脉冲扰动下不稳定型差分方程的稳定性

脉冲扰动下不稳定型差分方程的稳定性（精选2篇）

脉冲扰动下不稳定型差分方程的稳定性 篇1

脉冲扰动下不稳定型差分方程的稳定性

对一类不稳定型脉冲差分方程给出了其零解稳定的`充分条件,并且证明了这种稳定性是由于脉冲所引起的.

作 者：张勤勤 周展  作者单位：湖南大学,数学与计量经济学院,湖南,长沙,410082 刊 名：湖南大学学报(自然科学版)  ISTIC EI PKU英文刊名：JOURNAL OF HUNAN UNIVERSITY(NATURAL SCIENCES EDITION) 年，卷(期)： 29(3) 分类号：O29 关键词：脉冲   差分方程   稳定性  

脉冲扰动下不稳定型差分方程的稳定性 篇2

关键词：差分方程,平衡点,全局渐近稳定

1引言

文献[1]研究了高阶差分方程

xn+1=f (xn-s, xn-t) , n=0, 1, 2, …,

s>t, s, t∈{0, 1, 2, …}, (1)

其初始条件为x-s, x-s+1, …, x0∈ (0, +∞) , f满足:f (u, v) 关于u是递增的, 关于v是递降的.证明了这个结论:若f在I×I→I (令I=[a, b]) 上连续且满足:

(ⅰ) f (u, v) 在u上递增, 在v上递减;

(ⅱ) 当 (m, M) ⊂[a, b], 方程组有唯一解m=M.

则方程 (1) 有唯一平衡点$\overline{x}$, 且方程 (1) 的点都收敛于$\overline{x}.$

受如上问题的启发, 本文考虑了定理中函数f的另一种情形, 并得出了有关结论.

2主要结论

定理 令I=[a, b], 假设f在I×I→I上连续且满足:

(ⅰ) f (u, v) 在u上不增, 在v上不减;

(ⅱ) 当 (m, M) ∈[a, b], 方程组有唯一解m=M.

则方程 (1) 有唯一平衡点$\overline{x}$, 且方程 (1) 的点都收敛于$\overline{x}.$

证明 考察如下差分系统

$\{\begin{array}{l}m{}_n=f({\rm M}{}_{n-1}‚m{}_{n-1})‚\\ {\rm M}{}_n=f(m{}_{n-1}‚{\rm M}{}_{n-1})‚\end{array}$

其中m0=a, M0=b.

由函数的单调性知

m1=f (M0, m0) ≥m0,

M1=f (m0, M0) ≤M0,

由数学归纳法进一步有:n=1, 2, …

a≤mn-1≤mn≤b,

a≤Mn≤Mn-1≤b.

由单调有界原理知数列{mn}{Mn}都收敛, 设$\underset{n\to \infty }{{\displaystyle \lim }}m{}_n=m‚\underset{n\to \infty }{{\displaystyle \lim }}{\rm M}{}_n={\rm M}$, 则 (m, M) ⊂[a, b].由f的连续性知

因此$m={\rm M}=\overline{x}$, 则$\overline{x}=f(\overline{x}‚\overline{x}).$

即差分方程 (1) 有一个平衡点.

下证对任意自然数n有下面的式子成立

$\{\begin{array}{l}m{}_{n+1}\le x{}_{n(s+1)+1}\le {\rm M}{}_{n+1}‚\\ m{}_{n+1}\le x{}_{n(s+1)+2}\le {\rm M}{}_{n+1}‚\\ \cdots \\ m{}_{n+1}\le x{}_{(n+1)(s+1)}\le {\rm M}{}_{n+1}‚\end{array}(2)$

利用数学归纳法证明.当k=0时, 由于

m1=f (M0, m0) =f (b, a)

≤x1=f (x-s, x-t)

≤f (a, b) =f (m0, M0) =M1,

m1=f (M0, m0) =f (b, a)

≤x2=f (x1-s, x1-t)

≤f (a, b) =f (m0, M0) =M1,

…

m1=f (M0, m0) =f (b, a)

≤xs+1=f (x0, xs-t)

≤f (a, b) =f (m0, M0) =M1.

即k=0时成立.

假设n=l时结论成立, 即就是

ml+1≤xl (s+1) +1≤ML+1,

ml+1≤xl (s+1) +2≤ML+1,

…

ml+1≤x (l+1) (s+1) ≤ML+1.

那么当n=l+1时, 由函数f的单调性以及数列{mn}{Mn}的单调性, 有

ml+2=f (Ml+1, ml+1) ≤x (l+1) (s+1) +1

=f (xl (s+1) +1, xl (s+1) +1+s-t)

≤f (ml+1, Ml+1) =Ml+2,

ml+2=f (Ml+1, ml+1) ≤x (l+1) (s+1) +1

=f (xl (s+1) +2, xl (s+1) +2+s-t)

≤f (ml+1, Ml+1) =Ml+2,

…

ml+2=f (Ml+1, ml+1) ≤x (l+2) (s+1)

=f (x (l+1) (s+1) +2, x (l+1) (s+1) +s-t)

≤f (ml+1, Ml+1) =Ml+2.

即当n=l+1时, 结论成立.

由 (2) 式及数列{mn}{Mn}的性质得$\underset{n\to \infty }{{\displaystyle \lim }}x{}_n=\overline{x}$.证毕!

参考文献

[1]樊永红, 王琳琳.一类高阶差分方程的全局渐近稳定性[J].兰州大学学报 (自然科学版) , 2008, (S1) :174-175.

[2]FEUER J, JANOWSKIEJ, LADAS G.Lyness-type equation in the third quadrant[J].Nonlin-ear Anal, 1997, 30 (2) :1183-1189.

[3]DeVault R, kosmala W, Ladas Gand Schultz SW.Global behavior ofyn+1= (p+yn-k) / (qyn+yn-k) [J].Nonliear Analysis TMA, 2001, 47:4743-4751.