钉子板上的多边形试卷

2024-10-03

钉子板上的多边形试卷（精选5篇）

钉子板上的多边形试卷篇1

基地数学学科《钉子板上的多边形》教学设计

溧阳市平桥小学

潘红星

教学目标：

1.经历画图、填表、分析数据、探索规律的过程，让学生自主发现钉子板上的钉子数与面积之间的关系。

2.初步感悟通过固定某些变量的值来探求其余变量的变化规律的科学思维方法。3.培养学生获取由简单到复杂的探究问题的方法和经验。教学过程：

一、认识钉子板

同学们，大屏幕上的是什么？今天我们要学习与钉子板有关的数学知识，老师没有带钉子板，怎么办，有没有替代品。

讲述：钉子板上的多边形是用橡皮筋围的，今天我们就用画的形式表示好吗？

二、揭题

1.今天我们学习的数学内容是什么？生：钉子板上的多边形师板书：钉子板上的多边形

师：你觉得我们今天会研究多边形的什么数学问题呢？生：面积、周长……

2.师：今天我们就学习多边形的面积，想一想，今天学习的多边形面积还可能和什么有关系？生：钉子板

师补充：钉子板上的钉子，你觉得会有什么样的关系呢？生：钉子越多，面积越大

师：这只是你的猜想，要想得到证明，我们还要进行操作是吗？师：我们从简单的图形学起师：说一说上面图形的面积各是多少说一说你是用什么方法的呢？

根据学生的回答板书：算说一说你是用什么方法的根据学生的回答板书：数

3.师提问：刚才我们说多边形的面积可能和什么有关系啊？生：钉子数

4.多媒体出示：多边形边上的钉子数一起读一读，我们要数什么 5.一起和老师数，师点生数 6.你发现了什么？

生：钉子数÷2＝面积

…… 让3－4名学生说一说。

师：很难说，如果我们用字母表示就简单多了。

用s表示多边形的面积，用n表示多边形边上的钉子数你会表示吗？学生根据自己的理解得到S＝N÷2

三、引发矛盾

师：刚才我们的图上是不是还有4幅图形啊，我们一起来验证一下好吗？师：你有什么想要说的

师：现在我们从不同中找相同，回头再看看前面4幅图，你有什么发现？生：中间只有一枚钉子师：点一点

师：你觉得刚才我们的这句话应该怎么说才更合适呢？生：当中间只有一枚钉子时，师：如果中间钉子数用字母ａ表示，这个公式应该怎么表示。

四、反思与小结

师：刚才我们研究了什么，你能不能用一句话说一说。生：多边形的面积等于多边形边上的钉子数除以2。

五、迁移研究

师：接下来，我们应该研究什么了，生：A＝2 师出示：两幅图，你还记得刚才的数据吗？说一说

师：现在拿出你的钉子板纸，在上面画一个中间有两枚钉子的多边形，并写出他的面积与边上的钉子数。生演示并汇报，师填写

师：你有什么发现，在小组里和大家说一说。指名说一说你的发现

师：刚才我们又研究了什么，你能不能用一句话说给大家听一听。研究A＝3 师：你觉得接下来我们要研究什么了。在你的钉子板上画一画，小组里完成表格。迁移知识：如果A＝4、5…..当A＝0的时候呢？

学生利用学习研究单分别研究出A＝2、3、4、5等多边形的面积与边上钉子数的关系。

师：象这样的研究我们还可以继续，如果你有兴趣的话，老师推荐你一本书有两个人。

出示两个关于这一数学现象研究的数学家。六：全课小结

这节课，我们一起研究了什么？能不能把你的发现和大家说一说。

钉子板上的多边形试卷篇2

如何打破传统的探索规律课的教学模式, 引导学生积极有效地投入到课堂的探究活动中来? 笔者在多次模课及与同行教学比对的基础上, 认为本课可以刷新教学呈现方式为突破口, 来实现课堂教学的最优化.

一、人文浸润式地导入, 营造研讨的氛围

导入环节是一堂课的课眼, 它的作用不仅仅是激发学习兴趣, 更应该唤起学生对于新知学习的渴望. 教师需要在解读学生的基础上来设计, 要把它演变成一个磁场, 牢牢吸引学生的眼球和心智.

求多边形的面积方法有很多种, 本课为什么要把多边形放在钉子板上来研究? 研究的背景是什么? 这是学生看到课题后的直觉反应. 如果教学时开门见山, 直接出示在钉子板上围成的多边形引入教学, 虽然研究的目标明确, 但却无法有效地激发学生探究的欲望. 循着这样的思考, 进行了如下设计:

【片断】

(一) 课前谈话

师:老师给大家带来了一些数学家的故事, 你们想听听谁的故事? (祖冲之陈景润哥德巴赫欧拉) 生选择, 师进行点评.

师:其实要想进一步了解数学家, 不妨与他们一起思考.

(二) 激趣导入

师:今天课上老师还带来了另一位数学家的故事, 想听吗?

【放录音: 乔治. 皮克是奥地利著名的数学家, 出生于1859 年. 不知从什么时候开始, 皮克对多边形的面积产生了浓厚的兴趣. 平时喜欢在钉子板上围大大小小、各种各样的多边形来进行研究, 最终获得了重要的数学发现. 】

师:那今天我们就来当一回小皮克, 通过围多边形, 也来探索隐藏在其中的奥秘.

本课最终得出的规律其实就是皮克定理. 怎样赋予这个抽象的规律以生动的内涵? 以上教学设计, 通过课前谈话让学生了解一些熟悉的数学家的故事, 让学生初步感受数学研究的魅力, 为新课导入谱写好了前奏曲. 课时, 循着之前的思绪, 老师通过录音和图片呈现相结合的方式介绍了皮克的故事. 故事中皮克的事件正是学生心里的疑问, 让学生明白之所以要把多边形放到钉子板上去研究, 源于数学家皮克的关系. 在钉子板上围图形, 学生也会, 围着围着, 会有什么有趣的发现? 这是学生在听录音时不由自主思考的问题. 如此运用数学文化浸润的方式将研究主题植入学生脑海中, 巧妙地唤出学生研究的欲望, 于无痕中达到教学的目标.

二、逐层深入式地体验, 汇聚思维的焦点

新教材提倡开放式的教学, 给学生更多思维的空间. 但这个“开放”并不等同于简单的“放开”, 探究也不是漫无目的地去研究. 这就需要教师贴近学生最近发展区, 为学生精心设置台阶, 引导学生逐步深入体验, 找寻到思维探究的点.

钉子板上多边形面积变化的规律和多边形边上的钉子数及多边形内的钉子数有关, 如何引导学生把目光聚焦到这上面? 有位老师是这样设计的:

【片断】

师:这节课我们用这样的点子图来代替钉子板, 瞧老师画的这个梯形, 它的面积是多少? 有什么办法知道?

生:面积计算公式、数格子.

师:如果不用面积计算公式, 也不数格子, 能不能知道面积呢?

下面我们来玩一个游戏.

生在点子图上画一个任意多边形, 算出它的面积. 选择几名学生, 拿着画的多边形在实物投影上展出.

师背对屏幕, 通过询问学生所画的多边形内部的钉子数和边上的钉子数来猜多边形的面积.

生佩服并猜想:面积很有可能和边上的、形内的钉子数有关.

以上教学设计, 教师首先通过直观图形的变化, 让学生产生“多边形的面积可能和边上的钉子数、形内的钉子数有关”这一直觉;随后通过学生画、老师猜的神秘游戏, 让学生在强烈的体验中进一步感觉:“多边形的面积很可能和边上的钉子数、形内的钉子数有关”. 如此巧妙地将学生思维的焦点逐步聚集到本课研究的两个关键要素上, 让学生在这样的体验活动中积累了活动经验.

三、由扶到放式地探究, 明晰思考的路径

学习的过程是学习主体与知识在不断碰撞、摩擦、调整从而达到融合的一段旅程. 因此教学中要让学生充分经历数学学习的过程, 这样学生收获的不仅仅是知识, 还有思考问题的经验, 这些才是提高学习能力的根本. 本节课我们是这样设计探究规律的过程的:

【片断】

(一) 探究多边形内有1 个钉子的情况

师:我们就从内部1 枚的几个简单的例子入手, 算算它们的面积分别是多少? 再数一数它们边上的钉子数分别又是多少呢?

师:观察这些数据, 你有什么发现? (板书:观察比较发现规律)

师:刚才几名同学都把意思表达出来了, 不过文字描述挺拗口的, 如果用字母式来表示它们之间的关系, 感觉怎么样? (简洁, 方便记忆)

师: 是不是内部1 枚钉子的多边形都符合这个发现呢? (板书:? )

我们还只是通过4 个例子得到的结论, 是否普遍适用还需要进一步验证. (板书:举例验证)

师:课前同学们在点子图上任意画了几个多边形, 同学们来找找有没有反例.

至此黑板上形成探究的四步法: 举例、观察比较、发现规律、验证.

(二) 探究多边形内有2个钉子的情况

学生按4个步骤分组活动.

师反馈、板书:当a=2时, S=n÷2+1.

(三) 探究多边形内有3、4、5 个钉子的情况

师: (引导学生推理得出关系式, 并板书) 这三条都是我们的猜想. 有了猜想, 就要去验证它. 你准备怎么做?

生:在图形库里找一个符合条件的多边形, 数一数边上钉子数, 并算一算面积, 看看是否符合猜想, 找找有没有反例.

生活动、交流反馈

(四) 比较推理其他情况

师:当a = 100 时, S = ? 你又准备怎么验证? 还要再画图验证吗? 猜一猜皮克可能会怎么做的?

生:直接推理, S = n ÷ 2 + 99.

师:99从哪儿来?后面加的数与a什么关系?

师:再往下推想, a=10000, S等于?

像这样的规律, 你能写出多少个? 能用一个式子来概括出所有的情况吗? (概括出皮克定理)

让学生在探索规律的过程中, 获取由简单到复杂的探究问题的方法和经验, 使学生获得探索规律成功的体验, 是“钉子板上的多边形”这是重要的教学目标之一. 以上教学设计, 我们采用由扶到放的策略, 让学生在学习的过程中逐步明晰思考的路径, 掌握探索规律四步法, 在思维提升的同时感悟数学思想方法, 获得智慧的启迪.

四、承前启后式地沟通, 把握知识的脉络

在数学教学中, 教师要善于把握知识之间的内在联系, 在教学中合理运用类比推理, 使前后知识得到沟通, 帮助学生把握知识的脉络.

【片断一】

师:s = n ÷ 2 这条规律是不是适用于钉子板上所有的多边形呢?

请同学们拿出课前画的多边形, 任选一个自己验证一下.

生:多边形内有2枚钉子时不满足.

师:那么像他这样内部2 枚钉子的多边形, 面积与边上的钉子数会有怎样的关系呢? (S = n ÷ 2 + 1)

【片断二】

师:为什么当a = 2 时要再加1 呢? 我们就回到钉子板上来找找原因.

师: 第一个多边形内部是1 枚钉子. 如果把这枚边上钉子的皮筋往下拉, 原来边上的钉子就变成了内部的钉子. 当内部有2 枚钉子, 面积也发生了变化. 另外两个图形也来变一变. 和原来的图形比一比, 你有什么发现? 如果你是皮克, 接着又能联想到什么?

生:边上的钉子数, 中间的钉子数由1 枚增加到2 枚, 面积增加了2 个小三角, 就是增加了1 平方厘米;再往下拉, 中间的钉子数由1 枚增加到3 枚, 面积比内部1 枚钉子的时候增加了2 平方厘米. 就是当a = 3 时, S = n ÷ 2 + 2

师:继续想, 再往下拉.S和n会有怎么的关系?

生:当a=4时, S=n÷2+3

师:再往下拉呢?

生:……

在教学中 “培养学生掌握类比迁移探求问题的方法, 尝试拓展研究同类新问题. 并能用举反例验证规律, 不断调整学生的思维. ”这也是“钉子板上的多边形”这课的教学目标之一.

以上的教学设计实际是进行了两次比对沟通:第一次沟通, 老师没有人为地直接给学生布置探索多边形内有2 枚钉子的情况. 而是运用验证的方法, 巧妙地让学生自己发现问题, 从而激发学生探索多边形内有2 枚钉子的情况的欲望.第二次沟通, 是在探索完形内2 个钉子的情况后, 采用数形结合的方式, 抓住运动前后边上的钉子数不变的情况下, 形内钉子数每增加1 枚, 面积就增加1 平方厘米这样的变化, 引导学生分析、对比、想象、概括, 得出了内在的变化规律, 提高了数学思考的能力.

《钉子板上的多边形》教学实录篇3

苏教版义务教育教科书《数学》五年级上册第108～109页。

【教学目标】

1.让学生在操作、观察、猜测、验证等活动中，发现在钉子板上围出的多边形与它的边所经过的钉子数，以及多边形内部钉子数的关系，会用含有字母的式子表示发现的规律。

2.让学生在探索规律、发现规律和表达规律的过程中，进一步感受数学抽象的意义，培养比较、分析和简单推理的能力，增强发现问题、提出问题的意识，积累数学活动经验。

【教学重点】

探索钉子板上多边形的面积与多边形边上钉子数、内部钉子数之间的关系。

【教学难点】

综合和归纳多边形的面积与多边形上钉子数、内部钉子数之间的关系。

【教学准备】

学生准备钉子板、橡皮筋，教师准备课件、研究单等。

【教学过程】

一、引入问题，揭示课题

师：同学们，你们喜欢做游戏吗？（喜欢）今天的数学学习就让我们从游戏开始。

瞧，这是什么？（课件出示钉子板图）

生：钉子板。

师：用钉子板可以做什么呢？

生：可以在钉子板上围图形。

师：好，现在请大家在自己的钉子板上围出一个自己喜欢的多边形。（学生自主围一围）谁来给我们展示一下：你围出的是什么样的多边形？

生1：我围出的是个直角三角形。

师：如果相邻的两个钉子之间的距离是1 cm，你能算出：围出的这个多边形的面积是多少吗？

生1：根据三角形的面积公式算出它的面积是4 cm2。

师：请你再数一数：你围出的这个多边形的边上有多少枚钉子？

生1：8枚。

师：谁能像这样完整地说一说？好，请你来。

生2：我围出的是个直角梯形，它的面积是6 cm2，边上有10枚钉子。

……

小结：刚才，同学们都各自围出了一个多边形，从刚才三位同学的汇报中，我们发现：他们围出的图形各不相同，它们的面积和所围出多边形边上的钉子数也不同。多边形的面积似乎与它边上的钉子数存在着一定的关系，那么，到底有着怎样的关系呢？今天这节课，我们就一起来研究《钉子板上的多边形》（板书课题）。

二、分层探索，发现规律

（一）引导尝试，初步感知

1.出示下图，引导学生观察

师：刚才看到同学们在钉子板上都围出了自己喜欢的多边形，我也忍不住动手围出了几个多边形，并把它们拍了下来。（课件出示图形）

师：请你们帮我看看：这些多边形的面积各是多少平方厘米？每个多边形边上的钉子各有多少枚？先数一数、算一算，再与同学说说你的想法。（生数、算、说，师巡视。）

2.汇报交流，完成表格

师：有想法了吗？它们的面积分别是多少呢？（指名说，随着学生的回答，完成表格。）现在我们一起来数一数每个多边形边上的钉子数分别有多少枚？（学生随着课件动态闪烁一起数）

3.观察数据，比较发现

师：请同学们仔细观察这张表格，你们能发现什么？把你的发现先和你的同桌说一说。（同桌互说）

师：谁愿意和大家分享一下你的发现？（指名说）

生1：我发现多边形边上的钉子数是多边形的面积的2倍。

师：嗯，请坐。你说。

生2：我发现多边形的面积是多边形边上钉子数的一半。

师：是吗？请你说。

生3：我也发现多边形的面积是多边形边上钉子数的一半，我还发现这些多边形有个共同的地方：多边形里面都有一枚钉子。

师：说得真好，请大家把掌声送给他……

师：好，谁来说说你的想法？（指名说）随着学生的回答，板书：a=1，S=n÷2。

小结：刚才，同学们通过观察、填表、分析数据，找出了多边形内有1枚钉子时，多边形的面积与钉子数的关系。真的很了不起！

（二）深入探究，寻找规律

1.提出问题，引发思考

师：请你们想一想：如果多边形内有2枚钉子时，多边形的面积与多边形边上的钉子数又有着什么关系呢？请大家分组合作探究。

2.小组合作，探究规律。

（1）课件出示合作要求，并指名一学生读一读。

（2）分组探究，师行间巡视。

3.汇报交流，发现规律。

得出结论：a=2，S=n÷2+1。

师：同学们，真的很棒！大家在组长的带领下通力合作、自主探究，发现了规律。让我们把掌声送给自己，祝贺我们了不起的发现！

（三）引导猜想，概括规律

1.引发猜想

师：通过刚才的研究，我们发现：当多边形内钉子数a=1，S=n÷2；a=2，S=n÷2+1。请你们联系这里的规律猜一猜：如果多边形内有3枚钉子时，它的面积与多边形边上的钉子数又有怎样的关系呢？先把你的想法和你的同桌说一说。

……

2.画图验证

3.汇报交流

师：通过举例验证，我们发现：当多边形内有3枚钉子时，多边形的面积S=n÷2+2。（擦去板书中的“？”）

4.得出结论

师：同学们，请大家观察黑板上的关系式，你们能发现什么？如果a=4，面积与钉子数会是什么关系？a=5呢？当a=m呢？（指名说）随着学生的回答，完成板书：S=n÷2+m-1。

仔细观察黑板上的这些关系式，你们能发现什么？你能用一个表达式概括出钉子板上多边形的面积与钉子数的关系吗？（指名说）板书：S=n÷2+a-1。同学们，很聪明！……课后，请大家画图验证规律。

5.拓展延伸

师：其实，我们今天研究的规律是历史上著名的“格点面积”：我国数学家闵嗣鹤曾写过这方面的一本著作叫做《格点和面积》，也是数学史上著名的皮克定理，有兴趣的、想进一步了解的同学可以上网查找相关资料阅读。

三、总结回顾，交流体会

师：回顾刚才探索和发现规律的过程，你有什么体会和收获？（指名说）

小结：在数学学习活动中，我们体验到了“数学好玩”，在今后的学习中，希望大家能“玩好数学”。

钉子板上的多边形试卷篇4

教学目标：

1.使学生在操作、观察、猜测、验证等活动中，发现在钉子板上围出的多边形与它所经过的钉子数，以及多边形内部钉子数的关系，会用含有字母的式子表示发现的规律。

2.使学生经历画图填表、分析数据、发现探索规律的过程，进一步感受数学抽象的意义，培养比较、分析和简单推理的能力，增强发现问题、提出问题的意识，积累数学活动经验，获取由简单到复杂的探究问题的方法和经验。

教学重点：

发现、得出多边形的面积与边上钉子数和多边形中间钉子数之间的规律

教学难点：

类比推导出一般规律

教学准备：

作业纸，多媒体课件

教学过程：

一、开门见山，问题引入

师：今天这节课我们要研究什么?(钉子板上的多边形)，钉子板见过吗?今天老师带来了钉子板的替代品。我们都知道，在钉子板上可以用橡皮筋或线围各种各样的多边形，这几个图形，就相当于在钉子板上围成的。对于这个内容，你想研究它的哪些知识呢?生自由发言。

师：钉子板上的多边形肯定与钉子板上的钉子有关，今天这节课我们要研究的就是多边形的面积与钉子板上的钉子有多少个之间的关系。到底有没有关系，有怎样的关系，需要进一步探究。

二、实践探究，发现规律

1.中间只有1枚钉子

(1)出示点子图：你知道各多边形的面积吗?指名口答，可以算还可以数。有一个无法算也无法数，学了今天的知识看能否解决?

(2)多边形边上的钉子数是多少?跟着课件一起来数一数。

(3)观察这些数据，你有什么发现?

多边形的面积越大，所用的钉子数就越多。

多边形的面积=多边形边上的钉子数/2，多指名说。还有没有不同的表达方式?

(4)师：这句话说起来有点麻烦，有没有更简洁的表示方式?如果用S表示多边形的面积，用n表示多边形边上的钉子数。那它们的关系可以怎样表示?板书。再指名说说各字母的含义与式子的含义。

2.过渡：刚才我们通过计算填表得出多边形的面积等于边上钉子数的一半。那是不是所有钉子板上的多边形都是这样的规律呢?出示另一组。让学生自己发现规律不适用了。对比两组图形，有什么发现?中间只有一枚钉子。用a表示中间的钉子数，当a=1时，s=n/2。再用语言完整地说一说。请生自己画一个中间只有1枚钉子的多边形，数出边上钉子数和多边形的面积，全班交流。下面我们该探究什么了?

3.中间有2枚钉子

如果中间有2枚钉子，它们又有怎样的关系呢?还有两组学生根据课前自己所画，汇报，板书。四人小组讨论，全班交流。用字母表示。

纵向观察板书，当a=1时，s=n/2，当 a=2时，s=n/2+1

4.中间有3、4枚钉子

猜想：中间有3枚钉子会有怎样的关系?中间有4枚呢?分组合作探究，学生展示汇报，板书规律。如果多边形内有5枚呢?没有钉子呢?学生提出猜想，鼓励课后验证研究。

5.解决问题

回看课始的多边形，能知道它的面积吗?

三、全课小结

师：今天这节课我们一起探究了多边形的面积与钉子板边上的钉子和中间钉子数的关系，我们是怎样研究的?画图观察，数据填表，比较猜想，验证表达。

板书设计：

钉子板上的多边形

当a=0时，