运用对称性巧解数学题

2024-07-09

运用对称性巧解数学题（精选4篇）

运用对称性巧解数学题篇1

对称是一种数学美, 它展示出整体的和谐与平衡之美.对称是一种思想方法, 运用对称性解决问题既可以减少一些繁琐的计算, 又能使问题中原来隐晦不清的关系和性质清晰地展现出来, 进而使解题方法简捷明快.它不仅可以拓展学生的解决思路, 培养学生的思维能力, 而且能够提高学生应用美、创造美的能力.

对称图形是学生生活、学习中司空见惯的, 然而许多学生却熟视无睹.这就强烈要求教师在平时教学中注重引导.现特举几例, 与各位同仁共同探讨.

一、运用对称性解决二次函数问题

二次函数y=ax2+bx+c (a≠0) 的图像是抛物线, 它关于直线undefined对称, 利用数形结合思想, 把握抛物线是轴对称图形的特征, 通过对图形的分析, 容易得到下面两个结论:若抛物线的两点坐标是 (x1, d) , (x2, d) , 则这两点一定关于抛物线的对称轴对称, 且对称轴为直线undefined.若已知抛物线上一点 (x1, d) , 对称轴为直线x=h, 则可求得另一对称点坐标为 (2h-x1, d) .

例1 (2008年南京市) 已知二次函数y=x2+bx+c中, 函数y与自变量x的部分对应值如下表:

(1) 求该二次函数的关系式.

(2) 当x为何值时, y有最小值?最小值是多少?

(3) 若A (m, y1) , B (m+1, y2) 两点都在该函数的图像上, 试比较y1与y2的大小.

解方法一: (1) 由表可知, 因 (1, 2) 与 (3, 2) 纵坐标相同, 则y=x2+bx+c的图像关于直线x=2对称, 所以顶点坐标为 (2, 1) , 则该二次函数的关系式为y= (x-2) 2+1, 即y=x2-4x+5.

方法二: (1) 设一般式求解.根据题意, 当x=0时, y=5;当x=1时,

undefined

∴该二次函数的关系式为y=x2-4x+5.

(2) (3) 解题过程略.

点评显然法一计算简捷.抛物线上两点的纵坐标相等, 是捕捉抛物线对称信息的主要方式.

例2 (2008年山东省) 若undefined为二次函数y=x2+4x-5的图像上的三点, 则y1, y2, y3的大小关系是 ( ) .

A.y1

C.y3

解由二次函数y=x2+4x-5= (x+2) 2-9, 得顶点坐标为 (-2, -9) , 对称轴为x=-2.由此, 可知点B, C都在抛物线对称轴右侧.

∵a=1>0, 开口向上, 当x>-2时, y随x增大而增大.

又undefined关于直线x=-2对称的对称点为

undefined

点评本题还可以根据三点的横坐标分别计算y1, y2 , y3, 再比较大小, 但运算量较大, “繁”且“烦”!显然通过对称性解决问题, 既方便又快捷.

二、运用对称性解决反比例函数问题

反比例函数的图像是中心对称图形, 对称中心是坐标原点, 它也是轴对称图形, 有两条对称轴, 分别是直线y=x和直线y=-x, 在解题过程中, 若能灵活应用反比例函数图像的对称性, 往往能收到意想不到的效果.

例3 如图, 边长为2的等边△OAB的顶点A在x轴的正半轴上, B点位于第一象限.将△OAB绕点O顺时针旋转30°后, 恰使点A落在双曲线undefined上.

(1) 求双曲线undefined的解析式.

(2) △OAB绕点O继续按顺时针旋转多少度后, A点再次落在双曲线上?并简述理由.

分析将△OBA绕点O顺时针旋转30°后得到△OB1A1, 求出点A1的坐标进而可求出反比例函数的解析式.因为反比例函数的图像关于y=-x对称, 点A1在此函数的图像上, 则点A1关于直线y=-x的对称点A2也一定在此函数图像上, 进而可知△OBA再次旋转的度数.

解 (1) 略解.undefined

(2) 由分析知OA1和OA2关于直线y=-x对称, ∴∠A2OC=∠COA1.又∵∠COA=45°, ∠A1OA=30°, ∴∠A2OC=∠COA1=15°, ∠A2OA1=30°, 即将△OBA绕点O继续按顺时针旋转30°后, 点A再次落在双曲线上.

三、运用对称性解决面积问题

例4 (苏教版教材九上P153第12题) 如图, 扇形OAB的圆心角为直角, 正方形OCDE的顶点C, E, D分别在undefined上, AF⊥DE, 交ED的延长线于点F.如果正方形边长为1, 求图中阴影部分的面积 (Ⅰ区域与Ⅱ区域面积和) .

解析连接OD, 观察发现此题特征是Ⅰ区域与Ⅲ区域关于直线OD成轴对称, 所以只要把Ⅰ区域沿直线OD翻折到Ⅲ区域, 问题就转化为求矩形ACDF的面积.

undefined

点评本题是利用轴对称变换使不规则的几何图形变成特殊图形.这是求图形面积的常用方法.

四、运用对称性解决最值问题

例5如图, 正方形ABCD的边长为8, M在DC上, 且DM=2, N是AC上的一动点, 则DN+MN的最小值为_________.

解析M, D为AC同侧两定点, 四边形ABCD是正方形, 所以点B与点D关于AC对称, 所以DN=BN, 则DN+MN=BN+MN.根据“两点之间, 线段最短”可知, 当点N在MB与AC的交点O处时, DN+MN的值最小.在Rt△MBC中, BC=8, MC=6, 所以BM=10, 即DN+MN的最小值为10.

点评求线段和的最小值是近年中考、竞赛试题中常见的几何最值问题, 求解这类问题常用的方法是通过图像的对称变换, 将原问题变成“两点之间, 线段最短”的问题.五、运用对称性解决数学游戏问题

例6、币, 硬币不重叠, 谁先放下最后一枚而使对方没有空处可放, 谁就获胜.问先放者获胜还是后放者获胜?怎样做才能一定获胜?

解析先放硬币的人, 将硬币放在正方形的中心处, 这样, 后放者每放一枚硬币, 先放者都在对方所放硬币关于桌子中心的对称处放一枚硬币, 如此进行下去, 只要后放者能放下硬币, 先放者一定在它的中心对称点放下硬币, 故先放者必胜.

综上所述, 在解题过程中, 如果注意到对称性并恰当地运用, 不仅使复杂繁琐的问题得以简化, 而且可以拓展学生的解题思路, 激发学生的创造性思维, 使学生创造性解决问题的能力得到培养.因此教师在平时的教学中, 要引导学生充分挖掘图形的对称性, 自觉地运用对称性特征去分析、解决具体问题, 抓住教学契机培养学生运用对称思想方法解决数学问题的能力.

参考文献

王军.浅析对称性在数学解题中的应用.今日科苑, 2006 (6) .

运用对称性巧解数学题篇2

如图, A (1, -3) 、B (5, -1) 分别为两个仓库, X轴为一条铁路, 在铁路线上选一点Q建车站, 从车站到两个仓库修建两条笔直的公路, 问车站建在何处才能使修路的费用最少? (画出点Q的位置, 并写出点Q的坐标) 。

这是一道有关轴对称和一次函数的综合应用题, 它是在苏科版初中数学八年级 (上册) 第38页第9题的基础上结合一次函数的知识编写出来的。从阅卷情况来看, 学生普遍不会做。学生无从下手是因为他们没有建立好数学模型, 缺少转化思想, 缺乏联想。

我们先来回顾一下苏科版八 (上) 数学第38页第9题:如图:点A、B在直线L的同侧, 点B′是点B关于直线L的对称点, A B′交L于点P

(1) A B′与AP+PB相等吗?为什么?

(2) 在L上再取一点Q, 并连接AQ和QB, 比较AQ+QB

与AP+PB的大小, 并说明理由。

【这道习题源于古希腊著名的“饮马问题”, 大数学家海伦曾用轴对称方法巧妙地解决了这个问题。】

学生出现的解题障碍充分说明, 数学课堂教学中, 以课本习题为载体, 引导学生反思、概括、归纳总结, 对习题进行深入研究, 并加以联想、延拓, 从中发现一些成果, 得出新的结论, 再用数学语言 (文字、符号、图形) 对实际研究对象进行近似刻画, 将实际问题用数学方式表达, 最终引导学生建立数学模型, 它对于实际问题的解决有着重要的启发作用, 是培养学生数学能力的一个重要方面。如:在解完八 (上) 数学第38页第9题后及时引导学生归纳、总结得出“利用轴对称可在直线L上找到唯一点P到A、B两点的距离之和最小” (依据是“两点之间, 线段最短” ) , 从而引导学生建立了一种“轴对称可解决距离之和最小”的模型 (以下称为“轴对称模型” ) 。

建立数学模型的目的是去“应用数学解决实际问题” , 把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构, 即把生活中的一些背景不同的实际问题, 抽象、转化为某一种数学模型, 从而能够用同一种方法或同一思路去解决一类问题, 取得“多题一解”效应, 达到化繁为简、化难为易的目的。如上述期末试题, 本题要求“修路的费用最少”可理解为“所修公路的总长最小”, 进一步转化为在x轴上找点Q, 使点Q到A、B两点的距离之和最小, 再联想到用轴对称可解决此类问题, 这样就完全化归为上述的“轴对称模型”, 顺利解决问题了。

在初中数学中, 能够用“轴对称模型”来解决的问题很多, 例如:

例1:如图, 在△ABC中, AC=BC=2, ∠ACB=90°, D是BC边的中点, E是AB边上一动点, 则EC+ED的最小值是。

分析:本题是一道纯几何题, 乍一看不知从何处入手, 但结论是有关“两条线段长度和最小”的问题, 若能及时联想到上面的“轴对称模型” , 便能很快地找到解题思路。先作出点D关于AB的对称点D', 并连接D'E、D'C, 则有ED'=ED, 这样EC+ED=EC+ED', 在△ECD'中有EC+ED'>CD', 故有EC+ED≥CD' (当点E移动到点E'时等号成立) , 即CD'的长就是EC+ED的最小值, 下面只要求出CD'的长即可。连接D'B, 由轴对称性质可知D'B=DB=1、∠ABD'=∠ABC=450, 这样在Rt△CBD'中, CB=2, D'B=1, 由勾股定理求得undefined, 因此EC+ED的最小值是undefined。

例2:如图1, 在圆柱形玻璃杯的外侧有一只蚂蚁从A点到杯内B点去吃蜜糖, 已知从A点沿母线到杯口C的距离为5cm, B点沿母线到杯口D的距离为3cm , C、D两点之间的杯口弧线长为6cm。如果蚂蚁想尽快吃到蜜糖, 问蚂蚁爬行的路线是多长?

分析:本题中蚂蚁想尽快吃到蜜糖, 它爬行的路线就要最短。若把圆柱形玻璃杯的侧面看成是展开的一个平面图形 (如图2) , 把A、B看成直线CD同侧的两点。因为蚂蚁从杯子的外侧到内侧必经过杯口的边缘CD, 即要在直线CD上找一点P, 使PA+PB最小。这样问题又转化为“轴对称模型” , 作出点A关于直线CD的对称点A′, 连接A′B交CD于点P, 连接PA, 则点P为所求的点。折线APB就是蚂蚁要爬行的路线 (AP段在杯子外侧, PB段在杯子内侧) , PA+PB的长为所求的最短路线的长。

由于PA=P A′, 所以PA+PB= P A′+ PB= A′B。过点B作BE⊥A A′于点E, 则BE=CD=6cm, CE=BD=3cm, 又有A′C=AC=5 cm, 所以A′E= A′C+CE=8cm.在Rt△A′BE中, 由勾股定理可求得A′B=10cm。即蚂蚁爬行的最短路线的长是10cm。

例3 已知点A (1, 6) 、点B (6, 4) , 在x轴和y轴上各找一点C、D, 使四边形ADCB的周长最短。

分析:四边形ADCB的边AB的长一定, 只要AD+DC+CB的值最小, 四边形ADCB的周长就最短。根据“轴对称模型” , 作出点A关于y轴的对称点A', 作出点B关于x轴的对称点B', 再连接A'B/分别交x、y轴于点C、D , 由已知得A' (-1, 6) 、 B' (6, -4) , 进一步可求得直线A'B/的关系式是: y = -x +,

从而可求得C、D两点的坐标分别是undefined

运用数学思想,巧解图形问题篇3

一、建模思想

例1甲、乙、丙、丁、戊、己六个足球队进行单循环比赛,当比赛到某一天时,统计出甲、乙、丙、丁、戊五队已分别比赛了5、4、3、2、1场球,则还没有与乙队比赛的球队是().

A. 丙队B. 丁队

C. 戊队D. 己队

【解析】本题用算术或代数方法解,易陷入困境.用A、B、C、D、E、F六个点分别表示甲、乙、丙、丁、戊、己这六个足球队,若两队已经赛过一场,就在相应的两个点之间连一条线,将实际问题抽象成画线段这一数学模型,这样用图来辅助解题,形象而直观. 如图1所示,故选C.图 1

二、方程思想

例2已知线段AC∶AB∶BC=3∶5∶7,且AC+AB=16 cm,求线段BC的长.

【解析】方程思想是借助方程来求出未知量的一种重要策略. 在本题中,可设AC=3x cm,则AB=5x cm,BC=7x cm. 因为AC+AB=16 cm,所以3x+5x=16 cm,解得x=2,因此BC=7x=14 cm.

例3如图2,已知∠BOC=2∠AOC,OD平分∠AOB,且∠COD=19°,求∠AOB的度数.图 2

【解析】方程思想是我们求解有关图形中线段和角的大小的重要方法. 在本题中,可设∠AOC=x,则3∠BOC=2x,∠AOD=∠BOD=3/2x,由∠AOD-23∠AOC=∠COD可知3/2x-x=19,解得x=38,2因此∠AOB=3∠AOC=114°.

三、分类思想

例4已知一条直线上有A、B、C三点,线段AB的中点为P,AB=10,线段BC的中点为Q,BC=6,则线段PQ长为 ______.

【解析】很多同学对“一条直线上有A、B、C三点”误解为“一条直线上顺次有A、B、··C三点”,造成答案的单一性. 事实上因未给出图形,故应考虑C点位置的多种可能进行分类解决. 本题分为两类(如图3、图4所示),不难求得PQ长为8或2.

C三点”,造成答案的单一性. 事实上因未给出图形,故应考虑C点位置的多种可能进行分类解决. 本题分为两类(如图3、图4所示),不难求得PQ长为8或2.

例5如图5,已知O是直线AB上一点,把直角三角板的直角顶点放在点O处,此时三角板可绕着点O旋转,请观察在运动过程中,∠AOC和∠BOD始终保持什么关系?为什么?图 5

【解析】显然,当三角板绕着点O旋转时,∠AOC和∠BOD的大小可以是锐角、直角和钝角,同学们如果没有意识到这一点,以为就图5这一种情形,就会造成答案的不完整. 实际上,除了图5外,图6、图7也是客观存在的,因此,当研究问题包含各种可能情况不能一概而论时,就要根据可能出现的各种情况进行分类讨论. 本题分如下三种情况讨论:(1)如图5,∠AOC和∠BOD互余 . 因为∠AOC + ∠BOD +∠COD=180°,而∠COD=90°,故∠AOC和∠BOD互余.

(2)如图6,∠BOD-∠AOC=90°. 因为一方面∠AOD=180°-∠BOD,而另一方面∠AOD=90°-∠AOC,所以180°-∠BOD=90°-∠AOC,整理得∠BOD-∠AOC=90°.

(3)如图7,类似于(2)的方法,可得∠AOC-∠BOD=90°.

四、数形结合思想

例6已知线段AB,在BA的延长线上取一点C,使CA=3AB.

(1)线段CB是线段AB的几倍?

(2)线段AC是线段CB的几分之几?

【解析】本题的呈现方式是图形式,而设问内容却是一个数量问题. 如果同学们不画出图形就不容易发现其数量关系,而一旦将画图视为自觉行为,其数量关系就会一目了然. 这正是数形结合思想的具体体现.

参考答案:(1)4倍;(2)3/4.

以上介绍了4种常见的数学思想方法,数学思想方法还有很多,限于篇幅,这里不再一一赘述,但需要提醒同学们的是,数学思想方法不是靠老师灌输的,而是由自己不断反思、体悟出来的,脱离了问题来谈数学思想方法是毫无意义的. 另外,各种思想方法并不是相互孤立地发挥作用,有时需要多种思想方法共同起作用才能解决问题.

运用数学思想巧解函数问题篇4

一、运用数形结合巧解函数问题

所谓数形结合就是代数问题与图形之间的相互转化, 它可以使几何问题代数化, 代数问题几何化.在函数教学中, 我们要巧妙通过“以数解形, 以形助数”, 从而直观发现解题途径, 有效拓宽学生的思维空间.

例如, 在教学《二次函数》时, 笔者设计这样问题:求函数 $u = \sqrt{2 t + 4} + \sqrt{6 - t}$ 的最值.

教者引导学生进行探索分析, 寻求解题方法.一般方法:由题意可知, 等号右端根号内t同为t的一次式, 因此作简单换元 $\sqrt{2 t + 4} = m$ , 但很难转化出二次函数求最值;如果对式子进行平方处理, 将会把问题复杂化, 因此, 该题用常规方法求解, 显得力不从心, 若我们退一步思考, 考虑到式中有两个根号, 则采用两步换元, 转化成椭圆和直线图形, 问题就迎刃而解:

设 $x = \sqrt{2 t + 4} ‚ y = \sqrt{6 - t}$ , 则u=x+y且 $x^{2} + 2 y^{2} = 16 (0 \leq x \leq 4, 0 \leq y \leq 2 \sqrt{2})$ 所给函数化为以u为参数的直线方程y=-x+u, 它与椭圆x2+2y2=16在第一象限的部分 (包括端点) 有公共点, 如右图.