同济高数教案

同济高数教案（通用2篇）

同济高数教案 篇1

高数同济版下 高数（下）小结

一、微分方程复习要点

解微分方程时，先要判断一下方程是属于什么类型，然后按所属类型的相应解法 求出其通解.一阶

微分方程的解法小结：

高数同济版下 二阶微分方程的解法小结：

非齐次方程的特解的形式为：

高数同济版下 主要 一阶

1、可分离变量方程、线性微分方程的求解；

2、二阶常系数齐次线性微分方程的求解；

3、二阶常系数非齐次线性微分方程的特解

二、多元函数微分学复习要点

一、偏导数的求法

1、显函数的偏导数的求法 时，应将看作常量，对求导，在求时，应将看作常量，对求导，所运 用的是一元函数的求导法则与求导公式

2、复合函数的偏导数的求法 设，，则，几种特殊情况： 1），，则2），则 3），则

3、隐函数求偏导数的求法 1）一个方程的情况，设是由方程唯一确定的隐函数，则，高数同济版下 或者视，由方程两边同时对 2）方程组的情况 由方程组.两边同时对求导解出即可

二、全微分的求法 方法1：利用公式 方法2：直接两边同时求微分，解出即可.其中要注意应用微分形式的不变性：

三、空间曲线的切线及空间曲面的法平面的求法 1）设空间曲线Г的参数方程为，则当时，在曲线上对应 处的切线方向向量为，切线方程为 法平面方程为 2）若曲面的方程为，则在点处的法向，切平面方程为 法线方程为 高数同济版下 若曲面的方程为，则在点处的法向，切平面方程为 法线方程为

四、多元函数极值（最值）的求法 1 无条件极值的求法 设函数在点的某邻域内具有二阶连续偏导数，由，解出驻点，记，1）若 时有极小值 2）若，则在点处无极值 3）若，不能判定在点处是否取得极值，则在点处取得极值，且当时有极大值，当 2 条件极值的求法 函数在满足条件下极值的方法如下： 1）化为无条件极值：若能从条件解出代入中，则使函数成为一元函数无条件的极值问题 2）拉格朗日乘数法 作辅助函数，其中为参数，解方程组 高数同济版下 求出驻点坐标，则驻点可能是条件极值点 3 最大值与最小值的求法 若多元函数在闭区域上连续，求出函数在区域内部的驻点，计算出在这些点处的函数值，并与区域的边界上的最大（最小）值比较，最大（最小）者，就是最大（最小）值.主要

1、偏导数的求法与全微分的求法；

2、空间曲线的切线及空间曲面的法平面的求法

3、最大值与最小值的求法

三、多元函数积分学复习要点 七种积分的概念、计算方法及应用如下表所示：

高数同济版下 高数同济版下 *定积分的几何应用 定积分应用的常用公式：(1)面积(2)体积（型区域的面积）（横截面面积已知的立体体积）（所围图形绕 的立体体积）（所围图形绕 体体积）（所围图形绕轴 的立体体积）

高数可分离变量的微分方程教案 篇2

观察与分析

1 求微分方程y2x的通解 为此把方程两边积分 得 yx2C

一般地 方程yf(x)的通解为yf(x)dxC(此处积分后不再加任意常数)

2 求微分方程y2xy2 的通解

因为y是未知的 所以积分2xy2dx无法进行 方程两边直

接积分不能求出通解

1dy2xdx 两边积分 得

y211

x2C 或y2yxC1是原方程的通解 可以验证函数y2xC

为求通解可将方程变为

一般地 如果一阶微分方程y(x, y)能写成 g(y)dyf(x)dx

形式 则两边积分可得一个不含未知函数的导数的方程

G(y)F(x)C

由方程G(y)F(x)C所确定的隐函数就是原方程的通解

对称形式的一阶微分方程

一阶微分方程有时也写成如下对称形式

P(x y)dxQ(x y)dy0 在这种方程中 变量x与y 是对称的

若把x看作自变量、y看作未知函数 则当Q(x,y)0时 有

dyP(x,y)

dxQ(x,y)若把y看作自变量、x看作未知函数 则当P(x,y)0时 有

dxQ(x,y)

dyP(x,y)

可分离变量的微分方程

如果一个一阶微分方程能写成

g(y)dyf(x)dx(或写成y(x)(y))的形式 就是说 能把微分方程写成一端只含y的函数和dy 另一端只含x的函数和dx 那么原方程就称为可分离变量的微分方程

讨论 下列方程中哪些是可分离变量的微分方程？(1)y2xy

是 y1dy2xdx (2)3x25xy0

是 dy(3x25x)dx(3)(x2y2)dxxydy=0

不是

(4)y1xy2xy2 是 y(1x)(1y2)(5)y10xy

是 10ydy10xdx(6)yxy

不是 yx

可分离变量的微分方程的解法

第一步

分离变量 将方程写成g(y)dy f(x)dx的形式

第二步

两端积分g(y)dyf(x)dx 设积分后得G(y)F(x)C

第三步

求出由G(y)F(x)C所确定的隐函数y(x)或x(y)G(y)F(x)C  y(x)或x(y)都是方程的通解 其中G(y)F(x)C称为隐式(通)解

例1 求微分方程dy2xy的通解

dx

解

此方程为可分离变量方程 分离变量后得

1dy2xdx

y两边积分得

ydy2xdx

21即

ln|y|x2C1

从而

yexC1eC1ex

2因为eC1仍是任意常数 把它记作C 便得所给方程的通解

yCex

例2 铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比 已知t0时铀的含量为M0 求在衰变过程中铀含量M(t)随时间t变化的规律 2

解 铀的衰变速度就是M(t)对时间t的导数

dM

dtdMM

dtdM0 其中(>0)是常数 前的曲面号表示当t增加时M单调减少 即

dt

由于铀的衰变速度与其含量成正比 故得微分方程由题意 初始条件为 M|t0M0

将方程分离变量得

两边积分 得dMdt

MdM()dt

M即

lnMtlnC 也即MCet

由初始条件 得M0Ce0C

所以铀含量M(t)随时间t变化的规律MM0et 

例3 设降落伞从跳伞塔下落后 所受空气阻力与速度成正比 并设降落伞离开跳伞塔时速度为零 求降落伞下落速度与时间的函数关系

解

设降落伞下落速度为v(t) 降落伞所受外力为Fmgkv(k为比例系数) 根据牛顿第二运动定律Fma 得函数v(t)应满足的方程为

mdvmgkv

dt初始条件为

v|t00

方程分离变量 得

dvdt

mgkvmdvdt两边积分 得 mgkvm

ln(mgkv)1ktC

m1kC1ktmgemCe即

v(C)

kk将初始条件v|t00代入通解得Cmg

kktmg(1em)

于是降落伞下落速度与时间的函数关系为vk

例4 求微分方程

解 方程可化为 dy1xy2xy2的通解

dx

dy(1x)(1y2)

dx分离变量得

1dy(1x)dx

1y2两边积分得

1y2dy(1x)dx 即arctany2x2xC

1211于是原方程的通解为ytan(x2xC)

师生互动设计