描写解数学题的作文

2024-10-20

描写解数学题的作文（共13篇）

描写解数学题的作文篇1

解数学题550字作文

“一条河水流速度为每小时4千米，船在静水中每小时行16千米，这条船从甲地顺流而行。6小时到达乙地，问这条船从乙地返回甲地需要几小时?”这道题，乍眼一看，感觉一头雾水，有点“丈二和尚摸不着头脑”(虽然我上过奥数班，但是，还是要思考一下的)。

嗯，这道题是“行船”问题，此题，用“行船”问题的公式可以“套”出来。根据已知条件可以求出顺水速度，如果要求出答案，还要知道路程、时间。现在就来说一下我解这道题的思路吧!

先求顺水速度：4+16=1+16)*6/(16―4)

=20*6/12

=120/12

=10(小时)

答：这条船从乙地返回甲地需要10小时。

解完后，我把书桌上的`奥数书随手翻了一下，一看，我的方法是对的。我豁然开朗，大声喊：“我又攻破了一道题”。妈妈听后说：“好样的”。

通过做这道题，我得到了一个启示：解数学题，只要有清晰的思路，没有什么题，我们做不出来。

描写解数学题的作文篇2

解题中往往受思维定势或粗心大意等因素的影响, 导致解答不正确.因此在解题后需要对解题的正确性进行反思.

1. 反思解题过程与结果的准确性

教师要引导学生复查求解过程和结果有无错误, 指出容易出错的地方, 促使学生养成做题后检查的好习惯。

2. 反思解答的全面性

学生做题易发生以偏概全或漏解的错误, 在教学中要引导学生反思解答是否全面, 有无丢解现象。

3. 反思结果与题设的协调性

学生在求出结果后, 就以为解题结束, 不再去推敲求得的结果是否与题设吻合, 这是学生解题失误的原因之一。教师应在解题教学中恰当引导, 如“已知一个等腰三角形周长为18, 它的一条边长为4, 求另两边长.”很多学生都能分两种情况讨论, 即当4为底边长时, 求得腰长为7;当4为腰长时, 求得底边长为10.此时教师应提醒学生思考“两种情况是否都能构成三角形”?让学生在反思中汲取教训, 吃一堑, 长一智。

二、反思思维迁移

1. 反思引伸、推广

不失时机地引导学生将某些题目适当引伸、推广, 可以激发学生的求知欲望, 培养学生自觉探究的良好习惯, 从而培养学生的创新思维能力.

如已知四边形ABCD中E、F、C、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.求证四边形EFGH是平行四边形.

证完后, 可引伸为:四边形ABCD不是一般的四边形, 而是特殊的四边形, 如分别是等腰梯形、矩形、菱形、正方形, 那么四边形EFGH又分别是什么四边形呢?

得出结论后还可进一步推广:此四边形若分别为 (1) 对角线相等; (2) 对角线互相垂直; (3) 对角线既相等又互相垂直, 又分别能得到什么结论呢?

通过这样的反思就把结论从特殊推广到一般情况了。

2. 反思题目间的联系与区别

例1.已知△PAD中, B是AD上的一点, 若∠APB=∠D.

求证PA2=AB·AD.

发现该题的结论与射影定理非常类似, 都有结论PA2=AB·AD, 但不同的是 (1) 射影定理的条件比较特殊:∠APD=Rt∠、PB⊥AD, 而本题没有这么特殊; (2) 射影定理还有另外结论PD2=DB·AD、PB2=AB·BD, 而对本题不能得到此结论。可以引导学生再探索在AD上能否找到一点C, 使PD2=DC·AD成立呢?应满足什么条件?答案是:∠DPC=∠A;再探索若满足条件的B、C重合时, 是否一定有∠APD=Rt∠、PB⊥AD呢?经讨论答案是肯定的。还可引导学生回忆曾做过这样一个题目:已知∠DPC=∠A, PB=PC, 求证PB2=AB·CD (或PC2=AB·CD) .经过这样的反思, 学生对本题的认识得到了升华。

3. 反思一题多解

一道题做完后, 再引导学生反思能否从另外角度或途径去分析、思考, 从而寻找多种方法求解, 寻找最佳解题方案。通过这样反思不但使学生对问题有更深层次的理解, 而且开阔了学生的视野, 使学生的思维朝着灵活、精细和新颖的方向发展。

例2.二次函数的图象过点 (-1, 0) , (3, 0) , (1, 5) 三点, 求其解析式。

解法1:设其解析式为y=ax2+bx+c (一般式) , 因图象过已知的三点, 所以有

完成后, 让学生反思还有没有另外的解法。学生通过观察、分析、讨论发现 (-1, 0) 、 (3, 0) 这两个点在x轴上, 即二次函数的图象与x轴有两个不同的交点, 这样可设交点式。

解法2:设其解析式为y=a (x+1) (x-3) , 因图象还过已知点 (1, 5) , 所以, 有5=a (1+1) (1-3) , 得a=-5/44

∴所求的解析式为y=-5/4 (x+1) (x-3) .

还有些学生发现 (-1, 0) , (3, 0) 是该抛物线与x轴的交点, 所以它们一定是一对对称点, 从而对称轴为x=-1/2 (-1+3) =1, 即直线x=1, 而第三点 (1, 5) 又在对称轴直线x=1上, 所以 (1, 5) 是此抛物线的顶点, 于是可设顶点式解析式为y=a (a-1) 2+5, 再将 (3, 0) 代人, 求得a=-5/4, 所以所求的解析为y=-5/4 (x-1) 2+5.

再让学生思考这三种方法哪种最优。

4. 反思一题多变

在复习课上引导学生一题多变可以使学生对知识掌握得更加系统。

例3.如图1, 河对岸有水塔AB.在C处测得塔顶A的仰角为30°, 向塔前进12m到达D点, 在D处测得A的仰角为45°, 求塔高。

变式1:从点A看一高台上的电线杆QP (图2) , 顶端P的仰角45°, 向前走了6m, 到B点, 测得其顶端P和杆底Q的仰角分别为60°和30°, 求电线杆PQ的高。

这题是变求原题中的“AB”为求“AB”中的一段。

变式2:一般轮船以20海里/小时的速度向正北方向航行, A观察站第一次测得轮船在南偏东30°的C点, 2小时后又测得该船在A站的南偏东45°的D处, (图3) 问几小时后船在A站的正东方向?

这题仅仅把仰角、俯角变为方向角, 把求“AB”变为求“DC”.

变式3:两建筑物的水平距离BD为32.6m (图4) , 从A点观测到D点的俯角为35°, C点的俯角为43°, 求这两个建筑物的高.

这题相当于把原题目改变为已知“AB”, 求“CD”.

变式4:两建筑物AB, CD (AB>CD) (图4) , 从C测得点A的仰角α=55°, 点B的俯角β=30°, 已知AB和CD相距100m, 求AB、CD的高度。

此题相当于把变式3中由“A”点引出的两个俯角改为仰角。

变式5:为了测量园内一棵不可攀的树的高, 现在提供选用的测量工具有 (1) 皮尺一根; (2) 教学用三角板一副; (3) 长为2.5米的标杆一根; (4) 高度为1.5米的测角仪 (能测量仰角、俯角的仪器) 一架。请根据你所设计的测量方案, 回答下列问题:

(1) 在你设计的方案中, 选用的测量工具是 (用工具的序号填写) ________;

(2) 在图5中画出你的测量方案示意图;

(3) 你需要测得示意图中哪些数据, 并分别用a, b, c, d, β等表示测得的数据

(4) 写出求树高的算式:AB=__________.

变式6:如图6, A、B是两幢地平高度相等, 隔岸相望的建筑物, B楼不能到达, 由于建筑物密集, 在A的周围没有开阔地带, 为了测量B的高度只能充分利用A楼的空间, A的各层都可到达且能看见B, 现仅有的测量工具为皮尺和测量器 (皮尺可用于测量长度, 测角器可以测量仰角或两视线间的夹角) 。

(1) 请你设计一个测量B楼高度的方案, 简要写出测量方法和必须的测量数据 (用字母表示) , 并画出测量图形。

(2) 用你测量的数据 (用字母表示) , 写出计算B楼高度的表达式。

变式5、6是操作性的开放题, 其中最主要的解法是利用前面几题的解法。

变式7:某型号飞机的机翼如图7, 根据图示尺寸 (单位:m) , 求AC、BD和AB的长。

此题的解法与变式6的解法类似。

5. 反思多题一解

解完一个题目后, 再反思以前是否有过与此题解法相同, 但类型不同的题目, 特别是初三最后复习阶段, 对培养学生举一反三、触类旁通的能力起着很大作用。

例4.K取何值时, 方程-2x2+ (4k+1) x-2k2+1=0没有实数根?

因为当根的判别式小于零时, 一元二次方程没有实数根, 所以令△<0,

即△= (4k+1) 2-4× (-2) × (-2k2+1) <0, 得k<-9/88

解完此题后可引导学生反思, 在你所解过的题目中与此题解法相同, 但不是一元二次方程的题目有吗?请举几个例子, 学生举出了如下例子:

(1) k取何值时, 二次三项式-2x2+ (4k+1) x-2k2+1的值总是负数?

(2) k取何值时, 不等式-2k2+ (4k+1) x-2k2+1<0恒成立?

(3) k取何值时, 二次函数y=-2x2+ (4k+1) x-2k2+1的图象始终在x轴的下方?

(4) k取何值时, 二次函数y=-2x2+ (4k+1) x-2k2+1的图象与x轴没有交点?

6. 反思与实际生活之间的联系

近几年来的中考数学试卷中充满着浓浓的生活气息, 从小处看, 涉及到学生生活的方方面面;从大处看, 涉及国民经济、国民的生存环境等方面.新课程标准中强调学生的数学活动, 发展学生应用意识, 其中要求:面对新的数学知识时, 能主动地寻找其实际背景, 并探索其应用价值.因此, 要求教师在上课时, 要指导学生在解题后反思在实际生活中的应用.

如在学完求解扇形面积后, 让学生反思在实际生活中见过的扇形, 请举出例子, 并编制一个实际应用题, 让其他同学做一做.

有学生举出这样一个例子:“小明家每天把羊用绳子拴在一个顶角为120°角的等腰三角形池塘的顶角处的草地上吃草, 羊所能吃到草的范围就是一个扇形, 所以喝到水的范围也是一个扇形, 如果绳长5m, 求羊能喝到水和吃到草的面积各是多少?”

学生解得:

我又引导学生反思, 求出的结果完全正确吗?有学生经过反思, 提出如下问题: (1) 如果这个三角形的腰长小于或等于5m长, 则吃到草的面积为半径为5m的圆的面积减去等腰三角形的面积, 喝到水的面积为等腰三角形的面积; (2) 如果这个三角形的腰长大于5m而且小于10m, 则吃到草的面积等于半径为5m, 圆心角为240°的扇形面积加上池塘对面的一块弓形地的面积, 而喝到水的面积等于半径为5m, 圆心角为120°的扇形面积减去池塘对面的一块弓形地的面积.因此, 还得量出此池塘的腰长方可求解, 而且后一种情况答案不好求。另外, 羊喝到水的面积理论上可按上述方法计算, 但实际上还需考虑池塘水深、羊是否会走进池塘内等因素。

培养学生解数学题的能力篇3

解题是学好数学的必由之路，但是不同的解题指导思想会有不同的解题效果。养成对自己的解题过程进行反思的习惯是具有正确的解题思想的体现。例如：分类讨论的思想最初见于有理数概念的引入，并在以后各章节内容中不断加强这种思想。如绝对值性质的讨论，二次根式的化简，一元二次方程根的情况，三角形的分类，四边形的分类等等。

尤其是到了初三《圆》这一章，渗透分类讨论思想的内容就更丰富。具体体现在以下几个方面：许多概念都涉及到分类的思想，如点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系、圆与圆的位置关系;在定理中强化分类意识，如圆周角与弦切角定理的证明;此外，课本安排了不少分类讨论的习题，通过对具体问题的解决，培养学生的分类意识与方法。实际上，在圆这部分知识中，由于圆是轴对称图形，有关圆的计算题，都不得必须根据对称性进行分类求解。因此，在教学过程中，应充分结合这些知识，渗透分类的思想，明白分类的必要性，明白分类的标准必须相同，分类的原则应不重复、不遗漏。

对问题的理解进行反思，对有联系的问题进行反思

解题后，对数学问题由此及彼地联想，其中，有时要对问题追根溯源，多问几个“为什么”?有时是从一个问题联想到与它形式不同但实质完全一样的多种叙述或表达方式，这样，就能培养我们抓住问题实质的本领，培养思维的连动性、流畅性和变通性。解题后对问题本质进行重新分析，在将思维由个别推向一般的过程中使问题深化，使问题的抽象程度不断提高。例如，在上“长方体物体包装设计”时，通过让学生自主设计一个体积是24立方厘米的长方体包装盒，汇报种.种情况，再变动数据，再次设计。最后引导学生反思：“如何设计，包装盒所需的材料会更省些?”学生通过观察、联想，从中寻找内在联系，发现长、宽、高越接近，所需的材料就越省。这样的反思，可使学生思维的抽象程度提高，这比解决出结果意义更加重要。

《解比例》数学的教学反思篇4

这样自然就引出了解比例。掌握解比例的方法是教材的一个难点，因为解比例的方法与解一般方程的方法是有所区别的，解比例的方法是：根据比例的基本性质解比例，先把比例转化成内项乘积与外项成积相等的形式(即方程)，再通过解方程来求未知项的值。

在教学中我采用的是独立解决的方法，让学生独立解决，求出相应的未知数的值，学生从个别到一般，从具体到抽象，认本课时新内容不多，主要把新知识融入学生原有认知结构中，依靠学生已掌握的知识自己探索解决问题的方法，所以在本课设计时重点展示如何将新知识(解比例)转化成学生原有知识(解方程)的过程。

并且这个转化过程完全建立在学生的自主探索上，教学中运用“同学们能运用原来学习的知识求出34∶12=x∶49中x的值吗?”的提问，密切新旧知识之间的联系，建立用原有知识推动新知识学习的策略，然后运用“独立思考—相互交流—归纳总结”的学习方式，把学生推上学习的主体地位，使学生参与学习的全过程，帮助学生获得成功体验。

不足之处：

1、30分钟不够用，练习较少。

描写解数学题的作文篇5

胡老师有着一双水葡萄般迷人的眼睛，一头棕色的披肩发，挺高的鼻梁，弯弯的眉毛，涂满唇釉的嘴巴，看起来超级美，让人见了，有种想叫妈妈的感觉。

老师穿裙子时显得优雅美丽，老师穿西装时显得严肃而有气质，老师穿休闲衣时显得简单大方，总之，在我的眼里胡老师什么都很美。

刚进入小学，第一次上课，我很害怕回答问题，上课紧张得全身发抖，希望老师千万不要叫我。不知是胡老师看透了我的心思还是怎么，真就叫中了我，我站起来结结巴巴，而且声音小的像蚊子。本以为老师会批评我，没想到胡老师对我说：“回答正确，如果声音大一些会更好。”从此以后，我不仅不怕回答问题，而且每节课上，都能听到我悦耳的声音。我的这种改变正是来自于胡老师对我的相信和鼓励。

记得有一次，胡老师走进教室，一张嘴说话，声音嘶哑，就知道老师喉咙发炎了，但是老师依旧像往常一样认真地给我们上完了整堂课。此刻，我真想对老师说：“老师，您带病上课，无私奉献的精神真让我感动。”

构造法在解数学题中的应用篇6

但是, 高中数学中某些问题, 直接推理有时不能顺利进行, 因此需要寻求某种中介工具沟通条件与结论的联系.解题的中介工具往往, 往往隐含在题设条件中, 需要解题者去发现、去解释、去构造.这种通过构造题目本身所没有的解题中介来解题的方法, 就是构造法.

本文主要从构造函数、方程、代数式三个方面来探究构造法在解题中的应用.

1.构造函数

分析此方程是超越方程, 不能直接求解, 可以先对方程两边取对数再作变形求解.

令, 易证f (x) 在 (0, +∞) 上是增函数, 且为奇函数,

所以f (x) 在R上为增函数.

例2设x1, x2, x3, y1, y2, y3∈R且满足x21+x22+x23≤1, 求证: (x1y1+x2y2+x3y3-1) 2≥x21+x22+x23 (-1) (y21+y22+y23-1) .

证明当x21+x22+x23=1时原不等式显然成立;当x21+x22+x23<1时, 构造二次函数f (t) = (x21+x22+x23-1) t2-2 (x1y1+x2y2+x3y3-1) t+ (y21+y22+y23-1) = (x1t-y1) 2+ (x2t-y2) 2+ (x3t-y3) 2- (t-1) 2.

这是开口向下的抛物线, 又f (1) = (x1-y1) 2+ (x2-y2) 2+ (x3-y3) 2≥0.

所以抛物线与x轴一定有交点.

2.构造方程

解观察方程组的三个方程形状、特征启发构造一个三次方程t3+z t2+yt+x=0, 其中a, b, c是其三个根, 而a, b, c又是方程 (t-a) (t-b) (t-c) =0的三个根, 将后一个方程展开得t3- (a+b+c) t2+ (ab+bc+ca) t-abc=0, 比较这两个三次方程的系数得x=-abc, y=ab+bc+ac, z=- (a+b+c) .

3.构造代数式

例4已知α, β是方程x2-7x+8=0的两根且α>β, 不解方程求的值.

分析由韦达定理易知α+β=7, αβ=8, 但由很难化成韦达定理的形式, 若由联想到构造对偶式, 问题就能巧妙解决.

解由达定理易知α+β=7, αβ=8, 设, 易求出

我们在解答数学题时, 关键在于分析问题的结构, 发现题设与结论之间的必然联系, 从而构造出相应的数学模型.当解题者陷入“泥潭”时, 应用构造法往往可以达到“山穷水尽疑无路, 柳暗花明又一村”的效果.本文仅仅列举构造法三个方面的简单应用, 当然, 还可以构造复数模型、解析几何模型、对应关系、辅助命题等进行解题, 有兴趣的读者可以阅读相关的文献, 限于篇幅, 这里就不一一赘述.

参考文献

[1]陈传理, 张同君.竞赛数学教程[M].北京;高等教育出版社, 1996, 10.

[2]朱华伟, 钱展望.数学解题策略[M].北京;科学出版社, 2009, 8.

[3]黄宛徽.数学竞赛中的模型十种[J].浙江师大学报, 1995 (8)

初一数学解方程方法篇7

02、综合法：综合法就是从题目中已知条件出发，逐步推算出要解决的问题的思考方法。

03、分析、综合法：一方面要认真考虑已知条件，另一方面还要注意题目中要解决的问题是什么，这样思维才有明确的方向性和目的性。

04、分解法：把一道复杂的应用题拆成几道基本的应用题，从中找到解题的线索。

05、图解法：图解法是用画图或线段把题目听条件和问题明确地表示出来，然后“按图索骥”寻找解答应用题的方法。

06、假设法：假设法就是解题时，对题目中的某些现象或关系做出适当的假设，然后，用事实与假设之间的矛盾中找到正确的解题方法。

例：冰箱厂生产一批冰箱，原计划每天生产800台，而实际每天比计划多生产了120台，结果比原计划提前3天完成了任务。实际用了多少天?解法一：(800+120)×3÷120—3=20(天)(这是一种常规的解法);解法二：假设原计划少生产3天，则共少生产了800×3=2400台冰箱。这时计划生产的天数就等于实际生产的天数，造成少生产2400台的原因是每天计划比实际少生产120台，所以实际生产天数为：2400÷120=20(天)即列式为：800×3÷120=20(天)。

07、转化法：转化方法就是把某一个数学问题，通过数学变换，转化成另一个数学问题来处理，然后把它解答出来的方法。

例：一辆货车从甲城开往乙城需10小时，一辆客车从乙城开往甲城需6小时，两车同时出发，相向而行，已知甲、乙两城相距600千米，几小时后两车相遇?解法一：600÷(600÷10+600÷6)解法二：把两地路程看作单位“1”，货车的时速是1/10，客车的时速是1/6，依然是用路程除以速度和，得到相遇时间：1÷(1/10+1/6)

08、倒推法(还原法)：从条件的终结状态出发，运用加与减、乘与除之间的互逆关系，从后向前一步一步地推算，从而解决问题的方法，称为倒推法或还原法。

例：某仓库货物若干袋，第一次运出了1/3少4袋，第二次运出余下的一半少2袋，库中还剩106袋，仓库原有货物多少袋?【(106—2)×2—4】÷(1—1/3)=306(袋)

09、找对应关系的方法：在某些数学题中，存在着一些相关的对应量，通过分析条件之间的某些数量的对应关系，实现未知向已知的转化，这种思考方法，可称为“对应法”。

例：一本书，第一天读了32页，第二天读了40页，剩下的页数占全书页数的1/4。这本书还剩下多少页没有读?(找出各相关对应量)

六年级数学解比例试题篇8

一、对号入座。

1、35:=20÷16==()%=()(填小数)

2、因为X=2Y，所以X：Y=()：()，X和Y成()比例。

3、一个长方形的长比宽多20%,这个长方形的长和宽的最简整数比是()。

4、向阳小学三年级与四年级人数比是3:4，三年级人数比四年级少()%四年级比三年级多()%

5、甲乙两个正方形的边长比是2:3，甲乙两个正方形的周长比是()，甲乙两个正方形的面积比是()。

6、一个比例由两个比值是2的比组成，又知比例的外项分别是1.2和5，这个比例是()。

7、已知被减数与差的比是5:3，减数是100，被减数是()。

8、在一幅地图上量得甲乙两地距离6厘米，乙丙两地距离8厘米;已知甲乙两地间的实际距离是120千米，乙丙两地间的实际距离是()千米;这幅地图的比例尺是()。

9、从2:8、1.6:和:这三个比中，选两个比组成的比例是()。

10、一块铜锌合金重180克，铜与锌的比是2:3，锌重()克。如果再熔入30克锌，这时铜与锌的比是()。

二、明辨是非。

1、一项工程，甲队40天可以完成，乙队50天可以完成。甲乙两队的工作效率比

是4：5。()

2、圆柱体与圆锥体的体积比是3：1，则圆柱体与圆锥体一定等底等高。()

3、甲数与乙数的比是3：4，甲数就是乙数的。()

4、比的前项和后项同时乘以同一个数，比值不变。()

5、总价一定，单价和数量成反比例。()

6、实际距离一定，图上距离与比例尺成正比例。()

7、正方体体积一定，底面积和高成反比例。()

8、订阅《今日泰兴》的总钱数和份数成正比例。()

三、选择题。

1、把一个直径4毫米的手表零件，画在图纸上直径是8厘米，这幅图纸的比例尺是()。

A、1：2B、2：1C、1：20D、20：1

2、已知=1.2、=1.2，所以X和Y比较()。

A、X大B、YC、一样大

3、如果A×2=B÷3，那么A：B=()。

A、2：3B、3：2C、1：6D6：1

4、一个三角形的三个内角的度数比是2：3：4，这个三角形是()。

A、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形

5、体积和高都相等的圆柱体和圆锥体，它们底面积的比是()。

A、1：3B、3：1C、1：6D、6：1

6、配置一种淡盐水，盐占盐水的5%，盐与水的比是()。

A、1：20B、1：21C、1：19

四、破解密码。

：=X：36=

五、解决问题。

1、修路队修一条公路，已修部分与未修部分的比是5：3，又知已修部分比未修部分长600米，这条路长多少米?

2、一块直角三角形钢板用1:200的比例尺画在图上,两条直角边共长5.4厘米,它们的比是5:4.这块钢板的实际面积是多少?

3、学校图书馆的科技书、文艺书和故事书共1本，其中科技书占，科技书与故事书的比是2：3，故事书有多少本?

4、小明读一本书，已经读了全书的，如果再读15页，则读过的页数与未读的页数的比是2:3，这本书有多少页?

5、每条男领带20元，每支女胸花10元，某个体商店进领带与胸花件数比是3∶2，共值4000元。领带与胸花各多少?

【参考答案】

一、对号入座

1、35:(28)=20÷16==(125)%=(1.25)(填小数)

2、因为X=2Y，所以X：Y=(8)：(1)，X和Y成(正)比例。

3、一个长方形的长比宽多20%,这个长方形的长和宽的最简整数比是(6:5)。

4、向阳小学三年级与四年级人数比是3:4，三年级人数比四年级少(25)%四年级比三年级多(33.3)%

5、甲乙两个正方形的边长比是2:3，甲乙两个正方形的周长比是(2:3)，甲乙两个正方形的面积比是(4:9)。

6、一个比例由两个比值是2的比组成，又知比例的外项分别是1.2和5，这个比例是(1.2:0.6=10:5)。

7、已知被减数与差的比是5:3，减数是100，被减数是(250)。

8、在一幅地图上量得甲乙两地距离6厘米，乙丙两地距离8厘米;已知甲乙两地间的实际距离是120千米，乙丙两地间的实际距离是(160)千米;这幅地图的.比例尺是(1:2000000)。

9、从2:8、1.6:和:这三个比中，选两个比组成的比例是(2:8=:)。

10、一块铜锌合金重180克，铜与锌的比是2:3，锌重(108)克。如果再熔入30克锌，这时铜与锌的比是(12:23)。

二、明辨是非。

1、一项工程，甲队40天可以完成，乙队50天可以完成。甲乙两队的工作效率比是4：5。(×)

2、圆柱体与圆锥体的体积比是3：1，则圆柱体与圆锥体一定等底等高。(×)

3、甲数与乙数的比是3：4，甲数就是乙数的。(√)

4、比的前项和后项同时乘以同一个数，比值不变。(×)

5、总价一定，单价和数量成反比例。(√)

6、实际距离一定，图上距离与比例尺成正比例。(√)

7、正方体体积一定，底面积和高成反比例。(√)

8、订阅《今日泰兴》的总钱数和份数成正比例。(√)

三、选择题。

1、把一个直径4毫米的手表零件，画在图纸上直径是8厘米，这幅图纸的比例尺是(D)。

A、1：2B、2：1C、1：20D、20：1

2、已知=1.2、=1.2，所以X和Y比较(A)。

A、X大B、YC、一样大

3、如果A×2=B÷3，那么A：B=(C)。

A、2：3B、3：2C、1：6D6：1

4、一个三角形的三个内角的度数比是2：3：4，这个三角形是(A)。

A、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形

5、体积和高都相等的圆柱体和圆锥体，它们底面积的比是(A)。

A、1：3B、3：1C、1：6D、6：1

6、配置一种淡盐水，盐占盐水的5%，盐与水的比是(C)。

A、1：20B、1：21C、1：19

四、破解密码。

：=X：36X=72=X=0.15

五、解决问题。

1、修路队修一条公路，已修部分与未修部分的比是5：3，又知已修部分比未修部分长600米，这条路长多少米?

600÷(-)=2400(米)

2、一块直角三角形钢板用1:200的比例尺画在图上,两条直角边共长5.4厘米,它们的比是5:4.这块钢板的实际面积是多少?

5.4×=3(厘米)3×200=600(厘米)=6(米)

5.4×=2.4(厘米)2.4×200=480(厘米)=4.8(米)

6×4.8÷2=14.4(平方米)

3、学校图书馆的科技书、文艺书和故事书共12000本，其中科技书占，科技书与故事书的比是2：3，故事书有多少本?

12000×÷=6000(页)

4、小明读一本书，已经读了全书的，如果再读15页，则读过的页数与未读的页数的比是2:3，这本书有多少页?

15÷(-)=100(页)

5、每条男领带20元，每支女胸花10元，某个体商店进领带与胸花件数比是3∶2，共值4000元。领带与胸花各多少?

领带：4000×÷20=120(条)

胸花：4000×÷10=160(支)

对小学数学解方程教学的思考篇9

一、适当调整教材的编排方式

新教材在“解方程”这部分内容安排上, 主要就是没有继承旧教材成功之处, 没有研究学生, 即没有弄清要学习新知识, 必需先学会哪些知识, 建立哪些经验。把“解方程”集中安排在第九册, 学生学习就失去了“知识”和“经验”的双重根基。所以用“等量关系”解方程老师难教、学生难学。在解方程内容的具体编排上, 我们还是应把用算术思路解方程作为一条主线, 而把等式基本性质及运用它来解方程作为附庸。可以采用类似于“你知道吗”这样的阅读材料, 让学生了解到解这个方程还有其它的思路。材料中, 可以有天平图, 天平图上可以有“等式左右两边同时发生变化”的过程, 还有如“你能把这样的变化过程表示出来吗”这样的思考要求。我们先来看看《数学课程标准》在小学阶段关于这一方面的唯一要求:理解等式的性质, 会用等式的性质解简单的方程 (如3x+2=5, 2x-x=3) 。这句话是否可以这么理解:如果不会用等式的性质解简单的方程, 是否说明你没完成这阶段的教学目标呢?在课堂教学中, 我采用教师提供素材——学生尝试解决——学生合作交流——师生共同归纳小结这一教学模式。教师没有过多地花时间去讲解, 而是适时地启发、引导。学生通过观察、思考、尝试解题、互相研讨、共同小结, 参与获得知识的全过程, 真正成为了学习的主人。

二、引导学生掌握简易方程的解法

小学阶段所学的简易方程包括ax±b=c和ax±bx=c这两类方程。小学阶段解这类方程是以四则运算中各部分之间的关系来解答的, 要与中学解一元一次方程的方法区别开来。教学中要认真复习四则运算中各部分之间的关系, 由易到难地进一步掌握简易方程的解法。如果出现形如ax±b=c的方程, 启发学生把原方程变形为ax=c的形式, 再通过乘除运算法则求解。教学时可以先给出“过渡题”再引出问题, 启迪学生“拾级而上”。例如, 过渡题:10+ () =50例题:10+2x=50学生不难从过渡题获得启发, 得到2x相当于 () , 那么把2x看作一个数, 就可以先求出来, 然后再求x等于多少。对于其解答稍有困难, 此时教师提问:“按照运算顺序解这道方程应先算什么?” (6×3) “把2x看作什么?” (未知数) “2x在整个方程中处于什么位置?” (2x是减数) 接着教师启发引导学生把方程解完, 根据条件引导学生列出方程, 然后让学生自己解方程。对形如ax±bx=c的方程可借助形象具体的实例, 使学生从直观上理解它的含义, 进而掌握解法。出示课本中的例五, 引导学生观察图。教师讲述:要求一天共运土多少吨, 必须知道上午运的吨数和下午运的吨数。但题目没有直接告诉, 只告诉每车运x吨, 上午运了四车, 下午运了三车。“如何用含有字母x的式子表示上午运的吨数和下午运的吨数呢?” (4x和3x) “又如何表示一天运的吨数?” (4x+3x) 。4x表示四个x, 3x表示3个x;4x+3x表示四个x加三个x。提问:“四个x加三个x等于多少个x?” (七个) 。教师板书4x+3x=7x。出示课本中例六, 引导学生观察并思考如何解方程, 根据学生思考后的回答, 教师可作启发性的提问:“7x加9x等于80, 表示几个x等于80?” (16个x等于80) 。教师讲述, 这是一道含有两个相同未知数的方程, 在以后学习列方程解应用题时, 还会出现类似的方程, 解这种类型的方程时一般是通过加或减的计算, 先把它变成只含有一个未知数的方程, 即ax=c再往下解。现在, 学生就会很容易地解形如ax±bx=c的方程了。

三、在练习的设计上

我先让学生复习了化简的方法和解已学过的简易方程, 为后面学习新知识作好了准备, 让学生通过知识的迁移, 用学过的本领来解决新的问题。当学生学会了新本领后用相似的题目来加以巩固, 选择题则能更好地让学生体会到解方程后检验的重要性。由于新教材不学等式的性质, 只运用四则运算中各数之间的关系来解方程, 所以学生在解等号两边都有未知数的方程时比较容易出错, 学生的解题速度也有待继续提高。数学是一门严谨的科学, 中小学数学课程是一个有机的整体, 教材反映的是各部分知识之间的联系与综合。因此, 教师把握教材、驾驭教材的能力对教学至关重要。我们不能停留于用算术思维方法教代数知识, 而应站在一个较高层次上用现代数学观念去整体地审视和处理教材, 着眼于学生的后续学习, 帮助学生提高学习效能, 优化认知结构, 系统获取数学知识。

参考文献

[1].《全日制义务教育数学课程标准 (实验稿) 》

[2].《义务教育课程标准实验教科书数学第九册》人民教育出版社出版.课程教材研究所小学数学课程教材研究开发中心2005.6.1

五年级数学解方程教案2 篇10

师：解方程的第二步，方程两边同时进行计算，得出χ的值。左边χ+3-3，等于什么？生：等于χ。

师：（板书：χ）右边9-3呢？生：等于6。

师：（板书：=6）天平在变化的过程中，始终保持平衡，说明解方程时，得到的每一步都是等式，要求大家把所有的等号对整齐。为了把等号对整齐，一般要把“解”写到前面一点。

师：χ=6是不是这个方程的解？验算一下就知道了！把χ=6代入方程中，看方程的两边是否相等。我们一起来写验算过程。

师：先看方程左边，（板书：方程左边=χ+3）把χ=6代入方程中，χ+3就变成了几加3？生：6+3 师：（板书：=6+3）6+3等于9。（板书：=9）方程左边等于9。再看看方程右边等于几？生：等于9。

师：也是等于9。方程左边等于9，方程右边也等于9，说明了什么？生：方程左边等于方程右边，χ=6是这个方程的解。

师：（板书：=方程右边）最后，下结论：所以，χ=6是方程的解。（板书：所以，χ=6是方程的解。）师：验算的过程就写完了。现在，请同学们把课本打开，翻到58页，请小组的同学一边对照书中解方程的过程，一边讨论：解方程需要注意什么？（小组讨论）师：现在，请同学们说一说：解方程需要注意什么？生：„„

师：还有没有要补充的？生：„„

师：把刚才几位同学说的，合起来就很完整了。会解方程了吗？生：会了。

师：那就试一试！（解方程χ+7=10）师：哪位同学愿意到黑板上来做？请你来吧！（学生做题）

师：都做完了吗？一起来看看这位同学做的！你们觉得他做得好不好？生：他全部都做对了。

生：我觉得有一点不好，他把等号没有对整齐！„„ 师：刚才这位同学给你提的意见能接受吗？生：能！

师：有错就改就是好孩子！解方程不仅要注意方法，还要注意书写格式。做完后还要养成验算的好习惯。师：老师还有一个问题想请教一下：为什么要在方程的两边同时减去7？

生：左边减去7是为了是方程左边只剩χ，右边减去7是为了使方程两边仍然相等！师：说得很好！这道题你们都解对了吗？生：解对了！

师：你们真聪明！一下子都学会了！老师还想考考大家，出一个和它们不一样的方程：χ-3=9 你们会做吗？生：会！

师：这题也会呀！那好，试试看吧！请同学们先独立完成，然后在小组内进行交流。（点一名学生板演）师：一起来看看黑板上的作业！他做得怎样？生：做得很好，„„

师：谁来说说：为什么要在方程的两边同时加上3？生：是为了使方程左边只剩χ而有保持两边仍然相等！师：你们同意他的说法吗？生：同意！

师：看来，你们已经掌握解方程的方法了！

三、拓展应用

师：解方程还能帮助我们解决很多生活中的问题呢！请看大屏幕：（课件出示）能解决吗？师：能！

师：开始吧！（注意：可以不写出演算的过程，但是要进行口头验算。）学生做题后汇报交流！

四、课堂小结

六年级数学解比例教案设计篇11

教学目标：

使学生学会解比例的方法，进一步理解和掌握比例的基本性质。

教学重点：

学会解比例。

教学难点：

掌握解比例的书写格式。

教学过程：

一、铺垫孕伏

1．解下列简易方程，并口述过程。

2．什么叫做比例？比例的基本性质是什么？

3．应用比例的基本性质，判断下面哪一组中的两个比可以组成比例？

6∶10和9∶15 20∶5和4∶1 5∶1和6∶2

4．根据比例的基本性质，将下列各比例改写成其它等式。

二、教学新课

1．出示例5

（1）审题，帮助学生理解题意。提问：怎样理解“把照片按比例放大”这句话？

（放大前后的相关线段的长度是可以组成比例的）。

（2）如果把放大后照片的宽设为X厘米，那么，你能写出哪些比例？

引导学生写出含有未知数的比例式。

告诉学生：“像上面这样求比例中的未知项，叫做解比例。

（3）讨论：怎样解比例？根据是什么?

（4）思考：“根据比例的基本性质可以把比例变成什么形式？”

教师板书：6x＝13.5×4。 “这变成了什么？”（方程。）

教师说明：这样解比例就变成解方程了，利用以前学过的解方程的方法就可以求出未知数X的值。因为解方程要写“解：”，所以解比例也应写“解：”。（在6x前加上“解：“）

（5）让学生把解比例的过程完整地写出来。指名板书。

2．总结解比例的过程。

提问：“刚才我们学习了解比例，大家回忆一下，解比例首先要做什么？再怎么做？” （先根据比例的基本性质把比例变成方程。再根据以前学过的解方程的方法求解。）

“从上面的过程可以看出，在解比例的过程中哪一步是新知识？”

（根据比例的基本性质把比例变成方程。）

3．补充练习：

利用比例的.基本性质，把下列比例改写成含有未知数的等式。(投影出示，由学生独立完成后汇报。

)

三、全课小结：

1．通过本课的学习，你有哪些收获？

2．这节课我们学习了解比例。想一想，解比例的关键是什么？

巧用构造法速解数学题篇12

一、构造方程

若问题中某些变量的范围符合方程的某些特点, 我们可以考虑构造一个辅助方程, 然后通过解方程或对方程的研究使问题简捷获解。

例1.求同时满足下列各条件的所有复数z: (是实数, 且; (2) z的实部和虚部都是整数。

综上所述知, z=1±3i或3±i。

二、构造函数

如果给出的问题本质上是关于函数的理论, 则该问题可通过设辅助函数, 把题设条件和所给的量关系进行调整, 重新组合, 转化为研究函数性质的问题, 进而使问题获得解决。

例2.设二次函数f (x) =ax2+bx+c (a>0) , 方程f (x) -x=0的两个根x1、x2满足0<x1<x2<a1, 当x∈ (0, x1) 时, 证明:x<f (x) <x1。

证明:欲证f (x) >x, 即f (x) -x>0, 又已知方程f (x) -x=0的根的情况, 由此可构造函数F (x) =f (x) -x=ax2+ (b-1) x+c (a>0) 。因方程f (x) -x=0的两根为x1、x2, 故可设F (x) =a (x-x1) (x-x2) 。由0<x1<x2, a>0, 所以F (x) =f (x) -x=a (x-x1) (x-x2) >0, f (x) >x。

三、构造几何体

通过构造一个熟悉的几何体, 利用其特有的性质解决原问题, 这是解立体几何常用的方法。

例3.已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半, 且AB=BC=CA=2, 则球面的面积是 ()

解析:构造正三棱锥O—ABC, 如图1。O为球心, 设OO1为正三棱锥O—ABC的高, 则O1为△ABC的中心, 易知。

四、构造几何模型

构造图形的实质就是“数转化为形”, 如果条件的数量关系能以某种方式与几何图形建立联系, 则通过构造图形, 将题设条件或数量关系直接在图形中得到体现, 常会使问题简单化, 抽象问题直观化。

例4.已知椭圆, A、B是椭圆上的两点, 线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P (x0, 0) 。证明:。

五、构造数列

某些问题所给条件隐含数列因素或证明与自然数有关的不等式问题, 或当题目的某些特征与数列的通项、求和、中项等公式相似时, 均可构造相应的数列求解。通过等差或等比数列解决问题, 或转化成单调数列的讨论, 利用其单调有界性, 完成数列不等式的证明。

六、构造对偶 (称) 式

构造对偶式解题, 尤其是解三角试题, 方法新颖独特, 简洁快速。

例6.求sin220°+cos250°+sin20°cos50°

七、构造向量

对于求证式中含有乘积的和及乘方的和时, 可考虑构造适当的向量, 利用向量积公式:及其坐标表示的公式来证。

例7.求证:a2+b2+c2≥ab+bc+ca。

高三数学解排列组合应用题篇13

排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略.1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例1.A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果A,B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有（）

A、60种 B、48种 C、36种 D、24种

4解析：把A,B视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于4人的全排列，A424种，答案：D.2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（）

A、1440种 B、3600种 C、4820种 D、4800种

52解析：除甲乙外，其余5个排列数为A5种，再用甲乙去插6个空位有A6种，不同的排法种52数是A5A63600种，选B.3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例3.A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（A,B可以不相邻）那么不同的排法种数是（）

A、24种 B、60种 C、90种 D、120种

解析：B在A的右边与B在A的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的1560种，选B.一半，即A524.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（）

A、6种 B、9种 C、11种 D、23种

解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选B.5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（）

A、1260种 B、2025种 C、2520种 D、5040种

解析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三

211步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有C10C8C72520种，选C.（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（）

44C12C84C4A、CCC种 B、3CCC种 C、CCA种 D、种 3A***4124833答案：A.6.全员分配问题分组法: 例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？

23解析：把四名学生分成3组有C4种方法，再把三组学生分配到三所学校有A3种，故共有23C4A336种方法.说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（）

A、480种 B、240种 C、120种 D、96种答案：B.7.名额分配问题隔板法: 例7：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？解析：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，6故共有不同的分配方案为C984种.8.限制条件的分配问题分类法: 例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？

解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：

①若甲乙都不参加，则有派遣方案A84种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，333然后安排其余学生有A8方法，所以共有3A8；③若乙参加而甲不参加同理也有3A8种；④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有A82种，4332共有7A82方法.所以共有不同的派遣方法总数为A83A83A87A84088种.9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计.例9（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（）

A、210种 B、300种 C、464种 D、600种

5解析：按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，分别有A5个，11311311313A4A3A3,A3A3A3,A2A3A3,A3A3个，合并总计300个,选B.（2）从1，2，3„，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？

解析：被取的两个数中至少有一个能被7整除时，他们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做A7,14,21,98共有14个元素,不能被7整除的数组成的集合记做A1,2,3,4,,100共有86个元素；由此可知，从A中任取2211个元素的取法有C14，从A中任取一个，又从A中任取一个共有C14，两种情形共符合要C86211求的取法有C14C14C861295种.（3）从1，2，3，„，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？

解析：将I1,2,3,100分成四个不相交的子集，能被4整除的数集A4,8,12,100；能被4除余1的数集B1,5,9,97，能被4除余2的数集C2,6,,98，能被4除余3的数集D3,7,11,99，易见这四个集合中每一个有25个元素；从A中任取两个数符合要；从B,D中各取一个数也符合要求；从C中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要

2112求；所以符合要求的取法共有C25种.C25C25C2510.交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式n(AB)n(A)n(B)n(AB).例10.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？

解析：设全集=｛6人中任取4人参赛的排列｝，A=｛甲跑第一棒的排列｝，B=｛乙跑第四棒的排列｝，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：

4332n(I)n(A)n(B)n(AB)A6A5A5A4252种.11.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。

例11.1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？

14解析：老师在中间三个位置上选一个有A3种，4名同学在其余4个位置上有A4种方法；所14以共有A3A472种。.12.多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。

例12.（1）6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是（）

A、36种 B、120种 C、720种 D、1440种

6解析：前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排成一排，共A6720

种，选C.（2）8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？

2解析：看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有A4种，某1个元素排在后15半段的四个位置中选一个有A4种，其余5个元素任排5个位置上有A5种，故共有125A4A4A55760种排法.13.“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法: 例13.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有（）

A、140种 B、80种 C、70种 D、35种

解析1：逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机，333故不同的取法共有C9C4C570种,选.C

解析2：至少要甲型和乙型电视机各一台可分两种情况：甲型1台乙型2台；甲型2台乙

2112型1台；故不同的取法有C5C4C5C470台,选C.14.选排问题先取后排:从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法.例14.（1）四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？

2解析：先取四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有C4种，再排：在四个盒中每次233排3个有A4种，故共有C4A4144种.（2）9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同的分组方法？

22解析：先取男女运动员各2名，有C52C4种，这四名运动员混和双打练习有A2中排法，故共222有C5C4A2120种.15.部分合条件问题排除法:在选取的总数中，只有一部分合条件，可以从总数中减去不符合条件数，即为所求.例15.（1）以正方体的顶点为顶点的四面体共有（）

A、70种 B、64种 C、58种 D、52种解析：正方体8个顶点从中每次取四点，理论上可构成C84四面体，但6个表面和6个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体，所以四面体实际共有C841258个.（2）四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（）

A、150种 B、147种 C、144种 D、141种

4解析：10个点中任取4个点共有C10种，其中四点共面的有三种情况：①在四面体的四个面

44上，每面内四点共面的情况为C6，四个面共有4C6个；②过空间四边形各边中点的平行四边形共3个；③过棱上三点与对棱中点的三角形共6个.所以四点不共面的情况的种数是44C104C636141种.16.圆排问题单排法:把n个不同元素放在圆周n个无编号位置上的排列，顺序（例如按顺时钟）不同的排法才算不同的排列，而顺序相同（即旋转一下就可以重合）的排法认为是相同的，它与普通排列的区别在于只计顺序而首位、末位之分，下列n个普通排列：

a1,a2,a3,an;a2,a3,a4,,an,;an,a1,,an1在圆排列中只算一种，因为旋转后可以重合，故认为相同，n个元素的圆排列数有

n!种.因此可将某个元素固定展成单排，其它的n1元素n全排列.例16.5对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，有多少种不同站法？

4解析：首先可让5位姐姐站成一圈，属圆排列有A4种，然后在让插入其间，每位均可插入其姐姐的左边和右边，有2种方式，故不同的安排方式2425768种不同站法.1mAn种不同排法.m17.可重复的排列求幂法:允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约说明：从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列共有束，可逐一安排元素的位置，一般地n个不同元素排在m个不同位置的排列数有mn种方法.例17.把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？

解析：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有76种不同方案.18.复杂排列组合问题构造模型法: 例18.马路上有编号为1，2，3„，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？

3解析：把此问题当作一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯C5种方法,所以满足条件的关灯方案有10种.说明：一些不易理解的排列组合题，如果能转化为熟悉的模型如填空模型，排队模型，装盒模型可使问题容易解决.19.元素个数较少的排列组合问题可以考虑枚举法: 例19.设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的盒子现将这5个球投入5个盒子要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同，问有多少种不同的方法？

解析：从5个球中取出2个与盒子对号有C52种，还剩下3个球与3个盒子序号不能对应，利用枚举法分析，如果剩下3，4，5号球与3，4，5号盒子时，3号球不能装入3号盒子，当3号球装入4号盒子时，4，5号球只有1种装法，3号球装入5号盒子时，4，5号球也

2只有1种装法，所以剩下三球只有2种装法，因此总共装法数为2C520种.20.复杂的排列组合问题也可用分解与合成法: 例20.（1）30030能被多少个不同偶数整除？解析：先把30030分解成质因数的形式：30030=2×3×5×7×11×13；依题意偶因数2必取，3，5，7，11，13这5个因数中任取若干个组成成积，所有的偶因数为

012345C5C5C5C5C5C532个.（2）正方体8个顶点可连成多少队异面直线？

解析：因为四面体中仅有3对异面直线，可将问题分解成正方体的8个顶点可构成多少个不同的四面体，从正方体8个顶点中任取四个顶点构成的四面体有C841258个，所以8个顶点可连成的异面直线有3×58=174对.21.利用对应思想转化法:对应思想是教材中渗透的一种重要的解题方法，它可以将复杂的问题转化为简单问题处理.例21.（1）圆周上有10点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有多少个？

解析：因为圆的一个内接四边形的两条对角线相交于圆内一点，一个圆的内接四边形就对应着两条弦相交于圆内的一个交点，于是问题就转化为圆周上的10个点可以确定多少个不同44的四边形，显然有C10个，所以圆周上有10点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有C10个.（2）某城市的街区有12个全等的矩形组成，其中实线表示马路，从A到B的最短路径有多少种？

解析：可将图中矩形的一边叫一小段，从A到B最短路线必须走7小段，其中：向东4段，向北3段；而且前一段的尾接后一段的首，所以只要确定向东走过4段的走法，便能确

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