随机结构

随机结构（通用10篇）

随机结构 篇1

润湿性是固体表面的重要特征之一,人工控制和制备润湿性固体表面以及自清洁表面在国防、工农业生产和日常生活中有着重要的应用前景,引起了人们的普遍关注。随着对自然界中自清洁现象和润湿性可控表面的深入研究,制备无污染、自清洁表面的梦想成为现实。Barthlott等[1]通过对近300种植物叶表面的研究,认为自清洁特征是由粗糙表面微米结构的乳突以及表面疏水的蜡状物质共同引起的。Feng L[2]通过对荷叶表面进行深入研究,发现荷叶表面富含低表面能蜡,还密布微突起,其直径约为5~9 μm,而且单个微突起表面还具有枝状纳米鞭毛结构,纳米结构平均直径为124.3 nm±3.2 nm。结果证明,低表面能蜡及微/纳双重结构使荷叶表面获得极高的接触角和较小的滚动角,具有很强的超疏水自清洁性能。

然而,荷叶表面实际上是不规则的微纳复合结构,荷叶表面阶层结构类似于Koch曲线所描述的分形结构[3]。分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。目前,国内外在表征和研究材料表面的微观结构、接触机理和表面粗糙度等方面越来越多地使用分形几何这一有力的数学工具[4]。而物体表面呈现出随机性、多尺度性和自仿射性,即具有分形的基本特征,因而使用分形几何来研究表面形貌将是合理、有效的。本研究采用分形几何构造随机表面,建立对应的接触角模型,分析随机分形结构表面的分形维数和结构参数对其表面润湿性的影响,对于丰富固液界面润湿理论和制备类似荷叶超疏水表面具有重要的意义。

1 分形维数及其计算方法

分形的重要参数有分形维数D和特征长度A,它们可以衡量表面轮廓的不规则性,理论上不随取样长度和仪器分辨率差别而产生变化,并能反映表面形貌的本质特征。分形维数D表征表面轮廓的致密程度,是定量刻画分形特征的重要参数。但由于侧重面不同,有多种定义和计算方法。常见的有相似维数、豪斯道夫维数、容量维数、计盒维数等,其中豪斯道夫维数较常用。设一个整体S划分为N个大小和形态完全相同的小图形,每个小图形的线度是原图形的r倍,则豪斯道夫维数为:

undefined

目前,表面轮廓分形维数计算的常用方法主要有尺码法、盒维数法、方差法、轮廓均方根法、功率谱法、结构函数法等。研究表明[5],结构函数法所得表面轮廓分形维数的稳定性和准确性较高。以下仅介绍结构函数计算分形维数方法。

对于分析曲线Z(x),其结构函数离散形式的表达式为[6]:

undefined

式中:Δt为采样间隔,N为总采样数,Zi为轮廓线(采样点)对其最小二乘中线的偏距,n=1,2,…。

用最小二乘法拟合所得logS(τ)-logτ直线的斜率α与分形维数D的关系为:

D=(4-α)/2 (3)

2 随机结构表面的构造

为了探究随机粗糙表面的润湿性,采用在模拟材料表面轮廓中常用的分形函数构造随机分形结构。在模拟材料表面轮廓时应用较多的是Weierstrass-Mandelbrot分形函数(简称WM分形函数),它具有连续性、处处不可微和自仿射性,是表示随机轮廓的典型函数,B.Bhushan等[7]对WM函数进行了修正,得到如下形式(简称MB函数):

undefined

式中:Z(x)表示表面轮廓,x表示轮廓的扫描坐标,D为分形维数(1

3 随机结构表面的接触角模型

分形结构是粗糙表面的一种,可以通过变换粗糙度因子r,近似用(L/l)D-2替代粗糙度因子r,则可以得到分形结构的Wenzel接触角模型[8]:

cosθf=(L/l)D-2cosθe (5)

式中:(L/l)D-2表示表面粗糙度因子,L和l分别表示分形结构表面的上限和下限的极限尺度,D是三维分形维数(2≤D<3),θe为本征接触角,θf为表观接触角。

分形结构表面的Cassie模型接触角可以写成:

cosθf=fs(1+rcosθe)-1=fsrcosθe+ fs-1

=fs(L/l)D-2cosθe-fv (6)

式中:fs和fv分别表示表面上固体和空气所占面积分数(fs+fv=1)。

4 随机结构表面的润湿性分析

对于随机分形结构表面,轮廓曲线的起伏峰值Zmax、Zmin可以看成分形结构表面的上限极限尺度L和下限极限尺度l。如图1的随机MB分形结构表面,其轮廓曲线的上极限尺度L和下极限尺度l随分形维数D的变化情况如表1所示。

参照荷叶表面选取本征接触角θe为105°,fs和fv分别取为0.2056、0.7944,对于图1和表1的随机分形结构表面,得到其Wenzel、Cassie接触角与分形维数的关系,如图2所示。

从图2可知,对于随机分形结构表面,表观接触角随着分形维数的增加而增大,这是因为分形维数越大,分形结构越致密,从而接触角越大。此外,Wenzel模型接触角在100~150°之间,即使分形维数趋于最大的3.0,表观接触角也不能达到超疏水的150°,不适合用于制备超疏水表面;而Cassie模型接触角在150~170°之间,可以获得更大的表观接触角,更适用于制备超疏水表面。

5 结论

随机分形结构表面的分形维数越大,结构越致密,接触角越大;分形结构微/纳尺度参数L、l之比越大,接触角越大;可以通过控制材料的表面结构,改善材料表面的疏水性能;Wenzel模型随机分形结构表面最大接触角都小于150°,不适合用于制备超疏水表面;Cassie模型随机分形结构表面最大接触角大于150°,更适合用于制备超疏水表面。本研究为超疏水表面的制备以及材料表面润湿性的控制提供了理论基础。

摘要：依据荷叶表面具有的不规则自相似微纳双重结构,引入分形几何学构造类似荷叶的随机分形结构,建立相应的Cassie、Wenzel模型接触角方程,分析随机分形结构的分形维数和结构参数对其润湿性的影响。结果表明:分形结构表面的分形维数越大,结构越致密,接触角越大;分形结构中微/纳尺度参数之比越大,接触角也越大。然而,随机结构即使分形维数趋于最大的3.0,Wenzel模型表观接触角也不能达到超疏水的150°,Cassie模型最大表现接触角大于150°;更适合用于制备超疏水表面。

关键词：随机结构,粗糙表面,分形维数,接触角模型,润湿性

参考文献

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[2] Feng L,Li S H,Li Y S,et al.Super hydrophobic surfaces:From natural to artificial[J].Adv Mater,2002,14(24):1857

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[5] Li Chenggui,Liu Jie,Lang Qingshan.Two methods for thecalculation of the fractal dimension of a machined surfaceprofile[J].Aviat Precis Manuf Techn,1997(4):25李成贵,刘杰,朗青山.机加工表面轮廓分形维数的两种计算方法[J].航空精密制造技术,1997(4):25

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[8] Onda T,Shibuichi S,Satoh N,et al.Super water-repellentfractal surfaces[J].Langmuir,1996,12(9):2125

随机结构 篇2

减振结构刚度特性对随机振动响应的影响

对典型的`减振结构建立等效的质量-刚度集中参数模型,推导在基础随机激励下该模型的振动响应谱解析公式,并对它们在不同刚度参数下的振动响应变化特点进行了分析.通过分析可知:在质量和阻尼一定的情况下,减振结构的刚度越小,对高频的过滤作用越明显;无论系统或减振结构刚度如何变化,其位移响应谱总均方根值主要都集中在低频段,因此对于需严格控制线位移或角位移的系统,应重点考虑低频段减振问题.

作 者：陈颖 朱长春 王雄祥 周德惠 作者单位：中国工程物理研究院结构力学研究所,四川绵阳,621900刊 名：西南交通大学学报 ISTIC EI PKU英文刊名：JOURNAL OF SOUTHWEST JIAOTONG UNIVERSITY年，卷(期)：37(z1)分类号：O321关键词：随机振动 减振 响应谱

随机结构 篇3

Reinsurance with Stochastic Interest and Stochastic Volatility

YANG Peng1, LIN Xiang2

(1.Department of Basic, Xijing College, Xi’an, Shaanxi 710123;

2. School of Mathematics, Central South University, Changsha, Hunan 410075 )

Abstract For jumpdiffusion risk model, we considered the problem of optimal investment and reinsurance. The insurance company can purchase reinsurance for claims and invest the surplus in a riskfree asset and a risky asset. We assume that the form of reinsurance is a combined proportionalexcess of loss reinsurance. We also assume that the riskfree asset has stochastic interest and the risky asset has both stochastic interest and stochastic volatility. By solving the corresponding HamiltonJacobiBellman(HJB) equation, the closedform expressions for the value function as well as the optimal investment and reinsurance policy were obtained. Especially, through an example we interpreted the results more specifically.

Key words stochastic control; HamiltonJacobiBellman(HJB) equation; Jumpdiffusion risk model; stochastic interest; Stochastic volatility

1 引 言

最近，在保险实务中应用随机控制的理论来解决最优投资和再保险问题，已经成为一个研究热点.对于扩散风险模型，Jeanblanc,Shiryaev［1］，Asmussen,Taksar［2］，Hjgaard, Taksar［3］,考虑了到破产时刻为止的期望折现红利.Browne［4］，Taksar,Markussen ［5］，Bai ,Guo［6］等研究了最小化破产概率的最优策略.对于经典的风险模型，Hipp,Plum［7］，Schimidli［8，9］研究了最小化破产概率.对于跳扩散风险过程， Yang,Zhang［10］, Lin［11］研究了最小化破产概率的最优策略.

Browne［4］首先研究了扩散风险模型的最优投资问题,发现了最大化终值财富的最优投资策略.Bai ,Guo［6］对扩散风险模型，获得了使终值财富的指数效用最大的投资和再保险策略.对跳-扩散风险模型，Irgen, Paulsen［12］，获得了使终值财富的指数效用最大的投资和再保险策略.Yang , Zhang［10］，对跳-扩散风险模型获得了使终值财富的指数效用最大的投资策略，但没有考虑再保险.

目前，有许多学者研究风险模型具有随机利率或随机方差的情形.Liu［13］研究了一个投资问题，他假设股票的价格是Heston’s模型.Li , Wu［14］研究了最优投资问题，他们考虑了随机利率、随机方差的情形，获得了最优策略以及值函数的显示表达.

对于再保险的方式，大多数文献只研究比例再保险的情形.本文考虑的为联合比例超额损失再保险；形式也就是，当保险公司的理赔比较小时采用比例再保险，当保险公司的理赔比较大采用超额损失再保险.同时，风险资产还含有泊松跳，利率和方差都是随机的.本文的目标是，寻找最优的投资和再保险策略使保险公司的期望终值财富最大.通过应用随机控制的理论，构造了财富过程满足的HJB方程.进一步，得到了最优策略以及最大化终值财富期望效用的显示解.

2 模型和HamiltonJacobiBellman 方程

2.1 模型

本文假设，交易中不考虑交易费用和税收；所有资产是无穷可分的；交易连续进行.为了数学上更为严格，假设所有的随机变量和随机过程都定义在完备的概率空间Ω,F,P，满足通常条件，也就是Ft右连续且P－完备.

考虑如下的跳扩散风险模型

dUt=αdt+βdW1t－d∑N1ti=1Si，(1)

其中 α＞0是保险公司单位时间的保费收入；{Si,i=1,2,…}是一列独立同分布的(严格)正值随机变量， Si表示第i次赔付的大小；{N1(t),t≥0}是参数为λ1＞0的泊松过程，表示到时刻t为止的总的索赔发生次数；{W1t,t≥0}是标准的布朗运动，β≥0是常数，表示扩散变差参数.此外，假设{Si,i=1,2,…}, {N1(t),t≥0}和{W1t,t≥0}之间是相互独立的.{U(t),t≥0}为保险公司在t时刻的盈余.

现在对模型(1),采取联合比例超额损失再保险，则盈余过程变为

dRt=pα－1+qxkλ1ρpDtdt

+pβdW1t－d∑N1ti=1min pT1,iSi,DT1,i， (2)

这里T1,i是N1的第i次跳. pt 是t时刻保险公司进行再保险的保留额，假设pt是非负可料的.Dt 是超额损失再保险的超出点，假设Dt是非负可料的.超额损失再保险的保费假设是：

1+qxkλ1ρpDt

=1+qxkλ1EptS－Dt+Ft－，(3)

这里 qxk是安全负载，α+=max0,α，ρpDt是时刻t发生理赔时，从超额损失再保险中获得的期望收益.对于常数p和D有

ρpDt=defEpS－D+=p∫∞D/pSxdx，(4)

这里Sx=1－FSx，第二个等式通过分部积分获得.

假设金融市场由两种资产组成：一个是无风险资产，时刻t 时价格记作B(t)；另一种是风险资产时刻t 时价格记作P(t)，B(t)假设满足下面的方程

dB(t)=rtB(t)dt， (5)

这里利率rt 是随机的，满足下面的CIR模型

drt=θ－crtdt+σ0rtdW0t， (6)

且初值r0＞0,W(0)t:t≥0 是标准布朗运动，σ0、θ、c是常数满足 2θ＞σ20,P(t)满足下面的随机微分方程

dP(t)=P(t)rt+kηtdt+σ1ηtdW(2)t+d∑N2ti=1Wi，(7)

其中W(2)t:t≥0 是标准布朗运动，假设W(0)t:t≥0、W(1)t:t≥0、W(2)t:t≥0相互独立，N2t是强度为λ2的泊松过程,ηt满足另一个CIR模型

dηt=b－aηtdt+σ1ηtdW2t . (8)

初值η0＞0,b,a,σ1 是正常数满足2b＞σ21.

设πt 是保险公司在风险资产上投资的比例，把πt,pt,Dt 作为控制变量.在任意时刻t≥0, π=πt，p=pt和D=Dt由保险公司选择.一旦策略pt,Dt,πt确定，则盈余过程变为

dXt=［Xt(rt+kπtηt)+pα－(1+qxk)λ1ρp(Dt)］dt

+σ1XtπtηtdW2t+βptdW1t+πtXtd∑N2ti=1Wi

－d∑N1ti=1min pT1,iSi,DT1,i，(9)

X0=x.

定义1 称策略 pt,Dt,πt 是可行的，如果pt,Dt,πt非负使(9) 有唯一的强解，且对于某常数K＞0满足下面的不等式

Pt+πtXt－＜K1+Xt－. (10)

2.2 HamiltonJacobiBellman (HJB) equation

假设投资者的目标是最大化时刻T时财富的期望效用.设效用函数为ux=xδ, 显然有u′＞0,u″＜0.

本文的目标是寻找最优的值函数

Vt,η,r,x=sup p,D,πEXp,D,πTδXp,D,πt=x(11)

和最优策略 p*,D*,π*使得

Vp*,D*,π*t,η,r,x=Vt,η,r,x.

这里 0＜t＜T， Xp,D,πt是在策略p,D,π下的财富过程.

从Vt,η,r,x满足的HJB着手来解决这个问题.

定理1 假设Vt,η,r,x由 (11) 定义，在0,∞上二阶连续可微.则Vt,η,r,x 满足下面的HJB方程：

supp,π{Vt+［x(r+kπη)+pα－(1+qxk)λ1ρp(D)］Vx

+12σ21x2π2η+p2β2Vxx+b－aηVη

+12σ21ηVηη+σ21xπηVxη+θ－crVr+12σ20rVrr

+λ1E［V(t,η,r,x－min {pS,D})－V(t,η,r,x)］

+λ2E［V(t,η,r,x+πxW)－V(t,η,r,x)］}=0. (12)

边界条件

VT,η,r,x=xδ, (13)

其中Vt,Vx,Vxx分别为V关于t的一阶导数，关于x的一阶导数和关于x的二阶导数.

定理的证明参考Fleming ,Soner［15］中的第四章.

定理2 设W∈C2是一个满足HJB方程(12)和边界条件(13)的单调递增、凹函数，则式(11)定义的最大期望财富Vt,η,r,x恰好等于W.若p*,D*,π*使得

supp,π{Wt+［x(r+kπ*η)+p*α－(1+qxk)λ1ρp(D*)］Wx

+12σ21x2π*2η+p*2β2Wxx+b－aηWη

+12σ21ηWηη+σ21xπηWxη+θ－crVr+12σ20rWrr

+λ1E［W(t,η,r,x－min {p*S,D*})－W(t,η,r,x)］

+λ2EWt,η,r,x+π*xW－Wt,η,r,x}=0. (14)

对于0≤x＜∞,0≤t＜T.则 (p*,D*,π*)是最优的策略，也就是

Wt,η,r,x=Vt,η,r,x

=VP*,D*,π*t,η,r,x.

3 跳扩散风险模型的最优投资和再保险

本节求解HJB方程(12)满足边界条件(13)的解.与Li ,Wu ［14］相似，设值函数满足表达式

Wt,η,r,x=ft,η,rxδ， (15)

其中，对于所有的η 和 r，fT,η,r=1.

把式(15)带入HJB方程(12) ,然后设p=mx,D=nx，有

supm,n,π{ft+［r+kπη+mα－1+qxkλ1ρpn］δf

+12σ21π2η+m2β2δδ－1f+b－aηfη

+12σ21ηfηη+σ21πηδfη+θ－crfr+12σ20rfrr

+λ1fE1－min {mS,n}δ－1

+λ2fE1+πWδ－1}=0. (16)

现在设f(t,η,r)=φ(t)exp {φ(t)η+h(t)r}，边界条件φ(T)=1和 φ(T)=h(T)=0,则 (16)变为

supm,n,π{φ′+［φ′η+h′r］φ+［r+kπη+mα

－1+qxkλ1ρpn］δφ+θ－crφh

+12σ21π2η+m2β2δδ－1φ

+b－aηφφ+12σ21ηφφ2+σ21πηδφφ

+12σ20rφh2+φλ1E1－min {mS,n}δ－1

+φλ2E1+πWδ－1}=0. (17)

下面寻找最优策略m*,n*,π*使(17) 最大.

引理 1 设

f1m,n=12m2β2δ(δ－1)+mαδ

－δ1+qxkλ1ρpn

+λ1E1－min {mS,n}δ－1, (18)

f2π=kπηδ+12σ21π2ηδ(δ－1)

+σ21πηδφ +λ2E1+πWδ－1,(19)

则有下面的结论

1)存在m*和n*(可能取无穷) 使得fm,n在m*,n*处获得最大值.

2)存在一个有限的π*使gπ在π*处获得最大值.

证明 参考Irgens,Paulsen［12］定理3.1证明的方法，在这里不再证明.

把m*,n*,π*带入式(17) 获得

φ′+(φ′η+h′r)+φ［r+kπ*η+m*α

-(1+qxk)λ1ρp(n*)］δφ

+12(σ21π*2η+m*3β2)δ(δ-1)φ

+(b-aη)φ+12σ21ηφ2+σ21π*ηδφ

+(θ-cr)φh+12σ20rφh2

+φλ1E［(1-min{m*S,n*})δ-1］

+φλ2E1+π*Wδ－1=0. (20)

也就是

［φ′+σ21π*δ－aφ+12σ21φ2+12σ21π*δδ－1

+δkπ*］φη+h′－ch+12σ20h2+δφr+φ′

+{b+θh-12m*3β2δ(1-δ)+m*αδ

-(1+qsk)λ1ρp(n*)δ+λ1E［(1+q*S)δ-1］

+λ2E1+π*Wδ－1}φ=0.(21)

然后，只需要解下面三个常微分方程即可：

φ′+σ21π*δ－aφ+12σ21φ2

+12σ21π*δδ－1 +δkπ*=0,

φT=0, (22)

h′－ch+12σ20h2+δ=0,hT=0, (23)

φ′+{b+θh-12m*2β2δ(1-δ)+m*αδ

-(1+qxk)λ1ρp(n*)δ+λ1E［(1+q*S)δ-1］

+λ2E1+π*Wδ－1}φ=0. (24)

解得式(22),式(23),式(24) 如下

φt=ξ1ξ2exp σ212ξ1－ξ2T－t－1ξ2exp σ212ξ1－ξ2T－t－ξ1. (25)

满足条件

2σ21δkπ*＜1σ41σ21π*δ－a+π*δ1－δ

ξ1=－1σ21σ21π*δ－a

－1σ41σ21π*δ－a2－π*δδ－1+2σ21δkπ*,

ξ2=－1σ21σ21π*δ－a

+1σ41σ21π*δ－a2－π*δδ－1+2σ21δkπ*,

ht=ζ1ζ2exp σ202ζ1－ζ2T－t－1ζ2exp σ202ζ1－ζ2Y－t－ζ1.(26)

这里

ζ1=cσ20－cσ202－2δσ20,

ζ2=cσ20+cσ202－2δσ20,

δ＜c22,

φt=exp {bΦT－Φt

+θHT－Ht +gm*,n*,π*T－t} ,(27)

其中Φt=∫t0φsds,Ηt=∫t0hsds,

gm*,n*,π*=-12m*2β2δ(1-δ)+m*αδ

-(1+qxk)λ1ρp(n*)δ+λ1E［(1+q*S)δ-1］

+λ2E［(1+π*W)δ-1］.

所以，有

Wt,η,r,x=exp {b［Φ(T)－Φ(t)］

+θ［H(T)－H(t)］+g(m*,n*,π*)(T－t)

+φ(t)η+h(t)r}xδ. (28)

知道Wt,η,r,x是HJB方程(12)满足边界条件(13)的解.所以，有下面的定理

定理3 对财富过程 (9)，最优的比例再保险策略为p*=xm*∧1, 最优的超额损失再保险策略为D=n*x, m*,n*由式(18)获得.最优的投资策略 π*由式(19)获得.

最优的值函数为

Vt,η,r,x=exp {bΦT－Φt

+θHT－Ht+φ(t)η+h(t)r

+gm*,n*,π*T－t}xδ.(29)

4 例 子

这一节，通过一个例子来说明上一节得到的结论.假设保险公司的盈余满足下面的扩散风险模型：

dUt=αdt+βdW1t, (30)

对式(30) 进行比例再保险(不考虑超额损失再保险).设0≤1－p≤1 是比例再保险的利率,则式(30)变为

dRt=pαdt+pβdW1t. (31)

把式(31)在金融市场上投资，投资方式和第二节介绍的一样，这由定理3可得到下面的结论

定理 4 当保险公司的盈余满足扩散风险模型时，最优的再保险策略为

p*=q*x∧1=αβ2δ1－δx∧1. (32)

最优的投资策略为

π*=k1－δσ21+φt1－δ, (33)

最优的值函数为

Vt,η,r,x=exp {bΦT－Φt

+θHT－Ht+δ1－δT－t

+φtη+htr}xδ. (34) 

5 总 结

本文研究了跳-扩散风险模型的最优投资和再保险问题.在考虑再保险时，假设再保险的形式为联合比例-超额损失再保险；在考虑投资时，假设无风险资产和风险资产的利率是随机的，同时风险资产的方差也是随机的.这给问题的解决带来了很大的困难.本文采用了一些技巧，应用HJB方程理论，获得了最优策略、最大化终值财富期望效用的解，得到了比较完美的结果.最后，并通过一个例子解释了得到的结论.

但是本文也存在一些不足，比如：文章给出的结果，没有给出在经济上的解释；在考虑投资时没有考虑交易费用.这些问题将是，以后研究的方向.参考文献

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随机结构 篇4

目前大跨结构的抗震分析方法一般有反应谱法、随机振动法和时间历程法。常规的反应谱法不能考虑行波效应等复杂的因素。文献[1]介绍了一种由Berrech和Kausel提出的非一致激励反应谱法,文献[2,3,4]对该方法进行了改进。本文在文献[2,3,4]等的基础上进一步将虚拟激励法推广应用于大跨空间网格结构在行波平稳和非平稳地震作用下的随机响应分析,对浦东国际机场候机楼空间结构进行了随机地震响应分析,对比了各种情况下的响应性能,给出了相应结论。

1 结构平稳随机地震响应

对于空间结构体系,假定质量集中在各节点上,且只考虑三维平动地震分量的作用,忽略地震动转动分量的影响,选择相对于地心静止的绝对坐标系,并假定阻尼力与相对速度成正比[5,6],则空间结构体系在多点地震激励下的运动方程可写为[7]:

$\begin{array}{l}\left[\begin{array}{cc}{\rm M}{}_{ss}& 0\\ 0& {\rm M}{}_{mm}\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}\ddot{u}{}_s+\ddot{u}{}_r\\ \ddot{u}{}_m\end{array}\right\}+\left[\begin{array}{cc}C{}_{ss}& C{}_{sm}\\ C{}_{ms}& C{}_{mm}\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}\ddot{u}{}_r\\ 0\end{array}\right\}+\\ \left[\begin{array}{cc}{\rm K}{}_{ss}& {\rm K}{}_{sm}\\ {\rm K}{}_{ms}& {\rm K}{}_{mm}\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}u{}_s+u{}_r\\ u{}_m\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{c}0\\ {\rm P}{}_m\end{array}\right\}(1)\end{array}$

其中,[Mss],[Css],[Kss]分别为结构内部非约束节点(简称自由节点)的质量、阻尼、刚度矩阵;[Mmm],[Cmm],[Kmm]分别为对应于支座约束节点的质量、阻尼、刚度矩阵;[Csm],[Cms]分别为结构内部自由节点和支座节点的耦合阻尼矩阵;[Ksm],[Kms]分别为自由节点和支座节点的耦合刚度矩阵;{us},{ur}分别为自由节点的拟静力位移和相对于支座节点的动力位移;{um}为支座节点的位移向量,即为地面节点强迫位移向量;{Pm}为作用于支座节点上的约束力向量。

其中,{us}=-[Kss]-1[Ksm]{um}=[ψ]{um} (2)

将式(2)代入式(1)进一步化简得:

$\begin{array}{l}[{\rm M}{}_{ss}]\{\ddot{u}{}_r\}+[C{}_{ss}]\{\ddot{u}{}_r\}+[{\rm K}{}_{ss}]\{u{}_r\}=\\ [{\rm M}{}_{ss}][{\rm K}{}_{ss}]{}^{-1}[{\rm K}{}_{sm}]\{\ddot{u}{}_m\}=-[{\rm M}{}_{ss}][\psi ]\{\ddot{u}{}_m\}(3)\end{array}$

当t=0时,地震输入为一致输入。假设当t=Tj时地震波到达空间结构第j个支座节点(xj,yj),则:

Tj=(xjcosθ+yjsinθ)/v (4)

其中,v为地震波等效视波速;θ为地震波传播方向与结构x轴方向之间的夹角。

当考虑地震为平稳随机过程时,根据虚拟激励法原理,可得结构在第j个激励作用下结构的稳态响应为:

$\begin{array}{l}X{}_{sj}(t)=([\text{ϕ}]{}_{diag}[{\rm H}{}_n(\omega )][\text{ϕ}]{}^{{\rm T}}[A]\sqrt{a{}_{j}S(\omega )}[\text{e}{}^{-i\omega {\rm T}}]\{\phi {}_j\}-\\ [{\rm K}{}_{ss}]{}^{-1}[{\rm K}{}_{sm}]\frac{1}{\omega {}^2}\sqrt{a{}_{j}S(\omega )}[\text{e}{}^{-i\omega {\rm T}}]\{\phi {}_j\})\text{e}{}^{-i\omega t}\end{array}(5)$

其中,[ϕ]为结构振型矩阵;{φj}为第j阶振型;Hn(ω)为频响函数,${\rm H}{}_n(\omega )=\frac{1}{-\omega {}^2+i{}^2\zeta {}_n\omega {}_n\omega +\omega {}_n^2}$;A=[Mss][Kss]-1[Ksm];S(ω)为输入的功率谱矩阵;aj为S(ω)的矩阵特征值;T为相对于原点的运动时间差。式(5)等号右边前半部分为结构的动力响应,后半部分为结构的拟静力位移响应。

当考虑行波输入后,沿地震波传播方向的一条直线上j,k两点的互功率谱Sjk(iω)可用下式计算[8]:

$S{}_{jk}(i\omega )=\sqrt{S{}_j(\omega )S{}_k(\omega )}\rho {}_{jk}(\omega ,d{}_{jk})\exp [-i\omega d{}_{jk}/v{}_a]$ (6)

其中,va为视波速;ρjk(ω,djk)为描述两点地震动的相关程度量,它考虑了结构不同激励点间的部分相干效应。国内学者借鉴我国抗震规范确定设计反应谱曲方法、取各模型在各次地震中确定的相干值的平均值,然后根据平均值给出一个模型。该模型适用于21π rad/s以下的频率成分,对于频率比较低的大跨空间结构,具有普遍的代表性,其表达式如下:

ρ(ω,d)=exp[-(a1ω2+a2)d${}_{jk}^{(b{}_1\omega {}^2+b{}_2)}$] (7)

其中,a1=1.678×10-5;a2=1.219×10-3;b1=-5.5×10-3;b2=7.674×10-1。

2 工程算例

2.1 工程概况

浦东国际机场二期航站楼由航站主楼、候机长廊、二者间的连接部分以及与三者均相邻的捷运车站组成,文献[9]给出了该工程相关构件的截面、材料及特征杆件节点和振动特性等。

2.2 地震波、工况和计算结果

地震波选用El-Centro波,为了更好地显示地震平稳随机激励下视波速对结构响应的影响,本文选取了典型节点、柱和梁,分别考虑了一致输入,1 000 m/s,500 m/s,200 m/s和100 m/s五种工况下节点、柱和梁的位移、轴力及弯矩的方差,并绘成图1～图5。

从图1～图5可知,大跨度空间结构地震动的行波效应有显著的影响,行波效应的影响与地震波的传播速度有很大的关系。一般来说,当地震波传播速度很大时,各点的输入相对一致,结构反应趋于甚至低于一致地面运动作用下的反应;随视波速的减小,结构地震反应随之增大,呈近似线性关系;而当视波速较低时,各点的输入大不一致,行波效应会产生很大的影响,且当视波速非常小时,出现地震激励在结构首尾支座之间作用的时间差太大,适用波动理论,而仍用动力学方法分析的结果存在着误差;算例中位移的影响也有变小的情况,但其影响往往比较大,当视波速很小时,可以增大到1.8倍左右。柱脚的弯矩和与柱连接处杆件的轴力明显增大,可以增大到2倍左右。地震观测证实,一般情况下地震动水平视波速大于1 000 m/s[10],所以根据场地情况选取最小视波速进行大跨度空间结构地震动的行波效应分析是比较合理和可靠的。

3 结语

1)大跨度空间结构地震动的行波效应对与行波方向一致的结构响应有显著的影响,对其他方向的影响比较小。算例中位移的地震响应最大位置发生在结构的角点和边线上。

2)行波效应的影响与地震波的传播速度有很大的关系。在某一范围内的地震波传播速度会产生最大的结构反应。

3)地震观测证实,一般情况下地震动水平视波速大于1 000 m/s,因此,在考虑大跨度空间结构地震行波效应时,至少应根据场地情况选取最小视波速进行地震动的行波效应分析。

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[9]楼梦麟,黄明开.上海浦东机场(二期)候机楼水平地震行波效应时程分析[J].建筑结构,2009,39(2):8-11.

随机结构 篇5

针对飞行器薄壁结构声疲劳问题,研究了具有多模态的薄壁板结构在声载荷作用下振动响应谱的估算方法.选取具有固支边界的金属薄壁板单元作为研究对象,引入结合受纳函数描述结构和噪声的耦合作用,建立了基于正交模态法的.动态响应计算模型.以有限带宽随机噪声载荷作输入,按多模态方法计算了该结构的振动响应谱,估算了均方位移和均方应力,并对计算结果进行了讨论.

作 者：沙云东 闻邦椿 屈伸 苏志敏 作者单位：沙云东(东北大学,机械与自动化学院,沈阳,110006;沈阳航空工业学院,飞行器动力与能源工程学院,沈阳,110034)

闻邦椿(东北大学,机械与自动化学院,沈阳,110006)

屈伸,苏志敏(沈阳航空工业学院,飞行器动力与能源工程学院,沈阳,110034)

随机结构 篇6

伪随机序列在数字通信、密码系统、计算机仿真等领域有着广泛的应用。一个伪随机序列发生器包括随机信号源(种)和一系列的离散、量化及其实现技术,其中良好的随机信号源是伪随机序列设计的关键问题。混沌与传统密码学之间存在着一种自然的联系,混沌动力学特性基本对应着高强度密码系统的某些安全特征,而具有良好混合特性的传统密码又蕴涵着混沌现象。以混沌作为信号源为伪随机序列发生器的设计提供了一种新的途径。

利用连续和离散混沌系统进行伪随机序列发生器的设计已有研究[1,2,3]。离散混沌由于算法简单致使其运算速率快,序列码率较高,但缺点是系统参数和初值条件在一般情况下较少,密钥空间小,序列的安全性较低。连续混沌一般情况下是几个非线性微分方程的耦合,其系统参数和初始条件较多,产生伪随机序列的密钥空间较大,缺点是运算复杂,在数字系统实现时运算速率相对较慢。但如果采取合理的量化方法,会较好地弥补这种慢的运算速率。如在抽位量化方法中[4,5],如果一次抽取混沌数字迭代值的多位作为0,1序列,可大大提高其码率。因此采用复杂的连续混沌系统作为伪随机序列的源将是混沌序列应用的一个方向。

另一方面,数字系统的编码理论表明,在数字系统中处理非周期的混沌时,由于系统本身的有限位数致使混沌出现周期现象,即短周期或动力学退化问题[1]。为改善这种短周期问题,可通过对混沌系统的变量或参数进行扰动以提高其数字PN序列的统计性能,增大序列的周期[1,2]。为了提高混沌伪随机序列的复杂性和改善其动力性退化问题,本文设计了一个变结构混沌系统,以期获得性能更好的伪随机序列。所谓变结构混沌系统,是指该系统的代数结构不断地自动变化,而实现这种变化的控制函数是一个开关函数,该函数在自身变量控制下自动地在0,1之间转换。在提出变结构混沌系统之后,对基于该混沌系统的伪随机序列发生器进行了设计,对产生的伪随机序列进行了NIST(National Institute of Standards and Technology)测试。测试结果验证了该数字序列具有良好的随机性能。

1 变结构混沌系统构造

首先构造了一个三维连续混沌系统:

$\{\begin{array}{l}\frac{\text{d}x}{\text{d}t}=ayz\\ \frac{\text{d}y}{\text{d}t}=bx-y\\ \frac{\text{d}z}{\text{d}t}=1-cx{}^2\end{array}(1)$

式中:a,b,c为可变的系统参数。在Matlab软件平台上计算表明,在较大的a,b,c参数范围内系统(1)都是混沌的,取a=0.8,b=1.5和c=1.5时系统(1)的时域波形和y-z平面上的轨迹(相图)如图1所示。

又构造了另一个三维连续混沌系统:

$\{\begin{array}{l}\frac{\text{d}x}{\text{d}t}=ayz+kx\\ \frac{\text{d}y}{\text{d}t}=bx-y\\ \frac{\text{d}z}{\text{d}t}=1-cx{}^2\end{array}(2)$

式中:a,b,c和k为可变的系统参数。在Matlab软件平台上计算表明,在较大的a,b,c和k参数范围内系统(2)都是混沌的,取a=0.8,b=1.5,c=1.5和k=0.32时系统(2)的时域波形和y-z平面上的轨迹(相图)如图2所示。比较图1和图2发现,两者的时域波形和对应的平面轨迹不同。

混沌系统(1)、(2)除第一个方程不同外,其余两个方程完全相同。虽然它们有相似的结构,但其代数结构不同,平衡点也不同(见下一节),因而它们是非拓扑等价的,即它们在理论上是不同的两个系统。根据两个系统有相似结构但本质不同的特点,采用一个开关控制函数u构造了一个变结构混沌系统:

$\{\begin{array}{l}\frac{\text{d}x}{\text{d}t}=ayz+u(x-m)kx\\ \frac{\text{d}y}{\text{d}t}=bx-y\\ \frac{\text{d}z}{\text{d}t}=1-cx{}^2\end{array}(3)$

式中:a,b,c和k仍为可变的系统参数;u(x-m)为一个开关控制函数,其定义为:

$u(x-m)=\{\begin{array}{l}1,x\ge m\\ 0,x<m\end{array}(4)$

式中:m为开关控制函数的门限,m∈x。取m=0.2,其他参数同前。对变结构混沌系统(3)进行仿真计算,所获得的时域波形x-t和y-z平面上的轨迹如图3所示。

图3中,实线和虚线分别为为系统(1)和(2)的波形或轨迹。

从图3看出,该系统的信号波形或解的轨迹由两个不同的部分构成。当系统的解x≥m=0.2时,u(x-m)=1,混沌系统(3)为混沌系统(2)的结构;当系统的解x<m=0.2时,u(x-m)=0,式(3)变为混沌系统(1)的结构,如此往复变化。虽然在这种结构变化中的门限为一确定值,但由于混沌的不可预测性导致何时达到这一门限是无法预知的,即这种结构随时间而变化的规律是无法预知的,也是随机的。

这种由两个不同的混沌信号按时间随机地混杂在一起而形成的一个完整的混沌信号,比之由单一混沌系统产生的信号要复杂得多,且门限参数本身又是一种密钥参数,它扩展了混沌伪随机序列的密钥空间,使其提高了安全性。

2 伪随机序列发生器设计及性能分析

基于上述的变结构混沌系统可设计一种新的伪随机序列发生器。主要思路是以变结构混沌系统作为随机信号源,采用一定的方法对其离散、量化,获得一系列的伪随机序列。

这里研究的变结构混沌系统是一个非线性常微分方程组,在数字系统中对其进行数值解就是一种离散的方法。常微分方程近似求解的数值方法有欧拉算法、改进型的欧拉算法和龙格库塔法等,这都是将连续系统进行近似离散化的方法。其中,欧拉算法速率最快,本文采用欧拉算法将连续混沌离散化。对于一个连续的混沌系统,有:

$\frac{\text{d}x{}_i}{\text{d}t}=f(x{}_1,x{}_2,\cdots ,x{}_{{\rm N}})‚i=1,2,\cdots ,{\rm N}(5)$

根据导数的定义可表示为:

$\begin{array}{l}\frac{\text{d}x{}_i}{\text{d}t}=f(x{}_1,x{}_2,\cdots ,x{}_{{\rm N}})=\underset{\tau \to 0}{{\displaystyle \lim }}\frac{x{}_{i(n+1)}-x{}_{in}}{\tau }‚\\ i=1,2,\cdots ,{\rm N}(6)\end{array}$

当时间间隔τ足够小时上式可近似地表示为:

$x{}_{i(n+1)}=x{}_{in}+\tau f(x{}_{1n},x{}_{2n},\cdots ,x{}_{{\rm N}n})(7)$

当i=1,2,3时,令xn=x1n,yn=x2n,zn=x3n,变结构混沌系统(3)可离散为:

$\{\begin{array}{l}x{}_{n+1}=x{}_n+\tau [ay{}_{n}z{}_n+u(x{}_n-m)kx{}_n\\ y{}_{n+1}=\tau (bx{}_n-y{}_n)\\ z{}_{n+1}=\tau (1-cx{}_n^2)\end{array}(8)$

当τ足够小时,经过欧拉算法离散化后的系统具有与式(3)所示的连续混沌系统相同的动力学特性,此处选择τ=0.004。

在数字系统中迭代求解式(8)所示的离散化系统,迭代过程中的每一个解变量xn,yn和zn都可以通过二进制数据的方式来表示。以xn为例:

$\begin{array}{l}x{}_n=b{}_{1n}\times 2{}^k+b{}_{2n}\times 2{}^{k-1}+\cdots +b{}_{(k+1)n}\times 2{}^0+\\ b{}_{(k+2)n}\times 2{}^{-1}+\cdots +b{}_{(k+1+l)n}\times 2{}^{-l}(9)\end{array}$

式中:b1n,b2n,…,b(k+1+l)n分别为二进制数的所有位(0或1),混沌系统的解xn随时间不断变化,其二进制表达式中的每一位bjn(“0”或“1”)也随时间不断变化。如果抽取随时间变化的一位或多位,可构成一个由“0”或“1”组成的伪随机序列。为了保证提取的序列具有较好的随机性,可以严格地从小数部分中提取其中一位作为随机序列,也可以从{b1n,b2n,…,b(k+1+l)n}中选取随机性能较好的多位作为随机序列,从而增加随机序列的提取速度。这种量化方法可用图4表示。

式(5)～式(9)描述了混沌伪随机序列发生器设计的核心算法。实现一个混沌伪随机序列发生器可借助于软件和硬件平台。如果为计算机或其他软件提供伪随机序列,可借助数字计算机这个性能完善的平台实现式(5)～式(9)的运算,如可用Matlab,C语言等软件实现一个混沌伪随机序列发生器。也可结合实际应用在相关信号处理软硬件平台上实现混沌伪随机序列发生器,如利用DSP芯片对语音或视频信号进行混沌加密,可在DSP内进行上述运算而实现混沌伪随机序列发生器,也可利用FPGA硬件平台实现这种伪随机序列发生器[4]。本文不侧重利用何种平台,如何实现混沌伪随机序列发生器,而是着重基于上述变结构混沌系统的伪随机序列发生器性能的测试。为此,选择Matlab求解变结构混沌系统,通过实现式(5)～式(9)的运算产生一系列伪随机序列,提取序列并进行序列的随机性统计测试。

描述一个序列随机性统计性能的指标有多种,但目前应用最广的是NIST(National Institute of Standards and Technology,美国国家技术与标准局)标准[6]。NIST推出2.0版本的测试软件包STS是当前最具权威的一种随机性检测工具,它为研究人员提供了一种量化的报告,显式地说明一个伪随机序列性能的好坏。STS-2.0b是当前最新的软件包版本,由十五项核心测试指标组成。

该测试包评价序列性能好坏有两项指标:其一是通过率,另一项是P-value分布的均匀性。测试独立生成的m组随机序列,依据各组每次测试的P-value值是否大于测试水平α=0.01来计算通过率。若各次测试的通过率在可信性区间$\widehat{p}\pm 3$$\sqrt{\begin{array}{l}\\ \widehat{p}(1-\widehat{p})/m\end{array}}$内,其中$\widehat{p}=1-\alpha$,则可说明此次测试算法的信任度高。对于P-value分布均匀性,若P-valueT>0.000 1[5],则说明P-value值是均匀分布的。

在Linux操作系统环境下进行测试。通过编程将变结构混沌系统进行离散迭代运算来产生数字混沌序列,然后将产生的二进制数字序列保存为txt文档,并通过测试指令调用软件包对txt文档中的序列进行测试,测试由STS软件包自动完成,并生成测试报告。基于变结构混沌系统产生的伪随机序列的测试结果如表1所示,序列共有100 000 000 b,以每组100 000 b分为1 000组。

从表1中P-value这一列看出,序列仅在FFT这一项中的P-value值测试不满足P-valueT>0.000 1的条件,这说明序列在该项测试中的P-value值分布不均匀,在其余14项测试中表现为分布均匀。若从通过率来分析,取显著水平α=0.01,那么根据通过率可信区间的计算公式$1-\alpha \pm 3\sqrt{\alpha (1-\alpha )/m}(m=1000)$可得,当PROPORTION的值落在(0.980 560 8,0.999 439 2)区间内时,表明序列通过该测试项,反之则为不通过。表1测试结果显示序列在所有测试中其结果均落在可信区间之内,所有指标均通过该项测试。

3 结 论

为产生性能良好的伪随机序列,本文构造了一个新的变结构混沌系统。该系统在一个开关函数控制下自动地在两个混沌子系统之间随时间随机地转换,所产生的混沌信号是两个不同的混沌信号的混合,因而具有较好的复杂性。利用该变结构混沌系统设计了一种伪随机序列发生器,基于NIST标准和STS-2.0b测试套件对其产生的伪随机序列进行了测试,序列通过率全部通过了测试,序列的均匀性只有一项未通过测试。测试结果表明,该伪随机序列发生器具有良好的随机性能,可应用于计算机、通信、信息加密等领域之中。

摘要：为产生随机性能良好的伪随机序列,提出了一个新的变结构混沌系统。该混沌系统在一个开关函数控制下其系统结构随时间随机地转换,所产生的混沌信号是两个不同的混沌信号的混合,具有良好的复杂性。基于该变结构混沌系统设计了一种伪随机序列发生器,采用NIST标准和STS-2.0b测试套件对其产生的伪随机序列进行了统计性能测试,测试结果表明该伪随机序列发生器具有良好的随机性,可应用于计算机、通信、信息加密等领域中。

关键词：混沌,变结构混沌,伪随机序列,随机性

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随机结构 篇7

随机振动是一门用概率与统计方法研究受随机载荷的机械与机构系统的稳定性、响应、识别及可靠性的技术学科。现已在结构工程、地震工程、海洋工程、车辆工程、包装工程、机械工程、航天工程、核反应堆工程等诸多领域得到了广泛应用。随机振动方法由于较充分地考虑了地震发生的统计概率特性, 被日益广泛地接受为一种较为先进合理的分析工具。并已经被国外一些抗震规范采用了, 例如1995年颁布的欧洲桥梁规范。由于它在实际应用中以频域分析法为主, 即以功率谱密度作为分析的核心, 所以又常被称为功率谱法。

1结构分析

1.1 SAP软件模拟的理论模型

地震动具有很强的随机性, 地震动随机模型是应用随机振动理论研究结构随机地震反应的基础。地震是地壳复杂运动所产生的现象。从结构安全性角度来说, 最重要的是地表加速度波, 它受场地地基条件, 地震震动强度、震中距、震源深度等的影响, 使其振幅、持续时间、频率成分不同。目前对于地震动随机模型的研究已取得不少进展, 建立了一些能够较好反映地震动频谱特征的随机过程模型。本文选用Clough和Penzien建议修正过滤白噪声模型, 给出的地面加速度功率谱密度函数为:

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1.2 结构理论计算

对于框架剪力墙结构的铰接体系, 剪力墙之间以及剪力墙和框架之间均为无连梁联系, 仅通过楼板将各榀剪力墙和框架连成整体, 共同抗御水平荷载。此时结构有如下特点:

(1) 同一楼面处, 各片剪力墙及框架的水平位移相同;

(2) 楼面外刚度为0, 对各平面结构不产生约束弯矩, 可简化为链杆。

剪力墙刚度:

EIw=∑EIeq (2)

式中, EIeq为每片墙的等效刚度。

框架的抗剪刚度:

CF=h∑Di (3)

式中, ∑Di为同层中所有柱D值之和。

undefined (4)

a为柱侧移刚度修正系数;ic为柱的线刚度;hi为层高侧移y (x) 的基本方程为:

undefined (5)

式中, undefined;undefined;P (x) 为分布荷载。

通解为y=C1+C2ξ+Ashλξ+Bchλξ+y1 (ξ) (6)

C1、C2、A、B为任意常数, 可通过边界条件确定, λ1 (ξ) 为为任意特解, 视荷载而定。

2算例分析

计算一框剪结构其平面图如1, 一共十层, 层高均3 m, 各参数如表1。

3结语

由上述计算方法可知, 针对节点数多, 频率密集的空间结构采用随机振动法对其在地震作用下的随机反应进行分析是合适的, 利用功率谱模拟计算结构更方便快捷得到结构的变形趋势。 [ID:7108]

参考文献

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[7]Nigam N C Introduction to random vibrations[M].Cambridge:TheMIT Press, 1983.

随机结构 篇8

国际上目前对公路钢桥疲劳验算所用的荷载一般有3种形式:车辆荷载频值谱,即通过对公路桥梁的交通调查,得出日常各种典型车辆的荷重和出现的相对频率;一辆标准疲劳车(由第1种形式简化而来);采用静力强度设计标准活载中的一辆重车。其中,以第1种荷载形式更加精确实际。

1 相近公路交通量调查

1.1 蕴藻浜大桥周边环境

蕴藻浜是上海北部一条重要骨干河道,亦为上海地区市级干线航道之一。蕴藻浜在本工程范围附近的现状河宽65 m,为内河V级航道。蕴藻浜以西桃浦路南侧为正在建设中的轨道交通11号线同济大学站,与桃浦路相交处为11号线地面区间段,走向与蕴藻浜大致平行;轨道距离蕴藻浜现状岸线的净距约25 m。

桃浦公路以及蕴藻浜大桥都处于在建阶段,其实际交通量无法取得,只能通过当前已有资料进行预测。蕴藻浜大桥附近有主要干道3条:曹安公路、嘉松北路以及宝安公路。本项目的方案是实测曹安公路、嘉松北路路口,将曹安公路的交通量作为蕴藻浜大桥的交通量。蕴藻浜大桥位置以及周边主要干道如图1所示。

1.2 交通量调查方法

汽车对桥梁的荷载效应主要体现在其轴数、轴重和轴距等荷载参数。调查内容与一般交通部门有所不同,须在一定时间段内记录各类车辆的交通量。本文的交通量调查还涉及车辆的荷载参数。限于目前的客观条件,本文采用现场人工观测加查阅车辆技术手册的简便方法,步骤如下。

1)正式调查前,在现场作初步观察,了解即将出现的车辆类型。根据现场观察的结果和参考一些车辆技术手册中的图片及数据,了解清楚车辆载重情况并对车辆进行分类。

2)正式调查时,在21 d的时间内,对桃浦路的车辆进行分类统计,用时60 h,共统计车辆76 000余辆,其中用于分析模型的货车统计数量达2 280辆、客车统计数量达73 720辆。

3)调查完成后,依据有关车辆技术手册以及相关规范,确定各种车辆的载重。

另外,为了达到简化模型的目的,本文采用车重代替轴重等荷载参数的方法,建立荷载模型。

根据调查分析的实际车辆状况数据,可以得到车辆重量及交通量的一些统计参数值,进而得到分析疲劳的随机疲劳荷载谱,主要包括随机车重p和随机车辆间距x2个部分(见图2)。

2 随机车重p样本的模拟

2.1 随机车重p样本的模拟方法

假设每个随机车重是独立同分布的随机变量p和p的概率密度函数f(p),则累积概率分布函数F(p)见式(1)。

求其反函数就可以将随机车重表示为

根据前面的车重调查,可以得到不同车重出现的频率。当调查的车辆数足够多时,可以用车重出现的频率分布近似作为车重p的概率密度函数f(p),由式(1)求得车重累积概率分布函数F(p)。

根据蒙特卡罗理论,认为F(p)在[0~1]区间上服从均匀分布的随机变量,用ξ表示。对应于ξ的随机车重p可以用F(p)的反函数F-1(p)由式(2)求得。根据该方法,反复产生[0~1]区间上服从均匀分布的随机变量ξi,由式(2)可以求得服从概率密度函数为f(p)的随机车重样本pi。

2.2 货车随机车重的模拟

将所有货车车重资料汇总,根据实测的货车车重,作出货车车重概率密度分布图,如图3所示。

鉴于较难准确地找到符合的分布类型,为了很好地模拟随机车重的概率分布,并且考虑到其多峰分布的特点,采用分段多项式拟合货车车重累积分布函数的反函数,可以求得的货车车重累积概率分布与实际统计值比较两者偏差很小。

2.3 客车随机车重的模拟

将所有客车车重资料汇总,根据实测的客车车重,作出客车车重概率密度分布图,如图4所示。

由于较难找到简单的理论概率分布函数,采用与模拟货车车重同样的数值方法来拟合得到客车车重,求得的客车车重累积概率分布与实际统计值比较如图5所示,两者偏差极小,几乎为零。由此可以很好地模拟客车车重的随机样本。

3 随机车辆间距的模拟

3.1 计算方法

假设车辆荷载随机过程可以用Poisson过程来描述,当车辆荷载随机过程为滤过复合Poisson过程时,车辆出现的时间间隔t服从指数分布,则其概率密度分布函数为

式中:λ=1/μt,μt为车辆平均时间间隔。

由式(3)的反函数求出时间间隔t的概率表达式为

假设ξ为F(t)[0~1]区间上服从均匀分布的随机变量,根据蒙特卡罗理论,服从指数分布的时间间隔的随机样本可以由式(5)求得。

假设车辆速度为v,由式(5)可以得到车辆间距x表达式见式(6)。

3.2 车流量、车辆平均时间间隔与平均车辆速度

根据当前交通量调查资料、《曹安公路拓宽改建工程可行性研究报告》、《桃浦路道路规划及交通量预测工可》认为,当前平均车流量30 400 pcu/d,远期预计车流量将提高30%,即远期预计平均车流量39 520 pcu/d。

上述的流量数据为蕴藻浜大桥4车道的总预计流量,假设每个车道的车流量服从均匀分布,则单车道的平均日流量q的表达式见式(7)。

式中:Q为通过桥梁的平均日总流量。

根据平均日流量q可以由式(8)求得车辆平均时间间隔:

蕴藻浜大桥设计车速80 km/h,但随着交通量的增加或周边交通组织的变化,行车速度会随之降低。

3.3 车辆间距分布

当车辆平均时间间隔和车速已知时,根据蒙特卡罗理论由式(6)可以求得相应的车辆间距样本。根据实际调查平均日交通量和设计车速计算得到的车辆间距概率密度分布见图6。

根据以上分析,可以得到随机车重p和随机车辆间距x,也即可以得到随机疲劳荷载谱。

4 结语

通过对蕴藻浜大桥周边地区交通量及汽车载重资料的统计分析,表明利用蒙特卡罗方法模拟概率分布产生随机车辆荷载模型可以得到比较完整的荷载频谱,进而可用于该桥的疲劳分析。

摘要：疲劳荷载谱的研究是钢桥疲劳分析的基础。通过对蕴藻浜大桥路段交通情况的实地调查,得到车辆重量及交通流量的一些统计参数值,并利用统计学蒙特卡罗理论及数据拟合的方法得到随机疲劳荷载谱。它为分析嘉定蕴藻浜大桥的疲劳应力提供理论基础。

随机结构 篇9

收录日期:2013年8月30日

一、引言

长期以来, 老工业区为我国的工业经济发展做出了重要贡献, 但是随着我国经济及城市化的发展及快速扩张, 其产业结构的不合理引起经济发展的一系列问题。优化调整产业结构, 确立合理的经济发展优化目标成为老工业区经济发展面临的主要问题, 研究老工业区产业结构优化对促进其经济发展和转变经济增长方式具有十分重要的意义。

产业结构优化是每个国家或地区经济发展的必要过程, 国内外学者对于产业结构优化方法研究也已形成了若干成果。Igor提出环境与产业结构系统动态模型。Bahn等研究经济增长和气候变换之间的关系, 提出MERG模型, 对现实经济进行模拟。王光净等以博弈论为分析工具, 提出了基于合作博弈的产业结构优化模型与求解算法。马树才从产业结构技术进步、产业结构合理化方面研究产业结构调整优化问题, 采用非线性规划方法构建产业结构调整优化模型。还有一些是从定性角度提出的产业结构优化对策, 如培育主导产业的接替产业;合理利用金融发展、实物投资、技术创新和人口流动对区域产业结构优化升级的调节效应;提高科技水平等。但关于产业结构优化问题的研究偏重于定性分析, 而在产业结构优化定量化评价方法比较片面, 不能全面衡量产业结构的整体素质。此外, 产业结构在长期演变过程中具有随机性和不确定性, 受到自然资源、需求变化、投资决策、科技进步及生态环境等诸多因素的影响。因此, 本文结合老工业区产业结构发展的实际情况, 综合考虑经济发展、充分就业、低污染的发展目标和约束条件, 采用随机规划方法构建产业结构优化模型, 并以上街区为例进行实证分析, 为产业结构优化决策提供科学的理论依据和技术支持。

二、老工业区产业结构优化模型

(一) 随机规化基本原理。

随机规划是处理随机数据的一种数学规划方法, 它与确定性数学规划相比, 最大的区别在于将随机变量引入到系数中, 这使得随机规划对解决实际问题更具有实用价值。随机环境下建立模型时, 可以将此类含有随机变量的函数通过以下三条途径进行处理:

1、建立期望值模型:

原来的目标函数与约束中都含有不确定函数, 而这些不确定函数就用期望值来代替。

2、建立机会约束规划模型:

当约束条件中含有不确定变量时, 且该变量在观测到之前需要对其进行判定决策, 应该遵循以下原则:在一定程度上, 所作决策可以不满足约束条件, 表示仅需满足约束条件的机会不小于事先设定的置信水平即可。

3、建立相关随机规划模型:

从必要性测度、可信性测度、信任测度等方面实现极大化。

(二) 模型假设与决策变量确定。

在产业结构优化的过程中, 由于社会经济问题的随机波动性和不确定性, 一些经济指标很难用常规方法确定, 采用随机规划处理方式将其反映在模型的数据中。

1、模型假设

假设1:每个部门各种投入数量与该部门的总产出成正比例变动, 即投入量是产出量的线性函数;

假设2:每个部门只有唯一的消耗结构, 即仅用一种技术方式生产一种产品, 且不同部门之间的产品不存在相互替代现象;

假设3:现有的科学技术水平不变, 即直接消耗系数和投资系数在一定时期相对稳定;

假设4:本模型仅假设污染为随机变量;

假设5:随机变量服从正态分布, 且置信区间设为95%。

2、决策变量。

据实地调研可知, 老工业区的发展主要包括农业、铝业、机械制造业、绿色新材料行业、通用航空业、服务业等产业, 本文根据主导产业确定10个决策变量, 定义Xj表示第j个产业的产值 (j=1, 2, …, 10) 。

X1:农业;X2:有色金属冶炼;X3:通用设备制造业;X4:非金属矿物制品业;X5:有色金属矿采选业;X6:交通运输和仓储业;X7:房地产业;X8:批发和零售业;X9:住宿和餐饮业;X10:文化、体育和娱乐业。

(三) 目标函数与约束条件分析

1、目标函数确定。

理论上衡量产业结构优化的目标准则较多, 根据宏观经济发展战略和老工业区产业结构现状, 在已有的产业结构优化模型基础上, 为了提高模型的简明性和可操作性, 本文选取经济增长、充分就业、资源节约为产业结构优化的目标函数。

(1) 经济增长目标。选取某一年为基期, 报告期的GDP与基期GDP的比率就是经济增长率。经济增长目标可按式 (1) 计算:

其中, X= (X1, X2, ……, Xn) T是各产业部门 (决策变量) 报告期总产出列向量;Xj是第j个产业部门的产出量, j= (1, 2, ……n) ;X0是各产业部门 (决策变量) 基期总产出列向量;A= (ajk) (j, k=1, 2, ……, 10) 表示投入产出消耗系数矩阵;ET表示单位列向量转置, 为求和矩阵。

(2) 充分就业目标。就业是老工业区经济发展中面临的重要问题, 产业结构优化的另一目标就是使就业尽可能大, 即失业率最低。本文充分就业目标用失业率最低来表示。

(3) 资源消耗目标。老工业区经济发展存在着资源浪费和过度消耗问题, 高能耗的经济增长方式和高碳产业结构导致环境污染。为实现产业结构优化, 选取资源消耗最小化为产业结构优化目标。

其中, Cij指产业部门j对第i种资源的消耗率。

2、模型约束条件分析

(1) 消费需求约束条件。各部门生产提供的产出总值必须满足全体消费者需求。

其中, s为国内储蓄率, YC为最终消费列向量。e T (X-AX) 代表各部门提供给消费者的最终产出, 等于国民生产总值减去各部门消耗的产出。

(2) 资本形成约束条件。产业结构优化中, 各部门的投资来源包括:一是国内资本或地区资本用于各个产业的投资;二是通过招商引资途径引入外来资本。这些投资行为在生产过程中用于资本形成。因此, 要求投入资本大于资本形成。

其中, sf为外国资本流入占GDP的比例, Yl为资本形成列向量。

(3) 净出口约束条件。外国投资的产出应该大于或等于一国或地区对国外产业需求的总和, 应该满足国内或地区居民消费水平。

其中, Yn为净出口列向量。

(4) 劳动力供给约束条件。劳动力作为生产要素对上街区经济发展有重要的贡献, 因此应尽可能提供充足的就业岗位。

(5) 部门产出平衡约束条件。在经济活动中产品的需求等于供给, 但是维持两者的平衡往往又比较困难, 因此产业的供给应该大于消费、资本形成与净出口总和。

(6) 环境约束条件。保护生态环境、控制污染是老工业区经济发展长期面临的严峻问题, 在产业结构优化中, 各部门单位产出所产生的“三废” (废气、废物、废液) 总和不超过规定的污染最大排放量。由于污染事件是不可预测的, 污染控制具有不确定性, 本文选取污染作为随机变量, 应用概率约束规划。

其中, G、S、W分别为该地区在一定时期内经济发展所允许的废气、废物、废液排放量上限, εg、εs、εw分别为废气、废物、废液的随机排放量, βg、βs、βw为满足不等式成立的概率, 这需要各地区根据发展状况确定 (本文选取95%) 。

(7) 非负约束。模型中各部门的总产出均为非负:

(四) 模型建立及求解。

由于εg、εs、εw是随机变量, 根据随机优化理论, 可将不等式 (9) (10) (11) 转化为:

上式不等式中ф (βg) 、ф (βs) 、ф (βW) 为正态分布下的置信水平, 本文选取的置信度为95%, 此时对应的置信水平则为1.96。

为了便于理解, 将经济增长目标转化为最小化问题, 即将目标函数 (1) 转化为:

通过对目标函数和约束条件的处理, 本文的随机优化模型完全转化为确定性的线性规划模型, 形式如下:

三、实证分析———以上街区为例

(一) 数据收集与分析。

本文根据河南省2007年的投入产出表, 以2010年作为基准期, 对2015年进行预测, 相关数据均来自于2007年到2010年的上街统计年鉴, 污染排放量系数及模型中其他相关参数均由上街统计年鉴相关数据整理得出。

为了使本文模型具有时效性, 采用RAS方法对投入产出表进行修订, 得到2010年直接消耗系数矩阵。由于替代效应和制造效应的共同影响引起投入产出表直接消耗系数的变化, 所以修订后的消耗系数矩阵比基期消耗系数矩阵更加接近报告期的实际数据。

(二) 模型求解。

本文通过最简化的形式来讨论这种多目标优化方法的有效性以及各产业最优产量值随着目标权重改变的变动情况。按照评价函数法, 多目标按照权重法将问题转化为单目标优化问题。本模型中的三个目标经济增长、充分就业与节约资源的权重分为以下四种情况讨论:

1、中性方案:

(λ1, λ2, λ3) = (1/3, 1/3, 1/3) , 即经济增长、就业与资源节约具有同等重要程度。

2、经济增长偏向:

(λ1, λ2, λ3) = (1.0, 0) , 即经济增长比就业与资源节约更重要。

3、充分就业偏向:

(λ1, λ2, λ3) = (0, 1, 0) , 即就业比经济增长与资源节约更重要。

4、节约资源偏向:

(λ1, λ2, λ3) = (0, 0, 1) , 即资源节约比经济增长与充分就业更重要。

(三) 结果分析。

利用MATLAB软件, 上述四种方案模拟结果如表1和表2所示。 (表1、表2) 将上述模拟结果与基期2010年进行比较分析, 模拟结果显示模型对三个目标函数权重系数的敏感性较弱, 特别是在经济增长偏向型、充分就业偏向型和中性方案这三种方案中, 模拟结果相差不大, 而节约资源型方案有显著差异。从表1可以发现:

1、从GDP增长速度看, 在经济增长偏向型方案中, 上街区2015年的GDP达到127.6亿元, 比2010年增加38.2亿元, 上升幅度高达42.7%, 充分就业偏向型和中性方案同经济增长型结果基本相差不大;在资源节约型方案中, GDP增长速度最为缓慢, 仅由89.4亿元上升为108亿元, 这是由于资源节约型方案限制了上街区一些工业部门的产出, 从而减少了总产出。

2、从三次产业增加值比重看, 经济增长偏向型方案中2015年三次产业的比例为0.6∶76.2∶23.2, 同2010年三次产业比例相比, 第一产业比重基本无变化, 第二产业下降了3.1%, 第三产业上升了5.1%;充分就业偏向型方案中三次产业变化不明显, 变化浮动控制在1%左右;中性方案中第一产业比例下降了0.1%, 第二产业比例下降了5%, 而第三产业增加了5.1%;节约资源型方案中三次产业比例变化最为明显, 第一产业上升了0.2%, 第二产业下降了7.5%, 第三产业增加了7.2%。不难发现, 在经济增长偏向型、中性方案和节约资源型方案中, 第二产业比例均下降, 第三产业比例均上升, 这表明上街区经济发展中存在资源过量消耗, 产业结构第二、第三产业存在比例不协调现象, 应加大第三产业的发展。

(%)

3、从失业率看, 经济增长偏向型、中性方案和充分就业偏向型失业率呈下降趋势, 而节约资源型方案失业率远高于另外三个方案, 这是由于节约资源限制了工业部门的发展, 不能提供足够的就业岗位。

4、在污染排放中, 节约资源型方案污染物控制效果最为明显, 另外三方案控制效果不明显。这说明上街区污染强度大的产业部门较多, 产业结构调整时污染控制任务非常艰巨。

在分析产业结构时, 各产业部门的增加值是上街区生产总值的重要组成部门。表2给出了上街区在四种方案下, 10个产业部门GDP结构的变化情况。

上街区农业部门GDP比重在1%以下, 模拟结果显示经济增长型、充分就业偏向型和中性方案中比重变化不显著;而在节约资源型方案中第一产业GDP比重上升了0.3%。

第二产业GDP比重占有绝对主导地位, 尤其是产品加工业相关的有色金属冶炼及延迟加工业、通用设备制造业、非金属矿物制品业和有色金属矿采选业, 这几乎是上街区GDP的全部来源, 比重高达80%以上。从模拟结果可看出, 第二产业GDP在经济增长型、充分就业偏向型、节约资源型和中性方案中都呈现不同幅度的下降, 节约资源型方案变化最为明显。这是因为资源节约限制了第二产业中高耗能、高污染的产业。此外, 工业部门中生产高附加值产品的产业部门还不大、不强, 初级产品居多, 资源消耗过量却不能带来高收益率, 限制了经济的增长。而且, 高耗能、高污染产业还导致了大量污染物的排放, 尤其是初级产品的生产, 不仅大量原材料、能源被消耗掉, 污染物也被留在了生产地。

根据上街区2010年统计数据可知, 第三产业GDP比重约为20%左右, 模拟结果显示交通运输业、房地产业、批发零售部门及住宿餐饮、娱乐业上升较快, 但是占有比重仍然较低, 这表明第三产业上升空间较大, 上街区政府应加快第三产业的发展。

四、总结

本文以经济增长、充分就业、资源节约为优化目标, 选取老工业区10大主导产业, 采用随机多目标规划方法构建产业结构优化模型, 并以上街区为例, 设计四种方案对2015年产业结构进行模拟分析。模拟结果显示, 上街区第一产业GDP比重较低, 变化不明显;第二产业GDP比重占有绝对主导地位, 但是呈下降趋势;而第三产业GDP比重逐渐上升, 有较大的发展空间。此模拟结果对老工业区今后产业结构优化的路径选择具有一定的参考价值。但在实际应用中, 产业结构优化不确定性影响因素众多, 且随机过程复杂, 因此还需进一步从动态角度对产业结构多目标优化进行深入研究。

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[5]冯芳芳, 蒲勇健.我国区域产业结构优化及其影响因素分析——基于分位数回归方法[J].技术经济, 2012.2.

随机结构 篇10

压缩四叉树通过合并一系列只有一个子结点的内部结点，达到节省存储空间的目的。如图2所示。

在如何通过输入数据集合构造四叉树结构方面，国内外有许多研究成果。Clarkson提出了第一个压缩四叉树的随机化构造算法[1]。Eppstein建议使用类似跳跃表风格的层次随机采样方法构造压缩四叉树[2]。如果能在常数时间内完成2个整数位交织操作，则可以使用相对简单的算法构造压缩四叉树，否则这项工作将更加困难。

将描述一种简便的新算法构造压缩四叉树，可以看作是Eppstein的跳跃四叉树的变体。

1 预备知识

定义1：对正实数z和实数平面2内的点p=(x,y)，定

义Gz(p)为栅格点。Gz将平面分为许多正方形区域，称为栅格单元。正式地，对任意，半平面x≥zi,x

定义2：一个正方形是正规正方形，假如它被包含在单位正方形内，单位正方形是栅格Gr内的一个单元，r是2的幂。

给定单位正方形内n个点的集合P，按如下方法构建四叉树T：四叉树的根节点对应单位正方形。T中的每个结点v对应正方形单元，并且有4个子结点。这4个子结点对应将分成4个相等的正方形。从根结点开始递归构建这颗四叉树。只要当前结点包含P中的2个以上的点，就继续分割这个结点。直到每个结点只包含P中的一个点为止。

对上述这颗四叉树中只有一个子结点的结点进行压缩可以得到压缩四叉树。P的压缩四叉树表示为ZT(P)。

四叉树中的一个叶结点对应一个正规正方形，一条被压缩的边(更准确地说是这条边最顶端的顶点)对应2个正规正方形的集合差所形成的环形区，这个环形区被称为平铺区。如图3所示。

一棵压缩四叉树将单位正方形分隔为一些平铺区。

2 算法描述

选择P中各点的一个随机排列〈P〉=〈p1,…,pn〉。Ti为Pi={p1,…,pi}的压缩四叉树。在Ti中对应ZT(Pi)中的一个平铺区f的每个结点存储一个列表cl(f)，该列表包含f中的所有点。这样P中的每个点都存储在Ti中。cl(f)称为f的冲突列表。对于P中每个点都有一个指针指向包含它的Ti中的结点。

在第i次迭代中，找到Ti-1=ZT(Pi-1)中存储pi的结点vi，将pi插入vi。这种插入最多导致创建3个新结点。因为只有压缩四叉树的叶结点才能包含插入点。这样会加入一个新结点存储新点Pi。将这个新叶结点悬挂在四叉树上要求一条已有的压缩边Ti-1，加入一个新的顶点。插入pi的叶结点已经存储了一个插入点，不仅为了pi，也是为了这个叶结点上以前存储的点而引入一个新叶结点。如果这2个点之间的距离相对f的直径靠近的话将引入新的压缩边。这样得到的结果树Ti就是Pi的压缩四叉树。将vi中存储的所有点移到Ti中正确的位置。对vi中存储的所有点，检查是否要存储到新结点中，如果是将它移动至新结点。如果vi的冲突列表中有k个点，则本次循环花费O(1+k)时间。由此得到压缩四叉树Tn。

3 算法分析

定义3：设Y为P的任意子集，平铺区f∈ZT(Y)。如果集合,f∈ZT(X)，并且X是具有这种属性的最小子集，即：不存在X的真子集具有平铺区f，则称X是f的定义集。引理1：如果X是平铺区f∈ZT(P)的定义集，则│X│≤4。

与传统随机化增量构建方法不同，这种情况下的定义集不唯一。

引理2：对平铺区f∈ZT(Pi)，第i次迭代创建f的概率≤4/i，即：

证明：设D1,…,DmPi为f的所有不同的定义集。Z=D1∩D2∩…∩Dm。仅当pi∈Z时f在第i次迭代时创建。如果，则存在f的定义集Dt，。同时，由于，f也是ZT(Pi-1)的一个平铺区，这个平铺区在第i次迭代时被创建的概率为零。

根据引理1，所有定义集的基数最大为4，│Z│≤4。要求的概率受到pi在Z中的概率的限制。考虑Pi上所有可能的排列。Z中的4个点之一在这i个点排列中排在最后的最大概率是4/i。根据引理2，创建一个平铺区f的概率与它的冲突列表的大小无关。

引理3：第i次迭代的期望工作量是O(1+n/i)。

证明：对于f∈ZT(Pi)，在第i次迭代时创建中花费的工作量与它的冲突列表cl(f)的长度成正比。设Xi是表示本算法第i次迭代的工作量的随机变量。因为Ti的冲突列表长度为n，根据引理2，第i次迭代的期望工作上限为：

这里的期望是对Pi所有可能的排列。因此，E[Xi]=E[E[Xi│Pi]]=O(1+n/i)。

定理1：对于位于单位正方形内的平面上的n点集合P，可以在时间O(nlogn)内构造一颗压缩四叉树。

证明：根据引理3，上述算法的总计花费时间为

4 结语

这种构造四叉树的方法对于多维空间内的点依然适用。Eppstein的算法是一种懒惰随机化增量四叉树构造算法。Eppstein的算法略为复杂，但支持插入和删除操作，而本算法只支持构建压缩四叉树。

摘要：介绍了一种压缩四叉树形数据结构的随机化增量构造算法。首先给出了压缩四叉树的定义,然后描述了算法实现步骤,通过将单位正方形不断分割为更小的正则正方形达到压缩的目的,使用平铺区域和冲突列表,采用随机化递增的算法构建出压缩四叉树,最后分析了算法正确性和运行时间。

关键词：数据结构,压缩四叉树,平铺区域,正则正方形

参考文献

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