北京市陈经纶中学高三数学-用放缩法证明不等式

北京市陈经纶中学高三数学-用放缩法证明不等式

北京市陈经纶中学高三数学-用放缩法证明不等式 篇1

用放缩法证明不等式

一．引入

（1）a克糖水中有b克糖ab0，若再添上m克糖m0，则糖水就变甜了，试根据这个事实提

炼一个不等式：_______________（3）当nN时，求证：1二．基本概念

131

①添加或舍去一些项，

an，aa

242

*

1111 222

223nn

②将分子或分母放大（或缩小）

③真分数的性质：“若0ab，m0，则④利用基本不等式，如：lg3lg5(⑤利用函数的单调性；

⑥利用函数的有界性：如：sinx1xR；x2x⑦利用常用结论：





22

aam

” 

bbm

lg3lg52n(n1))lg2lg2

lg24

xR；2x0xR

4kN,k1，*

kN,k1

*

Ⅱ、Ⅲ、1111111

1（）；k

2k2k(k1)k1kk2k(k1)kk1111111

； ()（k2）

k2k21(k1)(k1)2k1k1

n

4n

（1）14

22(5)(15)

2111(2)11 212

4n12n12n1Cn1Cn(n1)n(n1)n(n1)n(n1)

42111(6)nn

nn

2(21)212

n2 n2

nn1(n2)

n(n1)

n

(13)2n122n(31)2n33(2n1)2n2n12

312n

2n1

3(9)

11111111

,

k(n1k)n1kkn1n(n1k)k1nn1k

n11(11)

1

2(n12n1)(n1)!n!(n1)!

n

22n12n1



n

211

n22

(10)

(11)

2n2n2n2n111n1n(n2)n2nnnnnn1

(21)(21)(21)(21)(22)(21)(21)2121



1nn2



111

n(n1)(n1)(n1)n(n1)1n1

(12)1

n3

1n111n12n11n11

n1

n(13)2n122n(31)2n33(2n1)2n2n12312n2n13 ⑧绝对值不等式：ababab；⑨应用二项式定理.三．典型例题

例

1、若a,b,c,dR，求证：1

例

2、求证：21

例

3、当n2时，求证：logn(n1)logn(n1)

1*abcd2 abdbcacdbdacnN*

例

4、已知an21nN

（2）设An*，求证：an1a1a2....n 22a2a3an11111，则A与1的大小关系是21021012102211

1四．课堂练习

(1)求证：1

(2)设n为大于1的自然数，求证

11113.112123123n11111.n1n2n32n

22(3)设f(x)xx13，xa1，求证：f(x)f(a)2a1； 

五．课堂小结

1.放缩法的实质是非等价转化，放缩没有确定的准则和程序，放缩目的性很强，需按题意适当放缩.即通过放缩将复杂的一边化简，凑出另一边的形式。

2.放缩法的尺度：根据不等式两端的特点及已知特点，谨慎的采取措施，进行适当的放缩，任何不适宜都会导致推证的失败；这就需要认真的分析结论特点，由结论的特点探究解题规律；放缩标准：放缩到可裂项，放缩到可用公式，放缩到可控范围。

3.放缩法：“放”和“缩”的方向与“放”和“缩”的量的大小是由题目分析、多次尝试得出,4.通过对放缩法证明不等式的教学培养学生对数学的学习兴趣.