牛顿线的一个性质-一个几何定理的疵点和推广

2024-10-09

牛顿线的一个性质-一个几何定理的疵点和推广（共6篇）

牛顿线的一个性质-一个几何定理的疵点和推广篇1

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由一个定理的证明谈面积法在平面几何证明中的应用

作者：王召坤

来源：《中学数学杂志(初中版)》2013年第04期

大家熟知的平行线段成比例定理：“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.”是一个常用的定理，由此可以推出多个性质，特别是可以推导出三角形相似的判定定理.人教版九年级下册没有给出证明，只是在第41页给出“经证明（这里从略）”，学生颇感困惑.教师教学用书上（第66页）是这样解释的：“由于这个定理的证明涉及无理数、极限等知识，学生尚不能理解”，因此采取了“学生度量相关的线段长度，发现规律，然后直接给出了定理.”因此，这只是一个验证性的结果.图1

普通高中课程标准实验教科书《数学·选修4-1·A版·几何证明选讲》（人民教育出版社，2007年第2版）第7页给出了该定理，并用平行线等分线段定理给出了证明.但也只证明了图1中ABBC为正有理数时定理成立，当ABBC为正无理数时没有给出证明.明显不够完善.在这里我们可以利用三角形的面积公式S=12ah给出其简洁的证明.

牛顿线的一个性质-一个几何定理的疵点和推广篇2

定理1 已知△ABC中, AB=AC, 如果D为BC边上任意一点, 那么AD2-AB2=BD·DC。

现把定理1条件中的点在底边上改为点在底边的延长线上, 就得:

定理2 如图1, 已知△ABC中, AB=AC, 如果D为BC延长线上任意一点, 那么AD2-AB2=BD·DC。

证明:作△ABC的外接圆⊙O, 交AD于E, 连接CE。由切割线割定理的推论, 得BD·DC=AD·DE=AD (AD-AE) =AD2-AD·AE, 因为∠CED是圆内接四边形ABCE的外角, 所以∠CED=∠B=∠ACB, 又因为∠AEC+∠CED=180°, ∠ACD+∠ACB=180°, 所以∠AEC=∠ACD, 又因为∠CAE=∠DAC, 所以∠ACE∽∠ADC, 所以 , 所以∠AE·AD=AC2, 即AE·AD=AB2, 因此AD2-AB2=BD·DC。

由定理1和定理2得:

定理3:等腰三角形底边所在直线上任意一点到底边两端点的距离的积等于腰长与这点到顶点距离的平方差的绝对值。

灵活巧妙地应用定理2, 也可非常简捷地解一类与等腰三角形有关的问题, 举例说明如下:

例1:如图1, 在△ABC中, AB=AC=1, D是BC延长线上的一点, 且 , 求BD·DC的值。

解:由定理2得。

例2:△ABC中, AB=AC=2, BC边延长线上有100个不同的点P1, P2…P100, 记mi=AP2i-BPi·PiC (i=1, 2, …100) , 则m1+m2+……+m100=______。

解:由定理2得APi2-BPi·PiC=AB2=22=4,

即mi=4, 故m1+m2+……+m100==4×100=400。

例3:已知△ABC为等腰锐角三角形, AB=AC, D为BC延长线上一点, 使DA⊥AB。求证:BD2+BD·CD=2AD2。

证明因为DA⊥AB, 所以AD2+AB2=BD2, …… (1)

又由定理2得AD2-AB2=BD·DC…… (2)

由 (1) , (2) 得BD2+BD·DC=2AD2。

例4:某船在B处以每小时8千米的速度向正东方向航行, 1小时后到达C处, 在B, C两处均测得与灯塔A的距离为8千米。 (1) 问再经过2小时该船距A多少千米? (2) 设该船从B处出发后某时刻所处的位置为P, 若PB=x, PA2=y, 求y关于x的函数解析式及x与y的取值范围。

解: (1) 设再经过2小时后该船在D处 (如图1) , 由题意得AB=AC=8, BD=24, CD=16, 由定理2得AD2=BD·CD+AB2=24×16+8=448, 所以 (千米) 。

(2) (1) 当P在线段BC上时, 由定理1得AP2=AB2-BP·PC, 所以x的取值范围是0

(2) 当P在线段BC的延长线上时, 由定理2得AP2=AB2+BP·PC, 所以y=82+x (x-8) , 即y关于x的函数解析式是y=x2-8x+64。x的取值范围是x>8, y的取值范围是y>64。

综合 (1) , (2) , 得y与x的函数关系式是y=x2-8x+64, x与y的取值范围分别是x>0, y≥48。

由定理还可以得到关于直角三角形的两个性质:

性质1 在Rt△ABC中, ∠C=90°, D是BC上任一点, 那么AD2+2BD·DC+DB2=AB2。

证明:延长BC到点E, 使CE=BC, 连接AE (如图2) , 则AE=AB, 由定理1得AB2=AD2+DB·DE=AD2+BD (2DC+BD) =AD2+2BD·DC+BD2

性质2 在RT△ABC中, ∠C=90°, D是边CB延长张上任一点, 那么AD2+BC2=DC+AB2。

证明:延长BC到点E, 使CE=BC, 连接AE (如图3) , 则AE=AB, 由定理2得AD2-AB2=BD·DE= (DC-BC) (DC+BC) =DC2-BC2, 所以AD2+BC2=AB2+DC2。

参考文献

阿波罗尼定理之逆定理的一个证明篇3

宁夏回族自治区固原市五原中学马占山(756000)

阿波罗尼定理之逆定理如果一个凸四边形的四边的平方和等于对角线的平方和，那么这个四边形是平行四边形．

笔者在数学中国几何天地网站论坛中得知该定理历史悠久，2004年李明波先生给出了证明．本文给出这个定理的证明.为证定理,在此首先给出一个几何命题.命题在ABC中,点D是边BC的中点,则 ABAC2(AD

证明:过点D作DFBC于点F.在RtABE,RtADE,RtACE中

由勾股定理可得:AD2AE2DE2AB2BE2DE2AB2(BDDE)2DE2 2221BC2).4AB2BD22BDDE(1)

同样有:AD2AE2DE2AC2CE2DE2AC2(CDDE)2DE2 AC2CD22CDDE(2)

(1)+(2)得

2AD2AB2AC2(BD2CD2)AB2AC22(AD2

下面证明给出定理的证明.1BC2)4

牛顿线的一个性质-一个几何定理的疵点和推广篇4

一个Ⅱ型甲烷氧化菌中甲烷单加氧酶羟基化酶的分离纯化和理化性质

甲烷氧化细菌能够催化甲烷和一系列小分子烃类化合物的羟基化反应,对控制全球变暖起着重要作用,在工业催化和生物除污中具有非凡的潜能.应用层析方法纯化了Ⅱ型甲烷氧化细菌Methylosinus trichosporium IMV 3011中甲烷单加氧酶的羟基化酶,并对其进行了表征.凝胶过滤法测定了该酶分子量为201.3kD;SDS-PAGE表明羟基化酶含有三个亚基(αβγ),分子量分别为58kD、36kD和23kD,比较两种方法证明该羟基化酶是一个同型二聚体构型(αβγ)2,总分子量为234kD.薄层等电聚焦测定该酶的等电点为5.2.酶的比活力为603.6nmol/(min・mg),活力回收为34.3%.HPLC法测定该酶的纯度在95%以上.原子吸收光谱显示每分子羟基化酶中含有3.02个Fe原子.羟基化酶的稳定性pH值为6.2～7.5,稳定性温度为低于35℃.菌株IMV 3011的`细胞表观构型呈现了长型、稍微弯曲的杆状形态.

作者：华绍烽李树本辛嘉英牛建中夏春谷唐威胡宵雪 HUA Shao-Feng LI Shu-Ben XIN Jia-Ying NIU Jian-Zhong XIA Chun-Gu TANG Wei HU Xiao-Xue 作者单位：中国科学院兰州化学物理研究所/羰基合成与选择氧化国家重点实验室,兰州,730000 刊名：生物工程学报 ISTIC PKU英文刊名：CHINESE JOURNAL OF BIOTECHNOLOGY 年，卷(期)： 22(6) 分类号：Q814.1 关键词：甲烷氧化细菌甲烷单加氧酶羟基化酶纯化理化性质