二年级数学上册测试题

2024-10-06

二年级数学上册测试题（精选12篇）

二年级数学上册测试题篇1

二年级数学上册试题

一、看谁算得又对又快。(9分)

2×3= 12+26= 5×2=

5×7= 15-3= 2×4=

9×3= 24+13= 7×2=

二、填空。(每空1分，共30分)

1、人民币的单位有( )、( )、( )。

2、找规律填空。

( )4 6 ( )10 ( ) ( )

( ) 15 20 ( ) 30 ( ) ( )

3、7+7+7=( )×( )。

4、3个4是( )，加法算式是( ), 乘法算式是( )，读作( )，口诀是( )。

5、在○里填上“+”“-”“×”。

4 ○ 4=16 2 ○ 5=10 10 ○ 8=2

16 ○ 4=20 2 ○ 3=6 30 ○ 5=35

6、将口诀补充完整。

三( )十二四( )二十八五六( )

( )九十八 ( )七二十一四八( )

三、连一连。(10分)

1、送信。

5×2 2×9 4+4 20+8 1×5 3×6

2、下面的图形各是从哪张纸上剪下来的?连一连。

四、选择题。(每题2分，共6分)

1、最小的人民币单位是( )

①元 ②角 ③分

2、爸爸给聪聪买了一个书包，用了( )

①35分 ② 35元 ③35角

3、5+5+5+5表示( )

①5个4相加 ②4个5相加 ③4个5相乘

五、看图列式计算。(每题8分，共16分)

六、解决数学问题(前3题12分，第4题17分，共29分)

1、一组有8名同学，4组共有多少名同学?

2、我有5元钱，买一个本子3元，还要找回多少钱?

3、一支圆珠笔3元5角，一个橡皮擦1元，我有5元钱够不够?

4、题目如图：

(1)笑笑买2包饼干，需要多少钱?

(2)淘气买5块点心，需要多少钱?

(3)智慧老人买4瓶汽水和1瓶果汁一共需要多少元?

(4)你还能提出什么数学问题呢?请列式解答。

七、附加题(10分)

小朋友们去操场做操，二年级(1)班的同学排成一排，方方的前

面有5个人，她后面有6个人，这一排一共有多少人?

参考答案

一、6、38、10、35、12、8、27、37、14

二、1、元、角、分

2、 2、8、12、14 10、25、35、40

3、3×7 4、12、4+4+4、3×4、3乘4、三四十二

5、×、×、-、+、×、+

6、四、七、三十、三、三、三十二

三、连线(略)

四、选择题 3、2、2

五、看图列式计算

3、5、15 、5+5+5=15、3×5=15、5×3=15

3、2、6、 2+2+2=6、2×3=6、3×2=6

六、解决数学问题

1、 4×8=32(名)答：4组共有32名同学。

2、 5-3=2(元)答：还要找回2元。

3、3元5角+1元=4元5角答:我有5元钱够了。

4、(1)2×5=10(元)答：需要10元钱。

(2)3×5=15(元)答：需要15元钱。

(3)2×4+4=12(元)答：一共需要12元。

(4)提数学问题(略)

七、附加题

5+6+1=12(人)

答：这一排一共有12人。

二年级数学上册测试题篇2

第一次教学设计:

教学过程:

一、情境导入, 揭示课题

1.创设情境, 认识新朋友乐乐, 开始出现一张图猜猜谁是乐乐。

2.跟乐乐进入数学王国碰到一扇密码门, 密码是由1、2和3组成的两位数, 每个两位数的十位数和个位数不能一样, 通过密码门就能进入数学王国。

通过小组合作, 交流汇报, 学生板演, 教师引导, 得出三组不同的排列方法:

第一组:12、21、13、31、23、32学生介绍自己的想法。

教师引导:你先选了哪两个数字调换位置?再选了哪两个数调换位置?揭示调换位置法。

第二组:12、13、21、23、31、32学生介绍自己的想法。

教师引导:先选1固定在十位上, 和剩下的2、3分别组成12、13;再选2固定在十位上, 和剩下的1、3分组成21、23;然后选3固定在十位上, 和剩下的1、2组成31、32。揭示固定十位法。

第三组:引导既然可以固定十位来摆数, 那是不是也可以固定个位摆数呢?

得出21、31、12、32、13、23学生介绍自己的想法。

教师引导:这种方法先选1固定在个位, 再选2固定在个位, 然后选3固定在个位, 分别和另外的两个数组成不同的数。可以把这种方法叫什么呢?揭示固定个位法。

教师小结:引导学生要有顺序的思考, 才能不重复不遗漏。

揭示课题并板书:排列与组合。

二、探究新知

1.握手问题。进入数学王国, 碰见两个新朋友, 想跟他们握手表示友好, 每两个人握一次, 可以握几次。

2.吃点心问题。数学王国的小精灵看小朋友这么能干, 来给大家送点心了, 面包、包子、饼干, 送给三个小朋友各一种, 一共有多少种送法?

三、巩固学习

三个人拍照留念, 可以怎么排位子?

四、小结

你学会了什么?

第一次反思:教学设计要从教材内容编排出发。

旧版人教版小学数学中数学广角中第一课时把排列与组合放在一起, 而新人教版小学数学教材中, 数学广角的第一课时只有排列, 并没有组合的内容摄入。我在备课中, 没有仔细研究新教材, 理解新教材, 把握手问题和吃点心问题放进了第一课时, 这两个都是组合的典型例题, 因此我做出了修改。而在一开始的导入中, 我出示两个小朋友让学生猜谁是乐乐, 这个知识点也不符合本课要求, 因此删去。

第二次教学设计:

教学过程:

一、情境导入, 揭示课题

(删去谁是乐乐这个环节, 直接导入, 进入密码门, 其他一样。)

揭示课题并板书:排列。

二、探究新知

1.用红黄蓝三种颜色, 分别涂头和身子, 有多少种涂法? (我的出发点是想创新, 不用书中的涂北城南城的例子, 又为了方便做课件, 我设计了这样一个涂头和身子的例子。)

2.考考你?用 0、2、3 能组成几个不同的两位数?

(这个例题也是在第一次试教中教研员指出的一个对于新知识的练习。)

三、提升拓展

1.三个人拍照留念, 可以怎么排位子?

2.吃点心问题。 (变成排列问题, 三种点心按顺序先后吃, 可以怎么选择?)

四、小结

说一说你学会了什么?

第二次反思:教学设计的案例要符合实际生活。

虽然这次试教发现了很多问题, 但是其中给我印象最深的就是我设计的用红黄蓝三种颜色, 分别涂头和身子, 有多少种涂法的问题。我的出发点是想与众不同, 没想到我的例题却出了问题, 试问世上哪有红色的头蓝色的身子呢?这个问题确实没有任何实际的意义, 也无法激起学生的学习兴趣。

数学来源于生活, 寓于生活, 并用于生活, 因此, 在数学教学中, 老师要以生活为背景, 真实的设计教学案例, 使学生把数学和生活紧密联系起来。

第三次教学设计:

教学过程:

一、情境导入, 揭示课题

揭示课题并板书:排列。

二、探究新知

1.考考你?用 0、2、3 能组成几个不同的两位数?

2.练习一: (课本中) 用红、黄、蓝 3 种颜色给地图上的两个城区涂上不同的颜色, 一共有多少种涂色方法?

3.练习二:从读、好、书三个字中任选 2 个字, 一共有多少种选法?

4.练习三:从读、好、书三个字中任选 3 个字, 一共有多少种选法?

二年级数学上册测试题篇3

一、知识海洋细填空(每空1分，共16分)

1.一个数由3个百万、3个万、3个百组成，这个数是 ( )，读作( )。

2.天王星与太阳的距离为二十八亿九千二百万，写作()，四舍五入省略亿位后面的尾数约()。

3.□45×8＞2000(在□里填较小的一位数)

□05÷49＜6(在□里填较大的一位数)

4.小红爸爸每次给小红100元生活费，小红每天用13元，可以用()天，余()元。

5.1个周角=()个平角=()个直角=()°

6.张先生自驾车出差，车速90千米/时，从甲地到乙地行驶了4小时15分，两地相距大约()千米。

7.条形统计图分()式条形统计图和()式条形统计图。

二、是非曲直明判断(对的打“√”，错的“×”)(4分)

1.最小的自然数是1。()

2.100个100是1万。()

3.角的两条边叉开的越大，角越大。()

4.江伟骑自行车的速度达60千米/时。()

三、众说纷纭慎选择(选择正确答案的字母填在括号里)(8分)

1.在除法算式中，如果被除数不变，除数缩小10倍，那么商()。(被除数、除数都不为0)

六、生活数学活应用(共24分，1~4小题每题3分，第5小题8分，第6小题4分)

1.一台电话机76元，张主任带了600元，可以买几台电话机?还剩多少元?

2.王大爷养了48只狐狸，比养的兔子少240只，养兔子的只数是狐狸的几倍?

3.时令水果店共有3人，昨天共售出苹果36箱，每箱15千克，得货款3240元。平均每千克苹果多少元?

4.小轿车从广州到北京，如果车速120千米/时，需要行驶20小时，如果车速为100千米/时，需要行驶多少小时?

5.某县城乡小学生人数增减变化情况如下表，完成下面的统计图，并回答问题。

6.李大妈做早餐，洗碗要1分钟，洗米要2分钟，洗菜要3分钟，炒菜要5分钟，下楼买包子、馒头要10分钟，烧稀饭要20分钟(用全自动电饭煲)。李大妈怎样安排才能使全家人尽快吃上早饭？(写出过程)至少需要多少分钟?

(祝贺你全部做完了，认真检查一遍，成功是属于你的!)

小学二年级数学上册期末测试题篇4

1、笔算加法时，要从()位加起，个位满十向()位进()。

2、笔算减法时，要从()位减起，个位不够减，从()位退1当()。

3、求几个相同的加数的和，用()法计算比较简便。

4、一个星期有7天，四个星期有()天，五个星期有()天，七个星期有()天。

5、一张正方形的纸有()个角，一条红领巾有()个角。

6、列竖式算减法时，把相同数位()，如果()不够减，就从()退1。

7、计算53-34时，3减4不够减，从()退1，个位要算()减()。

8、100厘米=()米

1米+50厘米=()厘米

9、写出用4、8组成的两位数()。

10、从1、3、5三个数字中，任选两个数字能组成的两位数有()个。

11、甲、乙、丙三人每两个人握一次手，三人一共握()次手。

12、买一本《数学竞赛题集》需6元。付钱的方法有很多种，请把下面几种方法补充完整。

①()张1元

②()张2元

③()张5元与()张1元

④()张2元与2张1元。

⑤()张5元与()张5角。

⑥付给10元，可以找回()元。

二、我会在()里填上“>”“<”或“=”。

52-18()25+842-7()63-1766-37()54-2559-28()23+97×7()509×7()6590-65()73-4822-6()64-5043()6×748()5×9

三、赛跑。

36+22=()-16=()-18=()+45=()-10=()56-43=()-12=()+7=()+28=()-6=()

四、生活中的数学。

1、妈妈给我买了8本故事书，买的科技书比故事书多3本，买了多少本科技书?

二年级上册数学检测试题篇5

一、我会算。（第1、2小题每题2分，3题各1分，共28分）

2×6＋10=9×8＋9=54＋6－60=32－2－20=3、3×8=9×4=7×6=5×2=1×9=6×6=7×3=8×5=0×3=4×8=

二、我会填。（每空1分，共28分）

1、4个2相加的.和是；6和8相乘得。

2、算得数，填口诀。7×5=口诀()9×6=口诀()

3、12厘米－8厘米=（）厘米15米＋2米=（）米

4、把加法算式改写成乘法算式。3＋3＋3＋3=×5＋5＋5＋5＋5＋5=

5、图中有（）个角，其中有（）个直角。

6、在○里填上“＋”“－”“×”“＞”“＜”或“=”。8○2=167○7=4913○8=542○53－113×4○146×9○52

7、比27多7的数是（）；59比34多（）。

8、（）里最大能填几？（）×7＜3034＞5×（）

9、1只8条腿,3只（）条腿,7只（）条腿。10、把口诀填完整。（）九二十七三（）十八

三、我会选。（将正确答案前面的□涂黑）（12分）

1、下面各图形中（）是角。

二年级数学上册考试题篇6

A.60 B. 40 C.80

2、一件上衣的价格是100元，先提价，在降价，现在的价格（）

A. 比原价低 B. 比原价高 C. 等于原价

3、一个三角形三个内角的度数比是5:6:7，这个三角形是（）

A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形

4、钢笔每支12元，圆珠笔每支7元，共买了6支，用了52元，钢笔买了（）支

人教版七年级上册期末测试题篇7

后来发生了 ( ) 母亲要走大路大路平顺我的儿子要走小路小路有意思不过, 一切都取决于我。我的母亲老了, 她早已习惯听从她强壮的儿子;我的儿子还小, 他还习惯听从他高大的父亲;妻子呢, 在外面, 她总是听我的。一霎时我感到了责任的重大。我想一个两全的办法, 找不出;我想拆散一家人, 分成两路, 各得其所, 终不愿意。我决定委屈儿子, 因为我伴同他的时日还长。 (选自课文《散步》)

1.上段文字中的括号内应填入的一个词是 ( ) 2分

A.争执; B.分歧; C.争端; D.矛盾。

2.文中画横线的句中应加入的标点符号是 ( ) 2分

A. , , 。, 。 B.:, 。, 。

C.:, ;, 。 D., , ;, 。

3.“我的母亲老了, 她早已习惯听从她强壮的儿子;我的儿子还小, 他还习惯听从他高大的父亲”一句中“早已”“还”分别表明了什么 4分

4.选择下列词语中书写有错误的一项 ( ) 3分

A.呈报头衔澄澈静谧;

B.霎时祷告沐浴惊惶;

C.宽恕骸骨笑柄荡漾;

D.蹒跚眩耀忙碌妥当。

5.下面关于课文句子的理解有误的一项是 ( ) 3分

A.“她现在很听我的话, 就像我小时候很听她的话一样。” (《散步》) ——“我”是个孝子, 从小听话, 现在母亲很信任“我”。

B.“但我和妻子都是慢慢地, 稳稳地, 走得很仔细, 好像我背上的同她背上的加起来, 就是整个世界。” (《散步》) ——人到中年, 肩负着承前启后的责任, 对生活有一种使命感。

C.皇帝“每一天每一点钟都要换一套衣服”, 这一句话用夸张的写法, 表现皇帝重视自己容貌的性格特点。 (《皇帝的新装》)

D.“吹着喇叭, 唱着凯歌”生动形象地写出蚊子得意忘形的情态。 (《蚊子和狮子》)

6.根据下面的内容拟一则新闻标题 (不超过32个字) 。3分

《中国城市竞争力报告NO.2》近日在北京正式面世。该报告采用综合市场占有率、城市经济增长率、综合生产率等客观指标, 利用国家经济统计局发布的2002年相关数据, 对全国200个城市综合竞争力进行了评估、分析。报告按省份对城市综合竞争力进行了排名, 芜湖市的全国排名由上年度的第63位上升至第31位, 在安徽省排名第一。

7.古诗文默写 5分

(1) 我寄愁心与明月, 。

(2) 《天净沙·秋思》中直接表达作者感情的句子是: 。

(3) 《钱塘湖春行》中颈联的诗句是: 。

(4) 《观沧海》中以虚景表现诗人主观感受的句子是: , 若出其中; , 若出其里。

第二关:阅读新时空 (40分)

(一) 文言文比较阅读 14分

文段一:晋文公守信得原卫

晋文公攻原①, 裹十日粮, 遂与大夫期②十日。至原十日而原不下, 击金③而退, 罢兵而去。士有从原中出者, 曰:“原三日即下矣。”群臣左右谏曰:“夫原之食竭力尽矣, 君姑待之。”公曰:“吾与士期十日, 不去, 是亡④吾信也。得原失信, 吾不为也。”遂罢兵而去。原人闻曰:“有君如彼其信也, 可无归乎乃降公。”卫人⑤闻曰:“有君如彼其信也, 可无从乎”乃降公。孔子闻而记之曰:“ 。” (选自《韩非子·外储说左上》)

【注释】

①原:原国。 ②期:约定。 ③金:钟。 ④亡:失去。 ⑤卫人:卫国人。

文段二:吴起守信

昔吴起①出, 遇故人而止之食。故人曰:“诺, 期返而食。”起曰:“待公而食。”故人至暮不来。起不食待之。明日早, 令人求故人。故人来, 方与之食。起之不食以俟②者, 恐其自食其言也。其为信若此, 宜其能服三军欤欲服三军, 非信不可也! (选自《韩非子·外储说左上》)

[注释]

①吴起:战国时著名的军事家。 ②俟:等待。

8.解释下列句中加点的词语, 并写出含有这个词的成语。4分

①裹十日粮裹: 成语:

②君姑待之姑: 成语:

9.翻译下面的句子。3分

(1) 夫原食竭力尽矣, 君姑待之。

(2) 故人至暮不来, 起不食待之。

10.在文中横线上用文言补出孔子记之曰的内容。2分

11.下列“之”的用法与另三个不同的一项是 ( ) 2分

A. (吴) 起食待之。

B.故人来, 方与之食。

C.诸葛孔明者, 卧龙也, 将军岂愿见之乎

D.起之不食以俟者, 恐其自食其言也。

12.文段二中, 吴起在为人处事上最值得我们学习的一点是什么从这两个故事中你悟到了什么道理3分

(二) 现代文阅读

文段一:人, 总要仰望点什么 13分

人生在世, 不能总是低头觅食, 那样会矮化得像动物一般。人, 总要仰望点什么, 向着高远, 支撑起生命和灵魂。

仰望, 从某种意义上说是一种精神上昂的生存姿态, 它使生命战栗、贯注、凝神, 形成张力, 就像鲜花绽开、泉水喷涌。它是根植于一切情愫之中又最终超越其上的永恒的精神。仰望, 就是漫漫黑夜中的灵魂追寻, 它使人重返失落的精神家园。

一位俄罗斯老画家在林间散步, “他仰望头上一轮满月从树梢后缓缓露出, 他突然被那种无与伦比的饱满和圆润, 被那种壮丽博大的景象感动得哭了起来……他看到了大自然最完美的艺术!那皎洁的月光仿佛上苍深情的注视, 仿佛天国的雪花披在他的肩头。那一刻, 谁能说他不是幸福的”

贝多芬豪迈地宣称:“我的王国在天空!”“当黄昏来临, 我满怀着惊奇感, 注视着天空, 坠入沉思。一群闪闪发光的星体在那儿旋转运行, 永无停息……此时此刻, 我神游魂驰, 精神超越了这些距我们亿万公里的群星, 一直向那万物之源奔去……渐渐地, 我试着把那团激情转化为音响……打开心坎的东西, 必定来自天空!”

仰望就是追寻崇高。也许我们抵达不到崇高, 但我们可以仰望, 让崇高引领, 在人世中行走, 穿越灵魂, 在心灵根底树起精神的皇座, 把立在大地上的血肉之躯与高高在上的精神品格结合起来, 感悟到皈依的崇高, 最终作为生命的坚强支柱而矗立在世界上, 支撑起富于意义与价值的生命世界。

一次, 仰望诺日朗大瀑布。瀑布从一片绿色的灌木丛中流出来, 突然跌入深谷, 形成一缕缕雪白的水帘, 千姿百态地垂挂在宽阔的绝壁上, 深谷中, 飞扬起一片水雾。然而走近它, 抬头仰望大瀑布, 才真正领略到那惊心动魄的气势。云雾迷蒙的天上, 仿佛裂开一道巨大的豁口, 天水从豁口处汹涌而下, 浩浩荡荡, 一落千丈, 在山谷激起飞扬的水花和震耳欲聋的回声。站在大瀑布前, 感觉自己只是漫天飘洒的水雾中的一滴水珠。仰望大瀑布, 人类那一点可怜的悲哀, 又有何资格絮叨呢

人, 总要仰望点什么, 一轮红日, 一弯新月, 一片云朵, 一座山峰, 一棵古树……只要能激起你心底的波澜, 哪怕是一丝涟漪。当你仰望时, 一股庄严神圣的力量就会从你内心涌起!

(摘自2006年第2期《读者》, 有删节)

13.本文的主要观点是什么请找出来写在下面。2分

14.文中第2段, 作者对“仰望”的含义从多方面作了阐释, 请从中概括出三点。3分

15.“那一刻, 谁能说他不是幸福的”这句话运用了什么修辞手法意在表明人什么3分

16.作者认为仰望的实质是什么 (选用文中句子回答) 2分

17.你怎样理解 “把立在大地上的血肉之躯与高高在上的精神品格结合起来”, 这句话的含义3分

文段二:从一个微笑开始 13分

又是一年春柳绿。

春光烂漫, 心里却丝丝犹豫纠缠, 问依依垂柳, 怎么办

不要害怕开始, 生活总把我们送到起点, 勇敢些, 请现出一个微笑, 迎上前!

一些固有的棋局打破了, 现出一些个陌生的局面, 对面是何人。周遭何冷然心慌慌, 真想退回到从前, 但是日历不能倒翻。当一个人在自己的屋里, 无妨对镜沉思, 从现出一个微笑开始, 让自信、自爱、自持从外向内, 在心头凝结为坦然。

是的, 眼前将会有更多的变故, 更多的失落, 更多的背叛, 也会有更多的疑惑, 更多的烦恼, 更多的辛酸。但是我们带着心中的微笑, 穿过世事的云烟, 就可以学着应变, 努力耕耘, 收获果实, 并提升认知, 强健心弦, 迎向幸福的彼岸。

地球上的生灵中, 唯有人会微笑, 群体的微笑构筑和平, 他人的微笑导致理解, 自我的微笑则是心灵的净化剂。忘记微笑是一种严重的生命疾患, 一个不会微笑的人可能拥有名誉, 地位和金钱, 却一定不会有内心的宁静和真正的幸福, 他的生命中必有隐蔽的遗憾。我们往往因成功而狂喜不已, 或往往因挫折而痛不欲生。当然, 开怀大笑与号啕大哭都是生命的自然悸动, 然而我们千万不要将微笑遗忘。唯有微笑能使我们享受到生命底蕴的醇味, 超越悲欢。

他人的微笑, 真伪难辨。但即使是虚伪的微笑, 也不必怒目相视, 仍可报以一粲;即使是阴冷的奸笑, 也无妨还以笑颜。微笑战斗, 强似哀兵必胜, 那微笑是给予对手的饱含怜悯的批判。

微笑毋庸学习, 生与俱会, 然而微笑的能力却有可能退化。倘若一个人完全丧失了微笑的心绪, 那么, 他应该像防癌一样, 赶快采取措施, 甚至对镜自视, 把心底的温柔、顾念, 自惜、自信丝丝缕缕捡拾回来。从一个最淡的微笑开始, 重构自己灵魂的免疫系统, 再次将胸怀拓宽。微笑吧!在每一个清晨, 向着天边第一缕阳光;在每一个春天, 面对着地上第一株新草;在每一个起点, 遥望着也许还看不到的地平线......

相信吧, 从一个微笑开始, 那就离成功很近, 离幸福不远!

18.“不要害怕开始, 生活总把我们送到起点, 勇敢些, 请现出一个微笑, 迎上前!”仿照句中画线的句子, 写一句话。

2分

19.在文章的中间部分, 作者联系现实生活, 有针对性的谈到了“微笑”的作用, 请你用简洁的语言概括“微笑”有哪些作用 3分

20.“不要害怕开始, 生活总把我们送到起点, 勇敢些, 请现出一个微笑, 迎上前!”这句话中的“开始”和“起点” 在上文和下一段中都有照应的句子, 请分别找出来。 4分

21.文章最后一段说“相信吧, 从一个微笑开始, 那就离成功很近, 离幸福不远!”请你结合你自己亲身的体现, 谈谈对这句话的理解。4分

第三关:综合实践 (8分)

春节是我们的传统节日, 为了加深对我国传统节日和传统文化的了解和继承, 你们学校准备放寒假之后开展了一次以传统节日为专题的调查探究活动。假定你是被调查对象之一, 请协助完成以下问卷。

22.眼看春节就要来了, 写春联已成为时尚, 请你根据已给出的上联拟写下联。2分

上联:学海无涯勤可渡

下联:

23.面对部分国人 (尤其是青年人) 对传统节日愈来愈淡漠的情况, 一些学者提出了“保卫传统节日, 弘扬传统文化”的主张。对保护传统节日你有什么好的建议, 请写出一条。 2分

24.在春节万家团圆、普天同庆的时刻, 请你为你的亲人、朋友发一条短信, 以表达你对他们春节的祝福。4分

第四关:写作演练场 (50分)

25.开放的中国迎来了世界各地的友人。2008年的北京奥运会, 将有越来越多的外国来访者驻足中国, 而我们作为东道主又应当作出什么贡献呢请以“假如我是志愿者”为题, 写一篇文章, 600字左右。

参考答案:

一、1.B.2.C.3.表明母亲对儿子的依赖;表明儿子对父亲的顺从。4.D 5.C6.芜湖城市竞争力安徽省第一。7. (1) 随君直到夜郎 (2) 西夕阳西下, 断肠人在天涯 (3) 几处早莺争暖树, 谁家新燕啄春泥 (4) 日月之行星汉灿烂

二、8.⑴携带马革裹尸裹足不前 ⑵姑且养奸姑息;指宽容坏人坏事。9. (1) 原国的粮食已吃光, 力量用完了, 国君您姑且等待一下吧。 (2) 老朋友到傍晚没来, 吴起不吃饭等他。暮, 傍晚, 天黑;食, 吃饭。10.攻原得卫者, 信也 (意思对即可) 11.D 12.为人讲信用, 或待人诚恳守信。一个人无论做什么事, 都要讲信用, 明礼守信是中华民族的传统美德, 也是一个人立足社会的重要前提。 (意思对即可) 13.人, 总要仰望点什么。

14. (1) 仰望是一种精神上昂的生存姿态, (2) 仰望是普通情感的超越与升华, (3) 仰望是对失落灵魂的苦苦追寻。

15.采用了反问的修辞手法。意在说明人只要有所仰望, 那么他也是幸福的。

16.仰望就是追寻崇高。

17.普通人达不到崇高, 但不可失去对崇高的追求。人要不断地刷新自己, 提升自己, 完善自己, 努力做一个秀外慧中的人。 (意思对即可)

18.示例:不要害怕失败, 努力总把我们送上成功。

19.帮助人们对世事沉着应变;微笑构筑和平、达到理解、是心灵的净化剂;能使我们享受到生命底蕴的醇味, 超越悲欢。

20.又是一年春柳绿。

在每一个清晨, 向着天边第一缕阳光;在每一个春天, 面对着地上第一针新草;在每一个起点, 遥望着也许还看不到的地平线……

21.略。言之有理即可。

三、22.示例:书山万仞志能攀。

23.示例:①加大传统节日的宣传力度, 提高认识, 增强人们的保护意识。②加大政府的保护和扶持力度, 将一些重要且有影响的传统节日纳入法定保护范围。③坚持继承、发展、改造、创新并重的原则, 挖掘传统节日的文化内涵, 适当融入现代元素, 使其更加人文化、生活化。

24.示例:春节将至, 祝你在新的一年里:所有的希望都能如愿, 所有的梦想都能实现, 所有的等候都能出现, 所有的付出都能兑现!

装一袋阳光, 两把海风, 自制了几斤祝福, 托人到美国买了些快乐, 法国带了两瓶浪漫, 从心里切下几许关怀, 作为春节礼物送给你!

二年级数学上册测试题篇8

1.口算。（10分）

15米+5米= 17厘米-7厘米=

15厘米+6厘米= 18米-6米=

35厘米+7厘米= 50厘米+50厘米=

25米+5米= 22米+4米=

59厘米-9厘米= 1米-3厘米=

2.列竖式计算。（6分）

45+7= 25+6= 24-5=

3. 在○里填上“<”“>”或“=”。（6分）

4米5米 28厘米82厘米

100厘米1米 6米90厘米

8厘米8米 2米40厘米

二、填空。（22分）

1.量较长物体的长度，可以用（）作单位。量较短物体的长度，可以用（）作单位。（4分）

2.过两点最多能画（）条线段。（2分）

3.（）米和（）厘米一样长。（4分）

4.看一看，填一填。（4分）

回形针长（）厘米铅笔长（）厘米。

5.量一量，填一填。（4分）

长（）厘米长（）厘米

6.数一数，下面共有几条线段？（4分）

（）条

三、判一判。（对的在括号里画“√”，错的画“€住保ǎ阜郑？

1.一张单人床长2米。（）

2.一枝自动水笔的长是16厘米。（）

3.小红爸爸的身高有170米。（）

4.长1米的木棒要比长100厘米的铁丝短一些。（）

四、选一选。（8分）

1.下图中，线段是（）。

① ② ③

2.要知道操场跑道有多长，应该用（）来量。

①三角尺 ②米尺 ③卷尺

3.冰箱大约高（）。

①75厘米 ②75米 ③175厘米

4.一棵树的高度大约是3（）。

①厘米 ②米 ③分米

五、画一画。（12分）

1.画一条长4厘米的线段。

2.画一条比5厘米长的线段。

3.画一条比7厘米短4厘米的线段。

4.在距离 2厘米处画一个□，5厘米处画一个○。

六、解决问题。（28分）

1.小明高90厘米，爸爸比小明高80厘米。爸爸高多少厘米？（5分）

2.一条绳子长40米，用去了10米，还剩多少米？（5分）

3.一支铅笔原长19厘米，现在变成14厘米，用去了多少厘米？（6分）

4.一条绳子长2米，3条绳子连接在一起，一共长多少米？（6分）

二年级数学上册测试题篇9

1、笔算两位数加法，个位满十，要向（）位进1。

2、一个数是40，另一个数是15，这两个数的和是（），这两个数的差是（）。

3、小红带100元到商店，买一件运动服用去59元，买一双运动鞋用去34元。小红的钱（）。（填“够”或“不够”）

4、在括号内填上适当的数

28=20+（）42=25+（）34=（）—7（）+77=8570=（）+34 45=81—（）

二、在○里填上“>”“<”或“=”。

87—34○40 25+55○70 81○53+38100○37+63 19○62—53 78—39○4019+63○62—53 98○62+15+15 62+26○26+6

2三、笔算。

63+36= 74—29= 27+36= 35+26—24=79—8—25= 83+14—42=

四、用竖式算算看。

68+15 76—58 81—49 70—6

3五、应用题。

1、青青做了33面小红旗，筝筝做了28面小红旗。他们一共做了多少面小红旗？

_____________________________________

2、车上原来有32人，到明珠广场站时，有19人下车，又上来12人，车上现在有多少人？

_____________________________________

3、小柔带了120元钱，准备到商店购买一双鞋子和一个书包。鞋子32元一双，书包49元一个。

（1）买一双鞋子和一个书包共需要多少钱？

_____________________________________

（2）营业员应找回小柔多少钱？

_____________________________________

二年级数学上册测试题篇10

六年级数学上册位置与方向二测试题

一、填空

1.丽丽面向北站立，向右转40°后所面对的方向是( );丁丁面向西站立，向左转40°后所面对的方向是( );豆豆面向南站立，向左转40°后所面对的方向是( );齐齐面向东站立，向右转40°后所面对的方向是( )。

2.以学校为观测点。

(1)邮局在学校( )方向，距离是( )米;

(2)书店在学校( )偏( )( )°的方向上，距离是( )米;

(3)图书馆在学校( )偏( )( )°的方向上，距离是( )米;

(4)电影院在学校( )偏( )( )°的方向上，距离是( )米。

3.下面是雷达站和几个小岛的`位置分布图，以雷达站为观测点。

(1)A岛的位置在( )偏( )( )方向上，距离雷达站( )km;

(2)B岛的位置在( )偏( )( )方向上，距离雷达站( )km;

(3)C岛的位置在南偏西35°方向上，距离雷达站60 km处。请在图中画出C岛的准确位置。

4.看图回答问题。

(1)

(2)如果每小格的边长为400米，从商店到学校再到小青家共( )米;

(3)如果每小格的边长为400米，小青每分钟走80米，她从家里出发到汽车站需要( )分钟。

5.看图回答问题。

(1)右图为某路公交车的行车路线。从广场出发向( )行驶( )站到电影院，再向( )行驶( )站到商场，再向( )偏( )的方向行驶( )站到少年宫，再向( )偏( )的方向行驶( )站到动物园。

(2)贝贝从幸福路站出发坐了4站，他可能在( )站或( )站下车。

(3)京京坐了3站在少年宫下车，她可能是从( )站或( )上车的。

二、选择

1.图书馆在剧院的东偏南30°方向500米处，那么剧院在图书馆的( )。

A.东偏南30°方向500米处 B.南偏东60°方向500米处

C.北偏西30°方向500米处 D.西偏北30°方向500米处

2.如图，山东省在北京市的( )。

A.西偏南方向

B.东偏南方向

C.西偏北方向

D.北偏西方向

3. 以学校为观测点，广场在西偏北30°的方向上，下图中正确的是( )。

4.如图，下面说法正确的是( )。

A.小红家在广场东偏北60°方向上，距离300米处

B.广场在学校南偏东35°方向上，距离200米处

C.广场在小红家东偏北30°方向上，距离300米处

D.学校在广场北偏西35°方向上，距离200米处

5.小林是北京人，学习了本单元的知识后，他在院子里立了一根竹竿，中午时影子与竹竿在一条直线上，下午某一时刻影子向右移动了30°，这时的太阳在( )方向。

A.南偏东30° B.南偏西30° C.北偏东30° D.北偏西30°

三、解答

1.根据下面的描述，在平面图上标出各场所的位置。

(1)小彬家在广场西南方向1200米处;

(2)小丽家在广场北偏西20°方向600米处;

(3)柳柳家在广场东偏北30°方向900米处。

2.一艘军舰，从起点向东偏北60°行驶72千米后向东行驶36千米，最后向北偏西30°行驶24千米到达终点。

(1)根据上面的描述，把军舰行驶的路线图画完整;

(2)根据路线图，说一说军舰按原路回程时所行驶的方向和路程;

(3)如果从终点返回起点用了4小时，这艘军舰返回时的速度是多少?

3.豆豆上学：

(1)看图描述豆豆从家到学校的路线;

(2)如果豆豆每分钟走60米，豆豆从家到学校需要多少分钟?

(3)学校8:00开始上课。一天早上，豆豆7:30从家出发走到商场时，发现没带数学课本。于是他赶回家取了课本后继续上学。如果豆豆每分钟走60米，他会迟到吗?

4.张华从家往正东方向走600米到红绿灯处，再往西北方向走300米到书店，最后往东偏北30°方向走450米到学校。

(1)画出张华到学校的路线示意图;

二年级数学上册测试题篇11

[教学目标]

1.体会加法的意义，掌握两位数加两位数不进位加法的笔算方法，理解相同数位上的数才能相加的道理。

2.经历探索和交流两位数加两位数不进位加法的口算和笔算方法，体会算法的多样性，解决实际问题。

3.培养学生认真、书写工整的习惯，在动手操作的过程中初步培养学习能力和学习情感，享受成功的喜悦。

[教学重点]

1.理解相同数位上的数才能相加的道理。

2.掌握笔算的计算方法，能熟练计算。

[教学难点]

理解相同数位上的数才能相加的道理，即笔算中的“对位”问题。

[教具、学具准备]课件、小棒、直尺

[教学过程]

一、铺垫引入

（一）复习

（1）开火车口算

30+40= 40+50= 83+5= 33+6=

20+60= 10+25= 21+30= 45+30=

（2）指名说说以下几个数由几个十和几个一组成的：73、63、40

（二）创设情景，导入新课

1.观察情景图，获得信息

师：学校组织二年级的同学去参观博物馆。看，他们来到了博物馆门前，小精灵明明正热烈地欢迎他们呢！我们一起去看看吧（出示情境图）

出示P11主题图，请同学们仔细观察这幅图，你发现了哪些数学信息？说给你小组的同学听一听。

全班汇报发现。（二（1）有35人，二（2）有32人，二（3）37 人，二（4）34人，每班由2名带队老师）

2.看图提问

师：你能根据图来提出数学问题吗？（生自由回答。）

师：有这么多的问题，关于二（一）班学生和本班的带队老师一共有多少人我们如何解答呢？二（一）班和二（二）班一共有多少名学生呢？（学生独立思考。）

二、探究建模

1.出示：二（1）班和本班的带队老师一共多少人？

小组合作，也可以请小棒来帮忙。

学生汇报：（1）用口算35+2=37。（2）用小棒，先摆3捆5根，再摆2根，合起来是3捆零7根，也就是37。（3）我使用竖式计算的，个位5+2=7，在个位写7，十位3+0=3，在十位下面写3，所以等于37。师生共同写竖式，再讨论总结列竖式应注意的问题。（数位要对齐，分开点写，用尺子）。

2.出示例2，二（1）班和二（2）班一共有多少名学生？用你喜欢的方法解决第二个问题。选出比较快的人，说一说是用的什么方法。

3.用竖式计算应注意什么？（个位和个位对齐，十位和十位对齐。从个位加起，个位相加的数写在个位下面，十位相加的数写在十位下面。）

4.出示课题：两位数加两位数（不进位加法）。

三、巩固练习

完成P12和P13做一做，学生独立完成。

指名板演笔算过程，同时教师巡视、指导，共同订正。

四、回顾小结

通过今天的学习，你又学会了什么？教师引导梳理。

二年级数学上册测试题篇12

本大题共12小题, 每小题5分, 共60分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.

1.设集合则∁I (P∩Q) = ( ) .

(A) {1, 4} (B) {2, 3}

2. (理科) 设a, b∈R且a≠0, 若复数 (a+bi) 3是纯虚数, 则

$\begin{array}{l} \frac{b}{a} = () . \\ (A) \pm \frac{1}{3} (B) \pm \frac{\sqrt{3}}{3} \\ (C) \pm 3 (D) \pm \sqrt{3} \end{array}$

(文科) 若向量a, b, c满足a+b+c=0, 则a, b, c ( ) .

(A) 一定能构成一个三角形

(B) 一定不能构成一个三角形

(D) 都是非零向量时也可能无法构成一个三角形

3. (理科) 设函数其中a>0且a≠1, 若 $f (- \frac{1}{9}) = - \frac{1}{2}$ , 则 $f^{- 1} (\frac{1}{4})$ 值为 ( ) .

$\begin{array}{l} (A) 1 (B) \frac{1}{4} \\ (C) 3 (D) \frac{1}{81} \end{array}$

(文科) 函数 $y = \frac{x}{x - 1} (x \geq 2)$ 的值域为 ( ) .

(A) {y︱y≠1且y∈R}

(B) {y︱1<y≤2}

(D) {y︱y≤2}

4.已知 $f (x) = \sin (x + \frac{π}{2}) ‚ g (x) = \cos (x - \frac{π}{2})$ , 则下列命题中正确的是 ( ) .

(A) 函数y=f (x) ·g (x) 的最小正周期为2π

(B) 函数y=f (x) ·g (x) 是偶函数

(D) 函数y=f (x) +g (x) 的一个单调递增区间是 $[- \frac{3 π}{4}, \frac{π}{4}]$

5. (理科) 已知三个正态分布密度函数 $f_{i} (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π} σ_{i}} e^{- \frac{(x - μ_{i})^{2}}{2 σ_{i}^{2}}} (x \in R ‚ i = 1 ‚ 2 ‚ 3)$ 的图象如图1所示, 则 ( ) .

(A) μ1<μ2=μ3, σ1=σ2>σ3

(B) μ1>μ2=μ3, σ1=σ2<σ3

(D) μ1<μ2=μ3, σ1=σ2<σ3

(文科) 某化工厂有职工320人, 其中工人240人, 管理人员48人, 其余为后勤人员.在一次职工工作情况抽样调查中, 如果用分层抽样的方法, 抽得工人的人数是30人, 那么这次抽样调查中样本的容量是 ( ) .

(A) 30 (B) 40

6. (理科) 已知x, y满足线性约束条件:若目标函数z=-x+my取最大值的最优解有无数个, 则m= ( ) .

(A) -3或 $- 2 (B) - \frac{1}{2}$ 或 $\frac{1}{3}$

(文科) 下面给出的四个点中, 到直线x-y+1=0的距离等于 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ , 且位于

${\begin{cases} x + y - 1 < 0, \\ x - y + 1 > 0 \end{cases}$

表示的平面区域内的点是 ( ) .

(A) (1, 1) (B) (-1, 1)

7.已知焦点 (设为F1和F2) 在x轴上的双曲线上有一点 $Ρ (x_{0} ‚ \frac{3}{2})$ , 直线 $y = \sqrt{3} x$ 是双曲线的一条渐近线, 当 $\vec{Ρ F_{1}} \cdot \vec{Ρ F_{2}} = 0$ 时, 该双曲线的一个顶点坐标是 ( ) .

$\begin{array}{l} (A) (\sqrt{2} ‚ 0) (B) (\sqrt{3} ‚ 0) \\ (C) (2 ‚ 0) (D) (1 ‚ 0) \end{array}$

8. (理科) 在等腰直角三角形ABC中, 斜边 $A B = 4 \sqrt[]{2} ‚ D ‚ E$ 分别是AB, AC边的中点, 沿DE将△ADE折起, 使A到A′的位置, 若二面角A′-DE-A是120°, 则BC与面A′DE的距离等于 ( ) .

$\begin{array}{l} (A) 2 (B) 3 \\ (C) \sqrt{2} (D) \sqrt{3} \end{array}$

(文科) 在正四棱柱A1B1C1D1-ABCD中, 若AA1=2AB, 则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为 ( ) .

$\begin{array}{l} (A) \frac{1}{5} (B) \frac{2}{5} \\ (C) \frac{3}{5} (D) \frac{4}{5} \end{array}$

9.设 $\vec{Ο Ρ_{1}} ‚ \vec{Ο Ρ_{2}} ‚ \vec{Ο Ρ_{3}}$ 是同一平面上的单位向量, 则“ $\vec{Ο Ρ_{1}} + \vec{Ο Ρ_{2}} + \vec{Ο Ρ_{3}} = 0$ ”是“△P1P2P3为正三角形”的 ( )

(A) 充分不必要条件

(B) 必要不充分条件

(D) 既不充分又不必要条件

10. (理科) 已知数列{an}的前n项的和为其中a>0, 则 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{S_{n}} = () .$

(A) 0 (B) 0或1

(文科) 设数列: $1 ‚ 1 + \frac{1}{2} ‚ 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} ‚ \dots ‚ 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \dots + \frac{1}{2^{n - 1}} ‚ \dots$ 的前n项和为Sn, 则Sn等于 ( ) .

$\begin{array}{l} (A) 2 n + \frac{1}{2^{n - 1}} (B) \frac{1}{2^{n - 1}} \\ (C) 2 n - 1 + \frac{1}{2^{n}} (D) 2 n - 2 + \frac{1}{2^{n - 1}} \end{array}$

11.已知等腰三角形的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ , 顶角的正弦值是底角的正弦值的 $\sqrt{3}$ 倍, 则该三角形一腰的长为 ( ) .

$\begin{array}{l} (A) \sqrt{2} (B) \sqrt{3} \\ (C) 2 (D) \sqrt{6} \end{array}$

12.设函数f (x) 的定义域为A, 若存在非零实数t, 使得对于任意x∈C (C⊆A) , 有x+t∈A, 且f (x+t) ≤f (x) , 则称f (x) 为C上的t低调函数.如果定义域为[0, +∞) 的函数f (x) =-︱x-m2︱+m2, 且f (x) 为[0, +∞) 上的10低调函数, 那么实数m的取值范围是 ( ) .

$\begin{array}{l} (A) [- 5 ‚ 5] (B) [- \sqrt{5} ‚ \sqrt{5}] \\ (C) [- \sqrt{10} ‚ \sqrt{10}] (D) [- \frac{\sqrt{5}}{2}, \frac{\sqrt{5}}{2}] \end{array}$

二、填空题:本大题共4小题, 每小题4分, 共16分.把答案填在题中的横线上.

13.已知函数 $f (x) = \sin x - \cos (x - \frac{π}{6}) ‚ x \in [0 ‚ 2 π)$ , 则满足f (x) >0的x值的集合为____.

14.图2给出的是计算 $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \dots + \frac{1}{20}$ 的值的一个程序框图, 其中菱形判断框内应填入的条件是____.

15.设a>2b>0, 则 $(a - b)^{2} + \frac{9}{b (a - 2 b)}$ 的最小值是____.

16.给出下列命题:

①“sinα-tanα>0”是“α是第二或第四象限角”的充要条件;

②平面直角坐标系中有三个点A (4, 5) , B (-2, 2) , C (2, 0) , 则 $\tan A B C = \frac{4}{3}$ ;

③函数 $f (x) = \cos^{2} x + \frac{3}{\cos^{2} x}$ 的最小值为 $2 \sqrt[]{3}$ ;

④设[m]表示不大于m的最大整数, 若x, y∈R, 那么[x+y]≥[x]+[y].

其中所有正确命题的序号是____.

三、解答题:本大题共74分.解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.

17. (本小题满分12分) 设△ABC三个角A, B, C的对边分别为a, b, c, 向量p= (a, 2b) , q= (sinA, 1) , 且p//q.

(Ⅰ) 求角B的大小;

(Ⅱ) 若△ABC是锐角三角形, m= (cosA, cosB) , n= (1, sinA-cosAtanB) , 求m·n的取值范围.

18. (本小题满分12分) (理科) 已知函数 $f (x) = \frac{3}{2} a x^{2} (a \neq 0) ‚ g (x) = - 6 x + \ln x^{3} .$

(Ⅰ) 若函数h (x) =f (x) -g (x) 有两个极值点, 求实数a的取值范围.

(Ⅱ) 是否存在实数a>0, 使得方程g (x) =xf′ (x) -3 (2a+1) x无实数解?若存在, 求出a的取值范围;若不存在, 请说明理由.

(文科) 已知函数 $f (x) = \frac{2}{3} x^{3} - (2 m + 1) x^{2} - 6 m (m - 1) x + 1 ‚ x \in R .$

(Ⅰ) 当m=-1时, 求函数y=f (x) 在[-1, 5]上的单调区间和最值;

(Ⅱ) 设f ′ (x) 是函数y=f (x) 的导数, 当函数y=f ′ (x) 的图象在 (-1, 5) 上与x轴有唯一的公共点时, 求实数m的取值范围.

19. (本小题满分12分) 如图3, 正方形ABCD所在平面与圆O所在平面相交于CD, 线段CD为圆O的弦, AE垂直于圆O所在平面, 垂足为E.若AE=3, 圆O的直径为9.

(Ⅰ) 求证:平面ABCD⊥平面ADE;

(Ⅱ) 求二面角D-BC-E的平面角的正切值.

20. (本小题满分14分) 某幸运观众参加电视节目抽奖活动, 抽奖规则是:在盒子里预先放有大小相同的5个小球, 其中一个绿球, 两个红球, 两个白球.该观众依次从盒子里摸球, 每次摸一个球 (不放回) , 若累计摸到两个白球就停止摸球, 否则直到将盒子里的球摸完才停止.规定:在摸球停止时, 只有摸出红球才获得奖金, 奖金数为摸出红球个数的1000倍 (单位:元) .

(Ⅰ) 求该幸运观众摸三次球就停止的概率;

(Ⅱ) (理科) 设ξ为该幸运观众摸球停止时所得的奖金数 (元) , 求ξ的分布列和数学期望Eξ.

(文科) 求该幸运观众获得1000元奖金的概率.

21. (本小题满分14分) 设椭圆C的中心在坐标原点O, 焦点在x轴上, 短轴长为 $2 \sqrt[]{21}$ , 左焦点到左准线的距离为 $3 \sqrt[]{7} .$

(Ⅰ) 求椭圆C的方程;

(Ⅱ) 设椭圆C上有不同两点P, Q, 且OP⊥OQ, 过P, Q的直线为l, 求点O到直线l的距离.

请考生在第22, 23, 24三题中任选一题做答, 如果多做, 则按所做的第一题记分.

22. (本小题满分10分) 选修4-1:几何证明选讲

如图4, △ABC是⊙O的内接三角形, PA是⊙O的切线, PB交AC于点E, 交⊙O于点D, 若PE=PA, ∠ABC=60°, PD=1, BD=8, 求BC的长.

23. (本小题满分10分) 选修4-4:坐标系与参数方程

已知直线l经过点P (1, 1) , 倾斜角 $α = \frac{π}{6} .$

(Ⅰ) 写出直线l的参数方程;

(Ⅱ) 设l与圆x2+y2=4相交于两点A, B, 求点P到A, B两点的距离之积.

24. (本小题满分10分) 选修4-5:不等式选讲

如果a, b, c∈R+, 求证: $\frac{a^{3} + b^{3} + c^{3}}{3} \geq (\frac{a + b + c}{3})^{3}$ (当且仅当a=b=c时, 等号成立) .

参考答案

$\begin{array}{l} 1 . A . ∵ Ι = {x | \begin{array}{l} \end{array} | x - 2 | \leq 2 ‚ x \in Ν^{*}} = {1 ‚ 2 ‚ 3 ‚ 4} ‚ Ρ \cap Q = {2 ‚ 3} ‚ \\ ∴ ∁_{Ι} (Ρ \cap Q) = {1 ‚ 4} ‚ 选 A . \end{array}$

2. (理科) B. (a+bi) 3=a3+3a2bi+3a (bi) 2+ (bi) 3=a3-3ab2+ (3a2b-b3) i,

由已知得a3-3ab2=0, a≠0, ∴ a2=3b2, b≠0,

∴ 3a2b-b3=b (3a2-b2) =8b3≠0, 于是 $\frac{b}{a} = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$ , 选B.

(文科) D.反例法:从一个正三角形的中心出发的三个单位向量, 夹角均为120°, 它们的和为零向量, 但不能构成三角形;三个共线的非零向量之和为零向量时, 它们也不能构成三角形.在三角形ABC中, $\vec{A B} + \vec{B C} + \vec{C A} = 0, ∴$ 和为零向量的三个向量可能构成三角形.选D.

$\begin{array}{l} 3 . (理科) C . ∵ f (- \frac{1}{9}) = - \frac{1}{2} ‚ \\ ∴ - 2^{a (- \frac{1}{9})} = - \frac{1}{2} ‚ 解之 ‚ 得 a = 9 . \end{array}$

$\begin{array}{l} ∴ f (x) = {\begin{cases} - 2^{9 x} (x \leq 1), \\ \log_{81} x (x > 1), \end{cases} \\ ∴ f^{- 1} (x) = {\begin{cases} \frac{1}{9} \log_{2} (1 - x) (- 2^{9} \leq x < 0), \\ 81^{x} (x > 0), \end{cases} \end{array}$

由34=81, 得 $f^{- 1} (\frac{1}{4}) = 3$ , 选C.

另解:由互为反函数的两个函数的性质——“定义域与值域互换”知, 当x≤1时, $f (x) ＜ 0, f (x) = \frac{1}{4}, ∴ \log_{a^{2}} x = \frac{1}{4} \Rightarrow x = 3 .$

(文科) B.将原式整理得 $y = 1 + \frac{1}{x - 1}$ , 令u=x-1, 则 $u \geq 1 ‚ ∴ y = 1 + \frac{1}{u}$ , 得1<y≤2, 选B.

$\begin{array}{l} 4 . D . 化简函数 ‚ 得 f (x) = \cos x ‚ g (x) = \sin x ‚ \\ ∴ f (x) g (x) = \frac{1}{2} \sin 2 x, ∴ Τ = π, \\ [f (x) g (x)]_{\min} = - \frac{1}{2}, ∴ A ‚ B 错 . 选 D . \end{array}$

5. (理科) D.根据正态分布密度函数的性质可知, x=μ表示对称轴, δ表示曲线的分散程度, δ越大, 分布越分散.由题图可知, f1 (x) 和f2 (x) 的分散程度一致, 因此δ1=δ2<δ3, f2 (x) 和f3 (x) 的对称轴相同, 因此, μ1<μ2=μ3.∴ 选D.

(文科) B.根据题意知, $\frac{x}{320} = \frac{30}{240}, x = 40 .$

6. (理科) C.作出线性约束条件所表示的可行区域, 如图, 将目标函数变形, 得 $y = \frac{x + z}{m}$ , 根据平移直线法, 只需平移直线 $y = \frac{x}{m}$ 即可.

当m>0时, 直线 $y = \frac{x + z}{m}$ 在y轴上的截距越大, z就越大, 将 $y = \frac{x}{m}$ 向上平移至与直线x-2y+3=0平行的位置时, 可得目标函数有无数个最大值的最优解, $∴ \frac{1}{m} = \frac{1}{2}, ∴ m = 2;$

当m<0时, 直线 $y = \frac{x + z}{m}$ 在y轴上的截距越小, z就越大, 将 $y = \frac{x}{m}$ 向上平移至与直线2x-6y-9=0平行的位置时, 符合题意, $∴ \frac{1}{m} = - \frac{1}{3} \Rightarrow m = - 3 . ∴$ 选C.

(文科) C.根据题意, 将各点代入验证即可得到答案.

7.D.由已知可设双曲线的方程为

$∴ \vec{Ρ F_{1}} ⊥ \vec{Ρ F_{2}}$ 于是 $| \vec{Ο Ρ} |^{2} = | \vec{Ο F_{2}} |^{2}$ ,

则 $x_{0}^{2} + (\frac{3}{2})^{2} = \frac{λ}{3} + λ$ .又 $3 x_{0}^{2} - (\frac{3}{2})^{2} = λ ‚$

∴ 消去x0, 解之, 得λ=3.

因此双曲线方程为 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1 ‚ a = 1$ , 选D.

另解:由面积公式得到关系式: $b^{2} \cot 45 ° = \frac{1}{2} \cdot 2 c \cdot \frac{3}{2}, ∴ b^{2} = \frac{3}{2} c$ .又 $b^{2} = 3 a^{2}, c^{2} = 4 a^{2}, ∴ b^{2} = 3 a^{2} = \frac{3}{2} \cdot 2 a = 3 a, ∴ a = 1$ 或a=0 (舍) , ∴ 选D.

8. (理科) D.根据题意作出符合条件的图形, 由D, E分别是AB, AC边的中点知, AE⊥DE, A′E⊥DE, ∴ ∠AEA′就是二面角A′-DE-A的平面角, ∴ ∠AEA′=120°, ∴ ∠A′EC=60°.

又∵ A′E=AE=EC=2, ∴ △A′EC是正三角形, 取A′E中点F, 连结CF, 则CF⊥A′E.

又∵ DE//BC, ∴ CF⊥面A′ED, ∴ CF就是BC到面A′DE的距离, $∴ C F = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 2 = \sqrt{3} .$

∴ 选D.

(文科) D.设AB=a, 则AA1=2a, 如图, 则 $A_{1} B = B C_{1} = \sqrt{5} a$ , 设所成角为α, 则由余弦定理知, $(\sqrt{2} a)^{2} = 5 a^{2} + 5 a^{2} - 2 \cdot \sqrt{5} a \cdot \sqrt{5} \cos α \Rightarrow \cos α = \frac{4}{5} . ∴$ 选D.

9.C. (充分性) ∵ (D为P2P3的中点) ,

∴ O在△P1P2P3的P2P3的中线上.

同理, O在△P1P2P3的边P1P3的中线上,

因而O是△P1P2P3的重心.

又 $| \vec{Ο Ρ_{1}} | = | \vec{Ο Ρ_{2}} | = | \vec{Ο Ρ_{3}} | = 1 ‚ ∴ Ο$ 是三角形P1P2P3的外心, 表明△P1P2P3是正三角形.

(必要性) 由正三角形的性质可知, 结论显然成立, 选C.

10. (理科) D.当n≥2时, $a_{n} = \frac{1}{a^{n}} - \frac{1}{a^{n - 1}}$ ,

$\begin{array}{l} 所以 S_{n} = 1 + \frac{1}{a} + (\frac{1}{a^{2}} - \frac{1}{a}) + (\frac{1}{a^{3}} - \frac{1}{a^{2}}) + \dots + (\frac{1}{a^{n}} - \frac{1}{a^{n - 1}}) = 1 + \frac{1}{a^{n}} = \frac{1 + a^{n}}{a^{n}} ‚ ∴ \frac{1}{S_{n}} = \frac{a^{n}}{1 + a^{n}}, \\ ∴ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{S_{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{a^{n}}{1 + a^{n}} = {\begin{cases} 0 (0 < a < 1), \\ \frac{1}{2} (a = 1), \\ 1 (a > 1), \end{cases} 选 D . \end{array}$

(文科) D.设数列的通项为an, 则

$\begin{array}{l} a_{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \dots + \frac{1}{2^{n - 1}} = \frac{1 \times [1 - (\frac{1}{2})^{n}]}{1 - \frac{1}{2}} = 2 [1 - (\frac{1}{2})^{n}] ‚ \\ ∴ S_{n} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} = 2 n - 2 (\frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \dots + \frac{1}{2^{n}}) = 2 n - 2 \times \frac{\frac{1}{2} [1 - (\frac{1}{2})^{n}]}{1 - \frac{1}{2}} = 2 n - 2 + \frac{1}{2^{n - 1}} ‚ \\ ∴ S_{n} - 2 n = \frac{1}{2^{n - 1}} - 2 ‚ 选 D . \end{array}$

11.A.设A为顶角, B, C为底角, 它们所对的边分别为a, b, c, 则 $\sin A = \sqrt{3} \sin B = \sqrt{3} \sin C$ , 于是 $a = \sqrt{3} b = \sqrt{3} c$ , 所以 $\cos A = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c} = \frac{2 (\frac{1}{\sqrt{3}} a)^{2} - a^{2}}{\frac{3}{2} a^{2}} = - \frac{1}{2} ‚ \sin A = \sqrt{1 - \cos^{2} A} = \frac{\sqrt{3}}{2} .$

又 $S_{△ A B C} = \frac{1}{2} b^{2} \sin A = \frac{\sqrt{3}}{2} ‚ ∴ \frac{1}{2} b^{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ,

解之, 得 $b = \sqrt{2}$ , 选A.

另解1:设顶角为A, 则底角为 $90 ° - \frac{A}{2}$ , 于是由已知得 $\sin A = \sqrt{3} \sin (90 ° - \frac{A}{2})$ , 所以 $\sin \frac{A}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ , 得A=120°, 进而底角B=C=30°, 下略.

另解2:设顶角为β, 底角为α, 腰长为m, 则底边为2mcosα, 则 $\frac{1}{2} \cdot 2 m \cos α \cdot m \cdot \sin α = \frac{1}{2} \cdot m \cdot m \cdot \sin β = \frac{1}{2} m^{2} \cdot \sqrt{3} \sin α, ∴ \cos α = \frac{\sqrt{3}}{2}, ∴ \sin α = \frac{1}{2}, \sin β = \frac{\sqrt{3}}{2}, ∴ \frac{1}{2} \cdot m^{2} \cdot \sin β = \frac{\sqrt{3}}{2}, ∴ m^{2} = 2, m = \sqrt{2} .$

12.B.由f (x) =-︱x-m2︱+m2和f (x+10) ≤f (x) , 得

-︱x+10-m2︱+m2≤-︱x-m2︱+m2,

所以︱x+10-m2︱≥︱x-m2︱≥0,

两边平方, 得 (x+10-m2) 2- (x-m2) 2≥0,

即10 (2x+10-2m2) ≥0, x+5-m2≥0恒成立, 所以m2≤x+5在x∈[0, +∞) 的条件下恒成立, 只需m2≤5, 选B.

$\begin{array}{l} 13 . x \in (\frac{π}{3}, \frac{4 π}{3}) . f (x) = \sin x - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x - \frac{1}{2} s i n x = \frac{1}{2} \sin x - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x = \sin (x - \frac{π}{3}) . \\ ∵ x \in [0 ‚ 2 π) ‚ f (x) = \sin (x - \frac{π}{3}) > 0 ‚ \\ ∴ 0 ＜ x - \frac{π}{3} < π ‚ \end{array}$

$∴ \frac{π}{3} < x < \frac{4 π}{3}$ , 即 $x \in (\frac{π}{3}, \frac{4 π}{3}) .$

14.i>10.

15.12.方法1: $∵ a ＞ 2 b ＞ 0 ‚ ∴ a - 2 b ＞ 0 ‚ ∴ (a - b)^{2} + \frac{9}{b (a - 2 b)} = (a - 2 b + b)^{2} + \frac{9}{b (a - 2 b)} = (a - 2 b)^{2} + b^{2} + 2 (a - 2 b) b + \frac{9}{b (a - 2 b)} \geq 4 (a - 2 b) b + \frac{9}{b (a - 2 b)}$ (当且仅当a=3b时, 等号成立) $\geq 2 \sqrt[]{4 (a - 2 b) b \times \frac{9}{b (a - 2 b)}} = 12$ (当且仅当 $(a - b) b = \frac{3}{2}$ 时, 等号成立) .

综上, 当 $a = \frac{3 \sqrt[]{6}}{2} ‚ b = \frac{\sqrt{6}}{2}$ 时, $(a - b)^{2} + \frac{9}{b (a - 2 b)}$ 的最小值为12.

方法2:∵ a>2b>0, ∴ 令a=2b+t, t>0, 则原式 $= (b + t)^{2} + \frac{9}{b \cdot t} = b^{2} + 2 b t + t^{2} + \frac{9}{b t} \geq 4 b t + \frac{9}{b t} \geq 2 \cdot \sqrt{4 \cdot 9} = 12$ , 当且仅当 $b = t, b t = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$ 时, 即 $b = t = \frac{\sqrt{6}}{2}$ 时, 等号同时成立, 取得最小值12.

两种方法, 两种不同的思路, 方法1利用了配凑技巧, 而方法2则利用a=2b+t (t>0) 变换了a>2b这一条件, 实现了等与不等的转化.

16.①③④.对于①, 当 $0 ＜ x ＜ \frac{π}{2}$ 时, sinx<x<tanx, ∴ 在第一象限内, 有sinx<tanx, 在第二象限内, 有sinx>0>tanx, 在第三象限内, sinx<0, tanx>0, 在第四象限内, 由对称性和奇偶性知, sin (-x) <tan (-x) , 即sinx>tanx, ∴①正确;对于②, 过B作BB′平行于x轴, 则 $\tan A B B^{'} = \frac{1}{2} ‚ \tan B^{'} B C = \frac{1}{2} ‚ ∴ \tan A B C = \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{4}{3}, ∴ ②$ 正确;对于③, 由三角函数的有界性可知, $0 ＜ \cos^{2} x \leq 1 ＜ \sqrt{3}, ∴$ 此处最好通过单调性求最值, 而不宜直接运用均值不等式求解 (否则容易出现错误) , 故③错;对于④, 设x=[x]+a, y=[y]+b, 0≤a<1, 0≤b<1, 则x+y=[x]+[y]+a+b, 0≤a+b<2, 所以

$[x + y] = {\begin{matrix} [x] + [y], \\ [x] + [y] + 1, \end{matrix}$

即[x+y]≥[x]+[y], 故④正确.

填①③④.

17.解: (Ⅰ) ∵ p= (a, 2b) , q= (sinA, 1) , p//q,

∴ a-2bsinA=0, 由正弦定理得

$\begin{array}{l} \sin A - 2 \sin B \sin A = 0 . \\ ∵ 0 ＜ A ‚ B ‚ C ＜ π ‚ \\ ∴ \sin B = \frac{1}{2} \end{array}$

, 得 $B = \frac{π}{6}$ 或 $B = \frac{5 π}{6} .$

(Ⅱ) ∵ △ABC是锐角三角形, ∴由 (Ⅰ) 知, $B = \frac{π}{6} ‚ m = (\cos A, \frac{\sqrt{3}}{2}), n = (1, \sin A - \frac{\sqrt{3}}{3} \cos A)$ ,

于是 $m \cdot n = \cos A + \frac{\sqrt{3}}{2} (\sin A - \frac{\sqrt{3}}{3} \cos A) = \frac{1}{2} c o s A + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin A = \sin (A + \frac{π}{6}) .$

由 $A + C = π - B = \frac{5 π}{6}$ 及 $0 ＜ C ＜ \frac{π}{2}$ , 得

$A = \frac{5 π}{6} - C \in (\frac{π}{3}, \frac{5 π}{6}) .$

$\begin{array}{l} 或 m \cdot n = \sin (A + \frac{π}{6}) = \sin (A + B) = \sin C . \\ ∴ \frac{\sqrt{3}}{2} < \sin C = m \cdot n < 1 . \end{array}$

18. (理科) 解: (Ⅰ) 由题意知,

$\begin{array}{l} h (x) = f (x) - g (x) = \frac{3}{2} a x^{2} + 6 x - 3 \ln x (x ＞ 0) ‚ \\ ∴ h^{'} (x) = 3 a x + 6 - \frac{3}{x} . \end{array}$

∵ 函数h (x) 有两个极值点,

∴ 方程 $h^{'} (x) = 3 a x + 6 - \frac{3}{x} = \frac{3 (a x^{2} + 2 x - 1)}{x} = 0$ ,

即ax2+2x-1=0应有两个不同的正数根,

于是

Symbol^C@-1<a<0.

(Ⅱ) 方程g (x) =xf′ (x) -3 (2a+1) x,

即-6x+3lnx=3ax2-3 (2a+1) x,

等价于方程ax2+ (1-2a) x-lnx=0.

设H (x) =ax2+ (1-2a) x-lnx, 则问题就可以转化等价地为函数H (x) 在区间 (0, +∞) 内无零点的问题 (即函数H (x) 图象与x轴无交点的问题) .

$∵ Η^{'} (x) = 2 a x + (1 - 2 a) - \frac{1}{x} = \frac{2 a x^{2} + (1 - 2 a) x - 1}{x} = \frac{(2 a x + 1) (x - 1)}{x}$ , 并且x>0, a>0,

所以, 当x∈ (0, 1) 时, H′ (x) <0, H (x) 是减函数;

当x∈ (1, +∞) 时, H′ (x) >0, H (x) 是增函数.

因为x→0或者x→+∞时, H (x) →+∞,

∴ 要使H (x) 图象与x轴有无交点, 只需

H (x) min=H (1) =a+ (1-2a) =1-a>0,

结合a>0, 得0<a<1.

(文科) 解: (Ⅰ) 当m=-1时,

$\begin{array}{l} f (x) = \frac{2}{3} x^{3} + x^{2} - 12 x + 1 ‚ \\ ∴ f^{'} (x) = 2 x^{2} + 2 x - 12 = 2 (x + 3) (x - 2) = 0 的两个根为 x = - 3 或 x = 2 ‚ \end{array}$

只有x=2在[-1, 5]上, 所以f (x) 在[-1, 2]上单调递减, 在[2, 5]上单调递增.

又 $f (- 1) = \frac{40}{3} ‚ f (2) = - \frac{41}{3} ‚ f (5) = \frac{148}{3} .$

∴ f (x) , f ′ (x) 随x的变化情况如下表:

故函数y=f (x) 在[-1, 5]上的最大值为 $\frac{148}{3}$ , 最小值为 $- \frac{41}{3} .$

(Ⅱ) 由已知可得f′ (x) =2x2-2 (2m+1) x-6m (m-1) , x∈R.

函数y=f′ (x) 的图象与x轴的公共点的横坐标就是二次方程x2- (2m+1) x-3m (m-1) =0的实数根, 解之, 得x1=3m, x2=1-m.

①当x1=x2时, 有3m=1-mSymbol^C@ $m = \frac{1}{4}$ , 此时 $x_{1} = x_{2} = \frac{3}{4} \in (- 1 ‚ 5)$ 为所求.

②当x1≠x2时, 令H (x) =x2- (2m+1) x-3m (m-1) , 则函数y=f′ (x) 的图象在 (-1, 5) 上与x轴有唯一的公共点Symbol^C@H (-1) ·H (5) ≤0, 而H (-1) =-3m2+5m+2, H (5) =-3m2-7m+20, 所以 (-3m2+5m+2) (-3m2-7m+20) ≤0, 即 (m-2) (3m+1) (m+4) (3m-5) ≤0,

解之, 得 $- 4 \leq m \leq - \frac{1}{3}$ 或 $\frac{5}{3} \leq m \leq 2 .$

经检验, 当m=-4和m=2时, 不符合条件, 故舍去.

综上所述, 实数m的取值范围是 $m = \frac{1}{4}$ 或 $- 4 ＜ m \leq - \frac{1}{3}$ 或 $\frac{5}{3} \leq m ＜ 2 .$

19.解: (Ⅰ) 证明:∵ AE垂直于圆O所在平面, ∴ AE⊥CD.

在正方形ABCD中, CD⊥AD.

∵ AD∩AE=A,

∴ CD⊥平面ADE.

∵ CDSymbolLC@平面ABCD,

∴ 平面ABCD⊥平面ADE.

(Ⅱ) 由 (Ⅰ) 可知, CD⊥DE,

∴ CE为圆O的直径, CE=9.

设正方形ABCD的边长为a.

在Rt△CDE和Rt△ADE中,

有DE2=81-a2=a2-9,

解之, 得 $a = 3 \sqrt[]{5}$ , 所以DE=6.

过点E作EF⊥AD于点F, 作FG//AB交BC于点G, 连结EG,

∴ EF⊥AB, 进而EF⊥平面ABCD,

∴ EF⊥BC, 而BC⊥FG, 所以BC⊥EG,

∴ ∠EGF就是二面角D-BC-E的平面角.

$\begin{array}{l} 在 R t △ A D E 中 ‚ 由 A D \cdot E F = A E \cdot D E ‚ \\ ∴ E F = \frac{A E \cdot D E}{A D} = \frac{3 \times 6}{3 \sqrt[]{5}} = \frac{6}{\sqrt[]{5}} . \end{array}$

又 $F G = A B = 3 \sqrt[]{5} ‚ ∴ \tan E G F = \frac{E F}{F G} = \frac{2}{5} .$

故二面角D-BC-E的平面角的正切值为 $\frac{2}{5} .$

注:在 (Ⅰ) 的基础上, 理科可以以D为坐标原点, 分别以CD、ED所在的直线为x轴、y轴建立空间直角坐标系, 利用向量的知识加以求解, 过程略.

20.解: (Ⅰ) 记“该幸运观众摸球三次就停止”为事件A, 则 $Ρ (A) = \frac{C_{2}^{1} C_{3}^{1} A_{2}^{2}}{A_{5}^{3}} = \frac{1}{5} .$

(Ⅱ) (理科) ξ的可能值为0, 1000, 2000.

$\begin{array}{l} Ρ (ξ = 0) = \frac{A_{2}^{2}}{A_{5}^{2}} + \frac{C_{2}^{1} A_{2}^{2}}{A_{5}^{3}} = \frac{1}{6} ‚ \\ Ρ (ξ = 1000) = \frac{C_{2}^{1} C_{2}^{1} A_{2}^{2}}{A_{5}^{3}} + \frac{C_{2}^{1} C_{2}^{1} A_{3}^{3}}{A_{5}^{4}} = \frac{1}{3} ‚ \\ Ρ (ξ = 2000) = \frac{C_{2}^{2} C_{2}^{1} A_{3}^{3}}{A_{5}^{4}} + \frac{C_{3}^{3} C_{2}^{1} A_{4}^{4}}{A_{5}^{5}} = \frac{1}{2} . \end{array}$

∴ξ的分布列为:

所以 $E ξ = 0 \times \frac{1}{6} + 1000 \times \frac{1}{3} + 2000 \times \frac{1}{2} = \frac{4000}{3} .$

(文科) 该幸运观众获得1000元奖金分为两种情况:摸3次球, 一个红球, 两个白球;摸4次球, 一个红球, 一个绿球, 两个白球.∴ 摸3次球时, 一个红球有C $_{2}^{1}$ 种选法, 摸出红球的顺序可以有2种, ∴ 共有C $_{2}^{1}$ ·C $_{2}^{1}$ ·A $_{2}^{2}$ =8种;摸4次球时, 必有绿球, 摸出绿球的顺序可以有C $_{3}^{1}$ 种, 最后一次是白球有C $_{2}^{1}$ 种, 剩下的顺序是A $_{2}^{2}$ 种, 红球有两种方法, ∴ 其概率为 $Ρ = \frac{C_{2}^{1} C_{2}^{1} A_{2}^{2}}{A_{5}^{3}} + \frac{C_{2}^{1} C_{2}^{1} A_{3}^{3}}{A_{5}^{4}} = \frac{1}{3} .$

21.解: (Ⅰ) 设椭圆C的方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{b^{2}}{b^{2}} = 1 (a ＞ b ＞ 0)$ , 则 $2 b = 2 \sqrt[]{21} ‚ b = \sqrt{21} .$

由 $- c - (\frac{- a^{2}}{c}) = 3 \sqrt[]{7}$ ,

即 $\frac{a^{2} - c^{2}}{c} = \frac{b^{2}}{c} = 3 \sqrt[]{7}$ , 得 $c = \sqrt{7} .$

于是a2=b2+c2=21+7=28,

椭圆C的方程为 $\frac{x^{2}}{28} + \frac{y^{2}}{21} = 1 .$

(Ⅱ) 若直线l的斜率不存在, 即l⊥x轴时, 不妨设l与x正半轴交于点M, 将x=y代入 $\frac{x^{2}}{28} + \frac{y^{2}}{21} = 1$ 中, 得 $x = y = \pm 2 \sqrt[]{3}$ , 则点 $Ρ (2 \sqrt[]{3} ‚ 2 \sqrt[]{3}) ‚ Q (2 \sqrt[]{3} ‚ - 2 \sqrt[]{3})$ , 于是点O到l的距离为 $2 \sqrt[]{3} .$

若直线l的斜率存在, 设l的方程为y=kx+m (k, m∈R) , 则点P (x1, y1) , Q (x2, y2) 的坐标是方程组

${\begin{cases} y = k x + m, \\ \frac{x^{2}}{28} + \frac{y^{2}}{21} = 1 \end{cases}$

的两个实数解,

消去y, 整理, 得

(3+4k2) x2+8kmx+4m2-84=0,

∴ Δ= (8km) 2-4 (3+4k2) (4m2-84) =12 (28k2-m2+21) >0, ①

$\begin{array}{l} x_{1} + x_{2} = - \frac{8 k m}{3 + 4 k^{2}} ‚ x_{1} x_{2} = \frac{4 m^{2} - 84}{3 + 4 k^{2}} . ② \\ ∵ Ο Ρ ⊥ Ο Q ‚ ∴ k_{Ο Ρ} \cdot k_{Ο Q} = - 1 ‚ \end{array}$

即 $\frac{y_{1}}{x_{1}} \cdot \frac{y_{2}}{x_{2}} = - 1 ‚ x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} = 0 .$

将x1+x2, x1x2代入上式, 得

$\begin{array}{l} (1 + k^{2}) \cdot \frac{4 m^{2} - 84}{3 + 4 k^{2}} - k m \frac{8 k m}{3 + 4 k^{2}} + m^{2} = 0 ‚ \\ ∴ (k^{2} + 1) (4 m^{2} - 84) - 8 k^{2} m^{2} + m^{2} (4 k^{2} + 3) = 0 ‚ \end{array}$

化简, 得m2=12 (k2+1) . ④

将④代入①知, Δ>0, 因此原点O到直线l的距离 $d = \frac{| - m |}{\sqrt{k^{2} + 1}} = \sqrt{12} = 2 \sqrt[]{3} .$

综上知, 原点O到直线l的距离为 $2 \sqrt[]{3} .$

22.解:由切割线定理, 得

PA2=PD·PB=9, 故PA=3.

根据弦切角定义, 得∠PAC=∠ABC=60°, 且PE=PA,

故△PAE为等边三角形, PE=PA=3,

所以BE=6, DE=PE-PD=2.

根据相交弦定理, 可得BE·DE=AE·CE,

∴ CE=4.

在△BCE中, BE=6, EC=4, ∠BEC=60°,

∴ 由余弦定理, $B C^{2} = 6^{2} + 4^{2} - 2 \times 4 \times 6 \times \cos 60 ° = 36 + 16 - 24 = 28, ∴ B C = 2 \sqrt[]{7} .$

23.解: (Ⅰ) 直线的参数方程是

${\begin{cases} x = 1 + t c o s \frac{π}{6} = 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} t, \\ y = 1 + t s i n \frac{π}{6} = 1 + \frac{1}{2} t, \end{cases} t$

是参数.

(Ⅱ) 因为点A、B都在直线l上, 所以可设它们对应的参数为t1和t2,

则点A, B的坐标分别为 $A (1 + \frac{\sqrt{3}}{2} t_{1} ‚ 1 + \frac{1}{2} t_{1}) ‚ B (1 + \frac{\sqrt{3}}{2} t_{2} ‚ 1 + \frac{1}{2} t_{2}) .$

把直线l的参数方程代入圆的方程x2+y2=4,

经整理, 得 $t^{2} + (1 + \sqrt{3}) t - 2 = 0 .$

因为t1和t2是上述方程的解, 从而t1t2=-2, 因此︱PA︱·︱PB︱=︱t1·t2︱=2.

$\begin{array}{l} 24 . 证明 ∶ \frac{a^{3} + b^{3} + c^{3}}{3} \geq (\frac{a + b + c}{3})^{3} \\ \Leftrightarrow 9 (a^{3} + b^{3} + c^{3}) \geq (a + b + c)^{3} \\ \Leftrightarrow 8 (a^{3} + b^{3} + c^{3}) \geq 3 a b^{2} + 3 a^{2} b + 3 a c^{2} + 3 a^{2} c + 3 b^{2} c + 3 b^{2} c + 6 a b c \\ \Leftrightarrow 8 (a^{3} + b^{3} + c^{3}) \geq 3 a b (a + b) + 3 a c (a + c) + 3 b c (b + c) + 6 a b c \\ \Leftrightarrow 2 (a^{3} + b^{3}) \geq 3 a b (a + b) ‚ 2 (b^{3} + c^{3}) \geq 3 b c (b + c) ‚ 2 (a^{3} + c^{3}) \geq 3 a c (a + c) ‚ 2 (a^{3} + b^{3} + c^{3}) \geq 6 a b c \end{array}$