二次根式拓展训练

二次根式拓展训练（共12篇）

二次根式拓展训练 篇1

I.二次根式的定义和概念：

1、定义：一般地,形如√ā（a≥0）的代数式叫做二次根式.当a＞0时,√a表示a的算数平方根,√0=0

2、概念：式子√ā（a≥0）叫二次根式.√ā（a≥0）是一个非负数.II.二次根式√ā的简单性质和几何意义 1）a≥0;√ā≥0 [ 双重非负性 ] 2）（√ā）^2=a（a≥0）[任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式] 3)√(a^2+b^2)表示平面间两点之间的距离,即勾股定理推论.III.二次根式的性质和最简二次根式 1）二次根式√ā的化简 a(a≥0）√ā=|a|={-a(a＜0)2）积的平方根与商的平方根 √ab=√a·√b（a≥0,b≥0）√a/b=√a /√b（a≥0,b>0）3）最简二次根式 条件：

（1）被开方数的因数是整数或字母,因式是整式；

（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式.如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有√

2、√

3、√a（a≥0）、√x+y等；

含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有√

4、√

9、√a^

2、√（x+y）^

2、√x^2+2xy+y^2等 IV.二次根式的乘法和除法 1 运算法则

√a·√b=√ab（a≥0,b≥0）√a/b=√a /√b（a≥0,b>0）

二数二次根之积,等于二数之积的二次根.2 共轭因式

如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式,那么这两个代数式叫做共轭因式,也称互为有理化根式.V.二次根式的加法和减法 1 同类二次根式

一般地,把几个二次根式化为最简二次根式后,如果它们的被开方数相同,就把这几个二次根式叫做同类二次根式.2 合并同类二次根式

把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式.3二次根式加减时,可以先将二次根式化为最简二次根式,再将被开方数相同的进行合并

Ⅵ.二次根式的混合运算 1确定运算顺序 2灵活运用运算定律 3正确使用乘法公式 4大多数分母有理化要及时 5在有些简便运算中也许可以约分,不要盲目有理化 VII.分母有理化 分母有理化有两种方法 I.分母是单项式

如:√a/√b=√a×√b/√b×√b=√ab/b II.分母是多项式 要利用平方差公式

如1/√a＋√b=√a－√b/(√a＋√b)(√a－√b)=√a－√b/a－b 如图

II.分母是多项式 要利用平方差公式

如1/√a＋√b=√a－√b/(√a＋√b)(√a－√b)=√a－√b/a－b

二次根式拓展训练 篇2

例1若式子在实数范围内有意义,则x的取值范围为( )

A. x = 1 B. x≥1 C. x > 1 D. x < 1

分析: 要式子在实数范围内有意义,必有x - 1是非负数,从而得出不等式,求出x的范围.

解: 因为式子在实数范围内有意义,所以x - 1是非负数,即x - 1≥0,

解得x≥1,故应选B.

说明: 求根号下字母取值范围时要注意: 一是二次方根的形式时,自变量取值范围是使被开方数为非负数的实数; 二是三次方根时,取值范围是全体实数.

考点2二次根式的性质

例2若实数a,b满足,则a2/b=__ .

分析: 由绝对值和二次根式的性质可知,| a + 2 |与都是非负数,而两个非负数之和等于零,必定每个数都等于零,由此可求出a和b的值,进而求得答案.

解: 因为| a + 2 |和都是非负数,所以由得 a + 2 = 0,b - 4 = 0,

解得a = - 2,b = 4,当a = - 2,b = 4时,a2/b= 1.

说明: 两个或多个非负数之和等于0,则每个非负数都等于0,从而可以求得各个字母的值,进而求得代数式的值. 非负数之和等于0的问题,本质上是解方程与代数式求值,这类问题解决并不困难,关键是要理解非负数的意义以及通解通法.

考点3最简二次根式

例3下列式子中,属于最简二次根式的是( )

分析: 利用最简二次根式的概念逐个辨析即可求解.

说明: 一个根式是否为最简二次根式,必须满足两个条件: ( 1) 根号内不含有开方开的尽的因数或因式; ( 2) 二次根式的根号内不含有分母.

考点4二次根式的乘除

例4计算:=__ .

分析: 利用二次根式乘法的法则直接计算.

说明: 本题是一道基础题,熟练掌握相关的运算法则是求解的关键,注意结果要化成最简二次根式.

考点5同类二次根式

例5下列根式中,与是同类二次根式的是( )

分析: 先化成最简二次根式,再根据同类二次根式的定义判断即可.

说明: 本题考查了同类二次根式的定义和二次根式的性质的应用,主要考查学生能否正确判断两个根式是否是同类二次根式.

考点6二次根式的加减

例6计算的结果是( )

分析: 先把各二次根式化成最简二次根式,然后再将被开方数相同的二次根式合并.

说明: 把二次根式被开方数中能开的尽方的因数分解并开出来,或把被开方数的分母开出来,化成最简二次根式后再进行加减运算,注意被开方数不相同的二次根式不能合并.

考点7估值

例7估计的值在( )

A. 2到3之间B. 3到4之间

C. 4到5之间D. 5到6之间

分析: 根据特殊有理数找出最接近的完全平方数,可确定的范围,从而求解.

即的值在3到4之间,故应选B.

说明: 实数的估算一般步骤是首先将原数平方,看其在哪两个相邻的平方数之间,运用这种方法可以估计一个带根号的数的整数部分,估计其大致范围.

考点8阅读理解

例8小明在学习二次根式后,发现一些含根号的式子可以写成另一个含根号的式子的平方,如,善于思考的小明进行了如下探索:

这样,小明找到了把部分的式子化为平方式的方法.

请你仿照小明的方法探索并解决问题:

( 1) 当a,b,m,n均为正整数时,若,用含m,n的式子分别表示a,b得,a =__ ,b =__ .

( 2) 利用所探索的结论,找一组正整数a,b,m,n填空:

( 3) 若且a,b,m,n均为正整数,求a的值.

分析( 1) 首先对所给材料认真阅读,分析探究小明解决问题的方法,然后进行归纳、迁移,从而可以求解. 与小明做法基本一致,把右边完全平方式展开,然后左右式子进行对比,用含m,n的代数式表示出a,b的值. ( 2) 此题可以采用与小明方法类似的解法,但也可以进行逆推,执果索因,即把m,n选定一组正整数,然后去括号,即可求解. 这就是填空题的巧做方法. 注意本题答案不唯一,只要符合题中正整数要求即可. ( 3) 认真分析此题,与( 1) 进行对比,不难发现a的值与( 1) 中的表示方法一样,而b = 4,即4 = 2mn,所以mn = 2,然后根据正整数的特点,然后进行分类讨论mn = 1×2或mn = 2×1,即可确定出m,n的值,最后a即可求解.

解( 1) 依题意,得a = m2+ 3n2,b = 2mn.

( 2) 答案不惟一. 如,a = 13,b = 4,m = 1,n = 2,等等.

( 3) 由b = 2mn,得4 = 2mn,即mn = 2,由于a,m,n均为正整数,所以mn = 1×2或mn = 2×1,即m = 1,n = 2或m = 2,n = 1,当m = 1,n =2时,a = m2+ 3n2= 13,

当 m = 2,n = 1 时,a = m2+ 3n2= 7.

再议二次根式 篇3

数学运算中存在着互逆关系.例如，加法与减法、乘法与除法都互为逆运算，平方运算同样也有逆运算，即开平方运算，当我们要计算一个正方形的面积时，需要先测量正方形的边长.如果边长为l，则面积S=l²，这是平方运算.当我们要制作一个给定面积的正方形时，需要先求出其边长.如果给定的面

这些性质是二次根式的运算与化简的依据.

同学们已经学习了整式和分式，其中涉及了字母及数的加、减、乘（含乘方）、除四则运算.二次根式中有开平方运算.含有开方（包括开平方、开立方、开四次方……）运算的式子，都属于根式.表示字母及数的加、减、乘（含乘方）、除、开方运算的式子，统称为代数式，整式、分式和根式皆属于代数式.

二、二次根式的运算与化简

二次根式的运算与化简不仅出现在单纯的代数式变形之中，而且还与许多实际问题有关，

例1 若两圆的面积之比为12：7，则大圆半径是小圆半径的几倍？

解：设两圆的面积分别为12a和7a（a>O）.由圆面积公式S=π²，得两圆的半径分别

侧2 物体A从25m高处自由下落着地.物体B从36m高处自由下落着地，求两物体自由下落过程的时间差.

讨论：本例中用到了二次根式的减法.两个二次根式化简后根号内都是2g，后面的运算类似于合并同类项，一般地，根号内的式子相同的二次根式叫作同类二次根式.二次根式的加减法法则，即指合并同类二次根式，因此，运算时通常先把各式化简为最简根式，以便找出同类二次根式，

例3 图1中正方形ABCD和BEFG的面积分别为m和n，求长方形HFID的面积，

解：长方形HFID的长等于两个正方形的中，虽然各二次根式都已是最简二次根式了，但通常化简代数式时，要求分母中不含有根式，而此武的分母中有根式.为此。需要将式子作恒等变形，化去分母中的根式，这叫作分母有理化.具体做法为：

例3的结果表明，长方形HFID的面积等于两正方形面积之差.这一结论也能用几何图形的平移来证明.如图2，把正方形BEFC平移到AJKH的位置，电KJ=FE=GF，BJ=A B-AJ=BC-BC=CG，得长方形JBCK与CFIC的面积相等，所以长方形HFID的面积等于长方形HGCD和JBGK的面积之和，即等于正方形ABCD与AJKH的面积之差，其值为m-n.

二次根式教学反思 篇4

二次根式教学反思1

数学来源于生活，又应用于生活，在教学中，教师只有立足于生活情境，才能激发学生学习数学的热情，才不会学的烦燥，才能更体现学生的学习智慧和聪明。学生才会参与到你的教学中来，这是我今天的教学体会。

今天，在学生学习完二次根式的性质和运算，着重从二次根式的应用性方面进行了选题，引导学生关注生活，将所学的知识运用到实际生活中解决生活问题。

在教学中，每展示一个实际问题，学生的思维就显得非常活跃，特别是部分学生，几乎难以控制。随后我又叫个学生到讲台上面来做老师来讲，我在下面听，发现学生的讲解非常到位，学生也更易于理解，这是我没料到的，也是以往也没实验过的教学，初次试验，效果还好，

反思：以往我在教学设计时，很少从学生的角度来考虑问题，备学生上面，存在问题。。我将在以后的教学中，从中多下功夫。我想效果将在不久的时间得到体现。

学生对于实际问题，其实学生还是非常乐于接受，而我在以往的教学中，因为生怕完不成教学任务，而将实际问题的探究搁浅或简单了事，重点讲解数学知识，其实，如果我们把实际问题作为情境，更易激发学生的思维和学习兴趣，因为兴趣是最好的老师，学生学习的更有兴趣，所以在以后教学中，定要多下功夫进行问题情境的创设，更好的激发学生的学习效应，切实提高学生的学习效率。

二次根式教学反思2

1.最简二次根式的判断;

2 。体验到分母有理化最简方法是先局部化简;

对于第一个目标期望学生能自行归纳出来最简二次根式一般形式就最好,对于第二个目标让学生自行体验到先化简再分母有理化的方法是最简方法.

今天上午结束这节课后,颇有感触.同学们讨论问题提的时候自始至终非常专注,而且很高效,有三个几乎从来不举手回答问题的同学能大胆走上讲台给大家讲解二次根式一道除法题的三种解法,他们的登台引起全班同学的欢呼.这是组员们的努力所带来的结果.对于这节课有以下几点值得思考:

问题的设置:

这节课为了让同学掌握二次根式的定义,我直接抛出“什么是二次根式”。

这个问题让同学们去讨论,但后来效果并没有达到我想象的高度.其实后来想想这个问题的设置不能过于直接,应当列举诸多二次根式,让同学们判断哪些是二次根式,并讨论其理由,这样引导学生从感性过渡到理性.从而顺利掌握这个概念的本质.所以问题的设置不能死板,教条,要多样化,其目的是让学生能高效的掌握知识本身.

帕尔默在《教学勇气》一书中把教师比喻为牧羊犬,教师的在课堂教学中的作用仅仅是做好外围工作,随时注意那些可能游离于课堂之外的同学,让其能进入状态之中,正如,羊到草地上直接和草接触,老师要让学生直接接触知识本身,不需要经过老师这个中间环节.但我对于这个问题有一个新的想法,那就是羊该在哪块草地吃草是需要预先精心考虑的!所以问题的设置很关键,要让羊能吃到最好的草,让每只羊能吃到最容易消化的草,这很重要.老师在设置问题时,要仔细研究,既要让学生能自主解决问题,但又要能比较好的解决问题.这还是需要遵循传统

教学的规律：

1.循序渐进: 这节课原本很希望学生能在一节课内就体会到先局部化简后在进行分母有理化的方法计算起来比较简洁.但这节课并没有实现这个目的,而且没有想到学生竟然给出多种方法.我想这一节课是否,对于第二个教学目标只能是一个循序渐进的过程,应当把这个问题延伸到下一节课,可以在下一节课中把学生的课后作业的解法对比,让学生去体会哪种方法更好,更简洁.不要急于在这一节课中去解决,这一节课只要能用自己的方法解决就行.

2. 作业的处理:以前处理作业中总是对于做错的题目给一个红叉,并每一份作业评分.从现在开始,作业不再给红叉,用横线标注代替红叉,也不给评分.让孩子们关注的永远是知识本身,对于作业始终强调的是诚实的独立作业,认真的纠错这两点.

二次根式教学反思3

这是八年级第十六章第三节，学生是在已掌握最简二次根式、合并同类二次根式以及二次根式的加减法的基础上进一步学习二次根式的乘除法，同时为以后学习二次根式的混合运算作铺垫。首先，情景引入：通过将大正方形中已知两小正方形的面积，求剩下的长方形面积的问题引入二次根式的乘法及乘法法则；其次，通过例题1利用总结出二次根式的乘除法则进行计算同时注意结果要化简；再次，利用乘除法关系引入二次根式的除法法则并用之计算；最后，通过二次根式的乘除法来解决实际问题。

总而言之：在二次根式的乘除法运算法则的学习和应用的过程中，渗透分析、概括、类比等数学思想方法，提高学生的思维品质和学习兴趣。

此节教学过程中要注意：在学生学习过程中对二次根式的乘除法法则理解上问题不大，但常常忘记运算结果需要化简，此外被开方数是多项式的乘除法运算上容易出错。象练习册第3题的(3)小题尽管课堂上练过一题,但还是有人错。

二次根式教学反思4

本课先通过对实际问题的解决来引入二次根式的加减运算，此问题贴近学生生活，易激发学生的学习兴趣。采用分组讨论，由四人一组探索、发现、解决问题，培养学生用数学方法解决实际问题的能力。.对法则的教学与整式的加减比较学习。再由学生自主讨论并总结二次根式的加减运算法则，在理解、掌握和运用二次根式的加减法运算法则的学习过程中，渗透了分析、概括、类比等数学思想方法，提高学生的思维品质和兴趣。

学生在自主探究的过程中发现问题，解决问题，总结规律，加深对所学知识的理解。并向学生传递这样一个信息：二次根式的加减运算并不是孤立的全新的知识，可以将二次根式的加减进行比较学习。

使学生掌握被开方数相同的二次根式合并的方法，注意二次根式加减运算的联系与区别，避免一些常见错误，提高解题的准确程度。4、在二次根式的加减运算时，首先需搞清楚什么是同类二次根式，同类二次根式的判断，关键是能熟练准确地化二次根式为最简二次根式。再由学生自主讨论并总结二次根式的加减运算法则。

二次根式教学反思5

本节课是二次根式第一节课，从小榄有线电视台发射塔电视节目信号的传播半径引入，符合学生实际，能引起学生学习兴趣，能说明学习二次根式在实际生活中有用，恰当合理的引入手到效果很好。

从实际问题列式，分析它们共同属性：正数(或0)的算术平方根，给二次根式下一个定义，从定义出发确定二次根式有意义的条件，进一步深刻理解二次根式，符合概念课教学的要求，学生掌握情况比较好，概念课教学的五个基本步骤：

(1)先给出实例。

(2)分析共同属性。

(3)下定义。

(4)概念应用。

(5)概念之间关系，在这节课很好体现。

在促进学生探索求知和有效学习方面还存在明显不足。新的教学理念要求教师在课堂教学中注意引导学生探究学习，在我的课堂教学中，经常为了完成教学任务而忽视这方面的引导。在本章中，其实有许多内容可以进行这方面的尝试。如判断二次根式中字母的取值范围、选取有理化因式、选择不同的运算途径等都可以让学生进行探究和归纳。在二次根式的运算中我就直接告诉学生：加减运算时利用公式，乘除时利用公式和，结果大部分学生并不接受。若能让学生在探究的基础上归纳出方法，学习的效果会提高很多，学习的能力也会不断提高。

另外，要经常引导学生进行反思。如果每次都是简单做一做，学生很快就会有厌烦情绪。所以在引导学生这样做时，要给予其恰当的鼓励和启示、评价。让学生体会到自己这样做的好处，使他们在这样做的过程中得到激励和启示，并在后面的学习中有成功感。所以要大力表扬那些认真思考的同学，如对于一道难题，不管是自己解决还是和别人共同解决出来的，我都会让学生理清一下思路，思考这类题的解法，如果学生不会解，听老师讲解后明白了，我会让学生反思一下原因，为什么当时不会解，是什么原因造成的?学生只有对自己进行反思总结，就会收到意想不到的学习效果，使学生领悟生活和学习思想、方法，优化自己的知识结构，发展思维能力，培养创新意识。

二次根式教学反思6

在二次根式这一章的学习中，重点是熟练掌握二次根式的运算，教学的关键是理解二次根式的性质，在本章教学中，存在以下问题：

1、课前没很好确定学生的基础知识情况

高估学生对学过知识的掌握，认为平方根这一章的知识掌握不错，所以在二次根式结果是非负数以及二次根式的被开方数也是非负数。我把这两个结论草草给出，这样导致基础差的学生根本不知道这两个结论的来源。

2、课堂没完全还给学生

预习时间不充分，大部分学生是回顾了本章的知识点，但还没来得及思考，易错点没有来得及整理展示讨论，老师就开始讲课，总怕展示时间过多以至于本节任务完不成。课堂活动时间也不充分，并且学生在思考问题时给予提示过多，以至于学生顺着老师的思路走，没有了自己的思考体系。因为时间不足，所以老师只好代替学生走了一下过场，订正答案，还有一部分学生还没有做完。这样就不能真正检验学生掌握情况，不能及时反馈，及时采取措施进行补救。

3、课后练习不能真正落实

学生不能很熟练地化简二次根式，以致于二次根式的加减乘除不能顺利进行。例如不会熟练化成最简二次根式，导致学生对二次根式的加减感到很困难。在这里，应要求学生对100以内的二次根式化简熟练掌握，为二次根式的加减打下扎实的基础。对二次根式的加减，大部分学生理解同类二次根式，并能够合并同类二次根式，出现的问题在于二次根式的化简，学困生在于整式的加减，整式的乘除，分式的加减和乘除的运算的公式和运算法则不清，即使把本节知识听懂了，由于过去的知识不牢固，造成运算结果不正确。把过去学过的知识复习，使学生能够独立完成二次根式的运算。

二次根式教学反思7

本章的教学目标是经历二次根式的概念的发生过程，了解二次根式的概念，以及二次根式的性质和运算。在概念的教学上采用了问题导入法比较顺利。但对概念有一点疑惑，形如根号a（a>=o）的式子，那根号前面的系数要不是1呢，难道就不是二次根式了吗？本章的难点在利用性质化简。往往不顾条件就往下做，过后才会醒悟，这是一棘手的问题。对于同类二次根式的概念的教学必须强调两点1要最简2被开方数相同。尤其在应用时学生会忽略第一点。

运算方面对加减法主要还是要熟练化简，对一些常用的数进行分解。其次同类要合并，问题不是很大。而在乘除法的运算上，方法用的不当会变的很麻烦。主要要学会细心观察，是先乘除后化简来的比较简单。

二次根式教学反思8

本节课采用“自主互助，诱导探究”八环节教学模式。

这是我校经过一年多来的课堂教学实践而摸索出来的教学模式。“激趣导学”激发学生的求知的欲望，让学习进入学习的状态。“明确目标”让学生明确本节课学习的任务。“指导阅读”让学生带着问题去自学，体现的自主学习。在“自主互助”环节中，我让同组之间的学生相互讨论、互相学习，让学快生教学慢生，从而掌握二次根式的概念与性质。

通过“说一说”、“做一做”“反馈”学习在自学的掌握情况，把课堂还给学生。在“诱导探究”环节中，通过学生看教材，启发诱导学生，解决学生在自学中不能解决的问题，从而突破难点。“当堂训练”检测学生对所学知识的掌握情况。我设计的题目由浅入深，学生可以运用今天所学的知识解决问题。最后在“小结提升”中，让学生说说自己的收获，形成知识体系。

我觉得整堂课下来，不足之处在于花在“说一说”、“做一做”的时间多了些，导致后面的“当堂训练”中的点评少了些，时间上把握不是很到位。以后的教学中我会努力的去改进，让每一个学生都能真正投入到课堂中来。

二次根式教学反思9

一、数学教学过程应当是一个生动活泼的。主动的和富有个性的过程，而不能再是单一的。枯燥的，以被动听讲和练习为主的方式，它应该是一个充满生命力的过程。

1.本节课是在学生已有的知识基础上，教师（或学生）提出适当的数学问题，通过师生之间或生生之间互相讨论。学习。探究，在问题解决过程中活化知识。启动思维，运用有关知识进行解题。了解二次根式的概念。

2.本节课始终以学生为中心，教师作为教学活动的组织者，引导者，合作者，体会用类比的思想研究二次根式，体验研究数学问题的常用方法：由特殊到一般，由简单到复杂，体现“动手实践，自主探索。合作交流是学生学习数学的重要方式”这一思想，教学中为学生创造大量的操作。思考和交流的机会，关注学生思考问题的过程，鼓励学生在探索规律的过程中从多个角度进行考虑，培养学生主动探索，敢于实践，善于发现的科学精神以及合作精神，树立创新意识，品尝成功的喜悦，激发学生应用数学的热情。

3.在二次根式概念教学中，须紧紧扣住其三个基本特征，首先看它是否含有根号；其次看根指数是不是2；最后看被开方数是不是非负数。若三个答案都是肯定的，那么这个式子是二次根式。不满足三个条件中的任何一个就不是。

二次根式教学反思10

本节课主要内容是学习二次根式的定义和性质，重点是对二次根式的性质1和性质的理解及应用2.难点是性质1和性质2的区别与联系.

上完本节课后，我的反思如下：

1.由于本节课是苏科版九年级上册第21章的内容，是一节新授课。在备课时我就按照目标让学生明白、过程让学生经历、结论让学生讨论、规律让学生总结的指导原则进行认真备课，尤其对例题与练习题也进行了精心的挑选，按照由易到难由简入繁的顺序安排，并且认真制作了课件，便于学生对重点内容的理解和难点的解决.

2.在实际授课中，在让学生明白了本节学习目标后，通过以下步骤让学生认识、理解、并掌握本节知识：（1）让学生回顾了算术平方根与平方根的概念，并且通过一个思考栏目的四道题，得出二次根式的定义后又复习了算术平方根具有双重非负性；（2）通过练习掌握如何判断一个式子是否是二次根式的条件，并经过例1掌握二次根式在实数范围内有意义的条件；（3）通过练习让学生得出二次根式的两个性质，体会从特殊到一般的思维过程，进而掌握公式的一般推导方法；……，本节课大部分时间都是引导学生边学边做，让学生经历了整个学习过程。

3.在学习过程中，突出了引导学生自己得出结论，特别是二次根式的两个性质，在做完思考题之后，学生自己就初步得出了结论，而且通过其他学生的补充越来越完善。

4.让学生自己找出性质1和性质2的区别与联系，虽然不够系统和完整，但通过这样的训练，培养了学生总结规律的能力。

5.在实际教学中，仍然存在着对课堂时间把握不精确的问题，出现了前松后紧的现象，以致有深度的练习没时间完成，结束的也比较仓促。在今后教学中，应注意时间的掌控。

6.在引导学生探索求知和互动学习方面还有欠缺。新的教学理念要求教师在课堂教学中注意引导学生探究学习，在我的`课堂教学中，对学生探索求知进行了引导，并且鼓励大家自己得出结论，但在互动方面做的还不够，大部分学生都是独立思考，很少与同学合作交流，今后的教学中应多培养学生合作交流的意识，这样有助于他们今后的生活和学习。

通过这节课，使我的教学技能得到了很好的锻炼，我在今后的教学中，将继续学习好的一面，对不足之处进行改善，争取使自己的教学水平得到提高。

二次根式教学反思11

本节课开始时，首先由一个求修建两块运动场的草坪面积的实际问题出发，引导学生得出两个二次根式求和的运算。从而提出问题：如何进行二次根式的加减运算？这样通过问题指向本课研究的重点，激发学生的学习兴趣和强烈的求知欲望。然后指导学生根据问题导读单，去自学课本。通过自学课本再完成问题导读单，从而自己独立学习结合小组合作学习掌握二次根式的加减运算。

通过我深入小组搜集信息、指导学习，发现学生具备自学能力，独立自学时很肃静，同学们都能够通过翻阅课本自己独立完成一些问题。合作学习时也很热闹，同学们都能够交流自己的见解，并且能够针对一些见解提出自己的看法让大家评议。其中在三组中陶正培同学对同组其他学生说：3√x和5√y不能合并了。有的同学问他为什么？他说就好像3x和5y一样不是同类项就不能合并。由此可见学生能够利用类比学习法进行本节课的学习。通过深入各组巡视指导可知问题导读单的设计是合乎学生的认知能力的。课堂上最精彩的还数同学们的学习汇报。一位同学汇报时说：被开方数相同的二次根式是同类二次根式。马上有同学站起来说：不对，应该是化简后被开方数相同的二次根式才是同类二次根式。通过同学们的汇报，可见同学们在自学时是全身心的投入，充分的研究、讨论、交流才有如此准确的回答。

总之，本节课我感觉同学们学习的效果非常好，学习气氛浓厚，能够自主合作探究学习。

二次根式教学反思12

这节课因为有了前面学习的基础，所以学生学习起来并不难，本节课的重点是二次根式的乘除法法则，难点是灵活运用法则进行计算和化简。

开始可以从二次根式的性质引入，将二次根式的性质反过来就是二次根式的乘除法法则： ，利用这个法则，可以进行二次根式的乘法和除法运算。

本节课中的易错点是运算的最后结果不是最简结果，因为学生只顾着运用法则进行计算了，忽略了二次根式的化简，举例说明： ，这个运算过程只是运用了法则，但没有进行化简，应该是 。

本节课中的难点是对于分母中含有根号的式子不会化简，这应该牵涉到分母有理化，分母有理化这个概念本章课本中没有提及，但是课后练习和习题中也有涉及，如何处理呢?举例说明：

随堂练习中一个题目 对于这个题目，很多学生表示都不知道从何下手，只有一些程度好的学生有自己的看法，我让学生进行了讲解： ，学生能将分母中不含有根号，想到用 来代替，然后再利用法则进行解答，真是聪明。学生的这种做法，我给予了充分的肯定，并表扬了这位同学。并且我也用分母有理化的思想进行了另一种方法的讲解，因为后面我想补一节分母有理化，所以在这里只是展示了一下过程， 这样同样能达到化简的目的，然后让学生对比了一下刚才那位同学的做法，没有展开讲。

剩下的时间我主要针对法则让学生进行了练习，做正确的小组加分，不正确的进行点评，到下课时，学生基本掌握了二次根式的乘除法的计算。

学生比较容易理解这两个法则，下面可以学习例2，主要是让学生通过看课本来理解法则的应用，在学生理解例题的基础上，让学生思考还有没有其他方法来解决这些题目，以此来增加学生解题的思路与方法。在这里可以拿出1-2个题目来示范。

如 ，可以有两种解法：

法一： 这一种也是课本上的方法，是直接利用了二次根式的乘法法则。

法二： 这是利用了二次根式的性质。

通过这个题目的讲解，可让学生灵活掌握二次根式的计算方法。

再一个就是二次根式的乘除法混合运算，课本上有一个例子， ，通过这个例子引出一个公式： ，算是对法则的一个延伸。学生通过这个公式，也可以进行一些二次根式的运算。

《二次根式的乘除法》教学反思的全部内容由数学网收集整理，教材中的每一个问题，每一个环节，都有教师依据学生学习的实际和教材的实际进行有针对性的设置，如对提供的教材内容有兴趣，欢迎继续关注。

二次根式教学反思13

二次根式这一章学习重点是是掌握二次根式的运算，教学的关键是理解二次根式的性质，这块教学内容是在实数的基础上，着重研究二次根式。在这一章的教学中，发现存在一些问题：

1、在教学设计中，对学情分析不足，主要是过高估计学生的学习能力，一方面每节课设计的教学内容过多，经常一节课结束后还有不少内容没有完成，另一方面对以前学过的知识的复习工作做的不够，导致后续的新知识的学习遇到不少麻烦。如对二次根式的性质的应用时，考虑到以前已经学过，自以为学生不存在困难，就没有重点分析，结果导致不少学生在二次根式的化简过程中因此而出错。

2、八年级数学是新教材，在二次根式的化简中，老教材比较重视对具体数的化简，对字母的要求不高，一般都确保二次根式有意义，而新教材特别要求引导学生注意二次根式中字母的取值范围，要求培养学生严谨的学习态度和推断字母取值范围的能力，在教学过程中，我的教学理念还没有及时更新，对这一要求理解不到位，没有对学生提出明确要求，也没有重视对典型错误的分析。

3、在促进学生探索求知和有效学习方面还存在明显不足。新的教学理念要求教师在课堂教学中注意引导学生探究学习，在我的课堂教学中，经常为了完成教学任务而忽视这方面的引导。在本章中，其实有许多内容可以进行这方面的尝试。如判断二次根式中字母的取值范围、选取有理化因式、选择不同的运算途径等都可以让学生进行探究和归纳。在二次根式的运算中我就直接告诉学生：加减运算时利用公式，乘除时利用公式和，结果大部分学生并不接受。若能让学生在探究的基础上归纳出方法，学习的效果会提高很多，学习的能力也会不断提高。

4、在学生的学习方面，也值得反思。学生在老师指导下学习数学方面的积极性并不差，但自主学习方面还存在着不足。遇到困难有畏难情绪、对老师的依赖性太强、作业只求完成率而不讲质量、学习的竞争意识和自我要求明显缺乏。这些都有待于在今后的教学中进行教育和引导。

由于上面的诸多因素，学生在第十六章的学习还不够理想，在本章单元测验中，也得到了体现，高分比以往减少，不及格人数明显增加，平均分大幅降低。因此在今后的教学工作中要加强改进，更新教学观念，努力提高教学效益。

二次根式教学反思14

本节课主要内容是学习二次根式的定义和性质，重点是对二次根式的性质1和性质的理解及应用吗，上完本节课后，我的反思如下：

1、由于本节课是九年级上册第二十一章的内容，是一节新授课，而且所有学生没有教科书，因此如何在没有教科书的前提下，让学生理解并掌握本节内容，对我来说也是一次新的尝试，在备课时我就按照目标让学生明白、过程让学生经历、结论让学生讨论、规律让学生总结的指导原则进行认真备课，尤其对例题与练习题也进行了精心的挑选，按照由易到难由简入繁的顺序安排，并且认真制作了课件，便于学生对重点内容的理解和难点的解决、

2、在实际授课中，在让学生明白了本节学习目标后，通过以下步骤让学生认识、理解、并掌握本节知识：

（1）让学生回顾了算术平方根与平方根的概念，并且通过一个思考栏目的四道题，得出二次根式的定义后又复习了算术平方根具有双重非负性；

（2）通过练习掌握如何判断一个式子是否是二次根式的条件，并经过例1掌握二次根式在实数范围内有意义的条件；

（3）通过练习让学生得出二次根式的两个性质，体会从特殊到一般的思维过程，进而掌握公式的一般推导方法；……，本节课大部分时间都是引导学生边学边做，让学生经历了整个学习过程。

3、在学习过程中，突出了引导学生自己得出结论，特别是二次根式的两个性质，在做完思考题之后，学生自己就初步得出了结论，而且通过其他学生的补充越来越完善。

4、让学生自己找出性质1和性质2的区别与联系，虽然不够系统和完整，但通过这样的训练，培养了学生总结规律的能力。

5、在实际教学中，仍然存在着对课堂时间把握不精确的问题，出现了前松后紧的现象，以致有深度的练习没时间完成，结束的也比较仓促。在今后教学中，应注意时间的掌控。

6、在引导学生探索求知和互动学习方面还有欠缺。新的教学理念要求教师在课堂教学中注意引导学生探究学习，在我的课堂教学中，对学生探索求知进行了引导，并且鼓励大家自己得出结论，但在互动方面做的还不够，大部分学生都是独立思考，很少与同学合作交流，今后的教学中应多培养学生合作交流的意识，这样有助于他们今后的生活和学习。

通过这次公开课，使我的教学技能得到了很好的锻炼，我在今后的教学中，将继续学习好的一面，对不足之处进行改善，争取使自己的教学水平得到提高。

二次根式教学反思15

本节内容是在前一节二次根式的学习基础上，在熟练计算积的算术平方根的情况下，学习商的算术平方根的性质，同时为分母有理化作准备。所以在教学中更应注重积和商的互相转换，让学生通过具体实例再结合积的性质，对比、归纳得到商的二次根式的性质。在此，过程中给予适当的指导，提出问题让学生有一定的探索方向。这一部分的教学我主要是从以下几点进行的：

1、注意了对平方根和算术平方根的复习，从而引入了二次根式的乘除法则，得到了二次根式乘除法的计算方法，和计算公式。公式就是工具，工具顺手了工作就快就有效率。因此，在这里让学生进行了大量的练习，熟练公式，打好基础。

2、注意了二次根式乘除法的计算公式的逆用。

总结

了乘法公式的逆用就是用来使“被开方数中不含能开的尽方的因数或因式”，除法公式的逆用就是用来使“被开方数不含分母”，从而保证了结果是最简二次根式。注重方法的传授。

3、教学中强调了前面学过的运算法则和运算律对二次根式同样适用，反映了数学理论的一贯性，使学生在学习中感到所学并不难。在教学中，充分利用教材内容，结合实际问题提高学生的学习积极性。

《二次根式》教学反思 篇5

本节课的教学目标之一是经历二次根式的概念的发生过程，了解二次根式的概念，所以在引入概念时我采用了类比的思想方法。首先请同学们写出一个整数、分数、无理数;再写出一个整式、分式;然后通过实际问题【

①一块面积为b+3的正方形草坪，它每条边的长为多少?

②草坪中央有一个形状为正三角形的水池，面积为，请问水池各边的长为多少?】得到这几个代数式。然后让学生观察它们在形式上有什么特征?给他们起一个什么名字呢?有一个学生说“无理式”，这样“二次根式”的概念顺理成章的就引出来了。这样得到的概念学生感觉到不陌生，也是由实际生活需要而产生的概念。

对教材中的概念的表述我做了处理，实际上就是形如这样的式子就叫做二次根式，这里的字母可以是数字，代数式。通过一个练习【选一选：下面是二次根式的是：①②③④⑤】让学生们加深对二次根式概念的理解，强调本质就是一个算术平方根。既然二次根式都可以看成数或式的算术平方根，那么根据算术平方根的意义，根号里面的数或式子必须大于或等于零。所以本节课的重点“求二次根式中字母的取值范围”学生就很好理解了，关键是实际问题中字母的`取值范围的求法。通过例题的讲解，使学生了解到实际上求字母的取值范围就是要转化成求不等式的解集问题，通过题型的概括、方法的归纳，学生基本上掌握了重点。

对于二次根式的求值，实际上就和求代数式的值的过程一样，在这里体现了转化的思想，为了学生书写规范，总结为：当、抄、代、算四个步骤，并板书示范。

二次根式的除法 篇6

二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。

推广：

(1)(a≥0，b≥0，c≥0)

(2)(b≥0，d≥0)

2.乘法逆用：(a≥0，b≥0)

积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积。

注意：公式中的a、b可以是数，也可以是代数式，但必须满足a≥0，b≥0;

3.除法规定：(a≥0，b>0)

二次根式相处，把被开方数相除，根指数不变。

推广：，其中a≥0，b>0，。

方法归纳：两个二次根式相除，可采用根号前的系数与系数对应相除，根号内的被开方数与被开方数对应相除，再把除得得结果相乘。

4.除法逆用：(a≥0，b>0)

第12章二次根式 篇7

【名师箴言】

数学是创造性的艺术,因为数学家创造了美好的新概念;数学是创造性的艺术,因为数学家的生活、言行如同艺术家一样;数学是创造性的艺术,因为数学家就是这样认为的.

音乐能激发或抚慰情怀,绘画使人赏心悦目,诗歌能动人心弦,哲学使人获得智慧,科学可改善物质生活,但数学能给予以上的一切.

数学家导出方程式和公式,如同看到美丽的风景、听到优美的曲调一样而得到充分的快乐.

数学确属美妙的杰作,宛如画家或诗人的创作一样,是思想的综合;如同颜色或词汇的综合一样,应当具有内在的和谐一致.对于数学概念来说,美是她的第一个试金石;世界上不存在畸形丑陋的数学.

解二次根式竞赛题的常用技巧 篇8

一、巧用因式分解

例1计算 - ，最后得到

__________.(第十七届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试)

分析：通过仔细观察我们会发现，若将每个分母先分解因式,分子、分母有公因式，可以约分化简.

解： -

=-

=-

=+

== =- .

说明：解答本题时，若直接进行分母有理化会非常繁琐，甚至会求不出结果，所以当遇到类似的计算题时，先不要急着进行分母有理化，而应仔细观察，看能否对其进行因式分解.

二、巧用字母代数

例2计算 －20062的结果是__________．

（第十七届“希望杯”全国数学邀请赛初二第1试）

分析：若直接计算此题，显然计算量大且过程很复杂，如果用字母代数，则可快速地解决问题.

解：设2006=a，则2005=a－1,2007=a+1,2008=a+2.则有

－20062

=－a2

= -a2

= -a2

= -a2

= -a2

=a2+a-1-a2=a-1=2006-1=2005.

三、巧平方

例3已知m=1+ ，n=1- ，且（7m2-14m+a）（3n2-6n-7）=8，则a的值等于（ ）.

A.－5B.5 C.－9 D.9（2006年全国初中数学竞赛试题）

分析：将已知条件变形后再平方，然后整体代入，就可快速地求出a的值.

解：m=1+ 可变形为m－1= ，两边平方后整理，得m2－2m=1.

同理，由n=1- 得n2-2n=1 ．

又∵ （7m2-14m+a）（3n2-6n-7）=8，即[7（m2－2m）+a][3(n2－2n)－7]=8，

∴ （7+a）（3-7）=8.

解得a=-9．故选C．

四、巧用整体代入

例4已知x= ，y= 则x2－xy+y2的值为_________.

（2005年辽宁省八年级数学竞赛试题）

分析： 由于x、y的值互为倒数，故可先求出xy与x+y的值，再整体代入.

解:∵ x= ，y= ，

∴ xy=1，x+y=（ -1）2+（ +1）2=6.

∴ x2－xy+y2=（x+y）2－3xy=62－3×1=33.

说明：在解题时，若已知条件中的两式（如题中的x、y）互为倒数，且所求的代数式是对称的，这时可采用整体代入的方法来求解（如通常把x+y，xy，x2+y2的值先求出来，再代入代数式求值）.

五、巧用非负性

例5若m满足关系式

+ = × ，试确定m的值.（北京市初二数学竞赛题）

分析：观察方程右边两个根式的被开方数，发现它们恰好互为相反数，这样就找到了解题的突破口.

解： 由题意可知x－199+y≥0及199－x－y≥0，得x+y≥199及x+y≤199.

∴ x+y=199， × = 0.

∴+ =0.

∴ 3x+5y-2-m=0且2x+3y-2－m=0.

由此可得方程组3x+5y-2-m=0 ，2x+3y-2-m=0，x+y=199.

解得m=201.

说明：若两个二次根式中的被开方数（式）互为相反数，则这两个二次根式都为零.

-《二次根式》观课报告 篇9

今年暑期研修中，按照省远程研修的要求，我认真、细致、耐心的观看了四位教师的课，这些教师都认真对待本次讲课，积极准备，从备教材、备数学课程标准，备学生、备重点、备难点方面，在教学设计中设计详细，各项目书写全面，给我提供了很好的讲课蓝本，就其中一节初中数学《二次根式》谈一下自己的体会。尹老师的这节课，教学设计合理，教材与学情分析准确、全面；教学目标明确。重点、难点处理符合学生认知规律；情境与活动设计指向问题解决。教学环节相对完整、过程流畅、结构清晰；课堂容量适当。学生学习兴趣浓厚，积极主动，参与度高，在学习活动中获得良好体验，课堂气氛活跃有序。

总体来看本节课凸显学生的主体地位，以如何提高学生的证明思路分析能力为着力点，通过定理的证明、例题的引领、练习题的巩固，及时地总结提升，培养学生分析问题、解决问题的能力。从创造性地使用例题到设计变式训练、迁移训练；从设计条件开放、结论开放题，到设计条件不变、图形变化的各种训练；从展示正确证明过程到展示错误证明过程让学生评价，使学生的思维在广度和深度上得以发展，从而实现数学思维的全方位训练。这节课有以下几点很值得学习:

1、从教师教学来看，教师对课堂教学进行了精心设计，课堂结构合理，活动安排科学，能够落实分层教学，考虑全体学生。练习设计合理，有层次，有梯度，基础知识掌握在课堂上，关键性的训练完成在课堂上，问题解决在课堂上。面向全体，不同层次学生均得到发展；过程体验充分，学习能力得到提升；教学目标检测及时有效，达成度高。

2、目标明确，设置恰当，符合课程标准的要求。教学中，始终围绕目标进行，教学内容安排合理，讲授正确，课堂结构合理；

3、课堂气氛营造：针对初二学生的年龄特点，教师又适当的加入激励性的语言，激起学生的参与意识，例如：“在这一节的学习中，我们又会面临哪些挑战呢？大家想不想挑战自我？”这节课中类似这样的语言很多。张老师能做到面向全体学生，在教学中，能坚持以学生为本，面向全体学生，调动起所有学生的积极性。

4、师生双边活动：课堂上，教师让学生在讲台上讲解充分暴露学生思维中的缺点，教师及时补充更正，起到了很好的效果。师生交往既有师生的交往，又有生生的交往，发挥了学生的主观能动性，也提高了学生的智力活动水平。

5、学习方式与方法教学中开展了小组活动，活动中，小组成员对共同学习中发现的问题，利用教师所提供的材料，通过分析、比较、抽象和概括与一系列积极的思维活动，实现了认识上的飞跃，有利于培养学生的团队精神和创新能力。

观课反思：

1、多给学生以肯定性评价，对于回答的比较好的学生给以充分的表扬。

2、重视学生思维能力的培养，也要重视学习习惯等非智力因素的培养。

3、在平时的课堂教学中要安排一定时间给学生自己，放心大胆的把课堂还给学生，把时间还给学生。

4、精心设计教学内容，多设计调动学生学习积极性的内容，在备课上多下功夫。

通过观课，我学到了一些新的教学方法和新的教学理念。在这些优质课中，教师放手让学生自主探究解决问题的方法，然后都很有耐性的对学生进行有效的引导，充分体现“教师以学生为主体，学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者和合作者”的教学理念。执教者的语言精练、丰富，对学生鼓励性的语言、富有亲和力的语言以及学习过程中的多种评价方式，非常值得我学习。这些授课教师都非常注重从学生的生活实际出发，为学生创设生活情景，充分发挥学生的主体作用，引导学生自主学习、合作交流的教学模式，让人人学有价值的数学，不同的人在数学上得到不同的发展，体现了新课程的教学理念。一，情境导入,提高学生的学习兴趣。通过创设情境，让学生感觉数学是有趣的。李老师用牛郎织女搭桥的喜鹊入手，让学生计算喜鹊的飞行距离，能不能完成使命的情境。学生的学习是认知和情感的结合,每一个学生都渴望挑战，渴望挑战带来的成功，成功是一种巨大的情绪力量，它能使学生产生主动求知的心理冲突.二，课堂问题设置针对性强。老师们根据课堂教学的目标和内容，在课堂教学中创设了良好的教育环境和氛围，精心设置问题情景，提问有计划性、针对性、启发性，能激发学生主动参与的欲望，有助于进一步培养学生创造性思维。在数学课堂教学中师生双方都应以主体的身份参与到教学全过程中，围绕课堂教学目标、内容，积极地、主动地提出有价值的问题，促使个体积极思维，增强提出问题、解决问题的能力，增强师生的创新意识。设问都激起了学生的思维上的探究，并且层层深入，意犹未尽。

三，重视小组合作。这几节课中都能充分发挥小组的特点，让学生相互启发讨论，形成思维互补，集思广益，从而使题意理解更清楚，结论更准确，注重了合作学习的实效性。合作学习作为一种学习方式已提出多年，但在具体的教学过程中，也只是最近几年得到老师们的重视，这六位老师在教学中，都或多或少地体现了这种方式。在观摩六位老师的课时，我也一直在思考一个问题：以怎样的形式合作比较合理？合作学习中，老师的地位如何界定？合作学习需有合作的对象，在班级形式的授课中，合作的成员以4——6人为宜，并且还要注意这些成员学习情况的差异性和互补性；作为教师，在合作学习中要根据问题的难易程度决定是否事前提出建议或要求，难度太大的问题不可直接交给学生，还可在学生的合作中参与进来，作为合作学习的一员和学生共同解决问题

课堂的主人是学生，我们对学生控制得紧，还眼盯着仅有的那么几名优秀生，应该面对全体学生，让所有学生都参与到课堂教学中，把课堂真正还给学生，让学生勤奋学，不是老师使劲教。在参与中，学生保持强烈的学习欲望，养成良好的学习习惯，书是学生学出来的，而不是老师教出来的。成就学生，也就成就了老师自己。只有学生的广泛参与，课堂教学才能走向优质高效。

今年研修学习的一个环节是观课评课，我观看了《投影》，《勾股定理》《二次根式》，《实际问题与反比例函数》，《三角形的边》，《一元一次不等式》六节课，收获很多，受益匪浅。总结如下：

一、巧妙设置问题，提高课堂效率

提问是课堂教学中必不可少的。但是，如何科学，高效的提问，确实是我们平时教学中需要研究的一个课题。通过听课，回顾自己的平时教学，确实有许多地方需要改进。

（1）设置问题应该应该贴近生活，使同学们在学习中深刻体会到学习数学的实用性，感受到数学遍布生活，从而更加明确学习数学的目的。（2）设置问题应该增强趣味性，兴趣是最好的老师。教学中设置了趣味性的问题，可以提升学生学习的热情，增强好奇心，趣味性，甚至可以将一部分不太愿意听课的同学的精力集中过来，提升课堂效果。

（3）设置问题要层层递进，适当拓宽。拓宽型提问，具激励参与意识之功能，课堂提问是传授知识的手段之一，但有时不能仅仅就知识表层设计问题，否则往往仅是书本知识的重复而使提问显得单调，可以在紧扣书本知识点的同时设计一些稍有深度的或广度的问题，其目的使学生思维发散，知识面拓宽，利用学生思维中相似、相反或相关的思绪点，抓住新概念、新知识的某些特征设计提问，引发学生深入探讨、达到向知识的深度和广度发展，促使学生直接参与新知识的挖掘与探求

二、教学要以人为本，加强学生的主体地位

（1）教学中，教师要当好组织者，引导者，保证学生学习的主体地位。我们设计每堂课时，都必须站在学生的角度去考虑，对这节课的内容，我已经知道了些什么，能接受些什么，哪些对学生来说是困难的，怎样才能使学生更容易理解、更容易接受。几位教师的教学设计都比较实用，很好的适合学生的实际情况。

（2）引导学生作好小组合作探究，对于教学中的重难点教师适时引导学生小组合作，探究，然后每组找一名学生发言，利用小组集体的优势，同学之间互相学习，带领后进生前进，（3）增加学生参与度。主要通过设置问题让学生回答、小组合作然后展示、学生小组间的评价，学生练习等体现。提升学生课堂参与度，使每一个孩子都能感受到老师对他的关怀，增加了孩子的存在感，特别是对于成绩稍弱点的同学，也能很好的调动积极性，进而提升教学成绩。

（4）练习的选取要适当，重在针对知识点的落实，不应设置难度较大的题目。通过简单、典型例题，使更多的学生参与到课堂活动中来，执教的几位教师特别注重了题目的选取，通过比较简单的题目使同学们对本堂课知识点有了深刻的理解，提高了课堂效率，增强了学习的积极性。

（5）课堂教学中教师注重对学生进行激励性评价，注重同学间的评价，即使有些同学的回答不太准确，老师也是在肯定优点的同时，对其进行鼓励或者让他再仔细考虑一下，在充分尊重学生的同时，拉近了师生间的关系，营造了和谐的氛围，为开展教与学创设了良好的外部环境，无形中提升了学生学习的动力，意识到了自己的不足，也便于学生能力的提升。

《二次根式》的教学反思 篇10

新的课程标准，倡导把课堂变为学生自主、合作、探究的场所，呼唤学生主体性的发展。于是课堂上，我转变角色，变数学知识的传授者为数学活动的组织者、指导者、参与者和研究者。教学活动中，我首先明确这节课的学习目标，然后学生在问题的基础之上逐步地得出这节课的重点内容。这样让学生感觉坡度不大，掌握起来比较容易。从而充分利用公式来做题。

我在设计练习题时，一是遵循学生的学习规律，从易到难。二是从易错点出发。并且我进行了分层练习，分为A、B、C三组。最后我附加了小测验。测验题紧扣本节课的知识内容，从易到难。数学来自于生活，我在最后加了一个实际题目。

从整堂课来看，效果比较好，学生从未知到已知，并且进行了消化。整堂课始终把学生摆在第一位，让他们主动去学习。真正把课堂交给学生，让他们变成学习的主体。层层的问题给学生提供自主探索的机会，让学生的学习过程成为一个再探索、再发现的过程。在这种学习活动中，学生的创新意识和主动探求知识的兴趣得到了培养，同时使所有学生都能在数学学习中获得发现的乐趣、成功的愉悦，树立了自信心，增强了克服困难的勇气和毅力。

二次根式拓展训练 篇11

笔者认为主要有以下几种情况:

一、具有明显的条件

在二次根式的化简中,有的二次根式的被开方数中含有明显的条件,可根据指明的条件运用a2的性质化简二次根式。

明显的条件主要有下列几点:

1、带有范围的条件

例1、化简:x2+2x+1-x2-4x+4(-1

分析:可先将x2+2x+1和x2-4x+4分别化成(x+1)2和(x-2)2,然后根据x的条件进行化简。

解:原式=(x+1)2-(x-2)2

=x+1-2+x

=2x-1

2、带有数值形式的条件

例2、当x= 时,求式子

的值。

分析:由式子中的a2-2a+1=(a-1)2可知,这个代数式中含有(a-1)2的化简,这就需要明确(a-1)是正或是负。然而此题在已知中给出了字母a的数值,由a=化简可得a=2-3,进而可发掘出a<1这一条件,因此应注意(a-1)2的化简。

解:∵a==2-3<1

∴a-1<0

∴原式=

=a-1+

=a-1+

=2-3-1+2+3

=3

3、利用几何图形或函数图像给出条件

例3、已知,如图:

化简:a2+(a-b)2+(b-c)2=_____。

分析:此题给出的是一条数轴,由数轴可知:a<0,a-b<0,b-c<0。

解:结果为-2a+c。

又如:已知直线l:y=(m-3)x+n-1(m、n为常数)的图像如图所示:

化简式子:|m-n|-n2-4n+4-|m-1=______|。

分析:由函数的图像可知:m-3>0,n-2<0,进而也就知道m>3,n<2,M>n。

解:结果为3-2n。

二、隐含条件

在二次根式的化简中,有些二次根式看来没给条件,若不注意挖掘,就会导致错误的结论。

例4、化简:(a-4)2+(3-a)2

分析:式子虽然没有给出a的条件,但由3-a可知a≤3这一条件。

解:原式=4-a+3-a

=7-2a

三、其它的一些条件

例5、化简:1-2sin10°cos10°

分析:在三角函数中,当角度在0°-90°变化时,正弦值随角度的增大而增大,cos10°=sin80°>sin10°,由此可得,此题含有sin10°

解:原式=(sin10°-cos10°)2

=cos10°-sin10°

四、如果式子确实不含有任何条件时,被开方数中的字母都视为正数进行化简

例6、化简:

解:原式=

二次根式拓展训练 篇12

《义务教育数学课程标准 (2011 年版) 》 (以下简称《课标 (2011 年版) 》) 倡导过程教育以全面发挥数学的育人功能.但调研发现大多数教师的课堂教学与过程教育存在偏差, 特别是存在获得数学结果 (或解决问题) 的认知过程短暂和获得数学结果 (或解决问题) 之后的反思过程缺失的问题, 导致学生失去了发展能力与个性及感悟其蕴含的数学思想方法的机会.基于过程教育的浙教版《义务教育教科书·数学》八年级下册第一章第1节“二次根式”怎样教学?

最近, 借助宁波市特级教师带徒活动对此进行了一次专题探索与反思活动.活动的程序是:第一, 活动前3天物色两位教师分别对这节课的教学进行自我分析与设计;第二, 组织有关教师重复式观察这两位教师的课堂演绎;第三, 组织有关教师从“教什么”和“怎样教”两个角度进行研讨与交流;第四, 在研讨基础上要求其中一位教师对这节课进行教学重建与再实践;第五, 带徒导师分别从过程教育的角度对这节课的教学进行点评.初步的理论求证与实践验证表明, 重建后的教学操作方法对全面发挥其育人功能有积极的影响.本文呈现重建后的教学过程及教学点评, 希望对帮助教师认识与实践过程教育有积极的影响.

2 教学实录

环节1:经历产生并感悟二次根式的过程———明确研究问题

师:我们知道, 若一个数的平方等于a, 则这个数叫做a的平方根;正数的正平方根和零的平方根统称为算术平方根, 非负数a的算术平方根可用来表示.

师:现在请大家解答下列各题.

(1) 正方形木板的面积是3平方米, 则它的边长是多少米?

(2) 圆形光盘的面积是S平方厘米, 则它的半径是多少?

(3) 一个长方形的围栏, 长是宽的2倍, 面积为130平方米, 则它的宽是多少米?

(4) 一个直角三角形的两条直角边长分别为2cm, a (cm) , 则它斜边的长是多少?

(约2分钟后)

师:谁来汇报上述问题的答案?

师:好的.这说明许多实际问题中的数量和数量关系可用带根号的代数式来表示.这种代数式有何特征?有何性质?怎样运算?本章就来研究这些问题. (揭示课题)

环节2:参与定义二次根式的活动———形成二次根式的概念

师:代数式有何共同特点?

生2:它们都是算术平方根.

师:不错.像这样表示算术平方根的代数式叫做二次根式, 称为二次根号.

师:怎样用符号来表示二次根式?

生3:一般地, 二次根式可用来表示.

师:好的.这里a可以是数, 也可以是表示数的整式、分式.

师:可见二次根式的概念是有“形式+条件”构成的.为何被开方数必须大于或等于零?

生4:根据算术平方根的意义, 被开方数必须大于或等于零.

师:好的.二次根式的本质是非负数的算术平方根, 所以二次根式有双重性身份 (既表示运算, 也表示运算的结果) 和有双重非负性 (二次根式非负, 被开方数非负) .

师:获得二次根式概念经历了哪几个步骤?

生5: (1) 从实际问题中抽象出具体的二次根式; (2) 观察并归纳具体二次根式的共同特征; (3) 抽象二次根式的本质特征; (4) 用文字和符号定义与表示二次根式.

师:好的.这个思维活动的经验以后会经常用到.

环节3:参与概念应用的活动———合作解答有代表性问题

师:现在请大家合作解答下列问题.

问题1 怎样求下列二次根式中字母a的取值范围?

师:谁来回答中字母a的取值范围?

生6:因为a+1≥0, 得a≥ -1, 所以字母a的取值范围是大于或等于-1的实数.

师:解题的依据是什么?

生6:解题的依据是二次根式的概念———二次根号内的式子是非负数.

师:好的.谁来回答中字母a的取值范围?

生7:因为, 得1-2a>0, 即a<1/2, 所以字母a的取值范围是小于1/2的实数.

师:好的.谁来回答中字母a的取值范围?

生8:因为无论a取何值, 都有 (a-3) 2≥0, 所以a的取值范围是全体实数.

师:好的.上述解题的依据都是二次根号内的式子是非负数.

问题2 若, 问:

(1) 中字母x的取值范围是什么?

(2) 当x=-4时, y的值是什么?

(3) 当y=4时, x的值是什么?

师:谁来回答第 (1) 问?

生9:因为1-2x≥0, 得x≤1/2, 所以字母x的取值范围是小于或等于1/2的实数.

师:好的.谁来回答第 (2) 问?

生10:当x=-4时,

师:好的.谁来回答第 (3) 问?

生11:根据算术平方根的意义, 得1-2x=16, 所以x=-15/2.

师:好的.在中, x取1可以吗?为什么?

生12:不可以.因为x=1不在x≤1/2的范围内.

师:不错.若, 则x的取值范围是什么?

生13:因为1-2x≥0且2x-1≥0, 得x=1/2, 所以x的取值范围是1/2.

师:好的.x=1/2是题目隐含的条件, 以后经常要关注题目中的隐含条件.

师:若, 则能求x, y的值吗?

生14:能.因为, 得1-2x=0, y-3=0, 所以x=1/2, y=3.

师:好的.若两个非负数的和是零, 则每个非负数都是零.

师:用二次根式的双重非负性来解决问题以后会经常遇到.

问题3 一艘轮船先向东北方向航行2小时, 再向西北方向航行t小时.船的航速是每小时25千米.问:

(1) 怎样用t的代数式来表示船离出发地的距离?

(2) 当t=3时, 船离出发地的距离是多少 (精确到0.01千米) ?

师:请大家依次完成下列任务.

(1) 按题意画出图形;

(2) 在图形上标注已知条件;

(3) 结合图形分析解题思路.

(待学生完成任务)

师:谁来回答第 (1) 问?

师:你是怎样得到这个结果的?

生15:先用勾股定理, 再开平方.

师:好的.谁来回答第 (2) 问?

生16:当t=3时,

师:因为当t=3时, 有意义, 所以船离出发地的距离是90.14千米.

师:请大家把解题过程完整地写出来.

(待学生完成任务)

师:解决这个问题经历了哪几个步骤?

生17:按题意画出图形→在图形上标注已知条件→结合图形分析解题思路→列出二次根式→根据给定条件求二次根式的值→检验并作答.

师:好的.这个解决实际问题的思维活动经验以后会经常用到.

(接下来, 要求学生完成课本中的练习题, 并在学生完成任务后进行交互反馈与评价)

环节4:参与回顾与思考的活动———合作进行反思与总结

首先, 教师出示下列“问题清单”, 并要求学生围绕“问题清单”进行回顾与思考.

(1) 本节课研究了哪些内容?我们是怎样研究的?

(2) 若代数式是二次根式, 则它需要满足怎样的条件?

(3) 你对二次根式有何感触?你认为还应该研究什么?

其次, 教师组织学生合作交流, 同时教师边倾听、边评价.

最后, 在此基础上教师让学生欣赏二次根式的自述:

Hi!我是二次根式.我可以看成是从现实生活中抽象出来的, 我也可以看成是算术平方根的和谐扩展———从二次根号内的数到二次根号内是表示数的整式、分式.但我的本质是非负数的算术平方根.正因为我是算术平方根, 所以我也具有双重性身份 (既表示运算, 也表示运算的结果) 和双重非负性 (我是非负数, 我根号内的式子也是非负数) .我与整式、分式一样, 也是一类重要的代数式, 并且我能表示现实生活中的许多数量和数量关系, 以后你会经常用到我的双重非负性的性质, 不久你还能知道我的其他性质和运算法则.告诉你:认识我的基本思路是“从生活实例中产生我→观察并归纳我的本质特征→用文字和符号定义与表示我→在具体情境中认识我”.你在认识我的过程中, 还能发展智力、能力和个性.

3 教学点评

1) 二次根式可以看成是从现实生活中抽象出来的, 也可以看成是算术平方根的和谐扩展.它与整式、分式一样, 也是一类重要的代数式, 许多实际问题中的数量和数量关系能用二次根式来表示, 研究二次根式的思想方法具有普遍适用性.从生活实例中抽象出二次根式的过程和蕴含的生活常识、抽象思想、方程思想等;定义与表示二次根式的过程和蕴含的归纳思想、符号表示思想等;诠释二次根式概念的过程和蕴含的二次根式的双重性身份及二次根式的双重非负性.这些对发展学生智力、能力和个性有积极影响.尽管《课标 (2011年版) 》 (内容标准) 对二次根式概念的教学要求是了解, 但教材对二次根式概念处于归纳层次.因此, 二次根式概念的教学要经历“产生对象→观察个体特征→归纳共同特征→抽象本质特征→定义与表示对象→巩固对象”的完整认知过程.但部分教师在二次根式概念的教学中, 普遍存在获得概念的认知过程短暂和获得概念之后反思过程缺失的问题, 导致不能全面发挥其育人功能.本节课根据教材的意图和《课标 (2011 年版) 》 (内容标准) 对二次根式概念的教学要求, 以4个简单的实际问题为载体, 从学生已有的知识与经验出发, 运用教师价值引导与学生自主建构相结合的适度开放的方法, 引导学生经历了形成概念的完整认知过程———既有列式、求值、观察、归纳、抽象、定义、表示的认知过程, 以获得二次根式的概念, 也有获得概念之后反思的认知过程, 以加深认识“形式+条件”的二次根式概念, 感悟二次根式具有双重性身份和二次根式具有双重非负性及概念形成过程中蕴含的抽象思想、归纳思想、符号表示思想等, 积淀获得数学概念的思维活动经验.这体现了过程教育和以学为中心思想, 也遵循了处于归纳层次的概念教学的基本规范, 能全面发挥其育人功能.

2) 求给定二次根式根号内字母取值范围、求给定条件的二次根式值及用二次根式解决简单实际问题是整节课认知过程的后半段, 旨在再认二次根式的双重非负性、渗透函数思想方法、积淀用代数式解决实际问题的数学活动经验等.《课标 (2011 年版) 》 (内容标准) 对二次根式概念应用的教学要求是:会求给定二次根式根号内字母的取值范围, 会求给定条件的二次根式的值, 会用二次根式解决简单的实际问题.目前部分教师在二次根式概念应用的教学中, 普遍存在解题过程短暂和解答之后反思过程缺失的问题, 特别没有显化用二次根式解决实际问题的数学活动经验.本节课根据教材的意图和 《课标 (2011年版) 》 (内容标准) 对二次根式概念应用的教学要求, 以教材提供的例题和练习题为载体, 运用教师价值引导与学生自主建构相结合的方法, 引导学生经历了二次根式概念应用的完整认知过程———在问题1的教学中, 既有教师指导下的求给定二次根式根号内字母取值范围的过程, 也有解答之后反思解题依据的过程;在问题2的教学中, 既有教师指导下解答有关问题的过程, 也有解答之后的变式拓展的过程;在问题3的教学中, 既有画图、标注、分析、列式、求解、作答的过程, 也有解答之后反思解题步骤的过程.这体现了过程教育和以学为中心思想, 也遵循了问题解决教学的基本规范, 对巩固二次根式的概念、发展智慧技能、感悟其蕴含的数学思想、积淀用代数式解决实际问题的数学活动经验等有积极的影响.

总之, 全面发挥数学的育人功能需要过程教育, 而这节课的教学体现了过程教育和以学为中心思想, 能全面发挥其育人功能.因此, 在概念教学中要实现知识、技能、能力、态度的完美统一, 需要教师增强揭示概念所蕴含的思维活动过程的自觉性, 而引导学生经历实质性思维过程需要以符合“最近发展区”理论的题材为载体, 从学生已有的知识与经验出发, 运用教师价值引导与学生自主建构相结合的方法, 并引导学生经历完整的认知过程.

参考文献

[1]中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准 (2011年版) [M].北京:北京师范大学出版社, 2012.