秦皇岛坐标系建立的解决方案

2024-12-01

秦皇岛坐标系建立的解决方案（精选7篇）

秦皇岛坐标系建立的解决方案篇1

秦皇岛坐标系建立的解决方案

对建立满足城市建设发展需求的秦皇岛独立坐标系进行了研究,通过对测量规范和秦皇岛现状的分析,提出了建立秦皇岛坐标系的解决方案,解决了原有城市平面坐标系统不能满足城市规划区扩大要求问题.

作者：魏立峰侯春元倪少华 WEI Lifeng HOU Chunyuan NI Shaohua 作者单位：秦皇岛市城市规划管理信息中心,河北,秦皇岛,066001 刊名：地理空间信息英文刊名：GEOSPATIAL INFORMATION 年，卷(期)： 7(4) 分类号：P226.3 关键词：秦皇岛坐标系独立坐标系平面控制网

秦皇岛坐标系建立的解决方案篇2

1 建立地方独立坐标系的因素

1)最初在建立坐标系时,由于技术条件的限制,定向、定位精度的有限,最终导致所定义的坐标系与国家坐标系在坐标原点和坐标轴的指向上有差异。

2)由于成果保密,按国家坐标系进行数据处理后,对所得的成果进行了一定的平移和旋转,得出地方独立坐标系[1]。

3)为避免投影变形,需要进行投影中央子午线的变换,因此,需要变换中央子午线,抬高投影面,以减少投影变形的影响。

4)为了满足工程的要求或工程放样而建立独立坐标系。

2 地方独立坐标系的建立

地方独立坐标系的建立分为测区海拔高程较高和较低两种情况,当测区平均高程较高时,地方独立坐标系应取平均高程面作为投影面,椭球可选用地方参考椭球,当测区的平均高程较低时,地方独立坐标系仍可取参考椭球面作为投影面,椭球可选用国家参考椭球。

1)椭球为国家参考椭球,投影面为参考椭球面,以测区某一固定点为坐标原点,将该点的子午线作为中央子午线,以中央子午线的投影为纵坐标轴,经过该点的纬线的投影为横坐标轴建立地方独立坐标系,地方独立坐标对应的大地坐标为相应参考椭球的国家大地坐标。

图1为北方某市地方独立坐标系建立示意图,城市独立坐标系是以O(4 114 7n.n,20 442 2n.n)点为坐标原点,以经过O点的子午线(经度为116°2n′n.n″)为中央子午线,y坐标加500 km建立北京地方独立坐标系。椭球采用克拉索夫斯基椭球,那么地方独立坐标对应的大地坐标为1954年北京坐标系坐标。

2)椭球为国家参考椭球,投影面为参考椭球面,以通过当地中心的子午线作为中央子午线,并以中央子午线和赤道的交点O为坐标原点,中央子午线的投影为纵坐标轴,赤道的投影为横坐标轴建立地方独立坐标系,地方独立坐标对应的大地坐标为相应参考椭球的国家大地坐标。

3)椭球为国家参考椭球,投影面为平均高程水准面,以通过当地中心的子午线作为中央子午线,并以中央子午线和赤道的交点O为坐标原点,中央子午线的投影为纵坐标轴,以赤道的投影为横坐标轴建立地方独立坐标系,地方独立坐标对应的大地坐标为相应参考椭球的国家大地坐标[2]。

图2为中原某市独立坐标系示意图,城市独立坐标系是以测区中心子午线(经度为:112°n′)作为中央子午线,并以中央午线和赤道的交点为坐标原点,中央子午线的投影为纵坐标轴,赤道的投影为横坐标轴,y坐标加50 km,当地平均高程水准面(H≈17 m)为投影面建立城市地方独立坐标系。如果椭球采用的是1980年西安坐标系椭球,那么中原某城市独立坐标对应的大地坐标为1980年西安坐标系坐标。

4)当椭球为地方参考椭球E1时,除椭球长半径有一增量Δa;当椭球为地方参考椭球E2时,除坐标原点有一平移量(ΔX,ΔY,ΔZ)外,中央子午线、坐标原点、x坐标轴加常数、y坐标轴加常数等均同椭球为国家参考椭球的情况。

5)建立一个地方独立坐标系必须确定以下几项主要元素:一是坐标系的中央子午线;二是起算点坐标;三是起算方位角;四是投影面高程和测区平均高程异常;五是参考椭球体。

6)在数据处理中,首先要建立国家或地方坐标系,建立一个坐标系有以下几个方面:一是国家或地方坐标系对应的参考椭球;二是GPS定位结果(WGS-84坐标系)向国家或地方坐标系转换的参数。由于转换参数具有时间性、局域性,所以采用全国性转换参数建立国家坐标系,求解出局域性转换参数后,再换成局域性转换参数;三是高斯投影;四是投影类型,我国通常采用墨卡托横轴投影。

以我国某地为例,测区位于111°带与114°带边缘,平均海拔300 m,新中央子午线为112°48′,测区坐标及转换后坐标见表1,1954年北京坐标系边长与地方独立坐标系坐标反算边长比较见表2,由表2可以看出,由于测区远离中央子午线,长度变形较大,在工程实践中,必须考虑投影变形的影响,一般情况下采用地方独立坐标系进行工程实践。

(m)

3 结束语

建立独立坐标系必须根据所采用的起算数据(国家等级控制点)的参考椭球,严格的计算工程控制采用的参考椭球参数,这样便于成果互相换算,实现资源共享。在提供工程控制网坐标成果时,应同时提供依据的参考椭球信息,进行坐标换算时,高斯投影正反算公式取项必须满足计算精度要求,无论进行何种换算,均需通过已知点进行比较检核[3]。

参考文献

[1]李征航,黄劲松.GPS测量与数据处理[M].湖北:武汉大学出版社,2005:266.

[2]孔祥元,梅是义.控制测量学[M].北京:测绘出版社,2002:350.

建立直角坐标系的应用刍议篇3

例1小明和小东在沙滩上玩游戏，他们都从某一点出发，小明先是沿正东方向行走50米，然后沿正北方向行走30米到达点A处；小东则是先沿正南方向行走20米，然后沿正西方向行走40米到达B处，请问此时小明和小东相距大约多少米?

分析：要知道两人相距多少米，关键在于确定A、B两点的位置，从他们行走的情况来看，选择出发点0为原点，东西方向为横轴，南北方向为纵轴建立坐标系是最合适的，如图1中的每个单位表示10米，此时A点的坐标为(5，3)，B点坐标为(－2，－4)。

由图及勾股定理可知AB的长约为10个单位长，因此，两人相距约为100米。

例2如图2所示的象棋盘上，若“帅”位于点(1，－2)上，“相”位于点(3，－2)上，则“炮”位于点()

A，(－1，1)

B，(－1，2)

C，(－2，1)

D，(－2，2)

分析：要确定“炮”的位置，关键在于建立合适的直角坐标系，而所谓合适的坐标系就是指坐标原点、坐标轴的选择与建立要满足“帅”和“相”所处位置的坐标，比如说原点显然不可能是“帅”的位置，从“帅”的坐标(1，－2)可知“帅”在第四象限，距离横轴2个单位，距离纵轴1个单位，这样。我们便可以建立起如图的坐标系，再根据如图的坐标系便可以顺利地确定出“炮”的位置是(－2，1)，故应选C。

由以上的解答不难看出题设中的“帅”和“相”的坐标只需告拆我们一个就可以了。

例3一群小孩子在操场上手拉手地围成一圈，组成了一个优美的图案，小明站在旁边发现他们当中八个人恰好站在拐角处的A、B、…、H点处，而且建立某个坐标系后可测得这八个点的坐标分另0是A(0，4)，B(－2，2)，c(－4，0)，D(－2，－2)，E(0，－4)，F(2，－2)，G(4，0)，H(2，2)。你知道这群孩子围成的图案是什么吗?请把它画出来。

分析：要知道由A、B、…、H点围成的图案，只需在坐标系中描出这些点的位置，然后用线把它们连接起来就可以了。如果你想知道这个优美的图案，请你自己动手吧!

秦皇岛店10-1促销方案篇4

国庆节活动方案

一、活动目的：

1．提升店铺人气，增加古珀行秦皇岛店的销售额

2．提高古珀行在当地的知名度，达到扩大市场份额的目的 3．提高古珀行在当地市场的美誉度，达到长期销售的目的

二、活动时间：

2011年10月01日—2011年10月07日

三、活动主题：

古珀行购物送大礼国庆优惠多

四、活动软文：

欢乐7天买“翡翠”送银饰买钻石送空调

古珀行让你乘兴而来满意而归

五、活动内容：

1.早进店早得礼大奖等您拿！

活动期间，凡持本店会员卡进店消费者（没会员卡，限前100名顾客），可免费获赠价值2元的中国福利彩票一张或红绳一条。数量有限送完为止 2.幸运乐翻天翻牌有奖

活动细则：凡顾客在店内消费金额满2000元（包括2000元）时获得一次翻牌机会，6000元以上（包括6000元）获得两次翻牌机会，翻牌有奖顾客可随意翻开设置于店内的广告牌，按照牌子上所写内容兑奖；奖品设置：

特等奖价值****元的钻石戒指

A类奖购买商品享受8.5折（或者免费办理金星会员卡）B类奖购买商品享受8.8折（免费办理银星会员卡）

C类奖购买商品享受9.5折（免费办理会员卡享受95折优惠）D类奖价值268元的珍珠项链、虎眼石手链、水晶手链（咱公司价格便宜的翡翠或者其它产品）

3.K金、银饰、翡翠、钻石、珍珠大优惠

A活动期间银饰购买满*****克，优惠****元，满1万元送*******。

B 钻石，满12999元送品牌空调一台；满8000元送微波炉一台；满5000元送银饰手镯；满3000元送电磁炉一台；满2000元送电饭煲一台；满1000元送女士钱包一个。

C翡翠1000元以上9.8折

D活动期间购买珍珠满****元，优惠***元或送*****。4.“国庆节”活动之“见证爱情”

凡于2011年10月01日——2011年10月07日举行婚礼的新婚夫妇，来我店内购买婚庆首饰者，可享受如下优惠：

（1）可获赠美容化妆品一套（只选其一，不可折现）。

（2）凡购满价值 10000 元人民币首饰者，我店赠送K金戒指一枚（或K金项链）。价值元（只选其一，不可折现）。

五、宣传策略

当地珠宝市场竞争激烈，可以借此活动宣传品牌知名度，再次加深古珀行在当地消费者心中的印象。

1、印制宣传单

时间：2011年09月15——2011年09月29日，派发宣传单：

1、市中心，小区等等地方。

2、宣传次数：活动之前持续发放。

2、广告内容：古珀行购物送大礼国庆优惠多

欢乐7天买“翡翠”送银饰买钻石送空调

古珀行让你乘兴而来满意而归

宣传单：印制活动宣传单页在店前派发（有条件还可在人流汇集区及社区派发），扩大活动影响力和宣传力度。

为了保证效果，凭宣传单活动期间到店内可领取精美礼品一份（红绳）。

3、店内广告

Ａ．店铺内背投电视播放促销信息发布或播放公司企业文化宣传片，在活动开始前可以录制相关的促销宣传片，放在大厅内重复播放．Ｂ．在店前做好活动宣传海报，在柜台安排咨询活动咨询员（如有条件可设立咨询电话）。〈三〉联系相关单位

1、联系相关礼品供应方，购买礼品。〈四〉制作宣传单：2011年

1、数量：不详，建议数量稍微大一点

2、宣传内容：古珀行秦皇岛店国庆优惠活动

〈五〉店面装饰：

1、门口活动指示牌一个；

2、店内音乐建议使用喜庆音乐；

〈六〉2011年9月29日底，所有准备工作完成；〈七〉人员配置：

六、活动所需物件汇总：

宣传单

七、活动实施注意事项:

〈十〉本次活动最终解释权归古珀行秦皇岛店所有。

八、物料统计说明

宣传单

3000份

促销内容吊旗

若干

促销内容

秦皇岛坐标系建立的解决方案篇5

1.1 GPS网在WGS—84坐标系中的平差

以所有独立基线构成同步异步环图形,以三维基线向量及其相应的方差协方差阵作为观测信息,进行GPS网的三维无约束平差,求得GPS网点在WGS—84坐标系中的大地坐标或空间直角坐标。同时,通过GPS网的三维无约束平差,以独立闭合环闭合差考察GPS网本身的内符合精度以及基线向量之间有无明显的系统误差和粗差[1]。

1.2 WGS—84平差坐标的高斯投影

WGS—84坐标系采用的椭球为WGS—84椭球,根据WGS—84椭球基准参数,选取测区适当的大地经度作为中央子午线,将WGS—84平差坐标进行高斯投影,转换成平面上的控制网坐标。在此过程中,参考椭球面上边长归算到高斯平面上会产生一定的变形。其变形值ΔS计算式为:

其中,S为参考椭球面上的边长;ym为归算边两端点的平均值;Rm为测取参考椭球面的平均曲率半径。

由变形公式可知,当高斯投影选择在测取的中央,投影时带来的变形几乎为零。由于WGS—84平差坐标到高斯投影转换未涉及我国的参心坐标系,也没有和国家控制网联测,因而不会受到转换参数求定误差影响和国家控制网内约束平差的影响[2]。所以保持了GPS相对差分定位的高精度特点。

1.3 投影面及独立参考椭球面的确定

在WGS—84平差坐标经高斯投影得到平面坐标的过程中,需要确定新的独立椭球体及合适的投影面,以保证将海拔高度带来的投影变形减小到误差要求范围内(如《工程测量规范》《城市测量规范》为2.5cm/km)。因此,选用地方独立椭球面必须与测区平均高程面或抵偿高程面相接近,才能保持GPS网在高斯平面上的边长与地面实测边长的一致性。而测取的平均高程可根据WGS—84三维平差坐标的大地高求得[3]。大地高H的计算式为:

其中,h正常为正常高;N为大地水准面差距。

2 实例研究

本文以南昌某镇公路改建项目为例,布设了GPSE级控制网。全网采用5台北极星9600型单频接收机观测,应用南方测绘仪器公司GPS后处理程序基线解算软件Gpsadj对原始数据进行基线向量解算。网图按边连式布设,共由11个点组成。

设地面实量边长归算到参考椭球面上的长度变形值为ΔD1,则:

其中,Hm为归算边高出参考椭球面的平均高程;D1为归算边的长度;R为归算边方向参考椭球的法截线的曲率半径。本测区平均高程为20m左右,长度变形值每千米约3mm(为负值)。

设将参考椭球面上的边长归算到高斯投影面上的变形影响为ΔD2,则有:

其中,D2为参考椭球面上的边长;ym为归算边两端点横坐标平均值;Rm为测区参考椭球面平均曲率半径。该测区平均纬度B=28°22′,Rm≈R=6 371km,ym=130km,每千米变形值ΔD2=+208mm。

以上两项投影变形值合起来为ΔD1+ΔD2=+205mm,即每千米变形值为+20.5cm,超过允许值(2.5cm/km)。因此不能采用国家坐标系,只能选择独立坐标系[4]。为确保建立较高的工程控制网,采用以下方法建立本测区独立坐标系。

1)在WGS—84坐标系中进行三维无约束平差,得到各控制点WGS—84的大地坐标B,L,H(如表1所示)。同时以独立闭合环闭合差检验GPS网的内部符合精度,根据平差结果,同步环坐标分量相对闭合差最小为0.1ppm,最大为2.4ppm,异步环坐标分量相对闭合差最小为0.3ppm,最大为5.1ppm。网中最弱点点位误差小于0.5cm。小于E级GPS控制网(≤15ppm)的要求,充分说明观测数据质量良好,可作为该测区的平面首级控制网。

2)根据GPS控制网三维无约束平差得到的各点的WGS—84的大地经纬度和WGS—84椭球的有关参数,取中央子午线经度为115°30′,投影面为WGS—84椭球。这样,将WGS—84椭球面上的工程控制网以高斯正形投影的方法投影到高斯平面上,变为平面上的控制网。此时,ym=15km,ΔD2=+3mm,ΔD1+ΔD2=0,完全满足规范要求。表1为GPS控制网WGS—84平差坐标系及地方独立坐标系坐标。

最后,为验证独立坐标反算边长与实地测量边长的一致性[5],用NIKON DTM 532全站仪(测距标称精度为±(2mm+2×10-6D))对GPS网中全部边长进行实测,经气象、加乘常数、倾斜改正后得到的结果列于表同时表中也列出了地方独立坐标系反算边长及响应基线长度改正后的边长。

从表2中看出,独立坐标反算边长与实测边长及基线改平后的边长非常接近,完全在误差所允许的范围内,说明建立的独立坐标系边长尺度与地方独立坐标系中应有的边长尺度相一致,从而保持了GPS网应有的高精度。

3 结语

GPS控制网的WGS—84平差坐标具有相对差分定位的高精度特点,选取适当的中央子午线和投影面经高斯投影建立地方独立坐标系,其边长尺度与地方独立坐标系中应有的边长尺度保持一致,从而保证了GPS工程控制网形的高精度。在小区域内,由此建立的地方独立坐标,既避免了联测地面网时因固有误差所产生的网扭曲变形又能够以高的精度满足工程需要。

参考文献

[1]许娅娅.全球定位系统(GPS)实时动态(RTK)技术在公路勘测设计中的应用研究[D].西安:长安大学,2006.

[2]黄坦.GPS在公路勘测设计中的应用[J].企业标准化,2004(5):92-95.

[3]李军.GPS动态技术在公路勘测设计中的应用研究[J].中南公路工程,2002(27):2.

[4]邓志坤.公路勘测设计中载波相位动态实时差分GPS的应用[Z].河南省第四届青年学术年会,2004.

秦皇岛坐标系建立的解决方案篇6

笛卡尔坐标系 (Cartesian coordinates) 是直角坐标系和斜角坐标系的统称.相交于原点的两条数轴, 构成了平面仿射坐标系.如两条数轴上的度量单位相等, 则称此仿射坐标系为笛卡尔坐标系.两条数轴互相垂直的笛卡尔坐标系, 称为笛卡尔直角坐标系, 否则称为笛卡尔斜角坐标系.

在平面直角坐标系中, 单位向量e1, e2是两个正交向量, 在斜角坐标系中, 单位向量e1, e2可以不是正交向量, 而可以由仿射坐标系的定义交成任何一个角.

0 引言

设向量e1, e2是平面内一组基底, 当λ1e1+λ2e2=0时, 恒有λ1=λ2=0.

在平面斜坐标系中, 记e1, e2为xOy平面上的单位向量, 则平面上任一向量m可表示为:m=xe1+ye2, 或者说:m= (x, y) .

1 建立仿射坐标系, 证明两个重要定理案例1 如图1, 设Ox, Oy是

平面内相交成60°角的两条数轴, e1, e2, 分别是与x轴、y轴的正方向相同的单位向量, 若向量 $\vec{Ο Ρ} = x e_{1} + y e_{2}$ , 则把有序数对 (x, y) 叫做向量 $\vec{Ο Ρ}$ 在xOy中的坐标, 假设 $\vec{Ο Ρ} = 3 e_{1} + 2 e_{2} .$

(Ⅰ) 计算 $| \vec{Ο Ρ} |$ 的大小;

(Ⅱ) 由平面向量基本定理, 本题中向量坐标的规定是否合理?

分析 (Ⅰ) 如图1, 过P作PM垂直Ox轴于 $Μ, Ρ X = 2, ∠ Ρ X Μ = 60 °, | Ρ Μ | = 2 * \sin 60 ° = \sqrt{3}, | X Μ | = 1$ , 所以

$| \vec{Ο Ρ} | = \sqrt{4^{2} + (\sqrt{3})^{2}} = \sqrt{19} .$

(Ⅱ) 则按照仿射坐标系的建立法则, 对于任意的向量 $\vec{Ο Ρ} = x e_{1} + y e_{2}$ , 规定的x, y都是唯一确定的, 所以向量的坐标表示是合理的.

案例2 在△ABC中, $\vec{A E} = 2 \vec{E B}, \vec{A F} = 3 \vec{F C}$ , 连接 $B F, C E . B F \cap C E = Μ, \vec{A Μ} = x \vec{A E} + y \vec{A F}$ , 则x-y等于 ( ) .

$(A) - \frac{1}{12} (B) \frac{1}{12} (C) \frac{1}{6} (D) - \frac{1}{6}$

分析如图2, 在△ABC所在的平面中, 建立仿射坐标系, 设A (0, 0) , B (3, 0) , C (0, 4) , E (2, 0) , F (0, 3) , 则在仿射坐标系下, 直线BF的方程为

x+y=3, (1)

直线CE的方程为

2x+y=4. (2)

由 (1) , (2) 可知M (1, 2) .

所以 $\vec{A Μ} = (1, 2)$ , 而 $\vec{A E} = (2, 0), \vec{A F} = (0, 3)$ , 于是由 $\vec{A Μ} = x \vec{A E} + y \vec{A F}$ 可知

(1, 2) =x (2, 0) +y (0, 3) = (2x, 3y) ,

即 $x = \frac{1}{2}, y = \frac{2}{3}, x - y = - \frac{1}{6}$ . 故选择D.

对于此题我们一般的常用解法是:

利用 $\vec{A Μ} = x \vec{A E} + y \vec{A F}$ , 结合平面向量的表示法则.

$\begin{array}{l} \vec{B Μ} = \vec{B A} + \vec{A Μ} \\ = - \frac{3}{2} \vec{A E} + x \vec{A E} + y \vec{A F} \\ = (x - \frac{3}{2}) \vec{A E} + y \vec{A F}, \\ \vec{B F} = \vec{B A} + \vec{A F} \\ = - \frac{3}{2} \vec{A E} + \vec{A F}, \end{array}$

由向量 $\vec{B Μ}$ 与 $\vec{B F}$ 共线可知:

$(x - \frac{3}{2}) \times 1 = - \frac{3}{2} \times y,$

即 2x+3y=3. (3)

同理

$\begin{array}{l} \vec{C Μ} = \vec{C A} + \vec{A Μ} \\ = - \frac{4}{3} \vec{A F} + x \vec{A E} + y \vec{A F} \\ = x \vec{A E} + (y - \frac{4}{3}) \vec{A F}, \\ \vec{C E} = \vec{C A} + \vec{A E} = \vec{A E} - \frac{4}{3} \vec{A F} . \end{array}$

由向量 $\vec{C Μ}$ 与 $\vec{C E}$ 共线可知:

$x \times (- \frac{4}{3}) = (y - \frac{4}{3}) \times 1,$

即 4x+3y=4. (4)

由 (3) (4) 知

$x = \frac{1}{2}, y = \frac{2}{3},$

于是 $x - y = - \frac{1}{6}$ .故选择D.

但相对于上述两种解法, 第1种解法方便快捷, 也不失一般性, 只要在教学之余让学生了解仿射坐标系建立及使用的一般性规律, 将会给问题解决带来很多便利之处.

下面, 我们借仿射坐标系证明两个重要定理.

案例3 (梅涅劳斯定理) 在△ABC的三边BC, CA, AB (或其所在直线) 上各取一点D, E, F.证明:若D, E, F三点共线, 则 $\frac{B D}{D C} \cdot \frac{C E}{E A} \cdot \frac{A F}{F B} = - 1$ (考虑线段的数量) .

证明如图3, 分别以BC及BA为x轴和y轴, 建立平面仿射坐标系, 设B (0, 0) , C (a, 0) , A (0, b) , D (x0, 0) , F (0, y0) , 那么在仿射坐标系下直线AC的方程为:

$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1, (1)$

直线DF的方程为:

$\frac{x}{x_{0}} + \frac{y}{y_{0}} = 1 . (2)$

则由 (1) , (2) 得

$\begin{array}{l} E (\frac{a x_{0} (b - y_{0})}{b x_{0} - a y_{0}}, \frac{b y_{0} (x_{0} - a)}{b x_{0} - a y_{0}}) . \\ \frac{C E}{E A} = \frac{\vec{C E}}{\vec{E A}} = \frac{x_{E} - a}{0 - x_{E}} = - \frac{y_{0} (a - x_{0})}{x_{0} (b - y_{0})}, \\ \frac{B D}{D C} = \frac{\vec{B D}}{\vec{D C}} = \frac{x_{0} - 0}{a - x_{0}} = \frac{x_{0}}{a - x_{0}}, \\ \frac{A F}{F B} = \frac{\vec{A F}}{\vec{F B}} = \frac{y_{0} - b}{0 - y_{0}} = \frac{b - y_{0}}{y_{0}} . \end{array}$

从而

$\begin{array}{l} \frac{B D}{D C} \cdot \frac{C E}{E A} \cdot \frac{A F}{F B} \\ = - \frac{y_{0} (a - x_{0})}{x_{0} (b - y_{0})} \cdot \frac{x_{0}}{a - x_{0}} \cdot \frac{b - y_{0}}{y_{0}} \\ = - 1 . \end{array}$

同理, 我们也可以在仿射坐标系下证明另一个重要定理:

案例4 (塞瓦定理) 已知G为△ABC所在平面上任一点, 连结AG, BG, CG, 分别交线段BC, CA, BA (或所在直线) 于D, E, F.则 $\frac{B D}{D C} \cdot \frac{C E}{E A} \cdot \frac{A F}{F B} = 1 .$

证明建立平面斜坐标系, 如图4, 设B, C, A, G的坐标分别为B (0, 0) , C (a, 0) , A (0, b) , G (c, d) , 则在平面斜坐标系下:

直线AB:x=0, (1)

直线BC:y=0, (2)

直线AC: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1, (3)$

直线AD: $y = \frac{d - b}{c} x + b, (4)$

直线BE: $y = \frac{d}{c} x, (5)$

直线CF: $y = \frac{d}{c - d} (x - a) . (6)$

由 (1) , (6) 得 $F (0, \frac{a d}{c - d}) .$

由 (3) , (5) 得 $E (\frac{a b c}{b c + a d}, \frac{a b d}{b c + a d}) .$

由 (2) , (4) 得 $D (\frac{b c}{b - d}, 0) .$

所以

$\begin{array}{l} \frac{B D}{D C} = \frac{\vec{B D}}{\vec{D C}} = \frac{b c}{a b - a d - b c}, \\ \frac{C E}{E A} = \frac{\vec{C E}}{\vec{E A}} = \frac{a d}{b c}, \\ \frac{A F}{F B} = \frac{\vec{A F}}{\vec{F B}} = \frac{a b - a d - b c}{a d}, \\ \frac{B D}{D C} \cdot \frac{C E}{E A} \cdot \frac{A F}{F B} \\ = \frac{b c}{a b - a d - b c} \cdot \frac{a d}{b c} \cdot \frac{a b - a d - b c}{a d} = 1 . \end{array}$

2 利用仿射坐标系求空间中的角与距离

2.1 两异面直线所成的角

如图5, 设异面直线AB, CD所成的角为 $α (α \in (0, \frac{π}{2}])$ , 则cos α $= | \cos < \vec{A B}, \vec{C D} > | = | \frac{\vec{A B} \cdot \vec{C D}}{| \vec{A B} | \cdot | \vec{C D} |} | .$

2.2 直线与平面所成的角

设直线PA与平面α (A∈α, P∉α) 所成的角为 $θ (θ \in [0, \frac{π}{2}])$ , 平面α的法向量为n, 如图6, 则

$\sin θ = | \cos < \vec{A Ρ}, n > | = | \frac{\vec{A Ρ} \cdot n}{| \vec{A Ρ} | \cdot | n |} | .$

2.3 二面角

设二面角α-l-β的大小为θ (θ∈ (0, π) ) , 平面α, β的法向量分别为m, n, 如图7, 则θ=<m, n>或θ=π-<m, n>.

案例5 如图8, 四棱锥P-ABCD中, 底面ABCD是正方形, 侧面PAD是边长为2的正三角形, 且侧面PAD与底面ABCD垂直, E为DP的中点.

(Ⅱ) 求异面直线AE与PB所成的角的大小;

(Ⅱ) 求直线BE与平面PCD所成的角;

(Ⅲ) 求二面角E-AC-D的大小.

解建立如图8所示的空间直角坐标系, 则

$(Ⅰ) A (0, 0, 0), B (2, 0, 0), Ρ (0, 1, \sqrt{3}), E (0, \frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}), \vec{B Ρ} = (- 2, 1, \sqrt{3}), \vec{A E} = (0, \frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ , 则

$\cos < \vec{B Ρ}, \vec{A E} > = \frac{\vec{B Ρ} \cdot \vec{A E}}{| \vec{B Ρ} | \cdot | \vec{A E} |} = \frac{\sqrt{6}}{4} .$

所以异面直线AE与PB所成的角为

$\begin{array}{l} \arccos \frac{\sqrt{6}}{4} . \\ (Ⅱ) C (2, 2, 0), D (0, 2, 0), \vec{C D} = (- 2, 0, 0), \vec{C Ρ} = (- 2, - 1, \sqrt{3}), \vec{B E} = (- 2, \frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}) . \end{array}$

设平面PCD的一个法向量n= (x, y, z) ,

则 ${\begin{cases} - 2 x = 0, \\ - 2 x - y + \sqrt{3} z = 0, \end{cases} {\begin{cases} x = 0, \\ y = \sqrt{3} z . \end{cases}$

取z=1, 得 $n = (0, \sqrt{3}, 1) .$

设直线BE与平面PCD所成的角为θ,

$\begin{array}{l} \sin θ = | \cos < \vec{B E}, n > | \\ = | \frac{\vec{B E} \cdot n}{| \vec{B E} | \cdot | n |} | = \frac{\sqrt{21}}{7} . \end{array}$

所以直线BE与平面PCD所成的角为 $\arcsin \frac{\sqrt{21}}{7} .$

$(Ⅲ) \vec{A E} = (0, \frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}), \vec{A C} = (2, 2, 0)$ , 设平面ACE的一个法向量n= (x, y, z) , 则

${\begin{cases} \frac{3}{2} y + \frac{\sqrt{3}}{2} z = 0, \\ 2 x + 2 y = 0, \end{cases} {\begin{cases} x = - y, \\ z = - \sqrt{3} y . \end{cases}$

取y=-1, 得 $n = (1, - 1, \sqrt{3}) .$

显然m= (0, 0, 1) 是平面ACD的一个法向量, 所以

$\cos < m, n > = \frac{m \cdot n}{| m | \cdot | n |} = \frac{\sqrt{15}}{5} .$

即二面角E-AC-D的大小为 $\arccos \frac{\sqrt{15}}{5} .$

2.4 求空间中的距离

2.4.1 两异面直线的距离

设异面直线a, b间的距离为d, AB是a, b的公垂线段, D, C分别是a, b上的一点, n是AB的方向向量 (如图9) , 则

$\begin{array}{l} \vec{A B} = \vec{A C} + \vec{C D} + \vec{D B}, \\ n \cdot \vec{A B} = n \cdot \vec{C D}, \\ d = | \vec{A B} | = | \frac{n \cdot \vec{C D}}{| n |} | . \\ 2.4.2 点到平面的距离 \end{array}$

设平面α外一点P到平面α的距离为d, 点A是平面α内任一点, n是平面α的法向量 (如图10) , 则

$\begin{array}{l} d = | \vec{A Ρ} | \cdot \sin ∠ Ρ A Ο \\ = | \vec{A Ρ} | \cdot \cos ∠ A Ρ Ο \\ = | \vec{A Ρ} | \cdot | \cos < \vec{A Ρ}, n > | \\ = | \vec{A Ρ} | \cdot \frac{| \vec{A Ρ} \cdot n |}{| \vec{A Ρ} | \cdot | n |} \\ = \frac{| \vec{A Ρ} \cdot n |}{| n |} . \end{array}$

案例6 如图11, 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a, E是AA1的中点.

(Ⅰ) 求异面直线BD与B1C间的距离;

(Ⅱ) 求点C1到平面BDE的距离.

解建立如图11所示空间直角坐标, 则

$(Ⅰ) D (0, 0 ‚ 0) ‚ B (a, a, 0), C (0, a, 0), B_{1} (a, a, a), \vec{D B} = (a, a, 0), \vec{B_{1} C} = (- a, 0, - a) .$

设DB, B1C的公垂向量n= (x, y, z) , 则

${\begin{cases} a x + a y = 0, \\ - a x - a z = 0, \end{cases} {\begin{cases} y = - x, \\ z = - x . \end{cases}$

令x=-1, 则n= (-1, 1, 1) .

又 $\vec{C B} = (a, 0, 0)$ , 所以异面直线BD与B1C间的距离

$\begin{array}{l} d = \frac{| n \cdot \vec{C B} |}{| n |} = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} a . \\ (Ⅱ) \vec{D E} = (a, 0, \frac{a}{2}) ‚ \vec{D B} = (a, a, 0) \end{array}$

, 设平面BDE的一个法向量n= (x, y, z) , 则

${\begin{cases} a x + \frac{a}{2} z = 0, \\ a x + a y = 0, \end{cases} {\begin{cases} y = - x, \\ z = - 2 x . \end{cases}$

取x=-1, 得n= (-1, 1, 2) .

又 $\vec{D C_{1}} = (0, a, a)$ , 所以点C1到平面BDE的距离

秦皇岛坐标系建立的解决方案篇7

在水利工程测量中,多数情况下工程所处位置地形复杂,交通不便,通视条件较差,采用以经纬仪、全站仪测量为代表的常规测量常常效率低下。随着GPS(全球卫星定位系统)的发展,因其具有“高精度、高效益、高可靠性、高自动化”的优势,在水利水电工程中得以广泛应用,现在农业部兵团勘测规划设计研究院多数水利工程测量都是采用GPS测量技术来完成,它采用的是WGS-84坐标系[2]。在中国,由于参考椭球和起算数据的不同,采用过多个坐标基准,主要有1954北京坐标系、1980西安坐标系、2000国家坐标系和WGS-84坐标系。前两个是参心坐标系,后两个是固心坐标系。由于他们采用不同的椭球体参数,所以地面上同一个点在不同的坐标系中有不同的坐标值。但国家坐标系的成果很难满足施工放样的要求,这是因为国家坐标系每个投影带(高斯投影)都是按一定的间隔(6°或3°)划分,由西向东有规律地分布。由于每项工程的建设地区不同,且国家坐标系统的高程归化面是参考椭球面,各地区的地面位置与参考椭球面都有一定的距离,这两项将产生高斯投影变形改正和高程归化改正,经过这两项改正后的长度不可能与实测的长度相等,这就需要建立地方独立坐标系,目的是减小高程归化与投影长度变形产生的影响,将它们控制在1个微小的范围,使计算出来的长度在实际应用时(如工程放样)不需要做任何的改正[1]。

为便于施工放样的顺利进行,要求由控制点坐标直接反算的边长与实地量得的边长,在长度上应该相等,即由上述两项归算改正而带来的变形或改正数,不得大于施工放样的精度要求。一般地,施工放样的方格网和建筑轴线的测量精度为1/5 000～1/20 000。因此,由归算引起的控制网长度变形应小于施工放样允许误差的1/2,即相对误差为1/10 000～1/40 000,也就是说,每公里的长度改正数,不应该大于10 cm～2.5 cm。

我们知道测距边长归化到参考椭球面上时,其长度会缩短△S1。

式中,△S1为长度缩短值,m;S为经垂线偏差改正后的平距,m;Hm为测距边两端点对于投影面的平均高程,m;Rm一般取经过测区心中央纬度的地球平均曲率半径,m;设Rm=6 378 140 m,显然要使测距边高程归化引起的长度相对变形不大于1/40 000,则Hm值应小于159.454 m。而参考椭球体上的大地线投影到高斯平面,其长度增长△S。

近似关系式为△S2/S=ym2/2Rm2,(3)

式中,△S2为长度增长值,m;S为参考椭球上改正后的大地线,m;ym测区中央离中央子午线的距离,m;同理要使测距边高程归化引起的长度相对变形不大于1/40 000,则ym值应小于45 100 m。

但如果测区高程大于159.454 m或者离中央子午线距离大于45 100 m,即当两次归化投影改正不能达到1/40 000要求时,为了保证工程测量结果的直接利用和计算方便,则需要采用适当的地方独立坐标系,同时为方便和国家网、高等级网之间转换,以及考虑今后控制网的后续发展,还应该将控制网与已知高等级国家控制点进行联测。

2 测区概况

测区地处新疆塔城地区中哈边境164团场,位于北纬46°50′～47°00′、东经82°45′～83°00′。行政隶属于塔城地区农九师164团场。附近有兵团D级控制点2个,库区面积约10 km2,偏离3度带84°中央子午线约80 km,测区平均高程824.866 m,地形起伏不大。该测区高程归化变形达到12.93 cm/km,高斯投影长度变形达到7.83 cm/km,综合变形值为5 cm/km。

2.1 抵偿高程面上的3度带高斯平面直角坐标系

抵偿高程面上的3度带高斯平面直角坐标系。利用高程归化边长缩短和高斯投影边长伸长的特点,两项改正值之和可以抵消一部分。在这种坐标系中,仍然采用国家3度带高斯正投影,但投影的高程面不是参考椭球面而是依据补偿高斯投影长度变形而选择的高程参考面。假设测区的平均高程相对于似大地水准面的正常高程为Hm,测区中心附近某点在3度带坐标系中的横坐标为ym,由

经过联测库区控制点高程和兵团控制网已知点推得Hm=820 m,测区中央离84°中央子午线距离约ym=79.811 km。可知:△H=500 m。

可知地面实测距离归算到820-500=320 m的高程面上,此时两项改正得到完全补偿。

解得△y=11.812 km及△y=-13.890 km,即由测区中心起限定最东边缘不得超过11.812 km,最西边缘不得超过13.890 km,此时抵偿坐标系的容许东西宽度为25.7 km,横坐标值为406.3 km～432.0 km。如果超过这个范围,虽然采用了抵偿坐标系,东西边缘的长度变形仍大于规定要求。由此可见,当测区远离3度带中央子午线,只有较小的测区才能选用抵偿坐标系。

2.2 任意带高斯正投影平面直角坐标系

任意带高斯正投影平面直角坐标系。在这种坐标系中,仍然把地面观测结果归算参考椭球面上,但投影的中央子午线不按国家的3度带划分,而是依据补偿高程面归算长度变形而选择的某一条子午线作为中央子午线,即保持Hm不变,由公式(4)得

同样,相对于测区即选择与该测区相距102.275km处的子午线作为中央子午线,此时两项改正数可以得到补偿。

该坐标系控制的最大距离用下式计算:

式中:Vs/S表示相对误差,取Vs/S=1/40 000,则:

上式说明,不改变高程投影面,只要将中中央子午线设在西离测区中央102 km位置,就可以保证在测区中央东西各距10 km范围内,两项改正之和小于1/4万,也就是说测区范围在92 km～112 km范围内。

2.3 具有高程抵偿面的任意带高斯正投影平面直角坐标系

具有高程抵偿面的任意带高斯正投影平面直角坐标系。这种坐标系,是指投影的中央子午线选在测区的中央,地面观测值归算到测区平均高程面上,按高斯正投影计算平面直角坐标。这是综合以上两种坐标系长处的一种任意高斯直角坐标系。

3 测区坐标系的选择

综上所述几种坐标系所产生的情况,本次库区范围控制测量采用南方测绘静态GPS,数据后处理软件为南方测绘GPS数据处理软件。首先在WGS-84坐标系统下进行无约束平差,分析基线向量、复测基线、异步环等信息。在满足规范和设计要求的条件下,分析已有资料可以看出测区地形起伏和测区范围不大,采用抵偿高程面上的3度带高斯平面直角坐标系完全满足要求,且避免了坐标换带的计算,是一种简单方便的方法。

4 起算数据的计算

根据计算,抵偿面的高程为320 m,抵偿面的位置确定后,就可以选择其中1个国家控制点作为“原点”,这里我们选择B201,保持它在国家30带内的国家统一坐标值(X0,Y0)不变,而将另一大地控制点B202的坐标(X,Y)换算到抵偿高程面相对应的坐标系中去,根据公式X’=X+(X-X0)×H抵/R,Y’=Y+(Y-Y0)×H抵/R求得B202的抵偿高程面坐标,这样,经过上式换算的大地控制点坐标就可以作为控制测量的起算数据,再加上经过四等水准测量获得的各控制点高程数据直接代入已知点坐标和高程在中央子午线为84度带下进行约束平差,这时候反算距离和实际测量距离刚好吻合,说明我们选择的坐标系和计算是正确的。

5 结语

独立坐标系统的建立主要考虑的是如何使高斯投影长度变形控制在允许的精度范围之内,从而达到精度要求,这时就需要对抵偿高程面的最佳位置以及中央子午线的最佳位置进行分析讨论。当采用抵偿高程面作投影面建立独立坐标系统时,不但要考虑测区距中央子午线的位置和测区的平均高程还要仔细分析测区的高低起伏情况以及测区的大小。当以测区中心为中央子午线建立独立坐标系统时应尽可能地下移投影面的位置,从而使测区范围尽可能地扩大。当测区由于过长而跨越几个投影带时,采用一个坐标系统就不能满足工程需要,这时就需要建立多个坐标系统,并且要进行相邻投影带之间的换带计算以达到多个坐标系统之间的统一。

摘要：结合生产实际详细介绍某水库独立坐标系建立的方法,综合考虑测区情况选择合适的方法建立起库区的测量控制网,并满足各方面的精度要求,为建立独立GPS控制网积累了宝贵的经验。

关键词：独立坐标系,投影,抵偿面,中央子午线,起算点

参考文献

[1]中国有色金属工业总公司.GB50026-93.工程测量规范[S].北京:中国计划出版社,1993.

[2]水利水电规划设计总院.SL197-97.水利水电工程测量规范[S].北京:中国水利水电出版社.1997.

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