代数教学总结

代数教学总结（通用11篇）

代数教学总结 篇1

在学习vb过程中，很多同学简单地认为布尔值true就是-1或非0值，false就是0，这种看法是错误，下面将布尔值、逻辑运算和关系运算总结如下：

在vb中，布尔（boolean）值有两个：true（真）和false（假），布尔值可以用于逻辑、关系（比较）和算术运算中。

1）布尔值用于逻辑运算中，结果为布尔值。

例如：

print not true, not false

print true and true, true and false, false and true, false and false

print true or true, true or false, false or true, false or false

结果为：

false true

true false false false

true true true false

【总结】

not 非运算规则：非真则假，非假则真

and 与运算规则：只有都是true，结果才为true（只要有一个为false，结果就为false）

or 或运算规则：只有都是false，结果才为false（只要有一个为true，结果就为true）

2）布尔值用于关系（比较）运算中，结果为布尔值。

例如：

print true > false

结果为：

false

【总结】在关系运算中，true小于false。

3）布尔值用于算术运算中（true当作-1，false当作0），结果为数值型。

例如：

print true + 3, false +

3结果为：

3

--------------

1）逻辑运算说明

数值用于逻辑运算中，非0值当作true，0当作false，结果为数值型。

注：true and n和false or n的结果为n，其他情况true写成-1，false写成0（即结果可能为n、-1或0）

例如：

print true and 5, true and 0, false and 5, false and 0

print true or 5, true or 0, false or 5, false or 0

结果为： 5 0 0 0

-1-1 5 0

【注意】布尔值可用于算术运算；数值可以用于逻辑运算。但不能认为true和-

1、false和0完全等价。

● 算术运算的结果必然为数值型。

● 关系运算（比较运算）的结果必然是布尔值。

● 逻辑运算的结果可能是布尔值或是数值型。

2）关系（比较）运算说明

数值、日期、字符和布尔值都可以比较。

● 日期比较的规则是“日期在后的大”

● 字符比较的规则是按照ascii码比较，空格<“0”-“9”<“a”-“z”<“a”-“z”<汉字

● 布尔值比较的规则是假大于真。

例如：

print 3 < 5

print #9/19/2009# > #9/18/2009#

print “abc” > “abcd”

print true > false

结果为：

true

true

false

false

例题：

【XX年4月】

您现在阅览的是南京便民网http:///谢谢您的支持和鼓励！！

（16）设a=4，b=3，c=2，d=1，下列表达式的值是

a>b+1 or c

a）true b）1 c）-1 d）0

【分析】

a>b+1 即 4>3+1 结果为 false。

c

b mod c即3 mod 2结果为 1。

即false or false and 1。and优先级高于or，false and 1结果为0。

false or 0的结果为0.所以本题答案为0。

代数教学总结 篇2

关键词：线性代数,高校,视频教学

视频教学自20世纪90年代引入高校课堂以来, 深得广大教师的青睐。然而, 视频教学多常用于政治、英语等语言类课堂, 在数学课堂上很少使用, 其实, 数学是门比较抽象的学科, 不能够像语文等学科, 通过优美的语言来让学生们产生学习的兴趣, 相反, 数学相对的枯燥, 比较注重计算和过程的理解和推导, 因此稍显乏味。但如果能够将多媒体的多样性教学与数学教学结合起来, 利用多媒体的影音, 对数学的思路和步骤进行演练模拟, 不仅让学生更容易理解, 也让学生更感兴趣。因此, 我校将一系列数学课程列入教学改革计划, 寻求视频教学与高校数学课的完美结合, 从而改变传统数学课由老师板书授课, 学生看书听课的单一教学模式, 变单调的黑白图案为动态的视频影音。这样能够让同学们生动形象地对教学内容有感性的认识, 提高学生的学习积极性, 吸引学生的注意力, 提高学生的学习兴趣, 并且让学生的学习效率得到提高。

本学期我对2013级计算机专业的学生率先进行了视频教学实验, 实验课程为线性代数, 总学时32, 共计126人。

1 实验教学目的

利用多媒体进行视频教学改革, 以达到提高学生的学习积极性, 吸引学生的注意力, 提高学生的学习兴趣, 提高学生的学习效率, 培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力。

2 课堂设计和教学效果

2.1 课堂教学环节设计

2.1.1 首先选择合适的视频资料, 参考标准如下:

(1) 视频的内容:尽量选择与学生所使用教材一致的视频资料, 每段视频为一个知识点, 这样即使所选视频与学生使用教材的个别章节有差异, 也不影响学生理解。

(2) 视频的长度:视频长度以15分钟左右为宜, 若某个知识点较长, 可在中间选择适当位置停顿进行讲解, 避免学生产生视觉疲劳, 反而影响听课效果。

基于以上原则, 本次实验选用了沈阳师范大学罗敏娜老师的线性代数视频课资料。

2.1.2 视频教学模式包括学习、讨论、练习、回顾四个基本的教学时间段。

在课堂上采用视频播放与教师讲解、学生提问相结合的方式。播放视频时, 教师应注意观察学生反应, 一段视频结束后, 应对其中的难点及时讲解, 并留时间给学生提问, 对有争议性的问题可发起课堂讨论, 调动学生的课堂积极性。教师应根据学生学习的进度状况, 掌控不同教学时间段的合理转换, 持续激发学生的学习兴趣, 引导学生全程参与教学过程。教师成为教学过程的调度者、学生学习过程的引导者。

2.2 教学效果

多媒体视频的应用提高了学生的课堂积极性, 基本杜绝了以往课堂溜号、睡觉的现象。学生都能积极参与到课堂讨论中, 培养了学生的思维能力, 提高了学生的实践能力, 从而促进了学生对所学知识的理解和深化。

3 学生反馈

课后通过问卷调查获得学生反馈情况如下表1:

从调查结果可以看出, 学生普遍认为多媒体视频教学可以调动学习积极性, 提高自主学习能力, 与传统教学模式相比, 对学生具有更大的吸引力, 通过课堂讨论的方式, 可以使数学知识掌握的更加扎实深入。但同时也存在一定问题, 从问卷中以及课后随访了解到, 仍有个别地方不易理解, 而视频播放速度过快, 导致这个问题被忽视。在以后的视频教学中, 仍需小心把握视频播放的速度。

4 期末成绩分析

本学期实验班及两个教学参考班级成绩如下表2:

从上表可看出, 实验班考试成绩整体优于参考班级

5 总结

本次线性代数视频实验教学取得了较好的成果。通过多媒体视频教学, 提高了学生对数学的学习兴趣, 加深了对数学知识的理解, 提高了应用数学解决实际问题的能力.因此实验班学生在考试过程中对一些难以理解的内容要比其他班级解决的好.在后继课学习中, 实验班学生比其他学生具有明显的优势, 能够利用所学的数学知识、数学方法解决相应的问题。

数学不像语文等学科那么感性, 而是比较理性的抽象的学科。因此, 数学教学需要多媒体辅助来让数学的学习过程变得更加的容易, 更加的形象和具体, 便于学生的理解和运用。多媒体能够为学生进行演示和操作, 让学生能够从图像和影音资料获得更多的知识。但需要坚持的是, 多媒体只是起到辅助作用, 重点还是教师对教授内容的把握和讲授, 不能让教师和学生形成依赖的心理, 着重培养学生的逻辑思维能力, 这样才能提高学生的学习能力和学习效率, 让教学达到更好的效果。

参考文献

[1]王芳.概论课视频运用的科学性与艺术系探索[J].时代教育, 2008 (8) :11-13.

[2]黄立新.透析网络课程中教学视频的问题[J].电化教育研究, 2006 (3) :26-28.

[3]李振亭, 陈中.从视觉文化的角度论网络教学视频的应用[J].中国电化教育, 2006 (11) :46-48.

[4]欧阳丽.基于能力发展核心的高职课程建设研究[J].职教论坛, 2011 (9) :12-15.

代数教学总结 篇3

关键词： 线性代数；高等代数；对角矩阵；二次型；标准型

【中图分类号】 O153

Algebra Ideal as Main Line- Dealing with them by the Comparable and Compatible Way in the Process of Teaching of Linear Algebra and Advanced Algebra

（Science college， Civil Aviation University of China， Tianjin 300300， P. R. China）

Abstract： In this paper， we principally discuss the relation of knowledge about Linear Algebra and Advanced Algebra. Dealing with them by the comparable and compatible way in the process of teaching of Linear Algebra and Advanced Algebra， and make student realize and comprehend them better， furthermore learn them better.

Key words： Linear Algebra； Advanced Algebra； Diagonal matrix； Quadratic form； Standard form

資助项目：2014中国民航大学教育教学改革研究课题（项目编号：CAUC-ETRN-2014-54）资助。

1.引言

理工科学生从大一下学期开始一学期的线性代数的学习，数学专业（包括信息与计算科学专业）的学生从大一上或下学期开始为期一年的高等代数的学习。线性代数内容相对高等代数来说简单一些，但一些结论通常不给出证明，而在高等代数中往往会找到相关结论的定理的证明，如果在线性代数课堂适当引入这些证明，学生会有新鲜感和深度感，从而更加认可老师的知识储备，进而更喜欢听老师所讲的内容；高等代数比线性代数多了不少内容，除了多项式之外，还多了 矩阵，欧几里得空间等章节，内容相对线性代数来说要复杂一些，学生会觉得抽象而且无从下手，如果能从线性代数的角度，抓住主要的脉络及代数思想，给学生理清头绪，会让学生觉得轻松很多，从而增加学习高等代数的兴趣。在线性代数和高等代数课程实际教学中，抓住代数思想这根主线，进行二者相通、兼容方面的探索与实践是非常必要和有意义的。

2. 以代数思想为主线-线性代数和高等代数课程教学的相通与兼容

线性代数与高等代数有非常密切的联系，只是线性代数是理工科的公共基础课，而高等代数是数学专业的专业课。本文接下来主要从二次型化标准型方面讨论线性代数和高等代数在教学中相通兼容之处。

2.1二次型化标准型

二次型化标准型，线性代数和高等代数相通的地方就是都涉及了对称阵的对角化问题。在高等代数中，二次型化标准型主要有如下三种方法，设所研究的二次型有如下形式：

（1）配方法：用配方法化二次型为标准型的关键是消去交叉项，分如下两种情形处理：

情形1：如果 ，则集中二次型中含 的所有交叉项，然后与 配方，并作非退化线性替换

对 重复上述方法直到化二次型 为标准型为止。

情形2：如果二次型 不含平方项，即 ，但含某一个 ，则可先作非退化线性替换

把 化为一个含平方项 的二次型，再用情形1的方法化为标准型。

（2）初等变换法：

用非退化线性替换 化二次型 为标准型，相当于对对称阵 找一个可逆矩阵 ，使 为对角阵。由于可逆矩阵 可以写成若干初等矩阵 的乘积，即 ，从而有 ，

。根据初等变换的有关性质（用初等矩阵左（右）乘矩阵 相当于对 作一次初等行（列）变换），由上式可得到用初等变换法化二次型为标准型的步骤如下：

第一步 写出二次型 的矩阵 ，并构造 矩阵 ；

第二步 对矩阵 进行初等行变换和同样的初等列变换，把 化为对角阵 ，并对 施行与 同样的初等列变换化为矩阵 ，此时 ；

第三步 写出非退化线性替换 ，化二次型 。这个方法的示意图如下

（3）正交变换法：

写出二次型 的矩阵 ，求矩阵 的特征值 及相应的特征矢量 ，把特征矢量正交化单位化得 ，把正交化单位化后的特征矢量作为列矢量组成正交矩阵 ，做正交变换 ，则有二次型化为标准型

。

在线性代数中提及了配方法和正交变换法，着重考察正交变换法，对于初等变换法没有涉及，因此在线性代数实际的教学中，可适当引进初等变换法，比起正交变换法，学生更熟悉，简单且易于把握。最后还要从几何的角度告诉学生，正交变换的好处是保持矢量的长度不变，更直观的是，在三维几何空间中，当 时，对应的是坐标轴的旋转变换，进而可把二次曲面的方程化简成标准型，从标准型我们就能判别它是何种曲面了。像这样，在线性代数教学中渗透高等代数和几何的知识，使之相互影响，能更好的激发学生学习线性代数的兴趣和探索代数系统奥秘的动力。

3. 总结

总之，线性代数和高等代数这两门课程在内容上有诸多的相通之处，如果在实际教学中能抓住“代数思想”这根“线”，很好地把二者相结合，相辅相成，必定会对这两门课的教学效果和教学质量起到积极的促进作用。

参考文献

[1] 北京大学数学系几何与高等代数教研室代数小组编. 高等代数（第三.版）[M]. 北京，高等教育出版社，2003

[2] 工程数学-线性代数. 同济大学数学系（第五版）[M]. 北京，高等教育出版社，2007

线性代数学习总结 篇4

----------应化11 王阳（2110904024）

时间真快，一转眼看似漫长的大一就这样在不知不觉中接近尾声。纵观一年大学的学习和生活，特别是在线代的学习过程中，实在是感慨颇多。在此，我就从老师教学和自身学习方面，谈谈自己的一点体会。

老师在教学中，也应该以一些具体的实例入手来教学，如果脱离了实际应用，只是讲抽象的概念和式子，是很难明白的，并且有实例的对照，可以加深记忆理论知识。然后要注重易混淆概念的区别，必要时应该拿出来单独讲讲，比如矩阵和行列式的区别，矩阵只是为了计算线性方程而列的一个数据单而已，并无实际意义。而行列式和矩阵有本质的区别，行列式是一个具体的数值，并且行列式的行数和列数必须是相等的。其实老师在教学过程中，应该学会轻松一点，我不希望看到老师在讲台上讲得满头大汗，而学生坐在下面听得云里雾里的场面，这就需要老师能够精选一些内容讲解，不需要都讲，而其他相关的内容让学生自己通过举一反三就得到就可以了。老师可以自己选一些经典的例子来讲，而不一定要讲书上的例子。然后对于例子中的计算，老师就可以不用算了，多叫学生动动手，增加我们的积极性，并且这样也更能发现问题。再就是线性代数的课时少，这是一个客观存在的原因，所以更要精讲。而不需全部包揽。当然，若果能通过改革，增加课时是最好不过了。这也算一点小小的建议吧。

再者，在自身学习过程中，我想说明的是，大学里的学习是不能靠其他任何人的，只能靠自己，老师只是起到一个引导作用。所以教材是我们最重要的学习资源，如果没有书本，就是天才也不可能学好。总体看来，我们使用的课本题型简单易懂，非常适合初学者学习。但它也有许多的不足之处，就个人在看这本教材时，觉得它举得实例太少了，并且例子不太全面，本来线性代数是一门比较抽象的学科，加上计算量大，学时少，所以要学好它，就只有靠自己在课余时间多加练习，慢慢领悟那些概念性的东西。然后对于教材内容的侧重点，我觉得应该放在线性方程组这一块，因为它是其他问题的引出点，不管是矩阵，行列式，还是矩阵的秩和向量空间，都是为线性方程组服务的。我们对向量组的线性相关性的讨论，还有对矩阵的秩，向量组的秩的计算，都是为了了解线性方程组的解的情况。在线性方程组的求解过程中，我们运用了矩阵的行变换来求基础解系，当然这就相当于求极大无关组。还有对线性相关和线性无关的讨论，这也关系到线性方程组的解。所以在改革中，应该拿线性方程组为应用的实例，来一步一步的解剖概念和定理。当然一些好的、典型的解题方法，也应该用具体的例子来讲解，这是一本教材必须具备的。

当然在学习过程中，我们应该具备能够整体把握老师所讲重点的能力，注意各个章节的联系。数学中的概念往往不是孤立的，理解概念间的联系既能促进新概念的引入，也有助于接近已学过概念的本质及整个概念体系的建立。如矩阵的秩与向量组的秩的联系：矩阵的秩等于它的行向量组的秩，也等于它的列向量组的秩；矩阵行(列)满秩，与向量组的线性相关和线性无关也有一定的联系。知识体系是一环扣一环，环环相连的。前面的知识是后面学习的基础，如用初等变换求矩阵的秩熟练与否，直接影响求向量组的秩及极大无关组，进一步影响到求由向量组生成的向量空间的基与维数；又如求解线性方程组的通解熟练与否，会影响到后面特征向量的求解，以及利用正交变换将二次型化为标准型等。因此，学习线性代数，一定要坚持温故而知新的学习方法，及时复习巩固，为此，老师课前的知识回顾以及学生提前预习是十分必要的。对于后来学的，应该多翻翻书看看前面是怎么说的，往往前面学习的内容是为后面做铺垫的，所以在学了后面的知识后，再看前面的知识，会对前面的知识有一个新的认识，会更好的加深对它的理解和记忆。这一点上老师您做的很好。

然后对于书上花了很大的篇幅写的matlab实验，我觉得这是好事，但是在教学中老师是不会教我们的，因为课时有限，这是情理当中的，但是作为学生，我觉得应该好好地利用书上的资源，单靠做练习的笔头功夫是难以解决实际问题的。

线性代数知识点总结 篇5

线性代数在考研数学中占有重要地位，必须予以高度重视.线性代数试题的特点比较突出，以计算题为主，证明题为辅，因此，太奇考研专家们提醒广大的的考生们必须注重计算能力.线性代数在数学一、二、三中均占22%，所以考生要想取得高分，学好线代也是必要的。下面，就将线代中重点内容和典型题型做了总结，希望对考研的同学们学习有帮助。

行列式在整张试卷中所占比例不是很大，一般以填空题、选择题为主，它是必考内容，不只是考察行列式的概念、性质、运算，与行列式有关的考题也不少，例如方阵的行列式、逆矩阵、向量组的线性相关性、矩阵的秩、线性方程组、特征值、正定二次型与正定矩阵等问题中都会涉及到行列式.如果试卷中没有独立的行列式的试题，必然会在其他章、节的试题中得以体现.行列式的重点内容是掌握计算行列式的方法，计算行列式的主要方法是降阶法，用按行、按列展开公式将行列式降阶.但在展开之前往往先用行列式的性质对行列式进行恒等变形，化简之后再展开.另外，一些特殊的行列式(行和或列和相等的行列式、三对角行列式、爪型行列式等等)的计算方法也应掌握.常见题型有：数字型行列式的计算、抽象行列式的计算、含参数的行列式的计算.关于每个重要题型的具体方法以及例题见《20xx年全国硕士研究生入学统一考试数学120种常考题型精解》。

矩阵是线性代数的核心，是后续各章的基础.矩阵的概念、运算及理论贯穿线性代数的始终.这部分考点较多，重点考点有逆矩阵、伴随矩阵及矩阵方程.涉及伴随矩阵的定义、性质、行列式、逆矩阵、秩及包含伴随矩阵的矩阵方程是矩阵试题中的一类常见试题.这几年还经常出现有关初等变换与初等矩阵的命题.常见题型有以下几种：计算方阵的幂、与伴随矩阵相关联的命题、有关初等变换的命题、有关逆矩阵的计算与证明、解矩阵方程。

向量组的线性相关性是线性代数的重点，也是考研的重点。考生一定要吃透向量组线性相关性的概念，熟练掌握有关性质及判定法并能灵活应用，还应与线性表出、向量组的秩及线性方程组等相联系，从各个侧面加强对线性相关性的理解.常见题型有：判定向量组的线性相关性、向量组线性相关性的证明、判定一个向量能否由一向量组线性表出、向量组的秩和极大无关组的求法、有关秩的证明、有关矩阵与向量组等价的命题、与向量空间有关的命题。

往年考题中，方程组出现的频率较高，几乎每年都有考题，也是线性代数部分考查的重点内容.本章的重点内容有：齐次线性方程组有非零解和非齐次线性方程组有解的判定及解的结构、齐次线性方程组基础解系的求解与证明、齐次(非齐次)线性方程组的求解(含对参数取值的讨论).主要题型有：线性方程组的求解、方程组解向量的判别及解的性质、齐次线性方程组的基础解系、非齐次线性方程组的通解结构、两个方程组的公共解、同解问题。

特征值、特征向量是线性代数的重点内容，是考研的重点之一，题多分值大，共有三部分重点内容：特征值和特征向量的概念及计算、方阵的相似对角化、实对称矩阵的正交相似对角化.重点题型有：数值矩阵的特征值和特征向量的求法、抽象矩阵特征值和特征向量的求法、判定矩阵的相似对角化、由特征值或特征向量反求A、有关实对称矩阵的问题。

由于二次型与它的实对称矩阵式一一对应的，所以二次型的很多问题都可以转化为它的实对称矩阵的问题，可见正确写出二次型的矩阵式处理二次型问题的一个基础.重点内容包括：掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型的秩和标准形等概念;了解二次型的规范形和惯性定理;掌握用正交变换并会用配方法化二次型为标准形;理解正定二次型和正定矩阵的概念及其判别方法.重点题型有：二次型表成矩阵形式、化二次型为标准形、二次型正定性的判别。

一、行列式与矩阵

行列式、矩阵是线性代数中的基础章节，从命题人的角度来看，可以像润滑油一般结合其它章节出题，因此必须熟练掌握。

行列式的核心内容是求行列式——具体行列式的计算和抽象行列式的计算。其中具体行列式的计算又有低阶和高阶两种类型，主要方法是应用行列式的性质及按行(列)展开定理化为上下三角行列式求解;而对于抽象行列式而言，考点不在如何求行列式，而在于结合后面章节内容的相对综合的题。

矩阵部分出题很灵活，频繁出现的知识点包括矩阵各种运算律、矩阵的基本性质、矩阵可逆的判定及求逆、矩阵的秩、初等矩阵等。

二、向量与线性方程组

向量与线性方程组是整个线性代数部分的核心内容。相比之下，行列式和矩阵可视作是为了讨论向量和线性方程组部分的问题而做铺垫的基础性章节，而其后两章特征值和特征向量、二次型的内容则相对独立，可以看作是对核心内容的扩展。

向量与线性方程组的内容联系很密切，很多知识点相互之间都有或明或暗的相关性。复习这两部分内容最有效的方法就是彻底理顺诸多知识点之间的内在联系，因为这样做首先能够保证做到真正意义上的理解，同时也是熟练掌握和灵活运用的前提。

这部分的重要考点一是线性方程组所具有的两种形式——矩阵形式和向量形式;二是线性方程组与向量以及其它章节的各种内在联系。

(1)齐次线性方程组与向量线性相关、无关的联系

齐次线性方程组可以直接看出一定有解，因为当变量都为零时等式一定成立——印证了向量部分的一条性质“零向量可由任何向量线性表示”。

齐次线性方程组一定有解又可以分为两种情况：①有唯一零解;②有非零解。当齐次线性方程组有唯一零解时，是指等式中的变量只能全为零才能使等式成立，而当齐次线性方程组有非零解时，存在不全为零的变量使上式成立;但向量部分中判断向量组是否线性相关、无关的定义也正是由这个等式出发的。故向量与线性方程组在此又产生了联系——齐次线性方程组是否有非零解对应于系数矩阵的列向量组是否线性相关。可以设想线性相关、无关的概念就是为了更好地讨论线性方程组问题而提出的。

(2)齐次线性方程组的解与秩和极大无关组的联系

同样可以认为秩是为了更好地讨论线性相关和线性无关而引入的。秩的定义是“极大线性无关组中的向量个数”。经过 “秩→线性相关、无关→线性方程组解的判定”的逻辑链条，就可以判定列向量组线性相关时，齐次线性方程组有非零解，且齐次线性方程组的解向量可以通过r个线性无关的解向量(基础解系)线性表示。

(3)非齐次线性方程组与线性表出的联系

非齐次线性方程组是否有解对应于向量是否可由列向量

三、特征值与特征向量

相对于前两章来说，本章不是线性代数这门课的理论重点，但却是一个考试重点。其原因是解决相关题目要用到线代中的大量内容——既有行列式、矩阵又有线性方程组和线性相关性，“牵一发而动全身”。

本章知识要点如下：

1. 特征值和特征向量的定义及计算方法就是记牢一系列公式和性质。

2. 相似矩阵及其性质，需要区分矩阵的相似、等价与合同：

3. 矩阵可相似对角化的条件，包括两个充要条件和两个充分条件。充要条件一是n阶矩阵有n个线性无关的特征值;二是任意r重特征根对应有r个线性无关的特征向量。

4. 实对称矩阵及其相似对角化，n阶实对称矩阵必可正交相似于以其特征值为对角元素的对角阵。

四、二次型

这部分所讲的内容从根本上讲是特征值和特征向量的一个延伸，因为化二次型为标准型的核心知识为“对于实对称矩阵，必存在正交矩阵，使其可以相似对角化”，其过程就是上一章实对称矩阵相似对角化的应用。

本章核心要点如下：

1. 用正交变换化二次型为标准型。

代数教学总结 篇6

因式分解

1.因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解；注意：因式分解与乘法是相反的两个转化.2．因式分解的方法：常用“提取公因式法”、“公式法”、“分组分解法”、“十字相乘法”.3．公因式的确定：系数的最大公约数·相同因式的最低次幂.注意公式：a+b=b+a；a-b=-(b-a)；(a-b)2=(b-a)2；(a-b)3=-(b-a)3.4．因式分解的公式：

(1)平方差公式： a2-b2=（a+ b）（a-b）；

(2)完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2,a2-2ab+b2=(a-b)2.5．因式分解的注意事项：

（1）选择因式分解方法的一般次序是：一 提取、二 公式、三 分组、四 十字；

（2）使用因式分解公式时要特别注意公式中的字母都具有整体性；

（3）因式分解的最后结果要求分解到每一个因式都不能分解为止；

（4）因式分解的最后结果要求每一个因式的首项符号为正；

（5）因式分解的最后结果要求加以整理；

（6）因式分解的最后结果要求相同因式写成乘方的形式.6．因式分解的解题技巧：（1）换位整理，加括号或去括号整理；（2）提负号；（3）全变号；（4）换元；（5）配方；（6）把相同的式子看作整体；（7）灵活分组；（8）提取分数系数；（9）展开部分括号或全部括号；（10）拆项或补项.7．完全平方式：能化为（m+n）2的多项式叫完全平方式；对于二次三项式x2+px+q，有“ x2+px+q是完全平方式 

分式

Apq22”.1．分式：一般地，用A、B表示两个整式，A÷B就可以表示为B的形式，如果B

A

中含有字母，式子B 叫做分式.整式有理式分式2．有理式：整式与分式统称有理式；即.3．对于分式的两个重要判断：（1）若分式的分母为零，则分式无意义，反之有意义；

（2）若分式的分子为零，而分母不为零，则分式的值为零；注意：若分式的分子为零，而分母也为零，则分式无意义.4．分式的基本性质与应用：

（1）若分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变；

（2）注意：在分式中，分子、分母、分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变； 即

分子分母

分子分母

分子分母



分子分母

（3）繁分式化简时，采用分子分母同乘小分母的最小公倍数的方法，比较简单.5．分式的约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分；注意：分式约分前经常需要先因式分解.6．最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式，这个分式叫做最简分式；注意：分式计算的最后结果要求化为最简分式.acac,bdbd7．分式的乘除法法则：

n

n

a

b



cd



adad

bcbc

.aa

n.（n为正整数）

b

8．分式的乘方：b

.9．负整指数计算法则：

（1）公式： a0=1(a≠0),a-n=a(a≠0)；（2）正整指数的运算法则都可用于负整指数计算；

a

（3）公式：b

n

n

ba

n

a

nm，b



ba

mn；

（4）公式：（-1）-2=1，（-1）-3=-1.10．分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分；注意：分式的通分前要先确定最简公分母.11．最简公分母的确定：系数的最小公倍数·相同因式的最高次幂.a

bc

abc

ab

cd

adbd

bcbd

adbcbd

12．同分母与异分母的分式加减法法则：

c

;

.13．含有字母系数的一元一次方程：在方程ax+b=0(a≠0)中,x是未知数,a和b是用字母表示的已知数，对x来说，字母a是x的系数，叫做字母系数，字母b是常数项，我们称它为含有字母系数的一元一次方程.注意：在字母方程中,一般用a、b、c等表示已知数，用x、y、z等表示未知数.14．公式变形：把一个公式从一种形式变换成另一种形式，叫做公式变形；注意：公式变形的本质就是解含有字母系数的方程.特别要注意：字母方程两边同时乘以含字母的代数式时，一般需要先确认这个代数式的值不为0.15．分式方程：分母里含有未知数的方程叫做分式方程；注意：以前学过的，分母里不含未知数的方程是整式方程.16．分式方程的增根：在解分式方程时，为了去分母，方程的两边同乘以了含有未知数的代数式，所以可能产生增根，故分式方程必须验增根；注意：在解方程时，方程的两边一般不要同时除以含未知数的代数式，因为可能丢根.17．分式方程验增根的方法：把分式方程求出的根代入最简公分母（或分式方程的每个分母），若值为零，求出的根是增根，这时原方程无解；若值不为零，求出的根是原方程的解；注意：由此可判断，使分母的值为零的未知数的值可能是原方程的增根.18．分式方程的应用：列分式方程解应用题与列整式方程解应用题的方法一样，但需要增加“验增根”的程序.数的开方

1．平方根的定义：若x2=a,那么x叫a的平方根，（即a的平方根是x）；注意：（1）a叫x的平方数，（2）已知x求a叫乘方，已知a求x叫开方，乘方与开方互为逆运算.2．平方根的性质：

（1）正数的平方根是一对相反数；（2）0的平方根还是0；（3）负数没有平方根.3．平方根的表示方法：a的平方根表示为也可以认为是一个数开二次方的运算.4．算术平方根：正数a的正的平方根叫a的算术平方根，表示为平方根还是0.5．三个重要非负数： a2≥0 ,|a|≥0，0.6．两个重要公式：（1）a

a

a

和

a

.注意：

a

可以看作是一个数，a

.注意：0的算术

a

≥0.注意：非负数之和为0，说明它们都是

a

;(a≥0)

（2）

(a0)a

a

a(a0)

.7．立方根的定义：若x3=a,那么x叫a的立方根，（即a的立方根是x）.注意：（1）a叫x的立方数；（2）a的立方根表示为8．立方根的性质：

（1）正数的立方根是一个正数；（2）0的立方根还是0；

a

；即把a开三次方.（3）负数的立方根是一个负数.9．立方根的特性：

aa

.10．无理数：无限不循环小数叫做无理数.注意：和开方开不尽的数是无理数.11．实数：有理数和无理数统称实数.

有理数实数



无理数12．实数的分类：（1）

正有理数

0

负有理数



有限小数与无限循环小

数

正无理数无限不循环小数负无理数

（2）

.13．数轴的性质：数轴上的点与实数一一对应.14．无理数的近似值：实数计算的结果中若含有无理数且题目无近似要求，则结果应该用无理数表示；如果题目有近似要求，则结果应该用无理数的近似值表示.注意：（1）近似计算时，中间过程要多保留一位；（2）要求记忆：21.414

52.236.31.732

正实数

实数0

代数教学总结 篇7

1 让线性代数的研究对象和思想生动起来

每一门课程都有它的主要研究对象, 线性代数的研究对象是向量空间及线性变换的理论。线性代数以代数的方法在解决几何问题, 体现了代数与几何的结合。而将代数与几何互相转换的方式融入教学中去, 就使得教学过程生动、形象而又直观。

(1) 在学习矩阵的运算时, 矩阵乘法相对来说, 会使学生觉得非常“不自然”, 如果适当融入一些与空间相关的例子, 会产生意想不到的效果!

例1计算

通过计算, 我们得到:

事实上, 我们知道, 矩阵可以表示二维空间, 即平面上的旋转变换, 指空间中的向量都旋转φ (弧度) , 是线性变换的一种。而可以理解为空间做了n次这样的旋转变换, 得到旋转nφ的变换, 对应表示矩阵恰好为:

这样, 我们就从几何空间的直观例子使矩阵乘法变得生动、形象。

(2) 初等矩阵的理解也可以借助几何方法:如初等矩阵可以理解为一个拉伸或压缩变换;可以看做是一个投影平移变换等。

(3) 利用正交变换使二次型化标准形, 这是线性代数课程的一个难点, 很多学生不理解为什么要化标准形?为什么要使用正交变换法?这样做有什么实际意义?下面我们举例说明。

例2用正交变换法将二次型化为标准型:f=2x12+3x22+3x32+4x1x2.

我们可以通过正交变换, 使二次型化为标准形:f=2y21+5y22+y23.

从几何角度理解, 2x12+3x22+3x32+4x1x2=1在三维线性空间中, 表示什么样的曲面呢?我们知道正交变换保持正交性不变, 即在变换后, 在仍为空间直角坐标系的新坐标下, 方程化为2y12+5y22+y32=1, 即表示的曲面是一个椭球!

二次型标准化问题是矩阵理论的一个应用, 是将一个有中心的二次曲线 (面) 方程化为标准方程, 从而对其进行分类, 线性代数中将它推广到n维空间中, 并给予了解决。如果将这种方法用到解析几何中, 它可以解决有心曲线 (面) 的分类问题.这充分反映了利用矩阵这个线性代数的重要工具, 去研究问题的价值体现。也使得线性代数研究对象和思想的应用灵活起来。

2 让线性代数的概念和方法生动起来

在线性代数的教学中, 教师大多以矩阵和行列式为中心展开教学, 很多概念和方法直接给出, 对学生来说都感觉非常“突兀”, 降低了学生的学习兴趣, 影响了教学效果。经过几年的线性代数的教学, 笔者发现如果以“一条主线”展开教学, 就会使整个教学过程变得完整而生动。这条主线就是“线性方程组”, 以之为线索将主要的概念和方法紧密的联系起来。下面以几个具体例子来说明。

我们通常给出矩阵定义的时候是通过线性方程组的形式引出的, 例如线性方程组:

通过对这个齐次线性方程组这个“主线”的讨论, 我们引出下面几个看起来“莫名其妙”的概念和方法。

(1) 矩阵

这个方程组解的情况如何?完全由数组决定, 就是决定这个齐次方程组解情形的本质:系数矩阵。因此我们通过方程组引出了“矩阵”的概念

(2) 矩阵的秩

0当我们在解这个方程组之前, 比较容易观察到:方程 (2.3) 为方程 (2.1) 和 (2.2) 作和得到, 通过三个方程的关系, 得出结论:这个线性方程组的“有用方程”的个数为“2”, 这个“有用方程的个数”与决定方程组解的本质的矩阵之间是什么关系呢?当然, 它就是这个矩阵的“秩”!这个问题的提出就使得矩阵的“秩”的概念自然的提出来了。

通常如果直接提出矩阵的秩的概念, 学生会觉得“莫名其妙”, “不知所谓”。如果通过线性方程组这个主线引出这个定义, 矩阵的秩的定义就变得“生动”起来, 学生不仅容易理解, 还能把线性代数的知识内容贯穿起来, 增强了学习兴趣。

(3) 矩阵的初等变换

下面我们用高斯消元法解这个方程组, 由此引入矩阵的“初等变换”的方法。

解交换方程 (2.1) 和 (2.2) 的位置得到

方程 (2.1) 和 (2.2) 两端各乘-1, 加到方程 (2.3) 上, 使得方程 (2.3) 系数均为零, 得到

其中我们对方程组实施了如下变换:

1) 交换两个方程的位置;

2) 一个方程两端同时乘以一个非零的数;

3) 一个方程两端乘以同一个数后加至另一个方程上。

在这些变换下得到的新的方程组与原方程组同解。而方程组的系数矩阵也发生了变化, 但是它所决定的解的情况没有发生改变, 也就是说, 这个矩阵的某些“本质”没变。由此引出的矩阵的变换就是矩阵的“初等变换”。

以方程组这一“主线”将初等变换直观生动地展现在学生面前, 这就使学生不会觉得“初等变换”的方法是“凭空想象”的, 而是非常有意义的。

通过上面几点讨论, 我们认识到, 线性代数的教学也可以不枯燥无味, 可以是很生动的。一些现代化的教学手段, 例如多媒体教学等, 也可以应用到线性代数教学当中, 使教学方式更加灵活。通过这些激发学生的学习兴趣, 能使学生更好地学习和理解线性代数的知识和思想, 提高他们的数学素质。

摘要：本文针对《线性代数》课程的“抽象性”的特点, 从线性代数的研究对象、研究思想、概念和方法以及应用等方面, 通过一些实例, 提出了如何使线性代数课程生动起来的几点认识。

关键词：线性代数,抽象性,生动,实例

参考文献

[1]北大数学系前代数小组.高等代数[M].3版.王萼芳, 石生明, 修订.北京:高等教育出版社, 2003.

[2]沈阳工业大学数学教研室.线性代数[M].4版.东北大学出版社, 2010.

代数教学中不要以“形”代“数” 篇8

遗憾的是，在教学现实中个别老师曲解了这样编排的意图，而是以“形”代“数”了.

请看下面的教学片段(上海教育出版社七年级第一学期数学(试验本)“多项式与多项式的乘法”第1课时).

[教学片段]

预备铃后，Z老师在黑板上画出右图.

师问：整式包括哪两部分?

学生1：单项式与多项式.

老师接着问：如图矩形的面积是什么?

学生2：S=(a+b)·(c+d).

师说：这里边长是多项式，多项式乘以多项式，我们还不会算，今天就学习多项式与多项式相乘. 以前我们学习过单项式乘单项式、单项式乘多项式，用学过的知识来解决新问题. 我们将矩形分割，分割后有没有其它方法求它的面积呢?

生3：求四个小长方形的面积，所以S=ac+bc+ad+bd.

师问：这两个是不是相等的?

学生齐答：是.

师问：还有那些方法?

生4：用上下或左右两块面积计算，S=a(c+d)+b(c+d)

师问：：这是单项式与多项式相乘，结果就是ac+ad+bc+bd. 那么S=(a+b)·(c+d)等于什么?

生5：先把(a+b)看成一个整体.

老师打断：没关系，你就直接说结果吧!

生6：(a+b)·(c+d)=ac+ad+bc+bd.

师：好，我们得到了多项式与多项式的乘法法则.

听到这里，我的脑海里升起一朵又一朵疑问的浪花.

1.研究多项式与多项式的乘法，怎么一开始就想到画分割好的矩形?

2.用几种不同的方法计算一个具体的矩形面积，通过面积相等就得到了多项式与多项式的乘法法则，这样一来多项式中的字母岂不只限于正数(边长)了?

3.一个具体的几何(面积)计算能代替一般的严格意义的逻辑推导(证明)?

4.学生说“先把(a+b)看成一个整体”，说得多好，老师为什么打断他?

可见，这样的教学设计不但生硬，而且漏洞百出!

数学有自己的文化本质，代数有自己的逻辑体系，它不能靠“形象”替自己说话，只能借助“形象”来思考、阐述和解释.

那么，代数教学中怎样用好“形象”来促进“抽象”而不是代替“抽象”呢?

就这个问题，我帮Z老师重新进行了教学设计.

[教学片段]

首先，给出5条单项式乘单项式、单项式乘多项式的小练习.

师：比一比，看谁做得又快又好. (学生的注意力一下子集中起来)

几分钟的时间进行交流，交流的过程中复习单项式乘单项式、单项式乘多项式的重点和注意事项.

师问：m(a+b)=?

生齐答：m(a+b)=ma+mb，(1)

师问：如果把m换成式子(c+d)又怎么计算?

生1：(c+d)·(a+b)=(ac+cb)+(cb+db). (显然这里有误)

师：你是怎么得来的?

生：代进去的.

师：你代到(1)式再试试!

生1：m(a+b)=ma+mb=(c+d)a+(c+d)b=ac+ad+bc+bd

(学生发现错误)

师：这里的m是多项式(c+d)，我们得到了多项式与多项式相乘的结果.

接着，老师说：我遇到一个困惑，有一个边长分别为a米、b米的长方形，长和宽分别增加m米、n米，问现在的长方形的面积是多少?请把变化后的图画出来.

学生有不同的画法，也得出面积的不同表示式.

有直接计算的：S=(a+m)·(b+n)；

有分为三块的：S=(b+n)·m+an+ab；

有分为四块的：S=mn+an+bm+ab.

师：看一下，用不同方式表示的同一个矩形的面积，它们应该是相等的!

(a+m)·(b+n)=mn+an+bm+ab，所以我们又得到了多项式乘多项式的结果. 它们的形式是完全一样的!

师：看来，无论是从整体思想进行代数推导，还是从几何角度进行验证，多项式乘多项式的结果都是一样的. 请用文字来表达多项式乘多项式的运算法则.

生沉默.

老师给一点提示：类似于以前单项式乘多项式的.

学生纷纷尝试.

一学生表达，老师帮助完善，得到多项式乘多项式的法则.

师：这里的字母a、b、m、n可以是数，也可以是代数式.

学生齐读一遍教材上多项式乘多项式的法则后，进入练习阶段.

从上面教学设计的改进以及教学的实际效果，我们可以看到：代数教学中不是用粗糙的“形象”代替严格的代数推导，而是借用“形象”启迪学生思维或进行验证阐述等，以让学生更容易认同和理解.

代数教学反思怎么写 篇9

(1)能达到我们所制定的目标在教学的过程中我以例题精讲，并与中考相同或靠近的题目为例，在解题过程中实现三个目标，化解重难点，使学生了解，理解，掌握并应用!

(2)突出中考的热点现在中考试题强调个性与创新，我在例题中也突出(如用“¤”定义新运算：对于任意实数a，b都有a¤b=(a*a+b)÷3，求3¤(-2)的值。)这样考察了学生的阅读理解能力，同时也作适当的拓广。

(3)注重基础重在实效题目面对大众，不搞偏难怪。让学生“看起来块块，做起来怪怪”，使学生对此类的题不敢掉以轻心，不敢瞧不起“它”。

(4)进行“小题大做”思想贯彻对于如：计算：

解题前提问：如何解答?让学生思考并回答。而后我再作答，比较学生刚才他们的思路有何不同。并注：必须按部就班，一步一个脚印，切记应小题大做!不能单有一个答案。

(5)强化书写格式在解题的过程中，我巡视学生的作题情况，对于发现问题作出及时处理以达到规范。

(6)同时也存在几个缺点①有的知识点没有顾及到，②有的学生没有自觉在解决问题，③与学生互动不激烈。

(7)以后的努力①夯实基础②题目靠近中考，让学生了解中考理解中考，实战中考，对其不陌生，觉得中考不过而而。③在授课过程中要精讲多练，多让学生发问，而且也要让学生多多总结，学以致用。

线性代数教学大纲 篇10

课程名称：《线性代数》 英文名称：Linear Algebra 课程性质：学科教育必修课 课程编号：D121010 所属院部：城市与建筑工程学院 周 学 时：3学时 总 学 时：48学时 学

分：3学分

教学对象（本课程适合的专业和年级）： 给排水科学与工程与土木工程专业二年级学生

课程在教学计划中的地位作用：高等学校各专业的一门重要的基础理论课 教学方法：讲授 教学目的与任务

线性代数是讨论代数学中线性关系经典理论的课程，它具有较强的抽象性与逻辑性，是高等学校本科各专业的一门重要的基础理论课。

通过本课程的教学，使得学生在系统地获取线性代数的基本知识、基本理论与基本方法的基础上，初步熟悉和了解抽象的、严格的代数证明方法，理解具体与抽象、特殊与一般的辩证关系，提高抽象思维、逻辑推理的能力，并具有较熟练的运算能力。学会理性的数学思维技术和模式，培养学生的创新意识和能力，能运用所获取的知识去分析和解决问题，并为后继课程的学习和进一步深造打下良好的基础。

课程教材：同济大学数学系编《工程数学线性代数》（第六版），高等教育出版社

参考书目：

1、上海交通大学数学系线性代数课程组编.线性代数（第二版）.北京：高等教育出版社，2012.2、吴赣昌主编.线性代数（理工类.第四版）.北京：中国人民大学出版社，2011.3、杨刚、吴惠彬主编.线性代数.北京：高等教育出版社，2008.考核形式：考试

编写日期：2018年9月制定

课程内容及学时分配（含教学重点、难点）： 第1章 行列式（9学时）（1）教学目的和要求

了解行列式的定义和性质，掌握二、三阶列式的计算法，会计算简单n阶行列式，掌握克拉默法则。（2）主要内容

二阶与三阶行列式定义，并用它们解二元、三元线性方程组。从二阶、三阶行列式概念入手，用展开法引出n阶行列式定义，并介绍从定义出发求简单行列式的值。行列式的性质，并举例如何应用这些性质求行列式的值，行列式按某行（列）展开法则及其结论的推论，克拉默法则及其推论。（3）重点、难点

重点：二阶、三阶行列式的计算，四阶数字行列式的计算。难点：n阶行列式的计算。第2章 矩阵及其运算（9学时）（1）教学目的和要求

熟悉矩阵的概念，了解单位矩阵、对角矩阵及其性质，掌握矩阵的线性运算、乘法、转置及其运算规律，理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵存在的条件与矩阵求逆方法，了解分块矩阵及其运算。（2）主要内容

矩阵的定义、对角阵、单位阵、矩阵的加法及其运算规律，数与矩阵相乘及其运算规律、矩阵与矩阵的相乘及运算规律、矩阵的转置及运算规律、方阵的行列式及性质、逆矩阵定义、可逆条件、公式法求逆矩阵方法、分块矩阵定义及其运算。（3）重点、难点

重点：矩阵加、减、乘、逆的运算、逆矩阵存在条件与求逆矩阵的方法。难点：逆矩阵存在的充要条件。

第3章 矩阵的初等变换与线性方程组（6学时）（l）教学目的和要求

掌握矩阵的初等变换，熟悉矩阵秩的概念并掌握其求法，了解满秩矩阵、初等阵定义及其性质，了解线性方程组的求解方法。（2）主要内容

初等变换、行阶梯形矩阵、等价类、矩阵的秩、两矩阵等价条件、满秩矩阵、齐次线性方程组有非零解条件，非齐次线性方程组有解判别方法、求解方法、初等矩阵定义及性质、求逆矩阵的第二种方法。（3）重点、难点

重点：矩阵初等变换、求矩阵秩、利用初等变换求逆矩阵。难点：含参数的线性方程组的求解。第4章 向量组的线性相关性（12学时）（1）教学目的和要求

熟悉n维向量的概念，熟悉向量组线性相关、线性无关的定义，了解有关向量组线性相关、线性无关的重要结论，了解向量组的最大无关组与向量组的秩的概念，了解n维向量空间、子空间基底、维数等概念，理解齐次线性方程组的基础解系及通解等概念，理解非齐次线性方程组的解的结构及通解等概念，掌握用行初等变换求线性方程组通解的方法。（2）主要内容

n维向量及例子、线性组合、线性表示、向量组等价、线性相关、线性无关的概念及重要结论、最大线性无关组、有关秩的重要结论、向量空间、基、维数、齐次线性方程组的性质、基础解系概念及求法、非齐次性方程组的解的性质、解的结构．用行初等变换求线性方程组通解的方法。（3）重点、难点

重点：线性相关性、最大线性无关组、用行初等变换求线性方程组的通解的方法。难点：线性相关性证明。

第5章 相似矩阵及 二次型（12学时）（1）教学目的和要求

熟悉矩阵的特征值与特征向量的概念，会求矩阵的特征值与特征向量，了解相似矩阵的概念、性质及矩阵对角化的充要条件，会求与实对称矩阵相似的对角形矩阵，了解把线性无关的向量组正交规范化的施密特（Smidt）方法，了解正交矩阵概念及性质，了解二次型及其矩阵表示，了解二次型的秩的概念，会用正交变换法化二次型为标准型，了解二次型的正定性及其判别法。（2）主要内容

向量内积、正交向量组及性质、施密特正交化过程、规范正交基、正交变换、特征值、特征向量、特征方程、特征多项式、特征值、特征向量的性质、相似矩阵、相似变换、相似矩阵的性质、方阵的对角化条件、对称矩阵特征值性质、对称矩阵的对角化、二次型定义及矩阵表示、二次型的秩、二次型可化为标准型、配方法化二次型为标准到举例、正定二次型概念及判定。（3）重点、难点

代数的认知与应用教学研究 篇11

[摘 要] “数”与“代数”是解决基本数学问题必不可少的支柱。从小学四年级起，代数已经走进数学教材，丰富着学生的数学方法和思想。如何理解、运用好代数成为学生学习的一大瓶颈。从数学学习的角度看，学生需要深入了解代数，运用代数解决数学难题；从培养创新思维的角度看，学生以代数形式和思想为基础，进行自主学习，不断扩展自己的认知，建立数学知识之间的联系。

[关键词] 代数理论；数学思想；教学研究；功能作用

随着数学问题的复杂化，小学高年级部分问题需要利用代数才可以得到快速解决。从广义上看，代数涉及数、图形、概率等领域；从狭义上看，代数可以解决同时存在两个变量的问题，可以将问题的求解过程进行反向思维，利用代数的便捷性将求解思路简化。从数学学习的角度看，学生需要深入了解代数，运用代数解决数学难题；从培养创新思维的角度看，学生以代数形式和思想为基础，进行自主学习，不断扩展自己的认知，建立数学知识之间的联系。小学高年级学生对基本数学知识的理解和运用达到了一定高度，具备了研究代数的能力。因此，教师应利用好课堂时间，增强学生对代数的认识和应用能力，系统性地解决复杂问题。

一、小学阶段的“代数理论”

小学生对代数的理解一般停留在“x、y”等感性符号的层次上。对小学阶段的整个代数体系所知甚少，甚至很多教师没有向学生明确提出代数概念。根据实际教学情况，学生将精力集中在代数应用上，而没有深入思考和研究自己的学习方法和应用原理，使得学生无法及时运用代数知识解决问题。简单地说，代数是利用特殊符号指代变量，利用变量的特性简化整个求解思路和过程。通过对高年级教材内容的整合会发现，代数用来表示公式、运算规律、方程式、不等式以及简单函数。在学习“代数”知识的过程中，学生对“数”的认知提升了一个层次，培养了学生的符号意识和估算能力，将现实问题抽象为数学问题或数学模型，利用代数进行探究性思考。

二、小学阶段“代数”知识背后的数学思想

代数知识和代数理论是潜藏于数学体系之中的，涉及多方面的知识，具有分散、灵活的特征。把握好代数教学的基础是弄明白代数知识背后的数学思想。从本质上去了解代数在数学学科中的作用，才能更加准确地把握代数教学课堂。

1.转化思想

数学是为了解决现实问题而产生的科学，数学家布鲁纳提出：“代数就是将已知数与未知数按照数学规则排列，使得未知数成为已知数的表示方式。”从这句话中可以体会到代数理论中高深的转化思想，这种转化思想体现在数学问题的方方面面。

例如：师生十分熟悉的交换律、结合律、分配律等运算法则的表达方式为：a+b=b+a，（a+b）+c=a+（b+c），（a+b）c=ac+bc。如果采用文字或者数字表示这些法则，学生会陷入疲惫之中，而采用代数符号表示后，这个运算法则简洁明了。汉字到符号的转化、具体的现实问题到抽象的数学模型都是代数理论转化思想的具体体现，帮助学生快速理解数学问题的处理方法，形成代数思维的意识。

2.替代思想

“数”是抽象的概念，“图形”是具体的概念。利用“图形”代替“数”，利用具体的概念代替抽象的概念用于帮助学生理解数学问题。一般情况下，我们利用抽象的符号来代替具体内容，抽离出问题中的数学模型，方便找出条件之间的关系，但是，在具体的数值运算中，更需要培养学生“图形”代替“数”的能力，提高计算的准确性和正确性。

3.逆向思维思想

在高年级数学教学中，代数知识得以运用最广泛的部分为一元一次方程。在方程中，未知项不再是直接求解的对象，转变为建立数学等式的一个条件，利用数学等式上的关系进行反向求解。这种反向求解的思维方式和方法将逆向思维运用到了极致。学生在运用方程方法求解问题时，先找组成等式的条件，然后将未知项以x、y的符号形式进行带入，最后，利用等式关系得出最终的结果。

三、代数知识在教材中的具体应用

以上两个章节从代数理论和代数理论背后的思想两个层面对代数进行了全面的分析和讲解。代数的特征和思想并不能通过直接讲解使学生获得深入的体会，还需要结合教材中的具体内容进行应用分析，让学生从实践中体会代数数学思想的优越性。

1.“简易方程”中的代数应用

按照教材的讲解顺序，从代数意识的培养做出，比较月球和地球举重的数量关系，比较两个人的年龄关系，定义周长、面积的表达方式；然后，提出了等式和等式关系概念，让学生体会问题包含的内在等价公式；紧接着，提出方程概念，将代数、等式、数值运算法则等内容应用到组建方程的体系中，最后，利用方程解决现实问题。从整个知识体系可以看出，方程是由代数思想发展而来的，为学生解决现实应用问题提供了新途径。

为了将方程、代数、数、图形建立其紧密联系，让学生对数学知识形成全面理性的认识。教师应该抓住教材中的资源，进行深入讲解和通透，确保学生数学知识的联合、统一。

2.将代数应用于“运算结果奇偶性”的判断

小学高年级对数的分类具有多种标准，包括奇偶性、质数与合数等。对数的分类方便了数学计算的过程，对处理较大数值的乘除运算具有很大帮助。在教学中发现，学生对数的认知不够深刻，对自己明显的计算错误无法进行及时有效的检验。如果将代数引入其中，就可以帮助学生进行及时有效地检验。

通过运用知识巧妙地帮助学生得出“偶偶相加得偶，奇奇相加得奇，奇偶相加得奇”的结论。在数学中还有更多的结论可以通过代数进行推算出来，而不需要学生死记硬背。代数知识可以帮助学生从抽象的层面理解數学结论，重新认识数学教材中的法则和规律。教师应引导学生不断探索数学世界的潜在规律，培养学生思考问题的能力，帮助学生快速成长。

3.符号在数学知识串联中的应用

小学高年级数学知识具有总结性和延伸性，同时，淡化了数学知识板块之间的界限，增加了数学知识之间的联系。未知项代号可以帮助学生将不同知识串联起来，实现不同板块之间的沟通。其中最重要的部分是数学知识与方程关系的建立。

例如：在六年级接触到的“百分制”知识。虽然百分制的形式是x%，但其与小数、分数的关系紧密，大多可以相互替代表达。当问题中涉及百分制数值时，可以将其转化为分数，分出分子项和分母项，利用等式关系求出分子，得到所求比例。此外，六年级教材中延伸了坐标内方向的表达，让学生根据文字描述，分析出坐标内的实际情况，确定好两者之间的位置关系。在文字转化为图形的过程中，需要根据已知条件建立其对应等式，将未知项与已知内容排列起来，进而求解出最终的答案。在小学数学知识总结和归纳阶段，教师应该淡化知识板块的界限，从组建整个数学体系的角度上，分析各部分知识的具体使用方法。代数可以将数学中大部分知识串联起来，从逆向思维的角度去重新认识学过的内容，重新构造自己的学习框架。

小学数学代数知识和理论可以帮助学生深入理解数学法则、概念，探索数学运算中的规律，逆向思考数学问题，甚至利用方程式将加减乘除、分数和百分数、概率和数值关系等进行整合，进而解决数学中的复杂问题。教师应该认识到代数知识和思想的重要性，不断渗透理论背后的数学思想，让学生的数学素养得到有效提升。

参考文献

[1]王文明，范文贵编著.新版课程标准解析与教学指导·小学数学[M].北京：北京师范大学出版社，2012：39-48.

[2]李欣莲等.小学数学新教材编写特色再探——以西师版为例[J].数学教育学报，2014.

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