⊥l，过点O作OD⊥m于点D，交AB右侧的圆弧于点E．在射线CD上取点F，使DF=CD，以DE，DF为邻边作矩形DEGF．设AQ=3x．

（1）用关于x的代数式表示BQ，DF．

（2）当点P在点A右侧时，若矩形DEGF的面积等于90，求AP的长．（3）在点P的整个运动过程中，第9页（共169页）

①当AP为何值时，矩形DEGF是正方形？

②作直线BG交⊙O于点N，若BN的弦心距为1，求AP的长（直接写出答案）．

19．在平面直角坐标系xOy（如图）中，经过点A（﹣1，0）的抛物线y=﹣x2+bx+3与y轴交于点C，点B与点A、点D与点C分别关于该抛物线的对称轴对称．（1）求b的值以及直线AD与x轴正方向的夹角；

（2）如果点E是抛物线上一动点，过E作EF平行于x轴交直线AD于点F，且F在E的右边，过点E作EG⊥AD与点G，设E的横坐标为m，△EFG的周长为l，试用m表示l；

（3）点M是该抛物线的顶点，点P是y轴上一点，Q是坐标平面内一点，如果以点A、M、P、Q为顶点的四边形是矩形，求该矩形的顶点Q的坐标．

20．如图，直线y=mx+4与反比例函数y=（k＞0）的图象交于点A、B，与x轴、y轴分别交于D、C，tan∠CDO=2，AC：CD=1：2．（1）求反比例函数解析式；（2）联结BO，求∠DBO的正切值；

（3）点M在直线x=﹣1上，点N在反比例函数图象上，如果以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标．

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21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（2，9），与y轴交于点A（0，5），与x轴交于点E、B．（1）求二次函数y=ax2+bx+c的表达式；

（2）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P在AC上方），作PD平行于y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积；

（3）若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以A、E、N、M为顶点的四边形是平行四边形，且AE为其一边，求点M、N的坐标．

因动点产生的梯形问题

22．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=

+bx+c的图象与y轴交于点A，与双曲线y=有一个公共点B，它的横坐标为4，过点B作直线l∥x轴，第11页（共169页）

与该二次函数图象交于另一个点C，直线AC在y轴上的截距是﹣6．（1）求二次函数的解析式；（2）求直线AC的表达式；

（3）平面内是否存在点D，使A、B、C、D为顶点的四边形是等腰梯形？如果存在，求出点D坐标；如果不存在，说明理由．

23．如图，矩形OMPN的顶点O在原点，M、N分别在x轴和y轴的正半轴上，OM=6，ON=3，反比例函数y=的图象与PN交于C，与PM交于D，过点C作CA⊥x轴于点A，过点D作DB⊥y轴于点B，AC与BD交于点G．（1）求证：AB∥CD；

（2）在直角坐标平面内是否若存在点E，使以B、C、D、E为顶点，BC为腰的梯形是等腰梯形？若存在，求点E的坐标；若不存在请说明理由．

因动点产生的面积问题

24．如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上点A，C间的一个动点（含端点），过点P作PF⊥BC于点F，点D、E的坐标分别为（0，6），（﹣4，0），连接PD、PE、DE．（1）请直接写出抛物线的解析式；

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（2）小明探究点P的位置发现：当P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值，进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值，请你判断该猜想是否正确，并说明理由；

（3）小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE的面积为整数”的点P记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”．请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE周长最小时“好点”的坐标．

25．如图，四边形OABC是边长为4的正方形，点P为OA边上任意一点（与点O、A不重合），连接CP，过点P作PM⊥CP交AB于点D，且PM=CP，过点M作MN∥OA，交BO于点N，连接ND、BM，设OP=t．（1）求点M的坐标（用含t的代数式表示）．

（2）试判断线段MN的长度是否随点P的位置的变化而改变？并说明理由．（3）当t为何值时，四边形BNDM的面积最小．

26．在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形ABCD与边长为2的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一直线上，AB与AG在同一直线上．

（1）小明发现DG⊥BE，请你帮他说明理由．

（2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时BE的长．

（3）如图3，小明将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转，线段DG与线段BE

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将相交，交点为H，写出△GHE与△BHD面积之和的最大值，并简要说明理由．

27．在平面直角坐标系中，O为原点，直线y=﹣2x﹣1与y轴交于点A，与直线y=﹣x交于点B，点B关于原点的对称点为点C．（1）求过A，B，C三点的抛物线的解析式；

（2）P为抛物线上一点，它关于原点的对称点为Q． ①当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标；

②若点P的横坐标为t（﹣1＜t＜1），当t为何值时，四边形PBQC面积最大？并说明理由．

28．如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），以OA为直径在第一象限内作半圆，B为半圆上一点，连接AB并延长至C，使BC=AB，过C作CD⊥x轴于点D，交线段OB于点E，已知CD=8，抛物线经过O、E、A三点．（1）∠OBA=

°．（2）求抛物线的函数表达式．

（3）若P为抛物线上位于第一象限内的一个动点，以P、O、A、E为顶点的四边形面积记作S，则S取何值时，相应的点P有且只有3个？

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29．如图1，关于x的二次函数y=﹣x2+bx+c经过点A（﹣3，0），点C（0，3），点D为二次函数的顶点，DE为二次函数的对称轴，E在x轴上．（1）求抛物线的解析式；

（2）DE上是否存在点P到AD的距离与到x轴的距离相等？若存在求出点P，若不存在请说明理由；

（3）如图2，DE的左侧抛物线上是否存在点F，使2S△FBC=3S△EBC？若存在求出点F的坐标，若不存在请说明理由．

30．已知抛物线y=mx2+（1﹣2m）x+1﹣3m与x轴相交于不同的两点A、B（1）求m的取值范围；

（2）证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点P，并求出点P的坐标；（3）当＜m≤8时，由（2）求出的点P和点A，B构成的△ABP的面积是否有最值？若有，求出该最值及相对应的m值． 31．问题提出

（1）如图①，已知△ABC，请画出△ABC关于直线AC对称的三角形．问题探究

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（2）如图②，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，AE=4，AF=2，是否在边BC、CD上分别存在点G、H，使得四边形EFGH的周长最小？若存在，求出它周长的最小值；若不存在，请说明理由．问题解决

（3）如图③，有一矩形板材ABCD，AB=3米，AD=6米，现想从此板材中裁出一个面积尽可能大的四边形EFGH部件，使∠EFG=90°，EF=FG=

米，∠EHG=45°，经研究，只有当点E、F、G分别在边AD、AB、BC上，且AF＜BF，并满足点H在矩形ABCD内部或边上时，才有可能裁出符合要求的部件，试问能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH部件？若能，求出裁得的四边形EFGH部件的面积；若不能，请说明理由．

32．如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE的顶点C和E分别在y轴的正半轴和x轴的正半轴上，OC=8，OE=17，抛物线y=

x2﹣3x+m与y轴相交于点A，抛物线的对称轴与x轴相交于点B，与CD交于点K．

（1）将矩形OCDE沿AB折叠，点O恰好落在边CD上的点F处．

①点B的坐标为（、），BK的长是

，CK的长是

； ②求点F的坐标；

③请直接写出抛物线的函数表达式；

（2）将矩形OCDE沿着经过点E的直线折叠，点O恰好落在边CD上的点G处，连接OG，折痕与OG相交于点H，点M是线段EH上的一个动点（不与点H重合），连接MG，MO，过点G作GP⊥OM于点P，交EH于点N，连接ON，点M从点E开始沿线段EH向点H运动，至与点N重合时停止，△MOG和△NOG的面积分别表示为S1和S2，在点M的运动过程中，S1•S2（即S1与S2的积）的值是否发生变化？若变化，请直接写出变化范围；若不变，请直接写出这个值．温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答．

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33．如图，已知▱ABCD的三个顶点A（n，0）、B（m，0）、D（0，2n）（m＞n＞0），作▱ABCD关于直线AD的对称图形AB1C1D（1）若m=3，试求四边形CC1B1B面积S的最大值；（2）若点B1恰好落在y轴上，试求的值．

因动点产生的相切问题

34．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴相交于点C（0，3），抛物线的对称轴为直线l．（1）求这条抛物线的关系式，并写出其对称轴和顶点M的坐标；

（2）如果直线y=kx+b经过C、M两点，且与x轴交于点D，点C关于直线l的对称点为N，试证明四边形CDAN是平行四边形；

（3）点P在直线l上，且以点P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，求点P的坐标．

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35．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=14，tanA=，点D是边AC上一点，AD=8，点E是边AB上一点，以点E为圆心，EA为半径作圆，经过点D，点F是边AC上一动点（点F不与A、C重合），作FG⊥EF，交射线BC于点G．（1）用直尺圆规作出圆心E，并求圆E的半径长（保留作图痕迹）；

（2）当点G的边BC上时，设AF=x，CG=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；

（3）联结EG，当△EFG与△FCG相似时，推理判断以点G为圆心、CG为半径的圆G与圆E可能产生的各种位置关系．

36．如图，线段PA=1，点D是线段PA延长线上的点，AD=a（a＞1），点O是线段AP延长线上的点，OA2=OP•OD，以O为圆心，OA为半径作扇形OAB，∠BOA=90°．

点C是弧AB上的点，联结PC、DC．

（1）联结BD交弧AB于E，当a=2时，求BE的长；

（2）当以PC为半径的⊙P和以CD为半径的⊙C相切时，求a的值；（3）当直线DC经过点B，且满足PC•OA=BC•OP时，求扇形OAB的半径长．

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37．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm，点P从点B出发，沿对角线BD向点D匀速运动，速度为4cm/s，过点P作PQ⊥BD交BC于点Q，以PQ为一边作正方形PQMN，使得点N落在射线PD上，点O从点D出发，沿DC向点C匀速运动，速度为3cm/s，以O为圆心，0.8cm为半径作⊙O，点P与点O同时出发，设它们的运动时间为t（单位：s）（0＜t＜）．（1）如图1，连接DQ平分∠BDC时，t的值为

；

（2）如图2，连接CM，若△CMQ是以CQ为底的等腰三角形，求t的值；（3）请你继续进行探究，并解答下列问题：

①证明：在运动过程中，点O始终在QM所在直线的左侧；

②如图3，在运动过程中，当QM与⊙O相切时，求t的值；并判断此时PM与⊙O是否也相切？说明理由．

38．如图，抛物线y=﹣x2+mx+n的图象经过点A（2，3），对称轴为直线x=1，一次函数y=kx+b的图象经过点A，交x轴于点P，交抛物线于另一点B，点A、B位于点P的同侧．（1）求抛物线的解析式；

（2）若PA：PB=3：1，求一次函数的解析式；

（3）在（2）的条件下，当k＞0时，抛物线的对称轴上是否存在点C，使得⊙C同时与x轴和直线AP都相切，如果存在，请求出点C的坐标，如果不存在，请说明理由．

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因动点产生的线段和差问题

39．如图，抛物线y=x2﹣4x与x轴交于O，A两点，P为抛物线上一点，过点P的直线y=x+m与对称轴交于点Q．

（1）这条抛物线的对称轴是

，直线PQ与x轴所夹锐角的度数是

；（2）若两个三角形面积满足S△POQ=S△PAQ，求m的值；

（3）当点P在x轴下方的抛物线上时，过点C（2，2）的直线AC与直线PQ交于点D，求：①PD+DQ的最大值；②PD•DQ的最大值．

40．抛物线y=ax2+bx+4（a≠0）过点A（1，﹣1），B（5，﹣1），与y轴交于点C．（1）求抛物线的函数表达式；

（2）如图1，连接CB，以CB为边作▱CBPQ，若点P在直线BC上方的抛物线上，Q为坐标平面内的一点，且▱CBPQ的面积为30，求点P的坐标；（3）如图2，⊙O1过点A、B、C三点，AE为直径，点M为

上的一动点（不与点A，E重合），∠MBN为直角，边BN与ME的延长线交于N，求线段BN长

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度的最大值．

41．如图，在每一个四边形ABCD中，均有AD∥BC，CD⊥BC，∠ABC=60°，AD=8，BC=12．

（1）如图①，点M是四边形ABCD边AD上的一点，则△BMC的面积为

；（2）如图②，点N是四边形ABCD边AD上的任意一点，请你求出△BNC周长的最小值；

（3）如图③，在四边形ABCD的边AD上，是否存在一点P，使得cos∠BPC的值最小？若存在，求出此时cos∠BPC的值；若不存在，请说明理由．

42．如图，把△EFP按图示方式放置在菱形ABCD中，使得顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上，已知EP=FP=4，EF=4（1）求∠EPF的大小；

（2）若AP=6，求AE+AF的值；

（3）若△EFP的三个顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上运动，请直接写出AP长的最大值和最小值．，∠BAD=60°，且AB＞

4．43．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2﹣x+2与x轴交于B、C两点

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（点B在点C的左侧），与y轴交于点A，抛物线的顶点为D．

（1）填空：点A的坐标为（，），点B的坐标为（，），点C的坐标为（，），点D的坐标为（，）；（2）点P是线段BC上的动点（点P不与点B、C重合）

①过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，若PE=PC，求点E的坐标；

②在①的条件下，点F是坐标轴上的点，且点F到EA和ED的距离相等，请直接写出线段EF的长；

③若点Q是线段AB上的动点（点Q不与点A、B重合），点R是线段AC上的动点（点R不与点A、C重合），请直接写出△PQR周长的最小值．

44．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，M是边CD上一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM．

（1）当AN平分∠MAB时，求DM的长；（2）连接BN，当DM=1时，求△ABN的面积；（3）当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值．

45．如图，半圆O的直径AB=4，以长为2的弦PQ为直径，向点O方向作半圆M，其中P点在发现：的长与上且不与A点重合，但Q点可与B点重合．的长之和为定值l，求l：

思考：点M与AB的最大距离为

，此时点P，A间的距离为

；点M与AB的最小距离为

，此时半圆M的弧与AB所围成的封闭图形面积为

；

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探究：当半圆M与AB相切时，求（注：结果保留π，cos35°=的长．），cos55°=

46．（1）发现：如图1，点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b．

填空：当点A位于

时，线段AC的长取得最大值，且最大值为

（用含a，b的式子表示）

（2）应用：点A为线段BC外一动点，且BC=3，AB=1，如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE． ①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由； ②直接写出线段BE长的最大值．

（3）拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且PA=2，PM=PB，∠BPM=90°，请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标．

47．如图，直线l：y=﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点B．（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；

（3）在（2）的条件下，当S取得最大值时，动点M相应的位置记为点M′． ①写出点M′的坐标；

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②将直线l绕点A按顺时针方向旋转得到直线l′，当直线l′与直线AM′重合时停止旋转，在旋转过程中，直线l′与线段BM′交于点C，设点B、M′到直线l′的距离分别为d1、d2，当d1+d2最大时，求直线l′旋转的角度（即∠BAC的度数）．

48．如图，在平面直角坐标系xOy中，将二次函数y=x2﹣1的图象M沿x轴翻折，把所得到的图象向右平移2个单位长度后再向上平移8个单位长度，得到二次函数图象N．

（1）求N的函数表达式；

（2）设点P（m，n）是以点C（1，4）为圆心、1为半径的圆上一动点，二次函数的图象M与x轴相交于两点A、B，求PA2+PB2的最大值；

（3）若一个点的横坐标与纵坐标均为整数，则该点称为整点．求M与N所围成封闭图形内（包括边界）整点的个数．

49．如图，顶点为A（，1）的抛物线经过坐标原点O，与x轴交于点B．

（1）求抛物线对应的二次函数的表达式；

（2）过B作OA的平行线交y轴于点C，交抛物线于点D，求证：△OCD≌△OAB；（3）在x轴上找一点P，使得△PCD的周长最小，求出P点的坐标．

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2017 挑战压轴题中考数学

精讲解读篇

参考答案与试题解析

一．解答题（共36小题）

【分析】（1）根据题意易得点M、P的坐标，利用待定系数法来求直线AB的解析式；

（2）如图①，过点Q作x轴的垂线QC，交AB于点C，再过点Q作直线AB的垂线，垂足为D，构建等腰直角△QDC，利用二次函数图象上点的坐标特征和二次函数最值的求法进行解答；

（3）根据相似三角形的对应角相等推知：△PBQ中必有一个内角为45°；需要分类讨论：∠PBQ=45°和∠PQB=45°；然后对这两种情况下的△PAT是否是直角三角形分别进行解答．另外，以P、B、Q为顶点的三角形与△PAT相似也有两种情况：△Q″PB∽△PAT、△Q″BP∽△PAT．

【解答】解：（1）如图①，设直线AB与x轴的交点为M．

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∵∠OPA=45°，∴OM=OP=2，即M（﹣2，0）．

设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），将M（﹣2，0），P（0，2）两点坐标代入，得，解得．

故直线AB的解析式为y=x+2；

（2）如图①，过点Q作x轴的垂线QC，交AB于点C，再过点Q作直线AB的垂线，垂足为D，根据条件可知△QDC为等腰直角三角形，则QD=设Q（m，m2），则C（m，m+2）． ∴QC=m+2﹣m2=﹣（m﹣）2+，QD=QC=[﹣（m﹣）2+]．

；

QC．

故当m=时，点Q到直线AB的距离最大，最大值为

（3）∵∠APT=45°，∴△PBQ中必有一个内角为45°，由图知，∠BPQ=45°不合题意．

①如图②，若∠PBQ=45°，过点B作x轴的平行线，与抛物线和y轴分别交于点Q′、F．此时满足∠PBQ′=45°． ∵Q′（﹣2，4），F（0，4），∴此时△BPQ′是等腰直角三角形，由题意知△PAT也是等腰直角三角形．（i）当∠PTA=90°时，得到：PT=AT=1，此时t=1；（ii）当∠PAT=90°时，得到：PT=2，此时t=0．

②如图③，若∠PQB=45°，①中是情况之一，答案同上；

先以点F为圆心，FB为半径作圆，则P、B、Q′都在圆F上，设圆F与y轴左侧的抛物线交于另一点Q″．

则∠PQ″B=∠PQ′B=45°（同弧所对的圆周角相等），即这里的交点Q″也是符合要

第27页（共169页）

求．

设Q″（n，n2）（﹣2＜n＜0），由FQ″=2，得 n2+（4﹣n2）2=22，即n4﹣7n2+12=0．解得n2=3或n2=4，而﹣2＜n＜0，故n=﹣可证△PFQ″为等边三角形，所以∠PFQ″=60°，又PQ″=PQ″，所以∠PBQ″=∠PFQ″=30°．

则在△PQ″B中，∠PQ″B=45°，∠PBQ″=30°．

（i）若△Q″PB∽△PAT，则过点A作y轴的垂线，垂足为E．则ET=所以OT=解得t=1﹣AE=，OE=1，即Q″（﹣，3）．

﹣1，；

（ii）若△Q″BP∽△PAT，则过点T作直线AB垂线，垂足为G．设TG=a，则PG=TG=a，AG=∴a+a=，a=﹣1，TG=

a，AP=，解得PT=∴OT=OP﹣PT=3﹣∴t=3﹣．

综上所述，所求的t的值为t=1或t=0或t=1﹣或t=3﹣．

第28页（共169页）

（2）设BD=x，BE•BF=y，求y关于x的函数关系式；

（3）如图2，若联结FA并延长交CB的延长线于点G，当△FAE与△FBG相似时，求BD的长度．

【分析】（1）由AD⊥BC，BH⊥AO，利用垂直的定义得到一对直角相等，再由一对公共角，且半径相等，利用AAS得到三角形ADO与三角形BHO全等，利用全等三角形对应边相等得到OH=OD，利用等式的性质化简即可得证；

（2）连接AB，AF，如图1所示，利用HL得到直角三角形ADB与直角三角形BHA

第29页（共169页）

全等，利用全等三角形对应角相等得到一对角相等，再由公共角相等得到三角形ABE与三角形AFB相似，由相似得比例即可确定出y与x的函数解析式；（3）连接OF，如图2所示，利用两对角相等的三角形相似得到三角形AFO与三角形FOG相似，由相似得比例求出BD的长即可．【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，BH⊥AO，∴∠ADO=∠BHO=90°，在△ADO与△BHO中，∴△ADO≌△BHO（AAS），∴OH=OD，又∵OA=OB，∴AH=BD；

（2）解：连接AB、AF，如图1所示，∵AO是半径，AO⊥弦BF，∴∴AB=AF，∴∠ABF=∠AFB，在Rt△ADB与Rt△BHA中，∴Rt△ADB≌Rt△BHA（HL），∴∠ABF=∠BAD，∴∠BAD=∠AFB，又∵∠ABF=∠EBA，∴△BEA∽△BAF，∴

=，第30页（共169页）

∴BA2=BE•BF，∵BE•BF=y，∴y=BA2，∵∠ADO=∠ADB=90°，∴AD2=AO2﹣DO2，AD2=AB2﹣BD2，∴AO2﹣DO2=AB2﹣BD2，∵直径BC=8，BD=x，∴AB2=8x，则y=8x（0＜x＜4）；

方法二：∵BE•BF=y，BF=2BH，∴BE•BH=y，∵△BED∽△BOH，∴=，∴OB•BD=BE•BH，∴4x=y，∴y=8x（0＜x＜4）；

（3）解：连接OF，如图2所示，∵∠GFB是公共角，∠FAE＞∠G，∴当△FAE∽△FBG时，∠AEF=∠G，∵∠BHA=∠ADO=90°，∴∠AEF+∠DAO=90°，∠AOD+∠DAO=90°，∴∠AEF=∠AOD，∴∠G=∠AOD，∴AG=AO=4，第31页（共169页）

∵∴∠AOD=∠AOF，∴∠G=∠AOF，又∵∠GFO是公共角，∴△FAO∽△FOG，∴=，∵AB2=8x，AB=AF，∴AF=2∴=x，，解得：x=3±∵3+＞4，舍去，． ∴BD=3﹣

3．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB过点A（3，0）、B（0，m）（m＞0），tan∠BAO=2．

（1）求直线AB的表达式；（2）反比例函数y=的图象与直线AB交于第一象限内的C、D两点（BD＜BC），当AD=2DB时，求k1的值；

【分析】（1）先通过解直角三角形求得A的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线AB的解析式；

（2）作DE∥OA，根据题意得出

=，求得DE，即D的横坐标，代入AB

第32页（共169页）的解析式求得纵坐标，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求得k1；（3）根据勾股定理求得AB、OE，进一步求得BE，然后根据相似三角形的性质求得EF的长，从而求得FM的长，得出F的坐标，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求得k2．

【解答】解：（1）∵A（3，0）、B（0，m）（m＞0），∴OA=3，OB=m，∵tan∠BAO=∴m=6，设直线AB的解析式为y=kx+b，代入A（3，0）、B（0，6）得：解得：b=6，k=﹣2

∴直线AB的解析式为y=﹣2x+6；

=2，（2）如图1，∵AD=2DB，∴=，作DE∥OA，∴==，∴DE=OA=1，∴D的横坐标为1，代入y=﹣2x+6得，y=4，∴D（1，4），∴k1=1×4=4；

（3）如图2，∵A（3，0），B（0，6），∴E（，3），AB=

3，∵OE是Rt△OAB斜边上的中线，∴OE=AB=，BE=，第33页（共169页）

∵EM⊥x轴，∴F的横坐标为，∵△OEF∽△OBE，∴=，∴，∴EF=，=． ∴FM=3﹣∴F（，），∴k2=×=．

4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=7，点D是边CA延长线的一点，AE⊥BD，垂足为点E，AE的延长线交CA的平行线BF于点F，连结CE交AB于点G．

（1）当点E是BD的中点时，求tan∠AFB的值；

（2）CE•AF的值是否随线段AD长度的改变而变化？如果不变，求出CE•AF的值；如果变化，请说明理由；

第34页（共169页）

（3）当△BGE和△BAF相似时，求线段AF的长．

【分析】（1）过点E作EH⊥CD于H，如图1，易证EH是△DBC的中位线及△AHE∽△EHD，设AH=x，运用相似三角形的性质可求出x，就可求出tan∠AFB的值；（2）取AB的中点O，连接OC、OE，如图2，易证四点A、C、B、E共圆，根据圆周角定理可得∠BCE=∠BAF，根据圆内接四边形内角互补可得∠CBE+∠CAE=180°，由此可推出∠CBE=∠BFA，从而可得△BCE∽△FAB，即可得到CE•FA=BC•AB，只需求出AB就可解决问题；

（3）过点E作EH⊥CD于H，作EM⊥BC于M，如图3，易证四边形EMCH是矩形，由△BCE∽△FAB，△BGE与△FAB相似可得△BGE与△BCE相似，即可得到∠EBG=∠ECB．由点A、C、B、E共圆可得∠ECA=∠EBG，即可得到∠ECB=∠ECA，根据角平分线的性质可得EM=EH，即可得到矩形EMCH是正方形，则有CM=CH，易证EB=EA，根据HL可得Rt△BME∽Rt△AHE，则有BM=AH．设AH=x，根据CM=CH可求出x，由此可求出CE的长，再利用（2）中的结果就可求出AF的值．【解答】解：（1）过点E作EH⊥CD于H，如图1，则有∠EHA=∠EHD=90°． ∵∠BCD=90°，BE=DE，∴CE=DE． ∴CH=DH，∴EH=BC=．

第35页（共169页）

设AH=x，则DH=CH=x+1． ∵AE⊥BD，∴∠AEH+∠DEH=∠AED=90°． ∵∠AEH+∠EAH=90°，∴∠EAH=∠DEH，∴△AHE∽△EHD，∴=，∴EH2=AH•DH，∴（）2=x（x+1），解得x=（舍负），∴tan∠EAH===．

∵BF∥CD，∴∠AFB=∠EAH，∴tan∠AFB= ；

（2）CE•AF的值不变．

取AB的中点O，连接OC、OE，如图2，∵∠BCA=∠BEA=90°，∴OC=OA=OB=OE，∴点A、C、B、E共圆，∴∠BCE=∠BAF，∠CBE+∠CAE=180°．

第36页（共169页）

∵BF∥CD，∴∠BFA+∠CAE=180°，∴∠CBE=∠BFA，∴△BCE∽△FAB，∴=，∴CE•FA=BC•AB．

∵∠BCA=90°，BC=7，AC=1，∴AB=5，=3

5； ∴CE•FA=7×5

（3）过点E作EH⊥CD于H，作EM⊥BC于M，如图3，∴∠EMC=∠MCH=∠CHE=90°，∴四边形EMCH是矩形．

∵△BCE∽△FAB，△BGE与△FAB相似，∴△BGE与△BCE相似，∴∠EBG=∠ECB． ∵点A、C、B、E共圆，∴∠ECA=∠EBG，∴∠ECB=∠ECA，∴EM=EH，∴矩形EMCH是正方形，∴CM=CH．

∵∠ECB=∠ECA=∠BCA=45°，第37页（共169页）

∴∠EBA=∠EAB=45°，∴EB=EA，∴Rt△BME≌Rt△AHE（HL），∴BM=AH．

设AH=x，则BM=x，CM=7﹣x，CH=1+x，∴7﹣x=1+x，∴x=3，∴CH=4．在Rt△CHE中，cos∠ECH=∴CE=4．，==，由（2）可得CE•FA=35∴AF= =．

5．如图，平面直角坐标系xOy中，已知B（﹣1，0），一次函数y=﹣x+5的图象与x轴、y轴分别交于点A、C两点，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过点A、点B．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）点P是该二次函数图象的顶点，求△APC的面积；

（3）如果点Q在线段AC上，且△ABC与△AOQ相似，求点Q的坐标．

【分析】（1）由一次函数的解析式求出A、C两点坐标，再根据A、B两点坐标求出b、c即可确定二次函数解析式；

（2）根据二次函数的解析式求出P点坐标，然后计算三角形APC的面积；

第38页（共169页）

（3）分两种情况讨论：①△ABC∽△AOQ，②△ABC∽△AQO．

【解答】解：（1）∵一次函数y=﹣x+5的图象与x轴、y轴分别交于点A、C两点，∴A（5，0），C（0，5），∵二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过点A、点B，∴b=4，c=5，∴二次函数的解析式为：y=﹣x2+4x+5．（2）∵y=﹣x2+4x+5=﹣（x﹣2）2+9，∴P（2，9），过点P作PD∥y轴交AC于点D，如图，则D（2，3），∴

=15；

（3）①若△ABC∽△AOQ，如图，此时，OQ∥BC，由B、C两点坐标可求得BC的解析式为：y=5x+5，∴OQ的解析式为：y=5x，第39页（共169页）

由解得：，∴Q（，）；

②若△ABC∽△AQO，如图，此时，，∵AB=6，AO=5，AC=∴AQ=3，∴Q（2，3）．

综上所述，满足要求的Q点坐标为：Q（，6．已知：半圆O的直径AB=6，点C在半圆O上，且tan∠ABC=2AC上一点，联结DC（如图）（1）求BC的长；

（2）若射线DC交射线AB于点M，且△MBC与△MOC相似，求CD的长；（3）联结OD，当OD∥BC时，作∠DOB的平分线交线段DC于点N，求ON的长．，点D为弧）或Q（2，3）．

【分析】（1）如图1中，根据AB是直径，得△ABC是直角三角形，利用勾股定理即可解决问题．

第40页（共169页）

（2）如图2中，只要证明△OBC≌△OCD得BC=CD，即可解决问题．

（3）如图3中，延长ON交BC的延长线于G，作GH⊥OB于H，先求出BG，根据tan∠HBG=2由此即可解决．

【解答】解；（1）如图1中，连接AC，利用勾股定理求出线段HB、HG，再利用CG∥DO得，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵tan∠ABC=2，k，BC=k，∴可以假设AC=2∵AB=6，AB2=AC2+BC2，∴36=8k2+k2，∴k2=4，∵k＞0，∴k=2，BC=2．（2）如图2中，∵△MBC与△MOC相似，∴∠MBC=∠MCO，∵∠MBC+∠OBC=180°，∠MCO+∠OCD=180°，∴∠OBC=∠OCD，第41页（共169页）

∵OB=OC=OD，∴∠OBC=∠OCB=∠OCD=∠ODC，在△OBC和△OCD中，∴△OBC≌△OCD，∴BC=CD=2．

（3）如图3中，延长ON交BC的延长线于G，作GH⊥OB于H．

∵BC∥OD，∴∠DOG=∠OGB=∠GOB，∴BO=BG=3，∵tan∠HBG=∵BG2=GH2+HB2，∴8a2+a2=9，∴a2=1，∵a＞0，∴a=1，HB=1，GH=2∵GC∥DO，∴=，=．，OH=2，OG=

2，设GH=2

a，HB=a，∴ON=×

7．如图，已知二次函数y=x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（3，﹣1），点C（0，﹣4），顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴与点D，交该二次函

第42页（共169页）

数图象于点B，连结BC．

（1）求该二次函数的解析式及点M的坐标；

【分析】（1）把A、C两点的坐标代入抛物线的解析式可求b、c的值，然后利用配方法可求得点M的坐标；

（2）先求得直线AC的解析式，然后再求得抛物线的对称轴，设直线x=1与△ABC的两边分别交于点E与点F，然后求得点E和点F的坐标，然后依据平移后抛物线的顶点在△BAC的内部列不等式组求解即可；

（3）先证明∠PCM为直角，然后分为△MPC∽△CBD、BDC∽△MCP，两种情况求得PC的长，然后再求得点P的坐标即可．【解答】解：（1）把A、C两点的坐标代入得：解得：．，∴二次函数的解析式为y=x2﹣2x﹣4．配方得：y=（x﹣1）2﹣5． ∴点M的坐标为（1，﹣5）．

（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，把点A、C的坐标代入得：，∴直线AC的解析式为y=x﹣4．

第43页（共169页），解得：

抛物线的对称轴方程为x=﹣=1．

如图1所示，直线x=1与△ABC的两边分别交于点E与点F，则点F的坐标为（1，﹣1）．

将x=1代入直线y=x﹣4得：y=﹣3． ∴E（1，﹣3）．

∵抛物线向上平移m个单位长度时，抛物线的顶点在△BAC的内部，∴﹣3＜﹣5+m＜﹣1． ∴2＜m＜4．

（3）如图2所示：

把y=﹣1代入抛物线的解析式得：x2﹣2x﹣4=﹣1，解得x=﹣1或x=3，∴B（﹣1，﹣1）． ∴BD=1．

∵AB∥x轴，A（4，﹣1），第44页（共169页）

∴D（0，﹣1）∴AD=DC=3． ∴∠DCA=45°．

过点M作ME⊥y轴，垂足为E． ∵C（0，﹣4），M（1，﹣5）． ∴CE=ME=1． ∴∠ECM=45°，MC=∴∠ACM=90°． ∴∠PCM=∠CDB=90°． ①当△MPC∽△CBD时，∴CF=PF=sin45°•PC=∴P（﹣，﹣）．

×，即=．

=，解得PC=

．

如图3所示：点P在点C的右侧时，过点P作PF⊥y轴，垂足为F．

∵CP=∴CF=FP=，∠FCP=45°，∠CFP=90°，×=．）．

=，即

=，解得PC=

3． ∴P（﹣，﹣②当BDC∽△MCP时，如图4所示：当点P在AC的延长线上时，过点作PE⊥y轴，垂足为E．

第45页（共169页）

∵PC=3，∠PCE=45°，∠PEC=90°，×=3． ∴CE=PE=3∴P（﹣3，﹣7）．

如图5所示：当点P在AC上时，过点P作PE⊥y轴，垂足为E．

∵PC=3，∠PCE=45°，∠PEC=90°，×=3． ∴CE=PE=3∴P（3，﹣1）．

综上所述，点P的坐标为（﹣3，﹣7）或（3，﹣1）或（﹣，﹣﹣

（3）如图2，连接CF，CE．猜想：△CEF是否是等边三角形？若是，请证明；

第46页（共169页））或（﹣，）．，求AB，BD的长；

若不是，说明理由．

【分析】（1）根据直角三角形的性质和三角函数即可得到结果；

（2）如图1，连接AF，证出△DAE≌△ADH，△DHF≌△AEF，即可得到结果；（3）如图2，取AB的中点M，连接CM，FM，在Rt△ADE中，AD=2AE，根据三角形的中位线的性质得到AD=2FM，于是得到FM=AE，由∠CAE=∠CAB=30°∠CMF=∠AMF﹣AMC=30°，证得△ACE≌△MCF，问题即可得证．【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，∠BAC=60°，∴∠ABC=30°，∴AB=2AC=2×2=

4，∵AD⊥AB，∠CAB=60°，∴∠DAC=30°，∵AH=AC=∴AD=∴BD=，=2，=

2；

（2）如图1，连接AF，∵AE是∠BAC角平分线，∴∠HAE=30°，∴∠ADE=∠DAH=30°，在△DAE与△ADH中，∴△DAE≌△ADH，第47页（共169页）

∴DH=AE，∵点F是BD的中点，∴DF=AF，∵∠EAF=∠EAB﹣∠FAB=30°﹣∠FAB

∠FDH=∠FDA﹣∠HDA=∠FDA﹣60°=（90°﹣∠FBA）﹣60°=30°﹣∠FBA，∴∠EAF=∠FDH，在△DHF与△AEF中，∴△DHF≌△AEF，∴HF=EF；

（3）如图2，取AB的中点M，连接CM，FM，∵F、M分别是BD、AB的中点，∴FM∥AD，即FM⊥AB．在Rt△ADE中，AD=2AE，∵DF=BF，AM=BM，∴AD=2FM，∴FM=AE，∵∠ABC=30°，∴AC=CM=AB=AM，∵∠CAE=∠CAB=30°∠CMF=∠AMF﹣∠AMC=30°，在△ACE与△MCF中，∴△ACE≌△MCF，∴CE=CF，∠ACE=∠MCF，∵∠ACM=60°，∴∠ECF=60°，第48页（共169页）

∴△CEF是等边三角形．

（3）当△CGH是等腰三角形时，求m的值．

【分析】（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）2+4（a≠0），将点A的坐标代入求得a的值即可求得抛物线的解析式；

（2）先求得直线AE、AC的解析式，由点D的横坐标为m，可求得KG、KH的长（用含m的式子），从而可证明GH=HK；

（3）可分为CG=CH，GH=GC，HG=HC三种情况，接下来依据两点间的距离公式列方程求解即可．

【解答】（1）解：∵抛物线的顶点为E（﹣1，4），第49页（共169页）

∴设抛物线的解析式为y=a（x+1）2+4（a≠0）．又∵抛物线过点A（﹣3，0），∴4a+4=0，解得：a=﹣1．

∴这条抛物线的解析式为y=﹣（x+1）2+4．（2）设直线AE的解析式为y=kx+b． ∵将A（﹣3，0），E（﹣1，4），代入得：∴直线AE的解析式为y=2x+6．设直线AC的解析式为y=k1x+b1． ∵将A（﹣3，0），C（0，3）代入得：∴直线AC的解析式为y=x+3． ∵D的横坐标为m，DK⊥x轴 ∴G（m，2m+6），H（m，m+3）． ∵K（m，0）

∴GH=m+3，HK=m+3． ∴GH=HK．

（3）由（2）可知：C（0，3），G（m，2m+6），H（m，m+3）①若CG=CH，则

=，整理得：（2m+3）2=m2，解得开平方得：，解得：k=1，b=3，解得：k=2，b=6，2m+3=±m解得m1=﹣1，m2=﹣3，∵﹣3＜m＜﹣1，∴m≠﹣1且m≠﹣3． ∴这种情况不存在． ②若GC=GH，则．

③若HC=HG，则m2=3+3（舍去）．

或

．

=m+3，整理得：m2﹣6m﹣9=0，解得；m1=3﹣3，=m+3，整理得：2m2+3m=0 解得m1=0（舍去），综上所述：当△CGH是等腰三角形时，m的值为

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