利用配方法解题举例

利用配方法解题举例（精选3篇）

利用配方法解题举例 篇1

利用配方法解题举例

作为一个重要的数学方法，配方法在中学数学中的应用极为广泛，下面举例说明．

一、用于因式分解

例1 分解因式：

(1)x4+4；

(2)a2-4ab+3b2-2bc-c2

解：(1)原式＝x4+4x2+4-4x2

＝(x2+2)2-(2x)2

＝(x2+2x+2)(x2-2x+2)．

(2)原式＝(a2-4ab+4b2)-(b2+2bc+c2)

＝(a-2b)2-(b+c)2

＝(a-b+c)(a-3b-c)．

二、用于求值

例2 已知x2+y2+4x-6y+13＝0，x，y为实数，则xy＝_______．

解：由已知等式配方，得(x+2)2+(y-3)2＝0．

因x，y为实数，故x＝-2，y＝3．

故xy＝(-2)3＝-8．

三、用于化简根式

/ 4

四、用于解方程(组)

例4 解方程(x2+2)(y2+4)(z2+8)＝64xyz(x，y，z均为正实数)．

解：原方程变形，得

x2y2z2+4x2z2+2y2z2+8z2+8x2y2+32x2+16y2+64-64xyz＝0．

各自配方，得(xyz-8)2+2(4x-yz)2+4(2y-xz)2+8(z-xy)2＝0．

解：显然，x＝y＝z＝0适合方程组．

当x≠0，y≠0，z≠0时，原方程组可变形为：

/ 4

∴ x＝1，y＝1，z＝1．

五、用于求最值

解：所求式变形配方，得

∴ 当x＝1时，y有最小值1．

六、用于证明恒等式

例7 四边形的四条边长a，b，c，d满足等式a4+b4+c4+d4＝4abcd．求证：a＝b＝c＝d．

证明：已知等式变形，得

a4-2a2b2+b4+c4-2c2d2+d2+2a2b2+2c2d2-4abcd＝0．

配方，得(a2-b2)2+(c2-d2)2+2(ab-cd)2＝0．

∴ a2＝b2，c2＝d2，ab＝cd．故a＝b＝c＝d．

七、用于证明不等式

例8 若a，b，c为实数，求证：a2+b2+c2-ab-bc-ac≥0．

证明：∴2(a2+b2+c2-ab-bc-ac)

/ 4

＝(a2-2ab+b2)+(b2-2bc+c2)+(a2-2ac+c2)

＝(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2≥0，∴ a2+b2+c2-ab-bc-ac≥0．

八、用于判定几何图形的形状

例9 已知a，b，c是△ABC的三边，且a2+b2+c2-ab-bc-ca＝0，试判定△ABC的形状．

解：仿上例，已知等式可化为(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2＝0．

∴ a-b＝0，b-c＝0，c-a＝0．即 a＝b＝c．

故 △ABC是等边三角形．

/ 4

利用配方法解题举例 篇2

设α是一个任意角, 正弦, 记作sinα;余弦, 记作cosα;正切, 记作tanα;余切, 记作cotα;正割, 记作secα;余割, 记作cscα。以上六种函数都是以角为自变量, 以比值为函数值的函数, 它们统称为三角函数。

在学生学习高中数学过程中。三角函数属于必学内容。但比起以前。要求和内容有所降低和减少。但三角函数的一些性质学生却必须要了解和掌握。比如诱导公式、和角公式、差角公式、倍角公式、半角公式、正弦定理、余弦定理、三角函数等。利用三角函数法求解物理问题, 就是通过对题目的物理过程和状态分析后, 按物理规律列方程或作图, 然后再通过方程或图象, 利用它的性质进行求解。

二、三角函数的利用

在三角函数的利用中, 最简单也最普遍的就是利用三角函数的正弦、余弦、正切、余切公式来解题。在力学的解题过程中, 正交分解是普遍的方式, 联列式子时就用到了三角函数的公式, 但在笔者教学过程中, 发现学生对这些公式经常混淆, 这样就导致了错误的答案, 所以要求学生对三角函数应烂熟在胸。

例1、一质量为m的物体放在水平面上, 在F的作用下向右做匀速直线运动, 求它与地面之间的动摩擦因素μ。

分析与解:对物体受力分析, 建立直角坐标系对力F进行分解。根据平衡知识联列式子得到:

学生在解题过程中经常混淆正弦和余弦公式。所以在解题之前首先得熟悉三角函数公式。不然将寸步难行。这种类型的题目很多, 只要有进行正交分解的就都会用到三角函数的正弦、余弦、正切、余切公式。力学的80%左右的题目都会用到正交分解, 基本思路清楚, 对物体受力分析, 建立直角坐标系, 分解力, 根据牛顿运动定律联列式子, 根据三角函数的性质解题。运动学的运动的合成和分解, 比如平抛运动的研究、小船渡河此类问题的研究, 就是对描述运动的物理量进行分解, 再利用三角函数的公式进行解答。电磁学中带电粒子运动也用到三角函数的知识。可以说, 利用很广泛。

例2、倾斜桥面与水平的夹角为θ, 某人沿平行桥面方向施加力F向上推一重为G的物体, 同时另一人施同样大的力拉物体, 使物体匀速上滑, 如图的所示, 若物体与桥面的动摩擦因数为μ, 求拉力与桥面成多大夹角时最省力?最小拉力 (或推力) 多大?

分析与解:物体匀速, 合力为零。受力分析, 建立直角坐标系, 根据平衡联列式子。

由 (1) (2) 两式化简得到:

由三角函数和角式得

F=1+1+m2mgsinq+mmgcosqsin (a+b) (其中tanβ=m1)

∵θ一定

∴当α+β=90°时, F最小,

此题利用三角函数和角公式得到F的变式, 利用三角函数的性质得到F的最小值, 使得解题大大简化。

例3、如图所示, 一质点自倾角为的斜面上方P点沿一光滑的斜槽PA由静止下滑到斜面上, 欲使其滑行时间最短, 则PA与竖直方向PB的夹角β应为多大?

分析与解:假设运动时间最短为t。则物体在光滑斜槽PA上做匀加速直线运动。加速度为gsin (90°-β) 。由匀变速直线运动的规律可知。

由正弦定理得。

把 (2) 式代入 (1) 得, (3)

把 (3) 式利用三角函数积化和差公式得,

由题意得知, α一定, 要使t最小, 只要cos (2β-α) 最大就行。由数学三角函数知识得知, 2β-α=0°时, cos (2β-α) =1。所以得到 时, 滑行时间t最小。

此例主要是利用三角函数的性质和三角函数正弦定理与三角函数积化和差公式来达到解题的目的。

由以上两个例子可以得到, 若要求极值, 一般通过分析物理过程和状态, 依据物理规律建立所求因变量与物理过程中某一个自变量之间的三角函数关系, 然后把不同角的三角函数化成同一角函数, 再化成同一角的同一三角函数方程利用三角函数性质求解。

以上只是笔者在教学过程中的些许体会, 由于经验有限, 只能略谈一二, 望能与同行交流所感。

摘要：众所周知, 物理学研究的是物质及其运动变化的量的关系, 必须依赖数学作为研究工具。数学工具运用得当, 可使物理问题的解决变得迅速正确、条理分明、概念清晰。所以, 如何选择适当的数学思想与方法并正确使用, 就成为物理研究以及物理课程和物理解题教与学的重要内容。在笔者执教过程中, 学生物理解题过程中, 用到较多的数学方法有数学比例法、三角函数法、图象求解法、指数对数法、几何图形法、数学极值法、数列极限法、导数微元法等等。本文着重讨论三角函数法在物理解题中的应用。

关键词：三角函数法,物理解题

参考文献

利用配方法解题举例 篇3

[关键词] 初中数学；解题教学；配方法；利器

配方法是初中数学中极为重要的式子变形方法，它在数学题目中的应用隐含了创造条件并实现化归的思想，这种思想对培养学生的数学能力以及数学整体思维具有很大的影响. 配方法不仅仅有推导一元二次方程求根公式这个典型的应用，在因式分解、化简二次根式、解方程以及求代数式最值等问题中都会有广泛的使用. 在中考中也频频出现，逐步成为初中数学中的一种很重要、很基本的数学方法. 笔者具有多年数学教学经验，对配方法的应用具有一定的研究与探索，下面举例说明配方法在解初中数学题中的简单应用，希望对相关人士有所帮助.

方程巧解，减少计算

配方法的使用对学生来说印象最深刻的就是教师在黑板上推导一元二次方程的求根公式的时候，那是学生首次接触配方法. 其实配方法不仅在公式推导的时候十分便捷，对于某些解一元二次方程的题目也有很多帮助. 只要学生能用心去体验、去感悟，就能够明白配方法的妙用.

某些特殊的一元二次方程确实利用配方法解决比较简单，如果采用平时的正常思维来解题反倒是有些困难，对学生造成困扰. 例如，下面这道题中就可以明显地看出配方法的优势：求解方程x2-2x-323=0. 这道题目非常简单，一般的学生都会想到使用求根公式来解决，只要将原题中的a，b，c代入求根公式中，逐一求解便好. 但是，这样解题的学生会发现，运算过程比较麻烦，计算量相对较大，一个不注意学生可能就会解不出或者解错这个一元二次方程. 如果换一个思路，那也许就会有不同的发现与体验. 配方法就是另一个思路，能够让学生发现解题的捷径. 将上述方程做一个简单的变动，变成x2-2x+1-1-323=0的形式，这样式子就得到了转化：x2-2x+1=324，即（x-1）2=324. 此时就能十分轻松地得到x-1=±18，即x=19或x=-17. 利用这种方法求解，明显比直接利用公式法求解的计算量小，而且计算也比较简单. 当然，教师并不能否定公式法解题，毕竟公式法是最常用的解题方式，只是对于不同类型的题目，方法的选择十分重要而已. 教师要在课堂上帮助学生分析配方法解决一元二次方程的特点以及使用范畴，学生只有明白了何时用配方法、什么条件下用配方法，才能够将配方法解题使用得淋漓尽致.

配方法是解决一元二次方程的一个巧妙方法，利用得当会给学生带来极大的便利. 所以教师在平时授课中要多多渗透这一方法的使用，让其在学生心中留下一定的地位，在用到时，能够随时想到.

因式分解，配方化简

我们都知道配方法的原型是完全平方公式，即a2+b2±2ab=（a±b）2. 而在配方的过程中也会有三种不同的表现形式：①已知一个平方项和积的二倍配另一个平方项，即由a2±2ab配上b2；②已知两个平方项配积的二倍，即由a2+b2配上2ab；③已知积的二倍配两个平方项，即由2ab配a2和b2. 这就是配方法使用的主旋律，它在因式分解中的应用极为广泛.

因式分解在初中数学中也是十分重要的，在各届中考中都会有因式分解的考题出现. 所以教师在平时授课中，对因式分解的讲授一定要细致，不可马马虎虎、敷衍了事. 教师要细心地为学生讲解各类因式分解的习题，让学生能够掌握解题要领，也要在适当的时候将配方法渗透进去，让学生接受. 例如，下面这道习题：因式分解x4-27x2+1. 这就是属于特殊的因式分解的题型，与正常的题型有很大的区别. 按照正常的解题方法，学生可能找不到分解思路，反而会越做越难. 但是明白配方法的学生就会觉得这道题其实十分简单，只需要将x2看做平时的x即可. 这样就能够将四次幂化简为二次幂，与之前所说的配方法挂上钩. 我们可以这样来解题，令y=x2，则原式就变为y2-27y+1，稍作改变就会成为y2-2y+1-27y+2y=（y-1）2-25y. 再将y=x2代入上式，可得（x2-1）2-25x2. 再利用所学的数学基础知识得到答案为（x2-1-5x）（x2-1+5x）. 其实这道因式分解的题就是属于上面所说的第二种变形方式，即由a2+b2配上2ab. 因式分解的题型很多，也会出现方式一或者方式三这两种情况. 教师要让学生多多接触题型，培养学生的随机应变能力. 这道题唯一不同的是，使用了一次换元法，令y=x2. 其实如果是学生比较熟练的话，可以不用换元，直接用x2即可.

这种因式分解其实是必须使用配方法的，只有通过配方法才能将高次幂降为低次幂，使得问题得到简化. 学生要明白配方的那三种不同的表现形式，只有灵活运用，才能够面对更多的不可预料的数学习题.

极值速求，合理分配

初中代数中经常会出现求代数式的最大值或者最小值的题型，也会遇到同样的情况. 在解题时，学生需要想尽各种办法将式子向配方法那三种不同的表现形式靠拢，达到简化式子的目的，让题目变得简单，学生做起来也会得心应手.

对于求最大值或者最小值的题型，教师可以不必做到面面俱到. 可以只讲求最大值的方法，而求最小值的方法让学生自己研究探索，培养学生的自主探究能力. 教师只要将解题技巧传授给学生，其他的就交给学生自由发挥，提升自己的解题速度. 例如，求下面代数式的最大值或者最小值：-2x2-12x+2. 首先，我们还不知道这个式子存在的是最大值还是最小值，需要在解题过程中自主去发现. 对原式变形得到-2（x2+6x-1）. 由此联想到配方法的使用，将式子变为-2（x2+6x+9-9-1），即-2（x+3）2+20，由于-2（x+3）2肯定小于或等于零，所以原式肯定小于或等于20，即式子存在最大值为20. 在这道题中，配方法最大的作用就是得到的a2或者b2是肯定大于零的，这对于存在常数的式子来说求最大值以及最小值是极为便利的，这就是配方法在求最大值和最小值中应用的最大妙处. 学生只有领悟了这一点，才能够明白配方法在求最值的题型中的使用方式，为将来的解题带来便利.

在做这样的题目时，学生要有整体思想，将眼光放在整个题目中，切不可紧紧抓住某一个未知数死死不放，那样会阻碍学生的视角，无法发现解题的方法. 配方法的应用十分重要，教师要在习题课中多多提醒学生，让学生不要将这个方法忽略，这对某些特殊题型来说是很大的助力.

代数求值，整体把握

在代数求值中配方是一种常用的技巧，也可以将配方法那三种不同的表现形式适当地引用过来，为数学解题服务. 在这种题型中，教师需要做的就是要培养学生的配方意识，见到什么样的式子会联想到配方法，让这一系列的思维变成一种条件反射，学生只要遇到类似的就能够整体把握，找到解题策略.

代数求值对于初中生来说是比较复杂的，需要学生对各方面的知识都有一个独到的了解，是综合性十分强的题目. 例如，已知a-b=3，b-c=2，求a2+b2+c2-2ab-bc-ac的值. 这道题乍一看根本就无法解决，题目中存在三个未知数，而给出的方程却只有两个，所以通过求出a，b，c的值来求出上面代数式的值这条路是走不通的. 面对这种情况，学生只能另寻他法，从大处着眼，将所给的两个方程作为一个数看作是已知条件. 而我们要做的就是将a2+b2+c2-2ab-bc-ac进行改变，直到全部能够用a-b=3和b-c=2来表示为止. 这就是对学生变换能力的考查，需要扎实的基本功. 另外由a-b=3和b-c=2，我们还可以得到a-c=5. 这个条件我们同样可以加入到变换的范畴中去. 所以，代数式只要含有a-b，b-c和a-c即可. 而这个变化的过程就需要使用到配方法，将代数式中的a2+b2+c2分别化成含有（a-b）2，（b-c）2和（a-c）2的形式，之后再将已知中的数代入其中即可得到答案. 具体求解过程，在此不再赘述，重要的是解题方法. 只要学生能够掌握解题模式，其他的都会变得十分简单.

代数求值也需要学生有一个善于发现的眼睛，能够找到已知与所求之间存在的联系，抓到共同点，才会有解题方法的迸发.

配方法在初中数学中占有非常重要的地位，同时也是代数中恒等变形的重要手段，可以用来讨论极值关系，也可以用来代数求值. 教师要将配方法的精髓全部教给学生，让学生能够利用这把利器在数学题海中自由翱翔.