马尔科夫预测法（共8篇）
马尔科夫预测法 篇1
0引言
随着信息化社会的不断发展, 人们对微软公司的Excel已不再陌生, 但是它的很多高级且强大的功能并不为一般用户所掌握。特别是与Excel绑定的VBA (Visual Basic For Application) , 它不仅可以实现程序自动化, 创建针对性强、实用性强和效率高的解决方案, 而且, 还可以将Excel用作开发平台, 实现更加复杂的应用程序系统开发[1]。在此利用语法简单、容易理解和掌握的VBA实现股票预测实例, 旨在普及和推广电脑的应用, 使程序设计和系统开发大众化, 让人们逐渐消除对 “编程”或“代码”的害怕心理, 能用VBA开发和解决本领域中的实际问题, 实现应用程序自动化, 提高办事效率, 减小工作量, 适应信息化社会不断发展的需要。
1马尔可夫预测法简介
1.1 马尔可夫过程和马尔可夫预测法
预测是人们根据历史资料和现实, 利用已经掌握的知识和手段, 对事物的未来或未知状况进行的事前推知或判断。其中马尔可夫法是预测中比较常用的方法。
马尔可夫 (Markov) 预测法, 简称马尔可夫法的基本原理是对事件的全面预测, 不仅要能够指出事件发生的各种可能结果, 而且还必须给出每一种结果出现的概率[2]。在事件的发展过程中, 若每次状态的转移都仅与前一时刻的状态有关, 而与过去的状态无关, 或者说状态转移过程是无后效性的, 则这样的状态转移过程就称为马尔可夫过程。所谓“无后效性”, 是指过去对未来无后效, 而不是指现在对未来无后效。马尔可夫链是与马尔可夫过程紧密相关的一个概念。马尔可夫链指出事物系统的状态由过去转变到现在, 再由现在转变到将来, 一环接一环, 像一根链条, 而作为马尔可夫链的动态系统将来是什么状态, 取什么值, 只与现在的状态、取值有关, 而与它以前的状态、取值无关[3,4]。因此, 运用马尔可夫链只需最近的或现在的动态资料便可预测将来。马尔可夫预测法就是应用马尔可夫链来预测未来变化状态。
马尔可夫预测法, 就是一种预测事件发生的概率的方法。它是基于马尔可夫链, 根据事件的目前状况预测其将来各个时刻 (或时期) 变动状况的一种预测方法。马尔可夫预测法是对地理、天气、市场等进行预测的基本方法。
1.2 转移概率和转移概率矩阵
转移概率就是用概率来描述事物状态转移的可能性大小, 常用“P ”表示[1]。
矩阵是指由许多个数组成的一个数表。每一个数称为矩阵的元素。其表示方法如下:
这是一个由m行n列的数构成的矩阵, Pij表示矩阵中的第i行与第j列交叉点上的元素, 矩阵中的行数与列数可以相等, 也可以不等。当它们相等时, 矩阵就是一个方阵。
由转移概率组成的矩阵就是转移概率矩阵。也就是说构成转移概率矩阵的元素是转移概率。转移概率矩阵有以下特征[5]: 矩阵中每个元素 (转移概率) 均为非负数;矩阵中每一行转移概率之和等于1。
1.3 几个基本概念
状态 某一事件在某个时刻 (或时期) 出现的某种结果。随着研究的事件及其预测的目标不同, 状态有不同的划分方式[6]。
状态转移过程 事件的发展, 从一种状态转变为另一种状态, 即为状态转移[6]。
一步转移概率 设系统有N个状态Ei (i=1, 2, …, N) , 以状态变量xt=i表示在时刻tn处于Ei (i=1, 2, …, N) , 如果系统在时刻tn处于Ei而在时刻tn+1转移到Ej的概率只与Ei有关而与tn以前处的状态无关, 则此概率可表示为:
Pij=P (Ei→Ej) =P ( xn+1=j∣xn=i) (0≤ Pij ≤1 , ∑ Pij=1) , 称Pij为一步转移概率。
预测模型[7]S (k+1) =S (k) P
起始状态概率分布 当预测模型中k=0时, 反映的是系统在初始时状态概率的分布情况, 称为起始状态概率分布。
k步转移概率 假设系统有N个状态Ei (i=1, 2, …, N) , 用Pi表示系统在k时期处于状态Ei (i=1, 2, …, N) 的概率, 所有概率所构成的向量, 称为状态概率向量。其中: 0≤Pi (k) ≤1 (i=1, 2, …, N) , ∑ Pi (k) =1, 由S (k+1) =S (k) P 可得递推关系S (k) =S (0) P×P×…×P (k个P相乘) , 称为k步转移概率[8]。
1.4 马尔柯夫预测法的步骤
根据上述分析, 马尔柯夫预测法的步骤应为[9,10,11]:
(1) 确定系统的状态Ei和S (0) ;
(2) 确定P;
(3) 进行预测:S (k) =S (0) Pk 。
假设系统的终极状态的状态概率为m1, m2, …, mN, 则: (m1, m2, …, mN) = (m1, m2, …, mN) P , 也就是说, 所谓终极状态就是再也不会改变的概率状态, 按照固定的概率进行转移。
2用VBA实现马尔柯夫预测法对股票预测
以股票收盘价状态 (上升、平盘、下降) 为对象进行预测, 选取前23天的行情作为样本来分析预测。其中前23天中上升9天, 平盘1天, 下降13天。因为第23天的状态是下降而无状态转移, 所以下降记为12天。其中由上升转移为上升的有2次, 由上升转移为平盘的有0次, 由上升转移为下降的有7次;平盘转移为上升的有0次, 由平盘转移为平盘的有0次, 由平盘转移为下降的有1次;由下降转移为上升的有6次, 由下降转移为平盘的有1次, 由下降转移为下降的有5次。由此, 可制作如图1所示。
假设想知道3天后股票的情况, 要先得出一步概率转移矩阵, 其程序代码如下:
Sub OneStep ()
其结果如图2所示。
因为要看3天后股票的情况, 所以需要做一个通式, 只要输入天数, 不论是几天后的情况都能得到。该例先用下列代码把天数限制在一周内:
然后, 用下列代码来计算矩阵的k次幂, 即k步转移概率:
该代码的作用是只要每次C15单元格数字发生变化, 工作表便会调用函数AnyStep () , 从而得出k步转换概率矩阵, 得到相关月份的所有数据。如在C15单元格中输入3, 按回车或者将鼠标放置其它处, 便能得到第3天的预测情况, 如图3所示。
本例的天数被限制在一周内, 如果在C15单元格输入非1～7的数字, 则会报告错误。提示输入合法数值, 如图4所示。
3结语
通过应用证明, 该程序比较适用、操作简单、预测结果和实际结果有很好的一致性。当然, Excel在预测中的应用是非常广泛的, 如组织内部人力资源供给的预测、市场占有率的预测和销售期望利润的预测等。基于预测的经常性, 方法的固定性, 能用Excel的时候不妨都用VBA, 尽管第一次可能稍微多花些时间, 但却会极大地减少以后的工作量。另外, 由于VBA编辑器中提供了丰富的控件和完备的语言系统, 能实现较大的管理、控制系统, 用户可以根据需要创建自己的VBA应用程序, 所以对于非专业软件开发人员, 用Excel及VBA开发本领域的系统是一个非常不错的选择。
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马尔科夫预测法 篇2
关键词：电量预测； 灰色模型； 残差修正； 傅里叶级数； 马尔科夫链
中图分类号 TM715 文献标识码 A
文章编号：1674-2974（2016）10-0062-08
Abstract：Gray model is widely used in mid-long term electricity demand forecasting， but the model fits exponentially increasing data more precisely. Due to China's economic growth rate fluctuations， the increase in electricity consumption is slowing down， and electricity varies stochastically. So it is necessary to propose a new model to reflect the new situation. To solve the problem of the poor anti-interference ability of grey model， this paper proposes a model with Fourier series and Markov theory residual error correction based on grey model. This model applies Fourier series method to optimize electricity changing rate， and Markov chain method to embed the random property in gray forecasting model for doubly correcting the residual error， which can improve the adaptability and flexibility. The proposed model is verified by actual load data， and it indeed improves the forecasting accuracy.
Key words：load forecasting； grey model； residual error correction； Froier series； Markov chain theory
中长期电量预测多指年度预测和月度预测，对电力部门的发展规划有重要意义，电量预测有利于提高电网运行的安全性和经济性.当经济增长，用电需求呈逐年递增的趋势时，灰色预测模型[1]能较好地以指数形式拟合中长期用电量情况.但是用电量还受到政治、经济事件以及气候因素的影响，具有一定的随机性与波动性，电量并不是按照绝对的指数规律逐年递增，近年来却出现了增速放缓的现象，有的地区甚至出现负增长，此时若不对灰色模型预测结果进行修正，会产生较大的误差.
实际上，对时间序列残差的修正由来已久亦非常普遍[2-3]，电力系统应用中多先对残差绝对值进行灰色预测，继而采用马尔科夫状态转移来判断残差的正负符号，以修正原预测模型[4].而残差序列一般波动剧烈，没有明显的规律，用含有明显指数规律的灰色模型对其进行拟合和预测都将存在较大的误差.此外，在将马尔科夫理论用于电力系统时，有学者运用马尔科夫状态转移概率矩阵直接修正残差值[5]，有一定改善.
本文利用傅里叶级数法对时间序列残差的良好修正效果[6-7]，将其运用到灰色预测模型，作为一次修正，周期信号或者任何满足条件可延拓的信号都可以展开成傅里叶级数，从而可以提炼出数据样本序列中隐含的周期信息，改善灰色模型自身的机理缺点，使预测结果不再呈现单一的指数增长，以适应不同变化规律的电量序列；同时对原始残差进行马尔科夫预测，作为二次修正，马尔科夫预测能够反映状态的随机过程，提高其随机灵动性.因而本文提出了一种傅里叶马尔科夫残差修正的中长期电量灰色预测模型（GM-FM，Grey Model-Fourier Markov Residual Correction）.在此基础上，以实际用电量数据做算例分析，并与现有修正方法进行对比，结果表明，本文所提模型较大程度地提高了预测精度.
1 灰色GM（1，1）模型
灰色系统理论主要通过对部分已知信息的生成、开发，提取有价值的信息，实现对系统运行行为、演化规律的正确描述和有效监控，灰色预测是一种对含有不确定因素的系统进行预测的方法.
通过对原始数据序列进行累加生成可以弱化随机性，得到指数规律性较强的曲线.而电力系统的发展与社会、经济系统一样受到各种因素的制约，不可能永远按照某一速度发展，有时发展较快，有时发展较慢[9].从而GM（1，1）模型的应用有很大的局限性，只有当系统基本按指数规律发展，且发展速度不是很快时，才能得到精准的预测结果.为了改进GM（1，1）建模机理本身的缺陷，通过修正残差，即实际值与预测值之差，来提高预测精度.
2 傅里叶残差修正
如前所述，电量受众多因素影响，不同时期会以不同的指数率变化.傅里叶级数是周期函数，可提炼出数据样本序列中隐含的周期信息，起到降噪作用[6-7，10-11].事实上，任何周期函数或满足条件的可延拓的非周期函数都可以展开成为傅里叶级数，并且可用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示，成为一种特殊的三角级数.而三角函数又根据欧拉公式可化为指数形式，故傅里叶级数也可称为一种指数级数，这恰好能与GM（1，1）模型相结合，提炼数据序列不同的指数信息，并改善GM（1，1）模型中累加生成单一指数变化率的局限性.傅里叶残差修正的具体步骤如下：
傅里叶级数对灰色模型的残差修正还可以应用于灰色Verhulst模型[14]等改进灰色模型中，同样取得了较好的改进精度.但是电量的变化不仅仅只有呈近似指数规律增长的特点，还有很强的随机性，受到各类事件的影响.因此，在傅里叶修正残差改善预测模型的基础上，本文进一步通过马尔科夫链来预测残差，进行二重修正，以提高预测精度.
3 马尔科夫残差预测
马尔科夫链是指对于任一随机过程，某一时刻之后的状态只与该时刻有关，与该时刻之前的状态无直接关系[15].该方法促进了随机过程理论的发展，即Markov过程，成为了概率论的新分支.用电量变化受到诸多因素的影响，其增长速率及是否增长都是不能完全确定的，表现出马尔可夫残差预测的性质，具备较强的随机性，采用马尔科夫残差预测可以改善序列的随机特征，优化预测结果.设随机系统Y在时刻t处于状态in，则在t+1时刻系统所处的状态与t时刻之前的状态无关，换而言之初始时刻到t-1时刻的随机过程均不影响t+1时刻，即：
本文改进后GM-FM模型与GM模型的预测精度对比分析如表5所示，曲线及其放大图如图1所示.可见本文所提方法的拟合精度和预测精度均明显提高，证明了GM-FM模型的有效性.
此外，对文献[5]中1979-1989年石家庄售电量数据对1989年的售电量进行了预测验证，并与之所提的马尔科夫预测残差及其残差符号的方法做了对比，同样证明本文所提模型具有更高的预测精度.本文所提方法具体数据如表6所示，曲线及其放大图如图2所示，其中由3步转移矩阵得到的Markov残差预测值为0.021 6，与该文献的预测结果对比如表7所示.
另外，对比同样由傅里叶分析思想发展而来的小波分析方法，其通常需要先对原始序列进行小波分解，再根据分解后的信号特征选用合适的方法进行组合预测，最后重构（叠加）近似序列和细节序列的预测结果得到总的预测值.将本文中已有的2000-2009年的用电量作为原始序列进行小波分解，小波函数采用Daubechies系列的db3小波，作3层分解，结果如图3所示，分别为近似序列（趋势项）a3和细节序列（高频分量）d3，d2和d1.
由图可见，分解后的近似序列有更平稳的指数增长规律，但其细节序列都波动复杂，非线性极强，选用哪种或哪几种合适的预测方法是工作的一大难点，模型变得复杂，且解构、重构后的预测结果难免存在机理上的误差.更加值得一提的是，选用何种小波函数进行何种尺度的分解需要依靠经验和试验，选择不当可能带来很大的误差.相比之下，本文所提方法不需要采用多种不同模型的组合预测，提取序列自身的信号特征，进行预测和修正，更为简单，且效果良好.
5 结 论
灰色模型能较好地预测中长期电量，但电量数据增长速度有时快有时慢，更有诸多因素的随机影响，单纯的灰色模型对数据波动且不按单一指数规律变化的序列适应性不强.本文通过分析电量预测的残差数列，利用傅里叶级数和马尔科夫状态转移矩阵对预测结果进行了二重修正，改善了灰色模型对样本数据波动适应能力不足的缺点，使其具备更为灵活的指数率以及随机适应性等特点，显著提高了预测精度，通过对2010年中国全社会的用电量以及石家庄1989年的售电量数据进行预测分析，验证了该模型的准确性，且通过对比可知，模型预测结果优于现有的一般单纯使用马尔科夫修正残差的方法.
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基于马尔科夫分析的航材消耗预测 篇3
航材消耗的因素涉及飞机的飞行时间, 航材的质量状况, 机务人员的技术水平, 自然条件的影响等, 多方面的因素通过有限的指标很难表述, 对航材消耗量更是无法精确计算, 由此看出航材阶段性消耗具有明显的随机性。相对于积累数据较少的情况, 很难通过传统的预测方法进行消耗预测, 这给航材保障人员在进行航材供应保障时带来很大难题。
通常情况下在进行航材保障时, 不仅需要研究在某个特定时刻不确定航材消耗, 而且还需要研究随时间进展所需的一系列不确定性航材消耗。马尔科夫随机方法就是运用马尔科夫随机过程理论来分析和预测事物运动规律的方法。航材消耗可以较好地表示为一个马尔科夫过程, 因此, 马尔科夫方法在航材消耗预测中是一种很有用的分析方法。
1 马尔科夫理论的定义与性质
1.1 马尔科夫过程
一般情况下随机过程, 假如其将来所处状态的概率当且仅当与目前状态有关, 但与它呈现此状态时间及方式无关, 则称该随机过程为马尔科夫随机过程。如果用概率分布来描述马尔科夫性, 其表述为:设S为随机过程{X (t) , t∈T}的状态空间。t1燮t2燮…tn, n叟3ti∈T, 如果条件是X (ti) =xi, xi∈S, i=1, 2, …, n-1的情形, 并且X (tn) 的条件概率分布函数如果刚好等于X (tn-1) =Xn-1时, X (tn) 的条件概率分布函数, 其数学表达式为:
P{X (tn) 燮xn│X (t1) =x1, X (t2) =x2…, X (tn-1) =xn-1}=P{X (tn) 燮xn│X (tn-1) =xn-1}, xn∈R
则称该随机过程{X (t) , t∈T}具有马尔科夫性, 并且称此过程为马尔科夫过程。
1.2 马尔科夫链及基本性质
假若随机过程{X (t) , t∈T}, T=0, 1, 2, …, 状态空间S={0, 1, 2, …}如果对正整数m, n, p, 及任意负整数jm>jm-1…>j2>j1 (n>jm) , 和in+p, in, ijm, …, ij2, ij1有
P{X (n+p) =in+p│X (n) =in, X (jm) =ijm, …, X (j2) =ij2, X (j1) =ij}=P{X (n+p) =in+p│X (n) =in}
成立, 则称XT为马尔科夫链。
通常情况下马尔科夫模型的转移矩阵, 其元素满足以下两个性质:
(1) 矩阵中的元素为非负数, 即
(2) 矩阵中的每行元素的元素之和为1, 即
2 马尔科夫预测
预测对象在各个阶段的状态和状态之间的转移概率就构成了系统状态转移矩阵, 利用转移概率矩阵可以预测系统状态的变化趋势。在实际的预测工作中, 有时已知初始状态和转移概率矩阵, 从而可以直接进行预测, 有时只有历史资料, 就要对历史资料进行分析, 得出转移概率矩阵然后进行预测, 可以分四步进行:
第一步:建立转移概率矩阵。
第二步:求出初始状态概率。
所谓初始状态概率Pi, 近似地说就是状态出现的频率Fi。假定事件有Ei格状态 (i=1, 2, …) , 在已知历史资料中状态Ei出现的次数为Mi, ∑Mi等于资料的总个数N, 即N=∑Mi, 故Ei出现的频率Fi=Mi/N, 且∑Fi=1。
第三步:求解一步状态转移概率。
用历史资料中状态相互转移的频率来描述状态转移的概率, 有:
Pij=P (Ej/Ei) ≈F (Ej/Ei) , (j=i+1) , (i, j=1, 2, …, n)
式中, F (Ej/Ei) 表示样本中由Ei状态转向Ej状态的概率。处于Ei状态的样本个数为Mi, 假定由Ei状态转向Ej状态的个数为Mij, 则:
由此得到一步转移概率矩阵:
第四步:进行预测分析。
假定目前预测对象处于状态Ek, Pki恰好描绘了目前的Ek状态未来转移到其他各个状态的概率。那么就可以直接提交预测结果或者可以选择概率值最大者作为预测结果。
把Pki的n个值按大小列成不等式。例如Pk2突出大于其他值, 则未来处于E2状态的可能性最大。如果上述各值相差不大, 这时就要根据一步转移概率矩阵进一步计算二重转移概率, 然后根据二重转移概率矩阵进行预测。
3 航材消耗预测示例
某航材消耗件按月供应, 现已知前21个月的消耗数据, 如表1所示。由于每月飞行科目不同, 航材消耗数量也随之变化, 利用马尔科夫方法预测下一个月的所需航材数量。
根据航材历史消耗数据, 可以将其划分为三种状态, 正常状态 (<100件) 、繁忙状态 (100~150件) 、超量状态 (>150件) 。
根据表1算出总点数以及分别处于不同状态的点数ui, 并计算初始概率Pi=ui/N, 结果列成表2。
由定义:Pij=Mij/Mi
从表1得出:M1=10, M11=5, M12=5, M13=0
所以:P11=5/10, P12=5/10, P13=0
同理有:
P21=4/7, P22=1/7, P23=2/7, P31=0, P32=2/3, P33=1/3
由此得到:
应该指出, 在计算转移概率Pij时, 最后一个数据 (第21个月) 不参加计算, 因为它究竟转移到那个状态尚不知道, 有待于进行预测。
第21个月的航材消耗量为106件, 属于繁忙状态E2。由此经一次转移到达三个状态的概率分别为P21=4/7, P22=1/7, P23=2/7。由于P21>P23>P22, 所以第21个月的航材消耗量经过一次转移到状态E1的可能性最大, 故未来第22个月该航材消耗量将不会超过件。
4 结束语
根据以上分析可知, 对于动态系统的预测, 马尔科夫预测克服了传统预测方法的不足是一种科学有效的预测方法。运用马尔科夫预测方法可以很好的对航材消耗进行预测, 对航材保障工作大有帮助。此外在建模分析中还应该收集大量历史数据, 数据量越大, 越详细就越能提高预测的精确度。在涉及大量不同种类航材预测时, 通过等计算机软件辅助, 可以实现更加快速、准确的预测。
摘要：准确预测航材消耗量对保障飞行意义重大, 航材消耗的特点符合马尔科夫过程。马尔科夫预测是关于事件发生概率预测的方法, 通过示例分析表明在样本数据符合条件的情况下运用马尔科夫分析对航材消耗进行预测能够取得较好的预测效果。
关键词：马尔科夫预测,航材消耗,随机过程
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马尔科夫链在预测中的应用 篇4
关键词：马尔科夫链,预测,股票最大涨幅
1 引言
事物具有马尔可夫性, 通常是指事物未来的发展及演变状态仅仅受事物现状的影响, 而与过去的状态无关。运用马尔科夫理论预测股票价格第二天的最大涨幅, 以期在前一天收盘时买入股票, 并在第二天有赢利时抛出。为此, 建立了预测算法的过程模型, 并利用C# 语言实现该算法。通过股票历史数据验证表明, 对于一些股票的特定历史阶段, 该算法是有效的。
2 马尔科夫链
2.1 定义
马尔科夫链是指具备系统在将来发生某件事的条件概率与其过去发生的事件无关, 只与系统的当前状态相关的随机过程。
如果随机过程 {Xt}, t∈T具有特殊性质 : Xr=i, 即过程在时刻t处于状态i, 则在下一时刻t+1处于状态j的概率是固定的Pij(t), 即有:
对于t=0,1,…和每一序列i,j,k0,k1,…,kt-1均成立, 则此随机过程被称作具有马尔科夫属性, 具有马尔科夫属性的随机过程 {Xt} (t=0,1,…) 被称作马尔科夫链。
2.2 性质
马尔科夫链中的条件概率p(t)=p{Xt+1=j|Xt=i} 被称作t时刻的 (一步) 转移概率, 在实际过程中状态是有限的, 状态E=0,1,…,N, 则其t时刻的 (一步 ) 转移矩阵为
若初始状态向量A0, 时刻t=0,1,…,M, 状态向量Am=A0×P(0)×P(1)...×P(M-1)。
3 股票预测中的实现
对于股票市场来说, 如果能够在前一天收盘前买入, 并在第二天有赢利时抛出, 将是非常吸引人的。为此, 考虑利用当天的最高涨幅预测第二天的最高涨幅。
3.1 预测原理
假设当天的股票最高涨幅状态向量为A0, 当天的马尔科夫一步转移矩阵为P(0)。则第二天的最高涨幅状态向量为:
最高涨幅是连续值, 需要按照区间将其划分, 以实现离散化。由于中国股市涨停板和跌停板的限制, 最高涨幅的区间是 [-10%, 10%]。经过多次尝试, 按照如下映射方式, 将最高涨幅映射为1到10的整数: 1 [-10%, -3%]、2 (-3%,-2%] 、3 (-2% , -1%] 、4 (-1% , 0] 、5 (0, 1%] 、6 (1% ,2%] 、7 (2% , 3%] 、8 (3% , 4%] 、9 (5% , 6%] 、10 (6% ,10%]。
对于大多数股票来说, 在当天收盘前的几分钟内基本知道当天和当天之前的最高涨幅。选取当天和当天之前的n个交易日的数据作为样本求取P(0), 利用当天的最高涨幅获得最高涨幅状态向量为A0, 从而获得第二天的最高涨幅状态向量A1。根据A1可以获得对第二天最高涨幅的预测。如果第二天最高涨幅的预测值大于1%, 则在当天的收盘时买入, 并在涨到1%时坚决卖出, 除去手续费之后能够赢利。
例如, 伊利股份2012年2月20日到4月5日30个交易日之间的最高涨幅和映射后的值如表1所示。
可利用这30个交易日 的数据求 取马尔科 夫一步转 移矩阵为P (0)。首先根据表1获得映射值的状态转移表, 如表2所示。
利用状态转移表, 可根据公示(其中, Nij为频数, 1≤i, j≤10) 求出转移矩阵为P(0)中的每一项, 得到P(0)如下 :
根据表1最后一项, 可得2012年4与5日的最高涨幅状态向量为A0= [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0]。根据A0和P(0), 求得A1= [0, 0, 0, 0, 0.33, 0, 0.67, 0, 0, 0]。利用A1可知2012年4月6日最高涨幅处于7状态的概率最大, 即最高涨幅处于 (2%, 3%] 的概率最大。伊利股份2012年4月6日的实际最高涨幅为1.06% 。由于预测的最高涨幅大于1,如果在4月5日收盘时买入, 并在涨到1%时坚决卖出, 则除去手续费之后能够赢利。
由于篇幅所限, 上面所举的例子中用于训练P (0) 的样本数据较少, 实际预测中可适当增加样本数据, 以提高预测准确性。
3.2 程序实现
根据3.1节介绍的原理, 在Microsoft Viusal Studio 2010开发环境中进行了实现。整个过程可以分解为4个步骤: 读取历史数据、区间映射、求取P(0)、求取A1并预测。
(1) 读取历史数据
读取股票历史数据可分为两种, 1) 通过网络在线获取;2) 利用第三方软件导出数据文件并读取数据文件。在此采取了后面一种方法, 利用钱龙炒股软件将股票的日K线数据导出为文本文件 (文件的格式如图1所示), 然后在程序中读取该文本文件。该文本文件中包含了日期、开盘价 、最高价 、最低价、收盘价等, 在程序中依次读取每一天的数据。
读取后的数据存放到如下结构数组中 (因篇幅所限, 不列出读取数据的源代码):
(2) 区间映射
将第二天的最高涨幅按照区间映射为1到10的整数, 存放到整数数组A中 (区间的划分数目和方式可根据需要调整):
(3) 求取P(0)
根据数组A中的值求取P(0), 并将P(0)存储在二维双精度数组P中。
(4) 求取A1并预测
预测的第二天最高涨幅区间存放于Output Str字符串中,可输出到程序界面中查看。
3.3 应用方式
程序实现描述了利用历史数据预测第二天最大涨幅区间。实际应用时, 可以利用历史数据进行预测, 并利用历史结果进行验证, 统计如果采用此方法进行股票操作是否可能实现赢利。将该思路应用于一些股票的历史数据, 发现在一些股票的某些历史阶段, 采用这种预测方式是可以赢利的。因此,可以选取那些近期预测成功率高, 并结合影响股票价格的其他因素进行买卖操作。
4 结语
马尔科夫预测法 篇5
锅炉压力容器特种承压设备在我国整个国民经济中发挥着重大作用,而承压部件焊接结构的可靠度对设备系统的安全运行非常重要,焊接结构的失效往往导致事故的发生。通常锅炉压力容器特种设备的安全生产运行管理,集中于事故系统的分析和对材料及生产工艺致因的研究,关注事故征候的较少。事故征候,是指并未构成事故的发生,但对安全存潜在影响的事件,即发生事故的征兆。据海因里希( H. W. Heinrich) 安全法则,事故、事故征候及近似事故征候比例约1: 29: 300,即每起事故的发生, 都伴随着约29起事故征候的出现和产生300起左右的近似事故征候[1]。这一概念较多应用在民航安全领域[2]。引入锅炉压力容器特种设备的安全管理研究是很有必要的。
例如,再热裂纹就是锅炉压力容器特种承压设备焊接结构失效事故中的一种事故征候,可能导致焊接结构疲劳失效,最终发生爆炸事故。再热裂纹不仅发生在焊后消除应力热处理过程中,也可能发生于焊后再次高温加热的过程中( 包括长期高温使用过程) ,虽然对再热裂纹本质已有了较多的认识, 但是其机理十分复杂[3],难以定性定量分析。因此,对焊接结构失效事故征候的分析和科学预测较难。
当前针对锅炉压力容器特种设备的事故征候的分析、预测和处理的研究相对较少。传统方法有: 回归分析预测、变权组合预测、时间序列分析预测以及饱和增长趋势预测等。这些常规方法通常依据大量的实际检验数据,归纳抽象出随机数字中潜在的统计学规律。而此类承压设备属于高可靠性系统,其故障发生概率往往很低,获取大量的数据较困难。 同时,破坏性试验成本高昂,获取大量实际检验数据的经济可行性很低。传统的数据运算也存在计算误差,易于导致结果极性差错,造成结果失真。因此引入灰色理论预测方法和马尔科夫预测理论研究焊接结构失效事件[4],针对锅炉压力容器特种设备安全评价过程中,焊接结构失效事件及其征候事件的随机性、波动性及不确定性,综合运用科学的预测方法,为锅炉压力容器特种设备的安全控制提供有效地决策支持。
1结合马尔科夫理论的灰色预测模型
1.1焊接结构失效事件GM(1,1)模型建立
通过焊接接口的模糊综合评价( Fuzzy Comprehensive Evaluation,FCE)[5]、机械性能试验以及无损探伤检测,得到关于产品焊接结构失效事件的原始数据序列为:
数据在使用灰色预测模型之前,需对原始数据序列进行级比检验[6]。级比序列为:
σ = { σ( 2) ,σ( 3) ,…,σ( n) }
当级比序列 σ( k) ∈ ( e-2 / ( n +1),e2 / ( n +1)) ,则认为该数据序列适合建立GM( 1,1) 模型。
当级比序列 σ( k) ( e-2 / ( n +1),e2 / ( n +1)) ,则需对数据序列做出调整,使数据满足可容覆盖条件。 通常对数据 进行平移 变换、对数变换、方根变换等[7]。
经过数据序列的级比检验和相应的调整后,对原始数据序列依次进行累加,得到新数列。记r次累加生成为r - AGO( Accumulated Generating Operation) 。
依据以下定理: 序列X( 0)= { X( 0)( 1) ,X( 0)( 2) ,X( 0)( 3) ,…,X( 0)( n) } 为非负准光滑序列,则X( 0)的一次累加生成序列X( 1)具有准指数规律,对原始数据数列做一次累加( 1 - AGO) 。
求得X( 0)的1 - AGO序列:
继而计算X( 1)的紧邻均值等权生成序列:
Z( 1)= { z( 1)( 2) ,z( 1)( 3) ,…,z( 1)( n) } ,其中:
构造数据矩阵B和数据向量Y :
由1 - AGO序列X( 1)建立白化微分方程:
其中,GM( 1,1) 模型的最小二乘估计参数列 Φ 满足 Φ = [a,b]T= [^a,^b]T= ( BTB)-1BTY 。
则上述白化方程的解为:
进而由灰色系统理论建立焊接结构失效事件GM( 1,1) 模型的顺序时间响应函数序列为:
式中,t = 1,2,…,n ; 参数 - a为发展系数,反映了 ^x( 1)和 ^x( 0)的发展态势; 参数b为灰色作用量, 由实际应用数据值挖掘得到,反映数据变化关系。
对式( 1) 作累减还原计算,得到原始数列对应顺序的预测还原值:
对模型预测结果进行预测精度分析[7],分别计算预测值 ^x( 0)( t) 的残差方差S1和实际值x( 0)( t) 的残差方差S2:
然后计算后验差比值C和小误差频率 α :
通过后验差比值C和小误差频率 α 的计算结果与灰色预测模型精确度等级对比,衡量模型精确度, 见表1所示。
1.2灰色状态马尔科夫链模型建立[8,9]
通过GM( 1,1) 模型得到一个序列:
^X( 0)是一个具有马尔科夫特点的非平稳随机序列。
将该序列划分n个状态:
其中,
式中,1,i和 2,i为灰原,随顺序( 时间) t的变化而变化; 待定系数A1,i、A2,i、B1,i、B2,i由焊接结构失效事件数据确定。
设Mij( k) 为焊接结构失效事件由状态 i经k步转移至状态 j的原始数据样本数,Mi为处于状态 i的原始数据样本数,则得到焊接结构失效事件由状态 i经k步转移至状态 j的状态转移概率为:
即,状态转移概率矩阵为:
状态转移概率矩阵P( k) 是系统各状态间相互转移的全部概率统计规律。预设预测对象当前处于状态 k,考察P( k) 中第k行元素,若maxjpkj=pkl,则认为系统下一顺序时间转移至状态 l的发生概率最大。在实践运用过程中,通常考察1步状态转移概率矩阵P( 1) ,但若出现矩阵P( 1) 的某一行有两个或两个以上相同或相近的元素概率值作为该行最大值的情况,则状态的顺序转移方向可能难以确定。这时,需要继续向下考察第2步甚至第n( n ≥ 3) 步状态转移矩阵P( n) 。
通过考察上述焊接结构失效事件状态转移概率矩阵,确定系统顺序转移状态,进而确定焊接结构失效事件预测值的相对值变动灰区间 [1,i,2,i]。 可用区间中位数作为焊接结构失效事件预测值,即:
2预测应用算例
通过锅炉压力容器焊接接口的模糊综合评价 ( FCE) ,结合机械性能试验及无损探伤检测,对广泛应用于超超临界锅炉的12Cr1Mo VG集箱角接头进行同条件下十批次的焊接质量可靠度评定,得到再热裂纹导致的焊接结构失效事件发生概率的统计数据。对此类焊接结构失效事件运用灰色马尔科夫预测模型,检验该预测模型的实际预测效果并对此类焊接结构失效事件进行分析预测[10,11]。焊接结构失效事件的原始数据,见表2所示。
2.1建立GM(1,1)模型[12,13,14]
根据表1中提供的原始数据建立焊接结构失效事件GM( 1,1) 模型,并对下一顺序批次的检验焊接结构失效事件发生的结果做出预测。
首先,对原始数据序列进行级比检验。
σ = { 1. 05,0. 95,0. 84,1. 09,0. 88,1. 04,0. 83, 0. 91,0. 86} 级比界区 为: ( e-2 / ( 10 +1),e2 / ( 10 +1))= ( 0. 833,1. 199) 。进而对原始数据序列直接建立GM( 1,1) 模型。
依据1. 1节中GM( 1,1) 模型,计算系数向量:
将参数带入式( 1) 得:
按照式( 2) 进行累减。
当 t = 0 时,^x( 0)( 1) = ^x( 1)( 1) = 1. 23 ;
当t > 0时,将表1数据带入,得到t批次检验时焊接结构失效事故的GM( 1,1) 模型预测值为:
模型精度检验见表3。
根据灰色预测模型精度检验参照表,认定建立的焊接结构失效事件GM( 1,1) 模型的预测精度为一级。该模型较好地反映了焊接结构失效事件发生概率的变化趋势,可用于焊接结构失效事件的预测。
2.2状态划分
对1 ~ 10批次的焊接结构失效事件的实际检验数据x( 0)( t) 与对应批次的预测值 ^x( 0)( t) 相比,得到对应的相对误差; 残差 ε( 0)( t) 与对应预测值 ^x( 0)( t) 相比,得到对应的相对残差。综合分析相对误差和相对残差大小,由式( 3) 、式( 4) 可得,整个序列划分为四个状态:
估计值偏小状态 1:
估计值较小状态2:
估计值较大状态3:
估计值偏大状态 4:
建立焊接结构失效事件,见表4。
2.3灰色状态马尔科夫预测
根据表4中的数据,可以得到M1= 1; M2= 2; M3= 6; M4= 1。
结合表4数据及式( 5) 、式( 6) ,得到焊接结构失效事件的1步状态转移概率矩阵为:
第10批次检验结果系统状态处于 2,从状态转移概率矩阵可以得出,矩阵第2行maxp2j= p21, 以及下一批次检验焊接结构失效事件发生的概率状态最可能处于状态 1。故由式( 7) 得,第11批次检验发现的焊接结构失效事件的概率为:
同理,运用上述灰色马尔科夫预测模型,可以对第12批次检验发现的焊接结构失效事件的概率进行预测。第10、11、12批次灰色预测与灰色马尔科夫预测结果如表5所示。其中,
绘制焊接结构失效事件GM( 1,1) 模型和灰色马尔科夫模型预测曲线,同时和实测曲线进行对比, 如图1所示。
3结论
1) 结合本文应用算例与后续批次焊接结构失效事件的跟踪研究,通过对预测数据与实际数据灰色关联度分析和残差检验对比等,可以认为,将灰色马尔科夫预测模型引入到对焊接结构失效事故征候事件的预测是可行的。针对焊接结构失效事件的前瞻性预测,灰色马尔科夫预测模型的预测精度高于98% ,且较GM( 1,1) 模型预测结果的精度平均提高了近4% ,消除了GM( 1,1) 模型的固有偏差。
2) 灰色预测“小样本、贫信息”的特点,克服了传统方法依靠大量实际检验数据的局限性,较精确的反应焊接结构失效事件的历史发展趋势,马尔科夫预测模型,则解决了随机波动性对事故预测的影响。灰色马尔科夫预测模型方法,符合对锅炉压力容器特种设备焊接结构安全研究的实际要求。
马尔科夫预测法 篇6
关键词：居民消费价格指数,隐马尔科夫,预测
居民消费价格指数 (Consumer Price Index, CPI) 反映居民生活中的产品和劳务价格所统计出来的物价变动指标, 是测定一个国家或地区价格水平稳定与否的四大宏观经济价格指数的核心指标。CPI通常被作为观察通货膨胀水平的重要指标。如果指数升幅过大, 表明通胀过度, 会带来经济不稳定, 如果指标出现负增长, 则表明经济进入通货紧缩。CPI是国家制定财政货币政策、出台相关价格和消费政策的重要依据。目前世界金融危机前景尚未明朗, 中国出口受阻, 国家投入巨额资金拉动投资, 但实际效果尚有待进一步验证。内需的增长对于国家经济稳定有着重要的意义[1]。为此, 本文以国家统计局官方网站公布和相关统计年鉴的数据为依据, 运用隐马尔科夫模型对CPI进行建模预测, 为国家经济政策提供参考。
一、马尔科夫模型和隐马尔科夫模型
1、马尔可夫链
马尔可夫 (Markov) 链, 是数学中具有马尔可夫性质的离散时间随机过程。该过程中, 在给定当前知识或信息的情况下, 过去 (即当期以前的历史状态) 对于预测将来 (即当期以后的未来状态) 是无关的。
时间和状态都是离散的马尔可夫过程称为马尔可夫链, 它是随机变量S1, S2, S3, …, 的一个数列。这些变量所有可能取值的集合, 被称为“状态空间”, 而Sn的值则是在时间n的状态。一个马尔可夫链模型可表示为λ= (S, P, Q) , 满足下面两个假设的一种随机过程:
·t+l时刻系统状态St+1的概率分布只与t时刻的状态St有关, 与t时刻以前的状态St-i (i=1, 2, …, t) 无关。即:P (Sn+1=S|S0, S1, S2, …, Sn) =P (Sn+1=s|Sn) 这里S为过程中的某个状态。
·从t时刻到t+l时刻的状态转移与t的值无关。
在模型中, P={Pij}n×n是系统的状态转移概率矩阵, 其中Pij表示系统在时刻t处于状态i, 在下一时刻t+l处于状态j的概率, N是系统所有可能的状态的个数。对于任意i∈s, 有∑jnpij=1。
Q=[q1, q2, …qn]是系统的初始概率分布, qi, 是系统在初始时刻处于状态i的概率, 满足∑inqi=1。
2、隐马尔科夫模型 (Hidden Markov Model, HMM)
HMM是一个双重随机过程:一个是观测随机序列事件, 另一个是隐藏于其间的状态转移序列, 即Markov链。根据观测序列不同, HMM可以分为离散隐Markov模型和连续隐Markov模型两类, 本文针对离散隐Markov模型的建立进行研究。
一个HMM常用五元参数组来描述:λ= (S, O, A, B, π) , 其中:
(1) S:状态的有限集合, S={S1, …, Sn}, n为模型中Markov链的状态数;
(2) O:观测值的有限集合, O={O1, …, Om}, m为每个状态对应的可能的观测值数目;
(3) A:状态转移概率矩阵, A= (aij) n×n, 其中, aij=P (St+1=θj/St=θi) ;
(4) B:观测值概率矩阵, B= (bjk) m×n, 其中, bjk=P (Ot=vk/St=θj) ;
(5) π:初始概率分布矢量, π= (π1, π2, …, πn) ;
HMM模型主要解决3个问题:
(1) 评估问题:计算由给定模型λ产生观测序列O的概率。
(2) 解码问题:对给定模型λ和观测序列O, 求可能性最大的状态序列S。
(3) 学习问题:对给定观测序列O在最大似然度下学习得到最佳模型参数。
在马尔科夫链中, 每个状态只有一个输出, 根据观察到的输出序列就可以决定模型中的状态转换序列。但在很多其他的经济社会事件中, 每个状态能按照特定的概率分布产生多个输出。如果给定一个观察序列, 不能直接确定状态转换序列, 因为状态转移过程被隐藏起来了。所以这类随机过程被称为隐马尔科夫过程。
二、隐马尔科夫模型预测居民消费价格指数
1、CPI波动分析
在众多的经济指标中, CPI是一个广受关注的指标。它随着经济的波动呈现明显的波动。如何对CPI进行分析和预测具有重要意义。图1是2000年1月到2009年8月的中国CPI走势图。从图中我们可以看出, 从2000年1月到2002年1月, CPI一直低位运行, 但基本都在100以上;但从2002年年初开始, CPI经过波动后降入谷底, 在整个2002年基本都在100以下。从2003年开始, CPI开始了长达2年的增长, 并在2004年中期达到顶峰, 105左右;随后有所回调, 并在2005年和2006年期间保持稳定在101左右, 经济呈现高增长低通胀的良好局面;从2007年开始, CPI急剧上升, 有102左右上升到2008年第一季度的109左右, 经济形势明显过热。但随后由于受到世界金融危机的影响, 中国经济形势开始恶化, CPI连续下降一年多, 从109左右陡降到98附近, 创近十年来新低。目前CPI仍在100以下波动。
文[2]通过马尔科夫链对CPI进行了分析和预测。但是, 实际上正如前面所言, 由于CPI只是一个经济状态的一个可能输出, 而不是唯一的输出。即使在相同的经济状态下, CPI仍可能会以不同的概率呈现多个可能表现。以马尔科夫链进行预测, 存在不足。为此, 本文拟采用隐马尔科夫模型进行CPI分析预测。
2、HMM对CPI建模分析预测
为了验证本模型的可靠性, 文章以2000年1月到2008年11月的CPI数据作为建模训练, 以2008年12月至2009年5月的半年数据来作为检验, 验证模型的可靠性。具体建模步骤如下:
首先, 根据CPI的表现和中国经济运行情况, 将每月的经济状况分成过热、正常发展和缓慢发展3种状态, 见表1。
然后, 按照CPI的增速表现, 按照其表现分成5类, 按照百分位进行划分。即最低的20%为第一类, O1;位于20%和40%之间的为第二类, O2;…, 以此类推, 位于位于80%和100%之间的为第五类, 也就是百分之二十最大的CPI, O5, 见表2。
由此, 我们已初步完成模型的前期准备工作。接下来将具体进行参数计算和结果分析。
采用Matlab2009a进行建模, 初始状态概率π随机确定。根据上述的状态序列S和观察值序列O, 采用MA TL AB自带的“hmmestimate”概率估计函数估计状态转移概率矩阵A和观测值概率矩阵B表3和表4所示。其中HMM的初始概率权值π选取MATLAB默认值。
由此可以看出, 在状态1下, 只能出现观察值1, 而在状态2和状态3下, 多个观测都以不同的概率出现, 这也验证了本方法较文[2]的科学性。
在得到状态转移概率矩阵A和观测值概率矩阵B后就可以对后续的CPI建模预测了。
表5是计算得到检验数据部分 (2008年12月至2009年5月) CPI各类观察值出现的概率分布。由表5可以看出, 在2008年12月和2009年年初, 预测CPI零增长和缓慢增长, 而后续的预测均表明CPI处于负增长区间, 这与实际相吻合。
表6是实际预测的CPI的增长率。由于实际预测的CPI是观测表现, 是离散值。在现实生活中, CPI都是连续的。为了与实践相吻合, 这里将CPI还原成连续值。采用的方法为:和上面CPI分类相反, 通过将不同的CPI表现概率乘以其分类点的均值。如, 对于2008年12月的CPI预测, 取2008年12月观察值的概率分布O (0.07, 0.31, 0.34, 0.24, 0.05) 乘以分隔常数P, 这里P= ( (Qua0+Q ua0.2) /2, (Q ua0.2+Qu a0.4) /2, (Qua0.4+Qua0.6) /2, (Qua0.6+Qua0.8) /2, (Qua0.8+Qua1) /2, ) 。
从表6可以看出, HMM对CPI的观察表现基本预测正确, 只在2009年2月稍微有偏差, 这可能是由于2月份春节消费的影响。将CPI换算成连续预测值 (表6第5列) , 发现预测CPI基本符合实际情况, 大部分预测误差都在2%以内, 只是在2009年2月预测偏高。
三、结论
本文通过引入HMM对中国CPI进行预测分析, 在预测之前先将CPI离散化, 然后对状态转移矩阵和观察值分布概率矩阵进行估计, 并由此建立HMM。最后通过已建立的HMM对未来的CPI进行了估计, 案例表明, HMM能够很好地分析CPI的变动规律, 对我国宏观经济分析预测有一定的指导意义。
参考文献
[1]、孙慧钧.从CPI看我国物价上涨的成因和走势, 价格理论与实践, 27-28.
马尔科夫预测法 篇7
关键词：期货价格,马尔科夫链,平稳分布
随着期货市场交易机制的不断完善, 期货市场的价格发现功能越来越强大, 正确认识期货价格的发现功能有助于证券市场投资者和交易者进行准确的预测与判断。通过分析价格运动趋势, 投资者可以预测其未来的可能走势。由于马尔可夫过程有一个最重要的特点:该过程将来的状态跟过去的状态无关, 只由该过程现在的状态决定, 因此马尔科夫链模型只需考虑事件本身历史状况的演变特点, 通过计算其状态转移概率从而预测内部状态的变化情况, 故马尔科夫链模型在预测中具有广泛的实用性。
一、理论知识
若随机过程{xn, n∈T}对于任意的非负整数n∈T和任意的io, i1, …, in∈I其条件概率满足P{xn+1=in+1|x0=i0, x1=i1, …, xn=in}=P{xn+1=in+1|xn=in}, 则称{xn, n∈T}为马尔科夫链。
称条件概率Pij (n) =P{xn+1=j|x1=i}为马尔科夫链{xn, n∈T}在时刻n的转移概率, 其中i, j∈I。若对任意的i, j∈I, 马尔科夫链{xn, n∈T}的转移概率Pij (n) 与n无关, 则称马尔科夫链{xn, n∈T}是齐次的, 并记Pij (n) 为Pij。转移概率Pij所组成的矩阵称为系统状态的转移概率矩阵, 记作:
设马尔科夫链{xn, n≥0}的状态空间为I, 若对一切I, 存在不依赖于i的常数Pj使得, 则称此马尔科夫链具有遍历性。遍历性说明不论系统自哪一个状态出发, 当转移次数n充分大时, 转移到状态的概率近似于某个常数。
称概率分布{πj, j∈I}为马尔科夫链的平稳分布, 它满足:
二、问题提出与解决
2013年1月18日-2013年11月19日共201个交易日的玉米交易价格数据如下:
1907, 1897, 1886, 1887, 1864, 1856, 1845, 1849, 1832, 1836, 1827, 1819, 1850, 1829, 1831, 1831, 1831, 1834, 1835, 1835, 1845, 1860, 1857, 1858, 1855, 1865, 1861, 1861, 1851, 1850, 1858, 1856, 1857, 1860, 1865, 1882, 1885, 1888, 1882, 1895, 1897, 1896, 1888, 1895, 1898, 1907, 1901, 1894, 1891, 1891, 1893, 1894, 1873, 1875, 1876, 1887, 1891, 1892, 1896, 1900, 1905, 1909, 1906, 1912, 1906, 1912, 1901, 1892, 1895, 1893, 1908, 1914, 1924, 1943, 1932, 1943, 1940, 1939, 1932, 1951, 1959, 1956, 1957, 1948, 1937, 1937, 1934, 1915, 1912, 1913, 1884, 1870, 1871, 1856, 1858, 1865, 1849, 1858, 1853, 1839, 1865, 1864, 1860, 1869, 1884, 1863, 1853, 1858, 1866, 1878, 1877, 1882, 1888, 1892, 1912, 1925, 1908, 1897, 1897, 1925, 1923, 1932, 1925, 1925, 1930, 1937, 1929, 1936, 1933, 1930, 1961, 1954, 1969, 1960, 1971, 1970, 1963, 1958, 1963, 1972, 1995, 1999, 1984, 1980, 1985, 1967, 1963, 1968, 1980, 1980, 1966, 1968, 1955, 1963, 1978, 1984, 1985, 1969, 1974, 1967, 1962, 1974, 1971, 1990, 2035, 2014, 2013, 2007, 1989, 1993, 2001, 2083, 2048, 2052, 2050, 2056, 2062, 2065, 2080, 2112, 2112, 2145, 2117, 2095, 2115, 2104, 2126, 2118, 2112, 2113, 2135, 2131, 2149, 2140, 2134, 2090, 2120, 2104, 2086, 2105, 2102。
将201个交易日的收盘价格分为大幅下跌, 正常下跌, 小幅振荡, 正常上涨, 大幅上涨五种状态进行分析预测。取x1=大幅下跌, x2=正常下跌, x3=持平, x4=正常上涨, x5=大幅上涨, 则状态空间为:I (x1, x2, x3, x4, x5) 。
状态概率是各种状态出现的可能性的大小, 用状态向量π (i) = (P1, P1, …, Pn) 表示, i=1, 2, …, n, Pj为xj的概率, j=1, 2, …, n。
上面共201个交易日, 利用前一个交易日与后一个交易日的价格作差, 可以得出如下数据:
-10, -11, 1, -23, -8, -11, 4, -17, 4, -9, -8, 31, -21, 2, 0, 0, 3, 1, 0, 10, 15, -3, 1, -3, 10, -4, 0, -10, -1, 8, -2, 1, 3, 5, 17, 3, 3, -6, 13, 2, -1, -8, 7, 3, 9, -6, -7, -3, 0, 2, 1, -21, 2, 1, 11, 4, 1, 4, 4, 5, 4, -3, 6, -6, 6, -11, -9, 3, -2, 15, 6, 10, 19, -11, 11, -3, -1, -7, 19, 8, -3, 1, -9, -11, 0, -3, -19, -3, 1, -29, -14, 1, -15, 2, 7, -16, 9, -5, -14, 26, -1, -4, 9, 15, -21, -10, 5, 8, 12, -1, 5, 6, 4, 20, 13, -17, -11, 0, 28, -2, 9, -7, 0, 5, 7, -8, 7, -3, -3, 31, -7, 15, -9, 11, -1, -7, -5, 5, 9, 23, 4, -15, -4, 5, -18, -4, 5, 12, 0, -14, 2, -13, 8, 15, 6, 1, -16, 5, -7, -5, 12, -3, 19, 45, -21, -1, -6, -18, 4, 8, 82, -35, 4, -2, 6, 6, 3, 15, 32, 0, 33, -28, -22, 20, -11, 22, -8, -6, 1, 22, -4, 18, -9, -6, -44, 30, -16, -18, 19, -3。
可以看出差值的最大值为82, 最小值为-44。规定:当Xn∈[-44, -5]时出现状态1, 即大幅下跌;当Xn∈[-5, -1]时出现状态2, 即正常下跌;当Xn∈[-1, 1]时出现状态3, 即持平;当Xn∈[1, 5]时出现状态4, 即正常上涨;当Xn∈[5, 82]时出现状态5, 即大幅上涨。其中大幅下跌的次数为60次, 正常下跌的次数为27次, 持平的次数为22次, 正常上涨的次数为32次, 大幅上涨的次数为59次。
通过上面各个状态中的频数可以得到各个状态概率分别为:
从而得到状态向量π (0) = (0.30000.1350 0.1100 0.1600 0.2950) 称为初始状态向量。同时还可以得出状态转移频数矩阵:
由状态1转移为状态1的次数是19, 故转移概率P11=0.3115;由状态1转移为状态2的次数为5, 故转移概率P12=0.0820;由状态2转移为状态1的次数为5, 故转移概率P21=0.1923;由状态2转移为状态2的次数为3, 故转移概率P22=0.1154;同理各个状态的转移情况和转移概率都可以得出, 转移概率矩阵为:
矩阵P中每一横行为某一状态下各种情况转移的概率。
P为一步概率转移矩阵。由模型可知, 第K期的状态概率取决于初始状态概率和一步转移概率矩阵的k次方。显然, 若已知初始状态概率向量π (0) 及转移矩阵P, 则可求出预测对象在任何一个时期处于任何一个状态的概率。不同时期的状态概率由状态向量π (i) 表示, 这里π (i) =π (i-1) P, (i=1, 2, …, n) , 由于第201日处于正常下跌状态, 由马氏性和无后效性, 所以可以认为初始状态向量π (0) = (0 1 0 0 0) 。
利用初始向量和状态转移矩阵来预测以后各个收盘日价格状态概率, 第202日收盘价状态概率向量:
第203日收盘价状态概率向量:
同理可以得到收盘价格的变化趋势:随着交易日的增加, 即足够大时, 只要状态转移矩阵不变 (即稳定条件) , 则状态概率趋向于一个和初始状态无关的值 (0.2995 0.1352 0.1106 0.1593 0.2954) , 并稳定下来。即该股最终以45.47%左右的可能性处于上升状态, 以11.06%的把握处于持平状态, 以43.47%左右的把握处于下降状态, 预测的结果与实际情况基本相符。
通过转移概率矩阵P可以知道P中的所有元素都大于0, 由遍历性的定义可以知道, 一步转移概率矩阵P中, 有n使得Pn中的所有元素都大于0, 所以则称一步转移概率矩阵P具有遍历性。
由π= (x1x2x3x4x5) = (0.29950.1352 0.1106 0.1593 0.2954) , 可得各个状态的平均返回时间为:
, 所以可知完成一个短线运行周期平均需要29.4396个交易日。
三、结论
本文对已知数据进行了处理并假设了几个状态利用马尔科夫链模型求出了个状态间的转移频数及转移概率, 利用马尔科夫链所具有的无后效性对未来交易日的价格进行了预测。虽然本文研究取得了一定的成果, 但也存在不足之处。首先, 它是建立在一定的假设条件之上, 而实际市场中这些条件很难满足, 其市商品价格是受市场上的多种因素影响的结果。比如说市场上多空双方的力量比较, 宏观经济政策, 行业景气度以及投资者的心理因素等。其次, 文中的实例分析的数据区间的选择会很大的影响转移概率矩阵。该方法对于短期交易日的预测可能存在一些偏差, 但是对于长期预测还是比较精准的。
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马尔科夫预测法 篇8
从表面看, 事故的发生、发展具有随机性和偶然性, 系统安全态势无法定性和定量预测。但事实上, 任何事物的演化均存在其内在规律性和关联性, 事故的变化和发展并不完全是偶然和随机的现象。系统安全态势可以根据系统安全发展变化过去和现在的状态, 对未来的发展变化作出预测。预测的目的就是根据系统安全的发展变化采取措施, 使人们早期抑制和利用未来的安全状态[1], 同时, 掌握系统安全态势, 可以为安全管理、安全投入、以及制定安全对策措施提供有效的依据。因此, 从宏观管理角度出发对安全态势的掌握与预测就尤为重要。
对系统安全态势分析需要一定的指标参数作为载体, 万人死亡率从宏观上反映了事故整体上的严重程度, 是衡量系统安全性的重要参数。本研究选用万人死亡率的值作为安全态势的指标参数, 同时也作为预测过程中马尔科夫链状态划分的依据。在预测中应用马尔科夫过程的理论主要是马尔科夫链, 它是一种随机时间序列, 即它在将来取什么值只与它现在的取值有关而与过去取值无关, 这种性质称为无后效性, 由于系统安全性状态指标 (万人死亡率) 量值在时间轴上是离散状态, 因此构成了典型的马尔科夫链[2,3]。
1系统安全态势分析
对于任何一个系统, 要想对其安全状态进行预测, 就必须掌握其在一定时期内的内在规律性, 否则, 预测就失去了实际意义[3], 对系统安全态势预测也不例外, 因此, 在预测之前先对历史的安全态势进行分析是必要的。根据《安全与环境学报》2005年第5卷第2期至2011年第11卷第1期所公布的数据资料统计和计算, 以两个月作为一个时间段, 将2005年1月到2010年12月, 36组数据作为一个时间序列, 依次为t=1, 2, …, 36, 设安全态势事故指标万人死亡率为xi (i=1, 2, …, 36) , 得出2007-2010年的xi如表1, 图1为xi随时间变化的走势图。
从表1和图1可以得出, 安全态势指标xi在随时间的变化中具有以下几个特征:
(1) 波动性:xi的数值存在波动性, 每间隔一段时间出现一个波峰和波谷, 随后又趋于平稳。这说明了安全管理中, 死亡人数较多, xi较大时, 引起了管理人员的重视, 加强管理工作后对控制安全事故和降低xi起到了作用;当管理工作见到成效后, 管理工作的松懈或新的安全隐患的突现, xi又呈现上升趋势, 从而就出现了周期波动的现象。
(2) 趋势性:从图1可以得出, 系统安全态势总体上朝着好的趋势发展。xi虽然在几个时间点上出现陡然上升, 但整体上呈现下降趋势, 这说明随着安全逐渐受到重视, 安全工作有了一些成绩, 但xi总体下降幅度并不大, 这也表明安全管理形势依然严峻, 需要加大管理力度。
2马尔科夫预测理论与建模思想
2.1马尔科夫理论
马尔科夫理论的重点是状态的转移分析与概率计算。将系统安全态势划分为m个状态, 以
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表示在tn时刻系统安全态势在i状态下, 在下一时刻tn+1转到j状态的可能性, 又称为从状态i经1步转移到j的概率, 简称1步转移概率, 将这些pij依序排列起来, 就构成了一个矩阵, 称为状态转移概率矩阵[4]。
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(2)
在1步转移概率的基础上可导出多步转移概率。若系统安全态势在时刻t0处于状态i, 经过n步转移, 在时刻tn时处于j, 可得到n步转移概率[5], 记为
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n步转移概率矩阵为
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2步转移概率的计算可以由1步转移概率求出, 系统从状态i出发, 经2步转移到j的概率等于系统从状态i出发, 经1步到状态k, 其中k=1, 2, …, n, 然后再从状态k转移到j的概率的总和。即为
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对于n步转移概率有
n步转移概率是用来计算状态经n步转移后的概率, 本研究计算了2步转移概率及2步转移概率矩阵, 若要继续计算3, 4, …n步, 可以用上述公式继续计算。
2.2系统安全态势预测建模思想
依据马尔科夫理论, 系统安全的不同状态划分可得到侧重点不同的预测结果[6,7]。根据复杂系统理论, 研究中采用定性与定量相结合的方法对系统安全态势进行预测, 目的是使两种结果相互检验, 相互补充。
定性预测的思想是:将系统安全态势的状态分划分为升和降两种, 预测的结果表明的是预测值较前一时间段的安全态势是升或降。
定量预测的思想是:将系统安全态势的状态划分为A、B、C、D四种, 参照表1统计数据特点, 定义A状态的xi范围为[0.7403 0.9278], 该状态的含义是系统安全态势发展良好;B状态的xi范围为﹙0.9278 1.1153], 该状态的含义是系统安全态势发展较好;C状态的xi范围为﹙1.1153 1.3028], 含义为一般;D状态的xi范围为﹙1.3028-1.4902], 含义为安全态势较差。按马尔科夫定量预测的建模思想, 对系统安全态势进行定量分析, 预测的结果表示的含义是下一时间段, 安全态势的发展趋势将处于某一状态, 该状态的xi确定在一个固定的范围, 即可达到定量预测的目的。
3安全态势的马尔科夫预测过程
3.1安全态势定性预测
从t1到t2, xi的值呈下滑趋势, 安全态势即呈转好趋势, 用“升”、“降”分别代表安全状态“转好”、“转差”。从t=1到t=36的安全状态的转移见表2。
由表2的两种状态转移情况, 根据公式 (1) 计算出状态转移概率, 因时间t=1时状态转向不明, 故不计入其中。
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其中p11, p12中分子数16是因为t=36时上升且无后续记录, 故应减1。
由公式 (2) 可得1阶状态转移概率矩阵为
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根据统计的两种状态的初始状态向量V= (17/35 18/35) , 预测结果状态向量用G表示, 则G=V×p。G的计算结果的意义是指预测后的系统处于各状态的概率。
预测结果表明, 下一时间段安全状态处于上升趋势的可能性大小为0.4696, 处于下降趋势的可能性为0.5304。下降的可能性比上升的可能性稍大。若继续对下一时间段进行预测, G (2) =V×p (2) , 由式 (4) 得p (2) =p2。
t=38时的结果在t=37的基础上是下降的。
3.2安全态势定量预测
系统安全态势的定性预测, 虽可分析“升”、“降”态势的转移, 但无法较精确地预测系统的状态特征。仍以表1为基础数据, 划分定量预测的四种状态, 划分的状态及各状态间转移的频数见表3, 各状态之间的转向情况如表4。
因t36时的下一状态转向不明, 故应将其所在的状态的频数减去1, 计算一阶转移概率矩阵得:
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这个矩阵的意义是:第一行 (17/21 4/21 0 0) 说明从状态A仍转向状态A的可能性为17/21, 从状态A转向状态B的可能性为4/21, 从状态A转向状态C的可能性为0, 从状态A转向状态D的可能性为0。其他每行的意义雷同。
初始状态V= (22/36 9/36 4/36 1/36)
预测结果为:G (1) =V×p (1) = (22/36 9/36 4/36 1/36) ×
结果表明, 在下一时间段状态转为A的可能性最大。继续对下一时间段的状态转向进行预测, 即G (2) =V×P (2) =V×p2
此结果说明出现状态A的概率为0.6564, 是四种状态出现的可能性中的最大值, 即再一时间段最有可能出现的状态为A。
3.3预测结果分析
由定性预测结果可知, 下两个时间段的安全态势的发展趋势为下降和上升。由定量预测结果可知, 下两个时间段的安全态势的发展状态都将处于A状态, 即处于良好状态。定性与定量的预测结果可以相互检验, 例如, 下一时间的发展趋势为下降, 即万人死亡率的值比2010年11-12月的值有所上升, 根据定量预测的结果得知, 安全态势下一时间段的状态将处于A状态, 即x的范围在0.7403-0.9278, 综合分析得出的结果是2011年1-2月的安全态势处于良好状态, 且较2010年11-12月有所下滑, 这样就提高了预测的精度。
根据《安全与环境学报》公布的2011年1-2月和2011年3-4月的安全事故数据, 经计算, 其定性状态分别为下降、下降, 定量状态分别为A、A, 预测结果基本符合实际值。系统预测中受到一些不确定因素的干扰, 如自然灾害, 人为因素等[8], 可导致出现异常数据, 致使预测存在一定偏差, 但对于宏观安全管理而言, 这种偏差是可以接受的。
4结论
虽然系统安全预测已有不同的模型[9,10], 但依据复杂系统理论, 采用定性与定量相结合的预测研究还不多。研究中以系统的万人死亡率指标作为基础数据, 研究了系统安全的马尔科夫状态预测模型。应用分析表明, 马尔科夫预测方法对安全态势的预测具有较强的适用性, 而且该模型计算简便, 预测结果也较为准确, 可作为宏观安全管理的参考。
安全管理系统是一典型的复杂系统, 不仅系统要素多, 而且系统影响因素也多, 这样在条件有限情况下, 增加了预测系统的难度。研究中以不同的侧重点划分状态, 即定性和定量相结合的方法进行预测, 可以使两种预测结果相互检验, 相互补充, 使预测更加准确, 在一定程度上克服了复杂系统预测困难。
马尔科夫预测的状态划分直接影响预测结果的精度, 本研究只讨论了将样本按区间平均分配的原则划分状态, 然而, 研究系统中以什么方式划分状态最符合系统特征, 需根据系统属性和特征进行深入研究。
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