左手介质

左手介质（精选4篇）

左手介质 篇1

摘要：用左手材料设计一种宽频带并且电尺寸小的微带天线,先用开口谐振环和金属杆设计出左手材料,并把它放在微带天线的基板中,利用左手材料的相位补偿特性实现了宽带微带天线的小型化设计。数值仿真结果表明,工作于10.5GHz时,加载了左手材料的微带天线的物理尺寸被大大减小了,天线尺寸从下降到0.21λ,突破了传统微带天线的半波长限制,并且相对带宽增加了5.31%,实现了微带天线的小型化设计。

关键词：微带天线,左手材料,相位补偿,宽带,小型化

0 引言

左手材料(Left-handed metamaterials,LHMs)是一种介电常数和磁导率同时为负的人工复合结构材料,最早是由前苏联科学家Veselago V G[1]在20世纪60年代从理论上提出的。20世纪90年代,英国皇家学院John Pendry从研究结构材料的角度出发,先后发表论文指出金属细线结构[2]和开口谐振环结构[3]分别在电等离子频率和磁等离子频率下时电参数ε、μ会表现出负值,这为LHM的实现提供了基础。美国加州大学Smith D R[4]等人将这两种结构结合起来,使材料的介电常数和磁导率在某个频率范围内同时出现负值,LHM就这样产生了。

由于LHM中传播电磁波的相速度和群速度方向相反,导致在该媒质中传播电磁波的电场E、磁场H、以及波矢量K三者构成左手系,而不遵循常规媒质的右手法则。它具有负折射率、负群速度、逆Doppler频移、反常Cerenkov辐射等种种奇异的物理性质,上述性质具有较广泛的应用前景,它突破了传统电磁学理论中的一些基本概念,引起科学界的部分关注。本文重点研究该媒质的后向波特性以及它在微带天线小型化中的应用。

左手材料是一个全新的前沿领域,基于其奇特的反常电磁波特性,在无线通讯领域将有很大的应用前景,可用作延迟线、耦合器、天线收发转换开关、固态天线、微型反响天线、平板聚焦透镜、带通滤波器、光导航、超敏感传感器、医学诊断成像等。特别是其在天线上的应用很有吸引力。将左手介质的后向波效应和右手介质的前向波效应相结合可以设计出小于半波长的谐振腔,而且谐振腔的物理尺寸不再受谐振频率的限制。此时的左手介质相当于一个相位补偿器,电磁波在右手介质中传播时产生的相位差可以通过左手介质的后向波效应加以补偿。

1 左手材料

左手材料(LHM)是一种新型的人造材料,它可将尺寸很小的一些周期性结构放在波导中构成,因为当介电常数和磁导率同时为负的时候,LHM呈现出负折射率特性。

本研究采用圆环形左手材料的结构单元[5],如图1(a)所示,它是将两个开口的金属环和一个金属杆放在介电常数为2.2的媒质里组成,其尺寸为:r=35mil,R=45mil,a=c=7mil,d=2mil,h=100mil,整个单元的尺寸是100mil×100mil×18mil。两个开口金属环是相互平行放置的,大小相同,每个环上有两个缺口,后面一个环可由前面的环旋转90°得到。金属杆和前面的金属环位于同一个平面。这里金属用的是铜,厚度为0.018mm。

a) 圆环形单元结构 b) 圆环形左手介质数值仿真结构模型

将5个这样的结构单元放在波导中,如图1(b)所示,该结构的尺寸为:n=b=100mil,m=92mil,p=18mil。波导中填充介电常数是2.2的介质材料,波导的上下面是电壁,前后面是磁壁,入射波从端口1向端口2传播。

通过用IE3D仿真软件仿真得到这5个阵列的S参数的实部和虚部,再通过MATLAB编程,从S参数中提取出介电常数和磁导率的实部随频率的变化曲线[6],如图2(a)所示。可以看到,在10～14GHz之间,介电常数和磁导率的实部同时为负。同时可得到折射率的实部和虚部随频率变化的曲线图如图2(b)所示,在10～14GHz之间,折射率n的实部为负,虚部趋于零。可见,在10～14GHz之间有一个2GHz的左手通带。

由于这个左手材料的电尺寸很小,并且测试时所用的边界条件和把它放置在微带天线基板中相同,所以可以用它的后向波特性来设计小型化的微带天线。

2 加载左手介质的小型微带天线

传统的微带天线有个难以解决的问题,当基板的介电常数比较小时,要得到宽频带必须增大贴片面积;当基板介电常数比较大时,贴片面积会变小,但同时带宽也会变小[7]。当把左手材料加到天线的基板中时,我们就可以利用左手材料作为相位补偿器来解决这个问题。

微带天线模型将矩形微带贴片看成为沿横向没有变化的传输线谐振器,场沿纵向呈驻波变化,辐射主要由开路端处的边缘场产生。因此微带天线可表示为相距y的两条平行缝隙,为满足两端的相位要求,微带天线的纵向场长度需要达到半个波长。但加载左手材料后,利用左手介质的后向波特性对纵向波进行相位补偿,虽然贴片尺寸没有半个波长,依然可以达到两端辐射的要求。

图3(a)为加载了左手材料的微带天线,其中k=30mil,x=70mil,y=160mil,z=150mil,u=w=47mil,v=99mil,t=100mil。通过仿真得到该天线的反射系数如图5(a)所示,反射系数-10dB的带宽为9.68～10.95GHz,相对带宽为12.31%。远场区的辐射方向图如图5(b)所示,最大增益约为3.4dB。

这表明在微带天线的介质基板中加载左手材料后,利用左手介质的后向波特性进行微带天线小型化设计是可行的。

加载左手介质的微带天线传输线模型如图3(a)所示,为减小影响,左手介质填充在贴片下方的基板中间,两端留有一定的空隙,这种基板被称为是“DPS-DNG-DPS”基板,(double positive medium,简记为DPS;double negative metamaterial,简记为DNG),这种情况下,贴片可以用图4所示的传输线模型来模拟,中间是左手传输线,两端和传统的微带天线一样,可以用右手传输线来代替。

a) 基板中加载左手介质的微带天线结构图 b) 天线的馈电结构

在传输线模型中,LR代表两端加载了右手介质的贴片长度,LL代表中间加载了左手介质的贴片长度,G代表微带线边缘的辐射导纳,C是边缘电容,YR代表等效右手传输线的特性导纳,YL代表等效左手传输线的特性导纳。

由图5(a)还可以看出,左手微带天线在中心频率附近发生了两次谐振,可以认为一次是天线本身的,一次是左手材料发生的谐振,当两个谐振频率靠得很近时,就大大增加了天线的带宽。

将加载左手材料的微带天线和普通微带天线对比,在10.5GHz的中心频率上,当基板介电常数为2.2时,普通微带天线的纵向尺寸约为半个波长,也就是9.6mm,相对带宽约为7%左右,最大增益8dB左右。仿真结果表明,基板中加载左手介质后,微带天线的纵向尺寸仅为4.06mm,约为0.21λ,带宽为12.31%,最大增益约为3.4dB。可见,左手材料的后相波特性可以将微带天线的尺寸大大减小,并且带宽会增大,但是增益会变小。增益的下降可能是由于加载了左手介质,天线介质基板的损耗变大引起的。

3 结论

本文设计了频带宽、电尺寸小的圆环形左手材料,再将它加载到微带天线的基板中,利用左手材料的后向波效应减小微带天线的纵向尺寸。结果表明,天线的纵向尺寸减小了42.29%,突破了传统微带天线的半波长设计要求的限制。并且由于左手材料在天线中心频率附近发生了谐振,使得天线的相对带宽增加了5.31%。结果还表明,加载左手材料后天线基板中的损耗变大,使得天线的增益有所下降。

研究表明微带天线的这种小型化技术是可行的,可以进行进一步的研究和应用。

参考文献

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有损耗左手介质平板波导的研究 篇2

近年来左手介质以其独特的性质引起了广泛关注。左手介质是具有负介电常数和负磁导率的介质, 文献[1,2,3]讨论了左手介质3层平板波导的色散曲线和光场分布特性。但这些文献讨论的都是当介电常数和磁导率为实数时的情况, 即介质无吸收的情况下光在该波导中的传播特性, 而实际的左手材料大多数折射率为复数, 复折射率虚部的存在会带来不可忽略的吸收和损耗。因此, 有必要对光在左手介质平板波导中传播的损耗进行研究。在分析复折射率波导时, 一般都要采用数值计算方法解复本征方程, 计算量很大, 对计算环境要求很高。文献[4]采用微扰法对具有复折射率的普通介质波导进行了分析, 结果证明在弱吸收和低增益的情况下微扰法是相当好的近似方法。

为此, 本实验采用微扰法分析有损耗的芯层为左手介质的非对称3层平板波导 (以下简称左手介质非对称波导) 的导模特性, 并推导出有效折射率和衰减系数的表达式, 然后以芯层为左手介质的对称3层平板波导 (以下简称左手介质波导) 为例进行数值计算, 并结合同等条件下芯层为右手介质的对称平板波导 (以下简称右手介质波导) 的计算结果进行比较、分析和讨论。

1 理论分析

当波导的折射率为复数时, 其虚部的存在会使整个波导的场分布发生变化, 这种变化是一种扰动。当这种变化很小 (即折射率的虚部相对实部而言很小) 时, 可以采用微扰法进行分析。左手介质非对称3层平板波导的结构如图1所示, 上包层和下包层由右手介质构成, 波导芯层由左手介质构成。

令undefined, 则undefinedj, 其中undefined为介质的复折射率, ni、κi分别为介质的实折射率和消光系数。同时令undefined, undefined (ε1<0, μ1<0) , 相应的振幅衰减系数为αi (αi=k0κi) 。此时波导的传播系数为β, 有效折射率为N, 其中β=k0N。当max (nundefined, nundefined)

以下采用微扰法对有损耗左手介质非对称3层平板波导进行分析。

首先令2niκi=0, 把波导近似为无损耗波导。其场分布函数undefined和实传播常数β满足的亥姆霍兹方程可写成undefined, 其中undefined。零级近似特征方程为[5]:

式中:γundefined=kundefinednundefined-β 2, γundefined=β 2-kundefinednundefined, γundefined=β2-kundefinednundefined。根据导模传播的条件可知γ1、γ2、γ3>0, γundefined、γundefined、γundefined>0。式 (1) 中, 对于TE模有B= (μ1/μ2) · (γ2/γ1) , C= (μ1/μ3) · (γ3/γ1) ;对于TM模有B= (ε1/ε2) · (γ2/γ1) , C= (ε1/ε3) · (γ3/γ1) 。其中εi、μi (i=1, 2, 3) 为介质的相对介电常数。令有效折射率N表达式为N=β/k0, 此时式 (1) 可写为:

undefined

undefined

接着, 考虑2niκi≠0的影响。此时波导为有损耗型波导, 其复场分布函数undefined和复传播常数undefined满足的亥姆霍兹方程可写成undefined, 其中undefined, Ĥ′为微扰算符, 其表达式为[5]:

undefined

此时, 令undefined, 其中undefined是因为-2kundefinedniκij引起的微扰修正项。

对于TE模, 由一级微扰论可得[5]:

undefined

将式 (4) 代入式 (5) , 又因为模的衰减系数为undefinedundefined, 可得:

undefined

式中beff为:

undefined

如果波导芯是由左手介质构成, 即μ1为负, 当m=0时式 (2) 恒不成立, 因此该波导不支持TE0模的传播。

对于TM模, 同理可得:

undefined

式中beff为:

undefined (9)

如果波导芯是由左手介质构成, 即ε1为负, 当m=0时, 式 (3) 恒不成立, 因此该波导不支持TM0模的传播。

2 数值计算

以TE模在有损耗左手介质对称3层平板波导中的传播为例, 根据式 (2) 和式 (6) 可以计算出其在波导中传播的有效折射率N和衰减系数α。

2.1 有效折射率N的计算

取n1=-1.58, n2=n3=1.48, μ1/μ2=μ1/μ3=-1, 此时忽略消光系数对模有效折射率的影响。

以TE模为例, 有效折射率N随芯层厚度与波长比值的变化曲线如图2 (a) 所示。

从图2 (a) 中可以看出, 为了满足前述的导模传播条件, 有效折射率N的绝对值必须介于芯层与包层折射率绝对值之间。同时, 左手介质波导不能支持TE0模的传播, 其最低阶模式是TE1模。

从图2中还可以看出, 最低阶模式对应的b/λ取值与其它模式无重合点, 因此能够实现TE1模的单模传输。此外, 与其它模式的色散曲线不同, TE1模的有效折射率随b/λ值的增加而迅速减小。为了方便比较, 图2 (b) 给出了当n1=1.58且其它参数相同时的N～b/λ曲线。从图2 (b) 可以看出, 在芯层为右手介质的平板波导中, 所有TE模的有效折射率都随b/λ值的增加而增大, 图2 (b) 中的最低阶模式TE0模的色散曲线经过原点, 这意味着所有波长的基模都能在任意芯层厚度的右手介质波导中传播, 永不截止。

2.2 衰减系数α的计算

取n1=-1.58, n2=n3=1.48, μ1/μ2=μ1/μ3=-1, 包层的衰减系数为α2=α3=0.0005μm-1。图3 (a) 给出了当α1=2α2、α1=α2、α1=0.5α2时左手介质波导中TE1、TE2模衰减系数随b/λ变化的曲线。

从图3 (a) 中可以看出, 波导的衰减系数α总是随b/λ的增大而减小, 并且总大于包层的衰减系数α2。对于光波的同一传播模式, 当波长一定时, 波导的衰减系数随波导芯厚度的增加而急剧减小;当波导芯厚度一定时, 波导的衰减系数随波长的增加而急剧增大。因此, 在这种情况下, 如果想减小模式的吸收损耗, 则需要严格控制芯层厚度, 一方面保证其满足导模传输条件, 另一方面又要使衰减系数尽可能小。如果芯层厚度选取过小, 虽然对高阶模式会发生截止, 但波导对低阶模的吸收将会变强;同时, 如果波长选择不当, 又无法满足导模传输条件。

图3 (b) 给出了在相同的参数条件下芯层为右手介质的平板波导的衰减曲线, 其中n1=1.58。图3 (b) 中从上至下分别表示当α1=2α2、α1=α2、α1=0.5α2时波导的衰减系数与b/λ的变化关系。从图3 (b) 中可以看出, 波导的衰减系数α与b/λ的变化关系取决于芯层衰减系数与包层衰减系数的比值。当α1=2α2时, 各阶导模的衰减系数α总是随b/λ的增加而增大, 随模阶数m的增加而减小;当α1=α2时, 波导的衰减系数非常接近芯层的衰减系数;当α1=0.5α2时, 各阶导模的衰减系数α总是随b/λ的增加而减小, 随模阶数m的增加而增大, 并且取值总小于包层衰减系数。

对比图3 (a) 与图3 (b) 可以总结出以下几点: (1) 右手介质波导的衰减曲线变化趋势取决于芯层与包层衰减系数大小关系不同, 左手介质波导衰减曲线的变化趋势总是随b/λ的增加而单调递减。 (2) 以TE1模为例, 左手介质波导的衰减系数在b/λ=0.58左右时达到最大, 之后随b/λ的增加而迅速递减, 因此可以利用其对特定波长、特定模式的强吸收性制作带通滤波器或者光衰减器。 (3) 左手介质波导的衰减系数对b/λ的变化十分敏感, 可用作高灵敏的传感器件。 (4) 左手介质波导的衰减曲线区间所对应的b/λ取值范围较右手介质波导要小得多, 因此更易实现器件的小型化, 降低生产成本且更有利于实现器件的系统集成。

但必须指出的是, 左手介质波导的衰减系数一般比同等情况下的右手波导要大一些。因此, 当左手介质波导用于光的传输时, 如何降低其对光波的吸收损耗仍有待进一步研究。

3 结论

采用微扰法分析了光在芯层为左手介质的有损耗平板波导中的传播情况, 推导出有效折射率和衰减系数的解析式, 最后以TE模在对称3层平板波导中的传播为例, 绘出了有效折射率和衰减系数随芯层厚度与波长比值的变化曲线, 并对结果进行了分析。从色散曲线可以看出, 左手介质波导不能支持TE0模的传播, 其最低阶模式是TE1模, 并且TE1模的色散曲线与其它模式具有显著的不同。通过与同等情况下右手波导的衰减曲线对比发现, 左手介质波导的衰减系数总是随b/λ的增加而急剧单调递减, 不同模式衰减曲线所对应的b/λ取值区间相差较大, 并且衰减曲线区间对应的b/λ值较右手介质波导要小得多。利用左手介质波导的这些特性, 可以更加简单地实现单模传输和器件的小型化。同时, 由于有损耗的左手介质平板波导的色散很厉害, 吸收很大, 可用作光通信中的滤波器、波分复用器以及设计新型的光衰减器等。左手介质平板波导的这些特性为新型光器件的设计提供了新的选择, 同时也带来了新的挑战。

参考文献

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左手介质 篇3

左手超介质是一种介电常数和磁导率在某一波段展现为负值的人工复合材料。早在1968年,苏联物理学家Veselago在理论计算中就提出了它的概念。由于它在自然界中无法找到,所以在其后的30年左手超介质研究领域一直都没有取得很大的进展,直到1999年,Pendry教授指出周期排列的细导线阵列和周期放置的开口谐振环阵列可以在微波波段分别展现出负介电常数效应和负磁导率效应。根据这一经典发现,2000年Smith加工出了历史上第一块左手超介质材料[1]。

随后,越来越多的学者开始研究这种具有奇异电磁特性的左手超介质材料。关于对构建结构简单、物理尺寸小的左手超介质单元模型的研究,更是赢得很多人的青睐。迄今为止,很多具有优良特性的变形结构相继被提出,诸如Ziolkowski提出的由CLS (Capacitively Loaded Strips)和CLL(Capacitively Loaded Loops)以及由CLS和SRR构成的左手材料;Yi-Jang Hsu提出的一种比SRR(Split Ring Resonators)体积更小、结构更简单的DSRR(Deformed SplitRing Resonators)超介质[2]。将左手超介质加载到微波天线中,可以突破传统天线的半波长限制和减小天线的后向能量辐射,实现天线的小型化和高增益。文献[3]中,在天线的介质基板内加载左手超介质,天线的谐振频率下降,其物理尺寸降到0.21λ0,但大量的左手超介质单元使天线结构变的更为复杂,造成电磁能量损耗严重,增益反而降低。文献[4,5]中,在微带天线的前方放置左手超介质覆层,其方向性和增益都大大提高,但覆层中众多的超介质组合单元却要耗费大量的仿真时间和计算机内存资源。文献[6,7]中设计的左手超介质覆层具有的左手频段较窄,限制了自身在多频、超宽带天线中的广泛应用。

本文提出了一种基于传统SRR和金属杆变形组合的左手超介质模型,在2～12 GHz中具有多个左手频段。由于其结构简单、单元数目少和左手频段宽的优点,不仅可以节省大量的仿真时间和计算机内存资源,而且还可以广泛运用在多频、超宽带天线的覆层中,来实现微带天线小型化和高方向性。

1 左手超介质覆层的设计及分析

本文设计的左手超介质覆层采用Rogers RO6010介质基板,其介电常数ε=10.2。结构如图1a所示,在边长为p、高为h的正方形介质板的正中央,有一条宽为w的微带线,在微带线两边对称地分布了2个双层结构的TSRR(Triangular Split Ring Resonators)。如图1b,该双层结构的TSRR开口相对放置。在介质基板下方是一块边长也为p的薄金属板,如图1c所示,在其正中间与TSRR相对应的位置有2个边长为L的正方形缺口,它们通过正中央一条宽为g的缝隙相连通,构成哑铃型DGS(Defected Ground Structures)。

为了确定左手超介质的电磁特性,HFSS软件被选用为三维结构的仿真软件。将仿真结果中的S参数导入到MATLAB中,利用Nicolson-Ross-Weir(NRW)方法[8],可以具体地计算出有效磁导率和介电常数。

一维均匀平板的转移矩阵的归一化解析形式为

$\mathit{{\rm T}}=\left[\begin{array}{l}\cos (nkd)\text{j}{\rm Z}\sin (nkd)\\ \frac{\text{j}}{{\rm Z}}\sin (nkd)\cos (nkd)\end{array}\right](1)$

式中:n和Z是材料的折射率和波阻抗;d是材料单元的厚度;k是自由空间的波数。

利用二端口网络转移矩阵和散射矩阵的变换关系可得

$\{\begin{array}{ccccc}S{}_{21}=S{}_{12}=\frac{1}{{\rm T}{}_t+\frac{1}{2}(\text{j}k{\rm T}{}_{12}+\frac{{\rm T}{}_{21}}{\text{j}k})}& & & & \\ S{}_{11}=S{}_{22}=\frac{\frac{1}{2}(\frac{{\rm T}{}_{21}}{\text{j}k}-\text{j}k{\rm T}{}_{12})}{{\rm T}{}_t+\frac{1}{2}(\text{j}k{\rm T}{}_{12}+\frac{{\rm T}{}_{21}}{\text{j}k})}& & & & \end{array}(2)$

由式(2)可得

$\{\begin{array}{l}n=\frac{1}{kd}\arccos \left[\frac{1}{2S{}_{21}}(1-S{}_{11}^2+S{}_{21}^2)\right]\\ {\rm Z}=\sqrt{\frac{\left(1+S{}_{11}\right){}^2-S{}_{21}^2}{(1-S{}_{11}){}^2-S{}_{21}^2}}\end{array}(3)$

所求磁导率μ和介电常数ε与n和Z之间的关系为

$\{\begin{array}{l}\epsilon =n/{\rm Z}\\ \mu =n{\rm Z}\end{array}(4)$

2 左手超介质覆层天线设计及结果分析

通过HFSS仿真得到微带线二端口的S参数幅度和相位随频率的变化曲线,微调左手超介质覆层结构,得到最终优化尺寸如表1所示。

利用NRW方法可以精确地得到有效介电常数和有效磁导率随频率变化曲线。图2中,在2～3.5 GHz,3.8～7.3 GHz和7.5～12 GHz这3个频段,有效介电常数和磁导率实部均为负值,因此设计的超介质覆层在这3个频段都具有左手特性。

如图3所示,在拟设计的天线上方加载左手超介质覆层,通过研究加载后天线性能的改进来验证左手超介质覆层设计的正确性。拟定本设计天线工作频率范围覆盖WLAN的2个高频段为5.1～5.35 GHz和5.725～5.825 GHz。从图4中HFSS仿真结果可知,WLAN天线在5.22 GHz和5.75 GHz所展现的2个贴片辐射模式的最大增益分别为4 dB和4.6 dB。

在5.15～5.35 GHz和5.725～5.825 GHz两个频段内,左手超介质覆层的相对介电常数和磁导率均小于0。WLAN双频天线加载双层左手超介质覆层后,辐射能量会更为集中,其增益和方向性将进一步提高。从图5中HFSS仿真结果可知,加载左手超介质覆层后,WLAN天线在两个工作频段内的最大增益分别增加了1 dB和1.4 dB,体现了更为优良的方向性。同时,两个谐振频率分别降低了0.04 GHz和0.09 GHz,这也为实现天线小型化提供了一种新的思路。

3 结论

本文利用HFSS三维电磁仿真软件和MATLAB设计并仿真了一种具有多个左手频带的超介质覆层。在2～3.5 GHz,3.8～7.3 GHz和7.5～12 GHz这3个频段,其等效介电常数和磁导率均小于0。将双层左手超介质覆层加载到工作频率范围为5.15～5.35 GHz和5.725～5.825 GHz的双频WLAN天线上,其天线的工作频率降低,辐射方向图也得到了良好的改善。因此,本文设计的左手超介质覆层可以广泛应用到工作频率在S,C频段的天线中,来实现天线小型化和高增益。

摘要：以加载左手超介质覆层对天线性能改进为目的,基于传统的开口谐振环和金属杆的变形组合,设计出一种等效介电常数和磁导率均小于0的多左手频带超介质覆层。将此覆层加载在工作频段为5.15～5.35 GHz,5.725～5.825 GHz的WLAN微带天线上,天线工作频率降低且辐射方向图得到了良好的改善。HFSS和MATLAB仿真结果表明,设计的左手超介质覆层在2～3.5 GHz,3.8～7.3 GHz和7.5～12 GHz这3个频段具有左手特性,WLAN双频天线在加载双层左手超介质覆层后,工作频率分别降低了0.04 GHz和0.09 GHz,其最大增益分别提高了1 dB和1.4 dB,从而验证了设计的正确性。同时为设计性能更优良的左手超介质覆层天线提供了新思路。

关键词：左手超介质,负介电常数,负磁导率,DGS,WLAN天线

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左手介质 篇4

1968年Veselago[1]首先从理论上预测了一种介电常数ε和磁导率μ同时为负的新型介质的存在。1999年Pendry等[2]提出周期性排列的开口谐振环(SRRS)处在谐振频率附近时有效磁导率εeff为负,周期性排列的金属杆结构在低频时有效介电常数μeff为负,从而在实验上证实了负折射率介质的可行性。文献[3,4]给出了3层不对称负折射率平板波导的色散曲线、场分布与光波传播特性等。文献[5,6]讨论了3层左手介质平板波导当横波数为纯虚数时模式为表面模的情况。由于多层平板波导在模场分析、模式截止和功率约束等方面具有许多独特的性质,因此,这种结构在半导体激光器、光波导定向耦合器、光波导偏振器等波导器件中有着重要的应用。

利用矩阵方法表述光在多层介质中的传播是一种简单有效的方法。该方法计算方便,物理意义明确。M.玻恩和E.沃耳夫利用特征矩阵求解了多层薄膜的透射和反射问题[7];A. Yariv等利用光线矩阵讨论了透镜或似透镜介质的传输问题[8];而曹庄琪则利用波动方程的特解,构造出一种与特征矩阵不同的实矩阵——转移矩阵[9]。本研究从波动方程出发,根据电磁场的边界条件,采用转移矩阵的方法,推导出一种芯子层由左手介质构成、其他3层由普通介质构成的4层平板光波导系统中TE波和TM波的模式本征方程,并用图解法对这种平板波导中TE波的场分布进行了数值模拟。其特有的性质在实际设计和制作新型光波导器件中有潜在的应用价值。

1 3层平板波导模式本征方程的转移矩阵

3层介质平板波导结构及选用的坐标系如图1所示。

波导层的厚度为h, 相对介电常数和相对磁导率分别为εr1、μr1,覆盖层和衬底的相对介电常数和相对磁导率分别为εr2、μr2和εr0、μr0,取εr1μr1>εr2μr2、εr0μr0。设电磁波沿z方向传播,传播常数为β。对于TE波,电场只有y分量,E=Ey,且满足波动方程:

undefined

式中:undefined是光在真空中的波数,ω为光波的频率。在波导层内电磁场是振荡的,在覆盖层和衬底中电磁场是指数衰减的。

利用波动方程的特解,结合TE波的边界条件:电场Ey以及电场的一阶导数∂Ey/μ∂x在分界面x=0和x=h处连续,可以推得以下矩阵方程:

undefined

(TE波) (2)

式中:Ey(0)、E′y(0)是芯层和衬底界面处在衬底一侧的电场及其一阶导数,Ey(h)、E′y(h)是芯层和覆盖层界面处在覆盖层一侧的电场及其一阶导数,κ1=(kundefinedεr1μr1-β2)1/2是电磁波在导波层中的横向波数。

利用转移矩阵的性质,MM-1=E(M-1是M的逆矩阵),可以得到反向传递关系:

undefined

(TE波) (3)

根据文献[9]的方法,利用转移矩阵的不变形式,可以推导出3层平板波导的模式本征方程。这里只需要考虑覆盖层和衬底介质的场,而不再考虑波导层的场分布。TE波的模式本征方程的矩阵形式为:

undefined

(TE波)

(4)

式中:p0=(β2-κundefinedεr0μ0)1/2,p2=(β2-κundefinedεr2μ2)1/2分别为电磁波在衬底和覆盖层的衰减系数。对应的2×2矩阵称为TE波的转移矩阵:

undefined

同理得到TM波的模式本征方程的矩阵形式为:

undefined

(TM波) (6)

对应的TM波的转移矩阵为:

undefined

2 4层左手介质平板波导TE波的模式本征方程

4层介质平板波导结构及选用的坐标系如图2所示,中间2个芯子层中一层为左手材料,厚度为h1, 相对介电常数和相对磁导率为εr1、μr1(εr1<0,μr1<0),另一层为普通材料,厚度为h2, 相对介电常数和相对磁导率为εr2、μr2,覆盖层和衬底的相对介电常数和相对磁导率分别为εr3、μr3和εr0、μr0,取εr1μr1>εr2μr2>εr0μr0、εr3μr3。设光沿z方向传播,传播常数为β。传播常数β有2种选择,下面分别进行讨论。

(1)假设kundefinedεr2μr2>β2>kundefinedεr3μr3,可知导波层位于(0,h1+h2)的范围,即在中间两层薄膜中电磁场是振荡的,在覆盖层和衬底中电磁场是指数衰减的。以TE波为例,根据转移矩阵理论[10],得到4层左手介质平板波导的模式本征方程的矩阵形式:

undefined

对应的TE波的转移矩阵分别为:

undefined

undefined

式中:κ1=(kundefinedεr1μr1-β2)1/2和κ2=(kundefinedεr2μr2-β2)1/2分别为介质1和介质2中导波层的横向波数,p0=(β2-kundefinedεr0μr0)1/2和p3=(β2-kundefinedεr3μr3)1/2分别为衬底和覆盖层中的衰减系数。

由式(8)得到4层左手介质平板波导中TE波的模式本征方程为:

undefined

其中p2定义为:

undefined

(2)假设kundefinedεr1μr1>β2>kundefinedεr2μr2,此时κ2=iα2,可知在左手材料层中电磁场是振荡的,而在介质2、覆盖层和衬底中电磁场都是衰减的,α2是介质2中的衰减系数。利用cos(ix)=cosh(x),sin(ix)=isinh(x),转移矩阵M1的形式不变,与式(9)中的M1相同,但转移矩阵M2变为:

undefined

模式本征方程还具有以下形式:

undefined

但p2的定义为:

undefined

3 4层左手介质平板波导TE波的模式和场分布

以TE波为例,这里只讨论传播常数在kundefinedεr2μr2>β2>kundefinedεr3μr3的情形。由于模式本征方程式(10)为超越方程,没有解析解,可采用图解法来确定给定波导参数时的本征方程的解,然后确定该模式的场分布。因为undefined,将κ2h1、p0h1、p3h1写成κ1h1形式:

undefined

undefined

undefined

式中:undefined。

则模式本征方程式(10)右边可以表示为κ1h1的函数,记作f(κ1h1):

undefined

图3为用Matlab软件画出的函数tan(κ1h1)和f(κ1h1)曲线,其中虚线为tan(κ1h1)-κ1h1的函数关系,实线为f(κ1h1)-κ1h1的函数关系,它们的交点即是对应于不同导模的解。导模的解与各层介质的折射率、厚度、工作频率等有关。这里取ε0=1、μ0=1、ε1=-2.25、μ1=-1、ε2=2.10、μ2=1、ε3=1、μ3=1、b=3.1、c=d=9、h2/h1=2、k0h1=8.05,从图3中可以读出4个TE模的κ1h1值分别为3.43、4.52、6.43、8.28,不同的κ1h1值对应不同的导模。

4层左手介质平板波导在各区域的电场分布可以表示为:

E0y(x)=Aexp(p0x) (x<0)

E1y(x)=Bcos(κ1x)+Csin(κ1x) (0

E2y(x)=Dcos[κ2(x-h1)]+Esin[κ2(x-h1)] (h1

E3y(x)=Fexp[-p3(x-h1-h2)] (x>h1+h2) (17)

式中:κ1和κ2分别是介质1(左手介质)和介质2(普通介质)中的横向波数,p0和p3分别是衬底和覆盖层中的衰减系数,A、B、C、D、E、F是积分常数。利用TE波的边界条件:电场Ey以及电场的一阶导数∂Ey/μ∂x在分界面x=0、x=h1、x=h1+h2 3个边界面上连续,可以求得各系数A、B、C、D、E、F之间的大小关系,从而确定波导中的电场分布。与3层左手介质平板波导的传播特性有很大的不同[10],在上述结构参数下,模式TE0不存在,模式TE1、TE4、TE5、TE8的电场分布如图4所示,模式TE2、TE3、TE6、TE7缺失。利用这种模式缺失,有望实现按不同需求选择相应的导波模式传输[11,12]。

对于传播常数kundefinedεr1μr1>β2>kundefinedεr2μr2可作类似的讨论,此时电磁场在左手材料层中是振荡的,而在介质2、覆盖层和衬底中都是指数衰减的。由于左手介质的介电常数和磁导率都是负值,所以在这种左手介质光波导中既可支持振荡导模,也可支持表面导模[6,13]。

4 结论

利用波动方程以及电磁波的边界条件,采用转移矩阵法,对一个芯子层由左手介质构成、其他3层由普通介质构成的4层平板光波导系统进行了模式本征方程的推导,得到了在kundefinedεr2μr2>β2>kundefinedεr3μr3和kundefinedεr1μr1>β2>kundefinedεr2μr2两种情形下TE波的转移矩阵和模式本征方程。利用Matlab软件采用图解法对这种包含左手介质的4层平板波导中TE波的场分布分别进行了数值模拟。其特有的性质在实际设计和制作新型光波导器件有潜在应用。

摘要：研究了一个芯子层由左手介质构成、其他3层由普通介质构成的4层平板光波导系统。从波动方程出发,根据电磁场的边界条件,得到了TE波的转移矩阵和模式本征方程,并用图解法对这种左手介质4层平板波导中TE波的场分布分别进行了数值模拟。