共轭对称性

共轭对称性（精选3篇）

共轭对称性 篇1

0 引言

近些年爆发的几场局部战争, 从1991年的海湾战争到2003年的美伊战争, GPS技术发挥着越来越重要的作用。各国也在全力发展自主的导航系统。但由于卫星导航的固有特性, 会使达到接收天线信号的电平较低, 这个特点决定了其容易受到有意或无意干扰的影响[1]。为了保证接收设备的可靠性, 需要采用有效的抗干扰信号处理手段, 其中空域滤波处理是较为广泛应用的一种[2,3,4,5]。

这种方式可以有效地剔除从空间上可以区分的干扰, 但是在复杂的干扰环境下, 可能同时存在多个多种形式的干扰。这样, 如果单纯采用空域滤波的处理方式, 势必会由于多个窄带干扰存在而占用自由度[6]。这种情况下, 就需要应用级联的方式对带内窄带干扰进行先行剔除[7]。

介绍了级联式抗干扰的原理, 描述了级联前端频域滤波的实现方式, 其中着重分析了实数FFT的共轭对称性, 并据此引入优化设计及仿真验证, 得出了该设计可应用于实际工程的结论。

1 级联式抗干扰

基于4阵元抗干扰天线阵列设计原理如图1所示。

首先, 从天线接收到的信号通过模拟射频部分变为模拟中频信号, 再经过A/D变换器变为4路数字中频信号, 分别对4路信号进行频域滤波, 消除了带内的窄带干扰后, 送入空域处理模块进行空域滤波, 最后将滤波完成的信号输出。这里, 频率滤波采用的是加窗FFT的方法, 由于单纯的空域滤波的自由度取决于天线单元的数目, 为了在多干扰的情况下正常工作, 先滤除频域的窄带干扰是行之有效的手段[8]。空域滤波采用的是在干扰方向进行零陷的方法。接下来, 着重介绍其中前半部分, 也就是频域滤波的实现方式。

2 频域滤波

目前, 主流基于变换域方式进行滤波的方法就是加窗的FFT[9,10], 如blackman - harris窗。该方式可以有效地抑制由于FFT产生的频率弥散。但由于加窗会带来能量的损失, 一般不超过3dB。为了有效降低损失, 一般采用50% 重叠的加窗FFT进行实现[11,12]。频域滤波原理如图2所示。

将输入的信号分为2路, 其中一路延时半个FFT周期。2路分别进行加窗、FFT、干扰鉴别和消除以及IFFT处理, 最后进行合路输出[13,14]。

这样, 一路A/D信号的处理要占用4组FFT ( / IFFT) , 4路信号总共就需要16组FFT, 因而就需要利用FFT的特性来减少资源的消耗。

2. 1 FFT 的共轭对称性

设2路输入采样实信号分别为ai, bi, 令ci= ai + j* bi, 其中i, k∈ [0, n - 1] , 则

由于Ak, Bk均具有共轭对称性, 即两数列实部相对于中间对称, 虚部相对于中间对称取反, 即

由式 ( 1) 和式 ( 4) 联立可得:

即可用一个FFT单元实现2组实数FFT变换。

2. 2 对设计的优化

根据上述分析, 在实现中对2路采样后的实信号进行合并处理, 分别将其填入FFT输入信号的实部和虚部。在FFT结果输出的过程中, 对前N/2 ( N为FFT点数) 点的数据进行缓存, 在第N/2 +1点数据输出时, 同时将缓存的数据逆序输出, 与后N/2点的数据分别进行如式 ( 5) 和式 ( 6) 的运算, 恢复出2路输入信号的FFT结果。

确定剔除的门限后, 将缓存的结果与门限进行比对, 未超出门限的将折叠后的结果送入IFFT, 超出门限的将0送入IFFT。数据折叠的方式如式 ( 1) 和式 ( 2) 。

在该设计中, 采用的是Quartus FFT IPcore, 点数为512点, 数据及旋转精度均为18位, IO数据流格式为stream。这样优化后, 总共还需要8个FFT模块, 在EP3C120平台, 消耗的资源为41 232个LE, 与优化前对比, 节约了一半的FFT模块, 约节约1/3的资源。

2. 3 实验及仿真

为了验证改进后的设计性能, 专门搭建了抗干扰数据采集平台。平台由信号源、分路器、4路下变频器组以及自制的14 bit数据采集设备组成。在输入干信比为60 dB的条件下, 信号源产生L波段的单频信号, 经分路器分为A、B两路, 分别经过下变频器以及数据采集设备, 获得一段时间的信号采样值。

完成VHDL程序设计后, 利用采集的数据作为激励, 分别在Modelsim平台及Matlab平台进行仿真。在仿真中, 比较了Modelsim平台仿真的优化后的FFT以及Matlab平台正常的FFT数据输出结果。结果证明, 由于存在舍入误差, 在输入FFT数据平均值大于8的条件下, 优化后的FFT与正常FFT输出结果误差平均小于5%, 符合设计要求。

完成整个频率滤波仿真后, 对处理完成的数据进行分析, 干扰消除前后的对比如图3所示。其中, 图3 ( a) 为干扰抑制前的信号频谱, 图3 ( b) 为干扰抑制后输出的信号频谱。可以从图中看出, 抑制效果较为明显, 且对信号频谱影响不大。

3 结束语

在复杂干扰环境中, 先进行窄带干扰抑制处理可以有效地提高后续空域处理的性能。相应地会引入多路并行处理, 代价是消耗的资源增多。由此, 主要阐述了级联式抗干扰处理中窄带干扰抑制部分的优化处理方法。利用FFT的共轭对称性处理, 可以大幅度减少FFT部分的资源消耗, 从而使单片FP- GA中实现级联抗干扰处理成为可能, 进而可以提供芯片级的实现方案。

摘要：随着卫星导航设备应用领域的不断扩大, 其对于抗干扰的需求逐步引起了关注。在50%重叠FFT的频域干扰消除算法基础上, 针对输入实信号以及级联抗干扰需要多路并行处理的特点, 利用FFT的共轭对称性, 对干扰消除算法进行了优化设计。并在Modelsim程序平台中进行了时序仿真, 仿真结果证明该优化设计可靠且有效。改进后的干扰消除算法大幅度削减了资源消耗。

关键词：FFT,共轭对称性,级联抗干扰,频域滤波

共轭对称性 篇2

1. 共轭直径的定义

已知直线l:y = kx +b与椭圆有两个不同的交点A、B, A、B的中点为P, O为椭圆的中心, 则直线A、B与直线OP互为共轭直径。

2. 共轭直径的斜率关系的推导———增量法的应用

设P点坐标为 (x0, y 0) , A、B的坐标分别为 (x0+ Δx, y0+ Δy) , (x0- Δx, y0- Δy) , 因为A、B在椭圆上, 所以必然满足椭圆方程。

。两式相减得:, 即, 这就是共轭直径的斜率关系, 并且退化到相切时也成立。

二、共轭直径的斜率关系的应用

1. 点对称问题

例:已知椭圆C:, 直线l: y = 4x + m与椭圆交于A、B两点, 求A、B中点的轨迹方程。

解: 设中点P的坐标为 (x, y) , 由共轭直径的斜率关系, , 所以, 中点的轨迹方程为: 16y + 3x = 0。

说明:共轭直径的斜率关系是建立方程的一种重要途径, 也是方程思想的表现形式之一。

2. 轴对称问题

例: 已知椭圆, 试确定m的取值范围, 使得对于直线l:y = 4x + m , 椭圆C上有不同的两点关于该直线对称。

解:设椭圆上两点分别为A、B, 由题知, A、B的中点为P (x0, y0, 由共轭直径的斜率关系得:, 所以, 又 P 点在l:y = 4x + m上, 所以y0= 4x0+ m , 解得x0= - m, y0= - 3m , 因为P点在椭圆内部, 因此有:, 所以

说明:通过共轭直径的斜率关系建立一次方程, 进而达到了消元和化繁为简的效果。

变式一:

已知椭圆C:, A、B是椭圆上的两点, 线段AB的垂直平分线与x轴相较于点P x0 (, y ) 0。证明:

解:设AB的中点M x1 (, y ) 1, 由共轭直径的斜率关系得:, 因此AB的垂直平分线的方程为

令 y =0, 又 - a < x0< a。所以

变式二:

过椭圆的右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆交于M、思N两点, 在x轴上是否存在点P (m, 0) 使得以PM、PN为邻边的平行四边形为菱形? 如果存在, 求出m的范围, 如果不存在请说明理由。

解:设MN的中点Q x0 (, y ) 0, 由共轭直径的斜率关系k得: , 因此MN的垂直平分线的方程为

令 y =0, 。设直线MN的方程为y = k ( x - c) , 与椭圆联立得, 所以

三、结语

本文以椭圆为背景研究了共轭直径的斜率关系在处理对称问题中的应用, 通过该关系可以快速建立一个一次方程进而起到化繁为简的效果, 并且展现了函数与方程思想、分类与整合思想在数学教学中的重要意义。

摘要：本文以圆锥曲线中的椭圆为背景, 研究了共轭直径的斜率关系在处理对称问题中的应用, 从而展现了函数与方程思想、分类与整合思想在数学教学中的地位, 这对新课程体系下的高中数学教学有一定的指导意义。

共轭对称性 篇3

正交频分复用系统 (OFDM) 作为一种多载波数字调制技术不仅提高了频谱效率, 而且可以有效地对抗符号间干扰和突发噪声, 具有很强的抗衰落能力, 因此已被广泛应用于无线通信系统。

但OFDM与单载波系统相比, 对同步误差敏感得多, 同步主要包括定时同步和载波频率同步, 定时误差主要会导致符号间干扰 (ISI) , 从而导致不能确定OFDM符号的起始位置, 准确地确定FFT窗的位置。频率偏移的主要问题是它引入了子载波间干扰。因此, 接收端必须与发送端保持精确的同步。目前已经有很多定时同步算法以及频偏估计算法或者时频结合估计算法被提出。这些算法主要可以分为两种:一种是基于数据辅助的OFDM同步算法[1,2,3,4,5], 另一种则是基于非数据辅助的OFDM同步算法[6,7,8,9,10]。其中基于数据辅助的同步算法主要是基于循环前缀, 此类算法计算量大, 准确性低, 在实际应用中的使用较少。基于数据辅助的同步算法主要是在数据前端加入训练序列。

在文献[1]中, Schmidl and Cox提出了一种基于数据辅助的定时同步和频偏估计算法, 但是S&C算法的定时同步会产生一个平台, 这就增加了定时的不准确性, 另一方面, 其频偏估计需要两个训练序列, 而且使用的子载波数如果远小于IFFT长度, 其性能会严重衰减。Minn对Schmidl and Cox的训练结构进行了两种改进[2], 一是采用“滑动窗平均”的方法, 二是构造了新的帧头序列, 扩大相邻定时度量函数之间的差异来抑制峰值平台。但是文献[2]在定时同步方面仍然有很大的偏差。Park使用共轭堆成序列的自相关来消除Schmidl and Cox算法的平台[3], 定时同步效果有显著改善。在频偏估计方面, 文献[4]提出了一种频偏估计算法, 但是其训练序列的长度比较长, 而且频偏估计的范围只有±0.5个子载波间隔。在此基础上, 文献[5]提出的训练序列是基于L个时域完全相同的训练序列, 其频偏估计的范围是±L 2个子载波间隔, 本算法的频偏估计范围受限于其频偏估计性能, L的长度必须长于信道时延扩展才能保证估计性能。

为了提高基于单个同步训练序列的定时同步精度并同时进行小数倍频偏估计, 本文通过引入伪随机序列加权因子, 设计出一种新的同步训练序列, 并提出基于该训练序列的时频同步方法。

1 系统结构

在OFDM系统的复基带等效模型中, 发送端OFDM符号的复基带数据的采样信号为:

式中:N为系统子载波的数目;xn是OFDM符号的第k个子载波上的调制复数据;x (k) 是N点IFFT后的符号数据, ISI可以通过插入循环前缀来消除, 循环前缀的长度必须比信道冲击响应长。

理想情况下接收信号y (k) 如下:

式中:x (k) 表示发送的OFDM符号;h (l) 是信道的冲击响应;L为无线信道中的多径数。

假设没有采样误差影响, 接收信号在频偏和噪声的共同作用下表示如下:

式中:θ表示未知的符号偏移;ε是用载波间隔归一化的载波频偏;ω (k) 为加性高斯白噪声。

在OFDM系统中, 同步的主要工作是估计符号同步偏移θ和频偏ε, 通过补偿消除或减弱同步误差对系统性能的影响。

2 训练序列结构

定时同步的最佳位置通常定义为定时度量函数的最大值, 虽然Park算法有一个尖锐的冲击峰值可以比较准确的定时, 但其定时度量函数在循环前缀的长度大于N 4的时候, 会有侧峰存在, 当循环前缀的长度足够长时, 侧峰的峰值与主峰值相当。另一方面, 基于训练序列的频偏估计, 训练序列必须有前后相同的两部分才能利用延迟相关进行有效的频偏估计, 所以, Park算法的共轭对称序列结构并不能进行频偏估计, 为了有效地消除侧峰, 并同时进行小数频偏估计, 本文提出新的训练序列结构如下:

式中:B与A对称, 即A (k) =B (N 4-1-k) , B*为B的共轭。

为了消除侧峰在训练序列的基础上引入与OFDM符号长度相同的实PN序列作为加权因子, 训练符号的最终表示为:

3 定时同步

根据本文提出的训练序列结构, 定义定时度量函数为:

其中:

那么定时:

式中θ̂为估计的正确定时的位置。

通常采用均方误差MSE用来衡量定时估计错误的方差, 定义如下:

4 频偏估计

完成定时同步后, 进行频偏估计, 首先要去除加权因子PN, 所以定义完成定时后的序列为r′ (k) , 将序列与本地PN序列相关, 得到新的序列G (k) :

则:

可以得到:

则εf即为将得到的小数频偏。

5 算法仿真和性能分析

仿真中假设OFDM系统子载波总数N=512, 循环前缀长度Ng=64, 各子载波的调制方式为QPSK。多径信道采用COST207远郊地区 (RA) 信道6径瑞利衰落信道模型, 信道参数如表1所示;仿真中归一化的频率偏移取ε=0.3。分别采用符号定时估计和归一化频偏估计的均方误差 (MSE) 来衡量定时估计和频偏估计算法的性能, 并与已有算法进行比较。

为了直观地比较各个算法的定时同步性能, 图1绘出了理想信道环境下S&C算法、Minn算法、Park算法以及本文算法的定时度量函数曲线, 正确定时位置在采样点0处。由图1可以看出S&C算法出现了一个定时平台, 这就需要设置一个门限来确定定时时刻, 同时也为定时估计带来了不确定性。Minn算法虽然在正确的时刻出现了一个峰值, 但在其他位置同样会出现侧峰, 因此很容易带来误判。本文算法和Park算法都有尖锐的峰值, 且二者在正确定时位置重合, 不同的是, Park算法在循环前缀会有侧峰的存在, 随着循环长度的加长, 侧峰的峰值越大, 而本文算法在其他位置的值都非常小, 从而提高了本文算法定时的准确性。

MSE均方误差估计反映了估计的偏差和方差, 因此可以通过MSE来衡量各个算法的性能, 由于S&C算法存在定时平台, 定时位置的选择存在一定的误差, 而且其性能比Minn算法差, 所以在此就不做仿真比较。

图2给出了多径信道下三种算法定时估计的MSE曲线。在信噪比低于5 d B时, 本文算法的定时误差比较大;当信噪比大于5 d B时, 其性能优于Park算法、Minn算法。

图3显示了在假设定时准确的前提下, S&C算法、Moose算法以及本文算法的小数频偏估计范围。由图可以看出与Moose的算法相比, 本文算法的训练序列的长度是Moose算法的1 2, 但是频偏估计范围增大为2倍。

为了更好地研究时频联合估计的性能, 本文仿真了S&C算法、Minn算法和本文算法在AWGN环境下时频联合估计下的频偏估计的MSE, 如图4所示。可以看出, 本文算法在时频联合估计下的频偏估计性能优于S&C算法以及Minn算法。

6 结语

本文提出了一种精确的时频联合估计的算法, 其定时同步方法能有效地避免S&C方法的定时平台和Minn方法出现多个峰值的不足, 同时避免Park算法侧峰的出现。仿真分析表明, 在高斯信道以及瑞利衰落信道下的定时同步性能比Park算法好, 时频联合估计下的小数倍频偏估计的均方误差与S&C算法基本相当。因此本文提出的方法能较好地完成时频联合估计。

摘要：针对基于共轭对称序列的OFDM同步算法的不足, 设计了具有重复共轭对称并加权PN序列因子的新型同步训练序列, 提出了一种适用于OFDM系统的时频同步联合估计算法。利用训练序列的重复共轭对称性和伪随机序列的相关性来完成定时同步。在定时同步的基础上利用去除PN序列后的重复共轭对称序列计算小数倍频偏估计。仿真结果显示, 与已有算法相比, 所提算法在定时方面可以有效消除Park算法的侧峰, 在瑞利衰落信道下定时准确性较高, 在AWGN环境下频偏估计性能也有明显的改善。

关键词：正交频分复用,定时同步,频偏估计,训练序列,伪随机序列

参考文献

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